连续系统模型的离散化处理方法
连续系统模型的离散化处理方法
在离散化后，模型精度变差，可能不稳定。
S域到Z域的最基本映射关系是：Z=e （T— TS 数值积分法：将微分方程转换成差分方程，这中间是一步步离散，每一步离散都用到连续系统的原模型，这样的速度就慢了。
TeAT
m T
T eATA Bd
0
xKTTTxKTmTUKT
x(k1) TxkmTUk
B 当输入函数u（KT）在两采样 点间线性变化时（一阶保持）
uuKTukT
p
T
TeATABd
0
xkTTTxkTmTUkTpTUkT
xk1TxkmTUkpTUk
当连续系统状态方程系数A、B已知时，
可求出……
此法相比于数值积分法；只要T不变，三个系 数均不变，可以在仿真前预先计算好，这样 就减少了以后的计算工作量。
2 典型环节的离散状态方程
A 积分环节：G（S）=K/S f1=x2 ; f2=x3 ;
依据各环节的连接关系及外部作用函数 稳定性不及双线性替换法，Ts或信号重构器选择不当，离散模型的稳定性变差
二、Z域离散相似方法
1 基本方法
G z
y z u z
z G h s G s
1
z
s a
z exp( aT )
e TS 1 z
1 z
s
z 1
1
Tz
s* s
( z 1 )( z 1 )
Gz
yz uz
zGh
sGs
Gs k
sa
Gh
s
1
第6章连续系统的离散化方法及近似解
第6章连续系统的离散化方法及近似解在连续系统中，我们经常需要将其离散化为离散系统以便于分析和求解。
离散化方法能够将连续系统的微分方程转化为差分方程，从而得到近似解。
本章将介绍连续系统的离散化方法及近似解的计算。
连续系统的离散化方法有许多种，常见的有Euler方法、Runge-Kutta方法和有限差分方法等。
其中，Euler方法是最简单和最基础的离散化方法，其基本思想是将连续时间轴划分为若干个小时间间隔，并用差分逼近连续系统的导数。
具体地，对于一阶常微分方程：\[\frac{{dy}}{{dt}} = f(y, t)\]可以使用Euler方法将其离散化为：\[y_{n+1} = y_n + h \cdot f(y_n, t_n)\]其中，\(y_n\)是时间点\(t_n\)的近似解，\(h\)是时间步长。
Runge-Kutta方法是一种更精确的离散化方法，其基本思想是利用多个中间步骤来更准确地逼近连续系统的导数。
常见的是四阶Runge-Kutta 方法，其公式为：\[y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6} \cdot (k_1 + 2k_2 + 2k_3 +k_4)\]其中\[k_1=f(y_n,t_n)\]\[k_2 = f(y_n + \frac{h}{2}k_1, t_n + \frac{h}{2})\]\[k_3 = f(y_n + \frac{h}{2}k_2, t_n + \frac{h}{2})\]\[k_4 = f(y_n + hk_3, t_n + h)\]这样可以得到更准确的近似解。
有限差分方法是一种常用的离散化方法，其基本思想是将连续的导数用差分逼近。
以二阶偏微分方程为例，该方程的一般形式为：\[\frac{{\partial^2u}}{{\partial x^2}} +\frac{{\partial^2u}}{{\partial y^2}} = f(x, y)\]可以使用中心差分公式将其离散化为：\[\frac{{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}}{{\Delta x^2}} + \frac{{u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}}}{{\Delta y^2}} =f_{i,j}\]其中，\(u_{i,j}\) 是近似解在网格点 \((i, j)\) 处的值，\(\Delta x\) 和 \(\Delta y\) 分别是网格在 \(x\) 和 \(y\) 方向的步长，\(f_{i,j}\) 是离散化后的右侧函数。
连续系统离散化方法
其中 y ( kT ) 为到 kT 时刻的阴影总面积。对式（5.15）进行 Z 变换，并整理得到
Y ( z ) T 1 + z −1 = X ( z ) 2 1 − z −1
（5.16）
图 5-5 梯形面积近似积分
D( z ) = D( s )
由式 （5.16） ， 也可得双线性变换：
s=
2 1− z −1 T 1+ z −1
3、双线性变换法
双线性变换法又称突斯汀（Tustin）法，是一种基于梯形积分规则的数字积分变换方法。 由 Z 变换定义 z = e ，将 e 改写为如下形式：
Ts Ts
第 2 章 计算机控制系统的信号转换
Ts
21
eTs =
e2 e
− Ts 2
（5.12）
然后将分子和分母同时展成泰勒级数，取前两项，得：
Ts 2 z= Ts 1− 2 1+
由上式计算出 s ，得双线性变换公式。
（5.13）
s=
2 1 − z −1 T 1 + z −1
T [ x[(k − 1)T ] + x( kT )] 2
（5.14）
另外，由图 5-5 所示的梯形面积近似积分可得
y (kT ) = y[(k − 1)T ] +
（5.15）
s=Biblioteka z −1 T(5.11）
另外还可将 z 级数展开 ：
z = eTs = 1 + Ts +
T 2s2 + ... 2
20
第 2 章 计算机控制系统的信号转换
取一阶近似 z ≈ 1 + Ts ，也可得到：
s=
z −1 T
控制系统仿真及MATLAB语言--第四章 连续系统的离散化方法
t2 0.2, y2 y1 1 0.1y1 0.9 0.91 0.819 t10 1.0, y10 y9 1 0.1y9 0.4628
t3 0.3, y3 y2 1 0.1y2 0.8191 0.1 0.819 0.7519
状态方程的四阶龙格-库塔公式如下：
h xk +1 xk (K 1 2K 2 2K 3 K 4 ) 6 K 1 Axk Bu (tk ) K 2 A(xk h K 1 ) Bu (tk h ) 2 2 K A (x h K ) Bu (t h ) k 2 k 3 2 2 K A(x hK ) Bu (t h) k 3 k 4 y k +1 Cxk +1
41常微分方程的数值解法数值求解的基本概念设微分方程为则求解方程中函数xt问题的常微分方程初值问题所谓数值求解就是要在时间区间ab中取若干离散点求出微分方程在这些时刻的近似值这种方法的几何意义就是把ftx在区间tk1内的曲边面积用矩形面积近似代替
第四章 连续系统的离散化方法
4.1
常微分方程的数值解法
h xk 1 xk h f k ( ftk ' f xk ' f k ) 2!
