江苏省南京市浦口外国语学校2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
2020-2021学年江苏省南京市高二上学期期中调研测试数学试题 Word版
南京市2020－2021学年度第一学期期中调研测试高 二 数 学2020.11注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置． 3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线x 2＝2y 的焦点为F ，准线为l ，则点F 到直线l 的距离为A ．12B ．1C ．2D ．42．已知向量a ＝(－2，3，－1)，b ＝(4，m ，n )，且a ∥b ，其中m ，n ∈R ，则m ＋n ＝ A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2 3．若sin θ＝2cos(π－θ)，则tan(θ＋π4)的值为 A ．3 B ．13C ．－3D ．－134．在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆C ：x 29＋y 2m ＝1与双曲线T ：x 2－y 2m ＝1有相同的焦点，则双曲线T 的渐近线方程为 A ．y ＝±14x B ．y ＝±12xC ．y ＝±4xD ．y ＝±2x5．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －4＝0与两坐标轴分别交于点A ，B ，圆C 经过A ，B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为A ．x 2＋y 2＋6y －16＝0B ．x 2＋y 2－6y －16＝0C ．x 2＋y 2＋8y －9＝0D ．x 2＋y 2－8y －9＝06．如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成60°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为A ．2 2B ．2 3C ．42D ．437．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC 1与B 1C 相交于点O ，∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝60°， ∠BAC ＝90°，A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2，则线段AO 的长度为 A ．292B ．29C ．232D ．23 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，点M ，N 在双曲线C 上．若四边形OFMN 为菱形，则双曲线C 的离心率为 A ．3－1 B ．5－1 C ．3＋1 D ．5＋1二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9．已知两个不重合的平面α，β及直线m ，下列说法正确的是A ．若α⊥β，m ⊥α，则m ∥βB ．若α∥β，m ⊥α，则m ⊥βC ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥βD ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β10．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆 x 24＋y 22＝1的左、右焦点，点A 在椭圆上．若△AF 1F 2为直角三角形，则AF 1的长度可以为 A ．1B ．2C ．3D ．411．如图，直线l 1，l 2相交于点O ，点P 是平面内的任意一点，若x ，y 分别表示点P 到l 1，l 2的距离，则称(x ，y )为点P 的“距离坐标”．下列说法正确的是 A ．距离坐标为(0，0)的点有1个 B ．距离坐标为(0，1)的点有2个NP l 1（第6题）C 1（第7题）ABCB 1OC ．距离坐标为(1，2)的点有4个D ．距离坐标为(x ，x )的点在一条直线上12．20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石．人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态．其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体．已知一个立方八面体的棱长为1，则A ．它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2B ．它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直C ．它的体积为523D ．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：x ＋ay ＝0和直线l 2：2x －(a －3)y －4＝0，a ∈R ．若l 1与 l 2平行，则l 1与 l 2之间的距离为▲________．14．在空间直角坐标系中，若三点A (1，－1，a )，B (2，a ，0)，C (1，a ，－2)满足(AB →－2AC →)⊥BC →，则实数a 的值为▲________．15．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著《九章算术·商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体P ABC ，其中P A ⊥平面ABC ，P A ＝AC ＝1，BC ＝2，则四面体P ABC 的外接球的表面积为▲________．16．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，根据图上尺寸，溢流孔ABC 所在抛物线的方程为▲________，溢流孔与桥拱交点A 的横坐标．．．为▲________．（第12题）ABC P（第15题）第16题四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在 ①sin(A －B )＝sin B ＋sin C ；②2a cos C ＝2b ＋c ；③△ABC 的面积S ＝34(a 2－b 2－c 2) 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，__________，D 是边BC 上的一点，∠BAD ＝π2，且b ＝4，c ＝2，求线段AD 的长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆F ：(x －2)2＋y 2＝1，动圆M 与直线l ：x ＝－1相切且与圆F 外切．（1）记圆心M 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）已知A (－2，0)，曲线C 上一点P 满足P A ＝2PF ，求∠P AF 的大小．19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 中点． （1）求证：B 1A ∥平面C 1BD ；（2）若AA 1＝AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ，求三棱锥B －B 1C 1D 的体积．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点A ，B 是直线x －y ＋m ＝0(m ∈R )与圆O 的两个公共点，点C 在圆O 上．（1）若△ABC 为正三角形，求直线AB 的方程；（2）若直线x －y －3＝0上存在点P 满足AP →·BP →＝0，求实数m 的取值范围．DBB 1A 1（第19题）C 1AC21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥AB ，P A ＝AD ＝4， BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝2，→PE ＝λ→PC (0≤λ＜1)． （1）若λ＝12，求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；（2）设二面角B -AE -C 的大小为θ，若|cos θ|＝23417，求λ的值．22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的左顶点与上顶点的距离为23，且经过点(2，2)．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 的中点．若椭圆上存在点N 满足 ON →＝3MO →，求证：△PQN 的面积S 为定值．（第21题）PABCDE（第22题图）南京市2020－2021学年度第一学期期中调研测试高二数学参考答案 2020.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．B 2．B 3．D 4．D 5．A 6．D 7．A 8．C 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 9．BC 10．ABC 11．ABC 12．ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 2 14．－92 15．4π 16．y ＝－536(x －14)2，14013四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分） 解：选①．由条件① sin(A －B )＝sin B ＋sin C ，在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A －B )＝sin B ＋sin(A ＋B )，即 sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， ……………… 2分 从而sin B ＝－2cos A sin B ．因为B 为三角形内角，所以sin B ≠0，所以cos A ＝－12．因为A 为三角形内角，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理b sin B ＝c sin C得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分选②．由条件②2a cos C ＝2b ＋c ，结合余弦定理得2a ×b 2＋a 2－c 22ab＝2b ＋c ，即 a 2＝b 2＋c 2＋bc ， ……………… 2分 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ＝－12，因为A 为三角形内角，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理b sin B ＝c sin C得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分选③．由条件③，△ABC 的面积S ＝34(a 2－b 2－c 2)， 得12bc sin A ＝34(－2bc cos A )，即sin A ＝－3cos A ， ……………… 2分 因为A 为三角形内角，所以sin A ≠0，从而cos A ≠0，所以tan A ＝sin A cos A ＝－3，所以A ＝2π3． ……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2， 故由正弦定理b sin B ＝csin C得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ， 所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32． ……………… 8分因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分另解：A ＝2π3（略）……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42＋22－2×4×2×cos 2π3＝28，所以a ＝27．……………… 6分 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝4×sin2π327＝217，又B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝277，则tan B ＝sin B cos B ＝32．……… 8分 在△ABD 中，因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分18．（本小题满分12分）解：（1）设M (x ，y )，圆M 的半径为r ．由题意知，MF ＝r ＋1，M 到直线l 的距离为r ．方法一：点M 到点F (2，0)的距离等于M 到定直线x ＝－2的距离，根据抛物线的定义知，曲线C 是以F (2，0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线． 故曲线C 的方程为y 2＝8x ． ……………………6分 方法二：因为MF ＝(x －2)2＋y 2＝r ＋1，|x ＋1|＝r ，x ＞－1， 所以(x －2)2＋y 2＝x ＋2，化简得y 2＝8x ，故曲线C 的方程为y 2＝8x ． ……………………6分 （2）方法一：设P (x 0，y 0)，由P A ＝2PF ，得(x 0＋2)2＋y 02＝2[(x 0－2)2＋y 02]， ……………………8分 又y 02＝8x 0，解得x 0＝2，故P (2，±4)， ……………………10分 所以k P A ＝±1，从而∠P AF ＝π4． …………………12分方法二：过点P 向直线x ＝－2作垂线，垂足为Q ．由抛物线定义知，PQ ＝PF ，所以P A ＝2PQ ， ……………………8分 在△APQ 中，因为∠PQA ＝π2，所以sin ∠QAP ＝PQ P A ＝ 22， ……………………10分从而∠QAP ＝π4，故∠P AF ＝π4． …………………12分19．（本小题满分12分）（1）证明：连结B 1C 交BC 1于点O ，连结OD ． 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ＝B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以四边形B 1BCC 1为平行四边形，所以O 为B 1C 中点． 又因为D 为AC 中点， 所以OD 为△CB 1A 的中位线，所以B 1A ∥OD ． …………………3分 又因为B 1A ⊄平面C 1BD ，OD ⊂平面C 1BD ，所以B 1A ∥平面C 1BD ． …………………5分 （2）解：方法一：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥D －BB 1C 1的体积． …7分过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ．B 1（第19题）A 1C 1BDAC OE因为DE ⊂平面ABC ， 所以B 1B ⊥DE ．又因为DE ⊥BC ，且B 1B ，BC ⊂平面B 1BCC 1，B 1B ∩BC ＝B ， 所以DE ⊥平面B 1BCC 1，即DE 为三棱锥D －BB 1C 1的高． ………9分在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ， 所以AC ＝32＋42＝5，sin C ＝35，在Rt △DEC 中，DC ＝12AC ＝52，所以DE ＝DC ×sin C ＝32．又△BB 1C 1的面积S ＝12×BB 1×B 1C 1＝12×3×4＝6，所以三棱锥D －BB 1C 1的体积V ＝13×S ×DE ＝3，故三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3．………12分方法二：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥B 1－BDC 1的体积． ………7分 因为（1）中已证B 1A ∥平面C 1BD ，所以B 1到平面BDC 1的距离等于A 到平面BDC 1的距离． 因此三棱锥B 1－BDC 1的体积等于三棱锥A －BDC 1的体积， 即等于三棱锥C 1－ABD 的体积．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，C 1C ⊥平面ABC ， 所以C 1C 为三棱锥C 1－ABD 的高．………10分因为AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ，S △ABC ＝12×AB ×BC ＝6．因为D 是AC 的中点，所以△ABD 的面积S ＝12S △ABC ＝3．故三棱锥C 1－ABD 的体积V ＝13×S ×C 1C ＝3，即三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3．………12分20．（本小题满分12分）解：（1）由△ABC 为正三角形，得∠AOB ＝2∠ACB ＝2π3，所以∠ABO ＝∠BAO ＝π6，所以原点O 到直线AB 的距离d ＝1×sin π6＝12． ………3分由点到直线的距离公式得|m |2＝12，解得m ＝22或－22．所以直线AB 的方程为2x －2y ＋2＝0或2x －2y －2＝0． ………5分 （2）方法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )． 因为AP →·BP →＝0，所以点P 在以AB 为直径的圆上．记该圆圆心为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x ＝x 0，y ＝y 0是方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＋m ＝0的解，解得⎩⎨⎧x 0＝－m 2，y 0＝m 2．故以AB 为直径的圆的方程为(x ＋m 2)2＋(y －m 2)2＝1－m 22，其中－2＜m ＜2． …9分又点P 在直线x －y － 3 ＝0上，即直线与圆有公共点， 所以|m ＋3|2≤1－m 22，即2m 2＋23m ＋1≤0．解得－3＋12≤m ≤1－32． 综上，实数m 的取值范围是[－3＋12，1－32]． ………12分方法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立直线AB 与圆O 方程，得⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x －y ＋m ＝0，消去y 得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0． ①所以x 1，x 2是①的两个解，判别式△＝(2m )2－4×2×(m 2－1)＞0，即－2＜m ＜2， 且x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12．