八年级上《第2章三角形》单元及小结.doc

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浙教版八年级上《第2章特殊三角形》单元测试(3)含答案解析

《第2章特殊三角形》一、选择题1．下列图形不是轴对称图形的是（）A．线段B．等腰三角形C．角D．有一个内角为60°的直角三角形2．下列命题的逆命题正确的是（）A．全等三角形的面积相等 B．全等三角形的周长相等C．等腰三角形的两个底角相等 D．直角都相等3．等腰三角形两边长为3和6，则周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．无法确定4．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，点E、F、M、N是AD上的四点，则图中阴影部分的总面积是（）A．6 B．8 C．4 D．125．有一个角是36°的等腰三角形，其它两个角的度数是（）A．36°，108°B．36°，72°C．72°，72°D．36°，108°或72°，72°6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若BC=4cm，BD=5cm，则点D 到AB的距离是（）A ．5cmB ．4cmC ．3cmD ．2cm7．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A ．1，2，3B ．1，1，C ．1，1，D ．1，2，8．如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，若小方格的边长为1，则△ABC 的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形9．如图，已知：∠MON=30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 6B 6A 7的边长为（）A ．6B ．12C ．32D ．6410．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交CE 于点G ，连结BE ．下列结论中，正确的结论有（）①CE=BD；②△ADC 是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB ；④S 四边形BCDE =BD •CE ；⑤BC2+DE2=BE2+CD2．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题11．命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是．12．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD= ．13．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A=20°，则∠BDC= ．14．如图，直线上有三个正方形a，b．c，若a，c的面积分别为5和12，则b的面积为．15．如图，在等边△ABC中，AB=6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE 的长度为．16．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于．17．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，则EC长为．18．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是经过A点的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD ⊥AE于D，CE⊥AE于E，CE=2，BD=6，则DE的长为．19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，将其绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，B′C′交AB于E，若图中阴影部分面积为，则B′E的长为．20．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=4cm，在射线BC上一动点D，从点B出发，以厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为秒．（结果可含根号）．三、解答题（共50分）21．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．（1）求∠ADE；（直接写出结果）（2）当AB=3，AC=5时，求△ABE的周长．22．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）若CD=2，求DF的长．23．现在给出两个三角形，请你把图（1）分割成两个等腰三角形，把图（2）分割成三个等腰三角形．要求：在图（1）、（2）上分割：标出分割后的三角形的各内角的度数．24．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BA=BD，∠DAC=∠B，∠C=50°．求∠BAC的度数．25．已知：如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，作∠DCE=∠ACD，交AD的延长线于点E，点F是点C关于直线AE的对称点，连接AF．（1）求证：CE=AF；（2）若CD=1，AD=，且∠B=20°，求∠BAF的度数．26．在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连结CE．（1）如图1，当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，则∠BCE= °．（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由．②当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．《第2章特殊三角形》参考答案与试题解析一、选择题1．下列图形不是轴对称图形的是（）A．线段B．等腰三角形C．角D．有一个内角为60°的直角三角形【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念结合各图形的特点求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．下列命题的逆命题正确的是（）A．全等三角形的面积相等 B．全等三角形的周长相等C．等腰三角形的两个底角相等 D．直角都相等【考点】命题与定理．【分析】先写出各命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定、等腰三角形的判定定理和直角的定义分别对各逆命题进行判断．【解答】解：A、全等三角形的面积相等的逆命题为面积相等的三角形为全等三角形，所以A选项错误；B、全等三角形的周长相等的逆命题为周长相等的三角形为全等三角形，所以B选项错误；C 、等腰三角形的两个底角相等的逆命题为有两个角相等的三角形为等腰三角形，所以C 选项正确；D 、直角都相等的逆命题为相等的角为直角，所以D 选项错误．故选C ．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．3．等腰三角形两边长为3和6，则周长为（）A ．12B ．15C ．12或15D ．无法确定【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：∵三角形中任意两边之和大于第三边∴当另一边为3时3+3=6不符，∴另一边必须为6，∴周长为3+6+6=15．故选B ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键4．如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，AD 是BC 边上的中线，点E 、F 、M 、N 是AD 上的四点，则图中阴影部分的总面积是（）A ．6B ．8C ．4D ．12【考点】轴对称的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．【分析】先根据等腰三角形的性质得出AD ⊥BC ，根据勾股定理求出AD 的长，再根据同底等高的三角形面积相等可知S △EFC =S △EFB ，S △MNC =S △MNB ，故可得出S 阴影=S △ABD ，由此即可得出结论．【解答】解：∵在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，AD 是BC 边上的中线，∴BD=BC=3，AD ⊥BC ，∴BD===4，∵同底等高的三角形面积相等，∴S △EFC =S △EFB ，S △MNC =S △MNB ，∴S 阴影=S △ABD =BD •AD=×3×4=6．故选A ．【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知同底等高的三角形面积相等是解答此题的关键．5．有一个角是36°的等腰三角形，其它两个角的度数是（）A ．36°，108°B ．36°，72°C ．72°，72°D ．36°，108°或72°，72°【考点】等腰三角形的性质．【专题】分类讨论．【分析】因为等腰三角形的一个内角为36°，没明确是底角还是顶角，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：①当36°为顶角时，其它两角都为×（180°﹣36°）=72°；②当36°为底角时，其它两角分别为36°，108°．故选D ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪个角是底角哪个角是顶角时，应分类讨论．6．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ．若BC=4cm ，BD=5cm ，则点D 到AB 的距离是（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm【考点】角平分线的性质；勾股定理．【分析】先根据勾股定理求出CD的长，再过D作DE⊥AB于E，由已知条件，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．【解答】解：∵Rt△BCD中，BC=4cm，BD=5cm，∴CD===3cm，过D作DE⊥AB于E，∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD，∵CD=3cm，∴DE=3cm．故选C．【点评】本题主要考查角平分线的性质，根据题意作出辅助线是正确解答本题的关键．7．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3 B．1，1，C．1，1，D．1，2，【考点】解直角三角形．【专题】新定义．【分析】A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．【解答】解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．故选：D．【点评】考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念．8．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若小方格的边长为1，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【专题】网格型．【分析】先根据勾股定理求出△ABC各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状即可．【解答】解：由图形可知：AB==2，AC==，BC==5，∵AB2+AC2=（2）2+（）2=25，BC2=25，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形．故选B．【点评】本题考查的是勾股定理及其逆定理，比较简单．9．如图，已知：∠MON=30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 6B 6A 7的边长为（）A ．6B ．12C ．32D ．64【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】压轴题；规律型．【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，以及A 2B 2=2B 1A 2，得出A 3B 3=4B 1A 2=4，A 4B 4=8B 1A 2=8，A 5B 5=16B 1A 2…进而得出答案．【解答】解：∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA 1=A 1B 1=1，∴A 2B 1=1，∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A 2B 2=2B 1A 2，B 3A 3=2B 2A 3，∴A 3B 3=4B 1A 2=4，A 4B 4=8B 1A 2=8，A 5B5=16B1A2=16，以此类推：A6B6=32B1A2=32．故选：C．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A 4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题关键．10．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连结CE交AD于点F，连结BD 交CE于点G，连结BE．下列结论中，正确的结论有（）①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④S四边形BCDE=BD•CE；⑤BC2+DE2=BE2+CD2．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】三角形综合题．【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，然后求出∠BAD=∠CAE，再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BD，判断①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠ACE，从而求出∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，再求出∠BGC=90°，从而得到BD⊥CE，根据四边形的面积判断出④正确；根据勾股定理表示出BC2+DE2，BE2+CD2，得到⑤正确；再求出AE∥CD时，∠ADC=90°，判断出②错误；∠AEC与∠BAE不一定相等判断出③错误．【解答】解：∵，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD=90°+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴CE=BD，故①正确；∠ABD=∠ACE，∴∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，在△BCG中，∠BGC=180°﹣（∠BCG+∠CBG）=180°﹣90°=90°，∴BD⊥CE，∴S=BD•CE，故④正确；四边形BCDE由勾股定理，在Rt△BCG中，BC2=BG2+CG2，在Rt△DEG中，DE2=DG2+EG2，∴BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2，在Rt△BGE中，BE2=BG2+EG2，在Rt△CDG中，CD2=CG2+DG2，∴BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2，∴BC2+DE2=BE2+CD2，故⑤正确；只有AE∥CD时，∠AEC=∠DCE，∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°，无法说明AE∥CD，故②错误；∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC，∵∠AEC与∠AEB相等无法证明，∴∠ADB=∠AEB不一定成立，故③错误；综上所述，正确的结论有①④⑤共3个．故选C【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．二、填空题11．命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是到角的两边的距离相等的是角平分线上的点．【考点】命题与定理．【分析】把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题，“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的条件是“到角两边距离相等的点”，结论是“角平分线上的点”．【解答】解：“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是“到角的两边的距离相等的是角平分线上的点”．故答案为：到角的两边的距离相等的是角平分线上的点．【点评】根据逆命题的定义来回答，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．12．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD= 3 ．【考点】等腰三角形的性质．【专题】探究型．【分析】直接根据等腰三角形“三线合一”的性质进行解答即可．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，∴BD=BC=×6=3．故答案为：3．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．13．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A=20°，则∠BDC= 40°．【考点】直角三角形斜边上的中线．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得△ACD是等腰三角形，然后根据等边对等角以及三角形的外角的性质求解．【解答】解：∵D是斜边AB的中线，∴CD==AD，∴∠DCA=∠A=20°，∴∠BDC=∠DCA+∠A=20°+20°=40°．故答案是：40°．【点评】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质，理解直角三角形的性质是关键．14．如图，直线上有三个正方形a，b．c，若a，c的面积分别为5和12，则b的面积为17 ．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．【分析】运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．【解答】解：由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°；∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE，∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，∴△ACB≌△DCE，∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即Sb =Sa+Sc=12+5=17．故答案为：17．【点评】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．15．如图，在等边△ABC中，AB=6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE 的长度为3．【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】几何图形问题．【分析】首先，利用等边三角形的性质求得AD=3；然后根据旋转的性质、等边三角形的性质推知△ADE为等边三角形，则DE=AD．【解答】解：如图，∵在等边△ABC中，∠B=60°，AB=6，D是BC的中点，∴AD⊥BD，∠BAD=∠CAD=30°，∴AD=ABcos30°=6×=3．根据旋转的性质知，∠EAC=∠DAB=30°，AD=AE，∴∠DAE=∠EAC+∠CAD=60°，∴△ADE的等边三角形，∴DE=AD=3，即线段DE的长度为3．故答案为：3．【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质．旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．16．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于8 ．【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．【专题】计算题．【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．【解答】解：如图，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，∴DE=AC=5，∴AC=10．在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得CD===8．故答案是：8．【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点．17．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，则EC长为3cm ．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】如图，根据勾股定理求出BF的长；进而求出FC的长度；由题意得EF=DE；利用勾股定理列出关于EC的方程，解方程即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴DC=AB=8cm；∠B=∠C=90°；由题意得：AF=AD=10cm，EF=DE=λcm，EC=（8﹣λ）cm；由勾股定理得：BF2=102﹣82，∴BF=6cm，∴CF=10﹣6=4cm；在△EFC中，由勾股定理得：λ2=42+（8﹣λ）2，解得：λ=5，EC=8﹣5=3cm．故答案为：3cm．【点评】主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．18．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是经过A点的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD ⊥AE于D，CE⊥AE于E，CE=2，BD=6，则DE的长为 4 ．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】求出∠ADB=∠AEC，∠DBA=∠CAE，根据AAS证△ABD≌△CAE，推出BD=AE，AD=CE求出AE 和AD即可．【解答】解：∵BD⊥AE，CE⊥AE，∠BA C=90°，∴∠ADB=∠AEC=∠BAC=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAE=90°，∴∠DBA=∠CAE，在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，AD=CE，∵CE=2，BD=6，∴AE=6，AD=2，∴DE=AE﹣AD=4，故答案为：4．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，关键是求出AE=BD，CE=AD．19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，将其绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，B′C′交AB于E，若图中阴影部分面积为，则B′E的长为2﹣2 ．【考点】旋转的性质．【分析】求出∠C′AE=30°，推出AE=2C′E，AC′=C′E，根据阴影部分面积为得出×C′E ×C′E=2，求出C′E=2，即可求出C′B′，即可求出答案．【解答】解：∵将Rt△ACB绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，∴△ACB≌△AC′B′，∴AC=AC′，CB=C′B′，∠CAB=∠C′AB′，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴∠CAB=45°，∵∠CAC′=15°，∴∠C′AE=30°，∴AE=2C′E，AC′=C′E，∵阴影部分面积为，∴×C′E×C′E=2，C′E=2，∴AC=BC=C′B′=C′E=2，∴B′E=2﹣2，故答案为：2﹣2．【点评】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理和计算能力．20．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=4cm，在射线BC上一动点D，从点B出发，以厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为秒．（结果可含根号）．【考点】等腰三角形的判定．【专题】分类讨论．【分析】当△BCD为等腰三角形时应分当D是顶角顶点，当B是顶角顶点，当A是顶角的顶点三种情况进行讨论，利用勾股定理求得BD的长，从而求解．【解答】解：①如图1，当AD=BD时，在Rt△ACD中，根据勾股定理得到：AD2=AC2+CD2，即BD2=（8﹣BD）2+42，解得，BD=5（cm），则t==（秒）；②如图2，当AB=BD时．在Rt△ABC中，根据勾股定理得到：AB===4，则t==4（秒）；③如图3，当AD=AB时，BD=2BC=16，则t==（秒）；综上所述，t的值可以是：；故答案是：【点评】本题考查了等腰三角形的判定．注意要分类讨论，以防漏解．三、解答题（共50分）21．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．（1）求∠ADE；（直接写出结果）（2）当AB=3，AC=5时，求△ABE的周长．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用．【分析】（1）根据题意可知MN是线段AC的垂直平分线，由此可得出结论；（2）先根据勾股定理求出BC的长，再根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∵由题意可知MN是线段AC的垂直平分线，∴∠ADE=90°；（2）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC==4，∵MN是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，∴△ABE的周长=AB+（AE+BE）=AB+BC=3+4=7．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．22．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）若CD=2，求DF的长．【考点】等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．【专题】几何图形问题．【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED=DC=2，∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．23．现在给出两个三角形，请你把图（1）分割成两个等腰三角形，把图（2）分割成三个等腰三角形．要求：在图（1）、（2）上分割：标出分割后的三角形的各内角的度数．【考点】作图—应用与设计作图．【分析】（1）将图中75°的角分成35°和40°的两个角，则可将图1分割成两个等腰三角形；（2）作其中一个底角的角平分线即可．【解答】解：如图所示：【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握．主要利用两角相等来求证三角形是等腰三角形．因此作底角的平分线即可．24．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BA=BD，∠DAC=∠B，∠C=50°．求∠BAC的度数．【考点】等腰三角形的性质．【分析】设∠DAC=x°，则∠B=2x°，∠BDA=∠C+∠DAC=50°+x°．根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠BDA=50°+x°，根据三角形的内角和列方程即可得到结论．【解答】解：设∠DAC=x°，则∠B=2x°，∠BDA=∠C+∠DAC=50°+x°．∴∠BAD=∠BDA=50°+x°，∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，即2x+50+x+50+x=180，解得x=20．∴∠BAD=∠BDA=50°+20°=70°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=70°+20°=90°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．25．已知：如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，作∠DCE=∠ACD，交AD的延长线于点E，点F是点C关于直线AE的对称点，连接AF．（1）求证：CE=AF；（2）若CD=1，AD=，且∠B=20°，求∠BAF的度数．【考点】勾股定理；轴对称的性质．【分析】（1）由于∠ADC=∠EDC=90°，∠DCE=∠ACD，根据等腰三角形的判定方法得到△ACE为等腰三角形，则AC=CE，由点F是点C关于AE的对称点，根据对称的性质得到AD垂直平分FC，则AF=AC，则CE=AF；（2）在Rt△ACD中，根据勾股定理得到：AC==2，所以CD=AC，故∠DAC=30°；同理可得∠DAF=30°，所以∠BAF=90°﹣∠B﹣∠DAF=40°．【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=∠EDC=90°，∠DCE=∠ACD，∴△ACE为等腰三角形，又∵点F是点C关于AE的对称点，∴AF=AC，∴CE=AF；（2）解：在Rt△ACD中，CD=1，AD=，根据勾股定理得到：AC==2，∴CD=AC，∴∠DAC=30°．同理可得∠DAF=30°，在Rt△ABD中，∠B=20°，∴∠BAF=90°﹣∠B﹣∠DAF=40°．【点评】本题考查了勾股定理，轴对称的性质．如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．26．（10分）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连结CE．（1）如图1，当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 90°°．（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由．②当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）先用等式的性质得出∠CAE=∠BAD，进而得出△ABD≌△ACE，有∠B=∠ACE，最后用等式的性质即可得出结论；（2）①由（1）的结论即可得出α+β=180°；②同（1）的方法即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠DAE=∠BAC，∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC；∴∠CAE=∠BAD；在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）；∴∠B=∠ACE；∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180°﹣∠BAC=90°；故答案为90°；（2）①由（1）中可知β=180°﹣α，∴α、β存在的数量关系为α+β=180°；②当点D在射线BC上时，如图1，同（1）的方法即可得出，△ABD≌△ACE（SAS）；∴∠ABD=∠ACE，∴β=∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABD=180°﹣∠BAC=180°﹣α，∴α+β=180°；当点D在射线BC的反向延长线上时，如图2，同（1）的方法即可得出，△ABD≌△ACE（SAS）；∴∠ABD=∠ACE，∴β=∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=∠ABD﹣∠ACB=∠BAC=α，∴α=β．【点评】此题是作图﹣﹣﹣复杂作图，主要考查了等式的性质，全等三角形的判定，解本题的关键是得出△ABD≌△ACE．。

