北师大版八年级上第一章《勾股定理》复习学案

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北师大版八年级上册第一章勾股定理复习(教案)

-数据分析能力的培养：在分析勾股数的过程中，学生可能不知道如何系统地分析和归纳数据，从而找出勾股数的规律。
举例：针对勾股定理证明的难点，教师可以通过以下方法帮助学生突破：
-使用直观的图形和动画演示面积法的证明过程，让学生看到面积转化的直观效果。
-分步骤讲解证明过程，强调每一步的逻辑关系和数学意义。
-组织学生进行小组讨论，鼓励他们用自己的语言解释证明过程，加深理解。
其次，在新课讲授环节，我注重理论与实践相结合，通过具体的案例分析和实验操作，帮助学生加深对勾股定理的理解。这种教学方法取得了较好的效果，但我也注意到部分学生在理解证明过程时仍存在困难。因此，在今后的教学中，我需要更加关注学生的个体差异，针对不同水平的学生进行有针对性的辅导。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使学生积极参与到课堂中，提高了他们的动手能力和团队协作能力。但同时，我也发现部分小组在讨论过程中存在时间分配不均的问题。为了提高课堂效率，我需要在今后的教学中加强对小组讨论的引导和监督，确保每个学生都能充分参与到讨论中来。
-对于勾股数的性质，教师可以设计一些探索性的活动，如让学生尝试找出一定范围内所有的勾股数，通过实践活动发现勾股数的规律。
-在解决实际问题时，教师应引导学生如何从问题中抽象出数学模型，如何将现实问题转化为数学问题，并通过示例来演示解题步骤。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要复习的是《勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算直角三角形斜边长度的情况？”比如，测量一块三角形的草地面积。这个问题与我们将要复习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同回顾勾股定理的奥秘。
-勾股定理的应用：学会将勾股定理应用于解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度或判断一组数是否为勾股数。

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理学案

第一章勾股定理一、基本知识点：1.勾股定理2.勾股定理的逆定理3.实际应用的勾股定理：（1）求距离；（2）是否够用问题；（3）折叠问题；二、基本方法：1.直接计算求第三边；2.用方程求第三边三、举例：例1.甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东350航行，乙船向南偏东550航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C ,B两岛相距40海里，问：乙船的航速是多少？针对练习9处决裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处。

旗杆折断之前有多高？1.如图，一根旗杆在离地面m例2.已知一辆装满货物的卡车高2.5米，宽1.6米，要开进某一如图所示的桥洞，AD=2.3米。

问这辆卡车能否经过桥洞？说明理由。

针对练习1.如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米，宽为3米的卡车能通过该隧道吗？BFECAD 例2. 已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°，求四边形ABCD 的面积。

例3. 有一圆柱，高12cm,底面直径6cm ,在圆柱下底面有一只蚂蚁，它想吃到上底面B 点的食物，爬行的最短路程是多少？（π=3）针对练习1.如图，一圆柱高8cm, 底面半径2cm,一只蚂蚁从A 点爬行到B 点吃食物，要爬行的最短的路程是（π取3）（） A 、20㎝ B 、10㎝ C 、14㎝ D 、无法确定2.葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘升的路线，总是沿最短路线——螺旋前进的。

难道植物也懂数学？（1）如果树的周长为3cm,绕一圈升高4cm ，则它爬行路程是多少厘米？（2）如果树的周长为8cm ，绕一圈爬行10cm ，则爬行一圈升高多少厘米？例4. 如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，长BC 为10cm 。

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理复习学案

期末复习(一) 勾股定理【知识结构】勾股定理⎩⎪⎨⎪⎧探索勾股定理⎩⎪⎨⎪⎧验证勾股定理运用勾股定理勾股定理的逆定理⎩⎪⎨⎪⎧直角三角形的判别勾股数勾股定理的应用【典型例题】例1、在ABC ∆中，︒=∠90C . （1）若6=a ，8=b ，则=c.（2）若34=c ，a ：8=b ：15，则=a ，=b .例2、一个直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为( )A ．6B ． 8C ．10D ．12例3、已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为．例4、如图，四边形ABCD 中，,13,12,4,3cm DA cm CD cm BC cm AB ====且︒=∠90ABC ，求四边形ABCD 的面积。