………7分设点P (x ，y )，则AP →＝(x －x 1，y －y 1)，BP →＝(x －x 2，y －y 2)． 由AP →·BP →＝0，得(x －x 1) (x －x 2)＋(y －y 1) (y －y 2)＝0， ②将y ＝x －3，y 1＝x 1＋m ，y 2＝x 2＋m 代入②，整理得2x 2－2(x 1＋x 2＋m ＋3)x ＋2x 1x 2＋(m ＋3)(x 1＋x 2)＋(m ＋3)2＝0． 又x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12，所以2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0，关于x 的方程2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0有实数解， ………10分因此(－23)2－4×2×(m 2＋3m ＋2)≥0，即2m 2＋23m ＋1≤0， 解得－3＋12≤m ≤1－32． 综上，实数m 的取值范围是[－3＋12，1－32]． ………12分 21．（本小题满分12分）解：因为平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥AB ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，P A ⊂平面P AB ，所以P A ⊥平面ABCD ．因为AD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AD ．又AB ⊥AD ，所以P A ，AB ，AD 两两互相垂直．以{AB →，AD →，AP →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ．…………2分 因为P A ＝AD ＝4，AB ＝BC ＝2，所以A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，4，0)，P (0，0，4)．（1）若λ＝12，即E 为PC 中点，则E ()1，1，2，所以DE →＝()1，－3，2，AB →＝()2，0，0，AE →＝()1，1，2． 设平面ABE 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝0，x 1＋y 1＋2z 1＝0．令z 1＝1，得y 1＝－2，所以平面ABE 的一个法向量为m ＝(0，－2，1)． …………………4分 设直线DE 与平面ABE 所成角为α，则sin α＝|cos ＜DE →，m ＞|＝|6＋214×5|＝47035． …………………6分（2）因为PE →＝λPC →(0≤λ＜1)，则E (2λ，2λ，4－4λ)．设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝0，2λx 2+2λy 2+(4－4λ)z 2＝0．令y 2＝2，得z 2＝λλ－1，所以平面ABE 的一个法向量为n ＝(0，2，λλ－1)．设平面AEC 的一个法向量为l ＝(x 3，y 3，z 3)，则⎩⎪⎨⎪⎧l ·AC →＝0，l ·AP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋2y 3＝0，4z 3＝0．令x 3＝1，得y 3＝－1，所以平面AEC 的一个向量为l ＝(1，－1，0)． ……………………9分 （或证明CD ⊥平面P AC ，从而CD →为平面P AC 的一个法向量） 因为二面角B -AE -C 的大小为θ，且|cos θ|＝23417，得|cos ＜n ，l ＞|＝|－24＋(λλ－1)2×2|＝23417，整理得3λ2＋2λ－1＝0，解得λ＝13，或λ＝－1(舍)．所以λ＝13． ……………12分22．（本小题满分12分）解：（1）椭圆C 的左顶点(－a ，0)，上顶点(0，b )．因为左顶点与上顶点的距离为23，所以a 2＋b 2＝23，化简得a 2＋b 2＝12． ① 因为椭圆经过点(2，2)，所以4a 2＋2b 2＝1，② …………2分由①②解得a 2＝8，b 2＝4或a 2＝6，b 2＝6（舍去），所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …………4分（2）当PQ 斜率不存在时，N 为(±22，0)，PQ 方程为x ＝±223，易得PQ ＝823，此时S ＝12×MN ×PQ ＝12×823×823＝649． …………5分当PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y 24＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－4)＝0，由△＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－4)＞0，得0＜m 2＜8k 2＋4． （*） 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2(m 2－4)1＋2k 2， 因此PQ 的中点M 为(－2km 1＋2k 2，m1＋2k 2)． 又因为ON →＝3MO →，所以N (6km 1＋2k 2，－3m 1＋2k 2)，将点M 代入椭圆方程，得18k 2m 24(1＋2k 2)2＋9m 24(1＋2k 2)2＝1，化简得2k 2＋1＝94m 2，符合（*）式． ……………9分记点O 到直线l 的距离为d ，则S ＝4S △OPQ ＝2PQ ×d ＝21＋k 2|x 1－x 2|×d＝21＋k 2×22×8k 2＋4－m 21＋2k 2×|m |1＋k2＝42|m |×8k 2＋4－m 21＋2k 2， 将2k 2＋1＝94m 2代入，得S ＝42|m |×9m 2－m 294m 2＝649． 综上，△PQN 的面积S 为定值649． …………12分。
2020-2021学年度上学期江苏省南京市雨花台区九年级期中考试数学试卷(含解答)
2020-2021学年度上学期江苏省南京市雨花台区九年级期中考试数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．请把答案填写在答题卡相应位置上）1.下表是某校乐团的年龄分布，其中一个数据被遮盖了，下面对于中位数的说法正确的是（）中位数可能是14.5 C. 中位数是15或15.5 D. 中位数可能是162.若x=−1是关于x的一元二次方程ax2+bx−1=0的一个根，则2020+2a−2b的值为（）A. 2018B. 2020C. 2022D. 20243.如图，在⊙O中，AB为弦，OD⊥AB于D，∠BOD＝53°，过A作⊙O的切线交OD延长线于C，则∠C＝（）A. 27°B. 30°C. 37°D. 53°4.如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则a=（）A. 9B. 8C. 7D. 65.如果关于x的一元二次方程kx2-6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是( )A. k<1B. k≠0C. k>1D. k<1且k≠06.如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点A的坐标是(0,8)，则点D的坐标是（）A. (9,2)B. (9,3)C. (10,2)D. (10,3)二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7.若方程x2−3x−4=0的两个根分别为x1和x2，则1x1+1x2=________.8.中国的“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年年收入200美元，预计2018年年收入将达到1000美元，设2016年到2018年该地区居民人均收入的年平均增长率为x,可列方程为________9.某地冬季一周每日的气温记录如下，那么这周的平均气温为________ ℃；10.某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86,88,90,92,94，方差为s2=8.0．后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差s新2=________．11.已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为________cm.12.正方形ABCD是半径为10的圆内接正方形，则正方形的周长为________．13.如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是________cm.14.三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2−8x+12=0的解，则这个三角形的周长是________．15.如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°,OD平分∠BOC交狐BC于点D.点E为半径OB上一动点若OB=2，则阴影部分周长的最小值为________.16.如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，以AD为直径在矩形内作半圆，点E为半圆上的一动点（不与A、D重合），连接DE、CE，当△DEC为等腰三角形时，DE的长为________.三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.某射击队伍正在进行射击训练，现有两位选手的5次射击成绩如下所示：甲：7环，8环，9环，8环，10环乙：6环，9环，10环，8环，10环（1）分别求甲、乙两位选手的射击成绩的中位数和众数；（2）经过计算甲的方差为1.04环2，乙的方差为2.24环2.所以________选手更加稳定.18.已知关于x的一元二次方程x2+(k−1)x+k−2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．19.如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E, AB=CD,连接AD、BC .求证：（1）弧AD=弧BC ；（2）AE=CE .20.如图是2019年1月份的日历．任意选择图中的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9×11-3×17=48，13×15-7×21=48．不难发现，结果都是48（1）请证明发现的规律；（2）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120，请判断他的说法是否符合题意．21.停课不停学，疫情期间，八（1）班30位同学参加运动线上打卡，张老师为了鼓励同学们积极锻炼，统计了这30人15天的打卡次数如表：（2）求所有同学打卡次数的平均数；（3）为了调动同学们锻炼的积极性，张老师决定制定一个打卡奖励标准，凡打卡次数达到或超过这个标准的同学将获得奖励.请你根据（1）、（2）中所求的统计量，帮助张老师制定一个较为合理的打卡奖励标准，并说明理由.22.如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是α，β．（1）用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；（2）连接OF与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时，求α，β的值．23.如图S2－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20 cm ，BC＝15 cm.现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（2）当t＝3秒时，这时，P、Q两点之间的距离是多少？（3）当t为多少秒时，S＝425S△ABC?24. 2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元.（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？（2）市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？25.阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：{x+y=7 2xy=3，消去y化简得：2x2﹣7x+6=0，∵△=49﹣48＞0，∴x1=________，x2=________，∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？26.某县教育局为了对该区八年级数学学科教学质量进行检查，对该区八年级的学生进行摸底，为了解摸底的情况，进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整．收集数据：随机抽取A学校与B学校的各20名学生的数学成绩（单位：分）进行分析：（3）得出结论：a：若A学校有800名八年级学生，估计这次考试成绩80分以上（包含80分）人数为多少人?b：根据表格中的数据，推断出哪所学校学生的数学水平较高，并说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）27.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度数；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．答案一、选择题1.∵5+7+13=25，由表可知，人数大于25人，∴中位数是15或（15+16）÷2=15.5，或16.故答案为：D.2.解：∵把x=−1代入ax2+bx−1=0得：a−b−1=0，∴a−b=1，∴2020+2a−2b=2020+2(a−b)=2020+2=2022．故答案为：C．3.解：如图，连接OA，∵OD⊥AB于D，OA＝OB，∴∠AOC＝∠BOD＝53°，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∴∠C＝90°﹣53°＝37°，故答案为：C．4.解：由条形统计图可知，前三次的中位数是8∵第四次又买的苹果单价是a元/千克，这四个单价的中位数恰好也是众数∴a=8．故答案为B．5.解：∵一元二次方程kx2-6x+9=0有两个不相等的实数根，∴∆=（-6）2-36k＞0，k≠0，∴k＜1且k≠0.故答案为：D.6.设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形.∵OA=8，∴CF=8-5=3，∴PF=4，∴OB=EF=5+4=9. ∵PF过圆心，∴DF=CF=3，∴BD=8-3-3=2，∴D(9，2).故答案为：A. 二、填空题7. 解：∵方程x2−3x−4=0的两个根分别为x1和x2，∴x1+x2=3，x1x2=-4，∴1x1+1x2=x1+x2 x1x2=−34.8.解：由题意得：200(1+x)2=1000．答案为：200(1+x)2=1000．9.平均气温=2×(−1)+1×0+2×3+1×37=1；故答案为：1.10.∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变，∴所得到的一组新数据的方差为S新2=8.0；故答案为：8.0．11.解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，则AC＝BC＝12AB＝5，在Rt△OAC中，OC＝√132−52＝12，所以圆心O到AB的距离为12cm.故答案为：12.12.解：如图，连接OD由题意可得三角形DOC是等腰直角三角形，且∠DOC=90°,∴CD=√102+102=10√2∴正方形ABCD的周长= 10√2×4=40√213.解：∵圆锥的底面直径为60cm，∴圆锥的底面周长为60πcm，∴扇形的弧长为60πcm，设扇形的半径为r，=60π，则270πr180解得：r=40cm，故答案为:40cm.14.解：解方程x2−8x+12=0得x1=2，x2=6，当x=2时，2+4=6<7，不能构成三角形，舍去；当x=6时，2+6＞7，能构成三角形，此时三角形的周长为4+7+6=17. 故答案为：17．＝CE+DE+CD,15.解：∵C阴影∴C阴影最短，则CE+DE最短，如图，作扇形OCB关于OB对称的扇形OAB,连接AD交OB于E，则CE=AE,∴CE+DE=AE+DE=AD,此时E点满足CE+DE最短，∵∠COB=∠AOB=60°,OD平分CB,∴∠DOB=30°,∠DOA=90°,∵OB=OA=OD=2,∴AD=√22+22=2√2,而CD的长为：30π×2180=π3,∴C阴影最短为2√2+π3.故答案为：2√2+π3.16.解：①当DE=DC时，△CDE是等腰三角形，此时DE=DC=AB=4.②当CD=CE时，△CDE是等腰三角形.此时CD、CE是⊙O的切线，连接OC交DE于F.∵CD=CE，OD=OE，∴OC垂直平分线段DE，∴DF=EF= CD×ODCO =125，∴DE=245.③当EC=ED时，△ECD是等腰三角形.作EH⊥CD于H，交⊙O于E′，作OF⊥EE′.在Rt△EFO中，EF=√32−22=√5，∴HE=3−√5,HE′=3+√5，∴DE=√DH2+HE2=√22+(3−√5)2=√15−√3，DE′=√22+(3+√5)2=√15+√3，或√15−√3或√15+√3 .综上所述，DE的长为4或245故答案为：4或24或√15−√3或√15+√3 .5三、解答题17. （1）解：甲：7，8，8，9，10，乙：6，8，9，10，10，因此甲成绩从小到大排列处在中间位置的数是8，因此中位数是8，乙成绩从小到大排列处在中间位置的数是9，因此中位数是9，甲成绩出现次数最多的是8，因此众数是8，乙成绩出现次数最多的是10，因此众数是10（2）甲解：（2）∵1.04＜2.24.即甲的方差小于乙的方差，∴甲的成绩比较稳定，较好，故答案为：甲.18.（1）解：Δ=(k−1)2−4(k−2)=k2−6k+9=(k−3)2≥0∵Δ≥0，∴方程总有两个实数根.（2）解：当k=2∴x2+x=0解得x1=0,x2=−119. （1）解：∵AB=CD，∴AB=CD，即AD+AC=BC+AC，∴AD=BC；（2）解：∵AD=BC，∴AD=BC，又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE=CE．20. （1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a-7），（a-1），（a+1），（a+7），∴（a-1）（a+1）-（a-7）（a+7）=a2-1-（a2-49）=48．（2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x-14），依题意，得：x（x-14）=120，解得：x1=20，x2=-6（不合题意，舍去）．