捕食者_被捕食者模型稳定性分析报告

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一类具Holling-Ⅱ型捕食者-食饵模型的稳定性与分叉分析

一类具Holling-Ⅱ型捕食者-食饵模型的稳定性与分叉分析生态系统中,由捕食者与食饵构成的种群之间相互作用的系统近年来受到生物学家和数学家的广泛关注.生物学家和数学家主要分析了具有功能反应函数的捕食者-食饵模型的稳定性与分叉,并利用数值模拟生动形象地丰富了种群动力学的研究内容.由于生物种群所生活的自然环境具有复杂性和多样性,分析研究生态系统时,具时滞与脉冲的微分方程比常微分方程所描述的动力系统的动力学行为更丰富,也更切实实际.本文主要研究一类具Holling-II型功能反应函数的捕食者-食饵模型和在此系统中分别加入单时滞和固定时刻脉冲的捕食者-食饵模型.对一类具Holling-II型功能反应函数的捕食者-食饵模型,本文首先介绍了具功能反应函数的捕食者-食饵模型的提出及研究现状,给出本章所用的基本理论和方法,讨论了具Holling-II型的捕食者-食饵系统平衡点的存在性与稳定性,正初始解的有界性.并通过构造合适的Dulac函数和张芷芬唯一性定理,研究了系统极限环的存在唯一性和稳定性的条件.其次对带有时滞的Holling-II型功能反应函数的捕食者-食饵模型,捕食者和食饵中分别加入时滞,利用时滞微分方程理论,得到系统平衡点的稳定性和Hopf分叉的充分条件.最后对带有脉冲和Holling-II型功能反应函数的捕食者-食饵模型,通过脉冲微分方程比较定理、Floquent定理等,得出了系统解的全局稳定性的充分条件.。

捕食者和被捕食者间的进化博弈分析

捕食者和被捕食者间的进化博弈分析在自然界中，捕食者和被捕食者之间存在着一种进化博弈。

捕食者需要捕食猎物以获得能量和生存，而被捕食者需要逃脱捕食者的追捕以保持自身安全。

这种进化博弈不仅影响着捕食者和被捕食者的生存，也对整个生态系统的演化和稳定性产生着重要影响。

一、捕食者和被捕食者的进化策略对于捕食者来说，它们需要在猎物中选择最容易捕捉的那些，或者是适应自己的生存环境的那些猎物。

捕食者会不断进化出更适应环境的捕猎策略，例如猎物诱捕、伏击和群体协作等策略。

同时，在进化过程中，捕食者也可能会发展出更加高效的消化系统，或者适应更加极端的生存环境，从而在生存竞争中占据优势。

而对于被捕食者来说，它们需要不断进化出更加有效的逃脱策略来躲避捕食者的追捕。

被捕食者可以通过快速奔跑、变换方向、伪装和藏身等策略来逃脱捕食者的追捕。

在进化过程中，被捕食者也可能会发展出更加灵活的神经系统和反应机制，或者是具备更加复杂的社交行为，从而在生存竞争中获得更高的生存率。

二、捕食者和被捕食者之间的进化博弈在捕食者和被捕食者之间的进化博弈中，各自的进化策略会受到对方策略的影响而发生变化。

例如，捕食者的猎物选择策略会促使被捕食者进化出更加灵活的逃脱策略，从而影响捕食者下一步的猎杀策略。

而被捕食者的逃脱策略也会影响捕食者选择猎物的策略，从而形成一种“猎物逃跑快，捕食者跑得更快”的进化博弈。

在进化博弈中，捕食者和被捕食者的进化速度和方向都是非常重要的因素。

如果捕食者的进化速度过快，被捕食者可能没有足够时间进化出更加有效的逃脱策略，从而导致被捕食者的灭绝。

反之，如果被捕食者的进化速度过快，捕食者也可能会在猎杀中落败，从而导致捕食者的灭绝。

因此，在进化博弈中，捕食者和被捕食者的平衡点是非常关键的，只有两者的进化速度和方向趋于平衡，整个生态系统才能保持稳定。

三、进化博弈对生态系统的影响捕食者和被捕食者之间的进化博弈不仅影响着它们自身的生存，也对整个生态系统的演化和稳定性产生着重要影响。

捕食者与被捕食者模型——logistic-volterra

捕食者与被捕食者模型——Logistic-Volterra模型摘要Logistic模型是最常用的模型之一，在其基础上又可以发展出许多其他数学模型，其重要性不言而喻，而Volterra模型则是经典的被捕食者与捕食者模型之一。