f 'tk f 'xk 等各阶导数不易计算，用下式中 ki的线性组合代替
xk 1 xk h ai ki
i 1
r
线性组合
r为精度阶次，ai为待定系数，由精度确定；ki用下 式表示 i 1
ki f (tk b1h, xk hb2 k j ) , i 2,3
将 f tk b1h,xk hb2k1 在点 tk , xk 展成Taylor级数
连续系统的离散化方法课件
离散化方法的意义
精确性
离散化方法可以提供对连续系统的精 确近似，特别是在计算机仿真和数字 控制系统中。
可计算性
离散化方法可以将不可计算的分析转 化为可计算的形式，便于进行数值计 算和控制器设计。
离散化方法的应用场景
01
02
03
数字控制
在数字控制系统中，连续 系统的离散化是必要的步 骤，以便在数字计算机上 进行数值计算和控制。
小波基选择
常用的小波基包括Haar小波、Daubechies小波、Morlet 小波等。
误差分析
小波变换法的误差主要来自于变换误差和离散化误差。
05
离散化方法的评估与优化
评估离散化方法优劣的标准
01
02
03
04
精度
离散化方法是否能准确代表原 连续系统。
稳定性
离散化方法在一定参数变化范 围内是否能保持稳定。
状态空间模型
用状态变量和输入、输出变量描述连续系统的动态特性。
状态空间模型通常形式为：`x'(t) = Ax(t) + Bu(t)` 和 `y(t) = Cx(t) + Du(t)`，其中 `x(t)` 表 示系统状态，`u(t)` 表示系统输入，`y(t)` 表示系统输出，`A`, `B`, `C`, `D` 是系数矩阵。
化率。
通过求解 ODE，可以得到系统 在任意时刻的状态。
传递函数
表示连续系统在输入和输出之间的传递 特性。
传递函数通常形式为：`G(s) = Y(s) / U(s)`，其中 `Y(s)` 和 `U(s)` 分别是输 出和输入的拉普拉斯变换，`s` 是复变
量。
通过分析传递函数的零点、极点和增益 ，可以得到系统的稳定性和性能特性。
tustin离散化方法
Tustin方法（也称为Bilinear变换或双线性变换）是一种用于将连续时间系统（模拟系统）离散化为离散时间系统的方法之一。
它是一种广泛使用的数值方法，尤其适用于将连续时间系统转换为数字控制系统。
Tustin方法的离散化步骤如下：1. 连续时间系统：首先，考虑一个具有传递函数H(s)的连续时间系统，其中s是复变量。
传递函数通常具有以下形式：H(s)=N(s) D(s)其中，N(s)和D(s)是多项式，表示系统的分子和分母。
2. 替换s：使用Tustin方法，我们将s替换为离散时间z上的特定映射。
Tustin方法使用双线性变换：s=2Tz−1 z+1其中，T是采样时间。
3. 替换H(s)：将s替换为上述表达式，得到离散时间系统的传递函数：H(z)=N(2Tz−1z+1) D(2Tz−1z+1)4. 优化H(z)：通常，为了方便分析和实现，可以对H(z)进行代数化简，例如通过因式分解或部分分数展开。
5. 数字实现：将H(z)转换为数字控制系统的形式，例如差分方程或脉冲响应。
示例：假设有一个连续时间系统的传递函数为：H(s)=s+1s2+3s+2采样时间T为 0.1 秒，应用Tustin方法：s=2Tz−1 z+1将其代入传递函数，进行代数化简，最终得到离散时间系统的传递函数。
这就是Tustin方法的基本过程。
它是一种将连续时间系统转换为离散时间系统的常用方法，具有一定的数值稳定性和频率响应特性。
在数字控制系统设计中，经常使用这样的方法来进行系统离散化。
2.6 连续时间系统状态方程的离散化
0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0.63 1 1 0.37 0 1.37 0.37 0 0 0.63 1 0.63 0.865 1.37 1 0.135 0 2.05 0.135 0.63 0 0.865 1 0.95
1 (3)H(T) 0 0
T
T 1 1 / 2(1 e2 t ) 0 dt 0 2 t e 1 0
x 1[(k 1)T] x 1 (kT) (4) G(T) H(kT) U(kT) x 2 [(k 1)T] x 2 (kT)
1
解：
例2.5已知控制对象满足 0 1 0 x x u，求其离散化方程 2 0 1
2 t 1 1 / 2 ( 1 e ) 1 1 （ 1 ）( t ) L [SI A] 2 t e 0 1 1 / 2(1 e 2 t ) (2)G (T) ( t ) t T 2 t e 0
1 2T 2 t ( 2 T e 1 ) 1 / 2(1 e ) 4 dt 1 2 t 2 T e (1 e ) 2
说明：（1）当T选定后（如T＝0.5秒）G(t)和
H(t)都是确定的系数矩阵
(2)离散化后得状态方程，可按递推法或
At 1 1
（2）由u(kT)=r(kT)-y(kT)=r(kT)-x1 (kT),代入，得系统的离散化 状态方程。
x1[(k 1)] 1 1 e T x1 (kT ) T e T 1 u (kT ) x [(k 1)] T T e x2 (kT ) 1 e 2 0 2 T e T 1 e T x1 (kT ) T e T 1 T r (kT ) T T e x2 (kT ) 1 e e 1
