利用向量法求空间角经典教案
《利用向量法求空间角》教案
《利用向量法求空间角》教案一、教学目标1. 让学生理解空间向量的概念，掌握空间向量的基本运算。
2. 引导学生掌握利用向量法求空间角的方法，培养空间想象能力。
3. 通过对空间角的学习，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 空间向量的概念及基本运算2. 空间向量夹角的定义及计算方法3. 空间向量垂直的判定与性质4. 利用向量法求空间角的大小5. 应用实例解析三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）空间向量的概念及基本运算（2）空间向量夹角的计算方法（3）利用向量法求空间角的大小2. 教学难点：（1）空间向量垂直的判定与性质（2）应用实例的解析四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解空间向量及空间角的相关概念、性质和计算方法。
2. 利用多媒体课件，展示空间向量的几何形象，增强学生的空间想象力。
3. 结合具体实例，引导学生运用向量法求解空间角的大小，提高解决实际问题的能力。
4. 组织课堂讨论，鼓励学生提问、发表见解，提高学生的参与意识。
五、教学安排1. 第一课时：介绍空间向量的概念及基本运算2. 第二课时：讲解空间向量夹角的定义及计算方法3. 第三课时：讲解空间向量垂直的判定与性质4. 第四课时：讲解利用向量法求空间角的大小5. 第五课时：应用实例解析，巩固所学知识六、教学过程1. 导入：回顾上一节课的内容，通过提问方式检查学生对空间向量的理解和掌握情况。
2. 新课导入：介绍空间向量夹角的定义，解释其在几何中的意义。
3. 课堂讲解：详细讲解空间向量夹角的计算方法，包括夹角余弦值的求法。
4. 例题讲解：挑选典型例题，演示利用向量法求空间向量夹角的过程。
5. 课堂练习：学生独立完成练习题，巩固向量夹角的知识。
六、教学内容1. 空间向量夹角的定义2. 空间向量夹角的计算方法3. 空间向量夹角的应用实例七、教学重点与难点1. 教学重点：（1）空间向量夹角的定义及其计算方法（2）利用向量夹角解决实际问题2. 教学难点：（1）空间向量夹角的计算方法（2）空间向量夹角在实际问题中的应用八、教学方法1. 采用案例教学法，通过具体实例讲解空间向量夹角的含义和应用。
利用向量法求空间角》教案
利用向量法求空间角一、教学目标1. 让学生掌握空间向量的基本概念和运算法则。
2. 培养学生利用向量法求空间角的能力。
3. 提高学生解决空间几何问题的综合素质。
二、教学内容1. 空间向量的概念及其表示方法。
2. 空间向量的线性运算：加法、减法、数乘、数量积（点积）、叉积。
3. 空间向量的坐标表示与运算。
4. 空间角的概念及求法。
5. 利用向量法求空间角的方法与步骤。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）空间向量的概念及其表示方法。
（2）空间向量的线性运算及坐标表示。
（3）空间角的概念及求法。
（4）利用向量法求空间角的方法与步骤。
2. 教学难点：（1）空间向量的坐标表示与运算。
（2）利用向量法求空间角的具体步骤。
四、教学方法与手段1. 采用讲授法、示范法、练习法、讨论法等教学方法。
2. 使用多媒体课件、黑板、教具等教学手段。
五、教学过程1. 导入新课：介绍空间向量的概念，引导学生回顾初中阶段所学的一维向量和二维向量，引出三维空间向量的概念。
2. 知识讲解：讲解空间向量的表示方法、线性运算（加法、减法、数乘）、数量积（点积）和叉积。
3. 实例演示：利用多媒体课件演示空间向量的坐标表示与运算，让学生直观地感受空间向量的运算过程。
4. 练习巩固：布置一些有关空间向量的练习题，让学生独立完成，检验学生对知识的理解和掌握程度。
5. 讲解空间角的概念及求法：讲解空间角的概念，引导学生理解空间角的大小与两个向量的夹角有关。
6. 方法讲解：讲解利用向量法求空间角的方法与步骤，让学生了解如何运用向量知识求解空间角。
7. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调空间向量运算和空间角求解的方法。
8. 课后作业：布置一些有关利用向量法求空间角的练习题，让学生巩固所学知识。
六、教学拓展1. 引导学生思考空间向量在实际问题中的应用，例如物理学中的力、速度等问题。
2. 探讨空间向量与其他数学领域的联系，如代数、微积分等。
七、课堂练习1. 布置一些有关空间向量运算和空间角求解的练习题，让学生独立完成。
解决立体几何中空间角的向量方法(教案).
《解决立体几何中空间角的向量（坐标）方法》（第一课时教案）一、教材分析1、在教材中的地位与作用立体几何中的向量方法被安排在新课标《数学》选修2–1的第三章第二节，主要讨论的是用空间向量处理立体几何问题。
在此之前安排了空间向量及其运算这一节，将向量由二维拓展为三维，为学生学习本节知识作了必要的铺垫。
立体几何中的向量方法既是前面内容的延展与深化，又是代数与几何知识的交汇点，产生了一种解决几何问题的新视角，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。
同时它也体现了新课程标准中提出的“注重提高学生的数学思维能力”的课程基本理念。
2、新、旧教材对比分析在前一个版本的教材中，空间向量是在第二册（下B）的第九章的第5、6节出现，而不是以一章的形式出现，并且对于直线的方向向量和平面的法向量只是以概念的形式提出，没有专门作一节来进行重点讨论，所以现行的新课标教材更加重视向量的作用，这样就使得相关的知识体系更加完整，有利于学生的学习。
其次，新课标教材在提出这些概念之前都是以思考和探究的形式出现，教材中还配备了多个图型，不仅激发了学生学习的兴趣，而且增强了感性效果，更好地帮助学生理解这两个抽象的概念。
可见，新教材的编写者们在处理向量的概念上贯彻了“淡化形式，注重实质”这一新的教学理念。
二、学情分析基础知识方面：学生之前经过了第一轮复习，对必修2第一章《几间几何体》，第二章《点、直线、平面之间的位置关系》，必修2第二章《平面向量》，选修2-1第三章《空间向量与立体几何》的相关内容有了进一步的认识与理解，对空间图形有比较完整的认识，具有一定的空间想象能力、几何直观能力，了解并基本能判断空间中点、直线、平面之间的位置关系，能全面把握几何体特征，知道立体几何中的向量方法可以解决三维空间中图形的位置关系与度量问题.认知水平与能力方面：学生已经具备初步的抽象概括能力、空间想象能力、逻辑思维能力，简单的知识融合能力和一定的知识综合应用能力，能在教师的引导下，通过自主学习、合作交流解决一些空间中图形的位置关系与度量问题．任教班级学情：我班学生有较好的学习习惯，基础知识较为扎实，但是对平面的法向量与线面角、二面角的平面角之间的关系不很明确，如何选择恰当的位置建立空间直角坐标系不熟练，要准确计算某些特殊点的坐标有困难。
数学 3.2.3用空间向量求空间角教学设计 新人教A版选修2 1 教案
立体几何中的向量方法——空间“角”问题（后附学案）一、教材分析：立体几何是高中数学教学中的一个重要内容，在整个高中数学学习中占有重要的地位，它不仅能培养学生的辩证唯物主义观点，还能培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，是历年高考的重点考查内容之一。
用向量法处理几何问题，可使空间形式的研究从“定性”推理转化为“定量”计算.空间角又是立体几何中的重要知识点，学好了它对其他数学知识的学习及贯穿运用有很大的帮助，因此在首轮复习有必要再对其进行专题复习。
二、学情分析学生虽已学完了立体几何，也对立体几何有了一定的认识，但由于空间角是一个难点，一般的方法是由“作、证、算”三部分组成，学生对作出空间角的方法即如何化空间角为平面角并在可解三角形中来求解有一定的困难，还不能熟练掌握，而空间向量的引入，使立几问题演绎难度降低，相比较来说过关比较容易，因此有必要对此内容通过引入空间向量的方法进行专题训练，使学生能更好地掌握。
三、教学目标知识基础：空间向量的数量积公式、夹角公式，坐标表示。
认知目标：掌握利用空间向量求空间角（两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角及二面角）的方法，并能熟练准确的求解结果及完整合理的表达。
能力目标：培养学生观察分析、类比转化的能力；体验从“定性”推理到“定量”计算的转化，提高分析问题、解决问题的能力. 使学生更好的掌握化归和转化的思想。
情感目标：激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用数学”的热情.教学重点：1）向量法求空间角的方法和公式；2）空间角与向量夹角的区别和联系。
教学难点：1)两条异面直线的夹角、二面角的平面角与两个空间向量的夹角之间的区别；2)构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标. 关 键： 建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量的坐标,将几何问题转化为代数问题.四、教学方法：启发式讲解互动式讨论研究式探索反馈式评价 五、教学手段：借助多媒体辅助教学 六、教学过程：教师教学活动学生参与活动设计意图 教师提出问题：1、异面直线所成的角、线面角、二面角的X 围分别是什么？2、两向量夹角的X 围是什么？3、向量的有关知识（1）两向量数量积的定义 （2）两向量夹角公式（3）什么是直线的方向向量？什么是平面的法向量？（4）如何用直线的方向向量和平面的法向量证明线面间的平行与垂直？ 提问学生，学生一一作出回答。