例5、如图，已知长方形ABCD 中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.A例6、如图，一根长63米的木棒(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，且木棒顶端与地面的距离(AO)为9米，当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′.(1)求OB的长；(2)当AA′＝1米时，求BB′的长(结果保留根号)．【跟踪强化】一、填空题1、已知两条线的长为5cm和4cm，当第三条线段的长为_________时，这三条线段能组成一个直角三角形.2、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC∶AC=3∶4，AB=10，则AC=_______，BC=________.3、在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，9)，点B的坐标是(－12，0)，则A、B两点间的距离是 .4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，周长为60 cm，且两直角边BC∶AC＝5∶12，则△ABC的面积为 cm2.5、在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于．二、选择题1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，2，32．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )A.5＋1 B．－5＋1 C.5－1 D. 53．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8 cm，另一只朝左挖，每分钟挖6 cm，10分钟后，两只小鼹鼠相距( )A．50 cm B．100 cm C．140 cm D．80 cm4、将一个直角三角形两直角边同时扩大到原来的两倍，则斜边扩大到原来的（）A、4倍B、2倍C、不变D、无法确定5、正方形的面积是4，则它的对角线长是（）2D、4A、2B、2C、26．如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为( )A．4 B．6C．16 D．557、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC=（）A、6B、6C、5D、48．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为( )A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m三、作图题：在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形。

北师大版八年级上册第一章勾股定理复习回顾(教案)

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要回顾勾股定理的基本概念。勾股定理表述为直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决直角三角形问题的重要工具，有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算一个实际直角三角形的斜边长度，展示勾股定理在实际中的应用。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表述和证明方法这两个重点。对于难点部分，如面积法和相似三角形法的证明，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
在课程结束时，我进行了总结回顾，希望学生能够对勾股定理有一个全面、系统的认识。然而，我也意识到，仅仅依靠课堂上的讲解和讨论，可能还不足以让学生深刻理解勾股定理。因此，我计划在课后布置一些相关的习题和实践作业，让学生在课后继续巩固所学知识。
二、核心素养目标
1.提升学生逻辑推理与数学抽象能力，通过复习勾股定理及其证明过程，加深对数学定理的理解和运用；
2.培养学生空间观念和几何直观，通过勾股定理在实际问题中的应用，提高解决几何问题的能力；
3.增强学生数据分析与数学建模素养，让学生在实际情境中发现并运用勾股定理，培养将数学知识应用于解决实际问题的能力；
北师大版八年级上册第一章勾股定理复习回顾（教案）
一、教学内容
北师大版八年级上册第一章勾股定理复习回顾：
1.勾股定理的概念及表述；
2.勾股定理的证明方法（面积法、相似三角形法等）；
3.勾股数及其性质；
4.勾股定理在实际问题中的应用，如测量距离、计算面积等；
5.勾股定理与二次方程的关系；
6.勾股定理在生活中的实例及趣味问题。
我尝试采用了分组讨论和实验操作的方式，让学生在实践中感受勾股定理的应用。这种教学方式似乎很受学生欢迎，他们积极参与，热烈讨论，展示环节也能看出他们对知识点的掌握程度。但同时我也发现，部分学生在讨论中过于依赖同伴，自己的思考不够深入。在未来的教学中，我需要引导他们独立思考，加强个体思维能力的培养。

八年级数学上册《第一章勾股定理》学案北师大版

八年级数学上册《第一章勾股定理》学案北师大版》北师大版【课前预习】按自学提纲阅读教材。

【课题导入】【学习目标】1、复习巩固勾股定理及其逆定理的内容；2、能利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。

【自学过程】1、回顾完成以下知识点：（1）勾股定理：直角三角形的平方和等于的平方，即：a2+b2=c2。

公式变形：a2 = ； b2= 。

（a= ；；）（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形。

（3）满足的三个，称为勾股数。

2、尝试完成下列例题：例1、已知在Rt△ABC中，∠C=90。

①若a=3，b=4，则c=________；②若a=40，b=9，则c=________；③若a=6，c=10，则b=_______；④若c=25，b=15，则a=________。

