917736-晶体学基础-习题课pptx

晶体学基础
习题课（1）
Outline
• 晶胞及晶系 • 晶向指数标定 • 晶面指数标定 • 晶带轴定律及其应用 • 倒易点阵的基本性质及其证明
晶胞及其选取原则
➢ 空间点阵按照平行六面体划分为许多形状和大小 相同的网格，此平行六面体称为点阵晶胞或单元晶 胞（Unit cell）。
选取晶胞的原则：
Ⅰ) 反应点阵的对称性； Ⅱ）平行六面体内的棱和角 相等的数目应最多； Ⅲ）棱与棱之间直角的数目 应最多； Ⅳ）包含阵点的点数最少。
若存在： H= ha* +kb* +lc*
则：a* =(b×c)/V; b* =(c×a)/V; c* =(a×b)/V • 以a*,b*,c*为3个新基失，形成新点阵，其阵点 矢量方向就是原点阵晶面(hkl) 的法线方向。
垂直关系证明（2）
垂直关系证明（2）
正点阵与倒易点阵之间的倒数关系（大小）
• a*、b*、c*周期平移就获得相应的倒易点阵。
由单斜点阵导出其倒易点阵
• 单斜点阵：b轴垂
直于a和c轴。 左图图面为（010）面。
六方晶系四轴定向水平轴的安置
➢晶格常数为: a = b = 90°, g =120°, a = b ≠c
➢ 选择唯一的高次轴作为直立结晶轴c轴，在垂直 z 轴的平面内选择三个相同的、即互成120°交 角的L2或P的法线，或适当的显著晶棱方向作为 水平结晶轴，即x 轴、 y 轴以及 d 轴(u轴)。
确定晶向指数4步骤
初基晶胞与复杂晶胞阵点个数
•初基晶胞
•底心晶胞？
•体心晶胞
•面心晶胞
晶系与布拉菲点阵
等 轴
正 方
斜 方
三 方
晶体的四轴定向---六方晶系晶体定向
(110)
(100)
(110)
• 六方系的单胞不能 反映点阵的对称性;
(100)
• 三个单胞拼成一个六 面柱体来研究。
晶体的四轴定向---六方晶系晶体定向
➢ hu1 + kv1 + lw1 = 0
(1)
➢ hu2 + kv2 + lw2 = 0
(2)
➢解联立式(1)和式(2)的方程组，可得
h: k: l =
v1 v2
w1 w2
:
w1 u1 w2 u2
:
u1 v1 u2 v2
如，[100]和[111]两晶带交汇处晶面符号为 （0 1 1）
正点阵与倒易点阵间关系
晶面指数（Indices of Crystallographic Plane）
a/2
3/4c a/2
晶面标记
晶面族
（001） z
用{h k l}表示对称性联系的一组晶面， 称为晶面族Family of planes.
