关于集合的交并补运算
集合中元素的交并补运算
集合中元素的交并补运算一、集合的基本概念1.集合的定义：集合是由确定的、互异的元素构成的整体。
2.集合的表示方法：用大括号括起来，如{a, b, c}。
3.集合的元素：集合中的每一个成员称为元素。
二、集合的基本运算1.交集（∩）：两个集合中共同拥有的元素构成的新集合。
2.并集（∪）：两个集合中所有元素（包括重复元素）构成的新集合。
3.补集（’）：一个集合在全集中所没有的元素构成的新集合。
三、交集的性质1.交换律：A∩B=B∩A2.结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)3.对于任何集合A，A∩∅=∅=A∩A四、并集的性质1.交换律：A∪B=B∪A2.结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)3.对于任何集合A，A∪∅=A=A∪A4.分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∪(A∪C)五、补集的性质1.A’∪A=∅，A’∩A=U（其中U为全集）2.(A’∪B)’=A∩B3.(A’∩B)’=A∪B六、交、并、补运算的应用1.集合的划分：将一个集合分成若干个互不交集的过程。
2.集合的覆盖：用若干个集合覆盖一个集合的过程，涉及到并集的性质。
3.集合的包含关系：通过交集和补集判断两个集合的包含关系。
七、注意事项1.集合运算中，元素必须满足确定性和互异性。
2.集合运算中，要注意区分集合与元素的关系，遵循运算法则。
3.在解决实际问题时，要灵活运用集合的交、并、补运算，简化问题。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握集合中元素的交并补运算的基本概念、性质和应用，为后续数学学习打下坚实的基础。
习题及方法：1.习题：设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求A∩B和A∪B。
解题方法：根据交集和并集的定义，可以直接找出A和B中共同的元素和所有元素。
解：A∩B={2, 3}，A∪B={1, 2, 3, 4}。
2.习题：如果集合A={x | x是小于5的整数}，集合B={x | x是小于6的整数}，求A∩B和A’∪B。
数学中的集合运算法则
数学中的集合运算法则数学作为一门精确而又抽象的学科，涉及到众多的概念和运算法则。
其中，集合运算法则是数学中一个重要的分支，它研究的是集合之间的关系和运算规律。
本文将探讨数学中的集合运算法则，以及它们的应用。
一、交集运算法则交集运算是指将两个集合中所有共有的元素组成一个新的集合。
在数学中，交集运算有以下几个法则：1. 交换律：对于任意两个集合A和B，A∩B=B∩A。
这意味着，交集运算的结果与操作数的顺序无关。
2. 结合律：对于任意三个集合A、B和C，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
这意味着，交集运算可以连续进行，结果不会受到括号的影响。
3. 吸收律：对于任意两个集合A和B，如果A是B的子集，则A∩B=A。
这意味着，如果一个集合是另一个集合的子集，它们的交集就是自身。
交集运算法则在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在数据库查询中，可以使用交集运算来找出同时满足多个条件的数据。
二、并集运算法则并集运算是指将两个集合中的所有元素组成一个新的集合。
在数学中，并集运算有以下几个法则：1. 交换律：对于任意两个集合A和B，A∪B=B∪A。
这意味着，并集运算的结果与操作数的顺序无关。
2. 结合律：对于任意三个集合A、B和C，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
这意味着，并集运算可以连续进行，结果不会受到括号的影响。
3. 吸收律：对于任意两个集合A和B，如果A是B的子集，则A∪B=B。
这意味着，如果一个集合是另一个集合的子集，它们的并集就是另一个集合。
并集运算法则在实际应用中也有着广泛的应用。
例如，在概率论中，可以使用并集运算来计算两个事件同时发生的概率。
三、差集运算法则差集运算是指从一个集合中去除另一个集合中的元素，得到一个新的集合。
在数学中，差集运算有以下几个法则：1. 差运算：对于任意两个集合A和B，A-B表示从A中去除B中的元素得到的新集合。
2. 吸收律：对于任意两个集合A和B，如果A是B的子集，则A-B=∅。
第7讲 集合的交并补运算
3.常用结论
(1))A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.
(2)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
考向一：集合间的基本运算
【例1】(1)已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4，1，
解析：由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当 x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A ＝{－6，0，6}，所以A∩B＝{0，6}．
【变式训练2】(1)已知集合A＝{(x，y)|2x＋y＝0}，B＝ {(x，y)|x＋my＋1＝0}．若A∩B＝∅，则实数m＝
【 ＋解 1＝析0】平因行为，A所∩以B＝m＝∅，12 所以直线2x＋y＝0与直线x＋my
(3)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B ＝{1}，则B＝
【解析】由题意可得1－4＋m＝0，解得m＝3，所以B＝ {x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}
考向二：集合间运算的综合问题
【例2】 (1)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，
且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝
【解析】A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，
Байду номын сангаас
B＝{x|y＝ln(2－x)}＝{x|2－x＞0}＝{x|x＜2}，则A∩B＝[－1，2)，
A∪B＝(－∞，3] 7．已知集合A＝{x∈N|x2≤1}，集合B＝{x∈Z|－
1≤x≤3}，则图中阴影部分表示的集合是
【解析】因为A＝{x∈N|x2≤1}＝{x∈N|－1≤x≤1}＝{0，1}，B＝{x∈Z|
集合的交并补运算数学五年级下册期末测
集合的交并补运算数学五年级下册期末测集合是数学中的一个重要概念，在数学五年级下册中，我们学习了集合的交、并、补运算。
本文将围绕着这一知识点展开，通过解释、举例、总结等方式，详细介绍集合的交、并、补运算。
一、集合的交运算交运算是指给定两个集合，将其中共有的元素提取出来形成一个新的集合。
用符号表示，如果集合A和集合B的交集为C，可以表示为C=A∩B。
交运算的实际应用非常广泛，比如在调查统计中，我们常常需要找到同时满足某些条件的个体或对象。
下面我们通过一个生活中的例子来说明集合的交运算。
例子：小明和小红是班级的两位优秀学生，其中小明擅长语文，小红擅长数学。
我们可以将班级中所有擅长语文的学生构成一个集合A，将班级中所有擅长数学的学生构成一个集合B。
那么集合A和集合B的交集，即擅长语文又擅长数学的学生集合，就是既是小明又是小红的学生。
二、集合的并运算并运算是指给定两个集合，将其中所有的元素合并形成一个新的集合。
用符号表示，如果集合A和集合B的并集为C，可以表示为C=A∪B。
并运算可以用来表示包含某些特征的整体集合。
下面我们通过一个例子来说明集合的并运算。
例子：某超市有3个货架，分别摆放着水果、蔬菜和日用品。
我们可以将水果货架上的所有商品构成一个集合A，将蔬菜货架上的所有商品构成一个集合B，将日用品货架上的所有商品构成一个集合C。
那么这三个货架上的所有商品的集合，即集合A、B、C的并集，就是超市里的所有商品的集合。
三、集合的补运算补运算是指给定一个集合和一个全集，将全集中不属于该集合的元素提取出来形成一个新的集合。
用符号表示，如果集合A的补集为B，则可以表示为B=全集-A。
补运算常用于求解某个集合外的元素，或者补充某些缺失的元素。
下面我们通过一个例子来说明集合的补运算。
例子：小明收集了一些动物玩具，其中有虎、狮、熊和猴子。
我们可以将小明收集的动物玩具构成一个集合A。
如果我们定义全集为所有的动物玩具，那么集合A的补集就是除了虎、狮、熊和猴子之外的所有动物玩具。
集合的五种基本运算
集合的五种基本运算集合的五种基本运算包括并集、交集、差集、补集和笛卡尔积。
下面将对这五种运算进行详细介绍。
1. 并集：并集是指将两个或多个集合中的所有元素组合起来形成一个新的集合。
符号表示为"A∪B"，表示集合A和集合B的并集。
并集操作将去除重复元素，只保留一个。
例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。
2. 交集：交集是指取两个集合中相同的元素形成一个新的集合。
符号表示为"A∩B"，表示集合A和集合B的交集。
交集操作将保留两个集合中共有的元素，去除不同的元素。
例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∩B={3}。
3. 差集：差集是指从一个集合中去除与另一个集合中相同的元素形成一个新的集合。
符号表示为"A-B"，表示集合A和集合B的差集。
差集操作将保留集合A中与集合B不同的元素。
例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A-B={1,2}。
4. 补集：补集是指一个集合中不属于另一个集合的元素形成的集合。
符号表示为"A'"或"A^c"，表示集合A的补集。
补集操作将保留集合A中不在另一个集合中的元素。
例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A'={1,2}。
5. 笛卡尔积：笛卡尔积是指将两个集合中的所有元素按照一定规律组合起来形成一个新的集合。
符号表示为"A×B"，表示集合A和集合B的笛卡尔积。
笛卡尔积操作将取两个集合中的元素进行组合，形成一个新的集合。
例如，如果集合A={1,2}，集合B={a,b}，则A×B={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}。
这五种基本的集合运算在数学和计算机科学中都有广泛的应用。
它们可以用来解决集合之间的关系、求解问题和进行数据分析。
集合的交并补运算
观察集合A, B, C之间的关系 A={1, 2, 3, 4, 5}, B={1, 2, 3}, C={4, 5} A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B={1, 2, 3} C={4, 5, 6, 7}
观察集合A，B，C之间的关系 A={1, 2, 3, 4, 5}, B={1，2，3}, C={4，5} A={1，2，3, 4，5，6, 7}， B={1，2，3} C={4，5，6, 7}
并集
交集
A A A, A A A A A, A
A∪B =B∪A
A∩B=B∩A
子集、交 集、并集 之间的关 系
(A∪B) A ，(A∪B) B (A∩B) A ，(A∩B) B
(A∩B)＝A A B (A∪B)＝B A B
(A∩B) (A ∪ B)
六 知识总结
本节我们学习了集合的并、交两种基本运算, 要在理解其运算本质的基础上记忆其运算性质； 在掌握概念的基础上能够熟练运用自然语言、符 号语言、图形语言来表示集合的交、并运算.
A∩B={x|x∈A且x∈B}. 可用Venn图表示:
四 知识创新
根据右图讨论一下并集 的运算性质
1A B A, A B B; 2A A A; 3A A; 4A B B A.
四 知识创新
根据右图讨论一下交集 的运算性质
1(A B) A, (A B) B; 2A A A; 3A ; 4A B B A.
2和 4都不是方程x2 ax a2 19 0的解;
3是方程x2 ax a2 19 0的解.
a2 3a 10 0, a 2或a 5. 当a 2时,经验证适合题意; 当a 5时, A {2,3}, 此时A C , a 5舍去. a 2.