计算机仿真技术基础第4章连续系统模型的离散化处理方法
1 S2
Z 1 TZ
Z • Z 12
T Y(Z) Z 1 U(Z)
Ｚ反变换得差分方程：
y(n 1) y(n) Tu(n)
２）选用一阶保持器
Gh ( S )
T 1 TS 1
e TS S
2
离散化传递函数 G(Z ) Gh(S )G(S )
T
1
TS
1
e TS S
2
1
S
Y CX DU
t
状态方程的解 X (t) (t)X (0) (t )Bu( )d
采用零阶保持器对状态空间表达0式进行离散化处
理
u(t )
u(k )
零阶 保持器
u~(k )
x Ax Bu
x
~x
对e A于T X连(K续T解)
eX A( t()K1)T( tX) X(0(0))
t
根据Ｚ变换理论，Ｓ域到Ｚ域的最基本的
映射关系是：
Z
eTs
或
s 1 ln Z T
其中Ｔ是采样周期
若直接将这个映射关系代入Ｇ(S)得到G(Z)将 会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变 换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似 的离散模型。
4.1.1 简单替换法
由幂级数展开式：
eTx 1 Tx (Tx)2 (Tx)n
y(n 1) y(n) T [u(n 1) u(n)] 2
4.2 离散相似法
4.2.1 离散相似法的概念
离散相似法将连续系统模型处理成与之等效 的离散模型的一种方法。设计一个离散系统模型， 使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相 似。或者是根据给定的连续系统数学模型，通过 具体的离散化方法，构造一个离散化模型，使之 与连续系统等效。
连续函数离散化
连续函数离散化 Prepared on 22 November 2020连续函数离散化替换法传递函数是控制系统应用最广泛的模型描述形式，连续系统为Ｓ域的传递函数G(S)，离散系统为Ｚ域的脉冲传递函数G(Z)。
替换法的基本思想：对给定的连续系统模型G(S)，设法找到Ｓ域到Ｚ域的某种映射关系，将Ｓ域的变量映射到Ｚ平面上，由此得到与连续系统G(S)相对应的离散系统的脉冲传递函数G(Z)。
然后，再由G(Z)通过Ｚ反变换得到系统的时域离散模型——差分方程，从而快速求解。
根据Ｚ变换理论，Ｓ域到Ｚ域的最基本的映射关系是：Ts e Z =或Z Ts ln 1= 其中Ｔ是采样周期若直接将这个映射关系代入G(S)得到G(Z)将会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似的离散模型。
简单替换法由幂级数展开式： +++++=!!212n x x x e nx取近似式：Ts e Z Ts +≈=1或：TZ s 1-= 用此式代入G(S)就得到G(Z)，这就是简单替换法，又称Euler 法。
例：二阶连续系统s s s U s Y s G 50400)()()(2+==，001.0=T 解：简单替换法TZ s 1-=代入G(s) 001.0=T 代入双线性替换法 取近似式：2121Ts Tse Z Ts -+==或)1()1(2+-=Z T Z s 用此式代入G(S)就得到G(Z)，这就是双线性替换法，又称Tustin 变换。
相当于数值积分法中的梯形法，有较好的性能。
例：二阶连续系统ss s U s Y s G 50400)()()(2+==，001.0=T 用双线性替换法建立差分方程。
解：双线性替换：)1()1(2+-=z T z s 代入G(s) 001.0=T 代入域离散相似法离散相似法将连续系统模型处理成与之等效的离散模型的一种方法。
设计一个离散系统模型，使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相似。
连续系统模型的离散化处理方法课件
离散系统模型是指系统的状态变化在时间上是离散的，即只在特定的时间点上 发生变化。其输入和输出信号也是离散的。这种模型通常用差分方程进行描述 。
离散化的定义及其必要性
离散化定义
离散化是将连续时间信号或系统转换为离散时间信号或系统 的过程。它涉及对连续信号的采样以及将微分方程转换为差 分方程。
数值积分法
数值积分法使用数值方法求解微分方程的解，并将连续时间微分方程转换为离散时间差分 方程。常用的数值积分法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
z变换法
z变换法是一种在复平面上进行的离散化方法。它通过将连续时间信号的拉普拉斯变换转 换为z变换，将连续系统的传递函数转换为离散系统的传递函数。
02
常用的连续系统模型离散化方 法
03
提高精度的方法
为了提高离散系统的精度，可以采用更小的离散化步长， 使用更高阶的数值积分方法，或者采用自适应离散化技术 等。此外，还可以通过增加离散点的数量和优化插值方法 来实现更高精度的离散化。
效率问题
效率定义