本文尝试结合两者，建立一个Logistic-Volterra模型，并做出数值解和分析。

关键词：Logistic模型 Volterra模型数值解一、问题的提出Volterra模型显示的被捕食者与捕食者系统存在着显著的周期振荡，而实际上，多数的捕食者与捕食者系统都是观察不到的。

尝试建立模型，描述这种现象。

二、符号说明r：被捕食者固有增长率d：捕食者固有死亡率a：捕食者掠取被捕食者的能力b：被捕食者供养捕食者的能力N1：被捕食者的最大环境容纳量N2：捕食者的最大环境容纳量三、模型假设1.在没有天敌的情况下，被捕食者数量增加的固有速度与被捕食者数量x和阻滞作用因子(1-x/N1)成正比，即dxdt =rx(1−xN1)2.在没有食物的情况下，捕食者数量减少的固有速度与捕食者数量y和阻滞作用因子(1+y/N2)成正比，即dydt =−dy(1+yN2)3.捕食者与被捕食者在同一环境下生存，它们的种群变化速度互相影响，影响因子应与它们相遇的频率成正比，即捕食导致被捕食者数量减少的速度为-axy，捕食导致捕食者数量增加的速度为bxy四、模型建立与求解1.Volterra模型的分析意大利数学家Volterra在上世纪20年代提出的Volterra模型：dxdt=rx−axydydt=−dy+bxy取r=1 d=0.5 a=0.1 b=0.02，运用matlab的ode45功能函数，做出数值解，并绘图分析。

图1被捕食者与捕食者随时间变化图图2捕食者与被捕食者相图从图形可以看出，捕食者与被捕食者共同生存，数量随时间作周期变化。

2.建立Logistic-Volterra模型在Volterra模型中的物种自身增长率中，考虑自身阻滞作用，即加入Logistic项，得到以下模型：dx dt =rx(1−xN1)−axydy dt =−dy(1+yN2)+bxy取r=1 d=0.5 a=0.1 b=0.02 N1=100 N2=25，运用matlab的ode45功能函数，做出数值解，并绘图分析。

建模——捕食者

食饵——捕食者模型摘要：建立具有自身阻滞作用的两个种群食饵-捕食者模型，并结合模型的数值解和相轨线，对模型的稳定性进行了分析。

关键词：种群，数值解，平衡点，相轨线，Volterra 模型（一）模型准备自然界中不同种群之间还存在着这样一种制约的生存方式：种群甲靠有限的自然资源生存，而种群乙靠掠取甲为生。

就像生活在草原上的狼与羊，种群之间捕食与被捕食的关系普遍存在，这样两个肉弱强食的种群，它们的发展和演进又会遵循一些什么样的规律呢？（二）模型假设有羊和狼两个种群，记食饵（羊群）和捕食者（狼群）在时刻t 的数量分别为)(t x ，)(t y ，1r 为羊群的固有增长率，1N 为环境容许的最大羊群量，2N 为环境容许的最大狼群量。

1、假设羊群可以独立生存，而可被其直接利用的自然资源有限，设总量为“1”。

羊群数量的增长率可以分为两部分考虑：其一，因为草原上的资源有限，所以它的增长服从Logistic 规律，即)1(11.N xx r x -=，其二，当两个种群在同一个自然环境中生存时，由于狼群以掠取羊群为生，所以它对羊群的增长产生了负面影响，可以合理地在因子)1(1N x-中再减去一项，该项与狼群的数量y （相对于2N 而言）成正比，于是得到羊群增长的方程为：)1()(2111.N y N x x r t x σ--= （1） 1σ的意思是：单位数量的狼（相对2N 而言）掠取1σ倍的羊（相对1N 而言）。

2、假设狼群没有羊群的存在会灭亡，设其死亡率为2r ，则狼群独自存在时，有：y r t y 2.)(-=，又因为羊群的存在为狼群提供了食物，所以它对狼群的增长产生了促进作用，而狼群的增长又受到自身的阻滞作用，于是得到狼群增长的方程为：)1()(1222.N x N y y r t y σ+--= （2） 2σ的意思是：单位数量的羊（相对1N 而言）供养2σ倍的狼（相对2N 而言）。