第7讲：集合的交并补运算
第7讲 集合的交并补运算【课型】复习课【学习目标】1.掌握集合间的交、并、补运算规律法则2.能熟练进行集合间的交、并、补运算【预习清单】【知识梳理】1．集合的基本运算 集合的交集 集合的并集 集合的补集图形语言符号 语言 A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B } A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A } 2.集合的运算性质(1)交集性质：A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(2)并集性质：A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A .(3)补集性质：A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A .3.常用结论(1))A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B .(2)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．【引导清单】考向一：集合间的基本运算【例1】(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{－4，1，3，5}，则A ∩B ＝(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x －3＜0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x ＞1，则∁U (A ∪B )＝ (3)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为【解析】(1)由x 2－3x －4<0，得－1<x <4，即集合A ＝{x |－1<x <4}，又集合B ＝{－4，1，3，5}，所以A ∩B ＝{1，3}。
(2)由已知，得A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |0＜x ＜1}，所以A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}，所以∁U (A ∪B )＝{x |x ≤－1或x ≥3}.(3)由题意得，A ∩B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A ∩B 中元素的个数为4.考向二：集合间运算的综合问题【例2】 (1)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝（2）如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x ，0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________．【解析】(1)易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤－a 2}，因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2..（2）由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6，0，6}，所以A ∩B ＝{0，6}．【训练清单】【变式训练1】(1)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0，x ∈Z }，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∪B ＝(2)若全集U ＝R ，集合A ＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B ＝{x ||x |≤2}，则如图阴影部分所表示的集合为(3)设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{1}，则B ＝【解析】（1）A ＝{x |－1＜x ＜2，x ∈Z }＝{0，1}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }＝{1，2}，所以A ∪B ＝{0，1，2}，（2）∁U A ＝{x |－1≤x ≤4}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则所求阴影部分所表示的集合为C，则C＝(∁U A)∩B＝{x|－1≤x≤2}．（3）由题意可得1－4＋m＝0，解得m＝3，所以B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}【变式训练2】(1)已知集合A＝{(x，y)|2x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x＋my＋1＝0}．若A∩B＝∅，则实数m＝（2）设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________．【解析】（1）因为A∩B＝∅，所以直线2x＋y＝0与直线x＋my＋1＝0平行，所以m＝12（2）由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，又因为新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．【巩固清单】1．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝【解析】A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝{x|1≤x＜4}.2．已知集合A＝{x||x|<3，x∈Z}，B＝{x||x|>1，x∈Z}，则A∩B＝【解析】因为A＝{x||x|<3，x∈Z}＝{x|－3<x<3，x∈Z}＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x||x|>1，x∈Z}＝{x|x>1或x<－1，x∈Z}，所以A∩B＝{－2，2}.3．已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U(A∪B)＝【解析】由题意，得A∪B＝{－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{－2，3}，故选A.4．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝________，A∪B＝________，(∁R A)∪B＝________．【解析】由已知得A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|1＜x＜4}，(∁R A)∪B＝{x|x≤1或x＞2}．5．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{x|x－y＝1}，则A∩B＝【解析】：选D.因为集合A中的元素为点集，集合B中的元素为数集，所以两集合没有公共元素，所以A∩B＝∅.6．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|y＝ln(2－x)}，则A∩B＝________，A∪B＝________．【解析】A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|y＝ln(2－x)}＝{x|2－x＞0}＝{x|x＜2}，则A∩B＝[－1，2)，A∪B＝(－∞，3]．7．已知集合A＝{x∈N|x2≤1}，集合B＝{x∈Z|－1≤x≤3}，则图中阴影部分表示的集合是【解析】因为A＝{x∈N|x2≤1}＝{x∈N|－1≤x≤1}＝{0，1}，B＝{x∈Z|－1≤x≤3}＝{－1，0，1，2，3}．