3抽样误差参数估计
参数估计的基础(8)
可信区间和可信限
❖ 可信区间（confidence interval 简记为CI） 可信区间是以上下可信限为界的一个范围。例如 95%的可信区间为（171.97，173.49）cm。
❖ 可信限（ confidence limit 简记为CL） 可信限是指上限和下限两个点值。如171.97为下限
结果报告：可将点值估计和区间估计同时写出 如 172.72（171.97，173.49）cm
例
该市19岁健康男大学生的身高的95%置信区间 (171.3,173.1)cm
总体均数可信区间的估计
可信 区间
已知
未知 但n足够大
未知 且n小
95% Sx
X±1.96x
X±1.96Sx
99% Sx
X±2 0.05（ ） X±t 0.01（）
（二）、总体概率的置信区间
表3.1 100个样本均数
173.22 172.06 170.89 174.07 172.60 173.14 172.61 172.26 171.93 172.85
175.23 173.76 174.77 172.57 171.76 172.74 173.36 173.69 171.10 173.40
呈正态分布； ④样本均数变异范围较原变量变异范
围大大缩小，这100个样本均数的 均数为167.69cm、标准差为1.69cm。
在非正态分布总体中可进行类似抽样。
数理统计推理和中心极限定理表明:
从 N (, 2 )中随机抽取n例的样本，样本均数 X也服从
正态分布,且
x
~
N
(,
2 x
)
即使从非正态总体中抽取样本，当n足够大（n>30),
本例n=27，S=15
抽样分布与参数估计
三、t分布曲线下的面积分布规律
自由度为 的t分布曲线
t 分布曲线下 的整个面积为1, t 分布曲线下从a到b 的面积为t值分布 在此范围内的百分 比，即t值落在此 范围内的概率P。
双侧：由于t分布以0为中心对称，即 P（t≤- t, ）＝ P（t≥ t, ）＝ /2 于是有P（- t, ≤t≤ t, ）＝1-
sx
u X
X
t X ＝n-1
s X
u分布 t分布
二、t分布图形的特点
• 1. t分布是一簇曲线。 t分布有一个参数， 即自由度 ，与标准差的自由度一致。
• 2. t分布曲线以0为中心，左右对称； 越小， t变量值的离散程度越大，曲线越扁平。
• 3. t分布曲线较标准正态曲线要扁平些（高 峰低些，两尾部翘得高些）， 逐渐增大， t分布曲线逐渐的逼近于标准正态曲线，若 ＝，则t分布曲线和标准正态曲线完全吻 合。
参数估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计
推断统计
点值估计
参数估计
假设检验
区间估计
一、基本概念
➢ 参数估计：用样本统计量来估计总体参数。
点值估计：不计抽样误差，直接用样本均数来 估计μ。
区间估计：根据抽样误差的规律，按一定的概 率估计总体均数的所在范围。统计上习惯用95% 或99%可信区间表示总体均数可能所在范围。
第一节 均数的抽样误差 第二节 t分布 第三节 总体均数可信区间的估计
一、抽样研究:从总体中随机抽取部分 观察单位构成样本，用样本信息去 推断总体特征的研究方法。
统计推断的过程
总体
样
样本统计量
本
例如：样本均
值、比例
二、抽样误差：在抽样研究中，因抽样造 成的样本统计量与样本统计量、样本统计 量与总体参数的差值。
参数估计方法与实例例题和知识点总结
参数估计方法与实例例题和知识点总结在统计学中，参数估计是一项重要的任务，它帮助我们通过样本数据来推断总体的特征。
这一过程对于做出合理的决策、进行科学研究以及解决实际问题都具有关键意义。
接下来，让我们深入探讨参数估计的方法，并通过实例例题来加深理解，同时对相关知识点进行总结。
一、参数估计的基本概念参数估计，简单来说，就是根据样本数据对总体参数进行推测和估计。
总体参数是描述总体特征的数值，例如总体均值、总体方差等。
而我们通过抽样得到的样本数据则是进行参数估计的基础。
二、参数估计的方法（一）点估计点估计是用一个数值来估计总体参数。
常见的点估计方法有矩估计法和极大似然估计法。
矩估计法的基本思想是利用样本矩来估计总体矩，从而得到总体参数的估计值。
例如，对于正态分布，我们可以用样本均值来估计总体均值，用样本二阶中心矩来估计总体方差。
极大似然估计法则是基于这样的思想：在给定样本观测值的情况下，找到使样本出现的概率最大的总体参数值。
（二）区间估计区间估计是给出一个区间，认为总体参数有一定的概率落在这个区间内。
常用的区间估计有置信区间。
置信区间的构建基于样本统计量的分布，以及给定的置信水平。
例如，对于总体均值的估计，我们可以构建一个置信水平为 95%的置信区间。
三、实例例题假设我们对某工厂生产的灯泡寿命进行抽样调查。
抽取了 50 个灯泡，其寿命的样本均值为 1000 小时，样本标准差为 100 小时。
（一）点估计我们可以用样本均值 1000 小时作为总体均值的点估计值。
（二）区间估计若要构建 95%的置信区间，由于样本量较大，我们可以使用正态分布近似。
标准正态分布的 95%置信区间对应的 z 值约为 196。
则总体均值的 95%置信区间为：＼＼begin{align}＆1000 196 ＼times ＼frac{100}｛＼sqrt{50}｝＼＼＆1000 ＋ 196 ＼times ＼frac{100}｛＼sqrt{50}｝＼end{align}＼计算可得置信区间约为（9608，10392）。