高中数学_利用空间向量求空间角教学设计学情分析教材分析课后反思
利用空间向量求空间角一、高考考纲要求：能用向量方法解决异面直线夹角、线面角、面面角问题。
体会向量法在立体几何中的应用。
二、命题趋势：在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多。
三、教学目标知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力；情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力。
四、教学重难点重点：复习向量法求空间角的方法与步骤。
(重点)难点：强化向量法求空间角公式的理解。
(难点)五、教学过程板书设计：课题思维导图例题例题板演利用空间向量求空间角人教B版选修2-1学情分析学生虽已学完立体几何，也对立体几何有了一定认识，但由于空间角是一个难点，一般的方法是由“作，证，算”三部分组成，学生对做出空间角的方法即如何化空间角为平面角，并在可解三角形中求解有一定的困难，还不能熟练掌握，而空间向量的引入，使立体几何问题难度降低，相比较来说过关比较容易，因此有必要对此内容通过引入空间向量的方法进行专题训练，使学生更好的掌握。
学生已经分节对每一个空间角进行了学习，有些混淆，需要通过思维导图形成知识框架，讨论解决模糊知识，清除知识障碍，并准确迅速求空间角。
利用空间向量求空间角人教B版选修2-1效果分析新课程提倡自主、合作、探究的学习方式，课堂教学效率是学生学习成绩提高的关键。
教师应着力构建自主的课堂，让学生在生动、活泼的状态中高效率地学习。
如何才能提高课堂教学的有效性，我在本节课中的教学中主要运用了以下几种方法。
一、创设数学学习情境，激发学生的学习兴趣“兴趣是最好的老师,有兴趣不是负担”,这句话饱含深刻的道理。
利用向量法求空间角教案
利用向量法求空间角-经典教案教案章节一：向量基础教学目标：1. 理解向量的概念及其表示方法。
2. 掌握向量的运算规则，包括加法、减法、数乘和点乘。
教学内容：1. 向量的定义及表示方法。
2. 向量的运算规则：a) 向量加法：三角形法则和平行四边形法则。
b) 向量减法：向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量。
c) 数乘：一个实数乘以一个向量，得到一个新的向量，其实数乘以原向量的模，新向量的方向与原向量相同。
d) 点乘：两个向量的点乘，得到一个实数，表示两个向量的夹角的余弦值。
教学活动：1. 通过实际操作，让学生直观地理解向量的概念和表示方法。
2. 通过例题，让学生掌握向量的运算规则。
教案章节二：空间向量教学目标：1. 理解空间向量的概念及其表示方法。
2. 掌握空间向量的运算规则，包括空间向量的加法、减法、数乘和点乘。
教学内容：1. 空间向量的定义及表示方法。
2. 空间向量的运算规则：a) 空间向量加法：三角形法则和平行四边形法则。
b) 空间向量减法：空间向量减去另一个空间向量等于加上这个空间向量的相反空间向量。
c) 空间向量的数乘：一个实数乘以一个空间向量，得到一个新的空间向量，其实数乘以原空间向量的模，新空间向量的方向与原空间向量相同。
d) 空间向量的点乘：两个空间向量的点乘，得到一个实数，表示两个空间向量的夹角的余弦值。
教学活动：1. 通过实际操作，让学生直观地理解空间向量的概念和表示方法。
2. 通过例题，让学生掌握空间向量的运算规则。
教案章节三：向量的投影教学目标：1. 理解向量的投影的概念及其计算方法。
2. 掌握向量的正交投影和斜投影的计算方法。
教学内容：1. 向量的投影的定义及计算方法。
2. 向量的正交投影和斜投影的计算方法：a) 向量的正交投影：将向量投影到垂直于某一平面的向量上，得到的投影向量与投影平面垂直。
b) 向量的斜投影：将向量投影到某一平面上，得到的投影向量与投影平面不垂直。
利用向量法求空间角-教案
利用向量法求空间角-经典教案第一章：向量法概述1.1 向量的概念向量的定义向量的表示方法向量的几何性质1.2 向量的运算向量的加法向量的减法向量的数乘向量的点积向量的叉积1.3 向量法在空间角求解中的应用向量法求解空间角的基本思路向量法与传统解法的比较第二章：空间向量基本定理2.1 空间向量基本定理的定义空间向量基本定理的表述空间向量基本定理的意义2.2 空间向量基本定理的证明向量加法的平行性质向量数乘的分配性质向量点积的性质2.3 空间向量基本定理的应用利用空间向量基本定理求解空间角空间向量基本定理在其他几何问题中的应用第三章：空间向量的线性运算3.1 空间向量的线性组合线性组合的定义线性组合的运算规则3.2 空间向量空间的线性相关性线性相关的定义线性相关的判定条件3.3 空间向量空间的基底基底的概念基底的选取方法第四章：空间向量的内积与距离4.1 空间向量的内积内积的定义内积的运算规则4.2 空间向量的距离距离的定义距离的运算规则4.3 空间向量的内积与距离的应用利用内积与距离求解空间角内积与距离在其他几何问题中的应用第五章：空间向量的外积与向量积5.1 空间向量的外积外积的定义外积的运算规则5.2 空间向量积向量积的定义向量积的运算规则5.3 空间向量的外积与向量积的应用利用外积与向量积求解空间角外积与向量积在其他几何问题中的应用第六章：空间向量法求解空间角6.1 空间向量的加法与减法空间向量的加法运算空间向量的减法运算运算过程中的注意事项6.2 空间向量的数乘空间向量的数乘定义数乘对向量几何性质的影响6.3 空间向量的点积点积的定义与运算规则点积的性质与应用6.4 空间向量的叉积叉积的定义与运算规则叉积的性质与应用第七章：空间向量法在立体几何中的应用7.1 立体几何中的基本概念点、线、面的关系立体几何中的各类角度定义7.2 利用空间向量法求解立体几何问题求解空间角的步骤与方法向量法在立体几何中的应用案例7.3 空间向量法在立体几何教学中的意义提高学生的空间想象能力培养学生的逻辑思维能力第八章：空间向量法在现实生活中的应用8.1 空间向量在导航与定位中的应用导航与定位的基本原理空间向量在导航与定位中的应用案例8.2 空间向量在运动规划中的应用运动规划的基本概念空间向量在运动规划中的应用案例8.3 空间向量在其他现实生活中的应用建筑设计中的空间向量应用航空航天领域的空间向量应用第九章：空间向量法的拓展与延伸9.1 空间向量与线性代数的关系线性代数基本概念回顾空间向量与线性代数之间的联系9.2 空间向量法在其他学科中的应用物理学中的空间向量应用计算机科学中的空间向量应用9.3 空间向量法的进一步研究空间向量法的优化与发展空间向量法在未来的研究方向第十章：空间向量法教学实践与反思10.1 空间向量法教学设计教学目标与内容的安排教学方法与手段的选择10.2 空间向量法教学效果评估学生学习情况的分析教学方法的调整与改进10.3 空间向量法教学反思教学过程中的优点与不足对未来教学的展望与计划重点和难点解析重点一：向量的概念与表示方法向量是既有大小，又有方向的量，通常用箭头表示。
利用向量法求空间角》教案
利用向量法求空间角一、教学目标1. 让学生掌握空间向量的基本概念和性质。
2. 让学生学会使用向量法求解空间角。
3. 培养学生解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 空间向量的基本概念和性质。
2. 向量法求解空间角的基本步骤。
3. 实际问题中的应用案例。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解空间向量的基本概念和性质。
2. 采用演示法，展示向量法求解空间角的步骤。
3. 采用案例教学法，分析实际问题中的应用。
四、教学步骤1. 引入空间向量的概念，讲解其基本性质。
2. 讲解向量法求解空间角的基本步骤。
3. 分析实际问题中的应用案例，引导学生运用向量法解决问题。
五、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 选择一个实际问题，尝试运用向量法解决。
六、教学评价1. 课堂讲解：观察学生对空间向量概念和性质的理解程度。
2. 课后作业：检查学生对向量法求解空间角的掌握情况。
3. 实际问题解决：评估学生在实际问题中的应用能力。
七、教学资源1. 教案、PPT、教材等相关教学资料。
2. 计算机、投影仪等教学设备。
3. 实际问题案例库。
八、教学时间1课时（45分钟）九、教学重点与难点1. 空间向量的基本概念和性质。
2. 向量法求解空间角的基本步骤。
3. 实际问题中的应用案例。
十、教学PPT内容1. 空间向量的基本概念和性质。
2. 向量法求解空间角的基本步骤。
3. 实际问题中的应用案例。
十一、教学案例案例一：求解空间直角坐标系中两向量的夹角。
案例二：求解空间四边形的对角线夹角。
案例三：求解空间旋转体的主轴与旋转轴的夹角。
十二、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对空间向量法的理解和应用能力。