图中阴影部分表示的集合为(∁R A)∩B，∁R A＝{x|x≠0且x≠1}，所以(∁R A)∩B＝{－1，2，3}.8．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x＝n2－1，n∈A}，P＝A∩B，则P的子集共有个【解析】因为B＝{x|x＝n2－1，n∈A}＝{－1，0，3，8}，所以P＝A∩B＝{0，3}，所以P的子集共有22＝4个.9．已知集合A＝{－1，0，m}，B＝{1，2}．若A∪B＝{－1，0，1，2}，则实数m的值为【解析】因为A＝{－1，0，m}，B＝{1，2}，A∪B＝{－1，0，1，2}，所以m∈A∪B，且m不能等于A中的其他元素，所以m＝1或m＝2.10．若集合A具有以下性质：(1)0∈A，1∈A；(2)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，1 x ∈A.则称集合A是“好集”．给出下列说法：①集合B＝{－1，0，1}是“好集”；②有理数集Q 是“好集”③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.其中，正确说法的序号是【解析】①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B，1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与－2∉B矛盾．②有理数集Q是“好集”，因为0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，1x∈Q，所以有理数集Q是“好集”．③因为集合A是“好集”，则0∈A，由性质(2)知，若y∈A，则0－y∈A，知－y∈A，因此x－(－y)＝x＋y∈A，所以③正确．故正确的说法是②③。
集合的运算交集并集补集
到这两个集合的交集。
A
B
A∩B
-3 -2 -1 0 1
2
3
4
5
6
7
x
解： A∩B ={x|-1<x ≤2} ∩ {x|0<x ≤ 3} = {x|0 < x ≤ 2}
【新知识】
由交集的定义可知，对任意的两个集合A、B,有
– （1） A ∩ B= B ∩ A
– （2） A ∩ A=A， A ∩ ∅= ∅
– （3） A ∩ B⊆ , A ∩ B ⊆
【练习】1.3.1
1、设A={-1，0，1，2}，B={0，2，4，6}，求A ∩ B
3、设A={x|-2<x≤2},B={x| 0≤x ≤4},求A ∩ B。
1.3.2 并集
【实例】国庆表彰，我们班上获得三好学生表彰的集合为A={王莉，李红，张
例5 设A={0<x≤ 2}, B = {x|1 < x ≤3},求A∪B
分析：在数轴上表示出集合A、B，观察可以得出这两个集合的并集。
B
A
x
解： A∪B ={x|0<x ≤2} ∩ {x|1<x ≤ 3} = {x|0 < x ≤ 3}
-3 -2 -1 0 1
2
3
4
5
6
7
【新知识】
由并集的定义可知，对任意的两个集合A、B,有
A
B
、
【知识巩固】
例1 设A={2，3，5}，B={-1,0,1,2},求A∩B。
解： A∩B={2，3，5} ∩ {-1,0,1,2}={2}
例2 设A={(x,y)|x+y=0},B= {(x,y)|x-y=4},求A∩B。
集合的交并差补与代数的加减乘除
集合的交并差补与代数的加减乘除wsyAugust13,2015我们都知道，集合的运算和代数的运算是独立的，一般没有太大的关联。
集合的基本的运算法则有：•交集：A B;•并集：A B;•补集：A;•差集：A−B.但是，我们通过如下的定义，可以建立一个集合的代数运算关系：令全集Ω表示为1,空集∅表示为0•交集：A∩B=ab;•并集：A∪B=a+b−ab;•补集：A=1−a;•差集：A−B=A−A∩B=a−ab=a(1−b).其中，集合A,B在代数运算中，用相应的小写字母a,b表示。
注意到，因为A∩A=A,所以根据定义可以推导出，我们的定义满足幂等律a·a=a2=a.除了，这一点有差异之外，其它运算与代数运算都相同。
接下来，我们可以看到，集合的对偶律和结合律，使用上述定义之后，也是吻合的。
下列代数式子在化简后是显然成立的，我们减去了化简的步骤。
1.对偶律:1•对于A∩B=A∪B,代入上述定义，有1−ab=(1−a)+(1−b)−(1−a)(1−b).•对于A∪B=A∩B,代入上述定义，有1−(a+b−ab)=(1−a)(1−b).2.结合律：•对于(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C),代入上述定义，有ab+c−abc=(a+c−ac)(b+c−bc).•对于(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),代入上述定义，有(a+b−ab)c=ac+bc−ac·bc.综上可知，我们的定义是满足集合运算的要求的。
之所以要把集合的运算，转化为代数的运算，是因为一般的人，对于代数运算的熟悉程度远远高于集合运算。
这为我们验证，求解，推断复杂的集合运算的式子提供了另外的一种新的更加简便快速的方式。
2。
交、并、补集的混合运算
交、并、补集的混合运算交集、并集和补集是集合理论中的重要概念，通过混合运算可以更好地理解集合之间的关系和性质。
下面将为你介绍这些概念以及它们在实际问题中的应用。
首先，让我们来看一下交集。
交集是指两个或多个集合中共同的元素所构成的新集合。
可以用符号∩ 来表示。
例如，假设集合 A 包含 {1, 2, 3, 4}，集合 B 包含 {3, 4, 5, 6}，那么 A 与 B 的交集就是 {3, 4}。
交集代表了两个集合共有的部分，可以理解为两个集合的“重合区域”。
接下来，我们来看一下并集。
并集是指两个或多个集合中所有元素所构成的新集合。
可以用符号∪ 来表示。
继续以集合 A 和集合 B 为例，那么 A 与 B 的并集就是 {1, 2, 3, 4, 5, 6}。
并集代表了两个集合之间的全部元素，可以理解为两个集合的“合并”。
最后，让我们来谈谈补集。
补集是指某个给定集合中不包含在另一个集合中的元素所构成的新集合。
可以用符号 ' 代表。
在这个概念中，我们需要明确所谈论的全集。
以集合 A 和全集 U 为例，A 的补集就是所有不属于 A 的元素构成的新集合。
例如，如果全集 U 是 {1, 2, 3, 4, 5}，集合 A 是 {1, 2, 3}，那么 A 的补集就是 {4, 5}。
补集代表了一个集合中缺失的部分，可以理解为集合的“缺失区域”。
这些概念和混合运算在日常生活中有很多应用。
比如，在市场调研中，我们可以将消费者分为 A 组和 B 组，A 组喜欢产品 X，B 组喜欢产品 Y。
那么 A 组和 B 组的交集就是同时喜欢产品 X 和产品 Y 的消费者，可以针对这部分消费者开展有针对性的营销活动。
而 A 组和 B 组的并集则是所有潜在消费者的总和，有助于我们了解整体市场规模和潜力。
另外，通过研究补集，可以发现市场上尚未覆盖到的消费者群体，帮助企业制定更全面的市场策略。
总而言之，交集、并集和补集是集合理论中的重要概念，在实际问题中具有广泛的应用。
集合的交并补运算
集合间关系与性质
子集
对于两个集合A和B，如果A中的每一个元素都是B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B。
真子集
如果A是B的子集，且A不等于B，则称A是B的真子集，记作A⊂B。
空集
不含任何元素的集合称为空集，记作∅。空集是任何集合的子集。
相等集合
如果两个集合A和B满足A⊆B且B⊆A，则称A和B相等，记作A=B。
集合的交并补运算
汇报人：XX
目 录
• 集合基本概念与性质 • 交集运算及其性质 • 并集运算及其性质 • 补集运算及其性质 • 复杂集合运算处理技巧 • 总结回顾与拓展延伸
01 集合基本概念与 性质
集合定义及表示方法
集合定义
集合是具有某种特定性质的事物的总 体，事物称为元素。
表示方法
