鲁教版七年级上册数学知识
鲁教版数学目录(七年级)
七年级上册第一章三角形1.认识三角形（定义、分类、三边关系、有关的线段）2.图形的全等3.探索三角形全等的条件4.三角形的尺规作图5.利用三角形全等测距离第二章轴对称1.轴对称现象2.探索轴对称的性质3.简单的轴对称图形（线段、角、等腰三角形、垂直平分线性质、角的平分线的性质）4.利用轴对称进行设计综合与实践七巧板第三章勾股定理1.探索勾股定理2.一定是直角三角形吗3.勾股定理的应用举例第四章实数1.无理数2.平方根3.立方根4.估算5.用计算器开方6.实数综合与实践计算器运用与功能探索第五章位置与坐标1.确定位置2.平面直角坐标系3.轴对称与坐标变化第六章一次函数1.函数2.一次函数（正比例函数、一次函数）3.一次函数的图象4.确定一次函数的表达式5.一次函数的应用七年级下册第七章二元一次方程组1.二元一次方程组2.解二元一次方程组3.二元一次方程组的应用4.二元一次方程组与一次函数5.三元一次方程组综合与实践哪一款“套餐”更合适第八章平行线的有关证明1.定义与命题2.证明的必要性3.基本事实与定理4.平行线的判定定理5.平行线的性质定理6.三角形的内角和定理（外角）第九章概率初步1.感受可能性2.频率的稳定性3.等可能事件的概率第十章三角形的有关证明1.全等三角形2.等腰三角形3.直角三角形4.线段的垂直平分线5.角平分线第十一章一元一次不等式与一元一次不等式组1.不等关系2.不等式的基本性质3.不等式的解集4.一元一次不等式5.一元一次不等式与一次函数6.一元一次不等式组综合与实践生活中的“一次模型”。
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鲁教版初一数学上、下册知识点烟台鲁东大学商学院08级经济学1班 李建鹏第二章 有理数及其运算考点一：有理数的分类有理数的另一种分类想一想：零是整数吗?自然数一定是整数吗?自然数一定是正整数吗?整数一定是自然数吗?零是整数；自然数一定是整数；自然数不一定是正整数，因为零也是自然数；整数不一定是自然数，因为负整数不是自然数判断正误①不带“－”号的数都是正数 ( )②如果a 是正数，那么－a 一定是负数 ( )③不存在既不是正数，也不是负数的数 ( )④０℃表示没有温度 ( ) 考点二：数轴有理数整数分数正整数负整数0 负分数正分数自然数 正有理数 零负有理数正整数 正分数 负整数负分数有理数 含正有限小数和无限循环小数 含负有限小数和无限循环小数1、填空①规定了唯一的，和(三要素)的直线叫做数轴。
②比－3大的负整数是_______；已知ｍ是整数且-4<m<3，则ｍ为_______________。
③有理数中，最大的负整数是____，最小的正整数是____。
最大的非正数是__。
④与原点的距离为三个单位的点有____个，他们分别表示的有理数是________。
2、选择题①下列数轴画法正确的是( )②在数轴上，原点及原点左边所表示的数是（）Ａ整数Ｂ负数Ｃ非负数Ｄ非正数③下列语句中正确的是（）Ａ数轴上的点只能表示整数Ｂ数轴上的点只能表示分数Ｃ数轴上的点只能表示有理数Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来考点三：相反数相反数:只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0。
在数轴上位于原点两侧且离原点距离相等。
1、填空①-2的相反数是；它的倒数是；它的绝对值是。
②|-3|的相反数是；它的倒数是；它的绝对值是。
③相反数是它本身的数是；倒数是它本身的数是；绝对值是它本身的数是。
2、选择①的若a和b是互为相反数，则a+b＝（）A 、–2aB 、2bC 、0D 、任意有理数②下列说法正确的是（ ）A 、–1/4的相反数是0.25B 、4的相反数是-0.25C 、0.25的倒数是-0.25D 、0.25的相反数的倒数是-0.25③用-a 表示的数一定是（ ）A 、负数B 、正数C 、正数或负数D 、都不对④一个数的相反数是最小的正整数，那么这个数是（ ）A 、–1B 、1C 、±1D 、03、判断①互为相反的两个数在数轴上位于原点两旁（ ）②在一个数前面添上“-”号，它就成了一个负数（ ）③ 只要符号不同，这两个数就是相反数（ ）4、计算：已知和 的值互为相反数，求x 的值。
鲁教版(五四制)七上数学第一章三角形单元综合复习课件
10．用尺规画直角的正确方法是( C ) A．用量角器 B．用三角板 C．平分平角 D．作两个锐角互余
【解析】用尺规作图时要使用没有刻度的直 尺和圆规作图．
11．已知四边形ABCD是平行四边形，如图，把△ABD 沿对角线BD翻折180°得到△A′BD.利用尺规作出 △A′BD.(要求保留作图痕迹，不写作法)
解：因为AD⊥BC，所以∠BDA＝90°. 因为∠B＝60°，所以∠BAD＝180°－90°－60°＝30°. 因为∠BAC＝80°， 所以∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝80°－30°＝50°. 因为 AE 平分∠DAC，所以∠DAE＝12∠DAC＝25°.