2.6用尺规作三角形课件湘教版数学八年级上册

•已知线段a，b，c，如图2.6-1. 求作△ ABC，使AB=c， BC=a，AC=b.
感悟新知
作法与图示如下：
作法 ①作线段BC=a ② 以点C 为圆心，以b 为半
径画弧，再以点B 为圆心，以c 为半径画弧，两弧相交于点A ③ 连接AB 和AC，则△ ABC 为所求作的三角形
图示
知1－讲
感悟新知
为所求作的等腰三角形
图示
知2－讲
感悟新知
知2－讲
特别解读
1. 作图依据：等腰三角形的三线合一. 2. 作图思路：运用“作一条线段等于已知线段”和
“作线段的垂直平分线”的基本作图方法.
感悟新知
知2－练
例2 已知线段m，如图2.6-5，求作△ ABC，使AC=
BC，且AB=m，AB 边上的高CE= 1 m. 2
AB=a，AC=2a，∠ A= ∠α .
方法点拨用尺规作图的一般步骤：第一步：分析已知，确定求作类型. 第二步：确定作图思路. 第三步：依次叙述作图过程并作图. 第四步：下结论.
感悟新知
解：(1)作∠ MAN= ∠α ； (2)在射线AM，AN 上分别截取AB=a，AC=2a； (3)连接BC，则△ ABC 就是所求作的三角形，如图2.6-15所示.
∠ α ，∠ ECB= ∠β ，BD 与CE 相交于点A,则△ ABC 为所求作的三角形
图示
知6－讲
感悟新知
知6－讲
特别解读 1. 作图依据：全等三角形的判定方法“ASA”. 2. 已知两个角和其中一个角的对边不能直接作三角
形，要将已知条件先转化为已知两个角和它们的夹边，然后作三角形.
感悟新知
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知识点 4 作一个角等于已知角

浙教版八年级上《第2章特殊三角形》自我评价测试含答案

第2章自我评价一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是(D)A. 线段B. 角C. 等腰三角形D. 等边三角形2．以下列各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是(B)A．3，4，6 B．15，20，25C．5，12，15 D．10，16，253．一个等腰三角形的两边长分别为5，6，则它的周长为(D)A．16 B．17C．18 D．16或174．若等腰三角形有一个角为40°，则它的顶角为(C)A．40°B．100°C．40°或100°D．无法确定5．如图，将直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm的直角△ABC纸片折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为(C)A. 254 B.223C. 74 D.53(第5题)(第6题)6．如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，∠ACD＝88°，则∠B等于(C)A．46°B．44°C．23°D．22°7．在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝(C)(第7题)A．a＋b B．b＋cC．a＋c D．a＋b＋c【解】∵∠ACB＋∠BAC＝90°，∠ACB＋∠DCE＝90°，∴∠BAC＝∠DCE，故可证得△ABC≌△CDE，∴AB＝CD.同理可证得△PQM≌△MFN，∴PQ＝MF.∵CD2＋DE2＝AB2＋DE2＝a，MF2＋FN2＝PQ2＋FN2＝c，又∵S1＝AB2，S2＝DE2，S3＝PQ2，S4＝FN2，∴S1＋S2＋S3＋S4＝AB2＋DE2＋PQ2＋FN2＝a＋c.8．如图，所有的四边形都是正方形，其中最大的正方形的边长为15 cm，正方形A的边长为11 cm，B的边长为8 cm，C的边长为5 cm，则正方形D的边长为(C)A.14 cm B．4 cmC.15 cm D．3 c m【解】设正方形D的边长为x.据勾股定理，得S A＋S B＋S C＋S D＝S大正方形，∴112＋82＋52＋x2＝152，解得x＝±15(负的舍去)，∴正方形D的边长为15.(第8题)(第9题)9．用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案如图所示，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为9，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是(D)A．x2＋y2＝49 B．x－y＝3C．2xy＋9＝49 D．x＋y＝13【解】在Rt△ACB中，x2＋y2＝AB2＝49.∵CD2＝9，∴CD＝3(－3舍去)，∴x－y＝3，∴(x－y)2＝9，∴x2＋y2－2xy＝9，∴2xy＋9＝x2＋y2＝49，∴2xy＝40，∴x2＋y2＋2xy＝89，(x＋y)2＝89，∴x＋y＝89≠13，故选D.10．如图，在下列三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(D)(第10题)A．①②③B．①②④C ．②③④D ．①③④【解】 ①中，作∠ABC 的平分线与AC 交于点D ，则△ABD 和△BCD 为等腰三角形； ②不能分成两个小的等腰三角形；③作∠BAC 的平分线AD ，则△ABD 和△ACD 为等腰三角形；④过点A 作∠BAD ＝36°交BC 于点D ，则△ABD 和△ACD 为等腰三角形．二、填空题(每小题3分，共30分)11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝37°，则∠B ＝__53°__．12. 已知直角三角形的斜边长是6，则以斜边的中点为圆心，斜边上的中线为半径的圆的面积是__9π__．13. 若直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，且满足a 2－6a ＋9＋|b －4|＝0，则该直角三角形的斜边长为__5__．14．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条路，他们仅仅少走了__4__步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．(第14题) (第15题)15．如图，已知D 为等边三角形ABC 内的一点，DB ＝DA ，BF ＝AB ，∠1＝∠2，则∠BFD ＝30°．【解】连结CD ，可证明△BCD ≌△BFD ≌△ACD ，故可得∠BFD ＝∠BCD ＝∠ACD ＝12×60°＝30°.16. 命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形，这个逆命题是__真__命题．(第17题)17．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，AD ⊥BC 于点D ，M 为AD 上任意一点，则MC 2－MB 2等于45．18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，DE ∥AC ，DE 交AB 于点E ，M 为BE 的中点，连结DM .在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形有△MBD ，△MDE ，△EAD ．(第18题) (第19题)19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为S 1，S 2，则S 1＋S 2的值等于__2π__．【解】 S 1＝12π·⎝⎛⎭⎫AC 22＝π8AC 2，S 2＝12π·⎝⎛⎭⎫BC 22＝π8BC 2，∴S 1＋S 2＝π8(AC 2＋BC 2)＝π8AB 2＝2π.(第20题)20．如图，已知等腰Rt △ABC 的直角边长为1，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ……依此类推，直到第五个等腰Rt △AFG ，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为__15.5__．【解】 ∵AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝90°， ∴CA ＝12＋12＝2＝DC .同理，DA ＝（2）2＋（2）2＝2＝DE ，EA ＝22＋22＝2 2＝EF ，F A ＝（2 2）2＋（2 2）2＝4＝FG .∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×1×1＝12，S △ACD ＝12AC ·CD ＝12×2×2＝1，S △ADE ＝12AD ·DE ＝12×2×2＝2，S △AEF ＝12AE ·EF ＝12×2 2×2 2＝4，S △AFG ＝12AF ·FG ＝12×4×4＝8.∴S △A BC ＋S △ACD ＋S △ADE ＋S △AEF ＋S △AFG ＝12＋1＋2＋4＋8＝1512.三、解答题(共40分)(第21题)21．(6分)在一块平地上，张大爷家房屋前9 m 远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6 m 处折断倒下，量得倒下部分的长是10 m ．大树倒下时会砸到张大爷的房子吗？请你通过计算，分析后给出正确的回答．【解】不会．理由如下：如解图，在(第21题解)Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10 m ，AC ＝6 m ．由勾股定理，得BC ＝AB 2－AC 2＝100－36＝8(m)． ∵8<9，∴大树不会砸到张大爷的房子．(第22题)22．(6分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点，∠B ＝30°，∠DAB ＝45°. (1)求∠DAC 的度数； (2)求证：DC ＝AB . 【解】 (1)∵AB ＝AC ， ∴∠C ＝∠B ＝30°.∵∠C＋∠BAC＋∠B＝180°，∴∠BAC＝180°－30°－30°＝120°.∵∠DAB＝45°，∴∠DAC＝∠BAC－∠DAB＝120°－45°＝75°.(2)∵∠DAB＝45°，∠B＝30°，∴∠ADC＝∠B＋∠DAB＝75°.∵∠DAC＝75°，∴∠DAC＝∠ADC，∴DC＝AC.∵AB＝AC，∴DC＝AB.23．(8分)在△ABC中，AB边上的中线CD＝3，AB＝6，AC＋BC＝8.求△ABC的面积．(第23题解)【解】如解图，在△ABC中，CD是AB边上的中线．∵CD＝3，AB＝6，∴AD＝DB＝3，∴CD＝AD＝DB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠1＋∠3＝90°，∴△ABC是直角三角形，∴AC2＋BC2＝AB2＝36.又∵AC＋BC＝8，∴AC2＋2AC·BC＋BC2＝64，∴2AC·BC＝64－(AC2＋BC2)＝64－36＝28.又∵S△ABC＝12AC·BC，∴S△ABC ＝12×282＝7.(第24题)24．(8分)一牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A，B处距河岸的距离分别是AC＝500 m，BD＝700 m，且C，D两地间的距离也为500 m，天黑前牧童从点A将马牵到河边去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短．(1)牧童应将马赶到河边的什么地点？请你在图中画出来；(2)问：他至少要走多少路？【解】(1)如解图①，作点A关于河岸的对称点A′，连结BA′交河岸于点P，则PB＋P A＝PB＋P A′＝BA′最短，故牧童应将马赶到河边的点P处．(第24题解)(2)如解图②，过点A′作A′B⊥BD交BD的延长线于点B′.易知A′C∥B′D，A′B′∥CD，∴四边形A′B′DC是平行四边形，∴B′A′＝CD＝500 m，B′D＝A′C＝AC＝500 m.在Rt△BB′A′中，BB′＝BD＋DB′＝1200 m，A′B′＝500 m，∴BA′＝12002＋5002＝1300(m)．答：他至少要走1300 m路．25．(12分)某数学兴趣小组开展了一次活动，过程记录如下：设∠BAC＝θ(0°＜θ＜90°)．现把不同长度的小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上．活动一：如图①，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．(第25题①)数学思考：(1)小棒能无限摆下去吗？答：__能__(填“能”或“不能”)；(2)设AA1＝A1A2＝A2A3＝1.①θ＝__22.5__度；②若记小棒A2n－1A2n的长度为a n(n为正整数，如A1A2＝a1，A3A4＝a2)，求此时a2，a3的值，并直接写出a n的值(用含n的式子表示)；活动二：如图②，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1.(第25题②)数学思考：(3)若已经向右摆放了3根小棒，则θ1＝__2θ__，θ2＝__3θ___，θ3＝__4θ___(用含θ的式子表示)； (4)若只能摆放4根小棒，求θ的范围．【解】 (2)②∵AA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝1, A 1A 2⊥A 2A 3， ∴A 1A 3＝2，AA 3＝1＋ 2. 又∵A 2A 3⊥A 3A 4，∴A 1A 2∥A 3A 4. 同理，A 3A 4∥A 5A 6，∴∠A ＝∠AA 2A 1＝∠AA 4A 3＝∠AA 6A 5， ∴AA 3＝A 3A 4，AA 5＝A 5A 6， ∴a 2＝A 3A 4＝AA 3＝1＋2， a 3＝AA 3＋A 3A 5＝a 2＋A 3A 5. ∵A 3A 5＝2a 2，∴a 3＝A 5A 6＝AA 5＝a 2＋2a 2＝(2＋1)2. 同理，a n ＝(2＋1)n －1.(4)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4θ<90°，5θ≥90°，∴18°≤θ＜22.5°.。