（三）模型建立根据模型假设中的方程（1）、（2），可得到如下的数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=--=)1()()1()(1222.2111.N x N y y r t y N y N x x r t x σσ （四）模型求解利用数学软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测它的解析解的构造，然后从理论上研究其平衡点，验证前面的猜测。

捕食者-被捕食者模型稳定性分析报告

被捕食者—捕食者模型稳定性分析【摘要】自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫等。

本文是基于食饵—捕食者之间的有关规律，建立具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型，分析平衡点的稳定性，进行相轨线分析，并用数值模拟方法验证理论分析的正确性。

【关键词】食饵—捕食者模型相轨线平衡点稳定性一、问题重述在自然界中，存在这种食饵—捕食者关系模型的物种很多。

下面讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。

二、问题分析本文选择渔场中的食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象，建立微分方程，并利用数学软件MATLAB 求出微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测出它的解析解构造。

然后，从理论上研究其平衡点及相轨线的形状，验证前面的猜测。

三、模型假设1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；四、符号说明)(t x /)(1t x ——食饵(食用鱼)在时刻t 的数量；)(t y /)(2t x ——捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量；1r ——食饵(食用鱼)的相对增长率；2r ——捕食者(鲨鱼)的相对增长率；1N ——大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量；2N ——大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的罪的容量；1σ——单位数量捕食者（相对于2N ）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于1N )消耗的供养甲实物量的1σ倍；2σ——单位数量食饵（相对于1N ）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者(相对于2N )消耗的供养食饵实物量的2σ倍；d ——捕食者离开食饵独立生存时的死亡率。

一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支

一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支摘要：捕食者-食饵模型可用于研究生态系统中的捕食行为和食物链稳定性。

在现实生态系统中，许多因素会对捕食者与食饵之间的相互作用产生影响，其中一个重要因素就是时滞。

本文通过引入时滞因素，研究了一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支。

通过数学模型的建立与分析，我们得到了该系统的平衡点存在以及Hopf分支发生的条件，并利用MATLAB软件进行了数值模拟。

结果表明，时滞对系统的稳定性和动态性质具有重要影响，适当的时滞引入可以使系统产生周期性振荡。

1. 引言生态系统中的捕食者-食饵关系是一个重要而复杂的生态现象，其研究可以揭示自然规律并帮助我们更好地了解生态系统的运行机制。

捕食者-食饵模型在生态学中被广泛应用，其中Lotka-Volterra模型是最经典的一种。

2. 模型的建立我们考虑一个具有时滞的捕食者-食饵模型，其中食饵种群用x表示，捕食者种群用y表示。

模型可以表示为以下方程组：dx/dt = ax(1 - bx) - cxy(t - τ)dy/dt = -fy + hxy(t - σ)其中a, b, c, f, h是正常数，τ和σ是时滞参数。