十三、教学拓展1. 研究空间向量在几何中的应用。
2. 探索向量法在物理学、工程学等领域的应用。
十四、教学建议1. 注重学生空间想象能力的培养。
2. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提高课堂氛围。
利用向量法求空间角教案
利用向量法求空间角-经典教案教案章节：一、向量法求空间角的概念教学目标：1. 了解向量法求空间角的概念。
2. 掌握向量法求空间角的基本方法。
教学内容：1. 向量法求空间角的概念介绍。
2. 向量法求空间角的计算方法。
教学步骤：1. 引入向量法求空间角的概念，解释空间角的概念。
2. 讲解向量法求空间角的计算方法，通过示例进行演示。
3. 进行练习，让学生巩固向量法求空间角的方法。
教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对向量法求空间角概念的理解。
2. 通过练习题，检查学生对向量法求空间角计算方法的掌握。
二、向量法求空间角的计算方法教学目标：1. 掌握向量法求空间角的计算方法。
2. 能够应用向量法求解空间角的问题。
教学内容：1. 向量法求空间角的计算方法介绍。
2. 向量法求空间角的计算实例。
教学步骤：1. 复习向量法求空间角的概念，引入计算方法。
2. 讲解向量法求空间角的计算步骤，通过示例进行演示。
3. 进行练习，让学生巩固向量法求空间角的计算方法。
教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对向量法求空间角计算方法的理解。
2. 通过练习题，检查学生对向量法求解空间角问题的能力。
三、向量法求空间角的练习题教学目标：1. 巩固向量法求空间角的计算方法。
2. 提高学生应用向量法求解空间角问题的能力。
教学内容：1. 向量法求空间角的练习题。
教学步骤：1. 给出向量法求空间角的练习题，让学生独立完成。
2. 对学生的答案进行讲解和指导，解决学生在解题过程中遇到的问题。
3. 进行练习，让学生进一步巩固向量法求空间角的计算方法。
教学评估：1. 通过练习题，检查学生对向量法求解空间角问题的能力。
2. 通过学生的解题过程，了解学生对向量法求空间角计算方法的掌握情况。
四、向量法求空间角的拓展与应用教学目标：1. 了解向量法求空间角的拓展与应用。
2. 能够应用向量法解决实际问题中的空间角问题。
教学内容：1. 向量法求空间角的拓展与应用介绍。
向量法求空间角(经典导学案及练习答案详解)
§7.7 向量法求空间角学习目标 能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用．知识梳理1．异面直线所成的角若异面直线l 1，l 2所成的角为θ，其方向向量分别是u ，v ，则cos θ＝|cos 〈u ，v 〉|＝|u·v ||u||v |. 2．直线与平面所成的角如图，直线AB 与平面α相交于点B ，设直线AB 与平面α所成的角为θ，直线AB 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，则sin θ＝|cos 〈u ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪u ·n |u ||n |＝|u·n||u||n|.3．平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n 1和n 2，则平面α与平面β的夹角即为向量n 1和n 2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|. 常用结论1．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a ，n 〉|. 2．二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( × )(2)直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l 与平面α 所成的角．( × ) (3)二面角的平面角为θ，则两个面的法向量的夹角也是θ.( × )(4)两异面直线夹角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2，直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( √ ) 教材改编题1．已知直线l 1的方向向量s 1＝(1,0,1)与直线l 2的方向向量s 2＝(－1,2，－2)，则l 1和l 2夹角的余弦值为( ) A.24 B.12 C.22 D.32答案 C解析 因为s 1＝(1,0,1)，s 2＝(－1,2，－2)， 所以cos 〈s 1，s 2〉＝s 1·s 2|s 1||s 2|＝－1－22×3＝－22.所以l 1和l 2夹角的余弦值为22. 2．已知向量m ，n 分别是直线l 的方向向量、平面α的法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l与α所成的角为________． 答案 30°解析 设直线l 与α所成角为θ， sin θ＝||cos 〈m ，n 〉＝12，又∵θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴θ＝30°. 3．已知两平面的法向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这两个平面夹角的余弦值为______． 答案 156解析|(0，－1，3)·(2，2，4)|1＋9×4＋4＋16＝156.题型一 异面直线所成的角例1 (1)(2022·大庆模拟)如图，已知棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E ，F ，G 分别为AB ，CD 1，AD 的中点，则异面直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为( )A ．0 B.1010C.22D ．1答案 A解析 如图，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A 1(2,0,2)，G (1,0,0)， E (2,1,0)，F (0,1,1)，所以A 1G —→＝(－1,0，－2)，EF →＝(－2,0,1)， 设异面直线A 1G 与EF 所成的角为θ， 则cos θ＝|A 1G —→·EF →||A 1G —→||EF →|＝|(－1)×(－2)－2×1|5×5＝0.(2)(2022·杭州模拟)如图，已知圆锥CO 的截面△ABC 是正三角形，AB 是底面圆O 的直径，点D 在AB ︵上，且∠AOD ＝2∠BOD ，则异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为( )A.34 B.12 C.14 D.34答案 A解析 因为∠AOD ＝2∠BOD ， 且∠AOD ＋∠BOD ＝π，所以∠BOD ＝π3，连接CO ，则CO ⊥平面ABD ，以点O 为坐标原点，OB ，OC 所在直线分别为y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设圆O 的半径为2，则A (0，－2,0)，B (0,2,0)，C (0,0，23)，D (3，1,0)， AD →＝(3，3,0)，BC →＝(0，－2,23)， 设异面直线AD 与BC 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈AD →，BC →〉|＝|AD →·BC →||AD →||BC →|＝|－6|23×4＝34，因此，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为34. 教师备选如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，BC ＝2，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与A 1C 所成的角为( )A.π2B.π3C.π4D.π6 答案 B解析 以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，A 1(0,0，2)，B (2，0,0)， C (0，2，0)，∴D ⎝⎛⎭⎫22，22，0， ∴AD →＝⎝⎛⎭⎫22，22，0，A 1C —→＝(0，2，－2)，∴cos 〈AD →，A 1C —→〉＝AD →·A 1C —→|AD →||A 1C —→|＝12，∴即异面直线AD ，A 1C 所成角为π3.思维升华 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系；(2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)注意两异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．