浙教版八年级第2章特殊三角形教材分析

第2章特殊三角形这一章主要阐述了等腰三角形和直角三角形的基础知识。

等腰三角形部分：(1) 了解等腰三角形的有关概念(2) 探索并掌握等腰三角形的性质(3) 探索一个三角形是等腰三角形的条件(4) 了解等腰三角形的性质和一个三角形是等边三角形的条件直角三角形部分：(1) 了解直角三角形的有关概念(2) 探索并掌握直角三角形的性质(3) 体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题(4) 探索一个三角形是直角三角形的条件(5) 会说明直角三角形全等的判定方法本章内容之间的相互联系可用如下结构框图表示：本章的性质和判定是研究图形的两方面基本内容，也是图形的应用和学习后续几何知识的基础, 所以本章的教学重点是等腰三角形和直角三角形这两类图形的性质和判定. 等腰三角形的判定，直角三角形的勾股定理等一些图形的性质和方法的推导过程比较复杂，在解决某些问题中推理的要求与过去相比有所提高，理解这些推理过程，并学会表述是本章教学的主要难点.本章课时安排建议：2.1节1课时2.2节1课时2.3节1课时2.4节1课时2.5节2课时2.6节2课时2.7节1课时复习、评价3课时，机动1课时，合计13课时.本章教学应注意以下几点1. 对等腰三角形、直角三角形的性质和判定方法，课本采取了实验和推理相结合的方法，表明本章仍属于由实验几何向论证几何过渡的阶段，因此在教学中仍需重视观察、实验、操作、归纳等方法，尤其要重视图形的性质和判定方法的发现过程. 同时，要让学生理解推理的必要性，学会推理及其表述，对比较复杂的推理过程，要做好思路的启发和分析.2. 本章所涉及的性质和判定方法实际都是定理，并且多数是《标准》中目标列项的定理，如等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线三线合一；有两个角相等的三角形是等腰三角形；直角三角形的两锐角互余，斜边上的中线等于斜边上的一半；有两个角互余的三角形是直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理；角的内部，到两边距离相等的点在角的平分线上等，教学中应要求学生掌握，并能把它们作为推理的依据；有些定理，如直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理的逆定理，需在以后给出证明，教学中应把重点放在这些定理的发现过程，分清定理中的条件和结纶，学会这些定理的应用，但不要补充推导或证明.3. 本章已经要求学生完整地书写推理过程，教学中要较细致地做好推理及其表述的指导.要求学生写推理过程的题，要严格控制难度，一般不要超过《标准》所列的12个定理的证明难度.各节提要：2.1 等腰三角形重点和难点本节的重点是等腰三角形的有关概念，等腰三角形是轴对称图形是本节教学中的难点. 说明和建议：1. 由于等腰三角形的概念在小学中已学过，课本直接给出等腰三角形的定义。