3. 平衡点的存在性首先，我们研究该模型的平衡点的存在性。

设平衡点为(x0, y0)，即dx/dt = 0，dy/dt = 0。

通过求解方程组，我们可以得到平衡点的表达式。

4. 稳定性分析接下来，我们研究平衡点的稳定性。

通过线性稳定性分析，我们可以判断平衡点的稳定性。

当α = β = 0时，模型简化为传统Lotka-Volterra模型，它的平衡点为(0, 0)和(1/b, 0)。

根据稳定性分析，我们得到当r < 1时，平衡点(0, 0)是稳定的；当r > 1时，平衡点(1/b, 0)是稳定的。

其中r = ah/(bf)。

5. Hopf分支的发生条件在本文的模型中，我们引入了时滞参数τ和σ。

稳定性模型食饵捕食者模型课件

m
捕食者的死亡率。
03
稳定性模型食饵捕食者模型的求解方法
解析解法
公式推导
通过数学公式推导，直接得出模型在各种参数下的解。
适用范围
适用于模型简单、参数较少的情况，但可能不适用于复杂模型。
数值解法
迭代计算
01
通过迭代的方式逐步逼近模型的解。
精度控制
02
可以控制计算的精度，以适应不同的需求。
适用范围
模型定义
稳定性模型食饵捕食者模型是一种生态学数学模型，用于描述捕食者和食饵之间的相互作用关系。
该模型由两个微分方程组成，分别描述了食饵和捕食者的种群动态。
通过分析该模型的平衡点和稳定性，可以了解种群数量的变化规律和生态系统的稳定性。
模型背景
该模型是在20世纪20年代由美国生态学家洛特卡和沃尔特拉提出的，用于研究种群数量
捕食者种群的增长率可用以下方程表示
dP/dt = P*(aN/H - m)
模型参数解释
K
环境最大容纳量，表示在理想环境下，食饵种群的最大数量。
H
捕食者的半饱和常数，表示捕食者达到最大捕食效率时所需要的食物量。
r
食饵种群的内在增长率，表示在没有环境限制的情况下，食饵种群的增长速度。
a
捕食效率，表示单位时间内，一个捕食者能够捕获的食饵数量。
通过分析系统的数学模型，可以确定分岔的类型和发生条件。
05
稳定性模型食饵捕食者模型的改进与扩展
模型参数调整
调整捕食率
通过实验数据或观察，对捕食者对食饵的捕食率进行更精确的估计和调整，以提高模型的预测精度。
调整死亡率
根据环境和物种特性，调整食饵和捕食者的死亡率，使模型更符合实际情况。

几类离散的Holling型捕食-被捕食系统的稳定性与分岔分析的开题报告

几类离散的Holling型捕食-被捕食系统的稳定性与分岔分析的开题报告一、研究背景Holling型模型是生态学上重要的模型之一，主要应用于生态系统中的捕食-被捕食关系的研究。

其中，离散的Holling型模型具有时间和空间离散化的特性，在捕食-被捕食系统中具有广泛的应用价值。

二、研究内容本文将以两种常见的离散Holling型捕食-被捕食模型为例，其中一种为基于时滞的模型，另一种为基于空间延迟的模型。

通过分析这两种离散模型的稳定性和分岔分析，探究这两种模型的动力学行为。

1. 基于时滞的离散Holling型捕食-被捕食模型该模型的主要特点是考虑了捕食过程中的时滞效应，即猎食者对被捕食物的捕食行为不是立即产生反应，而是需要一定的时间延迟后才能捕获到被捕食物。

该模型的动力学行为主要包括平衡点的存在性和稳定性分析，以及李雅普诺夫函数和分岔图的绘制。

2. 基于空间延迟的离散Holling型捕食-被捕食模型在捕食-被捕食系统中，空间延迟效应也是非常重要的因素。

该模型主要考虑了捕食者和被捕食物在时间和空间上的延迟效应，即捕食者需要移动到被捕食物所在的位置并等待一定时间后才能实现捕食。

该模型的稳定性和分岔分析方法与基于时滞的模型类似，主要关注平衡点的存在性和稳定性分析以及李雅普诺夫函数和分岔图的绘制。

三、研究意义通过对离散Holling型捕食-被捕食模型的稳定性和分岔分析，可以更加深入地了解生态系统中的捕食-被捕食关系的动态行为。

同时，这种分析方法可以给生态保护提供重要的理论指导，为生态系统的稳定性和生态恢复提供宝贵思路。

四、研究方法本文将采用理论分析和数值模拟相结合的研究方法。

理论分析主要涉及平衡点的存在性和稳定性分析、李雅普诺夫函数和分岔图的绘制等方面。

数值模拟将采用MATLAB等计算工具，通过图像展示模型的稳定状态以及在参数变化时模型的动态行为。

五、预期成果通过对离散Holling型捕食-被捕食模型的稳定性和分岔分析，本文可以获得以下预期成果：1. 描述离散Holling型捕食-被捕食系统的动态行为；2. 讨论捕食-被捕食系统中的稳定性问题；3. 通过数值模拟展示模型的稳定状态以及参数变化时的动态行为；4. 提供生态学保护策略的理论指导。

