复数和实数域上的多项式

n
23 n ),
2）非首1多项式的根与系数的关系
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设 f ( x) a0 xn a1xn1 a2 xn2 an1x an
a0 0,而1,2 , n是f ( x)在C中的n个根,
因 f ( x) a0 f1( x)，其中
f1( x)
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这样，任意一个n(n 0)多项式 f ( x)在C[x] 中的典型分解式为以下形式：
f ( x) a( x a1 )k1 ( x a2 )k2 ( x at )kt , 其中k1 k2 kt n.
2. 根与系数的关系（韦达定理）
1) 首1多项式的根与系数的关系 设 f ( x) xn a1 xn1 a2 xn2 an1x an 在C 中首n个根1,2 , ,n ,那么
利用α +β +γ =3， 3 , 2
2 求出a1,a2 ,a3最后乘上a(a 0,a 指定数域，没指定 数域a F ,F 是任意数域。）
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二、实数域上多项式
1、实系数多项式非复根的重要性质
定理 4.8.3 设 f ( x) R[x]，非实复数
4.8 复数和实数域上的多项式 授课题目：4.8复数和实数域上的多项式
教学目标：掌握复数域和实数域上多项式因式 分解定理
授课时数：2学时
教学重点：复数域上多项式因式分解定理、根与 系数的关系。实数域上的多项式因式分解定理。
教学难点：复系数多项式根与系数关系的应用
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教学过程： 一. 复数域上多项式
是f ( x)的根，则 的共轭复数
是f ( x)的根，并且 与 有相同的重数。
证 设f ( x) a0 xn a1xn1 an1x an , ai R,
由假设是f ( x)的根,于是
f ( ) a0 n a1 n1 an1 an 0, 所 以
1.代数基本定理及推论 定理 4.8.1（代数基本定理）任何n(n 0)次 多项式在复数域中至少有一个根.
定理 4.8.2 任何次n(n 0)多项式在复数 域中有n个根（k 重根按 k 个计算）.
证 对多项式次数n,用数学归纳法证明.
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当n 1时, C[ x]中任何一次多项式ax b显然在C中有一个根, 即 b / a,故结论成立.

xn

a1 a0
x n1

a2 a0
x n2

所以：
an1 x an
a0
a0
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a1

a0

(1
2

n ),
a2

a0

(1 2
13

1n 23
n1 n ),

a3 a0

(1 2 3
a0 n a1 n1 an1 an 0,
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即 a0 n a1 n1 an1 an 0, 因此， 是f ( x)的根. 设 ,的重数分别是k和l,且k l, 则存在h( x) C[ x],使得 f ( x) ( x )k ( x )l h( x), 其中x | h( x), x | h( x),
124


n2 n1 n ),

an1

a0

( 1)n1 (1 2
n1 13
n
23 n ),
an a0

( 1)n 1 2
n.
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根据上面韦达定理，由根1,2 , n，可以求出
1 , 2 ,
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由归纳假设，
f1( x)在C中有n 1个根2 ,3 , ,n . 因 此 ， f ( x)在C中有n个根1,2 , ,n . （证毕）
推论 1 1）任意一个n(n 0)多项式 f ( x)在C[x] 中都能分解成一次因式的乘积；
2）C[ x]中的不可约多项式只有一次的. *1）可用归纳法证；2）用 1）来证 2）

为根的多项式。
n
例1 求一个有单根5，-2及重根3的4次多项式。
解 a1 (5 2 3 3) 9, a2 5 (2) 5 3 (2) 3 (2) 3 3 3 17, a3 [5 (2) 3 5 (2) 3 5 3 3 (2) 3 3] 33,
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a1 (1 2 n ), a2 (12 13 1n 23
n1 n ),
a3 (123 124 n2 n1 n ),


an1 (1)n1(12 n1 13 an (1)n12 n .
假 定 任 意 n 1(n 1 0) 次 多 项 式 在 C中有n 1个根.
令设f ( x)是n次多项式, f ( x) C[x]. 由代数基
本定理， f ( x)在C中至少有一个根1,于是存在
f1( x) C[ x], ( f1( x)) n 1, 使
f ( x) ( x 1) f1( x).
a4 5 (2) 3 3 90.
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所以 f ( x) x4 9x3 17x2 33x 90,或 f ( x) ax4 9ax3 17ax2 33ax 90a (a 0).
例 2 试求 3 次多项式 f ( x) 2x3 6x2 3x 4的根是α ，β ，γ ， 求以 α +β ，β +γ ，α +γ 为根的多项式。 （也可设所求多项式 f ( x) x3 a1x2 a2 x a3