统计学中的抽样误差和误差估计
统计学中的抽样误差和误差估计在统计学中，抽样误差和误差估计是两个重要的概念。
抽样误差是指由于从一个总体中选取样本而引起的误差，而误差估计则是通过对样本进行统计推断来估计总体参数的误差。
本文将对这两个概念进行详细的探讨。
一、抽样误差抽样误差是由于样本选择不完全代表总体而导致的误差。
在实际研究中，我们很难对整个总体进行研究，通常只能通过选取样本来进行研究和推论。
然而，由于样本的选取可能带来一定的偏差，这就引入了抽样误差。
抽样误差可以分为两种类型：随机抽样误差和非随机抽样误差。
随机抽样误差是指由于样本本身的随机性导致的误差，而非随机抽样误差则是由于样本选择过程中的偏好或错误引起的误差。
为了减小抽样误差，我们可以采用一些抽样技术和方法，如简单随机抽样、分层抽样和整群抽样等。
这些方法可以使得样本更好地代表总体，从而减小抽样误差的影响。
二、误差估计误差估计是通过对样本的统计推断来对总体参数进行估计的过程。
由于我们无法对总体进行直接观察，所以只能通过样本来对总体进行估计。
然而，由于样本只是总体的一部分，所以估计值往往与总体参数存在差异，即误差。
误差估计是通过样本统计量来估计总体参数，并给出一个区间估计或点估计。
常见的误差估计方法有置信区间估计和均方误差估计。
置信区间估计通过构建一个区间来估计总体参数的真值范围，而均方误差估计则是通过计算样本估计值与总体参数的差异平方和来估计误差的大小。
误差估计可以帮助我们评估样本估计的可靠性和准确性，并提供对总体参数的一定程度的推断。
通过对误差的估计，我们可以对统计结果的可信度进行评估，并对决策或结论的合理性进行判断。
总结：在统计学中，抽样误差和误差估计是两个非常重要的概念。
抽样误差是由于样本选择不完全代表总体而引起的误差，而误差估计则是通过对样本进行统计推断来估计总体参数的误差。
通过减小抽样误差和进行误差估计，我们可以提高统计结果的准确性和可靠性，从而做出更为科学和合理的结论或决策。
抽样误差和可信区间-幻灯片(1)
均数之差可信区间的计算
正常组
肝炎组
1＝？
2＝？ 1- 2 ＝？
均 数:273.18ug/dL 标准差:9.77ug/dL
均 数: 231.86ug/dL 标准差:12.17ug/dL
X1X242.32
合并方差与均数之差的标准误
❖ 合并方差(方差的加权平均)
sC 2 (n11n)1s 12 n2(n 221)s22
❖ 每一自由度下的t分布曲线都有其自身分布规律。t界值 表。
t分布曲线下的面积
f (x)
nn21n1
x2 n
n12
2
-t 0 t
t界值表
单侧：
P(t <-tα,ν)= α或 P(t >tα,ν)= α 双侧：
-t 0 t
P(t <-tα/2,ν)+ P(t >tα/2,ν)= α 即:P(-tα/2,ν<t <tα/2,ν)= 1-α [例] 查t界值表得t值表达式
可信区间的定义
❖ 按一定的概率或可信度(1-α)用一个区间 来估计总体参数所在的范围，该范围通 常称为参数的可信区间或者置信区间 (confidence interval，CI),预先给定的概 率(1-α)称为可信度或者置信度 (confidence level),常取95%或99%。
❖ 可信区间(CL, CU )是一开区间 CL、CU 称 为可信限
❖ 这里的95%，指的是方法本身！而不
是某个区间！ ❖ 总体参数虽未知，但却是固定的值，
而不是随机变量值 。
95%可信区间的含义
按这种方法 构建的可信区 间，理论上平 均每100次，有 95 次 可 以 估 计 到总体参数。
统计学 第 6 章 抽样与参数估计
第6章抽样与参数估计第6章抽样与参数估计6.1抽样与抽样分布6.2参数估计的基本方法6.3总体均值的区间估计6.4总体比例的区间估计6.5样本容量的确定学习目标理解抽样方法与抽样分布估计量与估计值的概念点估计与区间估计的区别评价估计量优良性的标准总体均值的区间估计方法总体比例的区间估计方法样本容量的确定方法参数估计在统计方法中的地位统计推断的过程6.1抽样与抽样分布什么是抽样推断概率捕样方法抽样分布抽样方法抽样方法概率抽样(probabilitysampling)也称随机抽样特点按一定的概率以随机原则抽取样本抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率简单随机抽样(simplerandomsampling)从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，每个单位入抽样本的概率是相等的最基本的抽样方法，是其它抽样方法的基础特点简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本用样本统计量对目标量进行估计比较方便局限性当N很大时，不易构造抽样框抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难没有利用其它辅助信息以提高估计的效率分层抽样(stratifiedsampling)将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本优点保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