集合通常用大写字母A、B、C等表示 ，元素用小写字母a、b、c等表示。 如果元素a属于集合A，则记作a∈A。
文氏图定义
文氏图是一种用图形表示集合及其关系的方法，通过图形中的重叠部分表示集合的交集、 并集等运算结果。
应用场景
当涉及多个集合的复杂运算时，文氏图可以直观地展示各个集合之间的关系，帮助我们更 好地理解运算过程。
举例
假设有三个集合A、B和C，它们的文氏图表示了三个集合之间的交集、并集等关系。通过 文氏图，我们可以清晰地看出各个集合之间的重叠部分，从而方便地进行复杂的集合运算 。
可数性的判断方法
可数集与不可数集
可数集是指能与自然数集建立一 一对应关系的无限集合；不可数 集则不能与自然数集建立一一对 应关系。
通过构造一一映射或反证法等方 法来判断一个无限集合是否为可 数集。
可数集的性质
可数集的任何子集都是可数集； 可数个可数集的并集仍然是可数 集。
集合的交并补运算
集合的交并补运算集合是数学中的基本概念之一，广泛应用于各个领域。
集合的交、并和补运算是集合论中重要的概念，它们用于描述和操作不同集合之间的关系。
本文将详细介绍集合的交、并和补运算。
一、集合的交运算集合的交运算是指两个集合中共有的元素构成的新集合。
用符号∩表示集合的交运算。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∩B={3}。
集合的交运算有以下几个特性：1. 交换律：对任意集合A和B，有A∩B=B∩A。
2. 结合律：对任意集合A、B和C，有(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
3. 吸收律：对任意集合A和B，有A∩(A∪B)=A。
4. 通用性：对于任意的集合A、B和C，如果A∩B=A∩C，则B=C。
通过集合的交运算，我们可以得到两个或多个集合共有的元素，这有助于我们进行更精确的描述和操作。
二、集合的并运算集合的并运算是指两个集合中所有元素构成的新集合。
用符号∪表示集合的并运算。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。
集合的并运算有以下几个特性：1. 交换律：对任意集合A和B，有A∪B=B∪A。
2. 结合律：对任意集合A、B和C，有(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
3. 吸收律：对任意集合A和B，有A∪(A∩B)=A。
4. 通用性：对于任意的集合A、B和C，如果A∪B=A∪C，则B=C。
集合的并运算能够将两个集合中的所有元素进行合并，形成一个更大的集合。
通过并运算，我们可以得到两个或多个集合的总体情况。
三、集合的补运算集合的补运算是指在全集中减去一个集合中的元素，得到一个新的集合。
用符号-表示集合的补运算。
例如，全集为U={1,2,3,4,5}，集合A={1,2}，则A的补集为A'={3,4,5}。
集合的补运算有以下几个特性：1. 对偶律：对任意集合A，有(A')'=A。
2. 同一律：对任意集合A，有A∪A'=U，A∩A'={}。
集合的运算(交集、并集、补集)
AB
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
解： A∪B ={x|0<x ≤2} ∩ {x|1<x ≤ 3} = {x|0 < x ≤ 3}
【新知识】 由并集的定义可知，对任意的两个集合A、B,有
– (1)A∪B= B∪ A – (2)A∪ A = A, A ∪ ∅ = ������ – (3)A⊆ A∪B,B⊆ A∪B
x-y=4
解:解方程组 x+y=0，得 x=2，所以A∩B={（2，-2）}。
x-y=4
y=-2
【想一想】能否把 {（2，-2）} 写作 {2，-1} ？
例3 设A={x|-1<x ≤2}，B={x|0<x ≤ 3},求A∩B。 分析：这两个集合都是用描述法表示的集合，并且元素无法一一列举出来。 这两个集合都可以在数轴上表示出来，观察数轴上表示的两个集合，可以得 到这两个集合的交集。
A A∩B B
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
解： A∩B ={x|-1<x ≤2} ∩ {x|0<x ≤ 3} = {x|0 < x ≤ 2}
【新知识】
由交集的定义可知，对任意的两个集合A、B,有
– （1） A ∩ B= B ∩ A – （2） A ∩ A=A， A ∩ ∅= ∅ – （3） A ∩ B⊆ ������, A ∩ B ⊆ ������
A
B
A∩B=∅
B AA B
、 【知识巩固】
例1 设A={2，3，5}，B={-1,0,1,2},求A∩B。 解： A∩B={2，3，5} ∩ {-1,0,1,2}={2}
例2 设A={(x,y)|x+y=0},B= {(x,y)|x-y=4},求A∩B。
集合的交并补
§1.3集合的基本运算集合的交并补学习目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义．会求两个简单集合的并集和交集. 2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.3.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．知识点一并集思考并集定义中“x∈A或x∈B”包含三种情况，你知道有哪三种情况吗？答案“x∈A或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．可用图表示．知识点二交集思考 在交集的定义中“x ∈A 且x ∈B ”与“x ∈(A ∩B )”是等价的吗？答案 “x ∈A 且x ∈B ”与“x ∈(A ∩B )”是等价的，即由既属于A ，又属于B 的元素组成的集合为A ∩B . 知识点三 全集与补集 1．全集(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U . 思考 全集一定是实数集R 吗？答案 不一定．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R ，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z . 2．补集自然语言 对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁U A符号语言 ∁U A ＝{x |x ∈U 且x ∉A }图形语言思考 ∁U A 包含哪三层意思？答案 ①A ⊆U ；②∁U A 是一个集合，且∁U A ⊆U ；③∁U A 是由U 中所有不属于A 的元素构成的集合．1．全集一定含有任何元素．( ) 2．集合∁R A ＝∁Q A .( )3．一个集合的补集一定含有元素．( ) 4．存在x 0∈U ，x 0∉A ，且x 0∉∁U A .( ) 5．设全集U ＝R ，A ＝x1x >1，则∁U A ＝x1x ≤1.( ) 答案 1.× 2.× 3.× 4.× 5.×1.已知表示集合M ＝{－1,0,1}和P ＝{0，1,2,3}关系的Venn 图如图所示，则阴影部分表示的集合是________．答案{0,1}解析由题中Venn图得，阴影部分表示的集合是M∩P，因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，所以M∩P＝{－1,0,1}∩{0,1,2,3}＝{0,1}．2．设集合M＝{0,1,2}，N＝{1,2,3}，则M∩N＝________，M∪N＝________. 答案{1,2}{0,1,2,3}解析∵M＝{0,1,2}，N＝{1,2,3}，∴M∩N＝{1,2}，M∪N＝{0,1,2,3}．3．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|1≤x≤2}，则A∪B＝________.答案{x|x>0}解析A∪B＝{x|x>0}∪{x|1≤x≤2}＝{x|x>0}．4．已知集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－2<x<3}，则A∩B＝________.