在双曲线中有关中点弦存在性问题的探索
双曲线中点弦k值
双曲线中点弦k值引言双曲线是一种重要的数学曲线，具有广泛的应用。
在双曲线中，中点弦是一条连接双曲线上两点的线段，而k值则是中点弦的斜率。
本文将深入探讨双曲线中点弦k 值的性质和计算方法。
双曲线的定义双曲线是平面上的一种曲线，其定义可以通过以下方程表示：x2 a2−y2b2=1其中，a和b分别是双曲线的两个参数。
中点弦的定义在双曲线上任意选择两点P和Q，并连接它们得到的线段PQ称为双曲线的中点弦。
中点弦的斜率k可以通过以下公式计算：k=y2−y1 x2−x1其中，(x1, y1)和(x2, y2)分别是中点弦的两个端点的坐标。
中点弦k值的性质1.中点弦k值与双曲线的参数有关。
具体而言，对于给定的双曲线，不同的中点弦具有不同的k值。
当双曲线的参数a和b固定时，中点弦k值的范围是(-∞, ∞)。
2.中点弦k值的绝对值越大，中点弦越接近于垂直于x轴或y轴的直线。
当k值趋近于0时，中点弦趋近于水平于x轴的直线；当k值趋近于无穷大时，中点弦趋近于垂直于x轴的直线。
3.中点弦k值的正负表示中点弦的方向。
当k值为正时，中点弦向右上方倾斜；当k值为负时，中点弦向右下方倾斜。
中点弦k值的计算方法计算中点弦k值的方法如下： 1. 确定双曲线上的两个点P和Q，记录它们的坐标(x1, y1)和(x2, y2)。
2. 使用中点弦的斜率公式计算k值：k=y2−y1 x2−x13. 可以使用计算器或计算机软件来计算k值，确保准确性和高效性。
中点弦k值的应用中点弦k值在数学和物理学中具有广泛的应用。
以下是一些应用的例子： 1. 数学建模：通过计算双曲线上不同中点弦的k值，可以对双曲线的形状和性质进行研究和建模。
2. 物理学：双曲线在物理学中的应用非常广泛，例如在光学中描述光的传播路径、在力学中描述粒子的轨迹等。
中点弦k值可以用来分析和计算这些物理过程中的相关参数。
3. 工程学：在工程学中，双曲线的应用包括电路分析、信号处理、通信系统设计等。
二次曲线中点弦问题求解方法探析
二次曲线中点弦问题求解方法探析二次曲线中点弦问题求解方法探析本科学生毕业论文（设计）题目二次曲线中点弦问题求解方法探析姓名张清玉学号 104080406 院系数学学院专业数学与应用数学指导教师（职称/学历）张绍宗（副教授）2021年 4月 10日云南师范大学教务处1二次曲线中点弦问题求解方法探析云南师范大学数学学院本科毕业论文（设计）任务书系别：数学学院专业：数学与应用数学班级：10数E班学生姓名：张清玉学号：104080406 论文题目：二次曲线中点弦问题求解方法探析一、毕业论文（设计）的目的（一）培养学生综合运用所学知识进行科学研究和独立分析问题、解决问题的能力，培养学生严谨的科学态度，实事求是和认真负责的工作作风。
（二）通过撰写毕业论文（设计），进一步深化所学知识，运用正确的研究方法，收集相关资料，进行调查研究，提高写作能力。
（三）进一步加深对基础理论的理解，扩大专业知识面，完成教学计划规定的基本理论、基本方法和基本技能的综合训练，力求在收集资料、查阅文献、调查研究、方案设计、外文应用、计算机处理、撰文论证、文字表达等方面加强训练，实现所学知识向能力的转化。
（四）鼓励学生勇于探索和大胆创新。
二、毕业论文（设计）的要求（一）毕业论文（设计）选题应符合本专业培养目标的要求，具有理论意义和实际价值。
（二）毕业论文（设计）有一定的深度和广度，份量适中。
（三）毕业论文（设计）的正文内容文题相符，结构合理，层次分明，合乎逻辑;概念准确，语言流畅;论点鲜明,论据充分,自圆其说。
（四）毕业论文（设计）应当反映出学生查阅文献、获取信息的能力，综合运用所学知识分析问题与解决问题的能力，研究方案的设计能力，研究方法和手段的运用能力，外语和计算机的应用能力及团结协作能力。
（五）毕业论文（设计）书写格式规范，符合《云南师范大学数学学院全日制本科生毕业论文（设计）管理实施细则》的要求。
指导教师（签字）：主管院、系领导（签字）：2021年4月10日2二次曲线中点弦问题求解方法探析云南师范大学数学学院本科生论文（设计）任务书一、毕业论文设计目的一.研究意义1.直线与二次曲线相交所得中点弦问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题及高考命题的常用素材和热点问题.2.二次曲线在数学高考中为必考知识点，主要考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程、几何性质以及与直线的位置关系和求轨迹方程等．涉及的数学思想方法主要有:数形结合思想、函数与方程的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想、整体思想以及配方、换元、构造、待定系数法等数学方法． 3.圆锥曲线为载体在知识网络的交汇点设计问题也是近几年来数学高考的一大特点，以考查学生的应变能力以及分析问题和解决问题的能力．4.本文就圆锥曲线的“ 中点弦” 问题中的求中点弦方程、求与中点弦有关的轨迹问题作归纳总结，帮助学生有效解决二次曲线中点弦这一大难题.二、毕业论文设计内容要求1、毕业论文（设计）选题内容应结合实际现状，有据有理，给出充分的参考文献，并在文中加以标注，有研究意义及价值。
双曲线中点弦结论
双曲线中点弦结论
双曲线是几何学中一类特殊的曲线，与椭圆、圆等曲线相比，双曲线的几何性质较为复杂，其中一个重要结论就是点弦结论，它被广泛应用于各类理论分析和数学运算中。
双曲线中点弦结论是16世纪哥白尼发现的一个重要定理，其原
理是：一个双曲线上任意一点，如果将此点与该双曲线上另一点相连，形成一条直线，则这条直线必然能够在双曲线上切出另一点。
简言之就是：任意一个双曲线上的点都可以成另一点，形成弦的线段，因此双曲线的每一点都可以通过另一个点来表示。
以双曲线方程及经典点弦结论为例，双曲线的定义式如下：
x2/a2 - y2/b2 = 1
其中a、b分别是该双曲线的两个焦距，可以根据该公式判断出
双曲线的位置、类型甚至结构，并进而得出结论。
双曲线点弦定理指出：任意一个双曲线上的点，如果将此点与该双曲线上另一点相连，则该线段必然也在双曲线上，而不是该双曲线的对称轴或附近的曲线上。
此外，每条线段上的中点，都是该双曲线上的一个点，这意味着双曲线上的每个点都可以通过另一个点来描述，这就是双曲线中点弦结论。
点弦结论在几何学中有重要应用，它可以用来解决不少复杂的几何问题，例如：双曲线的对称性、对称轴及其他特性，还有双曲线上任意点的位置及线段的位置等等。
此外，双曲线点弦定理也可以用来求解其他几何形状的面积等问
题，可以用来求解自然界的复杂现象，例如：地球的重力场、电磁场等；也可以用于物理学、力学等物理知识的求解过程。
总之，双曲线中点弦定理是一种重要且有效的定理，其主要原理是可以将双曲线上的任意一点，通过另一点相连而形成弦的线段，并且每条线段上的中点，都是该双曲线上的一个点，此定理具有较强的实用性，有着广泛的应用前景。
在双曲线中有关中点弦存在性问题的探索
在双曲线中有关中点弦存在性问题的探索在双曲线中有关中点弦存在性问题的探索(浙江省宁波市鄞州中学数学组315101)黄富眷直线和圆锥曲线的位置关系,是解析几何中最主要的题型,这类问题涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段的中点,弦长等.解决的方法往往采用数形结合思想,"设而不求"的方法和韦达定理.其中椭圆,双曲线,抛物线的中点弦存在性问题是相当常见的.由于椭圆和抛物线的弦的中点必在曲线的内部因此相对较简单,而双曲线的弦的中点可以在曲线的内部和外部,所以双曲线的中点弦存在性问题就值得我们去探索.例己知双曲线方程.一Y.===2.(1)求以P(2,1)为中点的双曲线弦所在的直线方程.(2)过点Q(1,1)能否作直线z,使Z与所给的双曲线交于A,B两点,且点Q是弦AB的中点?这样的直线z如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.解:(1)设以P(2,1)为中点的弦两端点为A(x,Y),B(x.,Y.)两点,由于A,B在双曲线上,则有2x;一Yi=1,2z;一Y;===1,两式相减得2(1+2)(l—2)一(1+Y2)(l—Y2)=0,由已知:l+2===4,Y1+Y2=2,又据对称性知思路:这个花圃分为6个部分,但6个部分不是只有一公共点的,不能应用前述的思路和方法.若将第1部分视为一点,则转化为上述的问题.于是我们分为两大步进行:第一步:确定第1部分的栽种方法,可以从4种颜色的花中任选一种,有4种方法.第二步:确定第2,3,4,5,6这5个部分的栽种方法,按要求只能从余下的3种颜色的花中选取. 现将第一部分视为一点,形成只有一个公共点的5 个部分的情形.分别考察一区域被分成3,4,5个小区域的情形,各小区域均只有一公共点(如图6),设它们的栽种方法分别是口3,口4,口5.≠.,所以丛二丝一4.