捕食者一被捕食者系统稳定性指标的改进及应用

ｊｉｎａ３５０００２，Ｃｈｉｎａ；５．ＦｕｚｈｏｕＴｅｒｍｉｔｅＣｏｎｔｒｏｌＣｏｍｐｎｙａ，Ｆｕｚｈｏｕ，Ｆｕｊｉａｎ３５０００５，Ｃｈｉｎａ；６．ＴＰＶＥｌｃｔｅｒｏｎｉｃｓ（Ｆｕｊｉａｎ）Ｃｏ．，Ｌｔｄ，Ｆｕｑｉｎｇ，Ｆｕｊｉａｎ３５０３０１，Ｃｉｎｈａ）
２．ＩｎｓｔｉｕｔｔｅｏｆＡｐｐｉｌｅｄＥｃｏｌｏｇｙ，ＦｕｊｉａｎＡｇｒｉｃｌｕｔｕｒｅａｎｄＦｏｒｅｓｔｒｙＵｎｉｖｅｓｒｉｙ，Ｆｔｕｚｈｏｕ，Ｆｕｊｉｎａ３５０００２，Ｃｈｉｎａ；３．ＫｅｙＬａｂｏｒａｔｏｙｒｏｆＩｎｔｅｇｒａｔｅｄＰｅｓｔＭａｎａｇｅｍｅｎｔｆｏｒＦｕｊｉａｎ・ＴａｉｗｎａＣｒｏｐｓ，ＭｉｎｉｓｔｙｒｏｆＡｇｒｉｃｌｔｕｕｒｅ，Ｆｕｚｈｏｕ，Ｆｕｊｉａｎ３５０００２，Ｃｉｎｈａ；４．ＣｏＨｅｇｅｏｆＰｌｎｔａＰｒｏｔｅｃｔｉｏｎ，ＦｕｊｉａｎＡｇｒｉｃｌｔｕｕｒｅａｎｄＦｏｒｅｓｔｒｙＵｉｎｖｅｓｒｉｙ，ｔ

两类食饵—捕食者模型的稳定性分析

两类食饵—捕食者模型的稳定性分析两类食饵—捕食者模型的稳定性分析引言生态系统中食物链是一种基本的生态关系，其中包括食饵和捕食者之间的相互作用。

食饵-捕食者模型是用来描述食饵和捕食者之间相互作用关系的数学模型。

在自然界中存在不同类型的食饵-捕食者模型，其中一种常见的模型是“两类食饵—捕食者模型”。

本文将对该模型的稳定性进行分析。

一、模型描述这个模型中包括两类食饵和一个捕食者。

我们用 V1, V2 分别表示两类食饵的个体数量，用 P 表示捕食者的个体数量。

模型可以由以下方程组描述：（1）dV1/dt = r1V1(1 - V1/K1) - a1V1P（2）dV2/dt = r2V2(1 - V2/K2) - a2V2P（3）dP/dt = b1a1V1P - m1P + b2a2V2P - m2P其中，r1和r2分别表示两类食饵的增长率，K1和K2表示它们的环境容量；a1和a2是食饵和捕食者之间的捕食率；b1和b2分别是捕食者每次捕食时所消耗的食饵个体数量；m1和m2分别表示捕食者的自然死亡率。

二、平衡点的求解平衡点是指系统中各个物种个体数量不发生变化的状态。

我们令方程组（1）-（3）中各个方程等于零，解得平衡点：V1* = 0；V2* = 0；P* = 0这是一个零平衡点，表示所有个体数量均为零。

三、稳定性的分析我们需要分析模型中平衡点的稳定性，以了解该模型的动态行为。

1. 线性稳定性分析为了方便分析，我们将模型（1）-（3）化为线性形式：（4）dV1/dt = (r1 - a1P)V1（5）dV2/dt = (r2 - a2P)V2（6）dP/dt = (b1a1V1 + b2a2V2 - m1 - m2)P对于线性系统（4）-（6），可以利用特征值的方法进行分析。

计算特征值后得到系统的特征方程：λ^3 + (m1 + m2 - b1a1V1* - b2a2V2*)λ^2 + (a1a2P* - (r1 + r2 + m1 + m2))λ + a1a2P*(r1 + r2) = 0通过分析特征方程的根的实部和虚部，可以判断平衡点的稳定性。

具有恐惧效应的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支

具有恐惊效应的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支摘要：在生态学探究中，捕食者-食饵模型是一种常见的模型，用于探究捕食者和食饵之间的互相作用。