跟踪训练1 (1)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，AF →＝λAD →，若异面直线D 1E 和A 1F 所成角的余弦值为3210，则λ的值为______．答案 13解析 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，正方体的棱长为2，则A 1(2,0,2)，D 1(0,0,2)，E (0,2,1)，A (2,0,0)， ∴D 1E —→＝(0,2，－1)， A 1F —→＝A 1A —→＋AF →＝A 1A —→＋λAD → ＝(－2λ，0，－2)．∴cos 〈A 1F —→，D 1E —→〉＝A 1F —→·D 1E —→|A 1F —→||D 1E —→|＝22λ2＋1×5＝3210，解得λ＝13⎝⎛⎭⎫λ＝－13舍. (2)(2022·武汉模拟)若在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠A 1AC ＝∠BAC ＝60°，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，AA 1＝AC ＝AB ，则异面直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值为________． 答案24解析 令M 为AC 的中点，连接MB ，MA 1， 由题意知△ABC 是等边三角形， 所以BM ⊥AC ，同理，A 1M ⊥AC ， 因为平面A 1ACC 1⊥平面ABC ， 平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ， BM ⊂平面ABC ， 所以BM ⊥平面A 1ACC 1， 因为A 1M ⊂平面A 1ACC 1， 所以BM ⊥A 1M ，所以AC ，BM ，A 1M 两两垂直，以M 为坐标原点，MA →，MB →，MA 1—→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AA 1＝AC ＝AB ＝2，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，A 1(0,0，3)， C 1(－2,0，3)，所以AC 1—→＝(－3,0，3)，A 1B —→＝(0，3，－3)， 所以cos 〈AC 1—→，A 1B —→〉＝－323×6＝－24，故异面直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值为24. 题型二 直线与平面所成的角例2 (2022·广州模拟)在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，点E 是边AB 的中点(如图1)，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，连接A 1B ，A 1C ，得到四棱锥A 1－BCDE (如图2)．(1)证明：平面A 1BE ⊥平面BCDE ；(2)若A 1E ⊥BE ，连接CE ，求直线CE 与平面A 1CD 所成角的正弦值． (1)证明 连接图1中的BD ，如图所示．因为四边形ABCD 为菱形，且∠BAD ＝60°， 所以△ABD 为等边三角形，所以DE ⊥AB ， 所以在图2中有DE ⊥BE ，DE ⊥A 1E ， 因为BE ∩A 1E ＝E ，BE ，A 1E ⊂平面A 1BE ， 所以DE ⊥平面A 1BE ， 因为DE ⊂平面BCDE ， 所以平面A 1BE ⊥平面BCDE .(2)解 因为平面A 1BE ⊥平面BCDE ，平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，A 1E ⊥BE ，A 1E ⊂平面A 1BE ，所以A 1E ⊥平面BCDE ，以E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，所以A 1(0,0,1)，C (2，3，0)，D (0，3，0)， E (0,0,0)，所以A 1D —→＝(0，3，－1)，A 1C —→＝(2，3，－1)，EC →＝(2，3，0)， 设平面A 1CD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1D —→＝3y －z ＝0，n ·A 1C —→＝2x ＋3y －z ＝0，令y ＝1，则n ＝(0,1，3)，所以cos 〈n ，EC →〉＝n ·EC →|n ||EC →|＝327＝2114，所以直线CE 与平面A 1CD 所成角的正弦值为2114. 教师备选(2020·新高考全国Ⅰ)如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD .设平面P AD 与平面PBC 的交线为l .(1)证明：l ⊥平面PDC ；(2)已知PD ＝AD ＝1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值． (1)证明 在正方形ABCD 中，AD ∥BC ， 因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以AD ∥平面PBC ，又因为AD ⊂平面P AD ，平面P AD ∩平面PBC ＝l ， 所以AD ∥l ，因为在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形， 所以AD ⊥DC ，所以l ⊥DC ，因为PD ⊥平面ABCD ，所以AD ⊥PD ， 所以l ⊥PD ，因为DC ∩PD ＝D ，PD ，DC ⊂平面PDC ， 所以l ⊥平面PDC .(2)解 以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，因为PD ＝AD ＝1，则有D (0,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)，B (1，1,0)， 因为平面P AD ∩平面PBC ＝l ， 所以l 过点P ，设Q (m ，0,1)，则有DC →＝(0,1,0)，DQ →＝(m ，0,1)，PB →＝(1,1，－1)，设平面QCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧DC →·n ＝0，DQ →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，mx ＋z ＝0，令x ＝1，则z ＝－m ，所以平面QCD 的一个法向量为n ＝(1,0，－m )， 则cos 〈n ，PB →〉＝n ·PB →|n ||PB →|＝1＋0＋m 3·m 2＋1. 记PB 与平面QCD 所成的角为θ，根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值， 则sin θ＝|cos 〈n ，PB →〉|＝|1＋m |3·m 2＋1，当m ＝0时，sin θ＝33， 当m ≠0时，sin θ＝|1＋m |3·m 2＋1＝33·1＋2m ＋m 2m 2＋1＝33·1＋2mm 2＋1≤33·1＋2|m |m 2＋1≤33·1＋1＝63，当且仅当m ＝1时取等号，所以直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为63. 思维升华 利用空间向量求线面角的解题步骤跟踪训练2 (2022·全国百校联考)如图所示，在三棱锥S －BCD 中，平面SBD ⊥平面BCD ，A 是线段SD 上的点，△SBD 为等边三角形，∠BCD ＝30°，CD ＝2DB ＝4.(1)若SA ＝AD ，求证：SD ⊥CA ；(2)若直线BA 与平面SCD 所成角的正弦值为419565，求AD 的长．(1)证明 依题意，BD ＝2，在△BCD 中，CD ＝4，∠BCD ＝30°， 由余弦定理求得BC ＝23， ∴CD 2＝BD 2＋BC 2，即BC ⊥BD .又平面SBD ⊥平面BCD ，平面SBD ∩平面BCD ＝BD ，BC ⊂平面BCD ， ∴BC ⊥平面SBD .从而BC ⊥SD ， 在等边△SBD 中，SA ＝AD ，则BA ⊥SD . 又BC ∩BA ＝B ，BC ，BA ⊂平面BCA ， ∴SD ⊥平面BCA ，又CA ⊂平面BCA ， ∴SD ⊥CA .(2)解 以B 为坐标原点，BC ，BD 所在直线分别为x 轴、y 轴，过点B 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，C (23，0,0)，D (0,2,0)，S (0,1，3)，故CD →＝(－23，2,0)，SD →＝(0,1，－3)， 设平面SCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝0，m ·SD →＝0，即⎩⎨⎧－23x ＋2y ＝0，y －3z ＝0，取x ＝1，则y ＝3，z ＝1， ∴m ＝(1，3，1)， 设DA →＝λDS →(0≤λ≤1)，则DA →＝(0，－λ，3λ)，故A (0,2－λ，3λ)，则BA →＝(0,2－λ，3λ)， 设直线BA 与平面SCD 所成角为θ， 故sin θ＝||cos 〈m ，BA →〉＝|m ·BA →||m ||BA →|＝|23－3λ＋3λ|5·(2－λ)2＋3λ2＝419565，解得λ＝14或λ＝34，则AD ＝12或AD ＝32.