即AB一4.所求中点Xl—2弦所在直线方程为:4x—一7=O.在解析几何中,在处理涉及弦中点的问题时,我们常用点差法思想.严格地说,求出的这个直线方程只是满足了必要性,因为我们假定过P点的直线与双曲线交于A,B两点,因此还必须验证充分性,即所求的直线确实与双曲线有两个交点.为此只要将直线方程与双曲线方程联立消(或),得△>0,就可断言充分性成立.事实上,从2-2. 一1.=7>2,也可判定P(2,1)在双曲线内部(即含焦点的区域).所以用点差法,就必须以直线与圆锥曲线相交为前提,否则不宜用此法.在利用韦达定理时,必须讨论一元二次方程的二次系数和判别式..(2)可假定直线z存在,采用(1)的方法求出l的方程为2x—Y一1=0,联立方程组O2一.2—1』:__,消Y,得2x一4x+30,lZx—Y—l—UA:(一4)一4?2—38<0,无实根.因此直线z与双曲线无交点,这一矛盾说明了满足条件的直线z不存在.幽6可以得到:口3—3×2×1=6,一3×2一口3—18,口5=3×2'～一30.即第2,3,4,5,6这5个部分不同的栽种方法有3O种.由以上两步,6个部分不同的栽种方法有4×30—120种.-o0∞年0月上半月划剥一引刈●,通过这个例题清楚地表明了以某一定点为中点的双曲线的弦的存在性问题若用点差法的思想来处理的话,可能会造成错解.所以一般地,还是采用直线与双曲线联立方程组,消元后通过一元二次方程的系数和判别式来判断直线中点弦的存在性.另外从上面的例题中可以看出,以某一定点为中点的双曲线的弦并不一定存在.显然与这个定点的坐标有关,因此在对双曲线中点弦存在性问题的探索中,笔者发现其实通过对定点所在位置的判定,可以很快地确定双曲线中点弦是否存在及弦所在直线的条数.问题已知:双曲线一=1和坐标平面上任一点P(x.,Y o),过点P能否作直线z,使z与所给的双曲线交于A,B两点,且点P是弦AB的中点?这样的z如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.解:(f)当直线l与轴垂直时,由于双曲线的对称性可知,显然只有当P(x.,O).且IoI>a时,以点P(x.,O)为中点的弦AB所在直线Z是唯一存在.(ii)当点P就在原点O上,此时可设直线Z方程为Y—,代入双曲线方程得(一a2k.)一￡0a2b=0,当k.<时,△>o,所以存在以原点为中点的弦AB,交点在左右支上,这样弦AB所在直线l有无数条.斜率为k<__O-.(iii)当直线l与轴不垂直时,且定点不在原点时,设直线Z的斜率为k,所以过点P(x.,Y.), (.≠O)的直线方程可设为:Y=忌(—.)+y..联立方程frazyZ口,消去后,整理得:IY一尼L—Xo十Y o(62一a2k)一2a.k(yo—kxo)—a.(o一.o)一a.62=0(*)若b一ak=0时,则直线l与双曲线的渐近线平行,所以不可能有弦AB.所以b一a2k.≠0, 此时,由于点P是弦AB的中点,所以有=2一裴①对于(*)的判别式A=4a'k.(一kx.).+4(b一a2k)[(一kx.).+62]-a.==:墅4a'k(o—kxo)一4a'k(o—kxo)一4a'bk+4ba(o一.o)十4ab'=4口b2Uyo—kxo).+b一a2k]②把①式代入②式得:△一(口z一62z5)(口.一6zz3一a2bz)aY o从而可得:(1)当一>1,即625一aY3>a2b.点在双曲线的内部(即含焦点的区域)时,如图1阴影区域,此时△>0,所以存在以点P为中点的弦AB,两个交点在同支上,并且这样的直线z是唯一的,斜率为忌=麓.\y/\/i:iii!iiiiiiiii!ili!iiiiii~,/慧^\/冀--|_:/,/q\\I:0.:,\\≮0,,\图ly\_.:/\=曹--/\多//\\\:.'\\.¨.\图2(2)当蔓az一<o,即3一口y'o<o<,如图2阴影区域时,此时△>0,所以存在以点P为中点的弦AB,两个交点分别在左右支上, L2..并且直线z也是唯一的,斜率为k=.(3)当o<一<1,即0<623一azY5<azb,如图3区域时,此时△<0,所以不存在以点P为中点的弦AB.(4)当一一o,即y.图3X:一a2Y5=0时,点P在渐近线上(非原点),此L2时△=0;而此时斜率kU,XO=Y o,赢线l即为aY o0渐近线,不可能与双曲线相切,从而矛盾,所以不存在以点P为中点的弦AB.综上所述,我们可以通过对定点P坐标与双曲线方程分析,及定点与双曲线的所在区域,位置的分析判定,使双曲线中以某个定点为中点的弦的存在性问题探索变得非常的容易和清晰,从而彻底地解决了这个存在性问题的讨论.-000年0丹上半月洲.刘_j『。
双曲线的中点弦什么时候存在
首先不妨把双曲线所在的平面区域分成以下几个部分:
７５
周刊
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则 有 :x２ １－y２２１ ＝１,x２２－y２２２ ＝１,两 式 相 减 ,得 :
(x１
＋x２)(x１
－x２)－
(y１
＋y２)(y１ ２
－y２)＝０
因为 P(１,２)为 AB 中点,从而x１＋x２＝２,y１＋y２＝４,
所
以
kAB
＝xy１１
－y２ －x２
＝２(yx１１＋＋yx２２
) ＝１,
故 所 求 直 线 方 程 为 y－２＝x－１,即 x－y＋１＝０.
至此,我们利用“点 差 法 ”解 决 了 双 曲 线 的 中 点 弦 问 题,
为了验证所求的直线x－y＋１＝０ 是 否 是 满 足 条 件 的 直 线, 我们将该直线方程和已知双曲线方程联立成方程组
{x２
y２ －２
中点弦存在的充要条件及其方程
两式相减， 并整理可得 2 （ x1 + x2 ） （ x1 － x2 ） = （ y1 + y2 ） （ y1 － y2 ） . x1 ≠ x2 . 由对称性可知， ʑ kl = y1 － y2 2 （ x1 + x2 ） = = 1. x1 － x2 y1 + y2
y0 ） （ 其中 x0 ， y0 不全为 0 ） ， 点 P （ x0 ， 如果 P （ x0 ， x2 y2 0 0 y0 ） 在双曲线的内部（ 即其坐标满足 2 － 2 > a b 1） ， y0 ） 为中点的弦存在 . 这一点 那么以 P （ x0 ， 与椭圆 、 抛 物 线 一 样， 我 们 没 有 疑 问， 但如果 P （ x0 ， y0 ） 在双曲线的外部（ 即其坐标满足 － x a
2 0 2
y = k （ x － x0 ） + y0 ， 2 2 消去 y 得 x － y = 1， 2 a2 b
（ b2 － a2 k2 ） x2 + 2 a2 k（ kx0 － y0 ） x － a2 （ k2 x2 0
2 － 2 kx0 y0 + y2 0 + b ） = 0，
x = x0 ， 同样可表示为 x y x0 x y0 y = + . 2 + 2 a b a b 结论 2 对于抛物线 y = 2 px（ p > 0 ） 及
2 2 0 2 2 0 2
y0 ） ， y0 ） 为中点的弦存在的 点 P （ x0 ， 以 P （ x0 ， y0 ） 在抛物线的内部（ 即其 充要条件是 P （ x0 ，
2
高中数学教与学
命题 2 y0 ） （ 其中 x0 ， y0 不 如果点 P （ x0 ， x2 y2 － = 1（ a > 0， b > 0） 的 a2 b2
双曲线中点弦 存在
双曲线中的中点弦一道课后作业题的教学所思绵阳南山中学 青树国在双曲线的教学过程中,经常会遇到对中点弦所在直线的存在性的探究。
题目有时解是存在的,有时虽然计算出来直线方程但经检验又必须舍去，而且有时检验的计算量又很大。
这部分的技巧学生掌握起来难度较大,题目丢分现象比较普遍。
在此我通过对课后习题的讲解和反思总结情况形成了一个猜想,用来判断双曲线弦的中点位置,能迅速帮助学生判断中点所在的位置是否合理,在此和大家一起分享与交流。
一、课本习题再现普通高中课程标准实验教科书，数学选修2-1（人民教育出版社A 版）第二章第三节课后习题B 组第4题：已知双曲线1222=-y x ,过点)1,1(P 能否作一条直线l ,与双曲线交于A 、B 两点,且点P 是线段AB 的中点?这是一探索性问题，通过对作业的批改，绝大多数学生有对探索性问题的解决办法即：假设——推理——验证——下结论。
具体来说普遍采用了以下两法。
法一：（设而不求）假设能作这样的直线l ，通过作图可知：直线l 的斜率显然，设其为k ，从而直线的方程为：)1(1-=-x k y 即：1+-=k kx y ，联立直线和双曲线的方程并消去未知数y 可得032)1(2)2(222=-+--+-k k x k k x k 。
（*）设),(11y x A 、),(22y x B 由题意可知1x 、2x 是方程（*）的两个根。
故022≠-k 且0)32)(2(4)1(42222>+--+-=∆k k k k k ，由题意可知：22)1(2221=---=+kk k x x ，解之得2=k ，带入判别式知0<∆，故2=k 应舍去，所以假设不成立即由题意不能作出这样的直线。