例2、已知等边三角形ABC的边长是6cm。

求：(1)高AD的长；(2)△ABC的面积例3、甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东35航行，乙船沿南偏东某角度航行，船速为12海里/时，2小时后，甲、乙两船相距40海里，问乙船的航行方向？（提示：画出方位图）AB例4、如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是多少？【交流评价】小组内交流，互评对错，并帮助改正。

注意分析错误原因，对好的方法、建议、启发，请记录下来。

【达标检测】1、下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A、2，3，4B、3，4，6C、5，12，13D、4，6，72、将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（）A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定3、如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，如果圆柱的高为8cm，圆柱的底面半径为cm，那么最短的路线长是（）A、6cmB、8 cmC、10 cmD、10cm4、在△ABC中，如果AB=5，BC=12，CA=13，则有（）A、∠A=90B、∠B=90C、∠C=90D、不能确定5、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当它把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A、8cmB、10cmC、12cmD、14cm6、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是________。

北师大版数学八年级上册第一章勾股定理复习学案(无答案)

八上第一章《勾股定理》复习学案一．教学目标1、在研究图形性质过程中，进一步发展空间观念。

2 、初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。

二、学习过程（一）、构建动场本章知识要点及结构：1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用,a b和c分别表示直角三角形的直角边和斜边，那么__________2c．2．勾股定理的逆定理：（用于判定直角三角形）在△ABC中，若,,a b c三边满足________________，则△ABC为________________．3．勾股数：满足________________的三个___________，称为勾股数．列举几组勾股数：____________________________________________________________.4．三角形内角和为_______°（二）、自主学习，交流探究（一）勾股定理的计算1、如图，三角形为直角三角形，字母A所代表的正方形的面积为( )A、4B、8C、16D、642、一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法中正确的是（）A、第三边一定为10B、三角形的周长为24C、三角形的面积为24D、第三边有可能为10（二）直角三角形的判定3、下列结论错误的是（）.A．三个角度之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形B．三个边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形C．三个边长之比为8∶16∶17的三角形是直角三角形D．三个角度之比为1∶1∶2的三角形是直角三角形4、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对ABC5、在四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积 . 解:小结：如何判断一个三角形是直角三角形．判断一个三角形是直角三角形可以从角、边两个方面去判断．（1）从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形．例如：①在△ABC 中，7515B C ∠=︒∠=︒，，根据三角形的内角和定理，可得∠A ＝__________°，根据定义可判断△ABC 是__________三角形．②在△ABC 中，1123A B C ∠=∠=∠，由三角形的内角和定理可知，∠A ＝__________°，∠B ＝__________°，∠C ＝__________°，所以△ABC 是__________三角形．（2）从边出发来判断一个三角形是直角三角形．其实从边来判断直角三角形，它的理论依据就是判定直角三角形的条件（即勾股定理的逆定理）．例如：①△ABC 的三条边分别为72524a b c ===，，，而22222262572524a c b +=+===，根据勾股定理的逆定理可知△ABC 是____________三角形，但这里要注意的是b 所对的角∠_______＝90°．②若△ABC 三条边的比为::5:12:13a b c =，△ABC 是直角三角形． ③若△ABC 三条边的比为a:b:c=1: 2:3，△ABC 是直角三角形．（三）勾股定理的应用6、有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米.7、如图，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子顶端B 到地面O 距离为24米，若梯子顶端B 下滑了9米到B ′点，则梯子的底部A 在水平方向上到A ′应滑动（） A ．11米B ．12米C ．13米D ．14米ABCD（三）、综合建模通过以上问题的交流，同学们自己建立本章的知识结构图．三边的关系：定理→应用直角三角形直角三角形的判别（四）、当堂检测1．若△ABC 中，∠C=90°，（1）若a =5，b =12，则c = ；（2）若a =6，c =10，则b = ；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a = ，b = .2、三角形三边长分别为5cm ，12cm ，13cm ，则最长边上的高为 cm.3．一根旗杆在离地9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高为_________米。