度组织实施调查方便既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计系统抽样(systematicsainplmg)将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范闱内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按爭先规定好的规则确定其它样本单位先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k,r+2k…等单位优点：操作简便，可提高估计的精度缺点：对估计量方差的估计比较困难整群抽样(clustersampling)将总体中若干个单位合并为组(群)，抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查特点抽样时只需群的抽样框，可简化工作量调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施缺点是估计的精度较差抽样分布总体中各元素的观察值所形成的分布分布通常是未知的可以假定它服从某种分布总体分布(populationdistribution)一个样本中各观察值的分布也称经验分布当样本容屋n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布样本分布(sampledistribution)抽样分布的概念(samplingdistribution)抽样分布是指样本统计屋的分布，即把某种样本统计量看作一个随机变量，这个随机变屋的全部可能值构成的新的总体所形成的分布即为某种统计量的抽样分布.统计量:样本均值，样本比例，样本方差等样本统计量的概率分布是一种理论概率分布随机变量是样本统计量样本均值，样本比例，样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据对抽样分布的理解抽样分布:即不是总体分布，也不是样本分布，是根据所有可能样本计算的统计量的全部可能取值形成的分布样本均值的抽样分布容量相同的所有町能样本的样本均值的概率分布一种理论概率分布进行推断总体均值的理论基础样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布（例题分析）【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单位数N=4。
抽样调查、抽样误差与抽样估计
总体所有单位的标志值或标志特征计算的、反 映总体某种属性的综合指标。 总体指标是一个确定的值。 2、样本指标（抽样指标、统计量）：它由样 本各个单位标志值或标志特征计算的综合指标 。 样本指标是一个随机变量。 3、抽样调查中常用的指标 平均数（均值）、方差或标准差、比例（是 非标志比重）
3、可以对全面调查的结果进行评价和修正。 4、抽样调查可用于工业生产过程中的质量控制
。 5、可以对某些总体的假设进行检验，来判断假
设的真伪，为决策提供依据。
82020/1/8
（四）抽样调查的两种类型 一类是参数估计： 它是根据对样本进行观测取得的数据，然后对
研究对象整体的数量特征取值给出估计方法。 另一类是假设检验： 它是根据对样本进行观测取得的数据，然后对
42020/1/8
一、抽样调查的概念、特点及作用
（一）抽样调查的概念
抽样调查是按照随机原则从总体中抽取样本进行 调查，得到样本资料，并根据样本资料对总体数 量特征作出具有一定可靠程度的估计和推断，以 达到认识总体的一种统计方法。
也称为 抽样推断、抽样估计或统计推断。 例：某地进行水质监测，考察河水中某种污染
0.9500 0.9545 0.99 0.9973
可以看出：当确定的抽样极限误差愈大，则概
率度z也就愈大，相应的概率也愈大，即样本指 标落在指定范围的可能性也愈大；反之，则相
应的概率就减少。
92020/1/8
说明：对总体指标估计的范围（置信区间）的测定 总是在一定的概率保证程度下进行的，因为既然 抽样误差是一个随机变量，就不能指望抽样指标 落在置信区间内成为必然事件，只能视为一个可 能事件，就要用一定的概率来给予保证。
抽样误差区间估计(统计学)
P(t≤-1.812)=0.05或P(t≥1.812)=0.05
例如，当 =10，双尾概率 =0.05时，查表得 双尾t0.05,10＝2.228， 表明，按t分布的规律，从正态分布总体中抽 取样本含量为n=11的样本，则由该样本计 算的t值大于等于2.228的概率为0.025，小于 等于-2.228的概率亦为0.025。可表示为： P(t≤-2.228)+P(t≥2.228)＝0.05 或：P(-2.228<t<2.228)=1-0.05=0.95。
所以样本均数的标准差称为均数的标准误标准误的计算计算公式为其中为总体标准差n为抽样的样本例数在研究工作时由于总体标准差常常未知可以利用样本标准差近似估计标准误的计算例9根据7岁男童的身高资料在已知总体标准差时标准误为438100438cm而若以第一次抽样的样本标准差来代替总体标准差则标准误为445100445cm标准误的意义反映了样本统计量样本均数样本率分布的离散程度体现了抽样误差的大小
x
=144.0681 S= 4.7245 x1,x2,x3…x10
