关于集合的交并补运算

关于集合的交并补运算

我们来看这样一个例题．

【例】已知集合U ＝｛x ∈R ｜1＜x ≤7｝，A ＝｛x ∈R ｜2≤x ＜5｝，B ＝｛x ∈R ｜3≤x ＜7｝．求：

（1）（U C A ）∩（U C B ）；

（2）U C （A ∩B ）；

（3）（U C A ）∪（乙B ）；

（4）U C （A ∪B ）．．

利用数形结合的思想，将满足条件的集合在数轴上一一表示出来，从而求集合的交集、并集、补集，既简单又直观，这是最基本最常见的方法．本例题可先在数轴上画出集合U 、A 、B ，然后求出A ∩B ，A ∪B ，U C A ，U C B ，就能逐一写出各小题的结果，有条件的还可以设计多媒体教学课件，展现这一全过程．

解：利用数轴工具。画出集合U 、A 、B 的示意图，如下图．

可以得到，A ∩B ＝｛x ∈R ｜3≤x ＜5｝，

A ∪

B ＝｛x ∈R ｜2≤x ＜7｝，

U C A ＝｛x ∈R ｜1＜x ＜2｝∪｛x ｜5≤x ≤7｝，

U C B ＝｛x ∈R ｜＜x ＜3｝∪｛7｝．

从而可求得

（1）（U C A ）∩（U C B ）；｛x ∈R ｜1＜x ＜2｝∪｛7｝．

（2）U C （A ∪B ）＝｛x ∈R ｜1＜x ＜2｝∪｛7｝．

（3）（U C A ）∪（U C B ）＝｛x ∈R ｜1＜x ＜3｝∪｛x ∈R ｜5≤x ≤7｝．

（4）U C （A ∩B ）＝｛x ∈R ｜1＜x ＜3｝∪｛x ∈R ｜5≤x ≤7｝．

认真观察不难发现：

U C （A ∪B ）＝（U C A ）∩（U C B ）；

U C （A ∩B ）＝（U C A ）∪（U C B ）．

这个发现是偶然的呢?还是具有普遍的意义呢?

为了提高学生分析问题和解决问题的能力，培养他们探索研究的思维品质和创新意识，同时也让学生体验数形结合思想方法解题的要领和重要性，我们可以做两方面的工作：

（1）让学生自己编拟一道集合运算的例题，并验证上述等式是否成立；

（2）设计一套韦恩图来验证上述等式（有条件的可设计一多媒体课件来展示并验证）． 第（1）方面的工作让学生自己尝试，我们来做第（2）方面的工作．

我们来看四个图：

（1） （2）

（3） （4）

细心观察、领会，我们能够看出：

图（1）的阴影部分是A ∩B ；

图（2）的阴影部分是B ∩（U C A ）；

图（3）的阴影部分是A ∩（U C B ）；

图（4）的阴影部分是U C （A ∪B ），或者是（U C A ）∩（U C B ）．

从图（4）我们已经得到U C （A ∪B ）＝（U C A ）∩（U C B ）；

从图（1）我们也可得到U C （A ∩B ）＝（U C A ）∪（U C B ）．

一般地，对于任意集合A 、B ，下列等式成立．

（1）U C （A ∩B ）＝（U C A ）∪（U C B ）；

（2）U C （A ∩B ）＝（U C A ）∩（U C B ）．

这就是著名的德·摩根定律，它可以叙述为：A 、B 交集的补集等于A 、B 的补集的并集；A 、B 并集的补集等于A 、B 的补集的交集．