3．下列图形中，是全等图形的有( C ) A．2组 B．3组 C．4组 D．5组
解：如图，连接AC，BD，交于点O，公共展厅应建 在O处．理由如下： 在平面上任取一点P，P与O不重合，连接 PA，PB，PC，PD，则PA＋PC>AC，PB＋PD>BD， 即PA＋PC＋PB＋PD>AC＋BD＝AO＋BO＋CO＋DO， 所以建在点O处，四个工艺品厂到公共展厅的距离之 和最短．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，且AC＝ BC＝4 cm.已知△BCD≌△ACE，求四边形 AECD的面积． 【解析】线段AC把四边形AECD分成 两部分，我们把△ACE移至△BCD的 位置，使之与△ACD恰好构成△ACB， 进而可求面积．
(2)以∠AEC为内角的三角形有哪些？ 【解析】用字母表示一个三角形时，不要漏 写符号“△”．在复杂图形中数三角形个数 的方法：按组成三角形的图形个数去数；
(完整版)鲁教版七年级数学上册复习知识点总结
21DCBADCBA 鲁教版初二上数学知识点梳理第一章 三角形⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示.注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义．⒉ 三角形的分类： (1)按边分类：(2)按角分类：⒊ 三角形的主要线段的定义：（1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线.2.BD=DC=BC.12注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部；③三角形三条中线交于三角形内部一点；④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线.2.∠1=∠2=∠BAC.12注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形直角三象形斜三角形锐角三角形钝角三角形_C _BDCBA③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；④用量角器画三角形的角平分线．（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.2.AD ⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；③三角形三条高所在直线交于一点．如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.4．三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．5. 三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180 ;（三角形的内角和定理）(2) 直角三角形的两个锐角互余.6．三角形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性．注意：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性.7．三角形全等：全等形：能够完全重合的图形叫做全等形.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.对应顶点、对应边、对应角：把两个全等的三角形重合到一起.重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.图5图6图7图8三角形全等的判定方法：1. 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）.2. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.3. 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.4.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）.⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 S S S 全等形全等三角形应用边角边 S A S 判定角边角 A S A 角角边 A A S 斜边、直角边 H L 作图 角平分线性质与判定定理三角形全等的应用：测距离要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
鲁教版五四制初一上册数学知识点
山东版六年级上第一章丰富的图形世界§1.1.1生活中的立体图形多角度观察、认识立体图形。
§1.1.2图形是由点(point)、线（line）、面（plane）、构成的。
点动成线，线动成面，面动成体。
§1.2.1展开与折叠1、在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做棱(edge),相邻两个侧面的交线叫做侧棱。
2、人们通常根据棱柱底面图形的边数，将棱柱分为三、四、五......棱柱。
长方体和立方体都是四棱柱。
3、认识棱柱的顶点、棱、面。
§1.2.21、将立方体沿某些棱剪开，认识其平面图形。
2、了解正多边形：边长相等，角也相等的多边形。
§1.3截一个几何体1、用一个平面去截一个几何体，截出的图形叫截面。
2、认识不同的截面。
§1.4从不同方向看1、从不同方向，不同角度观察立体图形、物体画出不同的视图。
2、主视图：把从正面看到的图叫做主视图；俯视图：从上面看到的图叫俯视图；左视图：从左面看到的图叫左视图。
3、俯视图通常画在主视图的下面，左视图通常画在主视图的左面。
§1.4.2画几何体的主视图、俯视图、左视图。
§1.5生活中的平面图形1、三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形（polygon）,它们都是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形。
2、圆上A、B两点之间的部分叫做弧（arc）,由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形（sector）.第二章有理数及其运算§2.1 有理数引入负数1、比赛得分与扣分。
带“—”号的得分比0分低。
生活中的负数，温度、收支、盈亏等等。
2、像5、1.2、1/2......这样的数叫做正数（positive number）,它们都比0大。
在正数前面加“—”号的数叫做负数（negative number）,如-10，-3，-1......3、零既不是正数，也不是负数。
七年级数学上册第一章三角形1认识三角形第1课时课件鲁教版五四制
至D. 因为∠ACE =∠A， 所以CE∥AB，
所以∠DCE =∠B，
又因为 ∠ACE+∠DCE +∠ACB =180°，
所以 ∠A+∠B+∠C=180°.
三角形分类
锐角三角形 （三个内角都是锐角）
直角三角形 （有一个内角是直角）
钝角三角形 （有一个内角是钝角）
【探究新知】
“直角三角形ABC”用“Rt△ABC”表示.
C
此图中有几个三角形？ 你能表示出来吗?
DE B
6个，△ABD, △ADE, △AEC, △ABE, △ADC, △ABC.
【想一想】
三角形的三个内角有什么关系? 三角形三个内角的和等于180°. 小学里，是用什么方法得到三角形内角和为180°的 结论的？
将一个三角形的三个角撕下来，拼在一起，可以得到 三角形的内角和为180°.