法二：（点差法）假设能作这样的直线l ，并设),(11y x A 、),(22y x B 由题意可知A 、B 在双曲线上，所以122121=-y x ①122222=-y x ②，由①-②得2)(221212121=++=--=y y x x x x y y k l ，所以直线l 的方程为：)1(21-=-x y 即12-=x y 带入双曲线方程得03422=+-x x ，032416<⨯⨯-=∆所以假设不成立，这样的直线不存在。
点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用
点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用Final approval draft on November 22, 2020点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007）圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。
它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。
本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。
定理 在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN =⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---byy a x x又.22,00021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN =⋅.典题妙解例1 已知双曲线13:22=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹；（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程. 解：（1）,3,122==b a 焦点在y 轴上.设点M 的坐标为),(y x ，由22b a x y k AB =⋅得：3121=⋅--x y x y ，整理得：.032322=+--y x y x∴所求的轨迹方程为.032322=+--y x y x（2） P 恰为弦AB 的中点，∴由2200ba x y k AB =⋅得：,3121=⋅AB k 即.32=AB k∴直线l 的方程为)2(321-=-x y ，即.0132=--y x 例2 已知双曲线22:22=-y x C 与点).2,1(P（1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围； （2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P （3）试判断以)1,1(Q 为中点的弦是否存在.解：（1）直线l 的方程为)1(2-=-x k y ，即.2k kx y -+=由⎩⎨⎧=--+=.22,222y x k kx y 得.064)2(2)2(2222=+-+---k k x k k x k 直线l 与C 有两个公共点，∴得⎪⎩⎪⎨⎧+----=∆≠-.0)64)(2(4)2(4,0222222 k k k k k k 解之得：k ＜23且.2±≠k ∴k 的取值范围是).23,2()2,2()2,( ---∞（2）双曲线的标准方程为.2,1,122222==∴=-b a y x 设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，则由2200a b x y k AB =⋅得：.1,22=∴=⋅k k 由（1）可知，1=k 时，直线l 与C 有两个公共点，∴存在这样的弦.这时直线l 的方程为.1+=x y（3）设以)1,1(Q 为中点的弦存在，则由2200a b x y k AB =⋅得：.2,21=∴=⋅k k由（1）可知，2=k 时，直线l 与C 没有两个公共点，∴设以)1,1(Q 为中点的弦不存在.例3 过点)0,2(-M 作直线l 交双曲线1:22=-y x C 于A 、B 两点，已知+=（O 为坐标原点），求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：在双曲线1:22=-y x C 中，122==b a ，焦点在x 轴上.设弦AB 的中点为Q . 由平行四边形法则知：2=，即Q 是线段OP 的中点.设点P 的坐标为),(y x ，则点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,2y x .由2222a b x y k AB =⋅得：14222=⋅+=⋅+x yx y x y x y，整理得：.0422=+-x y x配方得：144)2(22=-+y x . ∴点P 的轨迹方程是144)2(22=-+y x ，它是中心为)0,2(-，对称轴分别为x 轴和直线02=+x 的双曲线.例4. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由24y =-得)32(322-=x y ，∴3=p ，抛物线的顶点是)0,32(，准线是3213223=+-=x .∴在双曲线C 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.321,322ca c . ∴.1,3122==b a∴双曲线C 的方程为1322=-y x .（Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=.13,1222y x x y 得：0242=++x x . 设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x .∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=⨯--+=-++=x x x x k AB .（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线. 因而k a 1-=，从而41:'+-=x ky l . 设线段AB 的中点为),(00y x P . 由2200a b x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由4100+⋅-=x ky 得：k x ky 400+-=.…………………………………………………②由①、②得：3,00==y k x .由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .又由⎩⎨⎧+==-.1,1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x k直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(8422--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k .∴符合题意的k 的值存在，2±=k .金指点睛1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程为（ ） A.14322=-y x B. 13422=-y x C. 12522=-y x D. 15222=-y x2.（02江苏）设A 、B 是双曲线1222=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点. （1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么3. 已知双曲线1322=-y x ，过点)23,21(--P 作直线l 交双曲线于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹; （2）若点P 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程和弦AB 的长.4、双曲线C 的中心在原点，并以椭圆1132522=+y x 的焦点为焦点，以抛物线x y 322-=的准线为右准线.（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线)0(3:≠+=k kx y l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(6:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.