∵20在第一列，∴不符合题意，∴小明的说法不符合题意21.（1）解：8次的人数最多，众数为8次；共30人，所有同学打卡次数从小到大排列第15个、第16个数反比为8次，9次，中位数为（8+9）÷2＝8.5（次）；（2）解：平均数为（7×6+8×9+9×6+14×3+15×6）÷30＝10（次）；（3）解：为了调动同学们锻炼的积极性，打卡奖励标准可以定为所有同学打卡次数的中位数.因为共有30人，9次以上（含9次）的有17人，超过总数的一半.22. （1）解：）连接OC．∵DE是⊙O的切线，∴OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠DAE=2α，∵∠D=90°，∴∠DAE+∠E=90°，∴2α+β=90°（0°＜α＜45°）（2）解：连接OF交AC于O′，连接CF．∵AO′=CO′，∴AC⊥OF，∴FA=FC，∴∠FAC=∠FCA=∠CAO，∴CF∥OA，∵AF∥OC，∴四边形AFCO是平行四边形，∵OA=OC，∴四边形AFCO是菱形，∴AF=AO=OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠FAO=2α=60°，∴α=30°，∵2α+β=90°，∴β=30°，∴α=β=30°．23. （1）解：S＝20t－4t2（2）解：当t＝3时，CP＝20－4×3＝8(cm)，CQ＝2×3＝6(cm)，∴PQ＝10(cm) （3）解：列方程20t－4t2＝××15×20，解得t＝2或t＝3.∴t为2秒或3秒时S＝S△ABC.24. （1）解：设月平均增长率为x，依题意，得：1440（1+x）2＝2250，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）.答：月平均增长率是25%.＝（200+50y）千克，（2）解：设售价应降低y元，则每天可售出200+ 100y2依题意，得：（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750，整理，得：y2﹣4y+3＝0，解得：y1＝1，y2＝3.∵要尽量减少库存，∴y＝3.答：售价应降低3元.25. （1）2；32（2）解：不存在，理由如下：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得{x+y=3 2xy=1，消去y化简，得2x2-3x+2=0.∵△=9-16＜0，∴不存在矩形B（3）解：（m+n）2-8mn≥0，理由如下设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得{x+y=m+n 2xy=mn2，消去y化简，得2x2-（m+n）x+mn=0.△=（m+n）2-8mn≥0，即（m+n）2-8mn≥0时，满足要求的矩形B存在解：（1）由上可知（x-2）（2x-3）=0，∴x1=2，x2= 32.26. （1）0|0|1|4|2|8|5（2）m=88（3）解：a若A学校有400名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数为：800×1520=600（人）．答：估计这次考试成绩80分以上（包含80分）人数为600人;b:（1）A学校的中位数与众数都比B学校的高，因此A学校的成绩比B学校的学生成绩好．（2）根据表格可知，B学校的成绩的平均数高于A学校，A学校的方差高于B学校成绩的方差，因此说明B学校的成绩好于A学校．解：(1)整理、描述数据：故答案为：0，0，1，4，2，8，5；(2)分析数据：经统计，B校的数据中88出现的次数最多，故表格中m的值是88．故答案为：88；得出结论：27. （1）解：如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）解：线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；（3）解：如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2＝EF2，∴12EA2+ 12CF2＝12EF2，∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH，即S△ABC＝S矩形BGKH，∴12S△ABC＝12S矩形BGKH，∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，∴S△BGM＝S四边形COMH，S△BMH＝S四边形AGMO，∵S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，∴S△BMH：S△BGM＝8：9，∵BM平分∠GBH，∴BG：BH＝9：8，设BG＝9k，BH＝8k，∴CH＝3+k，∵AG＝3，∴AE＝3 √2，∴CF＝√2（k+3），EF＝√2（8k﹣3），∵EA2+CF2＝EF2，∴(3√2)2+[√2(k+3)]2=[√2(8k−3)]2，整理得：7k2﹣6k﹣1＝0，解得：k1＝﹣17（舍去），k2＝1．∴AB＝12，∴AO＝√22AB＝6 √2，∴⊙O的半径为6 √2．。
江苏省南京市浦口区南京书人实验学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
江苏省南京市浦口区南京书人实验学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．20︒5．关于x的一元二次方程下列结论正确的是（A．0a c+=6．如图，O经过菱形分别交于点E，F，连接③1902 ABC EBF ∠∠=︒+A．①②中，AB12．如图，在ABC别相切于点D，E，DE与13．不透明的盒中有x枚黑棋和出一枚棋子，取得黑棋的概率是随机取出一枚棋子，取得黑棋的概率为14．《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的 的弦，N是AB的中点，AB是O=+近似值计算公式：l AB与正八边形15．如图，O16．如图，AD 是过点B ，C ，若小圆半径为三、计算题17．解下列方程：(1)2250x x --=；(2)()21x x x -=．四、问答题18．小南家到学校有A ，试验，第一周（5个工作日）选择固定时间段内乘车1次并分别记录所用时间（单位：A ，B 线路所用时间统计表周一A 线路所用时间15B 线路所用时间20(1)填表：平均数A 线路所用时间22五、应用题19．甲、乙两人分别从A 、B 、C 三个景点中随机选择一个景点游览．(1)甲选择A 景点的概率为______；(2)求甲、乙两人至少有一人选择A 景点的概率．20．如图，公园原有一块长方形空地，长是宽的2倍，从这块空地上划出“”型区域栽种鲜花，原空地的宽减少了2m ，长减少了3m ，剩余空地的面积是原空地面积的一半，求原空地的长和宽．六、问答题21．如图，在O 中，MN 为直径，AB 为弦，且MN AB ⊥，垂足为C ．(1)若5cm 8cm OA AB ==，，求BM 的长度；(2)若3AOM BMN ∠=∠，则ABM ∠=______°．七、计算题22．已知关于x 的一元二次方程22310x x k k ++--=（k 为常数）．(1)求证：无论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若该方程有两个实数根1x ，2x ，且()()12113++=x x ，求k 的值．八、证明题(1)求证：DF BC ⊥；(2)若B 是OF 的中点，AD =九、问答题24．某农业合作社投资64000元共收获80吨的农产品，目前，该农产品可以以1200元/吨售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，且同时每星期每吨价格将上涨200元．问储藏多少星期出售这批农产品可获利122000元？十、作图题25．已知P 为O 外一点，用直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）(1)如图①，在O 上求作一个点M ，使90PMO ∠=︒；(2)如图②，在O 上求作一个点N ，使60PNO ∠=︒．十一、证明题26．如图，在四边形ABCD 中，,AC BD 相交于点E ，且AB AC AD ==，经过A ，C ，D 三点的O 交BD 于点F ，连接CF ．(1)求证：CF BF =；(2)若CD CB =，求证：CB 是O 的切线．十二、作图题27．“等弧”的探究．【初步研究】（1）如图①，AB ，11A B 分别是O ，1O 的弦，1=O O ∠∠，11=AB A B ，求证： 11AB A B =．【深入研究】（2）如图②，在ABC 中，=AB AC ， DE是以A 为圆心且与BC 相切的弧，在ABC 的内部（包含边界）存在 MN，使 MN DE =，且点M ，N 分别在边AB ，AC 上．①在图②中，用直尺和圆规作出一条 1MN （保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；②若120A ∠=︒，=4AB ，则满足条件的 1MN 所在圆的圆心轨迹的长度为_____．【解决问题】（3）如图③，折扇OAB 完全打开后，OA 、OB 的夹角为120︒，OA 长为30cm ，为了装饰折扇，现需从四边形丝绸材料CDEF 中剪出 PQ ，使 PQ AB =，且为了节约材料， PQ与边DE ，EF 均相切，已知120C ∠=︒，30D ∠=︒，60cm CD =，请在图中用直尺和圆规作出满足条件的 PQ ．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）。
江苏省南京外国语学校2020-2021学年九年级上学期第一次月考语文试题(含答案解析)
江苏省南京外国语学校2020-2021学年九年级上学期第一次月考语文试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、情景默写1．用诗词原句填空。
（1）________________，到乡翻似烂柯人。
（刘禹锡《酬乐天扬州初逢席上见赠》）（2）寂寂江山摇落处，________________！（刘长卿《长沙过贾谊宅》）（3）云横秦岭家何在，________________。
（韩愈《左迁至蓝关示侄孙湘》）（4）________________，人迹板桥霜。
（温庭筠《商山早行》）（5）我们跟着古人一同走进绚烂多彩的诗文世界。
李白《________________》中的“长风破浪会有时，__________________”，能让我们感受诗人宏大的理想抱负；《醉翁亭记》中的“________________，________________”，表现了诗人言此而意彼的洒脱；________（填人名）在《湖心亭看雪》中以“________________，天与云与山与水，上下一白”，再现了天空、云层、湖水之间浑然难辨的景象。
二、字词书写2．给下面加点字注音或根据拼音写汉字。
（4分，每空1分）（1）瞥．（_____）见（2）冠．（_____）冕（3）宽yòu（_____）（4）形xiāo（_____）骨立三、基础知识综合大国担当这场疫情启示我们，全球治理体系亟待改革和完善。
疫情不仅是对各国执政能力的大考，也是对全球治理体系的检验。
我们要坚持走多边主义道路，维护以联合国为核心的国际体系。
全球治理应该秉持共商共建共享原则，推动各国权利平等、机会平等、规则平等使全球治理体系符合变化了的世界政治经济，满足应对全球性挑战的现实需要，顺应和平发展合作共赢的历史趋势。
国家之间有分歧是正常的，应该通过对话协商妥善化解。
国家之间可以有竞争，但必须是积极和良性的，要守住道德底线和国际规范。
2020-2021学年江苏省南京外国语学校高一(上)期中数学试卷及答案
2020-2021学年江苏省南京外国语学校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题,每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（3分）已知集合M＝{x|1＜x＜4}，N＝{1，2，3，4，5}，则M∩N＝（）A．{2，3}B．{1，2，3}C．{1，2，3，4}D．{2，3，6} 2．（3分）“x＞0”是“x2+x＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（3分）下列命题中正确的是（）A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC．若ab＞0，a＞b，则D．若a＞b，c＞d，则4．（3分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y＝x3B．y＝|x|+1C．y＝|x﹣1|2D．y＝2﹣|x|5．（3分）已知a＝，b＝，c＝，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b6．（3分）已知函数f（x）的定义域是[﹣2，3]，则f（2x﹣3）的定义域是（）A．[﹣7，3]B．[﹣3，7]C．[，3]D．[﹣，3] 7．（3分）若log5•log36•log6x＝2，则x等于（）A．9B．C．25D．8．（3分）设偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）＝0，则不等式＞0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，2）二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．（4分）若a＞0，a≠1，则下列说法不正确的是（）A．若log a M＝log a N，则M＝NB．若M＝N，则log a M＝log a NC．若log a M2＝log a N2，则M＝ND．若M＝N，则log a M2＝log a N210．（4分）下列四个命题是真命题的是（）A．函数y＝|x|与函数y＝（）2表示同一个函数B．奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点C．函数y＝3（x﹣1）2的图象可由y＝3x2的图象向右平移1个单位得到D．若函数f（+1）＝x+2，则f（x）＝x2﹣1（x≥1）11．（4分）下列说法正确的是（）A．若x＞0，则函数y＝x+有最小值2B．若x，y＞0，x+y＝2，则2x+2y的最大值为4C．若x，y＞0，x+y+xy＝3，则xy的最大值为1D．若a＞0，b＞0，a+b＝1，则+的最小值为412．（4分）对于定义域为D的函数y＝f（x），若f（x）同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．那把y＝f（x）（x∈D）称为闭函数．下列函数是闭函数的是（）A．y＝x2+1B．y＝﹣x3C．y＝﹣2D．y＝3x三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2+，则f（﹣1）＝．14．（5分）已知函数f（x）＝3+2a x﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是．15．（5分）函数y＝的递减区间是，递增区间是．16．（5分）已知函数f（x）＝2x，x∈R．①若方程|f（x）﹣2|＝m有两个解，则m的取值范围为；②若不等式[f（x）]2+f（x）﹣m＞0在R上恒成立，则m的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共48分，请把答案填写在答题卡相应位置上17．（8分）计算：（1）（）﹣（）0.5+（0.2）﹣2×﹣（0.081）0；（2）（lg2）3+（1g5）3+3lg2•lg5．18．（10分）设命题p：实数满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0．命题q：实数x满足≤0．（1）当a＝1时，命题p，q都为真，求实数x的取值范围；（2）若p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（10分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C （x），当年产量不足80千件时，C（x）＝（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）＝51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20．（10分）已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）＝．（1）求函数f（x）在（﹣1，1）上的解析式；（2）判断并用定义证明f（x）在（0，1）上的单调性；（3）解不等式f（x﹣1）+f（x）＜0．21．（10分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2，（a∈R）．（1）f（x）＜3﹣2x恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a＞0时，求不等式f（x）≥0的解集；（3）若存在m＞0使关于x的方程f（|x|）＝m++1有四个不同的实根，求实数a的取值范围．2020-2021学年江苏省南京外国语学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题,每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（3分）已知集合M＝{x|1＜x＜4}，N＝{1，2，3，4，5}，则M∩N＝（）A．{2，3}B．{1，2，3}C．{1，2，3，4}D．{2，3，6}【分析】由集合M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵集合M＝{x|1＜x＜4}，N＝{1，2，3，4，5}，∴M∩N＝{2，3}．故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（3分）“x＞0”是“x2+x＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由x2+x＞0，解得x范围．即可判断出结论．【解答】解：由x2+x＞0，解得x＞0，或x＜﹣1．∴“x＞0”是“x2+x＞0”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（3分）下列命题中正确的是（）A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC．若ab＞0，a＞b，则D．若a＞b，c＞d，则【分析】利用不等式的性质即可判断出结论．【解答】解：A．c＜0时不成立；B．a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，因此不正确；C．ab＞0，a＞b，则，正确．D．取a＝2，b＝﹣3，c＝3，d＝﹣3，满足条件a＞b，c＞d，但是不成立．故选：C．【点评】本题主要不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（3分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y＝x3B．