样本含量n =10
x
=142.7203 S= 9.2473 x1,x2,x3…x10
点估计的缺陷
（2）区间估计
例11：为了解某地 1 岁婴儿的血红蛋白浓度， 从该地区随机抽取 25 名 1 岁婴儿，测得其 血红蛋白 均 数 = 123.7(g/L) 标准差 =11.9(g/L) 试估计该地区1岁婴儿的平均血红蛋白浓度。
CL、CU 称为可信限
理论基础： t 值的分布
均数的抽样分布
v＝24
P ( 2.064 t 2.064) 0.95
-2.064
0
2.064
区间估计：
正态分布、区间估计
0.783(1 0.783) = 0.783±1.96× 120 = 0.709 ~ 0.857
data aa; input p n; Sp=sqrt(p*(1-p)/n); y1=p-1.96*Sp; y2=p+1.96*Sp ; cards; 0.783 120 ; proc print; run; /*可信区间的下限*/ /* /*可信区间的上限*/ */
总体均数的区间估计（单侧）
σ未知但样本例数 足够大（n＞50）时： 未知但样本例数n足够大 未知但样本例数 足够大（ ＞ ）
通式： 通式： > X Zα SX
< X + Zα SX
σ已知，按标准正态分布原理计算： 已知，按标准正态分布原理计算： 已知
通式： 通式： > X Zασ X < X + Zασ X
p ( X tα / 2 , v S X < < X + tα / 2 , v S X ) = 1 α
通 ： ± tα / 2,vSX (双 ) 式 X 侧
95 双 置 区 ： t0.05/ 2,vSX , X + t0.05/ 2,vSX ) ％ 侧 信 间 (X
σ已知，按标准正态分布原理计算 已知， 已知
参数估计
参数估计： 参数估计：由已知的样本统计量推断总体 参数。 参数。 参数估计：点估计和区间估计； 参数估计：点估计和区间估计； 区间估计： 区间估计： 假设某个总体的均数为， 假设某个总体的均数为 ，需要找到 两个数值A和 ，使得在一个比较高的可信 两个数值 和B，使得在一个比较高的可信 能包含。 度下(如95%)，区间 如 ，区间(A,B)能包含 。即 能包含 P(A<<B)=0.95
统计基础知识学习之参数估计
总体总量、总体平均数、总体成数、总 体方差和标准差
总体平均数：是总体所研究标志的平均值， 用 表示。 X 例如：研究某县102个行政村的人均纯收入， 那么该县每个村的纯收入之和除以该县常 住人口数得到的平均数就是总体平均数。
X=
∑x
i =1
i
n
其中：xi为每个村的纯收入，n为该县常住人口数。
总体总量、总体平均数、总体成数、总 体方差和标准差
参数估计
二00八年六月 八年六月
主要内容
总体参数 统计量 估计的理论依据 统计误差 点估计 区间估计
一、参数估计的概念
估计就是根据从样本中收集的信息对总 体未知量进行推断的过程。参数估计就是 根据随机抽样调查得来的样本数据，对未 知的总体水平、结构、规模等数量特征进 行估计，即样本指标估计总体指标。
中心极限定理的意义
只要是服从正态分布，我们就有可能 开展抽样调查。 中心极限定理为点估计和区间估计奠 定了理论基础 。 我们就可以用样本代替总体，用样本 值来推断总体数。
二、统计误差
●统计误差是指统计数据与客观实际数量之
间的差异。 间的差异。
（一）登记误差和代表性误差
1、登记误差 登记误差又称工作误差，是指在调查、整理工作 中，由于各种主观原因引起的误差。 例如：由于指标含义不清、口径不同而造成的误 差；在登记、计算、抄写上有差错造成的误差。
2、样本指标
●样本指标是根据样本各单位标志值计算的综合
指标。 ●常用的样本指标有样本平均数、样本成数、样 本方差和样本标准差。
●样本指标一般用小写字母表示。
x
（三）参数估计的理论基础
●大数定律：
它说明：如果被研究的总体是由大 量的相互独立的随机因素组成，而且 每个因素对总体的影响都相对小，那 么对这些大量因素加以综合平均，因 素的个别影响将相互抵消，而呈现出 其共同作用的影响，使总体具有稳定 的性质。
（抽样检验）抽样与参数估计最全版
（抽样检验）抽样与参数估计最全版（抽样检验）抽样与参数估计抽样和参数估计推断统计：利⽤样本统计量对总体某些性质或数量特征进⾏推断。
从数据得到对现实世界的结论的过程就叫做统计推断(statisticalinference)。
这个调查例⼦是估计总体参数（某种意见的⽐例）的壹个过程。
估计(estimation)是统计推断的重要内容之壹。
统计推断的另壹个主要内容是本章第⼆节要介绍的假设检验(hypothesistesting)。
因此本节内容就是由样本数据对总体参数进⾏估计，即：学习⽬标：了解抽样和抽样分布的基本概念理解抽样分布和总体分布的关系了解点估计的概念和估计量的优良标准掌握总体均值、总体⽐例和总体⽅差的区间估计第⼀节抽样和抽样分布回顾相关概念：总体、个体和样本抽样推断：从所研究的总体全部元素(单位)中抽取壹部分元素(单位)进⾏调查,且根据样本数据所提供的信息来推断总体的数量特征。
总体(Population)：调查研究的事物或现象的全体参数个体(Itemunit)：组成总体的每个元素样本(Sample)：从总体中所抽取的部分个体统计量样本容量(Samplesize)：样本中所含个体的数量壹般将样本单位数不少于三⼗个的样本称为⼤样本，样本单位数不到三⼗个的样本称为⼩样本。