然而，有些状况下，食饵可能对捕食者具有恐惊效应，即食饵在觉察到捕食者的存在后会缩减其行动活动。

本文通过建立一个具有恐惊效应的捕食者-食饵模型，探讨了模型的稳定性和Hopf分支，以及恐惊效应对模型的影响。

关键词：恐惊效应，捕食者-食饵模型，稳定性，Hopf分支引言：在生态系统中，捕食者和食饵的互相作用对于维持生态平衡起着重要作用。

捕食者通过捕食食饵维持自身的生存，而食饵则通过防止或避开捕食者的攻击来提高自己的存活率。

然而，在一些状况下，食饵可能会遇到捕食者后丢失正常的行动活动，这种现象被称为恐惊效应。

恐惊效应的存在对于生态系统的稳定性以及捕食者-食饵模型的行为产生了重要的影响。

模型表述：我们思量一个简化的捕食者-食饵模型，其中食饵种群的动态由以下方程描述：$\frac{dF}{dt} = rF(1-\frac{F}{K}) - \alpha\frac{F}{P+PL}P$其中，$F$表示食饵种群的数量，$r$为食饵增长率，$K$为食饵种群的环境承载力，$P$表示捕食者种群的数量，$\alpha$是捕食者对食饵的捕食率，$L$代表食饵感知到捕食者的程度。

当$L$为0时，表示食饵没有感知到捕食者的存在；而当$L$较大时，食饵感知到捕食者的存在，会缩减其行动活动。

捕食者种群的动态由以下方程描述：$\frac{dP}{dt} = \beta \frac{F}{P_c + F}P - \gamma P$ 其中，$P$表示捕食者种群的数量，$\beta$是食饵对捕食者的增长率，$P_c$表示捕食者的投放数量，$\gamma$为捕食者的死亡率。

模型分析：为了探究模型的稳定性和Hopf分支，我们起首将模型的动态转化为无量纲形式。

假设$F = Kx$，$P = P_c y$，$t =\frac{1}{r} \tau$，将模型方程进行无量纲化后，可以得到： $\frac{dx}{d\tau} = x(1-x) - \mu \frac{x}{p +pL}y$$\frac{dy}{d\tau} = \frac{x}{p + x}y - y$其中，$\mu = \frac{\alpha K}{r}$，$p =\frac{P_c}{K}$。

被捕食者成食物链的一类n对种群“捕食—被捕食”...

被捕食者成食物链的一类n对种群“捕食—被捕食”...李泉
【期刊名称】《数理医药学杂志》
【年(卷),期】1993(006)002
【摘要】俄罗斯学者曾研究了相互竞争的一类n对种群“捕食——被捕食”生态系统的稳定性。

本文用另外的方法研究被捕食者成食物链的一类n对种群“捕食——被捕食”生态系统的稳定性,并指出不论捕食者是否成密度制约,结论都是正确的。

考虑m维Lotka—Volterra模型 N_i=N_i[b_i+sum from j=1 to m
a_(ij)N_j] i=1,2,…,m(1) 这里,b_i,a_(ij)对所有i,j=1,2,…,m为常数。

设它有唯一正平衡位置N~*(N_1~*,N_2~*,…,N_m~*),则N~*是全局稳定的充分条件为:
【总页数】3页(P9-11)
【作者】李泉
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】Q146
【相关文献】
1.一类随机Kolmogorov捕食者-食饵种群系统稳定性分析 [J], 高海音;纪振东
2.一类捕食者-被捕食者种群模型的定性分析 [J], 王元明;黄迅成
3.一类捕食者-被捕食者种群模型的Hopf分支问题 [J], 王元明;黄迅成
4.一类三种群捕食者-食饵交错扩散模型的整体解 [J], 闫莎
5.一类捕食者具似Allee效应的捕食食饵集合种群系统的动力学行为研究 [J], 师向云;张泰瑞;高喜文;李菁
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一类捕食者-食饵扩散模型的稳定性分析

则有Ｌ＞．４式及文［］０由（）９引理２５３得．．
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（）ｉ，，Ｘ，：１２问题（）１存在唯一非负整体解（ｕ，
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衡点，则相应于（）１的常微分方程组存在唯一稳定的极限环．若正平衡点存在唯一且局部稳定，则该正平
衡点全局渐近稳定．意到（）注１的常微分方程组形式的解是反应扩散问题（）１的特解．因此，当常微分方程组形式的（）１的正平衡点不稳定时，它仍是反应扩散问题（）１的不稳定平衡点．本文的主要问题是：故
正平衡点的局部渐近稳定性和全局渐近稳定性，其
中ｎ是Ｒ中边界光滑的有界区域，是０上的单７７１２位外法向量，＝ａａ，Ｘｔ，（，）ｄ／ｕ（，）Ｘｔ分别是食饵种群和捕食者种群的密度函数，，Ｉ，，Ｗ都是ａｂｃｄｈ和正常数．由文［，］，（）在唯一的不稳定的正平１２知若１存