y＝|x|+1C．y＝|x﹣1|2D．y＝2﹣|x|【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：y＝x3为奇函数，不符合题意；y＝|x|+1为偶函数，当x＞0时y＝x+1单调递增，符合题意；y＝|x﹣1|2＝（x﹣1）2，非奇非偶函数，不符合题意；y＝2﹣|x|＝为偶函数，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．5．（3分）已知a＝，b＝，c＝，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】a＝＝，b＝，c＝＝，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a＝＝，b＝＝（22）＝＜＜a，c＝＝＞＝＝a，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．6．（3分）已知函数f（x）的定义域是[﹣2，3]，则f（2x﹣3）的定义域是（）A．[﹣7，3]B．[﹣3，7]C．[，3]D．[﹣，3]【分析】根据函数f（x）的定义域得出2x﹣3的取值范围，由此求出f（2x﹣3）的定义域．【解答】解：函数f（x）的定义域是[﹣2，3]，令﹣2≤2x﹣3≤3，解得≤x≤3，所以f（2x﹣3）的定义域是[，3]．故选：C．【点评】本题考查了抽象函数的定义域求法问题，解题时应理解函数定义域的概念，是基础题．7．（3分）若log5•log36•log6x＝2，则x等于（）A．9B．C．25D．【分析】利用对数的换底公式、对数运算性质及其单调性即可得出．【解答】解：∵log5•log36•log6x＝2，∴＝2，化为lgx＝﹣2lg5＝，解得x＝．故选：D．【点评】本题考查了对数的换底公式、对数运算性质及其单调性，属于基础题．8．（3分）设偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）＝0，则不等式＞0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，2）【分析】根据函数为偶函数，可将原不等式变形为xf（x）＞0，然后分两种情况讨论：当x＞0时有f（x）＞0，根据函数在（0，+∞）上为减函数，且f（2）＝0，得到0＜x ＜2；当x＜0时有f（x）＜0，结合函数为偶函数的性质与（0，+∞）上的单调性，得x ＜﹣2．【解答】解：∵f（x）是偶函数∴f（﹣x）＝f（x）不等式，即也就是xf（x）＞0①当x＞0时，有f（x）＞0∵f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）＝0∴f（x）＞0即f（x）＞f（2），得0＜x＜2；②当x＜0时，有f（x）＜0∵﹣x＞0，f（x）＝f（﹣x）＜f（2），∴﹣x＞2⇒x＜﹣2综上所述，原不等式的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）故选：B．【点评】本题以函数的单调性和奇偶性为载体，考查了抽象不等式的解法，属于基础题．二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．（4分）若a＞0，a≠1，则下列说法不正确的是（）A．若log a M＝log a N，则M＝NB．若M＝N，则log a M＝log a NC．若log a M2＝log a N2，则M＝ND．若M＝N，则log a M2＝log a N2【分析】分别根据对数的定义和运算性质即可判断．【解答】解：对于A：若log a M＝log a N，则M＝N，故A正确；对于B：若M＝N＜0，则log a M＝log a N不成立，故B不正确；对于C：若log a M2＝log a N2，则M2＝N2，得不到M＝±N，故C不正确；对于D：若M＝N＝0，则不成立，故D不正确；故选：BCD．【点评】本题考查了对数的定义和对数的运算性质，属于基础题．10．（4分）下列四个命题是真命题的是（）A．函数y＝|x|与函数y＝（）2表示同一个函数B．奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点C．函数y＝3（x﹣1）2的图象可由y＝3x2的图象向右平移1个单位得到D．若函数f（+1）＝x+2，则f（x）＝x2﹣1（x≥1）【分析】直接利用函数的定义，函数的值域判定A的结论；利用奇函数的图象判定B的结论，利用函数的图象的平移变换判断C的结论；利用恒等变换的应用求出函数的解析式，主要对定义域进行确定．【解答】解：对于A：函数y＝|x|的定义域为R，函数y＝（）2的定义域为{x|x≥0}，故这两个函数不为示同一个函数，故该命题为假命题；对于B：函数f（x）＝为奇函数，但是函数的图象不经过原点，故B假命题；对于C：函数y＝3（x﹣1）2的图象可由y＝3x2的图象向右平移1个单位得到，符合左加右减的性质，故C为真命题；对于D：函数f（+1）＝x+2＝，所以f（x）＝x2﹣1（x≥1），故D 为真命题．故选：CD．【点评】本题考查的知识要点：函数的解析式，函数的定义，函数的图象的平移变换，奇函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．11．（4分）下列说法正确的是（）A．若x＞0，则函数y＝x+有最小值2B．若x，y＞0，x+y＝2，则2x+2y的最大值为4C．若x，y＞0，x+y+xy＝3，则xy的最大值为1D．若a＞0，b＞0，a+b＝1，则+的最小值为4【分析】利用基本不等式逐个选项验证其正误即可．【解答】解：∵x＞0，∴y＝x+≥2，当且仅当x＝时取“＝“，故选项A正确；∵x，y＞0，x+y＝2，∴2x+2y≥2＝2＝4，当且仅当x＝y＝1时取“＝“，故选项B错误；∵x，y＞0，∴x+y+xy＝3≥2+xy，解得：0＜xy≤1，当且仅当x＝y＝1时取“＝“，故选项C正确；∵a＞0，b＞0，a+b＝1，∴+＝（+）（a+b）＝2++≥2+2＝4，当且仅当a ＝b＝时取“＝“，故选项D正确，【点评】本题主要考查基本不等式的应用及解不等式，属于中档题．12．（4分）对于定义域为D的函数y＝f（x），若f（x）同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．那把y＝f（x）（x∈D）称为闭函数．下列函数是闭函数的是（）A．y＝x2+1B．y＝﹣x3C．y＝﹣2D．y＝3x【分析】结合选项分别判断函数的单调性，然后结合单调性分别求解满足条件的m，n 是否存在，进行检验即可判断．【解答】解：A：若y＝x2+1在[a，b]上单调递减，则，此时a，b不存在，若y＝x2+1在[a，b]上单调递增，则，此时a，b不存在，A不符合题意；B：若f（x）＝﹣x3在[a，b]上单调递减，根据题意可得，且a＜b，解得，a＝﹣1，b＝1，即存在区间[﹣1，1]满足题意，B符合题意；若f（x）＝，，解得，a＝﹣2，b＝﹣1，故此时存在区间[﹣2，﹣1]满足题意；y＝3x在[a，b]上单调递增，则f（a）＝3a＝a，f（n）＝3b＝b，令g（x）＝3x﹣x，则g′（x）＝3x ln3﹣1，当x＞﹣log3ln3，g′（x）＞0，函数单调递增，当x＜﹣log3ln3，g′（x）＜0，函数单调递减，故当x＝﹣log3ln3时，函数取得最小值f（﹣log3ln3）＝+log3ln3＞0，故函数g（x）没有零点，此时a，b不存在，满足题意．【点评】本题以新定义为载体，综合考查了函数单调性的应用，属于综合性试题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2+，则f（﹣1）＝﹣2．【分析】当x＞0时，f（x）＝x2+，可得f（1）．由于函数f（x）为奇函数，可得f（﹣1）＝﹣f（1），即可得出．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）＝x2+，∴f（1）＝1+1＝2．∵函数f（x）为奇函数，∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了函数奇偶性，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）＝3+2a x﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是（1，5）．【分析】令x﹣1＝0求出x的值和此时y的值，从而求出点P的坐标．【解答】解：令x﹣1＝0得：x＝1，此时y＝3+2a0＝3+2＝5，∴函数f（x）的图象恒过定点（1，5），即点P（1，5），故答案为：（1，5）．【点评】本题主要考查了指数型函数过定点问题，令a的指数整体等于0是本题的解题关键，是基础题．15．（5分）函数y＝的递减区间是（﹣∞，﹣1]，递增区间是[3，+∞）．【分析】先求出该函数定义域为{x|x≤﹣1，或x≥3}，可以看出该函数的单调区间和函数y＝x2﹣2x﹣3在定义域上的单调区间一致，根据二次函数单调区间的求法即可得出该函数的单调区间．【解答】解：解x2﹣2x﹣3≥0得，x≤﹣1，或x≥3；函数y＝x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1]上单调递减，在[3，+∞）上单调递增；∴该函数的递减区间为（﹣∞，﹣1]，递增区间为[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]，[3，+∞）．【点评】考查解一元二次不等式，复合函数单调区间的求法，以及二次函数单调区间的求法．16．（5分）已知函数f（x）＝2x，x∈R．①若方程|f（x）﹣2|＝m有两个解，则m的取值范围为（0，2）；②若不等式[f（x）]2+f（x）﹣m＞0在R上恒成立，则m的取值范围为（﹣∞，0]．【分析】①转化为y＝|2x﹣2|的图象与直线y＝m有两个交点，通过图象可得所求范围；②由题意可得m＜（2x）2+2x恒成立，由指数函数的值域和恒成立思想可得m的范围．【解答】解：①若方程|f（x）﹣2|＝m有两个解，即为y＝|2x﹣2|的图象与直线y＝m有两个交点，可得m的范围是（0，2）；②若不等式[f（x）]2+f（x）﹣m＞0在R上恒成立，即为m＜（2x）2+2x恒成立，由2x＞0，（2x）2+2x＝（2x+）2﹣＞0，可得m≤0，即m的取值范围是（﹣∞，0]．故答案为：（0，2）；（﹣∞，0]．【点评】本题考查指数函数的图象和性质，以及不等式恒成立问题解法，考查数形结合思想和转化思想，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共48分，请把答案填写在答题卡相应位置上17．（8分）计算：（1）（）﹣（）0.5+（0.2）﹣2×﹣（0.081）0；（2）（lg2）3+（1g5）3+3lg2•lg5．【分析】（1）根据指数的运算性质即可求出．（2）根据对数的运算性质即可求出．【解答】解：（1）原式＝﹣+25×﹣1＝﹣+2﹣1＝﹣；（2）原式＝（lg2+lg5）（lg22﹣lg2lg5+lg25）+3lg2lg5，＝lg22﹣lg2lg5+lg25+3lg2lg5，＝lg22+lg25+2lg2lg5，＝（lg2+lg5）2，＝1．【点评】本题考查了对数的运算性质和指数的运算性质，属于基础题．18．（10分）设命题p：实数满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0．命题q：实数x满足≤0．（1）当a＝1时，命题p，q都为真，求实数x的取值范围；（2）若p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）p，q均为真命题，把a＝1代入，分别计算范围得到答案．（2）p是￢q的充分不必要条件，根据表示范围关系解得答案．【解答】解：p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a．命题q：实数x满足≤0，解得2＜x≤3．（1）a＝1时，p：1＜x＜3．命题p，q都为真，则，解得2＜x＜3．故实数x的取值范围是（2，3）．（2）∵p是￢q的充分不必要条件，￢q：（﹣∞，2]∪（3，+∞），则3a≤2，或a≥3，解得0＜a≤或a≥3．故实数a的取值范围是（0，]∪[3，+∞）．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，同时考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．19．（10分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）＝（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）＝51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【分析】（Ⅰ）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）＝（万元），根据年利润＝销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）＝51x+，根据年利润＝销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（Ⅱ）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，∴L（x）＝（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250＝﹣+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，∴L（x）＝（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250＝1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，①当0＜x＜80时，L（x）＝﹣+40x﹣250＝﹣，∴当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝950万元；②当x≥80时，L（x）＝1200﹣（x+）≤1200﹣2＝1200﹣200＝1000，当且仅当x＝，即x＝100时，L（x）取得最大值L（100）＝1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．【点评】考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．20．（10分）已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）＝．（1）求函数f（x）在（﹣1，1）上的解析式；（2）判断并用定义证明f（x）在（0，1）上的单调性；（3）解不等式f（x﹣1）+f（x）＜0．【分析】】（1）设x∈（﹣1，0），则﹣x∈（0，1），由函数为奇函数，可求函数的解析式；（2）f（x）在（0，1）上单调递增，利用增函数的定义证明即可；（3）由函数的奇偶性和单调性将不等式转化为﹣1＜x﹣1＜﹣x＜1，解之即可得结论．【解答】解：（1）设x∈（﹣1，0），则﹣x∈（0，1），∵f（x）是奇函数，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣＝﹣，∵f（0）＝0，∴f（x）＝．（2）f（x）在（0，1）上单调递增，证明如下：任取﹣1＜x1＜x2＜1，f（x1）﹣f（x2）＝2﹣＝，∵0＜x1＜x2＜1，∴0＜＜，则，f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故f（x）在（﹣1，1）上单调递增，则f（x）在（0，1）单调递增．（3）由f（x）为奇函数可得f（x）＝﹣f（x），则f（x﹣1）＜f（﹣x），由f（x）在（﹣1，1）上单调递增，可得﹣1＜x﹣1＜﹣x＜1，解得0＜x＜，即不等式的解集为（0，）．【点评】本题考查函数的单调性证明以及利用函数的奇偶性求函数的解析式，属于中档题．21．（10分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2，（a∈R）．（1）f（x）＜3﹣2x恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a＞0时，求不等式f（x）≥0的解集；（3）若存在m＞0使关于x的方程f（|x|）＝m++1有四个不同的实根，求实数a的取值范围．【分析】（1）由f（x）＜3﹣2x恒成立，即ax2﹣（a+2）x+2＜3﹣2x恒成立，转化为二次不等式问题，对a进行讨论可得实数a的取值范围；（2）将f（x）因式分解，对a进行讨论，可得不等式f（x）≥0的解集；（3）令t＝m++1，求解t的最小值，有四个不同的实根，即y＝t与f（|x|）有4个交点，即可求解实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）＜3﹣2x恒成立，即ax2﹣（a+2）x+2＜3﹣2x恒成立，可得ax2﹣ax﹣1＜0恒成立，当a＝0时，﹣1＜0恒成立，满足题意；当a≠0时，要使ax2﹣ax﹣1＜0恒成立，则，即，解得﹣4＜a＜0．综上，可得实数a的取值范围是（﹣4，0]．（2）函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2≥0即（ax﹣2）（x﹣1）≥0当a＝2时，可得（x﹣1）2≥0，不等式的解集为R；当0＜a＜2时，原不等式的解集为（﹣∞，1]∪[，+∞）；当a＞2时，原不等式的解集为（﹣∞，]∪[1，+∞）；（3）令t＝m++1，则t≥3，由方程f（|x|）＝m++1有四个不同的实根，即y＝t与f（|x|）有4个不同的交点，当a＝0，显然y＝t与f（|x|）不能有4个不同的交点，当a＞0，作出f（|x|）的图象（如图），从图象，显然y＝t与f（|x|）不能有4个不同的交点，当a＜0，作出f（|x|）的图象（如图），从图象可得：当x＝±时，f（|x|）取得最大值为，要使y＝t与f（|x|）能有4个不同的交点，则＞3．即（a+2）2＞﹣4a，解得a或，∴综上，可知实数a的取值范围（﹣∞，﹣）∪（2，0）．【点评】本题考查了函数的零点，不等式的解法，讨论思想，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．。
江苏省2020-2021学年高一上学期数学期中试题汇编04：函数的概念与性质【填选题】(答案版)
8.（江苏省南京市第十二中学2020-2021学年上学期期中4）下面各组函数中表示同个函数的是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】对于A， 的定义域为 ，而 的定义域为 ，两函数的定义域不相同，所以不是同一函数；
对于B，两个函数的定义域都为 ，定义域相同， ，所以这两个函数是同一函数；
A.0B.2
C.4D.-2
【答案】B
【解析】取 ，则 ，
因为函数为奇函数，则 ， 即 ，
整理可得 ，即 .故选：B
10.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中4）已知函数 ，若 ＝10，则实数a的值为（）
A 5B.9C.10D.11
【答案】B
【解析】由 ，令 ，则 .