初中数学北师大八年级上册(2023年修订) 勾股定理《勾股定理》单元复习学案

课题：《勾股定理》单元复习一、学习目标 1.回顾本章的知识，尤其是勾股定理的获得和验证的过程.2.构建本章知识系统，会用勾股定理及其逆定理解决问题.3.体验解决问题中方法的多样性，提高解决问题，反思问题的能力．二、思维导图画出本章知识的思维导图，并与同伴进行分享交流.三、目标达成【目标1】（1）已知直角三角形的两边长分别为3、4，则第三边长为__________（2）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =2， △ABC 的面积为3cm 2，则△ABC 的周长是．【目标2】（1）△ABC 的三边为a 、b 、c ，能说明此三角形为直角三角形的个数为__________①∠A =42°，∠B =48°； ②13a =，14b =，15c =； ③a =7，b =24，c =25； ④∠A :∠B :∠C =3:4:5； ⑤2a :2b :2c =1:3:2.（2）如图，已知AB :BC :CD :DA =2:2:3:1，且∠ABC =90°，则∠DAB=_________【目标3】如图，在一棵树CD 的10米高处B 有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处，另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算.如果两只猴子所经过的距离相等，请问这棵树有多高?小结：【目标4】如图，透明的圆柱形玻璃杯(厚度不计)的高为9cm ，底面周长为10cm ，在杯外壁离杯顶部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在杯外壁的点A 处，恰好与B 相对，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长为_________.小结：变式：若将“在杯外壁离杯顶部3cm 的点B 处有一饭粒”改为“在杯内壁离杯顶部3cm 的点B 处有一饭粒”，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长为_________.A B小结：四、我的思考五、学习评价1.根据下列条件，能判定一个三角形是直角三角形的是（）A. 三条边的边长之比是1:2:3B. 三个内角的度数之比是1:1:2C. 三条边的边长分别是31，41，51D. 三条边的边长分别是12，15，20 2.在Rt △ABC 中，∠C =90°，a ：b =3:4，c =15cm ，则a =_________3.如图，已知四边形ABCD 中，∠ABC =90°，AB =3，BC =4，CD =13，DA =12，则S 四边形ABCD =_______.3题图 4题图 5题图4.如图，长方体的底面边长分别为9cm 和3cm ，高为7cm ，若一只蚂蚁从P 开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 .5.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，求船向岸边移动的距离.(假设绳子是直的)6.如图，矩形ABCD 的长AD =9cm ，宽AB =3cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合.（1）求折叠后DE 的长; （2）求重叠部分△BEF 的面积.。

北师大版数学八年级上册第一章勾股定理复习教案

1．勾股定理：
直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有：————————————
勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据．
勾股定理的直接作用是知道直角三角形任意两边的长度，求第三边的长．这里一定要注意找准斜边、直角边；二要熟悉公式的变形：
2
2
2,
2
2
2
2
2
-
=
=
=,c
a=
a+
-
a
c
,b
c
a
c
b
b
勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理．
思路与技巧搅拌棒在易拉罐中的位置可以有多种情形，
根据实际经验，当搅拌棒的一个端点在
中，其中BC为底面直径．
：已知单位长度为“1”，画一条线段，使它的长为29．
29是无理数，用以前的方法不易准确画出表示长为29的线段，但由勾股定理可知，的直角三角形的斜边长为29.
CD
4
_________________________________________即可．
方法指导：可设BD长为xcm，然后寻找含
利用其“三线合一”的性质来帮助建立方程．
1。