三边可表示为AB，BC，AC，顶点A所对的边BC也 可表示为a，顶点B所对的边AC也可表示为b，顶点 C所对的边AB也可表示为c.
【揭示新知】
1.当表示三角形时，字母没有先后顺序.
2.如图，我们把BC(或a）叫做A的对边，把AB（或c）、 AC（或b）叫做A的邻边.
A
c
b
B
a
C
如果我说三角形有三要素,
3.（苏州·中考）△ABC的内角和为（ ）
(A)180°
(B)360°
(C)540°
(D)720°
【解析】选A.根据三角形的内角和为180°，得△ABC
的内角和为180°，故A正确.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.三角形的概念. 2.三角形的内角和为180°. 3.三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之 差小于第三边. 4.直角三角形两个锐角互余.
鲁教版 初一数学上册知识点【 总结归纳】
鲁教版初一数学上册知识点【总结归纳】初一数学（上）应知应会的知识点代数初步知识代数式是指用运算符号“＋－×÷……”连接数及表示数的字母的式子。
字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义。
单独一个数或一个字母也是代数式。
在列代数式时，需要注意以下几点：数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“·”乘，或省略不写；数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“·”乘，也不能省略乘号；数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a；带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a×1/3应写成a/3；在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成的形式；a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a。
几个重要的代数式包括：a与b的平方差是a-b，a与b差的平方是(a-b)²；若a、b、c是正整数，则两位整数是10a+b，三位整数是100a+10b+c；若m、n是整数，则被5除商m余n 的数是5m+n；偶数是2n，奇数是2n+1；三个连续整数是n-1、n、n+1；若b＞0，则正数是a+b，负数是-a-b，非负数是a，非正数是-a。
有理数有理数是指能写成p/q（p、q为整数且q≠0）形式的数，包括正整数、负整数、正分数、负分数。
注意：既不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；π不是有理数。
在有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性。
1.对于实数a，a≥0当且仅当a是非负数；a≤0当且仅当a是非正数。
2.数轴是一条直线，其中规定了原点、正方向和单位长度。
3.相反数是指符号相反的两个数中的一个。
例如，a的相反数为-a。
鲁教版七年级数学知识点总结
鲁教版七年级数学知识点总结七年级上册数学复习资料有理数有理数的分类1.如果按定义分，有理数可以分为整数(正整数;负整数;0)和分数(正分数，负分数)。
如果按正、负分，有理数可以分为正有理数(正整数;正分数)、0、负有理数(负整数;负分数)。
2.所有的有理数都可以用分数表示，π不是有理数。
数轴1.数轴的定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
相反数1.只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
(0的相反数是0)绝对值1.数轴上一点a到原点的距离表示a的绝对值。
2.绝对值的性质：非负性。
3.正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
有理数的大小1.正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
2.两个负数，绝对值大的反而小。
有理数的加法1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两个数相加得0。
一个数同0相加，仍得这个数。
3.在有理数的加法中，加法交换率：两个数相加，交换加数的位置，和不变。
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。
有理数的减法减去一个数，等于加这个数的相反数。
有理数的乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与0相乘后得0。
倒数：乘积是1的两个数互为倒数。
乘法交换律：乘法交换律两个数相乘,交换因数的位置,积不变。
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变。
乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
有理数的除法除以某个不为0数等于乘与这个数的倒数两数相除同号为正，异号为负，并把绝对值相除0除以任何一个不等于0的数，都等于0。
有理数的混合运算1.运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。
如果是同级运算，则按从左到右的运算顺序计算。
如果有括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。
鲁教版初一数学上册知识点总结
鲁教版初一数学上册知识点总结初一数学课本知识点一元一次方程的应用1.一元一次方程解应用题的类型(1)探索规律型问题;(2)数字问题;(3)销售问题(利润=售价﹣进价，利润率=利润进价×100%);(4)工程问题(①工作量=人均效率×人数×时间;②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量);(5)行程问题(路程=速度×时间);(6)等值变换问题;(7)和，差，倍，分问题;(8)分配问题;(9)比赛积分问题;(10)水流航行问题(顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度﹣水流速度).2.利用方程解决实际问题的基本思路：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答。
列一元一次方程解应用题的五个步骤(1)审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系.(2)设：设未知数(x)，根据实际情况，可设直接未知数(问什么设什么)，也可设间接未知数.(3)列：根据等量关系列出方程.(4)解：解方程，求得未知数的值.(5)答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句.七年级数学复习知识点实数知识点一实数的分类1、按定义分类：2.按性质符号分类：注：0既不是正数也不是负数.知识点二实数的相关概念1.相反数(1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数.0的相反数是0.(2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.(3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.2.绝对值|a|≥0.3.倒数(1)0没有倒数(2)乘积是1的两个数互为倒数.a、b互为倒数.4.平方根(1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根.一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根.a(a≥0)的平方根记作.(2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根.a(a≥0)的算术平方根记作.5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根.一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零.知识点三实数与数轴数轴定义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可.知识点四实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大;两个负数;绝对值大的反而小.鲁教版初一数学上册知识点。