八年级（湘教版）数学上册教案：第2章三角形

第2章三角形 2.1 三角形第1课时三角形的有关概念及三边关系1.通过具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素.2.学会三角形的表示及根据“是否有边相等”对三角形进行的分类.3.掌握三角形三条边之间的关系.(重点)自学指导：阅读教材P42～44，完成下列各题. (一)知识探究1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.2.等边三角形：三条边都相等的三角形.3.等腰三角形：有两边相等的三角形，其中相等的两条边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.4.不等边三角形：三条边都不相等的三角形.5.三角形按边的相等关系分类：三角形⎩⎪⎨⎪⎧不等边三角形等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形6.三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边.三角形两边之和大于第三边指的是三角形任意两边之和大于第三边，即a ＋b>c ，b ＋c>a ，c ＋a>b 三个不等式同时成立. (二)自学反馈1.找一找，图中有多少个三角形，并把它们写下来.解：图中有5个三角形.分别是△ABE 、△DEC 、△BEC 、△ABC 、△DBC. 2.下列长度的三条线段能否组成三角形？ (1)3，4，8；(不能)(2)2，5，6；(能)(3)5，6，10；(能)(4)5，6，11.(不能)用较短的两条线段之和与最长的线段比较，若和大，能组成三角形；反之，则不能.活动1 小组讨论例如图，D是△ABC的边AC上一点，AD＝BD，试判断AC与BC的大小.解：在△BDC中，有BD＋DC>BC(三角形的任意两边之和大于第三边).又因为AD＝BD，则BD＋DC＝AD＋DC＝AC，所以AC>BC.活动2 跟踪训练1.现有两根木棒，它们的长度分别为20 cm和30 cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，应在下列四根木棒中选取(B)A.10 cm的木棒B.20 cm的木棒C.50 cm的木棒D.60 cm的木棒2.看图填空，如图：(1)如图中共有4个三角形，它们是△ABC、△EBG、△AEF、△CGF；(2)△BGE的三个顶点分别是B、G、E，三条边分别是BE、EG、BE，三个角分别是∠B、∠BEG、∠BGE；(3)△AEF中，顶点A所对的边是EF；边AF所对的顶点是E；(4)∠ACB是△ACB的内角，∠ACB的对边是AB.3.用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？(2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？解：(1)设底边长为x厘米，则腰长为2x厘米.则x＋2x＋2x＝18.解得x＝3.6.所以三边长分别为3.6厘米、7.2厘米、7.2厘米.(2)①当4厘米长为底边，设腰长为x厘米，则4＋2x＝18.解得x＝7.所以等腰三角形的三边长为7厘米、7厘米、4厘米；②当4厘米长为腰长，设底边长为x厘米，可得4×2＋x＝18.解得x＝10.因为4＋4<10，所以此时不能构成三角形.即可围成等腰三角形，且三边长分别为7厘米、7厘米和4厘米.活动3 课堂小结1.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.三角形的对、角、顶点及表示方法.2.三角形的分类：按边和角分类.3.三角形的三边关系：三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边的差小于第三边.第2课时三角形的高、角平分线和中线1.能找到一个三角形的高，知道三角形的角平分线和中线的含义，了解三角形的重心.(重点)2.能应用三角形的高、角平分线和中线解决相关的问题.(难点)自学指导：阅读教材P44～45，完成下列问题.(一)知识探究1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.2.在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.3.在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线；三角形的三条中线相交于一点，我们把这三条中线的交点叫作三角形的重心.(二)自学反馈1.如图，过△ABC的顶点A作BC边上的高，以下作法正确的是(A)2.如图所示，D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，那么下列说法中不正确的是(D)A.在△CDE中，∠C的对边是DEB.BD是△ABC的中线C.AD＝DC，BE＝ECD.DE是△ABC的中线3.如图所示，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，AE是哪个三角形的角平分线(D)A.△ABEB.△ADFC.△ABCD.△ABC，△ADF活动1 小组讨论例如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高.(1)图中共有几个三角形？请分别列举出来.(2)其中哪些三角形的面积相等？解：(1)图中有6个三角形，它们分别是△ABD ，△ADE ，△AEC ，△ABE ，△ADC ，△ABC. (2)因为AD 是△ABC 的中线，所以BD ＝DC.因为AE 是△ABC 的高，也是△ABD 和△ADC 的高，又S △ABD ＝12BD ·AE ，S △ADC ＝12DC ·AE ，所以S △ABD ＝S △ADC .活动2 跟踪训练1.一定能将三角形面积平分成相等两部分的是三角形的(B) A.高线 B.中线 C.角平分线 D.不确定2.如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，把△ABC 沿直线AC 翻折180°，使点B 落在点B ′的位置，则线段AC(D)A.是边BB ′上的中线B.是边BB ′上的高C.是∠BAB ′的角平分线D.以上都对3.如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AD 的中点，S △ABC ＝4 cm 2，则S △ABE 的面积是1cm 2.活动3 课堂小结三角形中几条重要线段：高、角平分线、中线.第3课时三角形内角和定理1.知道三角形的内角和是180°，能应用此性质解决相关问题.2.知道三角形的分类，并会用数学符号表示直角三角形.3.会找一个三角形的外角，能应用三角形外角的性质解决相关问题.(重点)自学指导：阅读教材P46～48，完成下列问题.(一)知识探究1.三角形的内角和等于180°.2.三角形中，三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形.3.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.(二)自学反馈1.△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC是(B)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2.在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝50°.3.求下列各图中∠1的度数.解：75°，125°.活动1 小组讨论例在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 解：设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x＋15)°，从而有3x＋x＋(x＋15)＝180.解得x＝33.所以3x＝99，x＋15＝48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.活动2 跟踪训练1.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C的度数为(C)A.45°B.60°C.75°D.90°2.如图，AC∥ED，∠C＝26°，∠CBE＝37°，则∠BED的度数是(A)A.63°B.83°C.73°D.53°3.如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B＝30°，∠DAE＝50°，则∠D的度数为20°，∠ACD的度数为110°.活动3 课堂小结2.2 命题与证明第1课时定义与命题1.知道“定义”和“命题”，能判断给出的语句哪些是命题.2.能把简单的命题写成“如果……，那么……”的形式，能找到命题的条件和结论.(重点)3.知道什么是“原命题”、“逆命题”和“互逆命题”，能写出已知命题的逆命题.(重难点)自学指导：阅读教材P50～52，完成下列问题.(一)知识探究1.对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.2.对某一件事情作出判断的语句(陈述句)叫作命题.3.命题通常写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分就是条件，“那么”引出的部分就是结论.4.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.只要将一个命题的条件和结论互换，就可得到它的逆命题，所以每一个命题都有逆命题.(二)自学反馈1.下列语句中，属于定义的是(D)A.两点确定一条直线B.平行线的同位角相等C.两点之间线段最短D.直线外一点到直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离2.下列语句中哪些是命题，哪些不是命题？(1)负数都小于零；(2)当a＞0时，|a|＝a；(3)平角与周角一定不相等.解：(1)(2)(3)都是命题.3.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.(1)对顶角相等；解：如果这两个角是对顶角，那么这两个角相等.(2)同位角相等.解：如果两个角是同位角，那么这两个角相等.活动1 小组讨论例1判断下列语句哪些是命题？哪些不是？(1)画一个角等于已知角；(2)两直线平行，同位角相等；(3)同位角相等，两条直线平行吗？(4)鸟是动物；(5)若x－5＝0，求x的值.解：(2)(4)是命题；(1)(3)(5)不是命题.例2指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的逆命题.(1)两直线平行，同位角相等；解：条件是“两直线平行”，结论是“同位角相等”.可以改写成“如果两直线平行，那么同位角相等”.逆命题是：同位角相等，两直线平行.(2)垂直于同一直线的两条直线平行；解：条件是“垂直于同一直线的两条直线”，结论是“这两条直线平行”.可以改写成“如果有两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”.逆命题是：两条直线平行，这两条直线会垂直于同一直线.(3)对顶角相等.解：条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”.可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”.逆命题是：相等的角是对顶角.活动2 跟踪训练1.下列语句中，是命题的是(B)A.连接A、B两点B.锐角小于钝角C.作平行线D.取线段AB的中点M2.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的逆命题.(1)能被2整除的数必能被4整除；解：如果一个数能被2整除，那么这个数一定能被4整除.(2)异号两数相加得零.解：如果两个数异号，那么这两个数相加的和为零.3.写出下列命题的逆命题.(1)直角三角形的两个锐角互余；解：两个锐角互余的三角形是直角三角形.(2)若a＝0，则ab＝0.解：若ab＝0，则a＝0.活动3 课堂小结第2课时真命题、假命题与定理1.会判断一个命题的真假，并且知道要判定一个命题是真命题需要证明；要判定一个命题是假命题，只需举反例.(重点)2.知道基本事实、定理和逆定理的含义，以及它们之间的内在联系.3.知道公理与定理的区别，认识公理是进行逻辑推理的基本依据.自学指导：阅读教材P53～55，完成下列问题.(一)知识探究1.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题.2.如何判断一个命题为真命题，这个过程叫作证明.如何判断一个命题为假命题，这种方法叫作举反例.3.由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.4.逆定理是一个定理的逆命题能被证明是真命题，而逆命题不一定是真的.基本事实和定理的相同点：都是真命题；不同点：基本事实是不需要证明的，而定理是需要经过证明.(二)自学反馈1.下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？(1)直角三角形的两锐角互余；解：真命题.(2)如果a>b，那么a2>b2.解：假命题，例如，a＝1，b＝－2，则a>b，而a2<b2.2.判断.(正确的打“√”，错误的打“”)(1)定理和公理都是真命题；(√)(2)定理是命题，命题未必是定理；(√)(3)公理是真命题，真命题是公理；()(4)“对顶角相等”与“相等的角是对顶角”是互逆定理.()活动1 小组讨论例1有下面命题：①直角三角形的两个锐角互余；②钝角三角形的两个内角互补；③两个锐角的和一定是直角；④两点之间线段最短.其中，真命题有(B)A.1个B.2个C.3个D.4个例2判断下列命题的真假，举出反例.①大于锐角的角是钝角；②如果一个实数有算术平方根，那么它的算术平方根是整数；③如果AC＝BC，那么点C是线段AB的中点.解：①②③假命题.①的反例：90°的角大于锐角，但不是钝角.②的反例：5有算术平方根，但算术平方根不是整数.③的反例：如果AC＝BC，而点A，B，C三点不在同一直线上，那么点C就不是AB的中点.活动2 跟踪训练1.下列命题中，真命题是(D)A.相等的角是直角B.不相交的两条线段平行C.两直线平行，同位角互补D.经过两点有且只有一条直线2.写出你熟悉的一个定理：两直线平行，同位角相等，写出这个定理的逆定理：同位角相等，两直线平行.3.下列命题是真命题吗？若不是请举出反例.(1)只有锐角才有余角；解：真命题.(2)若x2＝4，则x＝2；解：假命题，如x＝－2.(3)a2＋1≥1；解：真命题.(4)若|a|＝－a，则a<0.解：假命题，如a＝0.活动3 课堂小结第3课时命题的证明1.知道证明的含义及步骤，能用规范的语言进行证明.2.会证明文字类证明题.3.能利用反证法进行简单的证明.(重点)自学指导：阅读教材P55～57，完成下列问题.(一)知识探究1.数学上证明一个命题时，常常从命题的条件出发，通过一步步推理，最后证实这个命题的结论成立，这是证明的含义.也就是说，我们在证明一个命题时，将条件作为“已知”，结论作为“求证”.2.文字证明题的基本步骤：第1步：根据题意画出图形；第2步：根据命题的条件和结论，结合图形，写出已知、求证.第3步：通过分析，找出证明的途径，写出证明的过程.3.先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.基本思路归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.(二)自学反馈1.证明：三角形内角和为180°.解：已知：如图所示的△ABC.求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.证明：过点C作CD∥AB，点E为BC的延长线上一点，如图.∵CD∥AB，∴∠1＝∠A，∠2＝∠B.∵∠C＋∠1＋∠2＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°.2.用反证法证明下题.已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A＋∠B＝90°.证明：假设∠A＋∠B≠90°，所以∠A＋∠B＋∠C≠180°，这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不正确.因此，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A＋∠B＝90°.活动1 小组讨论例1已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.求证：AE∥BC.证明：因为∠DAC ＝∠B ＋∠C ，∠B ＝∠C ，所以∠DAC ＝2∠B. 又因为AE 平分∠DAC. 所以∠DAC ＝2∠DAE. 所以∠DAE ＝∠B. 所以AE ∥BC.例2 已知：∠A ，∠B ，∠C 是△ABC 的内角.求证：∠A ，∠B ，∠C 中至少有一个角大于或等于60°. 证明：假设∠A ，∠B ，∠C 中没有一个角大于或等于60°，即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°，则∠A ＋∠B ＋∠C<180°.这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不成立. 因此，∠A ，∠B ，∠C 中至少有一个角大于或等于60°. 活动2 跟踪训练1.如图，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P.求证：∠P ＝90°.证明：∵AB ∥CD ， ∴∠BEF ＋∠DFE ＝180°.又∵∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ， ∴∠PEF ＝12∠BEF ，∠PFE ＝12∠DFE.∴∠PEF ＋∠PFE ＝12(∠BEF ＋∠DFE)＝90°.∵∠PEF ＋∠PFE ＋∠P ＝180°， ∴∠P ＝90°.2.用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.解：已知：如图，∠1是△ABC的一个外角，求证：∠1＝∠A＋∠B，证明：假设∠1≠∠A＋∠B，在△ABC中，∠A＋∠B＋∠2＝180°，∴∠A＋∠B＝180°－∠2，∵∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝180°－∠2，∴∠1＝∠A＋∠B，与假设相矛盾，∴假设不成立，∴原命题成立，即∠1＝∠A＋∠B.活动3 课堂小结2.3 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质1.能用语言描述等腰三角形的性质，并会运用性质解决一些简单的实际问题.2.能用等腰三角形的性质推导出等边三角形的性质.(重难点)自学指导：阅读教材P61～63，完成下列问题.(一)知识探究1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).2.等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.3.等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线.4.等边三角形三边相等，三个内角相等，且都等于60°.等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质.(二)自学反馈1.在△ABC中，若AC＝AB，则∠B＝∠C.2.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上.(1)∵AD⊥BC，∴∠1＝∠2，BD＝CD；(2)∵AD是中线，∴AD⊥BC，∠1＝∠2；(3)∵AD是角平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD.活动1 小组讨论例已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，且AD＝AE.求证：BD＝CE.证明：作AF⊥BC，垂足为点F，则AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底边上的高，也是底边上的中线.∴BF＝CF，DF＝EF.∴BF－DF＝CF－EF，即BD＝CE.利用等腰三角形三线合一的性质求证.活动2 跟踪训练1.若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为(B)A.80°B.50°C.40°D.20°2.如图，△ABC是等边三角形，则∠1＋∠2＝(C)A.60°B.90°C.120°D.180°3.如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，则∠C的度数为25°.活动3 课堂小结第2课时等腰三角形的判定1.能感知等腰三角形和等边三角形判定定理的推导过程，能复述等腰三角形和等边三角形的判定定理，会用几何语言进行描述.(重点)2.能运用判定定理解决一些实际问题.(难点)自学指导：阅读教材P63～65，完成下列问题.(一)知识探究1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.2.等边三角形的判定定理：(1)三个角都是60°的三角形是等边三角形；(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.3.观察思考，并在箭头上填上相应的条件.(二)自学反馈1.在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝50°，那么△ABC的形状是等腰三角形.要证一个三角形是等腰三角形，只需要证这个三角形中有两个内角相等即可.2.如图，兴趣小组在一次测量池塘宽度AB的实践活动中测得∠APB＝60°，AP＝BP＝200 m，他们便得出了结论：池塘宽度AB的长为200 m.他们的结论对吗？请说明理由.解：他们的结论对.因为AP＝BP，所以△ABP是等腰三角形.又∠APB＝60°，所以△ABP是等边三角形.所以AB＝AP＝200 m.活动1 小组讨论例1已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.求证：△ADE 为等腰三角形.证明：因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.又因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.所以∠ADE＝∠AED.所以△ADE为等腰三角形.例2已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD＝AE.求证：△ADE为等边三角形.证明：因为△ABC是等边三角形，所以∠BAC＝∠B＝∠C＝60°.所以∠EAD＝∠BAC＝60°.又因为AD＝AE，所以△ADE为等边三角形(有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形).活动2 跟踪训练1.已知a，b，c是三角形的三边长，且满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则这个三角形一定是(B)A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.不等边三角形2.下列命题：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形.其中正确的是①④(只填序号).3.如图，△ABC为等边三角形，∠1＝∠2＝∠3，试判断△DEF的形状，并说明理由.解：△DEF是等边三角形.理由：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵∠FDB＝∠FDE＋∠1＝∠A＋∠2，∠1＝∠2，∴∠FDE＝∠A＝60°.同理：∠DEF＝60°，∠DFE＝60°.∴∠FDE＝∠DEF＝∠DFE＝60°，∴△DEF是等边三角形.活动3 课堂小结2.4 线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质和判定1.通过作图，探究、总结、归纳垂直平分线的性质.识记并能用几何语言描述线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理.(重点)2.会运用垂直平分线的性质定理及其逆定理解决实际问题.(难点)自学指导：阅读教材P68～69，完成下列问题.(一)知识探究1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.2.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.(二)自学反馈1.如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC＝7 cm，那么ED＝7cm，如果∠ECD＝60°，那么∠EDC＝60°.2.如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是(D)A.ED＝CDB.∠DAC＝∠BC.∠C＞2∠BD.∠B＋∠ADE＝90°3.如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，且BD＝3 cm，△ABC的周长为20 cm，则AC的长为7cm.活动1 小组讨论例已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.证明：因为点O在线段AB的垂直平分线上，所以OA＝OB.同理：OB＝OC.∴OA＝OC.所以点O在AC的垂直平分线上.活动2 跟踪训练1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(B)A.6B.5C.4D.32.在锐角△ABC内一点P满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC的(D)A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点3.如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF＝12，BF＝3，则BC＝15.4.到平面内不在同一直线上的三个点A、B、C的距离相等的点有1个.活动3 课堂小结本课时主要学习了哪些知识与方法？有何收获和感悟？还有哪些疑惑？第2课时作线段的垂直平分线1.知道尺规作图法及其具体要求.2.会用尺规作线段的垂直平分线以及会写其作法，理解作图的原理.(重难点)3.会用尺规作直线的垂线以及会写其作法，理解作图的原理.自学指导：阅读教材P70～71，完成下列问题.自学反馈1.尺规作图所用的作图工具是指(B)A.刻度尺和圆规B.不带刻度的直尺和圆规C.刻度尺和量角器D.量角器和圆规2.右图中的尺规作图是作(A)A.线段的垂直平分线B.一条线段等于已知线段C.一个角等于已知角D.角的平分线活动1 小组讨论例1 如图，已知线段AB ，作线段AB 的垂直平分线.解：作法：①分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C 和点D ；②过点C ，D 作直线CD ，则直线CD 就是线段AB 的垂直平分线. 例2 如何过一点P 作已知直线l 的垂线呢？解：点P 与已知直线l 的位置关系有两种：点P 在直线l 上或点P 在直线l 外.(1)当点P 在直线l 上.作法：①在直线l 上点P 的两旁分别截取线段PA ，PB ，使PA ＝PB ； ②分别以A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C ；③过点C ，P 作直线CP ，则直线CP 为所求作的直线.(2)当点P 在直线l 外.作法：①以点P 为圆心，大于点P 到直线l 的距离的线段长为半径画弧，交直线l 于点A ，B ； ②分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C ；③过点C ，P 作直线CP ，则直线CP 为所求作的直线.活动2 跟踪训练1.下列作图属于尺规作图的是(D)A.画线段MN＝3 cmB.用量角器画出∠AOB的平分线C.用三角尺作过点A垂直于直线l的直线D.已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α2.△ABC的边AB的垂直平分线经过点C，则有(C)A.AB＝ACB.AB＝BCC.AC＝BCD.∠B＝∠C3.过点P作直线l的垂线.解：略.活动3 课堂小结2.5 全等三角形第1课时全等三角形及其性质1.知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素.2.知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等.(重难点)自学指导：阅读教材P74～75，完成下列问题.(一)知识探究(1)下列图形中的全等图形是d与g、e与h.(2)如图，△ABC与△DEF能重合，则记作：△ABC≌△DEF，读作：△ABC全等于△DEF，对应顶点是A与D、B与E、C与F；对应边是AB与DE、AC与DF、BC与EF；对应角是∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F.通常把对应顶点的字母写在对应的位置上.(二)自学反馈1.如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，相等的边有AC＝DB，CO＝BO，AO＝DO，相等的角有∠A＝∠D，∠C＝∠B，∠COA＝∠BOD.2.△OCA≌△OBD，且OC＝3 cm，BD＝4 cm，OD＝6 cm.则△OCA的周长为13__cm.∠C＝110°，∠A ＝30°，则∠BOC＝140°.全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，全等三角形的周长相等.活动1 小组讨论例如图，已知△ABC≌△DCB，AB＝3，DB＝4，∠A＝60°.(1)写出△ABC和△DCB的对应边和对应角；(2)求AC，DC的长及∠D的度数.解：(1)AB与DC、AC与DB、BC与CB是对应边；∠A与∠D、∠ABC与∠DCB、∠ACB与∠DBC是对应角.(2)∵AC与DB，AB与DC是全等三角形的对应边，∴AC＝DB＝4，DC＝AB＝3.∵∠A与∠D是全等三角形的对应角，∴∠D＝∠A＝60°.活动2 跟踪训练1.如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE＝∠AED，∠B＝∠C，指出其他的对应边和对应角.解：对应边有AB与AC，AE与AD，BE与CD，对应角有∠BAE与∠CAD.根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素.常用方法有：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边；(2)全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角.2.如图，△ABC≌△CDA.求证：AB∥CD.证明：∵△ABC≌△CDA，∴∠BAC＝∠DCA.∴AB∥CD.注意对应关系.活动3 课堂小结通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素.这也是这节课大家要重点掌握的.第2课时全等三角形的判定1—SAS1.体会从图形的平移、轴反射、旋转变换出发，得出三角形全等的判定定理——边角边定理.2.能应用边角边定理证明两个三角形全等.(重难点)3.学会综合应用边角边定理以及几何的相关知识，进行简单的推理论证.自学指导：阅读教材P76～78，完成下列问题. (一)知识探究边角边定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS ”). 用数学语言表述：在△ABC 和△A ′B ′C ′中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝A ′B ′，∠B ＝∠B ′，BC ＝B ′C ′，∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(SAS). (二)自学反馈1.如图，AB ＝DB ，BC ＝BE ，欲证△ABE ≌△DBC ，则需要增加的条件是(D)A.∠A ＝∠DB.∠E ＝∠CC.∠A ＝∠CD.∠ABD ＝∠EBC2.已知：如图，AB 、CD 相交于O 点，AO ＝CO ，OD ＝OB.求证：∠D ＝∠B.证明：在△AOD 与△COB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝CO （已知），∠AOD ＝∠COB （对顶角相等），OD ＝OB （已知）， ∴△AOD ≌△COB(SAS).∴∠D ＝∠B(全等三角形的对应角相等).要证∠D ＝∠B ，只要证△AOD ≌△COB.3.已知：如图，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD.求证：∠B ＝∠C.证明：∵在△ABD 与△ACD 中，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD(SAS).∴∠B ＝∠C.1.利用SAS 证明全等时，要注意“角”只能是两组相等边的夹角，在书写证明过程时相等的角应写在中间；2.证明过程中注意隐含条件的挖掘，如“对顶角相等”，“公共角、公共边”等.活动1 小组讨论例已知：如图，AB 和CD 相交于点O ，且AO ＝BO ，CO ＝DO.求证：△ACO ≌△BDO.证明：在△ACO 和△BDO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝BO ，∠AOC ＝∠BOD （对顶角相等），CO ＝DO ，∴△ACO ≌△BDO(SAS).利用“SAS ”证明两个三角形全等，只要找到两条边及其夹角相等即可.活动2 跟踪训练1.已知：如图，AB ∥CD ，AB ＝CD.求证：AD ∥BC.。