题型三 平面与平面的夹角例3 (12分)(2021·新高考全国Ⅰ)如图，在三棱锥A －BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB ＝AD ，O 为BD 的中点．(1)证明：OA ⊥CD; [切入点：线线垂直转化到线面垂直](2)若△OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，DE ＝2EA ，且二面角E －BC －D 的大小为45°，求三棱锥A －BCD 的体积. [关键点：建系写坐标]教师备选(2020·全国Ⅰ改编)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝66DO.(1)证明：P A⊥平面PBC；(2)求平面BPC与平面EPC的夹角的余弦值．(1)证明由题设，知△DAE为等边三角形，设AE＝1，则DO＝32，CO＝BO＝12AE＝12，所以PO＝66DO＝24，PC＝PO2＋OC2＝64，同理PB ＝64，P A ＝64， 又△ABC 为等边三角形， 则BA sin 60°＝2OA ，所以BA ＝32， P A 2＋PB 2＝34＝AB 2，则∠APB ＝90°，所以P A ⊥PB ，同理P A ⊥PC ， 又PC ∩PB ＝P ，PC ，PB ⊂平面PBC ， 所以P A ⊥平面PBC .(2)解 过O 作ON ∥BC 交AB 于点N ，因为PO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，ON 所在直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E ⎝⎛⎭⎫－12，0，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，24， B ⎝⎛⎭⎫－14，34，0，C ⎝⎛⎭⎫－14，－34，0，PC →＝⎝⎛⎭⎫－14，－34，－24，PB →＝⎝⎛⎭⎫－14，34，－24，PE →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，－24，设平面PCB 的一个法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PB →＝0，得⎩⎨⎧－x 1－3y 1－2z 1＝0，－x 1＋3y 1－2z 1＝0，令x 1＝2，得z 1＝－1，y 1＝0， 所以n ＝(2，0，－1)，设平面PCE 的一个法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·PC →＝0，m ·PE →＝0，得⎩⎨⎧－x 2－3y 2－2z 2＝0，－2x 2－2z 2＝0，令x 2＝1，得z 2＝－2，y 2＝33，所以m ＝⎝⎛⎭⎫1，33，－2， 故cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |＝223×103＝255， 所以平面BPC 与平面EPC 的夹角的余弦值为255.思维升华 利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤跟踪训练3 (2021·全国乙卷改编)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ＝1，M 为BC 的中点，且PB ⊥AM .(1)求BC ；(2)求平面APM 与平面BPM 夹角的正弦值．解 (1)因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，PD ⊥DC .在矩形ABCD 中，AD ⊥DC ，故以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设BC ＝t ，则A (t ，0,0)，B (t ，1,0)， M ⎝⎛⎭⎫t 2，1，0，P (0,0,1)，所以PB →＝(t ，1，－1)，AM →＝⎝⎛⎭⎫－t 2，1，0.因为PB ⊥AM ，所以PB →·AM →＝－t 22＋1＝0，得t ＝2，所以BC ＝ 2.(2)易知C (0,1,0)，由(1)可得AP →＝(－2，0,1)，AM →＝⎝⎛⎭⎫－22，1，0，CB →＝(2，0,0)，PB →＝(2，1，－1)．设平面APM 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AP →＝0，n 1·AM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1＋z 1＝0，－22x 1＋y 1＝0，令x 1＝2，则z 1＝2，y 1＝1，所以平面APM 的一个法向量为n 1＝(2，1,2)． 设平面PMB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CB →＝0，n 2·PB →＝0，即⎩⎨⎧2x 2＝0，2x 2＋y 2－z 2＝0，得x 2＝0，令y 2＝1，则z 2＝1，所以平面PMB 的一个法向量为n 2＝(0,1,1)． 设平面APM 与平面BPM 夹角为θ， cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝37×2＝31414， sin θ＝1－cos 2θ＝7014. 所以平面APM 与平面BPM 夹角的正弦值为7014. 课时精练1．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°.(1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； (2)求平面A 1BD 与平面A 1AD 所成角的正弦值．解 在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E . 因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD .如图，以{AE →，AD →，AA 1—→}为一个正交基底，建立空间直角坐标系，因为AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°， 则A (0,0,0)，B (3，－1,0)，D (0,2,0)， E (3，0,0)，A 1(0,0，3)，C 1(3，1，3)． (1)A 1B —→＝(3，－1，－3)，AC 1—→＝(3，1，3)． 则cos 〈A 1B —→，AC 1—→〉＝A 1B —→·AC 1—→|A 1B —→||AC 1—→|＝3－1－37×7＝－17.因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17.(2)可知平面A 1AD 的一个法向量为 AE →＝(3，0,0)，设m ＝(x ，y ，z )为平面A 1BD 的一个法向量， 又A 1B —→＝(3，－1，－3)，BD →＝(－3，3,0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1B —→＝0，m ·BD →＝0，即⎩⎨⎧3x －y －3z ＝0，－3x ＋3y ＝0.不妨取x ＝3，则y ＝3，z ＝2.所以m ＝(3，3，2)为平面A 1BD 的一个法向量， 从而cos 〈AE →，m 〉＝AE →·m |AE →||m|＝333×4＝34.设平面A 1BD 与平面A 1AD 所成的角为θ， 则cos θ＝34.所以sin θ＝1－cos 2θ＝74.因此平面A1BD与平面A1AD所成角的正弦值为7 4.2．(2021·浙江)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB ＝1，BC＝4，P A＝15，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD.(1)证明：AB⊥PM；(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值．(1)证明因为底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，BC＝4，AB＝1，且M为BC的中点，所以CM＝2，CD＝1，∠DCM＝60°，易得CD⊥DM.又PD⊥DC，且PD∩DM＝D，PD，DM⊂平面PDM，所以CD⊥平面PDM.因为AB∥CD，所以AB⊥平面PDM.又PM⊂平面PDM，所以AB⊥PM.(2)解方法一由(1)知AB⊥平面PDM，所以∠NAB为直线AN与平面PDM所成角的余角．连接AM，因为PM⊥MD，PM⊥DC，所以PM⊥平面ABCD，所以PM⊥AM.因为∠ABC＝120°，AB＝1，BM＝2，所以由余弦定理得AM＝7，又P A＝15，所以PM＝22，所以PB＝PC＝23，连接BN，结合余弦定理得BN＝11.连接AC ，则由余弦定理得AC ＝21， 在△P AC 中，结合余弦定理得 P A 2＋AC 2＝2AN 2＋2PN 2， 所以AN ＝15.