参考答案1. 解：在直线1-=x y 中，1=k ，32-=x 时，35-=y . 由2200a b x y k MN =⋅得222532351a b ==--⋅. 又由⎪⎩⎪⎨⎧==+=72522222c b a a b 得5,222==b a .故答案选D.2. 解：（1）2,122==b a ，焦点在x 上. 由2200a b x y k AB =⋅得：22=⋅AB k ，∴1=AB k . ∴所求的直线AB 方程为)1(12-⋅=-x y ，即01=+-y x .（2）设直线CD 的方程为0=++m y x ，点)2,1(N 在直线CD 上， ∴021=++m ，3-=m .∴直线CD 的方程为03=-+y x .又设弦CD 的中点为),(y x M ，由22a b x y k CD=⋅得：21=⋅-xy，即x y 2-=. 由⎩⎨⎧-==-+.2,03x y y x 得6,3=-=y x .∴点M 的坐标为)6,3(-.又由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.12,0122y x y x 得)4,3(),0,1(B A -.由两点间的距离公式可知：102||||||||====MD MC MB MA . 故A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 3. 解：（1）3,122==b a ，焦点在x 上. 设点M 的坐标为),(y x .若直线l 的的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时直线l 与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l 的的斜率存在.由22ab x y k AB =⋅得：32123=⋅++x y x y ， 整理，得：0332622=-+-y x y x .∴点M 的轨迹方程为0332622=-+-y x y x .（2）由2200abx y k AB =⋅得：32123=--⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线l 方程为)21(123+⋅=+x y ，即1-=x y .由⎪⎩⎪⎨⎧-==-.1,1322x y y x 得022=-+x x ， 解之得：1,221=-=x x .4. 解：（1）在椭圆1132522=+y x 中，32,13,522=-===b a c b a ， ∴焦点为)0,32(),0,32(21F F -.在抛物线x y 322-=中，3=p ，∴准线为23=x . ∴在双曲线中，232=c a . 从而.3,3==b a ∴所求双曲线C 的方程为19322=-y x . （2）直线'l 是弦AB 的垂直平分线，∴k m 1-=，从而61:'+⋅-=x ky l . 设弦AB 的中点为),(00y x P .由2200a b x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由6100+⋅-=x ky 得：k x ky 600+-=.…………………………………………………②由①、②得：29,2300==y k x又 300+=kx y ，∴32329+⋅=kk ，即12=k . ∴1±=k . 由⎪⎩⎪⎨⎧+==-.3,19322kx y y x 得.0186)3(22=++-kx x k 直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(723622--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴1±=k 符合题意.故k 的值为1±.。
专题 以双曲线为情境的中点弦问题(解析版)高考数学专题复习
05 以双曲线为情境的中点弦问题典例分析一、求中点弦所在直线的方程1．已知双曲线222:1(0)y C x b b-=>的离心率为2，过点(3,3)P 的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，且点P 恰好是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为（ ）A ．230x y --=B ．290x y +-=C ．360x y --=D ．60x y +-=【答案】C 【解析】【分析】运用点差法即可求解【详解】由已知得21a =，又2c e a ==，222c a b =+，可得23b =.则双曲线C 的方程为2213y x -=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则221122221,31,3y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相减得()2222121203y y x x ---=，即()()()()1212121203y y y y x x x x +-+--=. 又因为点P 恰好是弦AB 的中点，所以126x x +=，126y y +=，所以直线AB 的斜率为()1212121233x x y y x x y y +-==-+，所以直线AB 的方程为33(3)y x -=-，即360x y --=.经检验满足题意2．已知直线:0l x y m -+=与双曲线2212y x -=交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点在圆225x y +=上，则m 的值是________. 【答案】±1【分析】将直线方程代入双曲线方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得AB 中点M 点坐标，代入圆的方程，即可求得m 的值．【详解】设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，线段AB 的中点0(M x ，0)y ，由22012x y m y x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，得22220x mx m ---=（判别式△0)>，122x x m +=，1202x x x m +∴==，002y x m m =+=，点0(M x ，0)y 在圆225x y +=上，则22(2)5m m +=，故1m =±.3．过点()1,1P 的直线l 与双曲线2212y x -=交于,M N 两点，且点P 恰好是线段MN 的中点，则直线l 的方程为___________.【答案】210x y --=【分析】设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，分别代入双曲线方程，两式相减，化简可得：()()()()1212121212x x x x y y y y -+=+-，结合中点坐标公式求得直线MN 的斜率，再利用点斜式即可求直线方程． 【详解】过点(1,1)P 的直线l 与该双曲线交于M ，N 两点，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，∴221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得：121212121()()()()2x x x x y y y y -+=+-，因为P 为MN 的中点，122x x ∴+=，122y y +=，12122()x x y y ∴-=-，则12122MNy y x x -==-， 所以直线l 的方程为12(1)y x -=-，即为210x y --=．4．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，经过C 的焦点垂直于x 轴的直线被C 所截得的弦长为12.(1)求C 的方程；(2)设A ，B 是C 上两点，线段AB 的中点为()5,3M ，求直线AB 的方程. 【答案】(1)221412x y -=；(2)522y x =-【分析】（1）根据已知条件求得,a b ，由此求得C 的方程.（2）结合点差法求得直线AB 的斜率，从而求得直线AB 的方程.【解析】(1)因为C 的离心率为2，所以2212b a+=，可得223b a =.将22x a b =+22221x y a b -=可得2b y a =±，由题设26b a =.解得2a =，212b =，23b =C 的方程为221412x y -=. (2)设()11,A x y ，()22,B x y ，则22111412x y -=，22221412x y -=.因此222212120412x x y y ---=，即()()()()121212120412x x x x y y y y +-+--=.