新湘教版八年级上册初中数学 2.6 用尺规作三角形教案(教学设计)

第2章三角形2.6 用尺规作三角形【知识与技能】1．已知三边会作三角形；(重点)2．已知底边及底边上的高会作等腰三角形；(重点，难点)3．会作已知角的平分线．(重点，难点)4．会作一个角等于已知角；(重点)5．已知两边及其夹角会作三角形；(重点，难点)6．已知两角及其夹边会作三角形．(重点，难点)【过程与方法】使学生经历探索三角形全等的过程，体验用操作、归纳得出数学结论的过程.【情感态度与价值观】探究三角形全等条件的判定过程，以观察思考，动手画图，合作交流等多种形式让学生共同探讨，培养学生的合作精神.已知三边会作三角形.已知底边及底边上的高会作等腰三角形.多媒体课件.一、情境导入小明在一个工程施工图上看到一个三角形图形，他想用直尺和圆规画一个与这个三角形全等的三角形，应当怎样画？二、合作探究探究点一：已知三边作三角形【类型一】已知三边作三角形已知三条线段a、b、c，用尺规作出△ABC，使BC＝a，AC＝b、AB＝c.解：作法：1.作线段BC＝a；2．以点C为圆心，以b为半径画弧，再以B为圆心，以c为半径画弧，两弧相交于点A；3．连接AC和AB，则△ABC即为所求作的三角形，如图所示．方法总结：已知三角形三边的长，根据全等三角形的判定定理SSS知，三角形的形状和大小也就确定了．作三角形相当于确定三角形三个顶点的位置．因此可先确定三角形的一条边(即两个顶点)，再分别以这条边的两个端点为圆心，以已知线段长为半径画弧，两弧的交点即为另一个顶点．【类型二】已知三边作三角形的运用已知：线段a，b，m，求作△ABC，使AB＝a，AC＝b，BC边上的中线等于m.解析：本题中，已知两边和第三边上的中线，可考虑倍长中线，即作△ABE，使AB＝a，AE＝2m，BE＝b，再取AE的中点D，倍长中线BD.解：作法：1.作线段AB＝a；2．分别以A、B为圆心，2m，b为半径画弧，两弧交于E，连接AE、BE；3．取AE中点D，连接BD并延长至C，使DC＝BD；4．连接AC，∴△ABC即为所求．方法总结：有关三角形的中线的作图、计算或证明，如果直接解题较麻烦，一般可以把中线延长，使延长部分等于中线长．探究点二：已知底边和底边上的高作等腰三角形已知线段c ，求作△ABC ，使AC ＝BC ，AB ＝c ，AB 边上的高CD ＝12c .解析：由题意知，△ABC 是等腰三角形，高把底边垂直平分，且高等于底边长的一半．解：作法：1.作线段AB ＝c ；2．作线段AB 的垂直平分线EF ，交AB 于D ；3．在射线DF 上截取DC ＝12c ，连接AC ，BC ，则△ABC 即为所求作的三角形，如图所示．方法总结：已知底边长作等腰三角形时，一般可先作底边的垂直平分线，再结合等腰三角形底边上的高可确定另一个顶点的位置．探究点三：作已知角的平分线【类型一】作已知角的平分线用尺规作图作出∠ABC 的平分线．解：作法：1.在BA ，BC 上分别截取BM ，BN ，使BM ＝BN ；2．分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，在∠ABC 内两弧交于点O ；3．过点O 作射线BP ，则BP 为所求作的∠ABC 的平分线，如图所示．方法总结：作角平分线的理论依据是全等三角形的判定定理SSS ，如本题中，△BMO ≌△BNO，从而有∠ABP＝∠CBP.【类型二】作已知角的平分线与作线段的垂直平分线的综合运用如图，已知点M、N和∠AOB，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，且在∠AOB的角平分线上．解析：P到点M、N的距离相等，则点P在线段MN的垂直平分线上，又在∠AOB的角平分线上，即是这两条线的交点．解：1.作∠AOB的平分线OC；2．作MN的垂直平分线DE，与OC交于点P；点P就是所求作的点，如图所示．方法总结：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，所以要求作一点，使这一点到已知两点的距离相等，则这一点一定在连接已知两点的线段的垂直平分线上．探究点一：作一个角等于已知角如图，已知∠AOB，求作一个角，使它等于∠AOB.解：作法：1.作射线O′A′；2．以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；3．以O′点为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A′于点C′；4．以C′点为圆心，以CD长为半径画弧，交前弧于点D′；5．过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′为所求作的角．方法总结：作一个角等于已知角，实质是构造两个全等三角形，如本题中，△OCD≌△O′C′D′.探究点二：已知两边及其夹角作三角形如图，已知∠α和线段m，n.求作△ABC，使∠B＝∠α，BA＝n，BC＝m.解：作法：1.作∠MBN＝α；2．在射线BN，BM上分别截取BC＝m，BA＝n；3．连接AC，则△ABC就是所求作的三角形．方法总结：已知两边及其夹角作三角形的理论依据是判定三角形全等的SAS，作图时可先作一个角等于已知角，再在角的两边分别截取已知线段长即可．探究点三：已知两角及其夹边作三角形已知∠α，∠β，线段c.求作△ABC，使得∠ABC＝∠α，∠ACB＝∠β，BC＝c.解：作法：1.作线段BC＝c；2．在BC的同旁，作∠DBC＝∠α，作∠ECB＝∠β，DB与EC交于A.则△ABC就是所求作的三角形．方法总结：已知两角及其夹边作三角形的理论依据是判定三角形全等的ASA，作图时可先作一条边等于已知边，再在这条边的同侧，以边的两个端点为顶点作两个角分别等于已知角即可．本节课学习了用尺规作图作三角形，作图时要学会分析．一般先画一个满足题目已知条件的草图，有时结合基本作图和已知条件可作一个与求作三角形相关联的三角形，然后应用有关条件结合基本作图考虑作出其余的图形．1．已知三边作三角形2．已知底边和底边上的高作等腰三角形3．作已知角的平分线4．作一个角等于已知角5．已知两边及其夹角作三角形6．已知两角及其夹边作三角形【正式作业】教材P43习题12.2第1题【家庭作业】《》P20-P21。

八年级数学上册第2章三角形所有知识点总结和常考题型练习题湘教版

三角形知识点一、三角形及其有关概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形的表示：三角形用符号“△"表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

3、三角形的三边关系：（1）三角形的任意两边之和大于第三边。

（2)三角形的任意两边之差小于第三边。

（3）作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系.4、三角形的内角的关系:（1）三角形三个内角和等于180°。

（2)直角三角形的两个锐角互余.5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.6、三角形的分类：(1)三角形按边分类:不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形（2)三角形按角分类:直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）还有一种特殊的三角形：等腰直角三角形.它是两条直角边相等的直角三角形。

7、三角形的三种重要线段：（1）三角形的角平分线：定义:在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

性质:三角形的三条角平分线交于一点。

交点在三角形的内部。

（2)三角形的中线:定义：在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

性质：三角形的三条中线交于一点,交点在三角形的内部.（3)三角形的高线：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。

锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点在它的直角顶点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；8、三角形的面积:1×底×高三角形的面积=2二、全等图形：定义:能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

初中数学八年级上册《2.0第2章特殊三角形》PPT课件 (2)

解：1、当BC为底边时，如图：
A
∵AD ⊥BC，AD=1/2BC=BD=CD， ∴ ∠BAD= ∠B= ∠C= ∠CAD= 450 ∴ ∠BAC= 900
B
D
2、当BC为腰时，设∠B为顶角，分下面几种情况讨论：（1）顶角B为锐角时，如图：
∵ AD=1/2BC=1/2AB
AD ⊥BC
∴ ∠B= 300
12、在直直角角三三角角形形_中__两，__直两__角个__边锐__角___的__互平__余方__和。等于__斜__边___的平方。如果用字母a,ba和2 c分别b表2 示直c角2 三角形的两条直角边和
3、斜如边果，三那角么形__中_____+_较___小_____两_=边__的__平_。方和等于_斜_较_边_大__一边的直4、平角在方。直，角那三么角这形个斜中三边，角如形果是一直个角锐三角角等形于，___3__0_斜____边度__的，_所一那对半么的它角所是对的直角边等于_________的一半。 5、在直角三角形中，如果一条直角边等于___________,那么这条直角边所对的角等于300。
A
二、应用与延伸
例1。如图，设A城市气象台测得台风中心，在A城正西方向3
千米的B处，正向北偏东600的BF方向移动，距台风中心200千米的
范响解围？：内为作是什A受么D台？⊥风如B影果F 响你的是区气域象，员那，北么请你A城算是一否算受。到这次台风的影
∵由已知可得： ∠ FBA=300600来自DFA
∵AD=12,DC=13
AC 2 AD 2 CD 2
+ = S ∴∠CAD=90°
四边形ABCD=
B _21 ×3×4＋_21 ×5×12=36
C
3、如图已知四边形ABCD中，∠A=60°∠B=∠D=90°，BC=3，CD=2，求