因为 ，所以a=9.故选：B
A．－4 B．5 C．14 D．23
【答案】C
【解析】由题意可设 ，则当 时， 单调，且 ≥0恒成立，因为 的对称轴方程为 ，则 或 ，解得6≤a≤17或－3≤a≤－2，即 ，则只有14满足题意，故答案选C.
23.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中6）已知 是偶函数，且其定义域为 ，则 的值是（）
【答案】C
【解析】满足条件的函数的定义域为 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 个.故选：C.
18.（江苏省南京市南师附中2020-2021学年上学期期中5）函数 的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
19.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中5）已知函数 的值域是（）
C.[－4，－1]∪[0，2]D.(－∞，－1]∪[0，2]
江苏省南京市联合体2020-2021学年九年级上学期期中语文试题(含答案解析)
江苏省南京市联合体2020-2021学年九年级上学期期中语文试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、综合性学习2020年9月，九（2）班开展“君子自强不息”综合性学习活动，请你参与。
（活动开场白）自强是一堂人生的必修课，亦是人类永恒的话题。
古人云：“眼前多少难甘事，自古男儿当自强。
”纵观华夏五千年历史，那些自强不息的君子不屈不挠，傲立潮头，成为时代jiāo子，给后人树立了光辉的榜样。
选择自强不息，越王勾践卧薪尝胆，挥师灭吴；选择自强不息，司马迁忍辱负重，谱写绝篇；选择自强不息，苏东坡笑看坎坷，随遇而安。
同学们！人生在世，不如意者十之八九，自强不息者，积攒力量，迎浪行舟。
新时代，任重道远，让我们牢记：“天行健，君子以自强不息！”1．从下面两幅字中任选一幅临写。
2．请你帮助小春解决开场白朗读中遇到的问题。
（1）给加点字注音：积攒．（_______）（2）看拼音写汉字：jiāo子（_______）（3）画直线的“绝”字的意思是（_______）A．断 B．极 C．穷尽 D．独一无二（4）画波浪线的句子是____复句（填写复句类型）（活动进行时）环节一：“自强”对对碰3．你抽到以下一组填空题，请你完成。
环节二：“自强”面对面4．如果梁启超、艾青、鲁迅三位作家来到活动现场，围绕活动主题，结合所学课文（《敬业与乐业》《我爱这土地》《故乡》），向其中一位作家提一个有价值的问题。
（1）采访人物：____（2）问题：____环节三：“自强”诵一诵5．诗歌朗诵环节中，小春选择了冰心的《成功的花》，小秋选择了朱熹的《劝学诗/偶成》，你选择了汪国真的《跨越自己》。
成功的花冰心成功的花，人们只惊羡她现时的明艳! 然而当初她的芽儿，浸透了奋斗的泪泉，洒遍了牺牲的血雨。
（备注）：朗诵时用欣羡坚定的语气诵读；重读“只”“奋斗” “牺牲”等词语；最后一句朗读时配上手心向上、缓慢挥臂作“洒”的动作。
江苏省常州市2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
江苏省常州市2020-2021学年九年级上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．若12,x x 是一元二次方程260x x --=的两个根，则12x x 的值是（ ） A ．1 B ．6- C ．1- D ．63．下列命题中，真命题的个数是（ ）①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形．③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆．④三角形的内心到三角形的三个顶点距离相等．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 4．如果一元二次方程x 2+（m+1）x+m=0的两个根是互为相反数，那么有（ ） A ．m=0B ．m=﹣1C ．m=1D ．以上结论都不对5．设P 为⊙O 外一点，若点P 到⊙O 的最短距离为3，最长距离为7，则⊙O 的半径为（ ）A ．3B ．2C ．4或10D ．2或5 6．已知半径为3的⊙O 上一点P 和⊙O 外一点Q ，如果OQ ＝5，PQ ＝4，则PQ 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．位置不定 7．在一幅长60cm ，宽40cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是3500cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是( )A ．(60+x )(40+2x )=3500B ．(60+x )(40+x )=3500C ．(60+2x )(40+x )=3500D ．(60+2x )(40+2x )=35008．如右图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是BC 边上一点，以AB 为直径在正方形内作半圆O ，将△DCE 沿DE 翻折，点C 刚好落在半圆O 的点F 处，则CE 的长为( )A ．23B ．35C ．34D ．47二、填空题9．方程(x ﹣1)(x+2)＝0的解是______．10．关于x 的方程()221150a a a x --++=是一元二次方程，则a =_________.11．若1x =-是方程sin B =m 的值是___． 12．某种商品原价是250元，经两次降价后的价格是160元，则平均每次降价的百分率为______．13．图中△ABC 的外心坐标是_____.14．如图，AB 为△ADC 的外接圆⊙O 的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=_____°．15．如图：四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为BC 延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE=_____°．16．如图，△ABC 内接于半径为5 cm 的⊙O ，且∠BAC ＝30°，则BC 的长为_________cm ．17．将半径为3，圆心角120° 的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为_________． 18．在△ABC 中，若O 为BC 边的中点，则必有：AB 2＋AC 2＝2AO 2＋2BO 2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG 中，已知DE ＝4，EF ＝3，点P 在以DE 为直径的半圆上运动，则22PF PG +的最小值为________．19．射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM=MB=2cm ，QM=4cm ．动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P 为半径的圆与△ABC 的边相切（切点在边上），请写出t 可取的一切值_____（单位：秒）三、解答题20．⑴ 2410x -=⑵ 244x x +=⑶ 22310x x +-=⑷ 22(1)(23)0x x +--=21．已知一元二次方程()22(23)30x m x m +-+-=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．22．如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上四点，若AC ⊥OD 于E ，且=2AB AD ．请说明AB ＝2AE ．23．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，OC ∥BD ，交AD 于点E ，连结BC ．（1）求证：AE=ED ；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求AC 的长．24．如图，已知AB 是⊙P 的直径，点C 在⊙P 上，D 为⊙P 外一点，且∠ADC ＝90°，直线CD 为⊙P 的切线．⑴ 试说明：2∠B ＋∠DAB ＝180°⑵ 若∠B ＝30°，AD ＝2，求⊙P 的半径．25．已知：在△ABC 中，AB =AC ．点A 在以BC 为直径的⊙O 外．（1）请仅用无刻度的直尺画．．．．．．．出点O 的位置（保留画图痕迹）； （2）若ABC ∆的外接圆的圆心M ，OM =4，BC =6，求△ABC 的面积．26．某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）为120万元，在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系．⑴直接写出y关于x的函数关系式为．⑵市场管理部门规定，该产品销售单价不得超过100元，该公司销售该种产品当年获利55万元，求当年的销售单价．参考答案1．A【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解.【详解】根据轴对称图形的概念可得：选项A 不是轴对称图形，是中心对称图形，选项B 、C 、D 均为轴对称图形.故选A.【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是图形两部分沿着轴对称后重合，属于基础题。
江苏省南京市秦淮区五校2021-2022学年九年级上学期第二阶段学业质量监测数学试题(原卷版)
（3）如图③，⊙P在⊙Q外，用直尺和圆规作图：（在①和②中任选一题完成）
①作⊙P和⊙Q的一条外公切线；
②⊙P和⊙Q的一条内公切线．（保留作图痕迹，不写作法．）
（2）若AE＝2 ，CE＝2，求⊙O的半径．
26.已知二次函数y＝mx2－(2m＋1)x＋1（m为常数，m≠0）．
（1）若该二次函数的图像经过点P（1，2），则m的值为．
（2）不论m为何值，下列说法：
①该二次函数的图像的对称轴都不变；
②该二次函数的图像与x轴总有两个公共点；
③该二次函数的图像必经过两个定点；
24 已知二次函数y＝(x－1)(x＋3)．
（1）该二次函数的图像与x轴的交点坐标是．
（2）画出该二次函数的图像．
（3）结合图像，解答问题：当－2＜x＜3时，求y的取值范围．
25.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，连接OC，交AB于点E．过点A作⊙O的切线，交BC的延长线于点D．
（1）求证：OC∥AD；
5.如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为E，若CD＝BE＝16，则⊙O的半径为( )
A.8B.9C.10D.11
6.二次函数y＝ax2＋bx＋c图像上部分点 横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x
…
－1
0
1
3
…
y
…
1
3
4
3
…
下列关于该二次函数的说法，错误的是( )
A.当x＝4时，y＝1B.当x＜1时，y随x的增大而增大
（2）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，求在3次抛掷的结果中有且只有1次正面朝上的概率．
江苏省南京市三校联考2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1． 是关于x的一元二次方程 的一个根，则a=（）
A．-1B．2C．-1或2D．不存在
2．方程 的解是（）
（2）若关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+2m=0（m＜0）的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c=0的衍生点M始终在直线y=kx-2（k-2）的图象上，若有请直接写出b，c的值，若没有说明理由．
19．已知一元二次方程 ．
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为 ， ，且 ，求m的值．
20．已知：如图，在⊙O中，弦AB和CD相交，连接AC、BD，且AC＝BD．求证：AB＝CD．
21．关于 的一元二次方程 有实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）写出一个满足条件的 的值，设这个QQ群共有x人，
依题意有x（x-1）=90，
解得：x=-9（舍去）或x=10，
∴这个QQ群共有10人．
故选B.
4．A
【分析】
（1）根据确定圆的条件进行解答即可；（2）根据垂径定理即可得出结论；（3）根据三角形外心的性质可得出结论.
【详解】
解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故（1）错误；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故（2）错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故（3）错误；
13．如图,在△ABC中,BC=6,以点A为圆心,2为半径的☉A与BC相切于点D,交AB于点E,交AC于点F,点P是优弧 上的一点,且∠EPF=50°,则图中阴影部分的面积是___.