因为线段AB 的中点为()5,3M ，所以1210xx +=，126y y +=，从而12125y y x x -=-，于是直线AB 的方程是522y x =-. 二、求中点弦所在直线的斜率1．直线l 交双曲线 2214x y -=于A 、B 两点，且(4,1)P 为AB 的中点，则l 的斜率为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D 【解析】【分析】设出点A ，B 的坐标，利用“点差法”求出直线l 的斜率，再验证作答.【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，因点A ，B 在双曲线 2214x y -=上，则221114x y -=，222214x y -=，两式相减得：121212121()(0)()()4x x x x y y y y +--+-=，因P 为AB 中点，则128x x +=，122y y +=，于是得2121y y x x --＝1，即直线l 的斜率为1，此时，直线l 的方程为：3y x =-，由22344y x x y =-⎧⎨-=⎩消去y 并整理得：2324400x x -+=，2244340960∆=-⨯⨯=>，即直线l 与双曲线 2214x y -=交于两点，所以直线l 的斜率为1. 2．直线l 与双曲线2212x y -=的同一支相交于,A B 两点，线段AB 的中点在直线2y x =上，则直线AB 的斜率为（ ）A ．4B ．2C ．12D ．14【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，设出,A B 两点坐标，使用点差法，带入双曲线方程作差，化简即可完成求解. 【详解】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，线段AB 的中点00(,)M x y ，由已知，,A B 两点在双曲线上，所以{x 122−y 12=1x222−y 22=1，两式做差可得01212121201··2AB y y y y y k x x x x x -+==-+，点00(,)M x y 在直线2y x =上，所以002y x =，代入上式可得14AB k =，故直线AB 的斜率为14. 3．已知双曲线2213y x -=，过点()2,1P 作一直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为________． 【答案】6【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，利用点差法可求得直线AB 的斜率.【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，则12122212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即121242x x y y +=⎧⎨+=⎩，由已知条件可得221122221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两个等式作差得()2222121203y y x x ---=，即()()()()121212123y y y y x x x x +-+-=，即()()1212243y y x x --=， 所以，直线AB 的斜率为12126AB y y k x x -==-. 4．已知双曲线M 与椭圆22:15x N y +=有相同的焦点，且M 与圆22:1C x y +=相切．(1)求M 的虚轴长．(2)是否存在直线l ，使得l 与M 交于A ，B 两点，且弦AB 的中点为()4,6P ？若存在，求l 的斜率；若不存在，请说明理由.【答案】(1)3(2)存在，2 【分析】（1）根据题意得出双曲线方程后求解；（2）中点弦问题，可用点差法，化简后得到斜率，然后代回检验.【解析】(1)因为椭圆22:15x N y +=的焦点坐标为()2,0±，所以可设M 的方程为()2222104x y a a a -=>-．因为M 与圆22:1C x y +=相切，所以1a =，则2243b a =-=，故M 的虚轴长223b =(2)由（1）知，M 的方程为2213yx -=．设A ，B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则221122221,31,3y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得()()()()1212121203y y y y x x x x -+-+-=，假设存在直线l 满足题意．则12128,12,x x y y +=⎧⎨+=⎩所以12122AB y y k x x -==-，因此l 的方程为220x y --=，代入M 的方程，整理得2870x x -+=，0∆>，l 与M 相交，故存在直线l 满足题意，且l 的斜率为2． 三、求中点弦的弦长1．已知点A ，B 在双曲线223x y -=上，线段AB 的中点为()1,2M ，则AB =（ ）A ．25B ．45C ．10D ．10【答案】C 【解析】【分析】首先结合已知条件，利用点差法求出直线AB 的斜率，进而得到直线AB 的方程，然后联立双曲线方程，结合韦达定理和弦长公式求解即可.【详解】不妨设11(,)A x y ，22(,)B x y ，从而22113x y -=，22223x y -=，由两式相减可得，12121212()()(()0)x x x x y y y y -+--+=，又因为线段AB 的中点为()1,2M ，从而122x x +=，124y y +=，故121212y y x x -=-，即直线AB 的斜率为12，直线AB 的方程为：12(1)2y x -=-，即1322y x =+，将1322y x =+代入223x y -=可得，2270x x --=，从而122x x +=，127x x =-，故22121212151()|()41022AB x x x x x x =+-=+-= 2．已知双曲线22:22C x y -=，过点(1,2)P 的直线l 与双曲线C 交于M ､N 两点，若P 为线段MN 的中点，则弦长|MN |等于（ ）A 42B 33C ．3D ．2【答案】D【分析】设直线MN 为2(1)y k x -=-，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k 值，利用弦长公式求解即可.【详解】由题设，直线l 的斜率必存在，设过(1,2)P 的直线MN 为2(1)y k x -=-，联立双曲线：224(2)2(2)(46)0k x k k x k k -+---+=设1122(,),(,)M x y N x y ，则1222(2)22P k k x x x k -+=-=-，所以22(2)22k k k--=-，，则122x x +=，123x x =-.弦长|MN |2212121()4241242k x x x x =++-=+= 3．已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率6e =，且双曲线C 过点()2,1P ． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线:1l y kx =-与双曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为2-，求线段AB 的长． 【答案】(1)2212x y -=；(2)15【分析】（1）设双曲线C ：()222210,0x y a b a b=>>，根据题意可得62cea、222c a b =+、2222211a b -=，解方程组求得,a b 的值即可得双曲线C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与双曲线方程，可求出124x x +=-，再由2120Δ0k ⎧-≠⎨>⎩可得k 的值，由弦长公式即可得线段AB 的长.【解析】(1)设双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>，由题意可得：22222226211c e a c a b a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得：222,1a b ==，所以双曲线C 的方程为2212x y -=.