北师大版八年级上第一章《勾股定理》复习学案

《勾股定理复习》学案

[基础知识梳理]

在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定是以及它的应用．其知识结构如下：

1．勾股定理：

直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有：————————————.这就是勾股定理．

勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据． 勾股定理的直接作用是知道直角三角形任意两边的长度，求第三边的长．这里一定要注意找准斜边、直角边；二要熟悉公式的变形：

22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=．

勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理．

2.勾股定理逆定理

“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的

方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a 2+b 2=c 2

)，先构造一个直角边为a,b 的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS ”证明两个三角形全等，证明定理成立.

3．勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）在数轴上作出表示n （n 为正整数）的点．

勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的，但在判定一个三角形是否是直角三角形时应首先确定该三角形的最大边，当其余两边的平方和等于最大边的平方时，该三角形才是直角三角形．勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直，这一点同学

勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．

三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若2

2

2

c b a =+，则三角形是直角三角形；若2

2

2

c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2<+c b a 2

2

，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．

[典型例题分析]

例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?

思路与技巧 这里知道了直角三角形的两条边的长度，应用勾股定理可求出第三条边的长度，再求周长．但题中未指明已知的两条边是_________还是_______，因此要分两种情况讨论．

例2 如图19—11是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm ，高为15cm ，问易拉罐

内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?

思路与技巧 搅拌棒在易拉罐中的位置可以有多种情形，如图中的

B A 1、B A 2，但它们都不是最长的，根据实际经验，当搅拌棒的一个端

点在B 点，另一个端点在A 点时最长，此时可以把线段AB 放在Rt△ABC 中，其中BC 为底面直径．

例3：已知单位长度为“1”，画一条线段，使它的长为29．

思路与技巧 29是无理数，用以前的方法不易准确画出表示长为29的线段，但由勾股定

理可知，两直角边分别为________的直角三角形的斜边长为29.

例4：如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点，且CD CF 41=

．求证：△

AEF 是直角三角形．

方法指导：要证△AEF 是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证_________________________________________即可．

例5 如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．

方法指导：可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定问题．

例6 已知：如图△ABC 中，AB=AC=10，BC=16，点D 在BC 上，DA ⊥CA 于A ． 求：BD 的长．

方法指导：可设BD 长为xcm ，然后寻找含x 的等式即可，由AB=AC=10知△ABC 为等腰三角形，可作高利用其“三线合一”的性质来帮助建立方程．

例7：一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所爬行的最短路线的长是________________．

学习勾股定理六注意

勾股定理是平面几何中的重要定理，其应用极其广泛，在应用勾股定理时，要注意以下几点：

一、要注意正确使用勾股定理

例1 在Rt △ABC 中，∠B=Rt ∠，a=1，3b =，求c 。

二、要注意定理存在的条件

例2 在边长为整数的△ABC 中，AB>AC ，如果AC=4，BC=3，求AB 的长。

三、要注意原定理与逆定理的区别

例3 如图1，在△ABC 中，AD 是高，且CD BD AD 2

⋅=，求证：△ABC 为直角三角形。

四、要注意防止漏解

例4 在Rt △ABC 中，a=3，b=4，求c 。

五、要注意正逆合用

在解题中，我们常将勾股定理及其逆定理结合起来使用，一个是性质，一个是判定，真所谓珠联壁合。当然在具体运用时，到底是先用性质，还是先用判定，要视具体情况而言。 证明 在△ABC 中，由AD 是高有：

例5 在△ABC 中，D 为BC 边上的点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，那么DC=_________。

六、要注意创造条件应用

例7 如图3，在△ABC 中，∠C=90°，D 是AB 的中点，DE ⊥DE ，DE 、DF 分别交AC 、BC 、

于E 、F ，求证：2

22BF AE EF +=

分析 因为EF 、AE 、BF 不是一个三解形的三边，所以要证明结论成立，必须作适当的辅助线，把结论中三条线段迁移到一个三角形中，然后再证明与EF 相等的边所对的角为直角既可，为此，延长ED 到G ，使DG=DE ，连结BG 、FG ，则易证明信BG=AE ，GF=EF ，

∠DBG=∠DAE=∠BAC ，由题设易知∠ABC+∠BAC=90°，故有∠FBG=∠FBD+∠DBG=∠ABC+∠BAC=90°，在Rt △FBG 中，由勾股定理有：222BG BF FG +=，从而2

22BF AE EF +=。