所以在△ABN 中，cos ∠BAN ＝AB 2＋AN 2－BN 22AB ·AN ＝1＋15－11215＝156.设直线AN 与平面PDM 所成的角为θ， 则sin θ＝cos ∠BAN ＝156. 方法二 因为PM ⊥MD ，PM ⊥DC ， 所以PM ⊥平面ABCD . 连接AM ，则PM ⊥AM .因为∠ABC ＝120°，AB ＝1，BM ＝2， 所以AM ＝7，又P A ＝15，所以PM ＝22， 由(1)知CD ⊥DM ，过点M 作ME ∥CD 交AD 于点E ， 则ME ⊥MD .故可以以M 为坐标原点，MD ，ME ，MP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (－3，2,0)，P (0,0,22)，C (3，－1,0)， 所以N ⎝⎛⎭⎫32，－12，2.所以AN →＝⎝⎛⎭⎫332，－52，2.易知平面PDM 的一个法向量为n ＝(0,1,0)． 设直线AN 与平面PDM 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AN →，n 〉|＝|AN →·n ||AN →||n |＝5215＝156.3.(2022·汕头模拟)如图，在圆柱OO 1中，四边形ABCD 是其轴截面，EF 为⊙O 1的直径，且EF ⊥CD ，AB ＝2，BC ＝a (a >1)．(1)求证：BE ＝BF ；(2)若直线AE 与平面BEF 所成角的正弦值为63，求平面ABE 与平面BEF 夹角的余弦值． (1)证明 如图，连接BO 1，在圆柱OO 1中， BC ⊥平面CEDF ，∵EF ⊂平面CEDF ，∴EF ⊥BC ， ∵EF ⊥CD ，BC ∩CD ＝C ，BC ， CD ⊂平面ABCD ， ∴EF ⊥平面ABCD ， 又BO 1⊂平面ABCD ， ∴EF ⊥BO 1，∵在△BEF 中，O 1为EF 的中点，∴BE ＝BF . (2)解 连接OO 1，则OO 1与该圆柱的底面垂直，以点O 为坐标原点，OB ，OO 1所在直线分别为y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，B (0,1,0)，E (－1,0，a )， F (1,0，a )，AE →＝(－1,1，a )，BE →＝(－1，－1，a )，BF →＝(1，－1，a )， 设平面BEF 的法向量是n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·BE →＝0，n 1·BF →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－y 1＋az 1＝0，x 1－y 1＋az 1＝0， 取z 1＝1，得n 1＝(0，a ，1)，设直线AE 与平面BEF 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AE →，n 1〉| ＝2a a 2＋2·a 2＋1＝63， 化简得(a 2－2)(a 2－1)＝0，∵a >1，解得a ＝2，∴n 1＝(0，2，1)，设平面ABE 的法向量是n 2＝(x 2，y 2，z 2)，AB →＝(0,2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·AB →＝0，n 2·AE →＝0，得⎩⎨⎧2y 2＝0，－x 2＋y 2＋2z 2＝0， 取z 2＝1，得n 2＝(2，0,1)，设平面ABE 与平面BEF 的夹角为α，则cos α＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝13， ∴平面ABE 与平面BEF 夹角的余弦值为13.4.(2021·全国甲卷改编)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 为正方形，AB ＝BC ＝2，E ，F 分别为AC 和CC 1的中点，D 为棱A 1B 1上的点，BF ⊥A 1B 1.(1)证明：BF ⊥DE ；(2)当B 1D 为何值时，平面BB 1C 1C 与平面DFE 夹角的正弦值最小？(1)证明 因为E ，F 分别是AC 和CC 1的中点，且AB ＝BC ＝2，所以CF ＝1，BF ＝ 5. 如图，连接AF ，由BF ⊥A 1B 1，AB ∥A 1B 1，得BF ⊥AB ，于是AF ＝BF 2＋AB 2＝3，所以AC ＝AF 2－CF 2＝2 2.由AB 2＋BC 2＝AC 2，得BA ⊥BC ，故以B 为坐标原点，以BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则B (0,0,0)，E (1,1,0)，F (0,2,1)，BF →＝(0,2,1)．设B 1D ＝m (0≤m ≤2)，则D (m ，0,2)，于是DE →＝(1－m ，1，－2)．所以BF →·DE →＝0，所以BF ⊥DE .(2)解 易知平面BB 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(1,0,0)．设平面DFE 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ DE →·n 2＝0，EF →·n 2＝0， 又DE →＝(1－m ，1，－2)，EF →＝(－1,1,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧(1－m )x ＋y －2z ＝0，－x ＋y ＋z ＝0， 令x ＝3，得y ＝m ＋1，z ＝2－m ，于是平面DFE 的一个法向量为n 2＝(3，m ＋1,2－m )，所以cos 〈n 1，n 2〉＝32⎝⎛⎭⎫m －122＋272. 设平面BB 1C 1C 与平面DFE 的夹角为θ，则sin θ＝1－cos 2〈n 1，n 2〉，故当m ＝12时，平面BB 1C 1C 与平面DFE 夹角的正弦值最小，为33，即当B 1D ＝12时，平面BB1C1C与平面DFE夹角的正弦值最小．。
《利用向量法求空间角》教案
《利用向量法求空间角》教案一、教学目标1. 让学生掌握空间向量的基本概念及其运算法则。
2. 培养学生利用向量法求空间角的能力。
3. 提高学生对空间几何图形直观感知和分析解决问题的能力。
二、教学内容1. 空间向量的概念及其表示方法。
2. 空间向量的运算法则。
3. 空间向量与空间角的关系。
4. 利用向量法求空间角的方法步骤。
5. 实际应用举例。
三、教学重点与难点1. 教学重点：空间向量的基本概念、运算法则、利用向量法求空间角的方法。
2. 教学难点：空间向量与空间角的关系，利用向量法求空间角的步骤。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解空间向量的基本概念、运算法则和求空间角的方法。
2. 运用案例分析法，分析实际应用问题。
3. 引导学生运用小组合作、讨论交流等方式，提高分析解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：简要回顾二维向量的基本概念及其运算法则，引出空间向量的概念。
2. 讲解空间向量的基本概念及其表示方法，让学生掌握空间向量的定义和表示方法。
3. 讲解空间向量的运算法则，引导学生运用运算法则进行向量运算。
4. 讲解空间向量与空间角的关系，引导学生理解向量法求空间角的依据。
5. 讲解利用向量法求空间角的方法步骤，并通过示例演示求解过程。
6. 开展课堂练习，让学生运用向量法求解空间角的问题。
7. 分析实际应用举例，让学生体会向量法在解决空间几何问题中的应用价值。
9. 布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课后作业：布置有关空间向量运算和空间角求解的习题，检验学生对课堂内容的掌握程度。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态。
3. 小组讨论：评估学生在小组合作、讨论交流中的表现，检验学生对知识的理解和应用能力。
七、教学反思1. 教师应根据学生的实际水平，适当调整教学内容和难度，确保学生能够跟上教学进度。
2. 在教学过程中，注意引导学生运用数学符号和语言进行表达，培养学生的数学思维能力。
《利用向量法求空间角》教案
《利用向量法求空间角》教案一、教学目标：1. 让学生掌握空间向量的基本概念和性质。
2. 培养学生利用向量法求空间角的能力。
3. 提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 空间向量的基本概念和性质。
2. 空间向量的加法、减法、数乘和数量积。
3. 空间向量的坐标表示和运算。
4. 利用向量法求空间角的方法和步骤。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：空间向量的基本概念和性质，向量的加法、减法、数乘和数量积，空间向量的坐标表示和运算，利用向量法求空间角的方法和步骤。
2. 教学难点：空间向量的坐标表示和运算，利用向量法求空间角的方法和步骤。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解空间向量的基本概念和性质，向量的加法、减法、数乘和数量积，空间向量的坐标表示和运算，利用向量法求空间角的方法和步骤。