北师大版八年级上册第一章勾股定理复习回顾教学设计

-设计具有挑战性的练习题，涵盖不同难度层次，使学生在实践中巩固勾股定理的知识。
-对学生进行针对性辅导，针对不同学生的特点，给予个性化的指导和建议。
5.反思总结，提升素养
-引导学生总结勾股定理的学习过程，反思自己的学习方法和策略。
-培养学生自主评价和同伴评价的能力，提高学生的自我监控和自我管理能力。
四、教学内容与过程
4.探究题：尝试找出勾股定理在以下几何图形中的应用：正方形、矩形、等腰直角三角形。
通过探究题，培养同学们的观察能力和逻辑思维能力。
5.论述题：请用自己的话简要说明勾股定理的证明方法及其实用价值。
通过论述题，让同学们深入思考勾股定理的内涵，提高对定理的认识。
请同学们认真完成作业，注意以下几点：
1.做题时要细心，避免出现运算错误。
4.增强学生运用数学知识解决实际问题的信心，培养学生的应用意识，使学生认识到数学在现实生活中的重要性。
本章教学设计旨在帮助学生巩固勾股定理的知识，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力，同时培养学生的情感态度与价值观，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学。
二、学情分析
八年级学生对勾股定理已有一定的了解，具备初步的几何知识和逻辑思维能力。在此基础上，他们对勾股定理的复习往往停留在表面，对定理的本质和内涵理解不够深入。此外，学生在解决实际问题时，可能存在以下问题：对勾股定理的应用不够灵活，不能迅速找到解决问题的方法；在计算过程中，容易出现粗心大意、运算错误等情况。因此，在本章节的教学中，教师需要关注以下几个方面：
2.对于应用题和探究题，要注重解题思路的清晰和逻辑性。
3.论述题要求语言简洁明了，表达自己的观点。
期待同学们在完成作业的过程中，能够进一步巩固勾股定理的知识，提高自己的数学素养。

第一章勾股定理综合复习学案北师大版八年级上册

第一章勾股定理综合复习恩江中学八年级数学备课组高秋秀一、教学目标：进一步熟练运用勾股定理和它的逆定理进行计算。

二、教学重难点：能灵活运用勾股定理的相关知识解决实际问题。

三、教学过程（一）知识点梳理勾股定理：1.直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的验证—通过从不同角度求同一图形的面积（常见图形如下）勾股定理的逆定理1、如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.（注意长边对的角是直角）2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.（二）精讲精练考点一、勾股定理的证明例1、 4个全等的直角三角形的直角边分别为a 、b ，斜边为c ．现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？•请试一试．考点二、勾股定理的应用求解 1 、若一个直角三角形的两条直角边的长分别为6 cm 和8 cm ，则斜边的长_________2、从5，9，12，13，17这5个数中选取3个数，可以作为勾股数的一组是（）A. 5，9，12B. 5，9，13C. 5，12，13D. 9，12，173．如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．考点三、折叠问题2、如图所示，在长方形ABCD 中，AB=16，BC=8，将长方形沿AC 折叠，使D落在点E 处，且CE 与AB 交于点F ，求AF 的长．考点四、最短路径【知识要点】1、内容：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段（之和）最短问题；2、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。