壹、抽样⽅法及抽样分布1、抽样⽅法（1）、概率抽样：根据已知的概率选取样本①、简单随机抽样：完全随机地抽选样本，使得每壹个样本都有相同的机会（概率）被抽中。
注意：在有限总体的简单随机抽样中，由抽样是否具有可重复性，⼜可分为重复抽样和不重复抽样。
⽽且，根据抽样中是否排序，所能抽到的样本个数往往不同。
②、分层抽样：总体分成不同的“层”（类），然后在每壹层内进⾏抽样③、整群抽样：将壹组被调查者（群）作为壹个抽样单位④、等距抽样：在样本框中每隔壹定距离抽选壹个被调查者（2）⾮概率抽样：不是完全按随机原则选取样本①、⾮随机抽样：由调查⼈员⾃由选取被调查者②、判断抽样：通过某些条件过滤来选择被调查者（3）、配额抽样：选择壹群特定数⽬、满⾜特定条件的被调查者2、抽样分布壹般地，样本统计量的所有可能取值及其取值概率所形成的概率分布，统计上称为抽样分布（samplingdistribution）。
抽样误差
t分布界值示意图，α表示阴影的面积 分布界值示意图， 分布界值示意图
t分布曲线下面积 分布曲线下面积
规律： 值增加， 规律：1. 同一ν下，t值增加，P值减小 值下， 增加， 反向关系 2. 同一P值下，ν增加，t值减小 双侧t 单侧t 双侧 0.05/2，∞＝1.96 ＝单侧 0.025，∞ ， ，
抽 样 实 验
表1 正常成年男子红细胞计数抽样实验结果
样本号 1 2 3 4 ： 100 5.16 4.49 5.59 4.65 4.56 4.08 5.11 红细胞计数 4.26 5.11 5.70 4.53 4.88 4.74 … 5.55 4.46 … 5.32 4.53 … 4.23 4.65 … 5.33 ： 5.02 ：
抽 样 误 差
由于抽样而引起的样本指标（统计量） 由于抽样而引起的样本指标（统计量）与 样本指标 总体指标（参数）的差异。 总体指标（参数）的差异。 属随机误差： 属随机误差：
特点： 无倾向性； 不可避免。 特点：①无倾向性；②不可避免。
统计学的分析思路
总体 population sampling inferring
标准差
内容 性质 控制 方法
VS
标准误
SD SE 统计量的标准差 表示抽样误差大小 增大样本含量可减少
表示个体变异大小 个体变异或自然变异， 个体变异或自然变异，不可通过统计 方法来控制。 方法来控制。
算式 用途 随n 增大
S=
∑ X − (∑ X )
2
2
/n
n −1
求参考值范围 渐趋于稳定
SX = S /
第七章 参数估计
Sampling Error & Estimation of Parameter
应用统计学：参数估计习题及答案
简答题1、矩估计的推断思路如何？有何优劣？2、极大似然估计的推断思路如何？有何优劣？3、什么是抽样误差？抽样误差的大小受哪些因素影响？4、简述点估计和区间估计的区别和特点。
5、确定重复抽样必要样本单位数应考虑哪些因素？计算题1、对于未知参数的泊松分布和正态分布分别使用矩法和极大似然法进行点估计，并考量估计结果符合什么标准2、某学校用不重复随机抽样方法选取100名高中学生，占学生总数的10%，学生平均体重为50公斤，标准差为48.36公斤。
要求在可靠程度为95%（t=1.96）的条件下，推断该校全部高中学生平均体重的范围是多少？3、某县拟对该县20000小麦进行简单随机抽样调查，推断平均亩产量。
根据过去抽样调查经验，平均亩产量的标准差为100公斤，抽样平均误差为40公斤。
现在要求可靠程度为95.45%（t=2）的条件下，这次抽样的亩数应至少为多少？4、某地区对小麦的单位面积产量进行抽样调查，随机抽选25公顷，计算得平均每公顷产量9000公斤，每公顷产量的标准差为1200公斤。
试估计每公顷产量在8520-9480公斤的概率是多少？（P(t=1)=0.6827, P(t=2)=0.9545, P(t=3)=0.9973）5、某厂有甲、乙两车间都生产同种电器产品，为调查该厂电器产品的电流强度情况，按产量等比例类型抽样方法抽取样本，资料如下：样本容量（个）平均电流强度（安培）电流强度标准差（安培）合格率（%）甲车间20 1.5 0.8 90乙车间40 1.6 0.6 95试推断：（1）在95.45%（t=2）的概率保证下推断该厂生产的全部该种电器产品的平均电流强度的可能范围（2）以同样条件推断其合格率的可能范围（3）比较两车间产品质量6、采用简单随机重复和不重复抽样的方法在2000件产品中抽查200件，其中合格品190件，要求：（1）计算样本合格品率及其抽样平均误差（2）以95.45%的概率保证程度对该批产品合格品率和合格品数量进行区间估计。
抽样调查习题及答案
第四章习题抽样调查一、填空题1. 抽样调查是遵循随机的原则抽选样本，通过对样本单位的调查来对研究对象的总体数量特征作出推断的。
2. 采用不重复抽样方法，从总体为N的单位中，抽取样本容量为n的可能样本个数为N(N-1)(N-2)……（N-N＋1）。
3. 只要使用非全面调查的方法，即使遵守随机原则，抽样误差也不可避免会产生。
4. 参数估计有两种形式：一是点估计，二是区间估计。
5. 判别估计量优良性的三个准则是：无偏性、一致性和有效性。
6. 我们采用“抽样指标的标准差”，即所有抽样估计值的标准差，作为衡量抽样估计的抽样误差大小的尺度。
7. 常用的抽样方法有简单随机抽样、类型（分组）抽样、等距抽样、整群抽样和分阶段抽样。