离散化对效率的影响
提高效率的方法
效率问题涉及离散化过程的计算复杂 度和计算资源消耗。
改进型龙格-库塔法
针对经典四阶龙格-库塔法的不足进行 改进，如变步长龙格-库塔法等，以提 高数值解的精度和稳定性。
牛顿法
基本牛顿法
利用泰勒级数展开，将非线性方程线性化，通过迭代求解线性方程组来逼近非线 性方程的解。该方法收敛速度快，但初始值选取对结果影响较大。
牛顿-拉夫逊法
结合牛顿法和拉夫逊法的特点，通过迭代过程中修改雅可比矩阵，提高求解速度 和精度。该方法适用于大规模非线性系统的求解。
THANKS。
保持稳定性的方法
常用的保持稳定性的方法包括选择合适的离散化步长、使用稳定性更好 的数值积分方法等。此外，还可以通过引入阻尼项或者采用隐式离散化 方案来提高离散系统的稳定性。
连续系统离散化方法
连续系统离散化方法连续系统离散化方法是一种常用的数值计算方法，它将连续系统转化为离散系统，从而使得计算机可以进行处理。
本文将从离散化方法的定义、应用、实现以及优缺点等方面进行介绍。
一、离散化方法的定义离散化方法是指将连续系统转化为离散系统的过程。
在计算机中，所有的数值都是离散的，而实际上很多系统是连续的，比如电路、机械系统、化学反应等等。
离散化方法就是将这些连续系统转化为可以在计算机中处理的离散系统。
离散化方法可以通过采样和量化来实现。
二、离散化方法的应用离散化方法在很多领域都有应用，比如电路设计、控制系统设计、信号处理等等。
在电路设计中，离散化方法可以将连续电路转化为数字电路，从而实现数字信号的处理。
在控制系统设计中，离散化方法可以将连续控制器转化为数字控制器，从而实现数字化自动控制。
在信号处理中，离散化方法可以将连续信号转化为数字信号，从而实现对信号的数字处理。
三、离散化方法的实现离散化方法的实现可以通过采样和量化来实现。
采样是指对连续信号进行离散化，将其转化为一系列的采样值。
量化是指对采样值进行离散化，将其转化为一系列的离散数值。
采样和量化的具体实现方式包括正弦采样、脉冲采样、最大值采样、平均值采样等等。
量化的具体实现方式包括线性量化、对数量化、非线性量化等等。
四、离散化方法的优缺点离散化方法的优点是可以将连续系统转化为离散系统，从而可以在计算机中进行处理。
离散系统具有稳定性、可控性、可观性等优点。
离散化方法的缺点是会引入误差，因为离散化过程中会丢失一些信息。
此外，离散化方法需要选取适当的采样周期和量化精度，否则会影响系统的性能。
离散化方法是一种常用的数值计算方法，它将连续系统转化为离散系统，从而使得计算机可以进行处理。
离散化方法的应用广泛，包括电路设计、控制系统设计、信号处理等等。
离散化方法的实现可以通过采样和量化来实现。
离散化方法既有优点，又有缺点，需要在具体应用中对其进行合理的选择和设计。
线性连续系统状态空间模型的离散化
1
(kT
kT T T 1)(
1)
dτ
1
(k 1)T 2 (k 1)T
1
ln
(k
1)T kT 1
1
T
线性时变连续系统的离散化(6/6)
➢ 将上述计算所得的G(k)和H(k)代入,则求得离散化状态方 程如下
x(k
1)
1
0
(kT
T
T 1)(kT
1)
x(k)
(k 1)T 2
线性定常连续系统的离散化(1/3)
3.4.1 线性定常连续系统的离散化
本节主要研究线性定常连续系统状态空间模型的离散化,即 ➢ 研究如何基于采样将线性定常连续系统进行离散化,建立 相应的线性定常离散系统的状态空间模型。
主要讨论的问题为两种离散化方法: ➢ 精确法和 ➢ 近似法
线性定常连续系统的离散化(2/3)
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
y(k
)
Cx(k
)
Du(k
)
则可得如下近似离散化的计算公式:
G(T)=I+AT H(T)=BT 将上述近似离散法和精确离散法比较知,
➢ 由于I+AT和BT分别是eAT和eAtdtB的Taylor展开式中的一次 近似,因此近似离散化方法其实是取精确离散化方法的相应 计算式的一次Taylor近似展开式。
x(k 1) 0
e2T
x(k)
(1- e2T )/2
u(k)
近似离散化方法(1/6)
2. 近似离散化方法
所谓线性定常连续系统状态方程的近似离散化方法是指
➢ 在采样周期T 较小,
➢ 且对离散化的精度要求不高的情况下, 用状态变量的差商代替微商来求得近似的差分方程。
LTI连续系统的离散化
7.1.4 LTI 连续系统的离散化随着数字技术的发展，大量控制过程采用计算机来实施。
当用数字计算机求解LTI 连续系统的状态方程，或直接在系统中采用数字计算机进行在线控制时，都需要将连续系统的数学模型离散化。
离散化的任务就是导出能在采样时刻上与连续系统状态等价的离散状态方程和等价的测量方程。
一般采样是等间隔的，即采样时刻为(1,2,3)t kT k == ；而且是理想开关加零阶保持器，即认为控制作用只在采样时刻发生变化，在相邻的两个采样点kT 和(1)k T +之间，控制作用保持不变，()(),(1)u t u kT kT t k T =≤<+。