期八年级数学上册 1 勾股定理本章复习教案 (新版)北师大版

勾股定理本章复习【知识与技能】掌握勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形，能灵活运用它们解决实际问题.【过程与方法】通过梳理本章知识点，回顾解决实际问题中所涉及的数形合的思想和逆向思维思考问题，以便能熟练灵活运用.【情感态度】让学生养成把已有的知识建立联系的思维习性，积极参与数学活动，在活动中学会思考、讨论、交流和合作，激发他们的求知欲望.【教学重点】用勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形解决简单问题.【教学难点】能理解运用勾股定理解题的基本过程；掌握在复杂图形中确定相应的直角三角形，根据勾股定理建立方程.一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点，构建知识结构框架，让学生比较系统地了解本章知识及它们之间的相互联系.二、释疑解惑，加深理解1.勾股定理的证明勾股定理的证明方法有多种，一般是采用剪拼的方法，它把“数与形”巧妙地联系起来，是几何与代数沟通的桥梁，同时也为后面的四边形、圆、圆形变换、三角函数等知识的学习提供了方法和依据.说明：利用面积相等是证明勾股定理的关键所在.2.勾股定理中的分类讨论在勾股定理的实际运用中，如果不明给出直角三角形中有两条边的长，要求第三条边的长就需要分两种情况讨论，即第一种情况是告诉两条直角边长求斜边，第二种情况是告诉一条直角边和斜边长求另一条直角边.3.曲面两点间的距离问题在解决曲面中两点间的距离时，往往是要将曲面问题转化为同一平面内两点之间的距离，这是解决问题的关键.三、典例精析，复习新知例1 一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A 重合，折痕是DE（如图所示），求CD的长.【分析】设CD为x，∵AD=BD，∴AD=8-x. ∴在△ACD中，根据勾股定理列出关于x 的方程即可求解.解：由折叠知，DA=DB.在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，若设CD=xcm，则AD=DB=（8-x）cm，代入上式得62+x2=（8-x）2，解得x=7/4=1.75(cm)，即CD的长为1.75cm.例2有一个立方体礼盒如图所示，在底部A处有一只壁虎，C′处有一只蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥.（1）试确定壁虎所走的最短路线；（2）若立方体礼盒的棱长为20cm，则壁虎如果想在半分钟内捕捉到蚊子，每分钟至少要爬行多少厘米？（保留整数）【分析】求几何表面的最短距离时，通常可以将几何体表面展开，把立体图形转化为平面图形.解：（1）若把礼盒上的底面A′B′C′D′竖起来，如图所示，使它与立方体的正面（ABB′A ′）在同一平面内，然后连接AC ′，根据“两点间线段最短”知线段AC ′就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路线.（2）由（1）得，△ABC ′是直角三角形，且AB=20，BC ′=40.根据勾股定理，得AC ′2=AB 2+BC ′2=202+402,AC ′≈44.7（cm ）,44.7÷0.5≈90（cm/min ）.所以壁虎要想在半分钟内捕捉到蚊子，它每分钟至少爬行90厘米（只入不舍）.【教学说明】师生共同回顾本章主要知识，对于例题中需要注意的事项教师可以适当点评，便于学生熟练加以运用.四、复习训练，巩固提高1.已知在△ABC 中，∠B=90°，一直角边为a ，斜边为b ，则另一条直角边c 满足c 2= .2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若a=12，c-b=8，则b= ，c= .3.如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，AC=2.1，BC=2.8.求：（1）△ABC 的面积；（2）斜边AB 的长；（3）斜边AB 上的高CD 的长；（4）斜边被分成的两部分AD 和BD 的长.【答案】1.b 2-a 2；2.5，13；3.解：（1）S △ABC =12AC ×BC=12×2.1×2.8=2.94. （2）AB 2=AC 2+BC 2=2.12+2.82=12.5,∴AB=3.5.（3）由三角形的面积公式得12AC ×BC=12AB ×CD ，所以12×2.1×2.8=12×3.5×CD ，解得CD=1.68.（4）在Rt △ACD 中，由勾股定理得AD 2+CD 2=AC 2，∴AD 2=AC 2-CD 2=2.12-1.682=（2.1+1.68）(2.1-1.68)=3.78×0.42=2×1.89×2×0.21=22×9×0.214×0.21.∴AD=2×3×0.21=1.26.∴BD=AB-AD=3.5-1.26=2.24.五、师生互动，课堂小结本节复习课你能灵活运用勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形的解决问题吗？还有哪些不足？【教学说明】教师引导学生归纳本章主要的知识点，对于遗漏或需要强调的地方，教师应及时补充和点拨.1.复习题4.5第11、12题.2.完成《创优作业》中“本章热点专题训练”.勾股定理是解决线段计算问题的主要依据，它单独命题比较少见，更多时候是与其他知识综合应用，在综合题中如何找到适当的直角三角形是解题的关键.。

北师大版数学初二上册第一章勾股定理复习学案(含部分答案)