鲁教版-初一数学上册知识点【-总结归纳】教学内容
鲁教版-初一数学上册知识点【-总结归纳】收集于网络，如有侵权请联系管理员删除初一数学（上）应知应会的知识点代数初步知识1. 代数式：用运算符号“＋ － × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式（字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式）2.列代数式的几个注意事项：（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写；（2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号；（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a ×5应写成5a ；（4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a ×211应写成23a ； （5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a 写成a3的形式；（6）a 与b 的差写作a-b ，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a 、b 时，则应分类，写做a-b 和b-a .3.几个重要的代数式：（m 、n 表示整数）（1）a 与b 的平方差是： a 2-b 2 ； a 与b 差的平方是：（a-b ）2 ；（2）若a 、b 、c 是正整数，则两位整数是： 10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c ；（3）若m 、n 是整数，则被5除商m 余n 的数是： 5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数是： n-1、n 、n+1 ；（4）若b ＞0，则正数是:a 2+b ，负数是： -a 2-b ，非负数是： a 2 ，非正数是：-a 2 . 有理数1.有理数：收集于网络，如有侵权请联系管理员删除(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4)自然数⇔ 0和正整数；a ＞0 ⇔ a 是正数；a ＜0 ⇔ a 是负数；a ≥0 ⇔ a 是正数或0 ⇔ a 是非负数；a ≤ 0 ⇔ a 是负数或0 ⇔ a 是非正数.2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)注意： a-b+c 的相反数是-a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ；(3)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； (3) 0a 1a a>⇔= ； 0a 1a a<⇔-=；收集于网络，如有侵权请联系管理员删除(4) |a|是重要的非负数，即|a|≥0；注意：|a|·|b|=|a ·b|, ba b a=. 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；倒数是本身的数是±1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a . 13．有理数乘方的法则：收集于网络，如有侵权请联系管理员删除（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；（3）a 2是重要的非负数，即a 2≥0；若a 2+|b|=0 ⇔ a=0,b=0；（4）据规律 ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===100101101.01.0222底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位.15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.19.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.整式的加减1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。
鲁教版初一上册数学知识点梳理
侧面是曲面底面是圆面圆柱，:⎩⎨⎧侧面是正方形或长方形底面是多边形棱体柱体，:侧面是曲面底面是圆面圆锥，:⎩⎨⎧侧面都是三角形底面是多边形棱锥锥体，:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧有理数⎪⎩⎪⎨⎧)3,2,1:()3,2,1:( 如负整数如正整数整数)0(零⎪⎩⎪⎨⎧----)8.4,3.2,31,21:( 如负分数分数)8.3,3.5,31,21:( 如正分数初一数学知识点汇总 第一章 丰富的图形世界¤1.¤2.¤3. 球体：由球面围成的（球面是曲面） ¤4. 几何图形是由点、线、面构成的。
①几何体与外界的接触面或我们能看到的外表就是几何体的表面。
几何的表面有平面和曲面；②面与面相交得到线； ③线与线相交得到点。
※5. 棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做棱．。
※6. 侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱．．，所有侧棱长都相等。
¤7. 棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是长方形。
¤8. 根据底面图形的边数，人们将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三边形、四边形、五边形、六边形…… ¤9. 长方体和正方体都是四棱柱。
¤10. 圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。
¤11. 圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成。
第二章 有理数及其运算※※数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。
※任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。
※如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
（0的相反数是0）※在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。
¤数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。
正数在原点的右边，负数在原点的左边。