已知被控对象的状态方程为()()()()()()t t u t y t t u t =+=+ xAx B Cx D （7-15）对方程（7-15）求解，得0()()0()()()o t t t t t t e t e u d τττ--=+⎰A A x x B （7-16）其中0t 是初始时刻，设0t kT =，(1)t k T =+，代入式（7-16），得：(1)[(1)][(1)]()[]()k TT k T kT k T e kT e d u kT ττ++-+=+⎰A A x x B （7-17）令t T k =-+τ)1(，又因假定系统是时不变系统，A 、B 矩阵和时间无关，所以式（7-17）可改写成：0[(1)]()()()()()()()TT t k T e kT e dt u kT T kT T u kT +=+=+⎰A A x x B G x H （7-18） 其中，()T T e =A G ，0()T t T e dt =⎰A H B 。
输出为：()()()y kT kT u kT =+Cx D （7-19）由拉普拉斯变换法可得：11()()[()]T t T t T T e t L s --=====-A G G I A （7-20）[例7.3] 设LTI 连续系统为： 1122010021x x u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 系统离散化的计算过程如下：1||(2)02s s s s s --==++I A1211()0(2)s s s s s -+⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦I A 2121111(1)(2)21002T T t T e s s s L e s --=⎡⎤⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥+⎣⎦G22002211111(1)2442110022T t T T t t T T T e e e dt dt e e ----⎡⎤+-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰A 222211111102442441111102222T T T T TT e T e e e ----⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦H故离散化状态方程为： 22112222111()(1)()1(1)22()2(1)()10(1)2T T T T e T x k x k e u k x k x k e e ----⎡⎤-⎡⎤+⎢⎥+-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎣⎦⎢⎥⎣⎦假使采样周期为1s ，即1=T ，则上述状态方程可写为：1122(1)()10.4320.284()(2)00.135()0.432x k x k u k x k x k +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦从连续状态空间方程求取离散系统状态空间方程可以用MATLAB 中的如下命令：[G H]=c2d(A,B,T)，式中，T 是离散控制系统的采样周期，单位是秒。
第四章连续系统的离散化方法
将 K1 K 2 代入式
f f x1 x0 a1hf (t0 , x0 ) a2 h[ f (t0 , x0 ) b1h b2 hK1 ] t t t0 x x x0
a1 a2 1, a2b1 1 1 , a2b2 2 2
比较各项系数得
待定系数个数超过方程个数，必须先设定一个系数，然后即可求得其 参数。一般有以下几种取法： 1、 a1 0, a2 1, b1 b2
1
K 2 变化，而是取两者平均值 K h x1 x0 hK x0 ( K1 K 2 ) 2 h x1 x0 ( f 0 f1 ) 2
f
f0 f1
K1 K 2 2
求得校正点，即：
。
0
t0
t1
t
四阶龙格－库塔法的计算公式为：
K1 f (tk , xk )
h xk 1 xk ( K1 2 K 2 2 K 3 K 4 ) 6
x1 x0 hf (t0 , x0 )
其一般公式为
xk 1 xk hf (tk , xk )
f1
f
f0
c
0
t0
t1
t
h2 h3 (2) h k ( k 1) Rn f (t0 , x0 ) f (t0 , x0 ) f (t0 , x0 ) 称为截断误差 2! 3! k! 例4－1 用欧拉法求下述微分方程的数值解。
h h K 2 f (tk , xk K1 ) 2 2 h h K3 f (tk , xk K 2 ) 2 2 K 4 f (tk h, xk hK 3 )
X AX BU
对于用状态方程表示的高阶线性系统 Y CX
连续控制器离散化方法
u ( ) d
T [u (( k 1)T ) u ( kT )] 2
T z 1 u ( kT ) 2 z 1 1 T z 1 2 z 1 , s s 2 z 1 T z 1 2 z 1 ) C ( Cd ( z ) C ( s ) T z 1