2. 采用案例分析法，分析实际问题，引导学生运用向量法求解空间角。
3. 采用互动教学法，鼓励学生提问、讨论，提高学生的参与度和积极性。
五、教学安排：1. 第一课时：讲解空间向量的基本概念和性质。
2. 第二课时：讲解向量的加法、减法、数乘和数量积。
3. 第三课时：讲解空间向量的坐标表示和运算。
4. 第四课时：讲解利用向量法求空间角的方法和步骤，案例分析。
5. 第五课时：课堂练习，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课后作业：布置有关空间向量运算和求空间角的练习题，检验学生对知识的掌握程度。
2. 课堂练习：在课堂上进行实时练习，及时发现并纠正学生的错误。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进学生之间的互动和学习。
4. 期末考试：设置有关空间向量和空间角的题目，全面评估学生对课程内容的掌握情况。
七、教学资源：1. 教材：选用权威、实用的教材，如《高等数学》、《线性代数》等。
2. 课件：制作精美、清晰的课件，辅助讲解和展示。
3. 教学视频：寻找相关的教学视频，为学生提供多角度、直观的学习资源。
4. 练习题库：整理和筛选一批空间向量和空间角的练习题，供学生课后练习使用。
利用向量法求空间角教案
利用向量法求空间角-经典教案第一章：向量基础知识回顾1.1 向量的定义1.2 向量的表示方法1.3 向量的运算规则1.4 向量的长度和方向第二章：空间向量基本概念2.1 空间向量的定义2.2 空间向量的表示方法2.3 空间向量的运算规则2.4 空间向量的坐标表示第三章：向量点积的性质与应用3.1 向量点积的定义与性质3.2 向量点积的坐标表示3.3 向量点积的应用3.4 向量点积与空间角度的关系第四章：向量叉积的性质与应用4.1 向量叉积的定义与性质4.2 向量叉积的坐标表示4.3 向量叉积的应用4.4 向量叉积与空间角度的关系第五章：空间角度的计算方法5.1 空间角度的定义5.2 空间角度的计算方法5.3 空间角度的坐标表示5.4 利用向量法求空间角度的实例分析第六章：空间向量投影6.1 向量投影的概念6.2 向量在坐标轴上的投影6.3 向量的直角坐标投影6.4 向量投影在空间角度求解中的应用第七章：空间向量的分解7.1 向量分解的概念7.2 向量的线性组合7.3 向量的正交分解7.4 向量分解在空间角度求解中的应用第八章：空间向量夹角8.1 向量夹角的定义8.2 向量夹角的计算公式8.3 向量夹角的余弦值8.4 向量夹角在空间角度求解中的应用第九章：空间向量长度的求解9.1 向量长度的定义9.2 向量长度的计算公式9.3 向量长度的坐标表示9.4 向量长度在空间角度求解中的应用第十章：空间向量垂直与平行的判断10.1 向量垂直的判断10.2 向量平行的判断10.3 向量垂直和平行的坐标表示10.4 向量垂直和平行在空间角度求解中的应用第十一章：空间向量组的线性相关性11.1 线性相关的定义11.2 线性相关的判定条件11.3 线性相关的坐标表示11.4 线性相关性在空间角度求解中的应用第十二章：空间向量组的基底12.1 基底的概念12.2 基底的性质12.3 基底的选取方法12.4 基底在空间角度求解中的应用第十三章：空间坐标变换13.1 坐标变换的概念13.2 坐标变换的公式13.3 坐标变换的性质13.4 坐标变换在空间角度求解中的应用第十四章：空间向量方程14.1 空间向量方程的概念14.2 空间向量方程的求解方法14.3 空间向量方程的解的应用14.4 空间向量方程在空间角度求解中的应用第十五章：空间角度的应用案例分析15.1 空间角度在几何中的应用15.2 空间角度在物理学中的应用15.3 空间角度在工程学中的应用15.4 空间角度在其他领域的应用案例分析重点和难点解析本文主要讲解了利用向量法求空间角的相关知识，重点包括向量基础知识、空间向量基本概念、向量点积与叉积的性质与应用、空间角度的计算方法、空间向量投影与分解、空间向量夹角与长度的求解，以及空间向量垂直与平行的判断等。
利用向量法求空间角教案
§3.2.3立体几何中的向量方法——利用空间向量求空间角教学目标1.使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点求解二面角的向量方法 教学难点二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系 教学过程 一、复习引入1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形） 2．向量的有关知识：（1）两向量数量积的定义：><=⋅,cos |||| （2）两向量夹角公式：||||,cos b a >=<（3）平面的法向量：与平面垂直的向量a二、知识讲解与典例分析知识点1：面直线所成的角（范围：]2,0(πθ∈）（1）定义：过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a´与b´，那么直线a´与b´ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a 与b 所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角 设两异面直线a 、b 的方向向量分别为和，问题1：当与的夹角不大于90°时，异面直线a 、b的角与 和 的夹角的关系？问题2：与的夹角大于90°时，，异面直线a 、b与 和的夹角的关系？结论：异面直线a 、b 所成的角的余弦值为|||||,cos |cos n m =><=θ思考：在正方体1111D C B A ABCD -中，若与分别为11B A 、11D C 的四等分点，求异面直线1DF 与1BE 的夹角余弦值？（1）方法总结：①几何法；②向量法（2）><11,cos BE DF 与><B E DF 11,cos 相等吗？ （3）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？例1如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为,侧棱长为a 2，求1AC 和1CB 所成的角. 解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。
《利用向量法求空间角》教案
《利用向量法求空间角》教案一、教学目标1. 让学生掌握空间向量的概念及其表示方法。
2. 培养学生运用向量法求空间角的能力。
3. 引导学生运用数学知识解决实际问题，培养其空间想象能力。
二、教学内容1. 空间向量的概念及其表示方法。
2. 空间向量的坐标运算。
3. 向量法求空间角。
三、教学重点与难点1. 教学重点：空间向量的概念及其表示方法，空间向量的坐标运算，向量法求空间角。
2. 教学难点：空间向量的坐标运算，向量法求空间角。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解空间向量的概念、表示方法及坐标运算。
2. 采用案例分析法，分析并解决实际问题。
3. 采用互动教学法，引导学生积极参与讨论，提高其空间想象力。
五、教学过程1. 导入：通过简单的实例，引导学生思考空间向量的概念及其表示方法。
2. 新课：讲解空间向量的概念、表示方法及坐标运算。
3. 案例分析：分析实际问题，让学生运用向量法求空间角。
4. 互动环节：引导学生积极参与讨论，解决实际问题。
5. 总结：回顾本节课所学内容，强调重点，解答学生疑问。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学目标1. 让学生掌握空间向量的数量积及其运算规则。
2. 培养学生运用数量积求空间角的方法。
3. 引导学生运用数学知识解决实际问题，培养其空间想象能力。
七、教学内容1. 空间向量的数量积及其运算规则。
2. 数量积在求空间角中的应用。
八、教学重点与难点1. 教学重点：空间向量的数量积及其运算规则，数量积在求空间角中的应用。
2. 教学难点：数量积的运算规则，运用数量积求空间角。
九、教学方法1. 采用讲授法，讲解空间向量的数量积及其运算规则。
2. 采用案例分析法，分析并解决实际问题。
3. 采用互动教学法，引导学生积极参与讨论，提高其空间想象力。
十、教学过程1. 导入：通过简单的实例，引导学生思考空间向量的数量积及其运算规则。
2. 新课：讲解空间向量的数量积及其运算规则。
3. 案例分析：分析实际问题，让学生运用数量积求空间角。
用空间向量求夹角教案
用空间向量求夹角教案教案名称：利用空间向量求夹角教学目标：1. 理解空间向量的概念及其基本性质。
2. 熟练应用空间向量求夹角的方法。
3. 培养学生分析和解决实际问题的能力。
教学资源：1. 幻灯片：包括空间向量的定义、性质和求夹角的方法。
2. 实物示例：三维坐标系模型、绳子和固定点，以帮助学生更好地理解空间向量的概念和夹角的含义。
3. 授课工具：黑板、彩色粉笔、直尺等。
教学过程：步骤一：导入/概念讲解（5分钟）1. 开场导入：通过展示三维坐标系模型，引发学生对空间向量的兴趣。
2. 简要介绍空间向量的定义和符号表示。
3. 介绍空间向量的性质：共线、共面、比例性质等。