※绝对值的定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。
鲁教版七年级数学上册复习知识点总结
21D CB AD CBA鲁教版七年级数学上册复习知识点总结第一章 三角形⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边；三个内角；三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点； 三角形ABC 用符号表示为△ABC ；三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示；AC 可用b表示；BC 可用a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上；且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记；单独的△没有意义．⒉ 三角形的分类： (1)按边分类： (2)按角分类：⒊ 三角形的主要线段的定义：（1）三角形的中线三角形中；连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线.2.BD=DC=12BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交；这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线.2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；三角形 等腰三角形不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形 三角形 直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 _C_B _ADCBA③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；④用量角器画三角形的角平分线．（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线；顶点和垂足之间的线段．表示法：1.AD是△ABC的BC上的高线.2.AD⊥BC于D.3.∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部；直角三角形有两条高是边；钝角三角形有两条高在形外；③三角形三条高所在直线交于一点．如图5；6；7；三角形的三条高交于一点；锐角三角形的三条高的交点在三角形内部；钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部；直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.4．三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．5. 三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180 ;（三角形的内角和定理）(2) 直角三角形的两个锐角互余.6．三角形的稳定性：三角形的三边长确定；则三角形的形状就唯一确定；这叫做三角形的稳定性．注意：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性.7．三角形全等：全等形：能够完全重合的图形叫做全等形.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.对应顶点、对应边、对应角：把两个全等的三角形重合到一起.重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.图5 图6 图7图8三角形全等的判定方法：1. 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.2. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.3. 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.4. 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）.⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理三角形全等的应用：测距离要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
鲁教版数学七年级上册第一章第三节探索三角形全等的条件(1)
学习内容1.3.探索三角形全等的条件（1）总第课时周课时主备人学习目标经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理，。
重难点掌握三角形的“边边边”条件，了解三角形的稳定性，训练学生分析问题和解决问题的能力。
实施过程设计培养学生主要环节教学内容教学策略活动时间教师活动学生活动设计自学指导三、精讲点拨动手画:三角形的一个内角为30°,一条边为3 cm.这三个三角形不全等.那如果三角形的两个内角分别是30°和50°时,所画的三角形又如何呢?画的三角形形状一样,但大小不一样.如图.这两个三角形不能重合,即不全等.如果给定三角形的两边分别为4 cm,6 cm,那么所画出的三角形全等吗?也不全等.如图.我们通过画图、观察、比较知道,只给出一个条件或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等.那给出三个条件时,又怎样呢?如果给出三个条件画三角形,你能说出有哪几种可能的情况?下面我们来逐一探索.做一做:(1)已知一个三角形的三个内角分别为40°,60°,80°.你能画出这个三角形吗?把你画的三角形与同伴画的进行比较,它们一定全等吗?(2)已知一个三角形的三条边分别为4 cm,5 cm和7 cm,你能画出这个三角形吗?把你画的三角形与同伴画的进行比较,它们一定全等吗?通过比较得知:给出三角形的三个内角,得到的三角形不一定全等.那给出三角形的三条边又如何呢?下面我们来做一个实验.取三根长度适当的木条,用钉子钉成一个三角形的框架,你所得到的框架的形状固定吗?用四根木条钉成的框架的形状固定吗?做实验时,可用细纸条代替木条.实验后分组讨论.用三根木条钉成的三角形框架是固定的,用四根木条钉成的框架,它的形状是可以改变的.看屏幕(演示图).教师引导，点拨大家来议一议.学生讨论回答通过作图我们知道:已知三角形的三条边画三角形,则画出的所有三角形全等.这样就得到了三角形全等的条件:三边对应相等的两个三角形全等.简写为“边边边”或“SSS”.四、反思拓展图(1)是用三根木条钉成的三角形框架,它的大小和形状是固定不变的,三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.三角形的稳定性在生产和生活中是很有用的.如:房屋的人字梁具有三角形的结构,它就坚固和稳定了.图(2)的形状是可以改变的,它不具有稳定性.例1如图，已知AB=AC，AD=AE，BDCE，那么△ABD与△ACE全等吗？△ABE与△ACD全等吗？请说明理由。
鲁教版(五四制)初中数学七年级上册_尺规作图数学史