连续控制器离散化方法 前提条件：连续系统中已经设计好了模拟控制器，具有满意 的控制性能。 目标：得到一个具有相近控制性能的离散化数字控制器。 方法：
1使
和
具有相同的响应特征。 脉冲不变性方法：脉冲响应相同 阶跃不变性方法：阶跃响应相同 2 直接对C(s)中的S变量进行近似，得到Cd(z)
1.阶跃不变性方法
1 z 1 sT z 1 s zT Cd ( z ) C ( s ) C ( z 1 ) zT
3、塔斯廷（Tustin）近似法 Tustin法也称为双线性近似法 考虑一个积分器
y( s) 1 u (s) s y[( k 1)T ] y ( kT ) y[( k 1)T ] y ( kT ) y ( kT )
SYSD = C2D(SYSC,Ts,METHOD) converts the continuous-time LTI model SYSC to a discrete-time model SYSD with sample time Ts. The string METHOD selects the discretization method among the following: 'zoh' Zero-order hold on the inputs 'foh' Linear interpolation of inputs (triangle appx.) 'imp' Impulse-invariant discretization 'tustin' Bilinear (Tustin) approximation 'prewarp' Tustin approximation with frequency prewarping. The critical frequency Wc (in rad/sec) is specified as fourth input by SYSD = C2D(SYSC,Ts,'prewarp',Wc) 'matched' Matched pole-zero method (for SISO systems only). The default is 'zoh' when METHOD is omitted.
连续系统模型的离散化处理方法
计算各环节输出量
打印间隔到否 N
打印Yn+1 计算次数到否 N
结束
*
31
五、离散相似模型的精度与稳定性
离散相似模型只能等效于原来的连续系统 其精度受采样周期和信号重构器性能的影响 信号重构器存在一定程度的幅值减小和相位
滞后 在离散化后，模型精度变差，可能不稳定。
*
32
1 采样周期对精度的影响
Tmin—系统中反应最快的那个闭环子系统的 最小时间常数
*
34
2 信号重构器对仿真模型精度的影响
加入一个理想滤波器,保留输入信号主频段,滤 掉附加的频谱分量,不失真
理想滤波器不存在,一般用零阶、一阶、三角 保持器来近似
3 离散相似模型的稳定性
稳定性不及双线性替换法，Ts或信号重构器 选择不当，离散模型的稳定性变差
*
22
离散模型
C 惯性环节
*
23
D 超前-滞后环节
*
24
四、采用离散化模型的系统仿真
把各个环节有机地连接起来。 1 连接矩阵（面向结构图）
1
2
-
-
4
6
5
3 -
a
*
25
*
26
*
27
连接方程
U=w yK U—输入向量 YK—输出向量 W—连接矩阵
*
28
2 仿真计算过程
基本计算单元：各环节的离散化模型
两种形式：传递函数的离散化相似处理— 离散传递函数；连续状态方程的离散相似 处理—离散化状态方程
*
11
二、Z域离散相似方法
1 基本方法
*
12
Z反变换得差分模型
*
连续系统离散化方法
连续系统离散化方法一、概述连续系统离散化方法是一种将连续系统转化为离散系统的方法，常用于控制系统的设计和分析。
该方法可以将一个无限维度的连续系统转化为有限维度的离散系统，使得控制器设计和分析变得更加简单和可行。
二、连续系统模型在开始进行连续系统离散化的过程中，需要先建立一个连续系统模型。
通常情况下，这个模型可以由微分方程或者差分方程来表示。
三、离散化方法1. 时域离散化方法时域离散化方法是最基本的离散化方法之一。
它通过将时间轴上的信号进行采样，从而将一个连续时间信号转换为一个离散时间信号。
这个过程中需要确定采样周期以及采样点数目等参数。
2. 频域离散化方法频域离散化方法是一种利用傅里叶变换将一个连续时间信号转换为一个频域信号，然后再对该频域信号进行采样得到一个离散时间信号的方法。
这个过程中需要确定采样频率以及采样点数目等参数。
3. 模拟器法模拟器法是一种将连续系统转化为离散系统的方法。
这个方法的核心思想是利用一个数字模拟器来模拟连续系统的行为，从而得到一个离散时间信号。
4. 差分方程法差分方程法是一种将连续系统转化为离散系统的方法。
这个方法的核心思想是利用微分方程在离散时间点上进行近似，从而得到一个差分方程。
四、误差分析在进行离散化过程中，会产生一定的误差。
因此，需要对误差进行分析和评估，以确保离散化后的结果与原始连续系统相近。
五、应用实例1. 机械控制系统机械控制系统中通常需要对连续时间信号进行采样和处理。