步骤二：基本操作演练（15分钟）1. 通过实物示例，向学生演示如何利用绳子和固定点进行空间向量的表示和运算。
2. 在黑板上画出一个空间向量的示例，并与学生一起计算其长度和方向角。
3. 引导学生在黑板上进行多个空间向量的示例运算，巩固基本操作。
步骤三：夹角概念引入与探究（10分钟）1. 将两个向量的概念引入夹角的概念，解释夹角的含义及其度量方法。
2. 通过示例，在黑板上画出两个夹角，让学生观察并推测夹角大小。
步骤四：夹角计算方法讲解（10分钟）1. 介绍求夹角的方法：余弦定理及其化简形式、点乘法等。
2. 指导学生进行夹角计算的步骤，强调注意事项和规范写法。
步骤五：综合应用（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生利用空间向量和夹角的知识进行解答。
2. 鼓励学生思考并讨论问题的解决方法，可以分小组活动进行合作解答。
步骤六：归纳总结与拓展（5分钟）1. 与学生一起总结空间向量和夹角相关的重要概念和方法。
2. 引导学生思考如何应用空间向量和夹角的知识解决其他问题，鼓励他们进行进一步的思考和拓展。
步骤七：作业布置（5分钟）1. 布置课后习题，要求学生应用空间向量和夹角的知识解决问题。
2. 鼓励学生进行自主学习和查找相关资料，拓宽对空间向量和夹角的理解。
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利用空间向量求空间角
目标：会用向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的方法；
一、复习回顾向量的有关知识：
（1）两向量数量积的定义：><=⋅,cos ||||（2）两向量夹角公式：|
|||,cos b a b a >=
<
二、知识讲解与典例分析
知识点1：两直线所成的角（范围：]2
,
0(π
θ∈）
（1）定义：过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a´与b´，那么直线a´与b´ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a 与b 所成的角.
（2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a 、b 的方向向量分别为a 和b ， 问题1： 当与的夹角不大于90°时，异面直线
的角θ与 和
的夹角的关系？ 问题 2：与的夹角大于90°时，，异面直线a 、θ与a 和b 的夹角的关系？
结论：异面直线a 、b 所成的角的余弦值为|
||||,cos |cos n m =
><=θ
例1如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和1CB 所成的角. 解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。
2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。
解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则)2,,0(),0,2
1
,23(),2,21,23(),0,0,0(11a a B a a C a a a C A --
∴ )2,21,23(1a a a AC -
=，)2,2
1
,23(1a a a CB = 即21323,cos 22
111111==>=
<a
a
CB AC ∴1AC 和1CB 所成的角为3π
总结: （1）><11,cos BE DF 与><B E DF 11,cos 相等吗？
（2）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？
a
b
α
θ
O
x
x
y
知识点2、直线与平面所成的角（范围：]2
,
0[π
θ∈）
思考：设平面α的法向量为，则><BA n ,与θ的关系？
据图分析可得：结论：
例2、如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值. 分析：直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量2. 求出直线的方向向量3. 求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角
解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则),0,,0(),2,0,0(1a a ==
)2,2
1,23(1a a a AC -
= 设平面B B AA 11的法向量为),,(z y x =
由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅000020
01z y ay az AA n 取1=x ，)0,0,1(=∴ 设1AC 和B B AA 11面所成角为θ
213|
23||,cos |sin 2
211=-=
=
><=∴a
a AC θ ∴1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值
2
1
. 知识点3：二面角（范围：],0[πθ∈）
①方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。
如图，设二面角βα--l 的大小为θ，其中
α⊂⊥CD AB l AB ,,
A
B
θ
αO
结论：
或 归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角. 例3、如图，ABCD 是一直角梯形，
︒=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ，2
1
=
AD ，求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值. 解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则
)1,0,0(),0,2
1
,0(),0,1,1(),0,0,0(S D C A - 易知面SBA 的法向量为)0,21,0(1==AD n ， )1,2
1
,0(),0,21,1(-=-=SD CD
设面SCD 的法向量为),,(2
z y x n =，则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
=-=-02
02z y y x ，取1=z ，得2,1==y x ，)1,2
1
,1(2=∴n
3
6|
|||,cos 212121=
>=
<∴n n n n 即所求二面角的余弦值为
3
6. 练习1：如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．求二面角11C B A A --的余弦值；
解：取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系．设
平面B AA 1
的法向量为()x y z =，，n ．)3,0,1(-=AB ，
1(020)AA =，，．1,AA ⊥⊥ ⎪⎩⎪⎨
⎧=-=•==•∴0
30
211z x y AA 令1z =，得平面1A AD 的一个法向量)1,0,3(=
设平面11BC A 的法向量为),,(c b a v =．)3,2,1
(1-=BA ，)0,2,2(1-=BC ． 1
1,BC ⊥⊥ ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=•=++-=•∴0
220
3211b a BC n c b a BA
令1-=a ，得平面11BC A 的一个法向量)3,1,1(-=v
5
155232,cos =
⨯=>=<v n , 所求的二面角1
1C B A A --的余弦值为515-。
练习2:
如图2，在底面是直角梯形的四棱锥S —A BCD 中，AD//BC ，∠A BC=900，S A ⊥面A BCD ，S A =
2
1
，A B=BC=1，A D=
2
1。
求侧面SCD 与面SB A 所成的二面角的余弦值。
解： 以A 为原点如图建立空间直角坐标系，则S （0，0，2
1
）， A
（0，0，0），B （0，1，0），C （1，1，0），D （2
1
，0，0），
∴)2
1,1,0(),2
1,0,0(-=-= )2
1
,1,1(),
2
1,0,21(-=-=，
显然平面SB A 的一个法向量为1n =(1，0，0)，
设平面SCD 的一个法向量为2=(x ，y ，z )，则2⊥平面SCD ∴ )212(,202200
222,,n z z y x z x n SD n -==⎩⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅则取
则3
2
3121|
|||,cos 212121=⨯⨯=
>=
<n n n n ， 所以面SCD 与面SB A 所成的二面角的余弦值为
3
2。
三、小结： 1．异面直线所成的角： |
||||,cos |cos n m =
><=θ
2
3．二面角：
或 图2。