(2)设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程22121x y y kx ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得：()2212440k x kx -+-=，因为l 与C 有两个交点，所以2120-≠k 且()22216161216160k k k ∆=+-=->，解得：21k <且212k ≠， 所以11k -<<且2≠k ①，由根与系数的关系可得：122412k x x k +=--，122412x x k -=- 又因为AB 中点的横坐标为2-， 所以24412kk -=--，即2210k k +-=，解得：1k =-或12k =②，结合①②可知12k =， 此时1:12l y x =-，1224412k x x k +=-=--，1224812x x k =-=--， 所以()22221212121511()44322152AB k x x x x x ⎛⎫=+-++--+ ⎪⎝⎭AB 的长为15四、求双曲线的方程1．已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为()4,7N --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22111113663x y -=D ．22111116336x y -=【答案】C 【解析】【分析】求出直线l 的方程，并设出双曲线E 的方程，再联立并借助中点坐标即可计算作答. 【详解】直线l 的方程为：0(7)(3)3(4)y x --=⋅---，即3y x =-，设双曲线E 的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，由222231y x x y a b =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理得：222222()6(9)0b a x a x a b -+-+=， ()()()422222222Δ3649490a a a bb a b ba=--+=+->，因弦AB 的中点为()4,7N --，于是得22234a b a-=--，即2247a b =，而229a b +=，解得223663,1111a b ==，满足0∆>，所以双曲线E 的方程为22136631111x y -=，即22111113663x y -=. 2．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 为C 的左支上任意一点，直线l 是双曲线的一条渐近线，PQ l ⊥，垂足为Q ．当2PF PQ +的最小值为6时，1F Q 的中点在双曲线C 上，则C 的方程为（ ）A ．222x y -= B ．224x y -=C ．22116y x -=D ．22124x y -=【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线定义21||||2PF PF a -=得到21122PF PQ PF PQ a FQ a +=++≥+，再利用焦点到渐近线的距离为b 求得26b a +=，设出渐近线方程求得1F Q 的中点坐标代入双曲线方程联解求得a b 、的解.【详解】212PF PF a -=，211||||22PF PQ PF PQ a FQ a ∴+=++≥+，又()1,0F c =-，2,0F c ，双曲线的渐近线方程为：by x a =±，即0bx ay ±=，∴22bc bc b c a b±==+， 即1FQ 的最小值为b ，即26b a +=，不妨设直线OQ 为：b y x a =，1F Q OQ ⊥，∴点()1,0F c -，2(,)a ab Q c c--，1F Q 的中点为22(,)22a c ab c c +--，将其代入双曲线C 的方程，得：2222222()144a c a a c c +-=，即22222221144a c a a cc ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=， 解得：2c a ，又26b a +=，222+=a b c ，2a b ∴==，故双曲线C 的方程为224x y -=．3．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点(3,0)F -的直线与双曲线交,M N 两点，且线段MN 的中点坐标为(3,6)，则双曲线方程是_______________. 【答案】22136x y -= 【分析】设()11,M x y ，()22,N x y ，可得126x x +=，1212y y +=，将,M N 两点坐标代入双曲线方程，两式相减整理可得2121212122MNy y x b k x y x x y a-+-+==⨯，利用已知点的坐标求出直线MN 的斜率，即可得2a 与2b 的关系，结合2229c a b =+=即可得2a 、2b 的值，进而可得双曲线方程.【详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，则2211221x y a b -=，2222221x y a b-=，两式相减可得：2222121222x x y a b y =--， 所以()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=，因为点(3,6)是线段MN 的中点，所以126xx +=，1212y y +=，所以222212122221126122MNy y x b b b k x y y a x x a a -+-+==⨯=⨯=，因为()60133MN k -==--，所以2212b a =，即222b a =， 因为222239c a b a =+==，所以23a =，26b =，所以双曲线方程是22136x y -=， 五、中点弦与双曲线的离心率交汇12的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为2C 的离心率为（ ）A 3B ．2C 5D ．3【答案】C【分析】利用点差法，结合直线斜率公式、中点坐标公式、双曲线离心率公式进行求解即可.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得2222121222x x y y a b --=， 所以2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+.因为1202x x x +=，1202y y y +=，所以21202120-=⋅-y y b x x x a y .因为12122AB y y k x x -==-0022OPy k x ==22222a ，224b a=，故2215b e a =+ 2．过点(1,1)M 作斜率为12的直线与双曲线2222Γ:1-=x y a b 相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则双曲线Γ的离心率为___________. 6【分析】利用点差法，结合M 是线段AB 的中点，斜率为12，即可求出双曲线Γ的离心率． 【详解】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2211221x y a b -=①，2222221x y a b-=②，M 是线段AB 的中点，∴1212x x +=，1212y y +=，直线AB 的方程是1(1)12y x =-+，12121()2y y x x ∴-=-，过点(1,1)M 作斜率为12的直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，∴①②两式相减可得22221212220x x y y a b ---=，即()()()()22212121222212121212y y y y y y b a x x x x x x -+-===--+，2216c b e a a ∴==+ 3．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，虚轴的上端点为B ，点P ，Q 为C 上两点，点()2,1M -为弦PQ 的中点，且//PQ BF ，记双曲线的离心率为e ，则2e =______． 21+【分析】解法一，利用点差法，结合1212y y bx x c-=--，以及12124,2x x y y +=-+=，变形得到22a bc =，再转化为关于,a c 的齐次方程，求解2e ；解法二，设直线()12y k x -=+，bk c=-，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系表示中点坐标，再转化为关于,a c 的齐次方程，求解2e . 【详解】解法一：由题意知(),0F c ，()0,B b ，则PQBF bk k c==-．