南京市联合体学校2020-2021学年九年级(上)期中数学试题(含答案)
2020～2021学年度第一学期期中学情调研九年级数学注意事项:1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名､考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上) 1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是A ．2x ＋y ＝2B ．x ＋y 2＝0C ．ax 2＋bx ＋c ＝0D ．2x －x 2＝1 2．若圆弧的半径为3，所对的圆心角为60°，则弧长为A ． 12πB ．πC ．32πD ．3π3．反映一组数据变化范围的是 A ．极差B ．方差C ．众数D ．平均数4．下列方程中，两个实数根的和为0的是 A ．x 2－x ＝0B ．x 2＋2x ＝0C ．x 2－1＝0D ．x 2－2x ＋1＝05．某校九年级（1）班部分学生上学路上所花的时间如图所示． 设他们上学路上所花时间的平均数为a ，中位数为b ，众数 为c ，则有A ．b ＞a ＞cB ．c ＞a ＞bC ．a ＞b ＞cD ．b ＞c ＞a6．如图，AC 为半圆的直径，弦AB ＝3，∠BAC ＝30°，点E 、F 分别为AB 和AC 上的动点，则BF ＋EF 的最小值为 A ． 3 B ．332C ．3D ．32＋ 3二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题．．卡相应位置．．．．．上)7．方程x2－4＝0的解是▲ ．8．若⊙O的半径为3cm，点A与圆心O的距离为4cm，则点A与⊙O的位置关系是▲．9．若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个相等的实数根，则k＝▲．10．某招聘考试分笔试和面试两项，笔试按60%、面试按40%计算总成绩．若李明笔试成绩为90分，面试成绩为85分，则李明的总成绩是▲分．11．将方程x2＋6x－3＝0化为(x＋h)2＝k的形式是▲．12．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝64°，则∠OBC＝▲°．13．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AE、AG，则∠EAG＝▲°．14．已知圆锥的母线长为8cm，侧面展开图的圆心角为45°，则该圆锥的侧面积为▲cm2．15．已知⊙O的半径为6，弦AB长为62，则AB所对的圆周角的度数为▲°．16．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠CDA＝90°，CD＝2AB，过A、B、D三点的⊙O分别交BC、CD于点E、F．下列结论:①DF＝CF；②⌒AB＝⌒BE；③AE＝AD．其中所有正确结论的序号是▲．三、解答题(本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(8分)解下列方程：（1）x2－10x＋16＝0；（2）x(x－3)＝6－2x．18．(8分)已知关于x的方程x2－mx＋(m－2)＝0．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求m的值以及方程的另一个根．19．(8分)甲、乙两名同学本学期的五次数学测试成绩如下（单位：分）:（1）完成下表:（2）请运用所学的统计知识，从两个不同角度评价甲、乙两人的数学成绩．20．(6分)已知某企业2020年3月份的口罩产量是500万只，4月份的产量比3月份有所增长．5月份新冠疫情有所好转，口罩产量降为420万只．若两次产量变化的百分率相同，求这个百分率．21．(8分)如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ．过点D 作⊙O 的切线与AB 的延长线相交于点E ． （1）若∠ABC ＝56°，求∠E 的度数． （2）若CD ＝6，BP ＝2，求⊙O 的半径．22．(8分)如图，有一道长为10m 的墙，计划用总长为54m 的篱笆，靠墙围成由六个小长方形组成的矩形花圃ABCD．若花圃ABCD 面积为72m 2，求AB 的长．23．(6分)如图，在⊙O 中，C 是⌒AB 的中点，∠C ＝∠AOB ．求证：四边形OACB 是菱形．24．(8分)如图，PM 是⊙O 的切线，切点是A ．点B 、C 、D 是⊙O 上的点，P A ＝PB ． （1）求证PB 是⊙O 的切线；（2）若∠C ＝92°，∠MAD ＝40°，则∠P ＝ ▲ °．25．(8分)某商店经销的某种商品，每件成本为30元．经市场调研，售价为40元时，可销售200件；售价每增加2元，销售量将减少20件．如果这种商品全部销售完，该商店可盈利2250元，那么该商品每件售价多少元？26．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E为CD边上的一个动点（不与C、D重合），⊙O是△BCE的外接圆．（1）若CE＝2，⊙O交AD于点F、G，求FG的长度．（第26题）（2）若CE的长度为m，⊙O与AD的位置关系随着m的值变化而变化，试探索⊙O与AD的位置关系及对应的m的取值范围．27．（10分）（1）如图①，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且BC ＝BD ，CD ＝AD ．求证∠ADC ＝2∠BDC ．（2）如图②，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上．若点D 是平面内．．．任意一点，且满足AD ＝CD ， ∠ADC ＝2∠BDC ．①利用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点D （保留作图痕迹，不写作法）． ②若AB ＝4，BC 长度为m （0＜m ＜4），点D 的个数随着m 的值变化而变化，直接写出点D 的个数及对应的m 的取值范围．2020～2021学年度第一学期期中学情分析样题九年级数学参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（每小题2分，共计12分）二、填空题（每小题2分，共计20分）7．x＝±2 8．圆外9．4 10．88 11．(x+3)2＝1212．26 13．45 14．8π15．45或135 16．①③三、解答题（本大题共11小题，共计88分）17．（本题8分）（1）解：x2－10x＋25＝9， ······································································· 1分(x－5)2＝9， ···················································································· 2分x－5＝±3，x1＝8，x2＝－2．·············································································· 4分（2）解：x（x－3）＝－2（x－3），……………………………………………… 5分x （x－3）＋2（x－3）＝0，(x－3)( x＋2)＝0，············································································· 6分x1＝3，x2＝－2．·············································································· 8分18．（本题8分）（1）证明：∵a=1，b=－m，c= m－2 ···························································· 1分∴b 2－4ac=(－m )2－4×1×8（m－2）=m 2－4m+8=（m－2）2+4 ······················ 2分∵(m－2)2≥0，∴(m－2)2+4＞0 ······························································· 3分∴不论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根．·································· 4分（2）根据题意：22－2 m+（m－2）＝0，∴m=2．············································ 6分则x2－2x＝0，∴x1＝0，x2＝2．∴m的值为2，另一个根为0．······························································ 8分19．（本题8分）（1）85，11.2 ··························································································· 4分（2）数据的集中程度：①从中位数看，甲的中位数略大于乙的中位数，说明甲的数学成绩略好于乙；数据的离散程度：②从方差看，甲的方差小于乙的方差，且两人的平均成绩相同，说明甲的成绩比乙更稳定；数据的变化趋势：③从两人成绩的变化趋势看，乙的成绩在逐渐上升，说明乙的成绩进步较大。
2020-2021学年度第一学期江苏省南京市鼓楼区九年级期中考试数学模拟试卷(含解析)
2020-2021学年度第一学期江苏省南京市鼓楼区九年级期中考试数学模拟试卷一、选择题（本大题共2小题，每小题2分，共12分．请把答案填写在答题卡相应位置上）.1.一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A. 1，4，3B. 0，﹣4，﹣3C. 1，﹣4，3D. 1，﹣4，﹣32.已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 实数根的个数与实数b的取值有关3.有下列四个命题:①经过三个点一定可以作圆②等弧所对的圆周角相等;③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等; ④在同圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦.其中正确的有( )A. 0B. 1C. 2D. 34.如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）A. 55°B. 65°C. 60°D. 75°5.如图，在△ABC中，AC=50m，BC=40m，∠C=90°，点P从点A开始沿AC 边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线CB匀速移动，当△PCQ的面积等于300m2运动时间为（）A. 5秒B. 20秒C. 5秒或20秒D. 不确定6.如图,在平面直角坐标系中,⊙M与x轴相切于点A（8，0）．与y轴分别交于点B（0，4）与点C（0，16）．则圆心M到坐标原点O的距离是（）A. 10B. 8 √2C. 4 √13D. 2 √41二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7.一元二次方程x2−2x+c=0有两个相等的实数根，则c=________．8.用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为________.9.设m ，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝________.10.一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是________．11.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，且AE：BE =1：3，则AB=________.12.如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为________.13.如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC 的外接圆，则BC的长等于________.14.一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2−8x+12=0的根，则该三角形的周长为________.15.疫情期间居民为了减少外出时间，大家更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是________.16.如图，点0为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点0为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON 的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2=________三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解答下列各题：（1）用配方法解方程：x2−8x−4=0 .（2）已知一元二次方程2x2−mx−m=0的一个根是−12.求m的值和方程的另一个根.18.已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x²-mx+ m2- 14=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形?求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少?19.如图1，有一张长40cm,宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒.（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高.20.如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E, AB=CD,连接AD、BC .求证：（1）弧AD=弧BC ；（2）AE=CE .21.如图，在方格纸中，A，B，C三点都在小方格的顶点上（每个小方格的边长为1）．（1）在图甲中画一个以A，B，C为其中三个顶点的平行四边形，并求出它的周长．（2）在图乙中画一个经过A，B，C三点的圆，并求出圆的面积．22.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？23.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点O在BD上，以O为圆心的圆恰好经过A、B、C三点，⊙O 交BD于E，交AD于F，且弧AE=弧CE，连接OA、OF.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AOF＝3∠FOE，求∠ABC的度数.24.已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45° .（1）求∠EBC的大小；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积.25.阅读理解：材料一：若三个非零实数x ，y ，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x ，y ，z构成“和谐三数组”.，材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1+x2=−ba ．x1⋅x2=ca问题解决：（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数________；（2）若x1，x2是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a ，b ，c均不为0)的两根，x3是关于x的方程bx+c=0(b ，c均不为0)的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；的图象上，且三点的（3）若A(m ，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数y=4x纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．26.如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC=60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）过点B作BE//CD交DA的延长线于点E，若AD=2，DC=3，求△BDE的面积．27.问题提出：（1）如图①，半圆O的直径AB=10，点P是半圆O上的一个动点，则△PAB的面积最大值是________. （2）如图②，在边长为10的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，请探究并求出四边形BEFG的周长的最小值.（3）如图③，四边形ABCD中，AB=AD=6，∠BAD=60°，∠BCD=120°，四边形ABCD的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.答案一、选择题1.解：一元二次方程x2-4x-3=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，-4，-3．故答案为：D．2.解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根.故答案为：A.3.解：①经过在同一条直线上的三个点不能作圆，只有三个点不在同一条直线上时才可以作圆，故本小题不符合题意；②等弧所对的圆周角相等，符合圆周角定理，故本小题符合题意；③三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以到三角形各顶点的距离都相等，故本小题符合题意；④在同圆中，平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，故本小题不符合题意．故答案为：C．4.解：连接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是边BC的中点，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∠BDC＝65°，∴∠ODB＝∠ODC＝12故答案为：B.5.解：设运动的时间为t，则AP=2t，CQ=3t∴PC=50-2t∵∠C=90°，S△PCQ=300·PC·CQ=300∴12解得t1=5，t2=20.故答案为：C。
_江苏省南京市联合体2020——2021学年九年级上册期中数学试卷 解析版