初中数学《全等三角形》主题单元教学设计以及思维导图教学提纲

全等三角形适用年级八年级所需时间课内8课时，课外2课时。

主题单元学习概述从知识的特点上来讲，关于全等三角形的相关知识注重学生通过动手实践发现规律，注重培养学生的思维能力，注重数学与现实的联系；从心理学上讲，八年级学生的认知正从具体运算阶段向形式运算阶段转化，适当的动手操作活动以及问题丰富的现实背景可以帮助他们能更好地掌握相关知识。

《全等三角形》的内容，主要包括全等三角形的概念、全等三角形的性质、全等三角形的判定、角平分线的性质。

全等三角形是研究图形的重要工具，只有灵活运用它们，才能学好相关知识。

本章开始，使学生理解证明的过程，学会用综合法证明的格式。

这是本章的重点，也是难点。

对角平线的性质与判定中也不提出互逆定理。

这样不致于一下给同学们过多的概念，而加大学生负担。

本章中注重让学生经历三角形全等条件的探索过程，更注重对学生能力的培养与联系实际的能力。

我将采用以下的教法与学法：1、引导学生通过动手操作，探究规律；2、注重推理能力的培养，提高理性思维水平；3、联系生产生活实际，增加学习动力；发展学生的思维能力，沟通知识与现实的联系。

主题单元规划思维导图主题单元学习目标（知识与技能：1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确的辨认全等三角形中的对应元素。

2. 探索三角形全等的判定方法，并能灵活、综合运用。

3. 会作角的平分线，掌握角的平分线的性质并会利用它进行证明。

过程与方法：1.经历三角形全等的探索过程，将两个三角形的六个要素随意组合针对每种情况做出分析与验证，得出三个定理，然后将其迁移到直角三角形的判定中来。

2．经历应用全等三角形及解角平分线的有关知识去解决简单的实际问题的全过程。

3．通过开放的设计题来发展思维，培养学生的创造力。

情感态度与价值观：1.培养学习数学的兴趣，初步建立数学化归和建模的思想，积极参与探索，体验成功的喜悦。

2.通过体验抽象的数学来源于生活，同时又服务于生活。

增强了学习数学的兴趣及对生活的热爱对应课标1．通过实例认识图形的各种变换；理解全等形的概念，并能理解掌握全等三角形的性质与判定，并能应用到实际中。

八年级上数第二章《直角三角形》

第7讲直角三角形（）一、知识要点1、直角三角形的性质（1）两锐角互余.（2）斜边上的中线等于斜边的一半. （3）30°的角所对的直角边等于斜边的一半.（4）ab=ch （a ，b ，c 分别是直角三角形的三边，h 为斜边上的高）（5）如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，则∠ACD=∠B ，∠DCB=∠A 2、直角三角形的判定（1）两锐角互余的三角形.（2）如果三角形一边上的中线等于这边的一半. （3）如图，AD 是△ABC 的高，且∠DAC=∠B. （4）证明一个三角形与另一个直角三角形全等. 二、例题精选例1.如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AF 平分∠BAC ，分别交 CD ，BC 于点E ，F.求证：∠CEF=∠CFE例2.如图，已知AD 是△ABC 的高，CE 是中线，DC=BE ， DG ⊥CE 于点G ，求证：（1）点G 是CE 的中点；（2）∠B=2∠BCE.例3、如图，AB ，CD 交于点E ，AD=AE ，CB=CE ，点 F ，G ，H 分别是DE ，BE ，AC 的中点.求证：FH=GH.CA CA E F 例1AE GB D C例2DA H CBFG E例3例4.如图，在Rt △ABC 中，AC=BC ，∠C=90°， D 是AB 边的中点，∠EDF=90°，∠EDF 绕点D 旋转，它的两边分别与直线AC ，BC 交于E ，F. （1）当点E ，F 分别在AC ，BC 上时（如图1），求证：ABC CEF DEF S S S ∆∆∆=+21；（2）当点E ，F 分别在AC ，CB 延长线上时（如图2），则（1）结论是否还成立？请说明理由.例5.如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分 ∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 交于点F ，H 是边BC 的中点，连接DH ，与BE 交于点G.（1）求证：CE=21BF ；（2）CE 与BG 的大小关系如何？试说明理由.例6.已知P 是Rt △ABC 斜边AB 上一动点（不与点A ，B分别过A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，点Q 是斜边AB 的中点.（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，试写出QE ，QF 的数量关系和BF ，AE 的位置关系：；（2）如图2，当点P 在线段AB 上但不与点Q 重合时，试判断QE ，QF 的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）延长线上时，此时（中的结论是否仍成立？请画出图形给予证明.ADEC F B例4图1ADEC B F 例4图2A GDF E B H C 例5 B例7．已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM与DM有什么数量关系与位置关系？请证明你的结论；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．例8.已知，如图点D是线段AB上一点（不与点A，B重合），CD⊥AB于D，且CD=AB，AE⊥AB，BF⊥AB，且AE=BD，BF=AD.（1）如图1，当点D是线段AB的中点时，试判断∠ACE与∠BCF的数量关系，并给予证明；（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并证明.D CBAEM图1MEABC图2CA D BE 图2CA DB E 图1 F学生练习一．选择题（共12小题）1．如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 2．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=4，则下列各图中的直角三角形与Rt △ABC 全等的是（） 3．如图，△ABC 中，∠C=45°，点D 在AB 上，点E 在BC 上．若AD=DB=DE ，AE=1，则AC 的长为（）A.5 B. 2 C. 3 D. 24．如图，BD 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，D 为垂足，∠C=55°，则∠ABC 的度数是（） A. 35° B. 55° C.60° D. 70°5．已知如图，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，CD ⊥DE ，CD=ED ，AD=2，BC=3，则△ADE 的面积为（） A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定6．如图，∠ACB=90°，AC=BC ，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥CE 于D ，AE=5cm ，BD=2cm ，则DE 的长是（） A. 8 B. 5 C. 3 D. 27．如图所示，P ，Q 分别是BC ，AC 上的点，作PR ⊥AB 于R 点，作PS ⊥AC 于S 点，若AQ=PQ ，PR=PS ，下面三个结论：①AS=AR ；②QP ∥AR ；③△BRP ≌△CSP ，正确的是（） A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ①②③8．在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=8，点F 是AB 的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且始终保持AD=CE ，则四边形CDFE 的面积是（） A. 32 B. 16 C. 28 D. 无法确定9．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD=CE ．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；A. B. C. D. 第3题第4题第5题第6题第7题第8题第9题第10题②DE 长度的最小值为4；③四边形CDFE 的面积保持不变；④△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A. ①②③B. ①③C. ①③④D. ②③④10．如图，在等腰直角△ACB 中，∠ACB=90°，O 是斜边AB 的中点，点D 、E 分别在直角边AC 、BC 上，且∠DOE=90°，DE 交OC 于点P ．则下列结论：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）△ABC 的面积等于四边形CDOE 的面积的2倍；（3）CD+CE=OA ；（4）AD 2+BE 2=2OP •OC ．其中正确的结论有（） A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个11．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB 中，作内接正方形A 1B 1C 1D 1；在等腰直角三角形OA 1B 1中，作内接正方形A 2B 2C 2D 2；在等腰直角三角形OA 2B 2中，作内接正方形A 3B 3C 3D 3；…；依次作下去，则第n 个正方形A n B n C n D n 的边长是（） A.131-n B. n 31 C. 131+n D. 231+n 12．如图，已知∠AOB=45°，A 1、A 2、A 3、…在射线OA 上，B 1、B 2、B 3、…在射线OB 上，且A 1B 1⊥OA ，A 2B 1⊥OA ，…A n B n ⊥OA ； A 2B 2⊥OB ，…，A n+1B n ⊥OB （n=1，2，3，4，5，6…）．若OA 1=1，则A n B n 的长是（） A.n 2 B.()n2 C. n2D. 12-n二．填空题（共8小题） 13．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF=AC ，则∠ABC= 度．14．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为9，则BE= ． 15．判断题：（1）一个锐角和这个角的对边分别相等的两个直角三角形全等；（2）一个锐角和这个角相邻的直角边分别相等的两个直角三角形全等；（3）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；（4）两直角边分别相等的两个直角三角形全等；（5）一条直角边和斜边分别相等的两个直角三角形全等．16．如图，三角形ABC 中AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，请你填加一个适当的条件，使△AEC ≌△CDA ．17．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B ，C 作过点A 的直线的垂线BD ，CE ，若BD=4cm ，CE=3cm ，则DE= cm ．18．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB ，P ，Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AO 上运动，当AP= 时，△ABC 和△PQA 全等．第13题第12题第14题第16题第17题第18题第20题第19题第11题 D 2 C 2 D 1 C 119．在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR=PS，AQ=PQ，则下面三个结论：①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是．20．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB=CE；④AD﹣BE=DE．正确的是（将你认为正确的答案序号都写上）．三．解答题（共5小题）21．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么，CE=DF吗？22．如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）连接BE，设DC=a，求BE的长．23．已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．（1）如图，E、F分别是AB，AC上的动点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）在（1）的条件下，四边形AEDF的面积是否变化，证明你的结论；（3）若E、F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．24．（1）两个全等的等腰直角三角形ABC和三角形EDA如图1放置，点B，A，D在同一条直线上．那么点C，A，E在同一条直线上；①在图1中，作∠ABC的平分线BF，过点D作DF⊥BF，垂足为F；②猜想：线段BF，CE的关系，结论是：．（2）将（1）中的“等腰直角三角形”换成“直角三角形”，其它条件不变，如图2，连接CE，请问你猜想的BF与CE的关系是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．25．同学拿了两块45°三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=4．（1）如图1，两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为，周长为．（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为_________，周长为．（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形，如图3，请你猜想此时重叠部分的面积为．（4）在如图3的情况下，AC交MN于D，MK交BC于E，若AD=1，求出重叠部分图形的周长．直角三角形训练参考答案例1.∵∠3=∠1+∠5 ∠4=∠2+∠B∠1=∠2 ∠B=∠5 ∴∠3=∠4 例2.（1）DE 是Rt △ADB 斜边上中线，∴DE=BE=CD ∵DG ⊥CE ∴G 为CE 中点.（2）由（1）∠B=∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠DCE 例3.由等腰三角形得，AF ，CG 为高，又H 为中点，∴HF=HG=21AC例4.（1）ABC DCBCEF DEF S S S S ∆∆∆∆==+21（2）D BFE CD E D BFE D BF D EF S S S S S +=+=∆∆∆ =CEF ABC CEF DCB S S S S ∆∆∆∆+=+21例5.（1）△ADC ≌△BDF ∴BF=AC=2CE（2）连接CG ，∵DH ⊥BC∴BG=CG 》CE例6.（1）平行，相等（2）∵BH ∥AE BQ=AQ ∴△AEQ ≌△BHQ ∴EQ=HQ ∴FQ=EQ （3）∵BH ∥AE BQ=AQ ∴△AEQ ≌△BHQ ∴EQ=HQ ∴FQ=EQ例7.解答：（1）∠1=2∠2 ∠3=2∠4∴∠1+∠3=90° （2）取AC ，AE 的中点G ，H 则DH=AH=GM HM=AG=BG ∠DHM=∠BGM=∠EAC+90° ∴△DHM ≌△BGM ∴DM=BM∴∠1=∠3 ∵∠4=∠1+∠2 ∴∠4=∠3+∠2∵∠4+∠5=90° ∴∠5+∠3+∠2=90°例8.（1）∴△ACE ≌△BCF ∴∠ACE=∠BCF（2）∵△ABE ≌△BCD ∴BE=BC∠ABE=∠BCD ∴∠EBC=∠ABE+∠DBC=∠BCD +∠DBC=90°∴△BEC为等腰直角三角形.同理，△AFC 为等腰直角三角形.∴∠ACE=45°-∠ECF=∠BCFCA E F例1 1 23 4 5AEGB D C例2DA H CBFG E例3ADEC F B例4图1AD E C B F例4图2 A G D F E B H C 例5MA BC 12 34 5 G H C B A E M 1 2 3 4 例7学生练习：一．选择题：CADD ACCB CCBD9、①连接CF．∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF，∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，∵∠AFD+∠CFD=90°∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，故本选项正确；②∵△DEF是等腰直角三角形，∴当DE最小时，DF也最小，即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4，∴DE=DF=4，故本选项错误；③∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF，∴S四边形CDFE=S△DCF+S△CEF=S△DCF+S△ADF=S△ACF=S△ABC故本选项正确；④当△CED面积最大时，由③知，此时△DEF的面积最小，此时，S△CED=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8，故本选项正确；综上所述正确的有①③④．10、（1）错误．理由如下：图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．在△AOD与△COE中，∴△AOD≌△COE（ASA）．同理可证：△COD≌△BOE．10、结论（2）正确．理由如下：∵△AOD≌△COE，∴S△AOD=S△COE，∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC，即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．结论（3）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴CE=AD，∴CD+CE=CD+AD=AC=OA．结论（4）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD．在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，∴AD2+BE2=DE2．∵△AOD≌△COE，∴OD=OE，又∵OD⊥OE，∴△DOE为等腰直角三角形，∴DE2=2OE2，∠DEO=45°．∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE，∴△OEP∽△OCE，∴，即OP•OC=OE2．∴DE2=2OE2=2OP•OC，∴AD2+BE2=2OP•OC．综上所述，正确的结论有3个，11、过O作OM⊥AB，交AB于点M，交A1B1于点N，如图所示：∵A1B1∥AB，∴ON⊥A1B1，∵△OAB为斜边为1的等腰直角三角形，∴OM=AB=，又∵△OA1B1为等腰直角三角形，∴ON=A1B1=MN，∴ON：OM=1：3，∴第1个正方形的边长A1C1=MN=OM=×=，同理第2个正方形的边长A2C2=ON=×=，则第n个正方形A n B n D n C n的边长．12、由题意，可知图中的三角形均为等腰直角三角形，OA1=1，A1B1=A1A2=1，B1A2=B1B2=，A2B2=A2A3=2，B2A3=B2B3=2，A3B3=A3A4=4，…，从中发现规律为A n B n=2A n﹣1B n﹣1，其中A1B1=1，所以A n B n=2n﹣1．二、13、45°14、 3 15、正确；正确；错误；正确；正确.16、CE=AD或∠DAC=∠ECA或∠BAC=∠ACB（正确即可）17、7 18、5或1019、连接AP在Rt△ASP和Rt△ARP中PR=PS，PA=PA所以Rt△ASP≌Rt△ARP所以①AS=AR正确因为AQ=PQ所以∠QAP=∠QPA又因为Rt△ASP≌Rt△ARP所以∠PAR=∠PAQ于是∠RAP=∠QPA所以②PQ∥AR正确③△BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等．故填①②20、①②④∵∠BEF=∠ADF=90°，∠BFE=∠AFD∴①∠ABE=∠BAD 正确∵∠1+∠2=90°∠2+∠CAD=90°∴∠1=∠CAD又∠E=∠ACB=90°，AC=BC∴②△CEB≌△ADC 正确∴CE=AD，BE=CD∴④AD﹣BE=DE．正确而③不能证明，三、21、略22、（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°﹣15°=30°，∴BD=AD，∴D在AB的垂直平分线上，∵AC=BC，∴C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°，∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；∴∠CDE=∠BDE，即DE平分∠BDC；（2）∵∠CAE=∠CEA=15°，∴AC=CE，∠ACE=150°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=60°，∵AC=CE，AC=BC，∴CE=BC，∴△BCE是等边三角形，∴BE=BC=AC．如图，在△ACD中，过点D作DM⊥AC于点M，作∠ADN=∠CAD=15°，交AC于N．在Rt△CDM中，∵∠CMD=90°，∠C=45°，DC=a，∴DM=MC=a．在Rt△DMN中，∵∠NMD=90°，∠DNM=∠ADN+∠CAD=30°，DM=a，∴DN=2DM=a，NM=DM=a．∵∠ADN=∠CAD=15°，∴AN=DN=a，∴AC=AN+NM+MC=a+a+a=a，∴BE=AC=a．23、（1）证明：连接AD∵AB=AC，∠A=90°，D为BC中点∴AD==BD=CD且AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD=45°在△BDE和△ADF中，∴△BDE≌△ADF（SAS）∴DE=DF，∠BDE=∠ADF∵∠BDE+∠ADE=90°∴∠ADF+∠ADE=90°即：∠EDF=90°∴△EDF为等腰直角三角形．（2）解：四边形AEDF面积不变．理由：∵由（1）可知，△AFD≌△BED∴S△BDE=S△ADF，而S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△AED+S△BDE=S△ABD∴S四边形AEDF不会发生变化．（3）解：仍为等腰直角三角形．理由：∵△AFD≌△BED∴DF=DE，∠ADF=∠BDE∵∠ADF+∠FDB=90°∴∠BDE+∠FDB=90°即：∠EDF=90°∴△EDF为等腰直角三角形24、BF⊥CE，BF=CE（1）①画图②结论是：BF⊥CE，BF=CE．（2）如图，①证明BF=CE∵BF为∠ABC的平分线，∠ABC=90°∴∠CBF=∠ABF=45°∵DF⊥BF∴∠F=90°∵点B，A，D在同一条直线上，△BFD为直角三角形∴cos∠FBD=∴BF=又∵Rt△ABC≌Rt△EDA∴BC=AD，BA=DE设BC=AD=a，BA=DE=b∴BD=a+b∴BF=过E作EH∥BD交CB的延长线于H∵∠CBA=90°，∠ADE=90°∴∠CBA=∠ADE∴CH∥DE∴四边形BHED为矩形∴BH=DE=b，HE=BD=a+b∴CH=a+b∴△HCE等腰直角三角形由勾股定理，得CE=∴BF=CE②证明BF⊥CE∵Rt△CHE是等腰直角三角形∴∠HCE=∠HEC=45°∵∠FBC=45°∴∠BGE=∠HCE+∠FBC=90°∴BF⊥CE∴BF⊥CE，BF=CE仍然成立25、（1）∵AC=BC=4，∠ACB=90°，∴AB===4，∵M是AB的中点，∴AM=2，∵∠ACM=45°，∴AM=MC，∴重叠部分的面积是=4，∴周长为：AM+MC+AC=2+2+4=；（2）∵叠部分是正方形，∴边长为×4=2，面积为2×2=4，周长为2×4=8．（3）过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G，∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=a，∴MH=BC，MG=AC，∴MH=MG，又∵∠NMK=∠HMG=90°，∴∠NMH+∠HMK=90°，∠GME+∠HMK=90°，∴∠HMD=∠GME，在△MHD和△MGE中，∵，∴△MHD≌△MGE（ASA），∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积，∵正方形CGMH的面积是MG•MH=2×2=4；∴阴影部分的面积是4；（4）过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥AC于点H，∴四边形MGCH是矩形，∴MH=CG，∵∠A=45°，∴∠AMH=45°，∴AH=MH，∴AH=CG，在Rt△DHM和Rt△EGM中，，∴Rt△DHM≌Rt△EGM．∴GE=DH，∴AH﹣DH=CG﹣GE，∴CE=AD，∵AD=1，∴DH=1，CE=1，CD=4﹣1=3，∴DM=∴四边形DMEC的周长为：CE+CD+DM+ME=1+3++=4．故答案为：4，，4，8，4。