8. 对于简单随机重复抽样，若其他条件不变，则当极限误差范围Δ缩小一半，抽样单位数必须为原来的4倍。
若Δ扩大一倍，则抽样单位数为原来的1/4。
9. 如果总体平均数落在区间960～1040内的概率是95%，则抽样平均数是1000，极限抽样误差是40.82，抽样平均误差是20.41。
10. 在同样的精度要求下，不重复抽样比重复抽样需要的样本容量少，整群抽样比个体抽样需要的样本容量多。
二、判断题1. 抽样误差是抽样调查中无法避免的误差。
（√）2. 抽样误差的产生是由于破坏了随机原则所造成的。
（×）3. 重复抽样条件下的抽样平均误差总是大于不重复抽样条件下的抽样平均误差。
（√）4. 在其他条件不变的情况下，抽样平均误差要减少为原来的1/3，则样本容量必须增大到9倍。
（√）5. 抽样调查所遵循的基本原则是可靠性原则。
（×）6. 样本指标是一个客观存在的常数。
（×）7. 全面调查只有登记性误差而没有代表性误差，抽样调查只有代表性误差而没有登记性误差。
（×）8. 抽样平均误差就是抽样平均数的标准差。
（×）三、单项选择题1. 用简单随机抽样（重复）方法抽取样本单位，如果要使抽样平均误差降低50%，则样本容量需扩大为原来的（C）A. 2倍B. 3倍C. 4倍D. 5倍2. 事先将全及总体各单位按某一标志排列，然后依固定顺序和间隔来抽选调查单位的抽样组织方式叫做（D）A. 分层抽样B. 简单随机抽样C. 整群抽样D. 等距抽样3. 计算抽样平均误差时，若有多个样本标准差的资料，应选哪个来计算（B）A. 最小一个B. 最大一个C. 中间一个D. 平均值4. 抽样误差是指（D）A. 计算过程中产生的误差B. 调查中产生的登记性误差C. 调查中产生的系统性误差D. 随机性的代表性误差5. 抽样成数是一个（A）A. 结构相对数B. 比例相对数C. 比较相对数D. 强度相对数6. 成数和成数方差的关系是（C）Ａ．成数越接近于0，成数方差越大Ｂ．成数越接近于1，成数方差越大Ｃ．成数越接近于0.5，成数方差越大Ｄ．成数越接近于0.25，成数方差越大7. 整群抽样是对被抽中的群作全面调查，所以整群抽样是（B）A. 全面调查B. 非全面调查C. 一次性调查D. 经常性调查8. 对400名大学生抽取19%进行不重复抽样调查，其中优等生比重为20%，概率保证程度为95.45%，则优等生比重的极限抽样误差为（40%）A. 4%B. 4.13%C. 9.18%D. 8.26%9. 根据5%抽样资料表明，甲产品合格率为60%，乙产品合格率为80%，在抽样产品数相等的条件下，合格率的抽样误差是（B）A. 甲产品大B. 乙产品大C. 相等D. 无法判断10. 抽样调查结果表明，甲企业职工平均工资方差为25，乙企业为100，又知乙企业工人数比甲企业工人数多3倍，则随机抽样误差（B）A. 甲企业较大B. 乙企业较大C. 不能作出结论D. 相同四、多项选择题抽样调查中的抽样误差是（ABCDE）A. 是不可避免要产生的B. 是可以通过改进调查方法来避免的C. 是可以计算出来的D. 只能在调查结果之后才能计算E. 其大小是可以控制的2. 重复抽样的特点是（AC）A. 各次抽选相互影响B. 各次抽选互不影响C. 每次抽选时，总体单位数始终不变D 每次抽选时，总体单位数逐渐减少E. 各单位被抽中的机会在各次抽选中相等3. 抽样调查所需的样本容量取决于（ABE）A. 总体中各单位标志间的变异程度B. 允许误差C. 样本个数D. 置信度E. 抽样方法4. 分层抽样误差的大小取决于（BCD）A. 各组样本容量占总体比重的分配状况B. 各组间的标志变异程度C. 样本容量的大小D. 各组内标志值的变异程度E. 总体标志值的变异程度5. 在抽样调查中（ACD）A. 全及指标是唯一确定的B. 样本指标是唯一确定的C. 全及总体是唯一确定的D. 样本指标是随机变量E. 全及指标是随机变量五、名词解释1.抽样推断2.抽样误差3.重复抽样与不重复抽样4.区间估计六、计算题1.某公司有职工3000人，现从中随机抽取60人调查其工资收入情况，得到有关资料如下：（1）试以0.95的置信度估计该公司工人的月平均工资所在范围。
样本调查与抽样误差的估计
样本调查与抽样误差的估计样本调查是社会科学研究中常用的一种数据收集方法，通过对样本的调查，可以对整体群体的特征进行推断和预测。
然而，在进行样本调查时，由于取样的随机性和偏倚等原因，样本调查结果与总体情况之间会存在一定的差异，这就是抽样误差。
了解和估计抽样误差的大小对于准确解读样本调查结果至关重要。
一、抽样误差的定义和影响因素抽样误差是指样本调查结果与总体情况之间的差异，其大小受多种因素的影响。
首先，样本的大小对抽样误差有重要影响，样本越大，抽样误差越小；反之，样本越小，抽样误差越大。
此外，样本的选择方法也会对抽样误差造成影响，如果采用不恰当的抽样方法，容易引入偏差，从而增大抽样误差。
二、抽样误差的估计方法为了准确估计抽样误差的大小，研究人员通常采用以下几种方法：1. 置信区间置信区间是一种常用的估计抽样误差的方法。
通过对样本数据的统计分析，可以计算出一个区间范围，该区间范围内包含了真实总体的未知参数，即抽样误差的大小。
一般来说，置信区间的置信水平越高，置信区间越宽，相应的抽样误差也越大。
2. 误差率误差率是另一种估计抽样误差的常用方法。
在样本调查中，通过对样本数据的分析，可以得出一些具体数值，如比例、平均数等。