2020-2021学年江苏省南京市联合体九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．2x+y＝2B．x+y2＝0C．ax2+bx+c＝0D．2x﹣x2＝12．若圆弧的半径为3，所对的圆心角为60°，则弧长为（）A．πB．πC．πD．3π3．反映一组数据变化范围的是（）A．极差B．方差C．众数D．平均数4．下列方程中，两个实数根的和为0的是（）A．x2﹣x＝0B．x2+2x＝0C．x2﹣1＝0D．x2﹣2x+1＝0 5．某校九年级（1）班部分学生上学路上所花的时间如图所示．设他们上学路上所花时间的平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a6．如图，AC为半圆的直径，弦AB＝3，∠BAC＝30°，点E、F分别为AB和AC上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．B．C．3D．+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．方程x2﹣4＝0的解是．8．若⊙O的半径为3cm，点A与圆心O的距离为4cm，则点A与⊙O的位置关系是．9．若关于x的一元二次方程x2+4x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是．10．某招聘考试分笔试和面试两种．其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数作为总成绩．小明笔试成绩为90分．面试成绩为85分，那么小明的总成绩为分．11．将方程x2+6x﹣3＝0化为（x+h）2＝k的形式是．12．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝64°，则∠OBC＝°．13．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AE、AG，则∠EAG＝°．14．已知圆锥的母线长为8cm，侧面展开图的圆心角为45°，则该圆锥的侧面积为cm2．15．已知⊙O的半径为6，弦AB长为6，则AB所对的圆周角的度数为°．16．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠CDA＝90°，CD＝2AB，过A、B、D三点的⊙O 分别交BC、CD于点E、F．下列结论：①DF＝CF；②＝；③AE＝AD．其中所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解下列方程：（1）x2﹣10x+16＝0；（2）x（x﹣3）＝6﹣2x．18．已知关于x的方程x2﹣mx+（m﹣2）＝0．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求m的值以及方程的另一个根．19．甲、乙两名同学本学期的五次数学测试成绩如下（单位：分）：第1次第2次第3次第4次第5次甲8683908086乙7882848992（1）完成下表：中位数平均数方差甲85乙848524.8（2）请运用所学的统计知识，从两个不同角度评价甲、乙两人的数学成绩．20．已知某企业2020年3月份的口罩产量是500万只，4月份的产量比3月份有所增长．5月份新冠疫情有所好转，口罩产量降为420万只．若两次产量变化的百分率相同，求这个百分率．21．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P．过点D作⊙O的切线与AB的延长线相交于点E．（1）若∠ABC＝56°，求∠E的度数．（2）若CD＝6，BP＝2，求⊙O的半径．22．如图，有一道长为10m的墙，计划用总长为54m的篱笆，靠墙围成由六个小长方形组成的矩形花圃ABCD．若花圃ABCD面积为72m2，求AB的长．23．如图，在⊙O中，C是的中点，∠C＝∠AOB．求证：四边形OACB是菱形．24．如图，PM是⊙O的切线，切点是A．点B、C、D是⊙O上的点，P A＝PB．（1）求证PB是⊙O的切线；（2）若∠C＝92°，∠MAD＝40°，则∠P＝°．25．某商店经销的某种商品，每件成本为30元．经市场调研，售价为40元时，可销售200件；售价每增加2元，销售量将减少20件．如果这种商品全部销售完，该商店可盈利2250元，那么该商品每件售价多少元？26．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E为CD边上的一个动点（不与C、D重合），⊙O是△BCE的外接圆．（1）若CE＝2，⊙O交AD于点F、G，求FG的长度．（2）若CE的长度为m，⊙O与AD的位置关系随着m的值变化而变化，试探索⊙O与AD的位置关系及对应的m的取值范围．27．（1）如图①，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝BD，CD＝AD．求证：∠ADC＝2∠BDC．（2）如图②，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．若点D是平面内任意一点，且满足AD＝CD，∠ADC＝2∠BDC．①利用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点D（保留作图痕迹，不写作法）．②若AB＝4，BC长度为m（0＜m＜4），点D的个数随着m的值变化而变化，直接写出点D的个数及对应的m的取值范围．2020-2021学年江苏省南京市联合体九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．2x+y＝2B．x+y2＝0C．ax2+bx+c＝0D．2x﹣x2＝1【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．【解答】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意是一元一次方程，故此选项不合题意；B、x+y2＝0含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；C、ax2+bx+c＝0未指明a、b、c为常数且a≠0，不是一元二次方程，故此选项不合题意；D、2x﹣x2＝1是一元二次方程，故此选项符合题意；故选：D．2．若圆弧的半径为3，所对的圆心角为60°，则弧长为（）A．πB．πC．πD．3π【分析】利用弧长公式计算即可．【解答】解：弧长l＝＝π，故选：B．3．反映一组数据变化范围的是（）A．极差B．方差C．众数D．平均数【分析】根据极差是刻画数据离散程度的一个统计量．它能反映数据的波动范围大小解答．【解答】解：反映一组数据变化范围的是极差；故选：A．4．下列方程中，两个实数根的和为0的是（）A．x2﹣x＝0B．x2+2x＝0C．x2﹣1＝0D．x2﹣2x+1＝0【分析】利用根与系数的关系对各选项进行判断．【解答】解：x2﹣x＝0的两个实数根的和为1；x2+2x＝0的两个实数根的和为﹣2；x2﹣1＝0的两个实数根的和为0；x2﹣2x+1＝0的两个实数根的和为2．故选：C．5．某校九年级（1）班部分学生上学路上所花的时间如图所示．设他们上学路上所花时间的平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a【分析】根据平均数、众数、中位数的定义解答即可．【解答】解：∵平均数为a＝＝29，中位数b＝＝30，众数c＝20，∴b＞a＞c，故选：A．6．如图，AC为半圆的直径，弦AB＝3，∠BAC＝30°，点E、F分别为AB和AC上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．B．C．3D．+【分析】作B点关于直径AC的对称点B′，过B′点作B′E⊥AB于E，交AC于F，如图，利用两点之间线段最短和垂线段最短可判断此时FB+FE的值最小，再判断△ABB′为等边三角形，然后计算出B′E的长即可．【解答】解：作B点关于直径AC的对称点B′，过B′点作B′E⊥AB于E，交AC于F，如图，则FB＝FB′，∴FB+FE＝FB′+FE＝B′E，此时FB+FE的值最小，∵∠BAC＝30°，∴∠B′AC＝30°，∴∠BAB′＝60°，∵AB＝AB′，∴△ABB′为等边三角形，∵B′E⊥AB，∴AE＝BE＝，∴B′E＝AE＝，即BF+EF的最小值为．故选：B．二．填空题（共10小题）7．方程x2﹣4＝0的解是±2．【分析】首先移项可得x2＝4，再两边直接开平方即可．【解答】解：x2﹣4＝0，移项得：x2＝4，两边直接开平方得：x＝±2，故答案为：±2．8．若⊙O的半径为3cm，点A与圆心O的距离为4cm，则点A与⊙O的位置关系是圆外．【分析】判断点到圆心的距离与圆的半径的大小关系可得答案．【解答】解：∵⊙O的半径为3cm，点A与圆心O的距离为4cm，∴点A在⊙O外，故答案为：圆外．9．若关于x的一元二次方程x2+4x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是4．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝16﹣4a＝0，解之即可得出a值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+a＝0有两个相等的实数根，∴△＝42﹣4a＝16﹣4a＝0，解得：a＝4．故答案为：4．10．某招聘考试分笔试和面试两种．其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数作为总成绩．小明笔试成绩为90分．面试成绩为85分，那么小明的总成绩为88分．【分析】根据笔试和面试所占的权重以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可．【解答】解：∵笔试按60%、面试按40%，∴总成绩是（90×60%+85×40%）＝88（分）；故答案为：88．11．将方程x2+6x﹣3＝0化为（x+h）2＝k的形式是（x+3）2＝12．【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数6的一半的平方．【解答】解：由原方程，得x2+6x＝3，配方得，x2+6x+9＝3+9，（x+3）2＝12．故答案为：（x+3）2＝12．12．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝64°，则∠OBC＝26°．【分析】连接OC，根据圆周角定理得求出∠BOC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．【解答】解：连接OC，由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝128°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝（180°﹣128°）÷2＝26°，故答案为：26．13．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AE、AG，则∠EAG＝45°．【分析】连接AC、GE、EC，易知四边形ACEG为正方形，根据正方形的性质即可求解．【解答】解：连接AC、GE、EC，如图所示：在正八边形ABCDEFGH中，∵AB＝AH，∠H＝∠B＝∠HAB＝135°，HG＝BC，∴△AHG≌△ABC（SAS），∴AG＝AC，∠HAG＝∠BAC＝22.5°，∴∠GAC＝90°，同理，EG＝CE＝AG，∴四边形ACEG为正方形，∴∠EAG＝45°，故答案为：45．14．已知圆锥的母线长为8cm，侧面展开图的圆心角为45°，则该圆锥的侧面积为8πcm2．【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式计算该圆锥的侧面积．【解答】解：根据题意，该圆锥的侧面积＝＝8π（cm2）．故答案为8π．15．已知⊙O的半径为6，弦AB长为6，则AB所对的圆周角的度数为45°或135°．【分析】根据弦长等于半径，得这条弦和两条半径组成了等腰直角三角形，则弦所对的圆心角是60°，要计算它所对的圆周角，应考虑两种情况：当圆周角的顶点在优弧上时，则根据圆周角定理，得此圆周角是45°；当圆周角的顶点在劣弧上时，则根据圆内接四边形的对角互补，得此圆周角是135°．【解答】解：根据题意，弦AB与两半径组成等腰直角三角形，∴弦AB所对的圆心角＝45°，①圆周角在优弧上时，圆周角＝45°，②圆周角在劣弧上时，圆周角＝180°﹣45°＝135°．∴圆周角的度数为45°或135°；故答案为：45°或135．16．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠CDA＝90°，CD＝2AB，过A、B、D三点的⊙O 分别交BC、CD于点E、F．下列结论：①DF＝CF；②＝；③AE＝AD．其中所有正确结论的序号是①③．【分析】连接BF，AF、EF，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠BFD＝∠ABF＝90°，则可判断四边形ABFD为矩形，所以AB＝DF，然后利用CD＝2AB，DF＝CF，则可对①正进行判断；再证明四边形ABCF为平行四边形得到AF∥BC，所以∠AEB＝∠F AE，则＝，由于不能确定∠AFB＝∠EAF＝∠AEB＝30°，即不能确定∠BAE＝∠EAF，则可对②进行判断；然后证明Rt△ADF≌Rt△AEF，则可对③进行判断．【解答】解：连接BF，AF、EF，如图，∵∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠BFD＝∠ABF＝90°，∴四边形ABFD为矩形，∴AB＝DF，∵CD＝2AB，∴CF＝AB，即DF＝CF；所以①正确；∵∠BAD＝∠CDA＝90°，∴AB∥CD，∵AB＝CF，∴四边形ABCF为平行四边形，∴AF∥BC，∴∠AEB＝∠F AE，∴＝，∵不能确定AB与AD的大小关系，∴不能确定∠AFB＝∠EAF＝∠AEB＝30°，∴不能确定∠BAE＝∠EAF，∴＝不能确定，所以②错误；∵＝，∴AB＝EF＝DF，∵∠AEF+∠D＝180°，∴∠AEF＝90°，在Rt△ADF和Rt△AEF中，，∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL），∴AD＝AE，所以③正确．故答案为①③．三．解答题17．解下列方程：（1）x2﹣10x+16＝0；（2）x（x﹣3）＝6﹣2x．【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）∵x2﹣10x+25＝9，（x﹣5）2＝9，x﹣5＝±3，x1＝8，x2＝﹣2．（2）∵x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3），∴x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（x+2）＝0，则x﹣3＝0或x+2＝0，∴x1＝3，x2＝﹣2．18．已知关于x的方程x2﹣mx+（m﹣2）＝0．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求m的值以及方程的另一个根．【分析】（1）先计算判别式的值得到△＝（m﹣2）2+4，然后根据判别式的意义得到结论；（2）设方程的另一个为t，利用根与系数的关系得到2+t＝m，2t＝m﹣2，然后解方程组即可．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣m，c＝m﹣2，∴b 2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×1×8（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4，∵（m﹣2）2≥0，∴（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴不论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）解：设方程的另一个为t，根据题意得，2+t＝m，2t＝m﹣2，∴2+t﹣2t＝2，解得t＝0，∴m＝2，∴m的值为2，另一个根为0．19．甲、乙两名同学本学期的五次数学测试成绩如下（单位：分）：第1次第2次第3次第4次第5次甲8683908086乙7882848992（1）完成下表：中位数平均数方差甲868511.2乙848524.8（2）请运用所学的统计知识，从两个不同角度评价甲、乙两人的数学成绩．【分析】（1）根据中位数的定义和方差的公式进行解答即可；（2）从中位数和方差的意义进行分析即可．【解答】解：（1）把这些数从小大排列为：80，83，86，86，90，则中位数是86分；甲同学的方差是：[（86﹣85）2+（83﹣85）2+（90﹣85）2+（80﹣85）2+（86﹣85）2]＝11.2（分）2；故答案为：85，11.2；（2）数据的集中程度：①从中位数看，甲的中位数略大于乙的中位数，说明甲的数学成绩略好于乙；数据的离散程度：②从方差看，甲的方差小于乙的方差，且两人的平均成绩相同，说明甲的成绩比乙更稳定；数据的变化趋势：③从两人成绩的变化趋势看，乙的成绩在逐渐上升，说明乙的成绩进步较大．20．已知某企业2020年3月份的口罩产量是500万只，4月份的产量比3月份有所增长．5月份新冠疫情有所好转，口罩产量降为420万只．若两次产量变化的百分率相同，求这个百分率．【分析】设这个百分率是x，根据该企业2020年3月份及5月份的口罩产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设这个百分率是x，依题意，得：500 （1+x）（1﹣x）＝420，解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣0.4（不合题意，舍去）．答：这个百分率是40%．21．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P．过点D作⊙O的切线与AB的延长线相交于点E．（1）若∠ABC＝56°，求∠E的度数．（2）若CD＝6，BP＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OD，根据直角三角形的性质求出∠PCB，根据切线的性质得到∠ODE＝90°，根据直角三角形的性质计算，得到答案；（2）根据垂径定理求出PD，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：（1）连接OD，∵弦AB⊥CD，∴∠CPB＝90°．∵∠ABC＝56°，∴∠PCB＝90°﹣56°＝34°，由圆周角定理得，∠EOD＝2∠CPB＝68°，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠E＝90°﹣68°＝22°；（2）∵弦AB⊥CD，∴CP＝DP＝CD＝3，设⊙O的半径为r，在Rt△ODP中，PD2+OP2＝OD2，即32+（r﹣2）2＝r 2，解得，r＝，所以⊙O的半径为．22．如图，有一道长为10m的墙，计划用总长为54m的篱笆，靠墙围成由六个小长方形组成的矩形花圃ABCD．若花圃ABCD面积为72m2，求AB的长．【分析】设AB的长是xm，则BC的长是（18﹣x）m，根据题意得方程，解方程即可得到结论．【解答】解：设AB的长是xm，则BC的长是（18﹣x）m．根据题意，得x（18﹣x）＝72，解这个方程，得x1＝6，x2＝12，当x＝6时，18﹣x＝12＞10（不合题意，舍去）．当x＝12时，18﹣x＝6符合题意．答：AB的长是12m．23．如图，在⊙O中，C是的中点，∠C＝∠AOB．求证：四边形OACB是菱形．【分析】如图，连接OC．欲证明四边形OACB是菱形，只需推知AC＝BC＝OC＝OA＝OB即可．【解答】证明：如图，连接OC．∵C是的中点，∴＝，∴AC＝BC，在△AOC和△BOC中，，∴△AOC≌△BOC（SSS）．∴∠ACO＝∠BCO＝∠ACB，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB．又∵∠ACB＝∠AOB．∴∠ACO＝∠BCO＝∠AOC＝∠BOC．∴AC＝BC＝OC＝OA＝OB，∴四边形OACB是菱形．24．如图，PM是⊙O的切线，切点是A．点B、C、D是⊙O上的点，P A＝PB．（1）求证PB是⊙O的切线；（2）若∠C＝92°，∠MAD＝40°，则∠P＝76°．【分析】（1）连接OA，OB，OP，证明△PBO≌△P AO，得到∠PBO＝∠P AO＝90°，即可证得结论；（2）连接BA，由圆内接四边形的性质得到∠C＝92°，进而求得∠P AB＝52°，由切线长定理得到P A＝PB，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得∠P．【解答】（1）证明：如图1，连接OA，OB，OP，∵PM是⊙O的切线，∴∠P AO＝90°，在△PBO和△P AO中，，∴△PBO≌△P AO（SSS），∴∠PBO＝∠P AO＝90°，∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接BA，∵∠C＝92°，∴∠BAD＝180°﹣∠C＝88°，∵∠MAD＝40°，∴∠P AB＝180°﹣40°﹣88°＝52°，∵P A，PB是⊙O的切线，∴P A＝PB，∴∠PBA＝∠P AB＝52°，∴∠P＝180°﹣∠P AB﹣∠PBA＝76°，故答案为：76．