通过使用离散化方法，可以将连续信号转换为数字信号，并且可以在数字域上进行控制器设计和分析。
2. 电力电子控制系统电力电子控制系统中通常需要对高频信号进行处理。
通过使用频域离散化方法，可以将高频信号转换为数字信号，并且可以在数字域上进行控制器设计和分析。
六、总结连续系统离散化方法是一种将连续系统转化为离散系统的方法。
通过使用不同的离散化方法，可以将连续时间信号转换为数字信号，并且可以在数字域上进行控制器设计和分析。
连续函数离散化
连续函数离散化1.1替换法传递函数是控制系统应用最广泛的模型描述形式，连续系统为Ｓ域的传递函数G(S)，离散系统为Ｚ域的脉冲传递函数G(Z)。
替换法的基本思想：对给定的连续系统模型G(S) ，设法找到Ｓ域到Ｚ域的某种映射关系，将Ｓ域的变量映射到Ｚ平面上，由此得到与连续系统G(S)相对应的离散系统的脉冲传递函数G(Z)。
然后，再由G(Z)通过Ｚ反变换得到系统的时域离散模型——差分方程，从而快速求解。
G(S) G(Z) 差分方程根据Ｚ变换理论，Ｓ域到Ｚ域的最基本的映射关系是：Ts e Z =或Z Ts ln 1=其中Ｔ是采样周期若直接将这个映射关系代入G(S)得到G(Z)将会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似的离散模型。
1.1.1 简单替换法由幂级数展开式： +++++=!!212n x x x e nx+++++==!)(!2)(12n Ts Ts Ts e Z nTs取近似式：Ts e Z Ts +≈=1 或：TZ s 1-=用此式代入G(S)就得到G(Z)，这就是简单替换法，又称Euler 法。
例：二阶连续系统ss s U s Y s G 50400)()()(2+==，001.0=T 解：简单替换法TZ s 1-=代入G(s) )()(501)250(400)1(50)1(400)(2222z U z Y T z T z T T z T z z G =-+-+=-+-=)(400)()501()()250()(22z U T z Y T z zY T z Y z =-+-+⇒ )(400)()501()()250()(2221z U z T z Y z T z Y z T z Y ---=-+-+⇒ )2(400)2()501()1()250()(2-+------=⇒k u T k y T k y T k y001.0=T 代入)2(104.0)2(95.0)1(95.1)(3--⋅+---=k u k y k y k y 1.1.2 双线性替换法+-++-+-+++++===---!)2/(!2)2/(21!)2/(!2)2/(21222/2/)2(2k Ts Ts Ts k Ts Ts Ts ee e e k kTs Ts Ts Ts Ts 取近似式：2121Ts Ts e Z Ts -+==或)1()1(2+-=Z T Z s 用此式代入G(S)就得到G(Z)，这就是双线性替换法，又称Tustin 变换。
连续系统的离散化方法及近似解课件
离散化后的控制系统可以用差分方程来描述，差分方程是连续时间微分方程在离散时间域 上的对应形式。通过求解差分方程，可以得到离散控制系统的输出响应。
Z变换
Z变换是离散时间信号和系统分析的重要工具，它可以将差分方程转换为代数方程，从而 简化离散系统的分析和设计。
电路模拟中的离散化方法及近似解应用
离散系统
离散系统是指系统状态在时间上 是离散的，即系统的状态变量只 在某些特定的时刻有定义，且在 这些时刻间不发生变化。
连续系统与离散系统的区别与联系
区别
连续系统和离散系统最主要的区别在于时间的连续性。连续系统的时间变量是连 续的，而离散系统的时间变量是离散的。
联系
两者之间存在密切的联系。实际上，许多连续系统可以通过离散化方法转化为离 散系统进行处理，这是因为数字计算机在处理问题时，只能处理离散的时间信号 。反之，离散系统的某些理论和方法也可以用来处理连续系统。
连续系统的离散化方法 及近似解课件
目 录
• 连续系统与离散系统概述 • 连续系统的离散化方法 • 离散系统的近似解法 • 连续系统离散化及近似解的应用案例 • 实验与仿真
01
连续系统与离散系统概述
连续系统与离散系统的定义
连续系统
连续系统是指系统状态在时间上 是连续的，即系统的状态变量在 任何时刻都有定义且随时间连续 变化。
感谢观看
前向差分法：前向差分法使用当前时刻及其前一时刻的输入信号来近似 计算下一时刻的输出信号。这种方法简单直观，但离散化误差相对较大 。
后向差分法：后向差分法使用当前时刻及其下一时刻的输入信号来近似 计算当前时刻的输出信号。相比前向差分法，后向差分法具有较小的离
散化误差。
以上内容即为连续系统的离散化方法及近似解课件的部分内容。在实际 应用中，可以根据具体需求和场景，选择合适的离散化方法和参数，以 实现连续系统的高效、准确离散化处理。
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2018/11/27
3
一、派德近似公式（PADE）
px e qx m 1 n 2
x
e
x
1 1 x 3 2 2 1 x 1 x 3 3 2!