新湘教版八年级上册初中数学课时3 三角形的角教学课件

（3）∠1=90°-40°=50°，∠2=50°+90°=140°.
第二十一页，共三十七页。
新课讲解
练一练
2 判断下列观点是否正确.
（1）三角形的外角都是钝角.
（）×
（2）三角形的外角大于任何一个内角.
（）
×
（3）三角形的外角等于它的两个内角的和. （）
×
（4）三角形的外角和等于360°.
（）
∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°. 在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB
=180°-60°-30° =90°. 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60度，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90度.
第九页，共三十七页。
新课讲解
练一练
1 如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45 从C处观测A，B两处的视角∠ACB是多少度？
知识点4 三角形外角和定理思考如图：在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分别是点A，点B，点C
处的一个外角，请问∠CAD，∠CBE，∠BCF之间的大小关系？
解：∵∠CAD，∠CBE，∠BCF是△ABC的外角，
∴∠CAD=∠2+∠3，∠CBE=∠1+∠3，∠BCF=∠1+∠2.
∴∠CAD+∠CBE+∠BCF =（∠2+∠3）+（∠1+∠3）+（∠1+∠2） =2（∠1+∠2+∠3）.
知识点1 三角形内角和定理
如图，已知△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180°.
A
23
l
证明：过点A作直线l，使得l//BC.

浙教版数学八年级上册第2章《2.8直角三角形全等的判定》课件

解：作射线OP.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴ ∠PDO=∠PEO=Rt∠ 又∵ OP = OP（公共边）
PD = PE （已知） ∴ Rt△PDO≌ Rt△PEO （HL）
1
O2
∴ ∠1=∠2
即点P在∠AOB的平分线上（角平分线的定义）
DA P
E
B
新知学习
【新知2】角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
【解析】CG＝BD.理由如下： ∵∠A CB ＝90°，A E ⊥CD， ∴∠CA E ＋∠A CE ＝90°，∠A CE ＋∠B CF ＝90°， ∴∠CA E ＝∠B CF . ∵B F ⊥CD，∴∠CF B ＝90°，∴∠A E C＝∠CF B . 又∵A C＝CB ，∴△A CE ≌△CB F (A A S )．∴CE ＝B F . ∵CH ⊥A B ，B F ⊥CF ， ∴∠H CD＋∠CDH ＝90°，∠DB F ＋∠B DF ＝90°. ∵∠CDH ＝∠B DF ，∴∠H CD＝∠DB F ，即∠GCE ＝∠DB F . 又∵CE ＝B F ，∠CE G＝∠B F D＝90°， ∴△CE G≌△B F D(A S A )．∴CG＝B D.
探究新知
【探究3】已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C =∠C′=Rt∠，
AB＝A′B′，AC＝A′C′. 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
证明：如图，延长BC至D，使CD=B′C′，连结AD.
B′
A′
C′
B
A
C
D
新知学习
【新知1】直角三角形全等的判定定理：
（1）文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

湘教版八年级上册数学第2章三角形定义与命题

(3)由此可以探究并得到新的命题：如果两条直线__平__行____，那么同旁源自角的平分线互相__垂__直____．
15．如图，∠ABC 的两边分别平行于 ∠DEF 的两条边，且∠ABC＝45°.
(1)图①中，∠DEF＝___4_5_°_______，图②中，∠DEF＝__1_3_5_°_______．
解：相同点：这两个定义都与三角形的边的中点有关系．不同点：三角形的中线是连接一边中点与这边所对顶点的线段，而三角形的中位线则是连接三角形两边中点的线段．
14．如图，直线 AB，CD 被 EF 所截， ∠1＋∠2＝180°，EM，FN 分别平分∠BEF 和∠CFE.
(1)判断 EM 与 FN 之间的关系，并说明你的理由．
(1)请叙述三角形的中线的定义；解：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线．
13．阅读下列材料，然后回答问题．材料：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线．如图，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 边的中点，线段 DE 就是△ABC 的中位线．
(2)比较三角形的中线与三角形的中位线这两个定义的异同．
4．写出下列概念的定义： (1)等腰三角形：
_两__条__边__相__等__的__三__角__形__叫__作__等__腰__三__角__形_____________________； (2)互为余角：
_如__果__两__个__角__的__和__等__于__一__个__直__角__，__那__么__称__这__两__个__角__互__为__余__角___； (3)单项式：
_由__数__与__字__母__的__积__组__成__的__代__数__式__叫__作__单__项__式______.