25．某商店经销的某种商品，每件成本为30元．经市场调研，售价为40元时，可销售200件；售价每增加2元，销售量将减少20件．如果这种商品全部销售完，该商店可盈利2250元，那么该商品每件售价多少元？【分析】设该商品每件售价x元．根据题意得到方程，解这个方程即可得到结论．【解答】解：设该商品每件售价x元．根据题意，得（x﹣30）[200﹣10（x﹣40）]＝2 250，解这个方程，得x1＝x2＝45，答：该商店每件售价45元．26．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E为CD边上的一个动点（不与C、D重合），⊙O是△BCE的外接圆．（1）若CE＝2，⊙O交AD于点F、G，求FG的长度．（2）若CE的长度为m，⊙O与AD的位置关系随着m的值变化而变化，试探索⊙O与AD的位置关系及对应的m的取值范围．【分析】（1）过点O作OM⊥FG于点M，延长MO交BC于点N，连接OG．在Rt△BCE 中，利用勾股定理求出BE，再在Rt△OMG中求出MG即可解决问题．（2）如图1中，当⊙O与AD相切于点M时，连接OM并反向延长交BC于点N．求出相切时，m的值即可判断．【解答】（1）解：过点O作OM⊥FG于点M，延长MO交BC于点N，连接OG，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴BE是⊙O的直径．∵∠C＝∠D＝∠DMN＝90°，∴四边形MNCD是矩形，∴MN⊥BC，MN＝CD＝AB＝4，∴BN＝CN．∵OB＝OE，∴ON是△BCE的中位线，∴ON＝CE＝1，∴OM＝4﹣1＝3，在Rt△BCE中，BE＝＝2，∴OG＝BE＝，在Rt△OMG中，MG＝＝1，∴FG＝2MG＝2．（2）解：如图1中，当⊙O与AD相切于点M时，连接OM并反向延长交BC于点N．由（1）易得ON＝CE＝m，OB＝OM＝4﹣m，BN＝3，在Rt△BON中，ON2+BN2＝OB2，即（m）2+32＝（4﹣m）2，解得m＝，∴当0＜m＜时，⊙O与AD相离，当m＝时，⊙O与AD相切，当＜m＜4时，⊙O与AD相交．27．（1）如图①，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝BD，CD＝AD．求证：∠ADC＝2∠BDC．（2）如图②，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．若点D是平面内任意一点，且满足AD＝CD，∠ADC＝2∠BDC．①利用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点D（保留作图痕迹，不写作法）．②若AB＝4，BC长度为m（0＜m＜4），点D的个数随着m的值变化而变化，直接写出点D的个数及对应的m的取值范围．【分析】（1）连接AC，先证明△ACD是等边三角形，可得∠ADC＝60°＝∠DAC，可证∠ADC＝2∠BDC；（2）①如图②，以B为圆心，BC长为半径作⊙B，⊙B与AC的垂直平分线的交点为D，D'；②找出特殊位置时，m的值，即可求解．【解答】证明：（1）连接AC，∵BD＝BC，∴＝，又∵AB是直径，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∵CD＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°＝∠DAC，∵AB垂直平分CD，∴∠BAC＝∠BAD＝30°＝∠BDC，∴∠ADC＝2∠BDC；（2）①如图②，以B为圆心，BC长为半径作⊙B，⊙B与AC的垂直平分线的交点为D，D'；②当⊙B与AC的垂直平分线只有一个交点时，即点D的个数为1，∴AC＝2BC，∵AB2＝AC2+BC2，∴16＝5m2，∴m＝，∵0＜m＜4，∴当0＜m＜时，点D的个数为0；当m＝时，点D的个数为1；当＜m＜4时，点D的个数为2．。
南京市联合体学校2020-2021学年九年级(上)期中数学试题(含答案)
2020～2021学年度第一学期期中学情调研九年级数学注意事项:1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名､考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是A ．2x ＋y ＝2B ．x ＋y2＝0C ．ax2＋bx ＋c ＝0D ．2x －x2＝1 2．若圆弧的半径为3，所对的圆心角为60°，则弧长为A ． 12πB ．πC ．32πD ．3π3．反映一组数据变化范围的是 A ．极差B ．方差C ．众数D ．平均数4．下列方程中，两个实数根的和为0的是 A ．x2－x ＝0B ．x2＋2x ＝0C ．x2－1＝0D ．x2－2x ＋1＝05．某校九年级（1）班部分学生上学路上所花的时间如图所示． 设他们上学路上所花时间的平均数为a ，中位数为b ，众数 为c ，则有A ．b ＞a ＞cB ．c ＞a ＞bC ．a ＞b ＞cD ．b ＞c ＞a6．如图，AC 为半圆的直径，弦AB ＝3，∠BAC ＝30°，点E 、F 分别为AB 和AC 上的动点，则BF ＋EF 的最小值为 A ． 3 B ．332C ．3D ．32＋ 3二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上)7．方程x2－4＝0的解是▲．8．若⊙O的半径为3cm，点A与圆心O的距离为4cm，则点A与⊙O的位置关系是▲．9．若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个相等的实数根，则k＝▲．10．某招聘考试分笔试和面试两项，笔试按60%、面试按40%计算总成绩．若李明笔试成绩为90分，面试成绩为85分，则李明的总成绩是▲分．11．将方程x2＋6x－3＝0化为(x＋h)2＝k的形式是▲．12．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝64°，则∠OBC＝▲°．13．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AE、AG，则∠EAG＝▲°．14．已知圆锥的母线长为8cm，侧面展开图的圆心角为45°，则该圆锥的侧面积为▲cm2．15．已知⊙O的半径为6，弦AB长为62，则AB所对的圆周角的度数为▲°．16．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠CDA＝90°，CD＝2AB，过A、B、D三点的⊙O分别交BC、CD于点E、F．下列结论:①DF＝CF；②⌒AB＝⌒BE；③AE＝AD．其中所有正确结论的序号是▲．三、解答题(本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(8分)解下列方程：（1）x2－10x＋16＝0；（2）x(x－3)＝6－2x．18．(8分)已知关于x的方程x2－mx＋(m－2)＝0．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求m的值以及方程的另一个根．19．(8分)甲、乙两名同学本学期的五次数学测试成绩如下（单位：分）:（1）完成下表:（2）请运用所学的统计知识，从两个不同角度评价甲、乙两人的数学成绩．20．(6分)已知某企业2020年3月份的口罩产量是500万只，4月份的产量比3月份有所增长．5月份新冠疫情有所好转，口罩产量降为420万只．若两次产量变化的百分率相同，求这个百分率．21．(8分)如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ．过点D 作⊙O 的切线与AB 的延长线相交于点E ． （1）若∠ABC ＝56°，求∠E 的度数． （2）若CD ＝6，BP ＝2，求⊙O 的半径．22．(8分)如图，有一道长为10m 的墙，计划用总长为54m 的篱笆，靠墙围成由六个小长方形组成的矩形花圃ABCD ．若花圃ABCD 面积为72m2，求AB 的长．23．(6分)如图，在⊙O 中，C 是⌒AB的中点，∠C ＝∠AOB ． 求证：四边形OACB 是菱形．24．(8分)如图，PM 是⊙O 的切线，切点是A ．点B 、C 、D 是⊙O 上的点，PA ＝PB ． （1）求证PB 是⊙O 的切线；（2）若∠C ＝92°，∠MAD ＝40°，则∠P ＝ ▲ °．25．(8分)某商店经销的某种商品，每件成本为30元．经市场调研，售价为40元时，可销售200件；售价每增加2元，销售量将减少20件．如果这种商品全部销售完，该商店可盈利2250元，那么该商品每件售价多少元？26．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E为CD边上的一个动点（不与C、D重合），⊙O是△BCE的外接圆．（1）若CE＝2，⊙O交AD于点F、G，求FG的长度．（第26题）（2）若CE的长度为m，⊙O与AD的位置关系随着m的值变化而变化，试探索⊙O与AD的位置关系及对应的m的取值范围．27．（10分）（1）如图①，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝BD，CD＝AD．求证∠ADC＝2∠BDC．（2）如图②，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．若点D是平面内任意一点，且满足AD＝CD，∠ADC＝2∠BDC ．①利用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点D（保留作图痕迹，不写作法）．②若AB＝4，BC长度为m（0＜m＜4），点D的个数随着m的值变化而变化，直接写出点D的个数及对应的m的取值范围．2020～2021学年度第一学期期中学情分析样题九年级数学参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（每小题2分，共计12分）题号 1 2 3 4 5 6答案 D B A C A B二、填空题（每小题2分，共计20分）7．x＝±2 8．圆外9．4 10．88 11．(x+3)2＝1212．26 13．45 14．8π15．45或135 16．①③三、解答题（本大题共11小题，共计88分）17．（本题8分）（1）解：x2－10x＋25＝9，······························································································ 1分(x－5)2＝9， ··············································································································· 2分x－5＝±3，x1＝8，x2＝－2．······································································································ 4分（2）解：x（x－3）＝－2（x－3），……………………………………………… 5分x（x－3）＋2（x －3）＝0，(x－3)( x＋2)＝0， ······································································································ 6分x1＝3，x2＝－2．······································································································ 8分18．（本题8分）（1）证明：∵a=1，b=－m，c= m－2 ················································································ 1分∴b 2－4ac=(－m )2－4×1×8（m－2）=m 2－4m+8=（m－2）2+4 ··························· 2分∵(m－2)2≥0，∴(m－2)2+4＞0 ·················································································· 3分∴不论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根． ············································ 4分（2）根据题意：22－2 m+（m－2）＝0，∴m=2．························································· 6分则x2－2x＝0，∴x1＝0，x2＝2．∴m的值为2，另一个根为0． ················································································· 8分19．（本题8分）（1）85，11.2 ························································································································ 4分（2）数据的集中程度：①从中位数看，甲的中位数略大于乙的中位数，说明甲的数学成绩略好于乙；数据的离散程度：②从方差看，甲的方差小于乙的方差，且两人的平均成绩相同，说明甲的成绩比乙更稳定；数据的变化趋势：③从两人成绩的变化趋势看，乙的成绩在逐渐上升，说明乙的成绩进步较大。
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（1）求证： ；
（2）若AB＝5，AD＝8，求⊙O的半径．
22．已知⊙O，请用无刻度的直尺完成下列作图．
（1）如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB＝AD，画出∠BCD的角平分线；
（2）如图②，AB和AD是⊙O的切线，切点分别是B、D，点C在⊙O上，画出∠BCD的角平分线．
三、解答题
17．解下列方程:
（1）x2＋2x－1＝0；
（2） 2＝x－2．
（3）直接写出x3－x＝0的解是．
18．）甲乙两人在相同条件下完成了5次射击训练，两人的成绩如图所示．
（1）甲射击成绩的众数为环，乙射击成绩的中位数为环；
（2）计算两人射击成绩的方差；
（3）根据训练成绩，你认为选派哪一名队员参赛更好，为什么？
19．某市有A、B两个公园，甲、乙、丙三位同学随机选择其中一个公园游玩．
（1）甲去A公园游玩的概率是；
（2）求三位同学恰好在同一个公园游玩的概率．
20．已知关于x的一元二次方程x2－2mx＋2m－1＝0（m为常数）．
（1）若方程的一个根为0，求m的值和方程的另一个根；
（2）求证：不论m为何值，该方程总有实数根．
4．某校航模兴趣小组共有30位同学，他们的年龄分布如下表：
由于表格污损，15和16岁人数不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（）
A．平均数、中位数B．众数、中位数C．平均数、方差D．中位数、方差
5．如图，点A、B、C在半径为6的⊙O上，弧AB的长为 ，则∠ACB的大小是（ ）
A．20°B．30°Cຫໍສະໝຸດ 45°D．60°15．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝36°，点D为斜边BC的中点，将线段DC绕着点D逆时针旋转任意角度得到线段DE（点E不与A、B、C重合），连接EA，EC，则∠AEC＝___________°.
16．如图，线段AB的长度为2，AB所在直线上方存在点C，使得△ABC为等腰三角形，设△ABC的面积为S.当S＝___________时，满足条件的点C恰有三个．
（1）如图①，连接BD，若BD是⊙O的直径，求证：∠A＝∠C；
（2）如图②，若 的度数为θ，∠A＝α，∠C＝β，请直接写出θ、α和β之间的数量关系．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与AC、BC分别交于点M、N，与AB的另一个交点为E．过点N作NF⊥AB，垂足为F．
江苏省南京市浦口外国语学校2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知⊙O的半径为4，点A和圆心O的距离为3，则点A与⊙O的位置关系是
A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不能确定
10．某种商品原价是100元,经两次降价后的价格是64元,则平均每次降价的百分率为________
11．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠A＝105°，则∠BOC＝___________°．
12．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 ，扇形的圆心角 ，则该圆锥的母线长 为___ ．
（1）求证：NF是⊙O的切线；
（2）若NF＝2，DF＝1，求弦ED的长．
26．如图，已知正方形ABCD的边长为4 cm，点E从点A出发，以1cm/s的速度沿着折线A→B→C运动，到达点C时停止运动；点F从点B出发，也以1cm/s的速度沿着折线B→C→D运动，到达点D时停止运动．点E、F分别从点A、B同时出发，设运动时间为t（s）．
23．某商店销售一批小家电，每台成本40元，经市场调研，当每台售价定为52元时，可销售180台；若每台售价每增加1元，销售量将减少10台.
（1）如果每台小家电售价增加2元，则该商店可销售台；
（2）商店销售该家电获利2000元，那么每台售价应增加多少元？
24．已知⊙O经过四边形ABCD的B、D两点，并与四条边分别交于点E、F、G、H，且 ．
2．一元二次方程y2－4y+3＝0配方后可化为
A． 2＝3B． 2＝0C． 2＝2D． 2＝1
3．甲袋中装有3个白球和2个红球，乙袋中装有30个白球和20个红球，这些球除颜色外都相同．把两只袋子中的球搅匀，并分别从中任意摸出一个球，从甲袋中摸出红球记为事件A，从乙袋中摸出红球记为事件B，则
A．P(A)＞P(B)B．P(A)＜P(B)C．P(A)＝P(B)D．无法确定
（1）当t为何值时，E、F两点间的距离为2 cm；
（2）连接DE、AF交于点M，
①在整个运动过程中，CM的最小值为cm；
②当CM＝4cm时，此时t的值为.
27．
（已有经验）
我们已经研究过作一个圆经过两个已知点，也研究过作一个圆与已知角的两条边都相切，尺规作图如图所示：
（迁移经验）
（1）如图①，已知点M和直线l，用两种不同的方法完成尺规作图：求作⊙O，使⊙O过M点，且与直线l相切．（每种方法作出一个圆即可，保留作图痕迹，不写作法）
（问题解决）
如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．
（2）已知⊙O经过点C，且与直线AB相切．若圆心O在△ABC的内部，则⊙O半径r的取值范围为．
6．如图，一个半径为2的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是
A． B． －2 C． － D．2 －
二、填空题
7．方程 的根是________．
8．一组数据：－1，3，2，0，4的极差是___________．
9．若x1，x2是一元二次方程x2－2x－4＝0的两个实数根，则x1＋x2－x1x2＝___________．
13．如图， 、 、 、 为一个外角为 的正多边形的顶点．若 为正多边形的中心，则 __．
14．如图，某单位院内有一块长30m，宽20 m的长方形花园，计划在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的道路（所有道路的进出口宽度都相等，且每段道路的对边互相平行），其余的地方种植花草．已知种植花草的面积为532 m2，设道路进出口的宽度为xm，根据条件，可列出方程___________．