4
2018/11/27
二、简单替换法
当m=0，n=1，x=TS时，e-（-TS）=1+TS
即Z=1+TS 这是一种简单替换方法，又称欧拉映射法。
2018/11/27
13
2 典型环节离散相似模型
A
B
C
积分环节 一阶环节 二阶环节
2018/11/27
14
三、时域离散相似法原理
1 状态方程的离散相似法描述
t Axt But x xt e x0 e
At t 0 At
得到一个“等效”的离散化模型， 以后每一步计算都在这个离散化模型基础上 进行，原来的模型不再参与计算 这种方法，得到了简化的模型，便于在计算 机上求解，且使计算速度加快
2018/11/27
2
4.1替换法
基本思想：设法找到S域到Z域的某种映射关
系，将G（S）转换成G（Z），再进行Z的反变 换，求得差分方程，据此便可以快速求解 S域到Z域的最基本映射关系是：Z=eTS（T— 采样周期）如果直接代入G（S）求G（Z）很 麻烦，则将Z=eTS作简化处理
2018/11/27
17
B 当输入函数u（KT）在两采样 点间线性变化时（一阶保持）
kT u u KT u
p T e
T 0
AT A
Bd
kT xkT T T xkT m T U kT p T U k xk 1 T xk m T U k p T U
AT
AT
Bu d 离散形式
2018/11/27
16
A 当输入函数u（KT）在两采样 点间保持不变时
T e
AT T AT A
m T e
0
Bd
xKT T T xKT m T U KT x(k 1) T xk m T U k
2018/11/27 18
当连续系统状态方程系数A、B已知时，
可求出…… 此法相比于数值积分法；只要T不变，三个系
数均不变，可以在仿真前预先计算好，这样 就减少了以后的计算工作量。
2018/11/27
19
2 典型环节的离散状 z Gh s G s u z 1 z sa z ex p ( a T ) 1 TS e z 1 z s z 1 1 Tz 2018/11/27 11 s*s ( z 1)( z 1)
yz G z zGh s G s u z k 1 e G s Gh s sa s aT k 1 e G z Z域离散相似模型 aT a z e
TS
Z反变换得差分模型
y n 1 e
2018/11/27
aT
k aT y n 1 e u n a
12
主要步骤
A
画出连续系统结构图 B 加入虚拟采样开关，选择合适的信号重 构器 C G（S）与Gh（S）串联，z变换—G（Z） D Z反变换—差分方程 E 根据差分方程编制仿真程序
如果要求进行实时仿真，或要求计算工作速
度快时，能在一个采用周期内完成全部计算 任务，这就需要一些快速计算方法。 数值积分法：将微分方程转换成差分方程， 这中间是一步步离散，每一步离散都用到连 续系统的原模型，这样的速度就慢了。
2018/11/27
1
本章方法：先对连续模型进行离散化处理，
2018/11/27 9
Y（t）的近似能否精确复现y（t）
取决于u（t）的近似能否精确地复现u（t）
仿真精度主要取决于采样周期Ts的大小、
信号重构器的特性 两种形式：传递函数的离散化相似处理— 离散传递函数；连续状态方程的离散相似 处理—离散化状态方程
2018/11/27
10
二、Z域离散相似方法
2018/11/27
8
一、基本思路
设计一个离散系统模型，使其中的信息流与
给定的连续系统中的信息流相似 设一个连续系统，u（t）-输入，y（t）-输 出 在I/O端人为地加上两个采样开关，信号重构 器（滤波器）--虚拟 重构器所能保持和延续的规律是不可能与原 来的输入信号u（t）完全一致的
举例
2018/11/27
5
三、双线性替换法
1 替换关系：
TS 1 2 Z TS 1 2
2( Z 1) S T ( Z 1)
Y (S ) 1 G(S ) U ( S ) s * s 3s 2
2018/11/27 6
2 高阶系统双线性替换计算机程序的自动实现 3 双线性替换性能评价：
稳定性
精度
保持模型的阶次不变
频率特性近似 G（S）的稳定增益不变 具有串联性 高阶系统能程序实现
2018/11/27 7
4.3 离散相似法系统仿真
离散相似法:将连续系统的G(S)模型进行离散,
得到各环节的离散化模型,再对等价的离散化 模型进行仿真计算 特点:按环节进行离散,每计算一个步长,每个 环节都独立按输入计算输出,非线性环节也易 包含进去的-可对含非线性环节的连续系统 进行仿真.
Bu d
2018/11/27
15
xkT e x0 e
AkT kT 0
AkT
bu d e
AkT T
xkT T e
AkT T
x0
T 0
kT T
0
Bu d
xkT T e xkT e