湘教版数学八年级上册第2章三角形小结与复习课件

3.三角形的稳定性
依据：SSS
六、用尺规作三角形 1.作一个角的平分线
第2 章三角形
2.作一个角等于已知角
3.作三角形 (1)根据SAS、ASA、SSS作三角形 (2)已知底边及底边上的高作等腰三角形
考点讲练
考点一
第2 章三角形三角形的三边关系
例1 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ B ）
复习题 2
答案：
由已知得，BC+BE+CE=24， ∵BC = 10， ∴BE+ CE= 14， ∵DE垂直平分AB， ∴AE= BE， ∴AE +CE = 14，即AC=14， ∵AB= AC， ∴AB=14.
复习题 2
答案： AA'= BB'.
解析：
理由：∵O是AB'、A'B的中点. ∴OA = OB′，OA'= OB. 在△A'OA与△BOB′中. OA=OB′ ∠A'OA=∠BOB′ OA'= OB
又知∠A－∠B＝16°②，
∴∠A＝40°，∠B＝60°，∠C＝80°.
由①②解得∠A＝71°，∠B＝55°；
第2 章三角形
5.在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B，
则∠B= 90°. 6.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，
若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的度
E F
C.BE=DF D.AD∥BC
B
C
【解析】由AE=CF 可得 AE+EF=CF+EF，即AF=CE.A=∠C，可利用“ASA”判定
△ADF≌△CBE；C.BE=DF，可利用“SAS”判定△ADF≌△CBE；D.由

湘教版八年级上册第2章三角形复习课件

即点E到BC边的距离为6.
合作探究
等腰三角形
4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，
过D作DE∥AC，交AB于E.
求证:△BDE是等腰三角形.
合作探究
证明:∵AD平分∠BAC，DE∥AC，
∴∠EAD＝∠CAD，∠EDA＝∠CAD，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵BD⊥AD，
∴∠EBD＋∠EAD＝∠BDE＋∠EDA，
合作探究
方法归纳交流
在证明过程中，有些全等条件需要证明
得到，三角形全等是证明线段相等
行和垂直的常用方法.
、角相等
、直线平
分层作业
1下列命题中是真命题的是 (
A.两个锐角之和为钝角
B.两个锐角之和为锐角
C.钝角大于它的补角
D.锐角小于它的余角
C )
分层作业
2下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是(
M.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵BD＝DC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴DN＝DM，
分层作业
∵∠EDF＝120°，
∴∠EDF＋∠BAC＝180°，∠AED＋AFD＝180°，
∵∠AED＋∠DEN＝180°，
∴∠DFM＝∠DEN.
∠ = ∠,
在△DNE和△DMF中，ቐ∠ = ∠,
∴∠EBD＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∴△BDE是等腰三角形.
合作探究
线段的垂直平分线
5.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交
AC于点E，且AC＝15 cm，△BCE的周长等于25 cm.
(1)求BC的长；
(2)若∠A＝36°，并且AB＝AC.求证:BC＝BE.

第二章+轴对称图形(小结与思考)(单元复习)2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂

∴AD是BC的垂直平分线，
A
∴AB＝AC.∵AB＋BD＝DE，
B
D
C
E
∴AB＋BD＝DC＋CE，∴AC＝
CE，
巩固练习
3.如图，已知直线a和直线a同侧的两点A、B，
(1)在直线a上求作一点，使得PA=PB;
Ｂ
Ａ
a
●
P
巩固练习
(2)在直线a上求作一点，使得PA+PB最小．
Ｂ
Ａ
●
a
●
A'
P
考点分析
巩固练习
3. 如图，在△ABC中，D点在BC边上，将D点分别以AB，AC边所在直
线为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF.根据图中标示的角度，
则∠EAF的度数为___________.
140°
A
E
●
●
60°
B
●
D
F
50°
C
当堂检测
4. 如图，已知O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对
PN⊥CD，垂足分别是M、N.
证明：∵BD是∠ABC的平分线,
求证：PM=PN.
∴∠ABD=∠CBD.
A M
D
P
B
N
C
在△ABD和△CBD中,
= ，
∠ = ∠，
= ，
∴△ABD≌△CBD,
∴∠ADB=∠CDB.
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN.
考点分析
巩固练习
1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD
＝3，DB＝5，点E在边AB上运动，连接DE，则线段DE长度的最小值

2019秋八年级数学上册第2章三角形2.4线段的垂直平分线第2课时作线段的垂直平分线教案2新

2.4线段的垂直平分线
第2课时作线段的垂直平分线
教学目标
（一）知识要求了解线段垂直平分线垂线的作法
（二）能力训练要求
1、经历作图探索简单图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。

2、探索并了解线段垂直平分线的有关性质和判定。

教学过程
一、教学提问，引入新课
问1：根据所学知识只用圆规和直尺（不量长度）你能作出线段的垂直平分线吗？
二、教授新课：
1、作出线段的垂直平分线
作法：
（1）分别以点A、B为圆心，以大于1/2AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D；
（2）作直线CD
所以直线CD就是线段AB的垂直平分线。

问：（1）这样所作的直线为什么是线段的垂直平分线？
（2）你能作出线段AB的中点吗？
2、过一点作已知直线的垂线
问1：过已知直线l外一点P你能做这条直线l的垂线CD吗？（只用圆规和直尺）
作法：（1）以P点为圆心，以大于点P到直线l的距离为半径画弧，交直线l于A、B两点；
（2）分别以点A、B为圆心，以大于1/2AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D；
（3）作直线CD
所以直线CD就是直线l的垂线。

问2：过已知直线l上一点P你能做这条直线l的垂线CD吗？（只用圆规和直尺）
（类似问题2作法）
三、练习
四、小结本节课主要是过一点作已知直线的垂线的作法。

五、作业布置。

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2019-2020 年八年级上《第 2 章三角形》单元复习与小结一、知识构建二、知识点拨★考点 1：三角形三边的关系三角形的任意两边之和第三边。

例 1：已知一个三角形的两边长分别是 1 和 5，则第三边A． 1<C<5B． 4≤ C≤6C．4<C<6★考点 2：三角形的高、角平分线和中线① 从三角形的一个向它的所在直线作线段叫做三角形的高线，简称三角形的高；．．② 在三角形中，一个角的与这个角的对边相交，C 的取值范围是（）D． 1<C<6，和之间的这个角的顶点与交点之间的线段．．叫做三角形的角平分线；③ 在三角形中，连接一个顶点和它的对边的线段叫做三角形的中线。

．．例 2：能把一个三角形分成两个面积相等的小三角形的是（）A.中线B.高C.角平分线D.以上都不是★考点 3：三角形的内角和三角形的内角和等于。

例3、已知△ ABC中，∠ A=20°，∠ B－∠ C=40°，则∠ B=____。

★考点 4：三角形按角分类三角形中，三个角都是的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角三角形；有一个角是的三角形叫做钝角三角形。

例 4：满足下列条件的△ ABC是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？的三角形叫做(1)∠ A=20°,∠ B =65 ，°则△ABC 是； (2) A 1B1 C，则△ABC 是2 3(3)∠ A:∠ B:∠ C=2:3:4，则△ABC是★考点 5：三角形的外角① 定义：三角形的一边与另一边的所组成的角叫做三角形的外角；② 性质：三角形的一个外角等于。

例 5：在△ ABC中，∠ A 的外角是 80°，则∠ B+∠ C=（）A． 100 °B． 80°C． 60°D． 40°★考点 6：命题与逆命题① 一般地，对某一件事情做出的语句（陈述句）叫做命题，命题常写成“如果，那么”的形式，其中“如果”引出的部分是，“那么”引出的部分是；② 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的，那么这两个命题称为，其中一个叫做，另一个叫做。

例 6：下列语句是命题的是（）（1）两点之间，线段最短；（2）请画出两条互相平行的直线；（3）过直线外一点作已知直线的垂线；（4）如果两个角的和是90 度，那么这两个角互余 .A．（ 2）（3）B．（ 3）（ 4）C．（ 1）（ 2）D．（1）（ 4）★考点 7：真命题与假命题正确地命题叫做，错误的命题叫做。

例 7、下列命题中，属于假命题的是（）A．若 a-b=0，则 a=b=0 B．若 a-b＞ 0，则 a＞ bC．若 a-b＜ 0，则 a＜ b D．若 a-b≠0，则 a≠b★考点 8：等腰三角形的性质定义：的三角形叫做等腰三角形；① 对称性：等腰三角形是图形，对称轴是；②“三线合一”：等腰三角形上的高、中线及的角平分线重合；③“等边对等角”：等腰三角形的两相等。

例 8：等腰三角形的两边长为25cm 和 12cm，那么它的第三条边长为______；等腰三角形的一个外角是 70°，则其底角等于°；等腰三角形的角平分线、高线和中线的总数有条。

★考点 9：等边三角形的性质定义：的三角形叫做等边三角形；① 等边三角形的三个内角，且都等于；② 等边三角形是特殊的三角形。

例 9：等边三角形的对称轴有（）A． 1 条B． 2 条C． 3 条D． 4 条★考点 10：等腰（等边）三角形的判定等腰三角形的判定定理：的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）；等边三角形的判定定理：① 三个角都是的三角形是等边三角形；② 有一个角是的三角形是等边三角形。

例 10：下列叙述不正确的是（）A、有两个内角是700和 400的三角形是等腰三角形B、一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形C、有两个内角不相等的三角形一定不是等腰三角形D、三个外角都相等的三角形是等边三角形★考点 11：线段的垂直平分线定义：且一条线段的叫做这条线段的垂直平分线；性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离；性质定理的逆定理：到线段两端距离的点在线段的垂直平分线上。

24例 11：在△ ABC 中， AB 边的垂直平分线交AC 于点 E，△ ABC 和△ BEC 的周长分别是和 14，则 AB=。

★考点 12：全等三角形的性质定义：的两个三角形叫做全等三角形；性质：全等三角形的对应边；全等三角形的对应角。

例 12：已知△ABC≌△ DFE，∠ A=25°，∠ C=96°，AC=10，则∠ BOD 的度数是，BD的长是。

★考点 13：全等三角形的判定两边及其分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“ SAS；”两角及其分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ ASA；”两角分别相等且其中一组等角的相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“ AAS；”分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“ SSS。

”三、当堂测评一、选择题 (本题共8 小题，每小题 4 分，共32 分 )1. 下面各组线段中，能组成三角形的是（）A．5， 6， 11 B．8， 8， 16 C． 4， 5， 10 D．6， 9， 142. 在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm 和 3cm ，则它的周长为（）A．19cm B． 19cm 和 14cm C． 11cmD． 10cm3. 对于命题“如果∠ 1+∠ 2=90 °，那么∠ 1≠∠ 2”，能说明它是假命题的反例是（）A．∠ 1=50 °，∠ 2=40 °B．∠ 1=50 °，∠ 2=50 °C．∠ 1=∠ 2=45 °D．∠ 1=40 °，∠ 2=40 °4. 有一个角是 50°的等腰三角形其顶角的度数为（）A.80 °B.50 C°.80 或°50° D.65.5 °5. 下列有关垂直平分线的说法中不正确的是( )A、垂直平分线是一条射线；B、垂直平分线是一条直线C、线段的垂直平分线是这条线段的对称轴；D、到线段的两端点距离相等的点在它的垂直平分线上。

6. 如右图所示 ,若∠ A=32°,∠ B=45°,∠ C=38°,则∠ DFE等于 ()A.120 °B.115 °C.110 °D.105 °7. 下列条件中，不能判定△ ABC≌△ A′ B′的是C′()A、 AB=A′，B′∠ A=∠A′， AC=A′ C′B、 AB=A′，B′∠ A=∠A′，∠ B=∠B′AED CADFCEBC、AB=A′，B′∠ A=∠ A′，∠ C=∠ C′D、∠ A=∠ A′，∠ B=∠B′，∠ C=∠ C′8. 如右图，在ABC 中，AB=AC，AD=DE， BAD 20 ， EDC 10 ，则 DAE 的度数为（）A. 30B. 40C.60D.80二、填空题 (本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分 )9. 已知线段 AB=8 ㎝，直线 CD 是 AB 的垂直平分线，且AB 交 CD 于 E，则 AE=㎝ ,∠ AEC= °。

10.请将“同位角相等”改写成“如果·，那么···”的形式，11. 一个三角形三个内角度数的比是2∶ 3∶4，那么这个三角形是三角形。

12.已知等腰三角形的一个外角为150 °,则它的底角为 _____。

13.等腰三角形的周长为36, 腰比底长 3, 则此等腰三角形的腰长为 ________，底边长为________。

14. 已知 AD 是等边△ ABC的高，BE 是 AC 边的中线，AD 与 BE交于点 F，则∠ AFE=___ ___。

15.如左图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线 AO 平行于β，入射到α上，经两次反射后的出射光线 CB 平行于α，则角θ等于 ________。

16. 如右图，在△ ABC 中，点 D 是 BC 上一点，BAD 80°， AB AD DC ，则C 。

A80B D C三、解答题 (本题共 3 小题，共36 分 )17.在△ ABC 中，∠ C=90°， DE 垂直平分斜边 AB ，分别交 AB 、BC 于 D、 E．若∠CAB= ∠ B+30°，求∠ AEB ．18、如图，ABC中，ACB 90 ，CD BA 于 D ， AE 平分BAC 交 CD 于 F ，交 BC 于 E ，求证：CEF 是等腰三角形．19、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置，图 2 是由它抽象出的几何图形，B， C， E在同一条直线上，连结DC．(1)请找出图 2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；(2)证明：DC⊥ BE .参考答案：1.D2.A3.C4.C5.A6.B7.D8.C9. 4,9010.如果两个角是同位角，那么这两个角相等11.锐角12.75°或 30°13.13， 1014.60°15.60°16.25°17.120°18.提示：利用等角对等边来证明19.⑴△ ABE≌△ ACD证明：∠ BAE=∠ BAC+∠ CAE，∠ CAD=∠ EAD+∠CAE，∠ BAE=∠ CAD又AB=AC，AE=AD△ ABE≌△ ACD⑵证明：∠ CDE=45° - ∠ ADC∠CED=45°- ∠ BEA∠DCB=∠CDE+∠ CED=45° - ∠ ADC+45° - ∠ BEA∠ADC=∠BEA∠DCB=90°即： DC⊥BE。