x （100）
y （010）
{110}: (110), (110), (110), (110), (101), (101), (101), (101), (011), (011), (011), (011)
➢根据晶带方程hu + kv + lw = 0，可以得出：
➢ h1u + k1v + l1w = 0
(1)
➢ h2u + k2v + l2w = 0
(2)
➢解联立式(1)和式(2)的方程组，可得
➢ [u v w] = u : v : w = (k1l2 - k2l1) : (l1h2 - l2h1) : (h1k2 - h2k1)
1）确定坐标系，过原点作平行于欲求晶向的直线； 2）求该直线上任一点的坐标（a，b，c）； 3）将此3个坐标值化成最小整数 u，v，w； 4）加以方括号，即[u v w]。
晶向指数标定 z
y x
确定晶面指数4步骤
1）以各晶轴点阵常数为单位，求 晶面与三晶轴的截距m, n, p;
2）取截距之倒数； 3）化为最小整数h，k，l； 4）加以圆括号，即（h k l）。
（1）a●a * = b●b * = c●c *≡1
a*垂直于bc平面； b*垂直于bc平面； c*垂直于ab平面；
（2） a● b*= a● c*= b● a*= b● c*= c● a*= c● b* ≡0
（3） V● V*≡1
（4） a* =(b×c)/V; b* =(c×a)/V; c* =(a×b)/V
倒 • 基矢a*, b*, c*分别垂直正点阵 (100)、(010)、(001);
易 点 阵
• 轴夹角分别是正点阵中这三个面的夹角； • 基矢的模分别是1/d100，1/d010，1/d001；
• 求出基矢a*, b*, c*长度和夹角就确定了[(100)]*、 [(010)]*、[(00l)]*三个倒易点；
• 任一平面的a1, a2, a3晶面指数关系：i= -( h+k )
4轴坐标晶向指数 [u v t w]
• 4轴坐标系若按3轴坐标求法， 同一晶向则有无数个不同指数。
• 增加条件，t= -( u+v ) ，则只有一 个指数，而且同一晶向族具有类似 指数。
➢求密布氏指数首先求出晶向上任一结点在四 轴的垂直投影； ➢然后将前3个指数分别乘以2/3； ➢再和第四个数值化为最小整数即为密布氏指 数。
u: v: w =
k1 k2
l1 l2
:
l1 l2
h1 h2
:
h1 k1 h2 k2
如，(123)和(011)两晶面的晶带符号为 [1 1 1]
求同属于某两晶带的晶面符号
➢ 已知2个晶带[u1v1w1]和[u2v2w2]相交，确定两晶带所 在晶面的指数(hkl) ：
➢根据晶带方程hu + kv + lw = 0，可以得出：
Shkl ⊥ P及Q
•倒易矢量[hkl]的大小（模）就是其正点阵 该晶面族中相邻平行(hkl)晶面间距的倒数。
dhkl =
1 H
• O点到(hkl)晶面的垂直距离就是晶面间距dhkl。
aH
1
dhkl =
●
=
hH
H
由正点阵导出倒易点阵
z
a
(001)
(100) x
y ((001100))
根据倒易点阵的两个基本性质，可以从正点阵导出倒易点阵：
三、晶带与晶带定律
晶带：平行或相交于同一晶列的晶面族的总称。
用晶带轴表示，
晶带
晶带定律：任一属于[u v w] 晶带的晶面（h k l）（共带 面），必有(晶带方程)：
hu ＋ kv ＋ lw＝0
求包含已知两晶面的晶带符号
➢ 若已知属于同一晶带的两晶面为(h1 k1 l1)和(h2 k2 l2)， 求晶带符号。
正点阵与倒易点阵在方向上存在 垂直关系
a
Hhkl
在倒易点阵中，从原点指向阵点[坐标hkl]的倒易矢
量 Hhkl = ha* +kb* +lc* ，
Hhkl必和正点阵的(hkl)面垂直， 即倒易点阵的阵点方向[hkl]*和正点阵的(hkl)面垂 直：[hkl]*⊥(hkl)。
垂直关系证明（1）
• 用3个基失a, b, c表示某晶面的法向矢量Shkl。
• 符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表 面时才有意义, 在晶体内部这些面都是等效的 。不考虑符号相反的晶面，则
面等效的晶面数分别为：3个 表示为 面等效的晶面数分别为：6个 表示为 面等效的晶面数分别为：4个 表示为
晶面标记
六方晶系指数标定
密布氏晶面指数：
• 晶面指数（h k i l ) 求法与密氏指数相同；
Shkl ⊥ P及Q
定义一个矢量H=
P×Q
∝ Shkl
归一化因子
取归一化因子为 a晶胞体积
H=
hkl a●b×c
●
ba kh
P
×c b lk Q
垂直关系证明（1）
H=
hkl a●b×c
●
b k
a ×c
h
l
b k
整理得：
H= h (b×c)/V + k (c×a)/V + l (a×b)/V