将这些数值与总体的真实情况进行比较，即可得到误差率。
误差率越大，则抽样误差越大。
3. 抽样误差公式在实际应用中，研究人员还可以通过抽样误差公式来估计抽样误差的大小。
抽样误差公式通常包括样本大小、总体大小和置信水平等参数，根据这些参数的不同取值，可以计算出抽样误差的估计值。
三、降低抽样误差的方法虽然无法完全消除抽样误差，但是可以通过一些方法来降低其影响程度。
首先，增大样本规模是降低抽样误差的有效方式，较大的样本可以更好地反映总体情况。
其次，选择恰当的抽样方法也是非常重要的，合理的抽样方法可以减小抽样误差的风险。
此外，合理处理缺失数据和异常值等也可以减少抽样误差的影响。
总之，抽样误差是样本调查中普遍存在的问题，了解和估计抽样误差的大小对于准确解读样本调查结果具有重要意义。
抽样误差
3n = 1 = 0 . 577 3
即：当样本单位数增加2倍时，抽样平均误差为原来的0.577倍。 当样本单位数增加2倍时，抽样平均误差为原来的0.577倍 0.577 抽样单位数增加 0.5倍，即为原来的 1.5倍 倍 倍
则： µ x =
σ
1 .5 n
=
1 = 0 . 8165 1 .5
即：当样本单位数增加0.5倍时，抽样平均误差为原来的0.8165倍。 当样本单位数增加0.5倍时，抽样平均误差为原来的0.8165倍 0.5倍时 0.8165
40.6 V乙 = ×100% = 7.8% 520
因V乙<V甲 故乙品种具有较大稳定性，宜于推广。 故乙品种具有较大稳定性，宜于推广。
第五章
抽样估计
教学目的与要求
抽样估计是抽样调查的继续， 抽样估计是抽样调查的继续，它提供 了一套利用抽样资料来估计总体数量特征 的方法。通过本章的学习， 的方法。通过本章的学习，要理解和掌握 抽样估计的概念、特点，抽样误差的含义、 抽样估计的概念、特点，抽样误差的含义、 计算方法，抽样估计的置信度， 计算方法，抽样估计的置信度，推断总体 参数的方法， 参数的方法，能结合实际资料进行抽样估 计。
例题一解: 例题一解 则：
已知： 已知： n=100
x=58 10 100
σ=10 = 1 ( 公斤 )
µ
x
=
σ
n
=
即:当根据样本学生的平均体重估计全部学生的平均 当根据样本学生的平均体重估计全部学生的平均 体重时,抽样平均误差为1公斤。 体重时,抽样平均误差为1公斤。 例题二解: 例题二解 x=4800 已知： 已知： N=2000 n=400 σ=300 σ 300 = = 15 ( 小时 ) 则： µ x = n 400
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P( X u sX X u sX )=1-
此时，均数的(1-)100%的可信区间：
( X u sX , X u sX )
5.均数之差的(1-)100%可信区间
例4.3
转铁蛋白含量（page39）
s 10.38 s 14.39
：n2=15, X 2 235.21,
与均数之差有关的抽样分布
“均数之差”与“均数之差的标准误”之比， 服从自由度 = n1+n2 -2的 t 分布。
t
X1 X 2 s X1 X 2
X1 X 2 s X1 X 2
~ tn1 n2 2
样本含量较大时，服从标准正态分布。
t
~ N (0,1)
合并方差与均数之差的标准误
正常人：n1=12, X 1 271.89,
病人
问题：两组平均相差多少？
问题：
正常组
1＝？
病人组
2＝？
1- 2 ＝？
均 数: 271.89ug/dl 标准差: 10.28ug/dl
均 数: 235.21ug/dl 标准差: 14.39ug/dl
X1 X 2 36.68
[ X
1
X 2 ] t ,( n1 n2 2) s X
1X2
， [ X 1 X 2 ] t ,( n1 n2 2) s X
1X2
计算：
则合并方差为：
sc
2
11 10.382 14 14.392 163.3679 12 15 2
2
s X 1 X 2 sc
区间估计
均数 率 事件数 方差
1.区间估计的实质
假设某个总体的均数为µ，需要找到两个量A 和B，使得在一个比较高的可信度下(如95%)， 区间(A,B)能包含µ。即
P(A<µ<B)=0.95
2.可信区间的定义
按一定的概率或可信度(1-α)用一个区间估 计总体参数所在范围，这个范围称作可信 度为1-α的可信区间。 可信区间(CL, CU )是一开区间 CL、CU 称为可信限
F
2 s1 2 s2
则 F 值服从自由度为 (n1-1 ， n2-1) 的 F 分布 (Fdistribution)。
F分布的特征
(1) F分布为一簇单峰正偏态分布曲线，与两个自由 度有关。 (2) 若F服从自由度为(1,2)的F分布，则其倒数1/F服 从自由度为(2,1)的F分布。 (3) 自由度为(1,2)的F分布，其均数为2/(2-2)，与 第一自由度无关。 (4) 第一自由度1＝1时，F分布实际上是t分布之平方； 第二自由度2＝∞时，F分布实际上等于2分布。
X t / 2,v sX
X u / 2 s
可信度：1－α
4.均数的可信区间构建方法
-u分布
1-
/2 /2
-u
0
u
P(u u u )=1-
样本含量较大时，均数(1-)100%的可信区间：
P(u u u )=1-
X P ( u u )=1- sX
P ( 2.064 t 2.064) 0.95