答案{x|1<x<3}解析因为A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－2<x<3}，所以A∩B＝{x|1<x<3}．一、并集的运算例1(1)设集合A＝{－1,0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}，则A∪B等于() A．{－2} B．{－2,3}C．{－1,0，－2} D．{－1,0，－2,3}答案 D解析因为A＝{－1,0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}＝{－2,3}，所以A∪B＝{－1,0，－2,3}．(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于()A．{x|x>－2} B．{x|x>－1}C．{x|－2<x<－1} D．{x|－1<x<2}答案 A解析在数轴上表示出集合A与B，如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．反思感悟并集的运算技巧(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值．跟踪训练1已知集合M＝{0,1,3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N等于() A．{0} B．{0,3}C．{1,3,9} D．{0,1,3,9}答案 D解析易知N＝{0,3,9}，故M∪N＝{0,1,3,9}．二、交集的运算例2(1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B等于() A．{1} B．{4}C．{1,3} D．{1,4}答案 D解析因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；当x＝2时，y＝3×2－2＝4；当x＝3时，y＝3×3－2＝7；当x＝4时，y＝3×4－2＝10.即B＝{1,4,7,10}．又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}答案 A解析在数轴上表示出集合A与B，如图所示．则由交集的定义，知A∩B＝{x|0≤x≤2}．反思感悟交集运算的注意点(1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为①定义法，②数形结合法．(2)若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．跟踪训练2 若A ＝{x ∈N |1≤x ≤10}，B ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{2}B ．{3}C ．{－3,2}D ．{－2,3}答案 A解析 易知A ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B ＝{－3,2}，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{2}．三、并集、交集性质的应用例3 已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，集合B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．解 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论． ①当B ＝∅时，k ＋1>2k －1，∴k <2. ②当B ≠∅，则根据题意如图所示：根据数轴可得k ＋1≤2k －1，－3<k ＋1，2k －1≤4，解得2≤k ≤52. 综合①②可得k 的取值范围是kk ≤52.延伸探究把本例中的条件“A ∪B ＝A ”换为“A ∩B ＝A ”，求k 的取值范围． 解 ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .又∵A ＝{x |－3<x ≤4}，B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}， 可知B ≠∅.由数轴(如图所示)可知k ＋1≤－3，2k －1≥4，解得k ∈∅，即当A ∩B ＝A 时，k 的取值范围为∅.反思感悟 利用集合交集、并集的性质解题的技巧(1)在进行集合运算时，若条件中出现A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B ，应转化为A ⊆B ，然后用集合间的关系解决问题，并注意A ＝∅的情况． (2)集合运算常用的性质：①A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ；②A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；③A ∩B ＝A ∪B ⇔A ＝B .跟踪训练3 (1)A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，B ＝{x |a <x <4}，若A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．3≤a <4 B ．－1<a <4 C ．a ≤－1 D ．a <－1答案 C解析 利用数轴，若A ∪B ＝R ，则a ≤－1.(2)设集合M ＝{x |－2<x <5}，N ＝{x |2－t <x <2t ＋1，t ∈R }．若M ∩N ＝N ，则实数t 的取值范围为________． 答案 {t |t ≤2}解析 由M ∩N ＝N ，得N ⊆M .故当N ＝∅，即2t ＋1≤2－t ，t ≤13时，M ∩N ＝N 成立；当N ≠∅时，由图得2－t <2t ＋1，2t ＋1≤5，2－t ≥－2，解得13<t ≤2.综上可知，所求实数t 的取值范围为{t |t ≤2}．四、交、并、补集的综合运算例2 已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，求A ∩B ，(∁U A )∪B ，A ∩(∁U B )，∁U (A ∪B )，(∁U A )∩(∁U B )，∁U (A ∩B )，(∁U A )∪(∁U B )．解 如图所示．∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，∴∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x<－3或2<x≤4}，A∪B＝{x|－3≤x<3}．故A∩B＝{x|－2<x≤2}，(∁U A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}，∁U(A∪B)＝{x|x<－3或3≤x≤4}，(∁U A)∩(∁U B)＝{x|x<－3或3≤x≤4}，∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或2<x≤4}，(∁U A)∪(∁U B)＝{x|x≤－2或2<x≤4}．反思感悟解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．跟踪训练2已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4，7,8}，求A∩B，A∪B，(∁U A)∩(∁U B)，A∩(∁U B)，(∁U A)∪B.解方法一(直接法)：由已知易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，∁U A＝{1,2,6,7,8}，∁U B＝{1,2,3,5,6}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{1,2,6}，A∩(∁U B)＝{3,5}，(∁U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．