稳定性模型食饵捕食者模型.优秀PPT资料

x(t) 1(y d) by
1(lny(T)lny(0)dT)
T
b
b
x(t)(ra)yx
xd/b
yr/a
轨线中心
P (x 0 ,y 0 ):x 0 d/b ,y 0 r/a
xx0,yy0
模型解释
x(t)(ra)yx y(t)(db)xy
初值 P0(x0 , y0 ) 相轨线的方向
T1:x(t)y(t)
P点稳定性不能用近似线性方程分析
用相轨线分析 P(d/b,r/a)点稳定性
x(t) (r ay)x y(t) (d bx)y
消去dt
dx x(r ay) dy y(d bx)
dbxdxraydy
x
y
d lx n b r x ly n a c y 1
(xdebx)(yreay)c
取指数
c 由初始条件确定
60
40
20
y(t)
0
0 T1 2 T2 4 T3 6
T 8
10
4
12
模型解释
30
捕食者数量
y
r a
25 20
15
r ~食饵增长率
r/a10
5
a ~捕食者掠取食饵能力 0 0
P 20d/b 40
捕食者数量与r成正比, 与a成反比
计算结果（数值，图形）
观察，猜测
x(t), y(t)是周期函数，相轨线(x,y)是封闭曲线 x(t), y(t)的周期约为10.7 xmax 99.3, xmin 2.0, ymax 28.4, ymin 2.0 用数值积分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值： x(t)的平均值约为25, y(t)的平均值约为10.

具有转换机制的捕食者-食饵模型的稳定性分析

由线性化方法给出该模型正平衡点局部渐近稳定的条件．
关键词：食者一饵模型；换机制；部渐近稳定性捕食转局
中图分类号：７．６０１５２
讨论源自文Ｌ－如下捕食者一饵模型１Ｊ的食
，Ｌ一
．以所（）
一－２一ｂ２ｚ（髫２ｕ
Ａ２一３，
，
’
≤ａ“）：＋（，）∈ ｍ｛０“ ），ｘ＋（ “）（。０
［，）由延拓定理知，、Ｏ丁．１一＋。．。
下面考虑模型（）负平衡点的存在性及２非局部稳定性．经初等计算知，问题（）２的半平凡
Ａ一堕王十一。一｛ｌ。Ｕ
Ａ３ — ０，３
８；ｕ
。
’
Ａ＝垒盖— ，一。一生撕一ｚ＂ｒＵｌ
且有Ａ１０Ａｊ＜ＯＡ２＞０Ａ２０２，３，ｌ，３．＞＜
・
平点Ｅ，ｏ如满衡为（堕）果足去ａ．２，
稳定性．ａｇ和Ｗａｇ在文［］Ｐｎｎ４中证明了食饵
具有转换机制的两种捕食者一种食饵交错扩
散系统非常数平衡解的存在性．本文主要讨论模型（）负平衡点的渐近稳定性．２非
定理１设（１ “ ，是模型（） “ ，２ “ ）２的正
（＝ｌ２的情形．变换，）作
“ 一
解，其最大存在区间为［，，０Ｕ（）ＯＴ）则＜￡≤

捕食者—被捕食者、竞争、共生三种模型的参数估计问题

捕食者—被捕食者、竞争、共生三种模型的参数估计问题章栋恩为了说明标题中出现的数学模型的重要性，我在这里首先引用MCM 评阅人的一段话。

2009 MCM Judges’ Commentary—Problem BBy Marie Vanisko, Carroll College, Helena, MontanaGeneral Remarks………..The Problem and Selected Modeling Approaches…………Interesting models were constructed for the transitional phase of the cell phone “takeover.” Some teams considered the spread of cell phones as the spread of a disease and used the Verhulst model for logistic growth , using the population of the United States as the carrying capacity and estimating the rate of growth of cell phones from published reports on the growth of cell phone use in the United States. Other teams generalized this to an SIR model or used the Lotka Volterra p redator‐prey model , with cell phones as the predators and landline phones as the prey. A few used the competing species model . The judges looked very favorably upon models for which sufficient rationale was given as to why that model might be appropriate in this circumstance. Interpretation of the parameters and solutions as they applied to the problem at hand was essential.因为捕食者—被捕食者、共生、竞争三种模型都属微分方程组建模问题，在美国微积分教科书和数学建模教材中都有研究。