-2.064
0
2.064
区间估计
sX
P ( 2.064 t 2.064) 0.95
11.9 25
2.38
123.7 P(2.064 2.064) 0.95 2.38
P ( 2.064 2.38 123.7 2.064 2.38) 0.95 P (123.7 2.064 2.38 123.7 2.064 2.38) 0.95
样本统计量的抽样分布
任何一个样本统计量均有其分布规律。
从正态分布总体中抽样：
均数的抽样分布为正态分布； 样本方差的分布服从2分布； 样本方差之比服从F分布； t 值服从 t 分布； ……
参数估计
Parameter estimation
抽样分布 参数估计
统计推断的思路
总体
合并方差(方差的加权平均)
2 2 ( n 1) s ( n 1) s 2 1 2 2 sC 1 n1 n2 2
均数之差的标准误
s X1 X 2
1 1 s ( ) n1 n2
2 C
根据 P(t , t t , ) 1
可得1-2的可信区间：
F分布的特征
(5) 每一对自由度下的F分布曲线下的面积分 布规律。
P
F
F分布的特征
F分布表明，从两个方差相等的正态分布总体 中随机抽取含量分别为n1和n2的样本，计算所 得F值，应接近v2/(v2-2)。 F(0.05;20,20)= 2.12表示，从方差相等的正态分布 总体中随机抽取 n1=n2=21 的样本，则由两样 本计算的F值大于等于2.12的可能性为0.05
个体、个体变异
随机 抽样
样本
代表性、抽样误差
总体参数
未知பைடு நூலகம்
统计 推断
样本统计量
已知
风 险
统计推断(statistical inference)
概念：根据样本所提供的信息，以一 定的概率推断总体的性质。
总体参数的估计
(parameter estimation)
假设检验
(hypothesis test)
一般取90%，95%。 可人为控制。 是指区间的大小(或长短)
或：该地区 1 岁婴儿的平均血红蛋白浓度的 95%可信区间为118.79~128.61(g/L)。
3.可信区间估计的理论基础 -均数的抽样分布
P( t t / 2, )
/2
-t/2, v
1-
/2 t/2, v
0
4.均数的可信区间构建方法
-t分布
P(t , t t , ) 1
P (118.79 128.61) 0.95
可信区间(confidence interval)：
区间(118.79, 128.61)包含了总体均数，其信 度为95%。 可信度(1－α): 95% . 结论：该地区 1 岁婴儿的平均血红蛋白浓度为 118.79~128.61(g/L)(可信度为95%)。
X t sX
P( X t , s X X t , s X ) 1
4.均数的可信区间构建方法
-t分布
均数的(1-)100%的可信区间：
( X t / 2,v sX ,
X t / 2,v sX )
参考值范围
可信限(confidence limit)：
2分布近似描述具有某种属性的实际频数Ai与
理论频数Ti之间的抽样误差
2
( Ai Ti ) Ti
2
抽样分布（3）
F-distribution
抽样分布 参数估计
F分布
设 从 两 个 方 差 相 等 的 正 态 分 布 N(1,2) 和 N(2,2) 总体中随机抽取含量分别为 n1 和 n2 的 样本，样本均数和标准差分别为 X、 s1和 X 和 1 2 s2。 设：
参数的估计
概念：由样本指标（统计量）估计总体指标 （参数）称为参数估计 点估计
(point estimation)
区间估计
(interval estimation)
点估计
用样本统计量作为总体参数的估计值 简单易行 未考虑抽样误差
点估计
总体：某市2001年所有7岁男童的身高 样本：n=120 mean=123.62 s=4.75 点估计：本市7岁男童的平均身高为123.62， 标准差为4.75
(271.89－235.21 ) ± 2.060 × 4.95 = 26.48 ～ 46.88
结论：
病毒性肝炎患者的血清转铁蛋白含量较正常 人平均低 36.68(g/dl) ，其 95 ％可信区间为 26.48~46.88(g/dl)。
6.可信区间的两个要素
可信度(1-), 可靠性
2分布－与正态分布的关系
0.025 0.025
-1.96
1.96
0.05
3.84
(4) 每一自由度下的2分布曲线都有其自身分 布规律。
0.5 0.4 0.3 0.05 0.2 0.1 0.0 3.84
自由度为1的2分布界值
2分布的特征
2分布是方差的抽样分布。 2分布说明，从正态分布的总体中随机抽样， 所得样本的方差s2接近于总体方差2的可能性 大，远离总体方差的可能性小。 即2值接近其均数n-1的可能性大，远离n-1的 可能性小。
例题：血红蛋白浓度
为了解某地 1 岁婴儿的血红蛋白浓度，从 该地区随机抽取 25 名 1 岁婴儿，测得其 血红蛋白 试估计该地区1岁婴儿的平均血红蛋白浓度。 均 数 = 123.7(g/L) 标准差 = 11.9(g/L) 标准误=11.9/sqrt(25)=2.38
t 值的分布
理论基础：均数的抽样分布 v＝24
抽样分布（1）
t-distribution
抽样分布 参数估计
正态分布的标准化变化
若 X ~ N(μ,σ) , 则
X
~ N (0,1) 。
因 X ~ N ( , X )，则 u