方法二(Venn图法)：画出Venn图，如图所示，可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1,2,6}，A∩(∁U B)＝{3,5}，(∁U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．五、与补集有关的参数值的求解例3已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2或x≥3}，B＝{x|2m＋1<x<m＋7}，若(∁U A)∩B＝B ，求实数m 的取值范围． 解 因为A ＝{x |x ≤－2或x ≥3}， 所以∁U A ＝{x |－2<x <3}，因为(∁U A )∩B ＝B ，所以B ⊆(∁U A )． 当B ＝∅时，即2m ＋1≥m ＋7， 所以m ≥6，满足(∁U A )∩B ＝B .当B ≠∅时，由2m ＋1<m ＋7，2m ＋1≥－2，m ＋7≤3无解．故m 的取值范围是{m |m ≥6}．反思感悟 利用补集求参数应注意两点(1)与集合的交、并、补运算有关的参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形．(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集． 跟踪训练3 已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |x <－1或x >0}．若A ∩(∁R B )＝∅，求实数a 的取值范围．解 ∵B ＝{x |x <－1或x >0}， ∴∁R B ＝{x |－1≤x ≤0}，要使A ∩(∁R B )＝∅，结合数轴分析(如图)， 可得a ≤－1.即实数a 的取值范围是{a |a ≤－1}．含字母的集合运算忽视空集或检验典例 (1)已知M ＝{2，a 2－3a ＋5,5}，N ＝{1，a 2－6a ＋10,3}，M ∩N ＝{2,3}，则a 的值是( ) A ．1或2 B ．2或4C ．2D ．1答案 C解析 ∵M ∩N ＝{2,3}，∴a 2－3a ＋5＝3， ∴a ＝1或2.当a ＝1时，N ＝{1,5,3}，M ＝{2,3,5}，不合题意； 当a ＝2时，N ＝{1,2,3}，M ＝{2,3,5}，符合题意．(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－2x ＋a －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则a 的取值范围为________． 答案 {a |a ≥2}解析 由题意，得A ＝{1,2}．∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ， ∴当B ＝∅时，(－2)2－4(a －1)<0，解得a >2；当1∈B 时，1－2＋a －1＝0，解得a ＝2，且此时B ＝{1}，符合题意； 当2∈B 时，4－4＋a －1＝0，解得a ＝1，此时B ＝{0,2}，不合题意． 综上所述，a 的取值范围是{a |a ≥2}． 【素养提升】(1)经过数学运算和逻辑推理后，要代入原集合进行检验，这一点极易被忽视． (2)在本例(2)中，A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，B 可能为空集，极易被忽视．1．(多选)满足{1}∪B ＝{1,2}的集合B 可能等于( ) A ．{2} B ．{1} C ．{1,2}D ．{1,2,3}2．若集合M ＝{－1,0,1,2}，N ＝{x |x (x －1)＝0}，则M ∩N 等于( ) A ．{－1,0,1,2} B ．{0,1,2} C ．{－1,0,1}D ．{0,1}3．已知集合M ＝{a,0}，N ＝x ∈Z0<x <52，如果M ∩N ≠∅，则a 等于( )A ．1B ．2C ．1或2 D.524．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{0,1,2}，则M ∪N ＝________.5．若集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |x ≤－1或x ≥4}，则A ∪B ＝________，A ∩B ＝________. 6．设U ＝R ，A ＝{x |－1<x ≤0}，则∁U A 等于( ) A ．{x |x ≤－1或x >0} B ．{x |－1≤x <0} C ．{x |x <－1或x ≥0} D ．{x |x ≤－1或x ≥0}7．已知集合A ＝{3,4，m }，集合B ＝{3,4}，若∁A B ＝{5}，则实数m ＝________.【答案与解析】1、答案 AC解析 ∵{1}∪B ＝{1,2}，∴B 可能为{2}或{1,2}． 2、答案 D解析 N ＝{0,1}，M ∩N ＝{0,1}． 3、答案 C 解析∵N ＝x ∈Z0<x <52＝{1,2}， 又∵M ＝{a,0}，M ∩N ≠∅，∴a ＝1或a ＝2. 4、答案 {－1,0,1,2}解析 M ∪N 表示属于M 或属于N 的元素构成的集合，故M ∪N ＝{－1,0,1,2}． 5、答案 R {x |4≤x <5}解析 借助数轴可知A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |4≤x <5}．6、答案 A解析 因为U ＝R ，A ＝{x |－1<x ≤0}， 所以∁U A ＝{x |x ≤－1或x >0}． 7、答案 5解析 ∵∁A B ＝{5}，∴5∈A ，且5∉B .∴m ＝5.1．知识清单：(1)并集、交集的概念及运算． (2)并集、交集运算的性质． (3)求参数值或范围． 2．方法归纳：正难则反的补集思想、数形结合、分类讨论． 3．常见误区：(1)由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论． (2)求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍．。
离散数学---集合的基本运算
E
A
B
广义的并集
集合的并(union)：集合A和B的并AB定义 为：AB = {x | xA或者xB}，集合的并可 推广到多个集合，设A1, A2, …, An都是集合， 它们的并定义为：
A1A2∪…An = {x | 存在某个i，使得xAi}
广义的交集
集合的交(intersection)：集合A和B的并AB定义 为：AB = {x | xA而且xB}，集合的交也可推广 到多个集合，设A1, A2, …, An都是集合，它们的交 定义为：
集合的化简
化简((ABC)(AB))-((A(B-C))A) 证明:原集合=(AB)-A(吸收律)
=(AB)A =(AA)(BA)(分配律)
=(BA) =BA
(互补律) (同一律)
集合包含的性质
• AE •如果ABC，则AC •ABAA∪B •AB A∪B=B AB=A ~B ~A
利用集合等式证明
求证：A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
(A-B)∩(A-C)＝A∩~B∩A∩~C =A∩~B∩~C =A∩~(B∪C) =A-(B∪C)
证明吸收律A（AB）=A
证明：A（AB） =（A）（AB） =A（B） =A =A
已知AB=AC,AB=AC,求证B=C
6、零一律 A∩=，A∪E=E
（A∩B）=A∪B
7、补余律 A∩A=，A∪A=E
10、双重否定律（A）=A
8、吸收律 A∪（A∩B）=A
注：A-B=A∩B
A∩（A∪B）=A
集合相等的证明的方法
一、利用集合的定义证明； 二、利用集合等式证明；（常用） 三、利用谓词公式证明； 四、用集合成员表。（略）
即AB={xxA且x BxB且x A}
集合交集并集补集
集合交集并集补集1. 什么是集合集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的、互不相同的元素构成的整体。