设()11,P x y ，()22,Q x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，，两式相减，得()()2121221212b x x y y x x a y y +-=-+．因为PQ 的中点为()2,1M -，所以124x x +=-，122y y +=，又1212PQ y y bk x x c -==--，所以2242b b c a --=，整理得22a bc =，所以()42222244a b c c c a ==-，得424410e e --=，得221e +=解法二 ：由题意知(),0F c ，()0,B b ，则BF bk c=-．设直线PQ 的方程为()12y k x -=+，即21y kx k =++，代入双曲线方程，得()()()222222222221210b a k x a k k x a k a b --+-+-=．设()11,P x y ，()22,Q x y ，结合()2,1M -为PQ 的中点，得()2122222214a k k x xb a k ++==--．又BF bk k c ==-，所以222222144b b b a b a c c c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-+=-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，整理得22a bc =，所以()42222244a b c c c a ==-，得424410e e --=，得221e +．方法点拨1：对于有关弦中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.2：对于中点弦问题可采用点差法求出直线的斜率，设()11,A x y ，()22,B x y 为弦端点坐标，()00,P x y 为AB 的中点，直线AB 的斜率为k ，若椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，则2020b x k a y =-，若椭圆方程为22221y x a b+=()0a b >>，则2020a x k b y =-，若双曲线方程为22221x y a b-=()0a b >>，则2020b x k a y =，若双曲线方程为22221y x a b-=()0a b >>，则2020a x k b y =. 巩固练习1．已知点A ，B 是双曲线22:123x y C -=上的两点，线段AB 的中点是()3,2M ，则直线AB 的斜率为（ ）A ．23B ．32C ．49D ．94【答案】D 【解析】【分析】利用点差法和两点坐标求直线斜率公式化简计算即可.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222123123x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()()()()1212121223x x x x y y y y +-+-=，即()()12126423x x y y --=，∴121294AB y y k x x -==-. 2．已知双曲线221164x y -=，以点()5,1P -为中点的弦所在的直线方程为（ ）A ．45210x y +-=B ．54210x y +-=C ．240x y --=D ．240x y +-=【答案】B 【分析】利用点差法可求得弦所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】设弦的两个端点坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，则1212102x x y y +=⎧⎨+=-⎩，则2211222211641164x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得()()()()12121212416y y y y x x x x -+-+=，所以，弦所在直线的斜率()()1212121245164x x y y k x x y y +-===--+， 故所求直线方程为()5514y x =---，即54210x y +-=. 3．已知倾斜角为π4的直线与双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>，相交于A ，B 两点，(1,3)M 是弦AB 的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（ ）A ．3B ．3C ．2D ．2【答案】A 【解析】【分析】依据点差法即可求得a b 、的关系，进而即可得到双曲线的渐近线的斜率.【详解】设1122(,)(,)A x y A x y 、，则12121212++y y =1=3,122x x y y x x -=-，，由22112222222211y x a b y x a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得()()()()12121212220y y y y x x x x a b -+-+-=，则22620a b-=，即22=3a b ，则3a b则双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的渐近线的斜率为3a b ±=4．已知双曲线2212y x -=，过点()1,1P 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，则能使点P 为线段AB 中点的直线l 的条数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】先假设存在这样的直线l ，分斜率存在和斜率不存在设出直线l 的方程，当斜率k 存在时，与双曲线方程联立，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，直线与双曲线相交于两个不同点，则0∆>，32k <，又根据M 是线段AB 的中点，则21A B x x +=，由此求出2k =与32k <矛盾，故不存在这样的直线满足题意；当斜率不存在时，过点M 的直线不满足条件，故符合条件的直线l 不存在. 【详解】设过点(1,1)M 的直线方程为(1)1y k x =-+或1x =，①当斜率存在时有22(1)112y k x y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2222(2)(22)230k x k k x k k -+--+-=(*)．当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有：2222(22)4(2)(23)0k k k k k ∆=----+->，即32k <又方程(*)的两个不同的根是两交点A 、B 的横坐标，21222()2k k x x k -∴+=--又(1,1)M 为线段AB 的中点，∴1212x x +=，即222()22k k k --=-，2k ∴=，使22k -≠0但使∆<0，因此当2k =时，方程①无实数解． 故过点(1,1)m 与双曲线交于两点A 、B 且M 为线段AB 中点的直线不存在． ②当1x =时，经过点M 的直线不满足条件. 综上，符合条件的直线l 不存在．5．已知点A ，B 在双曲线224x y -=上，线段AB 的中点()3,1M ，则AB =（ ）A 2B ．2C 5D ．5【答案】D 【解析】 【分析】先根据中点弦定理求出直线AB 的斜率，然后求出直线AB 的方程，联立后利用弦长公式求解AB 的长.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则可得方程组：2211222244x y x y ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得：()()()()12121212x x x x y y y y +-=+-，即121212121y y y y x x x x +-⋅=+-，其中因为AB 的中点为()3,1M ，故121213y y x x +=+，故12123y y x x -=-，即直线AB 的斜率为3，故直线AB 的方程为：()133y x -=-，联立()221334y x x y ⎧-=-⎨-=⎩，解得：2212170x x -+=，由韦达定理得：126x x +=，12172x x =，则()221212145AB k x x x x =++-=6．过点(1,1)A 作直线l 与双曲线2212y x -=交于P ，Q 两点，且使得A 是PQ 的中点，直线l 方程为（ ） A ．210x y --= B ．2x +y -3=0 C ．x =1 D ．