尺规作图数学史尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等.这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》之中.初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径r 时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是1一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形.·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA==.3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段2.做一角等于已知角3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m、n的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？【分析】这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P应是它们的交点.【解析】⑴作两条公路夹角的平分线OD或OE；⑵作线段AB的垂直平分线FG；则射线OD，OE与直线FG的交点1C，C就是发射塔的位置.2⑵代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例2】只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】设半径为1.也就是说用这个长度去等分圆周.我们的任务就是做出这个长度..一直角边为1的长度自然就出来了.【解析】具体做法：⑴随便画一个圆.设半径为1.⑵先六等分圆周.⑶以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2，.）⑷⑶旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.【例3】已知：直线a、b、c，且a b c∥∥.求作：正ABC，使得A、B、C三点分别在直线a、b、c上.c b aD'DC B Acb a【分析】 假设ABC ∆是正三角形，且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b ⊥于D ，将ABD ∆绕A 点逆时针旋转60︒后，置于'ACD ∆的位置，此时点'D 的位置可以确定.从而点C 也可以确定.再作60BAC ∠=︒，B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.【解析】 作法：⑴ 在直线a 上取一点A ，过A 作AD b ⊥于点D ；⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ；⑶ 过'D 作''D C AD ⊥，交直线c 于C ；⑷ 以A 为圆心，AC 为半径作弧，交b 于B (使B 与'D 在AC 异侧).⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ∆.ABC ∆即为所求.⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例4】 已知：一锐角ABC ∆.求作:一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上.C B AG'F'E'D'GF E D C B A【分析】 先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件，作出与正方形DEFG 位似的正方形''''D E F G ，然后利用位似变换将正方形''''D E F G 放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG .【解析】 作法：⑴ 在AB 边上任取一点'G ，过'G 作''G D BC ⊥于'D⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ，且使'E 在'BD 的延长线上.⑶ 作直线'BF 交AC 于F .⑷ 过F 分别作''FG F G ∥交AB 于G ；作''FE F E ∥交BC 于E .⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D .则四边形DEFG 即为所求.⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例5】 如图，过ABC ∆的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC∆的面积.【分析】 因为中线AM 平分ABC ∆的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ 平分ABC ∆的面积，在AMC ∆中先割去AMP ∆，再补上ANP ∆.只要NM AP ∥，则AMP ∆和AMP ∆就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ∆的面积.【解析】 作法：⑴ 取BC 中点M ，连接,AM AP ;⑵ 过M 作MN AP ∥交AB 于N ；⑶ 过P 、N 作直线l .直线l 即为所求.NM P C B Al。
1.1认识三角形(第二课时)教案2024-2025学年鲁教版(五四制)七年级数学上册
解答：这个三角形的面积是6平方厘米。根据直角三角形的性质，直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半。所以面积 = (3厘米 × 4厘米) / 2 = 6平方厘米。
例题5：拓展题
题目：已知一个三角形的内角分别是45度、45度和90度，求这个三角形的类型。
解答：这个三角形是直角三角形。因为其中一个内角是90度，所以其他两个内角必须是45度，这是一个特殊的直角三角形，也称为等腰直角三角形。
4. 数据分析：通过探究三角形的性质，培养学生收集、处理和分析数据的能力，从而提高学生的数据分析素养。
5. 数学运算：在学习三角形的相关知识过程中，运用数学运算解决实际问题，提高学生的数学运算能力。
6. 直观表达：让学生能够用简洁明了的方式表达三角形的性质和特点，培养学生的直观表达能力。
教学难点与重点
二、新课讲解（15分钟）
1. 三角形的分类：首先，向学生介绍锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的定义和特点。通过展示相关图片和实例，让学生更好地理解这些概念。
2. 三角形的内角和：讲解三角形内角和定理，让学生明白任意三角形的三个内角之和总是180度。可以通过一些简单的几何图形来演示这一定理。
3. 三角形的对边和对角：讲解三角形中相对的两边称为对边，相对的两个角称为对角。通过实际操作和示例，让学生理解这一概念。
3. 三角形的分类：根据角的大小，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
4. 三角形的内角和：三角形的三个内角之和等于180度。
5. 三角形的对边和对角：三角形中，相对的两边称为对边，相对的两个角称为对角。
6. 三角形的底和高：在直角三角形中，直角边称为底，另一直角边称为高。
1.1 认识三角形(第1课时)(同步课件) (共24张PPT)七年级数学上册同步课堂(鲁教版五四制)
探索&交流
下面的图（1）、图（2）、图（3）中的三角形被遮住的两 个内角是什么角？试着说明理由.
（1）
（2）
（3）
探索&交流
思考：按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？
锐角三角形 直角三角形
钝角三角形
三个角都是锐 有一个角是直 角的三角形 角的三角形
有一个角是钝角的 三角形
探索&交流
直角三角形有许多性质,你能发现它的两个锐角之间有什么关系吗?
三角形三个内角的和等于180°.
已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证法1：过点A作l∥BC，所以∠B=∠1. (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2. (两直线平行,内错角相等) 因为∠2+∠1+∠BAC=180°， 所以∠B+∠C+∠BAC=180°.