北师大版数学初二上册第一章勾股定理复习学案（含部分答案）班级学号姓名一、知识点归结：1．勾股定理：直角三角形两边的平方和等于的平方.2．勾股定理的逆定理：在△ABC 中，假定a 、b 、c 三边满足___________，那么△ABC 为___________,斜边为 .3．勾股数：边长为0.3,0.4,0.5的三角形能否为一个直角三角形? 0.3,0.4,0.5是勾股数吗? 总结:满足_____ ___的三个___ _____，称为勾股数.4. 直角三角形中边的特殊关系：〔1〕在Rt △ABC ，∠C=90°，a=b=5，那么c=〔2〕在Rt △ABC ，∠C=90°，a=1,c=2, 那么b=〔3〕在Rt △ABC ，∠C=90°，b=15，∠A=30°，那么a= ，c= 。

总结： ① 在中，30°所对的边是边的一半。

② 在Rt △ABC 中，假定∠A=45°, ∠C=90°,那么△ABC 是一个三角形。

其中，二、典例解说：例1、直角三角形的两边长区分为5和12，求第三边。

例2、一个直角三角形的周长为9，斜边为4，求这个三角形的面积。

例3、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，在边CD 上适中选定一点E ，沿直线AE 把△ADE 折叠，使点D 恰恰落在边BC 上一点F 处，且△ABF 的面积是30cm 2．求此时EC 的长．例4．ABC ∆为等腰直角三角形，∠A ＝︒90,AB=AC, D 为BC 的中点，E 为AB 上一点， BE ＝12，F 为AC 上一点，FC=5，且∠EDF ＝︒90，求EF 的长度。

例5、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁假设要沿着长方体的外表从点A 爬到点B ，需求匍匐的最短距离是_____________例6、，如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，CD ⊥AD 于点D ,且CD 2+AD 2=2AB 2.(1)求证AB =BC ;(2)当BE ⊥AD 于点E 时，试证明：BE =AE +CD .例7、如图，等边三角形ABC 内一点P ，AP =3，BP =4，CP =5，求∠APB的度数.作业：一、选择题1、以下说法中正确的有〔〕〔1〕假设∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，那么△ABC 是直角三角形；〔2〕假设∠A+∠B=∠C ，那么△ABC 5201510 C A BB CD E F A是直角三角形；〔3〕假设三角形三边为111,,345，那么∆ABC 是直角三角形；〔4〕假设三边长区分是2222, 2, m n mn m n +-，那么∆ABC 是直角三角形。

北师大版八年级上册第一章勾股定理复习教案

-掌握勾股数的概念及其特点，能列举出常见的勾股数，并能够根据勾股数的性质进行判断。
举例解释：
-面积法证明勾股定理：通过将直角三角形分割成两个相似的小直角三角形和一个矩形，证明两个小三角形的面积和等于大矩形面积，从而推导出勾股定理。
-实际问题：假设某房屋的斜坡屋顶为直角三角形，已知斜边长度和一边长度，求另一边的长度。
在实践活动和小组讨论中，学生们表现得相当积极。他们通过实际操作和讨论，不仅加深了对勾股定理的理解，还学会了如何将理论知识应用到解决实际问题中去。尤其是讨论环节，学生们的想法和观点让我感到惊喜，他们能够从不同的角度思考问题，这无疑是对他们批判性思维的一种锻炼。
我也意识到，在今后的教学中，我需要更多地采用直观教具和实际案例，让学生在视觉和操作上更直观地感受勾股定理的原理。同时，对于教学难点，我应该设计更多的层次性练习，让学生逐步攻克难点，而不是一次性灌输太多信息。
五、教学反思
在今天的勾股定理复习课中，我发现学生们对于定理的基本概念和应用已经有了较好的掌握。他们能够快速回答出勾股定理的定义，并在简单的习题中正确应用。这让我感到很欣慰，说明之前的教学取得了成效。
不过，我也注意到在逆定理的应用和勾股数的识别上，部分学生还存在一些困难。逆定理的部分，学生需要更加熟悉直角三角形的边长关系，才能更好地判断一个三角形是否为直角三角形。在勾股数的识别上，非整数勾股数对学生来说是一个挑战，我需要在今后的教学中加强这一部分的讲解和练习。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。

北师大版八年级上第一章勾股定理复习教案与学案

第一章探索勾股定理复习、教学目标知识与技能：掌握直角三角形的边、角之间分别存在着的关系，熟练地运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题。