集合的元素可以是数字、字母、词语等等。
2. 集合的表示方法集合可以通过列举元素的方式表示，也可以通过描述性方式表示。
例如，集合A可以表示为：A={a, b, c}；集合B可以表示为：B={1, 2, 3}。
3. 集合的运算集合之间可以进行交集、并集和补集的运算，下面我们分别来介绍这三种运算。
3.1 交集交集是指两个集合中共有的元素构成的新集合。
记作A∩B。
例如，设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}。
3.2 并集并集是指两个集合中所有元素构成的新集合。
记作A∪B。
例如，设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}。
3.3 补集补集是指在全集中不属于某个集合的所有元素构成的新集合。
记作A’。
例如，设全集为U={1, 2, 3, 4, 5}，集合A={1, 2, 3}，则A’={4, 5}。
4. 集合交集并集补集的性质集合交集、并集和补集具有一些重要的性质，下面我们来逐一介绍。
4.1 交换律交换律是指对于任意两个集合A和B，有A∩B = B∩A和A∪B = B∪A。
4.2 结合律结合律是指对于任意三个集合A、B和C，有(A∩B)∩C = A∩(B∩C)和(A∪B)∪C= A∪(B∪C)。
4.3 分配律分配律是指对于任意三个集合A、B和C，有A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)和A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)。
4.4 对偶律对偶律是指对于任意一个集合A，有(A’)’ = A。
4.5 吸收律吸收律是指对于任意两个集合A和B，有A∩(A∪B) = A和A∪(A∩B) = A。
5. 集合交集并集补集的应用集合交集、并集和补集在数学中有着广泛的应用。
下面我们来介绍其中的一些应用。
5.1 概率论在概率论中，集合交集、并集和补集可以用来表示事件之间的关系和运算。
关于集合的交并补运算
关于集合的交并补运算我们来看这样一个例题．例已知集合，，．求（1）（）（）（2）（）；（3）（）（）（4）（）．利用数形结合的思想，将满足条件的集会在数轴上—一表示出来，从而求集会的交集、并集、补集，既简单又直观，这是最基本最常见的方法．本例题可先在数轴上画出集合，，，然后求出，，，，就能逐一写出各小题的结果，有条件的还可以设计多媒体教学课件．展现这一全过程．解利用数轴工具，画出集会，，的示意图，如下图．可以得到，，，，．从而可求得（1）（）（）．（2）（）．（3）（）（）．（4）（）．认真观察不难发现：（）＝（）（）；（）＝（）（）．这个发现是偶然的呢？还是具有普遍的意义呢？为了提高学生分析问题和解决问题的能力，培养他们探索研究的思维品质和创新意识，也让学生体验数形结合思想方法解题的要领和重要性．我们可以做两方面的工作：（1）让学生自己编拟一道集合运算的例题，并验证上述等式是否成立；（2）设计一套维恩图来验证上述等式（有条件的可设计一多媒体课件来展示并验证）．第（1）方面的工作让学生自己尝试，我们来做第（2）方面的工作：我们来看四个图：细心观察、领会，我们能够看出：图1–20的阴影部分是；图1–21的阴影部分是（）；图1–22的阴影部分是（）；图1–23的阴影部分是（），或者是（）（）．从图1–23我们已经得到（）＝（）（）；从图1–20我们也可得到（）＝（）（）．一般地，对于任意集合，，下列等式成立．（1）（）＝（）（）；（2）（）＝（）（）．这就是著名的德·摩根定律，它可以叙述为：，交集的补集等于，的补集的并集；，并集的补集等于，的补集的交集．有了课本上的知识和德·摩根定律，将使我们对一些问题产生新的认识：1．再一次观察图1–20，1–21，1–22，1–23，我们发现，实际上集合，把全集分成了四部分．如右图．注：做成电脑课件，配上色彩或闪动，会更精彩．有了这种观念，解类似下面的例题就方便多了．例已知全集，，是的两个子集，且满足＝，＝，（）（）＝．求集合和．解法一（直接解法）依题意，＝，则，且．从而知3，5，且．同理，由，知7，19，且7，19．由（）（）＝，知2，17，且2，17．因为，观察11和13这两个元素，不外乎下面几种情况：①若11，11，则，且，这与（）（）＝矛盾；②若11，11，则，这与＝矛盾；③若11，11，则，这与＝矛盾；④若11，11，则．同理，．于是我们可以把这些数字填入集合，，得，．解法二（利用图）由图，知，＝，＝，（）（）＝．可直接将中元素一一填入图各自的集合．所以，，．解法一充分利用已知条件，将肯定属于或肯定不属于集合，的元素确定下来，再逐一验证其他的元素分别属于哪个集合．这种方法比较抽象．解法二数形结合，一目了然．二种方法能培养我们不同的思维品质，都是学好数学不可缺少的．2．帮助理解集合与逻辑用语的关系．设全集，，，则有①；②；③；④；⑤（是的充分条件）；⑥（是的充分条件）；⑦（）＝（）（）；⑧（）＝（）（）．。
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关于集合的交并补运算
我们来看这样一个例题．
【例】已知集合U ＝｛x ∈R ｜1＜x ≤7｝，A ＝｛x ∈R ｜2≤x ＜5｝，B ＝｛x ∈R ｜3≤x ＜7｝．求：
（1）（U C A ）∩（U C B ）；
（2）U C （A ∩B ）；
（3）（U C A ）∪（乙B ）；
（4）U C （A ∪B ）．．
利用数形结合的思想，将满足条件的集合在数轴上一一表示出来，从而求集合的交集、并集、补集，既简单又直观，这是最基本最常见的方法．本例题可先在数轴上画出集合U 、A 、B ，然后求出A ∩B ，A ∪B ，U C A ，U C B ，就能逐一写出各小题的结果，有条件的还可以设计多媒体教学课件，展现这一全过程．
解：利用数轴工具。
画出集合U 、A 、B 的示意图，如下图．
可以得到，A ∩B ＝｛x ∈R ｜3≤x ＜5｝，
A ∪
B ＝｛x ∈R ｜2≤x ＜7｝，
U C A ＝｛x ∈R ｜1＜x ＜2｝∪｛x ｜5≤x ≤7｝，
U C B ＝｛x ∈R ｜＜x ＜3｝∪｛7｝．
从而可求得
（1）（U C A ）∩（U C B ）；｛x ∈R ｜1＜x ＜2｝∪｛7｝．
（2）U C （A ∪B ）＝｛x ∈R ｜1＜x ＜2｝∪｛7｝．
（3）（U C A ）∪（U C B ）＝｛x ∈R ｜1＜x ＜3｝∪｛x ∈R ｜5≤x ≤7｝．
（4）U C （A ∩B ）＝｛x ∈R ｜1＜x ＜3｝∪｛x ∈R ｜5≤x ≤7｝．
认真观察不难发现：
U C （A ∪B ）＝（U C A ）∩（U C B ）；
U C （A ∩B ）＝（U C A ）∪（U C B ）．
这个发现是偶然的呢?还是具有普遍的意义呢?
为了提高学生分析问题和解决问题的能力，培养他们探索研究的思维品质和创新意识，同时也让学生体验数形结合思想方法解题的要领和重要性，我们可以做两方面的工作：
（1）让学生自己编拟一道集合运算的例题，并验证上述等式是否成立；
（2）设计一套韦恩图来验证上述等式（有条件的可设计一多媒体课件来展示并验证）． 第（1）方面的工作让学生自己尝试，我们来做第（2）方面的工作．
我们来看四个图：
（1） （2）
（3） （4）
细心观察、领会，我们能够看出：
图（1）的阴影部分是A ∩B ；
图（2）的阴影部分是B ∩（U C A ）；
图（3）的阴影部分是A ∩（U C B ）；
图（4）的阴影部分是U C （A ∪B ），或者是（U C A ）∩（U C B ）．
从图（4）我们已经得到U C （A ∪B ）＝（U C A ）∩（U C B ）；
从图（1）我们也可得到U C （A ∩B ）＝（U C A ）∪（U C B ）．
一般地，对于任意集合A 、B ，下列等式成立．
（1）U C （A ∩B ）＝（U C A ）∪（U C B ）；
（2）U C （A ∩B ）＝（U C A ）∩（U C B ）．
这就是著名的德·摩根定律，它可以叙述为：A 、B 交集的补集等于A 、B 的补集的并集；A 、B 并集的补集等于A 、B 的补集的交集．。