探索&交流
l
12
证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
边： 三角形中三边 AB，BC，AC
典例精析
例1.(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？
5个，它们分别是△ABE,△ABC,
D
△BEC,△BCD,△ECD.
A
(2)以AB为边的三角形有哪些？
△ABC、△ABE.
E
（3）以E为顶点的三角形有哪些？ B
C
△ ABE 、△BCE、 △CDE.
（4）以∠D为角的三角形有哪些？
∠A和∠C的度数.
解：因为BD⊥AC，所以∠ADB=∠CDB=90°.
A
因为∠A+∠ABD+∠ADB=180°, ∠ABD=54°，∠ADB=90°，
所以∠A=180°－∠ABD－∠ADB
鲁教版七年级上册数学知识点
鲁教版七年级上册数学知识点
一、数据分析
1、统计与概率：
（1）统计：统计数据的收集、整理、分析和描述；
（2）概率：概率的定义、概率的计算、条件概率和联合概率。
2、几何：
（1）几何图形的基本性质：直线、圆、三角形等；
（2）几何图形的构造：垂线、平行线、垂直线等；
（3）几何图形的应用：三角形的面积、圆的面积、正方形的
面积等。
二、代数
1、一次函数：
（1）一次函数的定义、表示；
（2）一次函数的图像；
（3）一次函数的基本性质，如：极值点、凹凸性、最大值、
最小值等；
（4）一次函数的应用，如：折线图、柱状图、线性方程等。
2、二次函数：
（1）二次函数的定义、表示；
（2）二次函数的图像；
（3）二次函数的基本性质，如：极值点、凹凸性、最大值、最小值等；
（4）二次函数的应用，如：抛物线、椭圆等。
鲁教版七年级上册数学知识
第一章 生活中的轴对称一．轴对称现象1.轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2.两个图形成轴对称：对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴。
[例]：下列各图形哪些是轴对称图形，哪些是成轴对称？[跟踪训练]1：（1）长方形是轴对称轴图形，它的对称轴有________条 （2）正方形是轴对称图形吗？答：_____，它共有______条对称轴。
（3）圆是轴对称图形，它的对称轴有__________条。
（4）轴对称是指____个图形的位置关系；轴对称图形是指____个具有特殊形状的图形。
二．简章的轴对称图形1.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角是轴对称图形，角平分线是它的对称轴。
[注]：角平分线的画法。
OC 是∠AOB 的角平分线，D 是OC 上任意 一点，则DM=DN [跟踪训练]2：（1）如图，在△ABC 中，∠C=900，AD 平分∠BAC, BC=10,BD=6,则D 点到AB 的距离是_______ （2）如图，在△ABC 中，∠C=900，AD 平分∠BAC,DE ⊥AB,若 ∠BAD=30，则∠B=_____,DE=____.(3)如图，在△ABC 中，AB<AC,AD 为△ABC 的角平分线，P 为AD 上任意一点，求证：AC-AB>PC-PB. [提示]：在AC 上截出一点E ，使AE=AB.（4）如图，在△ABC 中，AD 为角平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC于点F,AB=10,AC=8, △ABC 的面积为27，则DE 的长为多少？2.线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
线段是轴对称图形，对称轴是它的中垂线和这条线段所在的直线。
[例]：线段AB ，l 垂直平分线段AB ，C 是l 上任意一点则AC=BC[跟踪训练]3：（1）如图，∠ABC=700, ∠A=500,AB 的垂直平分线交AC 则∠DBC=_________(2)如图，△ABC 中，DE 垂直平分AC ，AE=3, △ABD 的周长为13，那么△ABC 的周长为______。
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第一章生活中的轴对称一．轴对称现象1.轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2.两个图形成轴对称：对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴。
[例]：下列各图形哪些是轴对称图形，哪些是成轴对称？[跟踪训练]1：（1）长方形是轴对称轴图形，它的对称轴有________条（2）正方形是轴对称图形吗？答：_____，它共有______条对称轴。
（3）圆是轴对称图形，它的对称轴有__________条。
（4）轴对称是指____个图形的位置关系；轴对称图形是指____个具有特殊形状的图形。
二．简章的轴对称图形1.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角是轴对称图形，角平分线是它的对称轴。
[注]：角平分线的画法。
OC是∠AOB的角平分线，D是OC上任意一点，则DM=DN[跟踪训练]2：（1）如图，在△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC,BC=10,BD=6,则D点到AB的距离是_______（2）如图，在△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC,DE⊥AB,若∠BAD=30，则∠B=_____,DE=____.(3)如图，在△ABC中，AB<AC,AD为△ABC的角平分线，P为AD上任意一点，求证：AC-AB>PC-PB.[提示]：在AC上截出一点E，使AE=AB.（4）如图，在△ABC中，AD为角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F,AB=10,AC=8,△ABC的面积为27，则DE的长为多少？2.线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
线段是轴对称图形，对称轴是它的中垂线和这条线段所在的直线。
[例]：线段AB，l垂直平分线段AB，C是l上任意一点则AC=BC[跟踪训练]3：（1）如图，∠ABC=700,∠A=500,AB的垂直平分线交AC于D, 则∠DBC=_________(2)如图，△ABC中，DE垂直平分AC，AE=3,△ABD的周长为13，那么△ABC的周长为______。
(3)如图，公路l同帝有两工厂A.B，现要求在公路上建一仓库。
①若要使仓库到A,B两工厂的距离相等，仓库应建在何处？②若要使仓库到A,B两工厂的距离之和最短，仓库应建在何处？3.等腰三角形是轴对称图形。
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
等腰三角形的两个底角相等（等边对等角，等角对等边）。
[跟踪训练]4：（1）已知等腰三角形一边等于3，一边等于6，那么它的周长等于______。
（2）等腰三角形的一个内角为1500，则它的底角为__________。
等腰三角形的一个内角为500，则它的底角为___________。
（3）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=360,BD 平分∠ABC,求∠1的度数。
4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。
等边三角形除等腰三角形的性质外，它的边都相等，三内角都相等。
[跟踪训练]5：（1）等腰三角形有______条对称轴；等边三角形有____条对称轴；矩形有____条对称轴；正方形有_____条对称轴；圆有_____条对称轴。