过程与方法：正确使用勾股定理的逆定理，准确地判断三角形的形状。

情感态度价值观：熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发学生的爱国热情，培养探索知识的良好习惯。

教学重点：掌握勾股定理及其逆定理。

教学难点：准确应用勾股定理及其逆定理。

（一）基本知识回顾：1. 直角三角形的边，角之间分别存在着什么关系？答：角的关系：锐角互余，即∠A+∠B=90°边的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方。

a b c ab c a222222+==-⎧⎨⎪⎩⎪ 直角三角形还有哪些性质？2. 如何判断一个三角形是直角三角形？ ①有一个角是直角②如果三角形的三边长a 、b 、c ，满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形，满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数。

3、最短距离：将立体图形展开，利用直角三角形的勾股定理求出最短距离（斜边长）。

注意：（1）勾股数是一组数据，必须满足两个条件：①满足222c b a =+；②三个数都为正整数。

（2）11～20十个数的平方值：（二）专题总结1、勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。

求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题例 1、已知：一个直角三角形的两直角边长分别是3cm 和4cm ，求：第三边的长。

例 2、已知：一个直角三角形的两边长分别是3cm 和4cm,求第三边得长。

课堂训练1、已知△ABC 中，∠C=90°，若c=34，a:b=8:15，则a= ，b= .2、如图，求下列直角三角形中未知边的长度x= x=3、已知直角三角形两直角边分别为5,12,则三边上的高为___ _. 题型二勾股定理逆定理的应用如何判定一个三角形是直角三角形： ① 先确定最大边（如c ）； ② 验证2c 与22b a +是否具有相等关系Ab C a Bx817x26246③ 若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠22b a +，则△ABC 不是直角三角形。

数学北师大版八年级上册勾股定理复习教案

数学北师大版八年级上册勾股定理复习教案数学北师大版八年级上册勾股定理复习教案一、教学目标1.知识与技能：通过回顾和整理勾股定理的知识点，进一步理解勾股定理的内涵和外延，掌握勾股定理的应用方法，提高解题能力。

2.过程与方法：通过合作交流、自主探究的方式，培养学生的观察能力、归纳能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：通过解决实际问题，体验数学与生活的密切联系，增强学生学习数学的兴趣和信心。

二、教学重难点1.教学重点：掌握勾股定理的应用方法，提高解题能力。

2.教学难点：运用勾股定理解决实际问题，理解勾股定理的深刻内涵。

三、教学方法与手段1.教学方法：讲授法、演示法、练习法、小组合作教学法2.手段：PPT课件、实物展示台、学生小组合作探究四、教学过程1.导入新课回顾和整理勾股定理的知识点，思考以下问题：（1）勾股定理的基本形式是什么？（2）勾股定理的验证方法有哪些？（3）勾股定理的应用范围有哪些？（4）勾股数有哪些性质？（5）勾股定理在数学中的应用技巧有哪些？请学生回答上述问题，并总结答案。

2.讲授新课（1）勾股定理的基本形式为：a2 + b2 = c2。

其中a、b为直角三角形的两个直角边，c为斜边。

（2）勾股定理的验证方法有三种：几何法、代数法和三角函数法。

其中几何法是最常用的方法。

（3）勾股定理的应用范围非常广泛，如工程设计、平面几何、立体几何等领域。

它也是解决一些实际问题的重要工具。

（4）勾股数是指能够满足a2 + b2 = c2 的三个正整数。

它们具有以下性质：a、b、c三个数可以按照从小到大的顺序排列；当a、b、c三个数均为奇数时，它们一定是勾股数；当a、b、c三个数中有一个数是偶数时，它们一定不是勾股数；当a、b、c三个数均为偶数时，它们一定是勾股数。

（5）勾股定理在数学中的应用技巧有：勾股定理的逆定理的应用；通过构造直角三角形来解决问题；利用三角函数解决问题等。

3.巩固练习（1）通过练习加强学生对勾股定理的理解和应用能力。