数学建模生物种群模型

y种群以外的自然资源时， a1；而0 x种群仅以y种群
的生物为食时，。a1 0 反映b1x的,c是2 y各种群内部的密
度制约因素，即种内竞争，故
。b1 0,c2 0
b2,的c1 正负要根据这两种群之间相互作用的形式而定，一般分为以下三种情况。
1.相互竞争型：两种群或者互相残杀，或者竞争同
y(r2
2 x)
1,2, r1, r2 0
模型分析
平衡点
O(0,0),
R( r2 , r1 )
2 1
按照判断平衡点稳定性的方法，发现不能判断平衡点R是否稳定，下面用分析相轨线的方法来解决这个问题。
相轨线
dy y(r2 2x) dx x(r1 1 y)
积分得 r2 ln x 2x r1 ln y 1y c1
r1 x(1
x k1
1
y k2
)
dy dt
r2 y(1
2
x k1
y k2
)
四、三种群模型
三种群相互作用的情况要比二种群作用的情况复杂，但建立模型的规律基本上相同，既要考虑种内的增长，也要考虑种间的相互作用。建立模型时，考虑各种群的相对增长率，然后假设线性的相互作用关系，就可得三种群相互作用的伏特拉模型。设x（t）、y（t）、z（t）分别表示t时刻三种群的数量，则一般形式的伏特拉模型
y k2
)
dy dt
r2
y(1 2
x k1
y k2
)
稳定性分析：
由微分方程的稳定性理论，方程组的平衡点
r1 x(1
x k1
1
y k2
)
0
r2
y(1
2
x k1

具有B-D功能反应项的捕食者—食铒模型的稳定性

具有B-D功能反应项的捕食者—食铒模型的稳定性具有B-D功能反应项的捕食者—食铒模型的稳定性自然界中的食物链与生态系统中存在着各种捕食者和食物相互作用，其中捕食者-食物模型是研究这种相互作用的重要工具。

在生态学领域，研究者们提出了许多不同类型的模型来描述捕食者与食物之间的关系，其中包括具有B-D功能反应项的捕食者-食物模型。

在此模型中，B-D功能反应项用于描述捕食者对食物的消耗。

B-D变量代表食物消耗的速率，其中B项表示食物的增长速率，D项表示捕食者对食物的消耗速率。

这个模型的基本形式可以表示为dF/dt = F (B - D), dP/dt = P (D - aB)，其中F和P分别代表食物和捕食者的数量，a则是捕食者对食物的摄食率。

研究者们对这个模型的稳定性提出了广泛的兴趣。

稳定性研究的目的是了解捕食者和食物在系统中长期共存的可能性。

通过研究模型的稳定性，我们可以预测和评估生态系统的稳定性，并提出保护和管理相关物种的建议。

在具有B-D功能反应项的捕食者-食物模型中，稳定状态可以通过研究系统方程的平衡点来确定。

平衡点是捕食者和食物数量不再变化的点，它是模型的稳定状态。

通过分析平衡点的性质，我们可以了解捕食者和食物种群的长期变化趋势。

在这个模型中，平衡点的稳定性可以通过线性稳定性分析来研究。

线性稳定性分析是通过线性化系统方程来评估平衡点的稳定性。

通过计算平衡点的雅可比矩阵，并求解其特征值，我们可以判断平衡点是稳定的、不稳定的，或者是其他类型的稳定性，例如极限环或者周期解。

具有B-D功能反应项的捕食者-食物模型的稳定性分析可以分成两种情况：捕食者为自然死亡型或倍增型。

对于自然死亡型的捕食者模型，其稳定性更易判断，因为自然死亡项对稳定性的影响较小。

然而在倍增型捕食者模型中，自然死亡项对稳定性的评估十分重要。

具有B-D功能反应项的捕食者-食物模型的稳定性对于生态系统的保护和管理具有重要意义。

通过研究模型的稳定性，我们可以预测和评估不同生态系统中的捕食者和食物物种的长期共存潜力。