（2）如图，已知AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC于E，ED的延长线交CA的延长线于F，那么△ADF是等腰三角形吗？为什么？5.直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
如图：在Rt△ABC中，∠BAC=300,则BC=21AB.（可用右图进行证明：右图是两个全等的直角三角形，其中∠BAC=300，∠ACB=900。
）三．探索轴对称的性质1.轴对称的性质（1）关于某条直线对称的两个图形是全等图形。
（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂平分。
（3）成轴对称图形的两个图形的对应线段相等，对应角相等。
2.轴对称图形的性质（1）轴对称图形对应点的连线被对称轴垂直平分。
（2）轴对称图形的对应线段相等，对应角相等。
[跟踪训练]6：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E点在AD上，利用轴对称的性质说明BE=CE. 四．镜面对称：镜中的物体与本物的左右位置和顺序与实际情况恰恰相反。
如右图所示。
[跟踪训练]7：画出下面各图的镜面对称图形。
[跟踪训练]8：现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑。
如图（1）（2）所示。
观察图（1），（2）中涂黑部分构成的图案。
它们具有如下特征：①都是轴对称图形，②涂黑部分都是三个小正三角形。
请在图（3），（4）内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征。
[跟踪训练]9：如图，在△ABC中，BC 边的垂直平分线DE交BC于D，交AC 于E，BE=5cm，△BCE的周长是18cm，求BC的长。
第二章勾股定理一．探索勾股定理1.[探索]：(1)观察上图（图中每个小方格代表一个单位面积）正方形I中含有_______个小方格，即I的面积是________个单位面积。
正方形II中含有______个小方格，即II的面积是________个单位面积。
正方形III中含有______个小方格，即III的面积是________个单位面积。
（2）[思考]：根据上面的信息，我们能得到I、II、III图形面积有怎样的关系？（3）仔细观察上面的图形，三个图形分别是什么图形？即图I、II、III的面积可用字母ɑ,b,c怎样表示？（4）根据（2）（3）中的信息，我们能得到关于ɑ,b,c怎样的等量关系？（5）观察上图中由ɑ,b,c为三边的三角形是什么三角形？2.[教师总结]：勾股定理如果直角三角形两直角边分别为ɑ,b,斜边为c，那么ɑ2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
[跟踪训练]1：求出下列直角三角形中未知边的长度[跟踪训练]2：探索大正方形的面积的表示方法，从而验证一个定理。
如图所求：（1）把右图看成一个大正方形，则大正方形的面积可用__________=___________,又可以把大正方形的面积看成由四个直角三角形和一个内部正方形组成，则面积可表示为____________________。
（2）则由（1）可验证出一个什么定理？____________________________。
二．勾股数1.如果三角形的三边长ɑ,b,c满足ɑ2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
满足ɑ2+b2=c2的三个整数ɑ,b,c，称为勾股数。
[跟踪训练]3：判别下列各组数是否为直角三角形。
（1）5，12，13；（2）7，24，25；（3）8，15，17.（4）9，12，15三．勾股定理的应用举例有一个棱柱，它的底面是边长为2.5厘米的正方形，侧面都是长为12厘米的长方形。
在棱柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路是多少？[分析]：将棱柱沿侧棱剪开，展成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么？第二章[勾股定理练习题]1.如图1所求，在△ABC中，∠C=900。
（1）若b=12,ɑ=16，则c=___________；（2）若ɑ=40，c=41，则b=___________;（3）若ɑ:b=12:5,c=39,则ɑ=______，b=_______。
2.如图2，一根旗杆在离地面5m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前有多高？3.一个零件如图3所示，已知AC=3cm，AB=4cm,BD=12cm,∠A=∠CBD=900,求CD的长。
4.如图4，在四边形ABCD中，∠BAD=900,∠CBD=900,且AD=4,AB=3,BC=12,求正方形DCEF的面积。
5.一艘船从小岛出发，向正南方向航行了80千米，然后向正西航行到离小岛170千米的地方，这艘船向正西方向航行了多远？6．矩形纸片ABCD中，AD=4cm,AB=10cm,如图5方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=_______cm。
6．如图6，长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从A出发，沿长方体表面到达C处，则绳子最短是________。
7.一架梯子斜靠在墙上，已知梯子长2.5米，且测得墙与梯子底端相距0.7米，那么此时墙高为___________米。
8.在Rt△ABC的斜边AB上另作Rt△ABD，并以AB为斜边，若BC=1,AC=b,AD=2,则BD2=______9.如图7，在Rt△ABC中，∠ACB=900,AC=12,BC=5,AM=AC,BN=BC,则MN=_________ 10.一辆装满贷物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图8的某工厂，则这辆车能否通过厂门，并说明理由。
11．在直线l上依次摆放着七个正方形，如图9所求，已知倾斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=__________. 12.如图10,四边形ABCD中,AC⊥BD,请你判断AB2+CD2与AD2+BC2之间的关系,并说明理由.第三章实数 一．无理数1.有理数总可以用有限小数或无限循球小数表示，反过来，任何有限小数或无限循球小数也都是有理数（有理数是由整数和分数组成的）。
…………这样的数既不是有限小数也不是无限循球小数，但它们也是确实存在的数，那么我们把这样的无限不循球．．．小数叫做无理数。
[跟踪训练]1：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14，-34……（相邻两个1之间0的个数逐次加2）。
[跟踪训练]2：在-71，0.304，2π……（两个1之间依次多1个2），1312，-32中， 正数集合{……} 负数集合{……} 有理数集合{……} 无理数集合{……} 二．平方根1.概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”。
特别地，我们规定0的算术平方根是0，即0=0。
[跟踪训练]3：求下列各数的算术平方根：（1）900（2）1（3）6449（4）14 [分析]：因为302=900，所以900的算术平方根是30，即900=30。
[跟踪训练]4：（1）一个数的算术平方根是4，这个数是____________。
（2）求下列各式的值：144=81.0=(56)2=256=(3)填写下表：(4)一个自然数的算术平方根为a ，则比这个自然数小1的数的算术平方根是什么？2.平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根。