基本不等式的几种应用技巧

基本不等式
当且仅当 a b时等号成立
ab ab ( a 0, b 0) 2

ab a b 2 2
2 2
常用不等式串
2 ab ab
当且仅当
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ab
a b 时等号成立
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最值定理
已知x,y都是正数：
（１）如果积
最小值 ２ p
xy
1 y x8 2 x 2 x 8 2 x 2
一正
1 2x 8 2x 2 2
2
8
二定
当且仅当 2 x 8 2 x,即x 2时等号成立
从而y有最大值８ .
三相等
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题型三：拆项 例３.当


值
，此时x=
４ .求函数y
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x ３ . 已知 x 0, 求函数 y 2 的最大值 . x 3x 4 2
x 5
2
x 4
的最小值 .
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方法分析
x 1
x 2 3x 1 时，求函数 y x 1
的值域.
对于常见的分子为二次式，分 母为一次式的分式函数求最值，我 们常将分子中的变量凑成分母的形 式，然后分离分式，再用基本不等 式解决。
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解： x
1， x 1 0， x 2 3x 1 x 12 ５ x １ ５ y
是定值p，那么当且仅当 x
y
时，和x
y
有
（２）如果和x 大值
y是定值s，那么当且仅当 x y 时，积 xy 有最
1 2 S 4
定积求和，和最小；定和求积，积最大
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应用基本不等式应注意的事项
（１）各项必须为正值
（２）含变量的各项和或积必须为定值 （３）必须有自变量值能使函数值取到“=”号
1 1 １ １ 正解： 2x y x y x y
y 2x 3 3 2 2 x y
“1”代 换法
y 2x 当且仅当 即 y 2 x 时，等号成立. x y
1 x y 2x 2 2 而 2 2 x y 1 y 2 2
ymin 3 2 2
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题型五：等号不成立，改用单调性
例５.已知 ，求函数 0 ， 2
的最小值.
2 y sin sin
解 ：
0， ， 0 sin 1， 2
2 2 y sin 2 sin sin sin
1 xy 即 2 2 号过渡，而这两次取 xy 2 2
1 1 1 2 2 2 2 4 2 x y xy

1
运用基本不等式取“=” “=”号的条件是不同 的，故结果错.
1 1 即 的最小值为4 2. x y
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1 １ 例４. 已知 x, y R , 若2 x y 1,求 的最小值 x y
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蒙城六中
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陈涛
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最值问题始终是高考数学的热点题 型之一，而利用基本不等式求函数的 最值是应用比较广泛且方便的解题方 法。本节课我们将对基本不等式应用 过程中的注意事项及常用的变形技巧 做简单的梳理。
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即
一不正, a 0, b 0常用a b 2 ab
二不定, 需变形
三不等, 常用单调性
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基本不等Leabharlann Baidu的几种应用技巧
练一练
4 1. 已知 x 2, 求函数 y x 的最大值 . x2
２ .若0 x 2, 则函数 y x 8 2 x 2 有最
2 令sinα t, 则y t a , t 0,1 你还记得函数y x t , a 0 x

2 时,
ymin 3
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小结
利用基本不等式求最值
（１）注意事项：一正，二定，三相等； （２）形式上不符合条件的，应先变形，再用基本不等 式，常用变形方法有： 添项，凑系数，拆项， “１”的代换等方法. （３）取不到等号时，用函数单调性求最值.
题型二：添项
6 例２函数 y 3x x 2 1 的最小值是
2
Ａ.３ ２３ Ｃ.６ ２
Ｂ.３ Ｄ６ . ２３
（ ）
方法提示
对于求和的表达式的最值计算，若 要用基本不等式解决，就要努力构造含 变量的表达式乘积为定值的结构，我们 常通过添项来解决。
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“一正,二定,三相等”
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题型一：基本不等式的直接应用
例１已知 x, y R xy的最大值为 ________。

x y ，且满足 ＝１，则 ３ ４
分析：因为x ,y都大于０，因此对所给条件直接运用基 本不等式即可得到x.y相应的不等式
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当且仅当sin 等号成立.
2 2
2时，
2 时，即sin sin
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又0 sin 1,原函数不能取最小值 2 2.
2 的单调性么？ y t 在0,1上单调递减， t
当 t 1 时，即sin 1, y有最小值 .
x 1
x 1
5 5 x 1 5 2 x 1 ５ x 1 x 1
2 5 5
当且仅当x 1 5,即x 5 1时等号
2
成立，故原函数的值域 为２ ５５，
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题型四：“１”的整体代换
1 １ 例４.已知 x, y R , 若2 x y 1,求 的最小值 x y 解 x 0，y 0 错因：解答中两次 ： 1 2 x y 2 2 xy
题型三：凑系数 例3.已知
方法提示
0 x 4 ，求 y x8 2 x 的最大值。
对于求积的表达式的最值计算，若 要用基本不等式解决，就要努力构造 含变量的表达式的和为定值的结构， 我们常通过凑相应的变量系数来解决。
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０ x 4,8 2 x 0 解：
6 6 2 解 : y 3x 2 ＝３ x １ 2 ３ 二定 x 1 x 1 6 2 x １ x 2 1 ３＝６ ２３ ２ ３ 6 2 当且仅当３ x １ 2 时，等号成立 x 1
2




即ymin ６ ２３
三相等
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x 0, y 0, 解：
x y x y １＝ ２ ３ ４ ３ 4 xy 3
一正
x y 当且仅当 ，即 x 6, y 8时取等号， 3 4
xy 于是 １， 3
xy 3，
故xy的最大值为３ .
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