不存在【答案】D 【解析】【分析】设出点P ，Q 的坐标，利用“点差法”求出直线l 的斜率并求出其方程，再将直线l 与双曲线方程联立验证即可得解.【详解】设点1122(,),(,)P x y Q x y ，因点(1,1)A 是PQ 的中点，则121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，从而有221122222222x y x y ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得：121212122()()()()0x x x x y y y y +--+-=，即12122()()0x x y y ---=，于是得直线l 的斜率为12122y y x x --=， 直线l 的方程为：12(1)y x -=-，即21y x =-，由222122y x x y =-⎧⎨-=⎩消去y 并整理得：22430x x -+=，此时2(4)42380∆=--⨯⨯=-<，即方程组222122y x x y =-⎧⎨-=⎩无解，所以直线l 不存在. 7．（多选题）过M （1，1）作斜率为2的直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于A 、B 两点，若M 是AB的中点，则下列表述正确的是（ ）A ．b <aB ．渐近线方程为y =±2xC ．离心率3eD ．b >a【答案】CD【分析】根据M （1，1）是AB 的中点，且斜率为2，利用点差法求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得22221212220x x y y a b ---=，化简得2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+，因为M （1，1）是AB 的中点，所以222b a=，即2b a =所以b a >，渐近线方程为2y x =，离心率为2213c b e a a=+=8．（多选题）已知双曲线C ：()22210y x a a-=>，其上、下焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点．过双曲线上一点()00,M x y 作直线l ，分别与双曲线的渐近线交于P ，Q 两点，且点M 为PQ 中点，则下列说法正确的是（ ）A ．若l y ⊥轴，则2PQ =．B ．若点M 的坐标为()1,2，则直线l 的斜率为14C ．直线PQ 的方程为0021y yx x a-=． D 5，则三角形OPQ 的面积为2． 【答案】ACD【分析】利用双曲线基本性质，点差法及三角形面积的表示，即可得到结果.【详解】若l y ⊥轴，则直线l 过双曲线的顶点，()0,M a ±，双曲线的渐近线方程为y ax =±，易得P ，Q 两点的横坐标为±1 ，∴2PQ =，即A 正确；若点M 的坐标为()1,2，则2a =2220-=y x ，设()()1122,,,P x y Q x y ，利用点差法：2222112220,20y x y x -=-=，两式作差可得，2222121222y y x x -=-，即222212121212121222,2y y x xy y x x x x y y -+-=-=-+∴1212l k =⨯=，即B 错误；若()00,M x y ，利用点差法同样可得220121212120l a x y y x x k a x x y y y -+===-+，∴直线PQ 的方程为()20000a x y y x x y -=- ，即00222200y y y a x x a x -=-，002222200y y a x x y a x a -=-=，∴0021y y x x a -=，故C 正确；5，则双曲线方程为2214y x -=，∴渐近线方程为2y x =±，设()()1122,2,,2P x x Q x x -，∴122112122OPQS x y x y x x =-= ，联立方程00142y yx x y x⎧-=⎪⎨⎪=⎩ 可得10022x y x =- ，同理可得20022x y x -=+，∴12220000022882222244OPQSx x y x y x y x -==⋅===-+-， 9．（多选题）曲线C ：221ax by +=（0ab ≠）与直线1y x =-交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为k ，以下结论正确的是（ ） A ．若3k =3a b = B ．若3k =3a b =-3C ．若0k >，则C 为椭圆D ．若C 为双曲线，则0k < 【答案】AD【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得ak b=，再依次判断每个选项即可. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则12121y y x x -=--，线段AB 的中点为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，又2211222211ax by ax by ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得()()()()121212120a x x x x b y y y y +-++-=，则12121212y y x xa x xb y y -+=-⋅-+，由题意可知121222y y k x x +=+，即1212y y k x x +=+，则有11a b k -=-⋅，即a k b=，对A ，若3k =则3a b =故A 正确；对B ，若3k =则3a b =-故B 错误；对C ，若0k >，则0ak b=>，当1k ≠时，且0,0a b >>时，曲线是椭圆，否则曲线是圆或不存在，故C 错误；对D ，若C 为双曲线，则0ab <，此时0ak b=<，故D 正确. 10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，且C 的焦点到渐近线的距离为1，直线1y k x m =+与C 交于P ，Q 两点，M 为弦PQ 的中点，若(OM O 为坐标原点）的斜率为2k ，1214k k =，则下列结论正确的是____________①4a =； ②C 5； ③若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为2；④若12PF F △的面积为2512PF F △为钝角三角形 【答案】②④ 【解析】 【分析】由已知可得2214b a =，可求a ，e ，从而判断①②，求出∴12PF F 的面积可判断③，设0(P x ，0)y ，利用面积求出点P 的坐标，再求边长，求出21cos PF F ∠可判断④．【详解】设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，可得2211221x y a b -=，2222221x y a b-=，两式相减可得1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-+=，由题意可得12112y y k x x -=-，且1212(,)22x x y y M ++，12212y y k x x +=+，2122b k k a∴=，1214k k =，∴2214b a =，2251b e a ∴=+②正确；C 的焦点到渐近线的距离为1，设()2,0F c 到渐近线0bx ay -=的距离为d ，则221d b a b===+，即1b =，2a ∴=，故①错误，145c ∴+若12PF PF ⊥，不妨设P 在右支上，2212||||20PF PF +=，又12||||4PF PF -=，12||||2PF PF ∴⋅=， 则12PF F △的面积为12121||||12PF F SPF PF =⋅=，故③不正确；设0(P x ，0)y ，12012||252PF F S c y =⨯⨯=0||2y ∴=， 将0||2y =代入双曲线2214x y -=，得2020x =，0||5x =，根据双曲线的对称性，不妨取点P 的坐标为5，2)，221||(255)27PF ∴++，222||(255)23PF =-+，21cos 02325PF F ∠<⨯⨯，21PF F ∴∠为钝角，∴12PF F △为钝角三角形．故④正确．11．已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>相交于B ，D 两点，且BD 的中点为()1,3M ，则C 的离心率是______． 【答案】2 【解析】【分析】设1122(,),(,)B x y D x y ，代入双曲线方程，利用点差法，可求得223b a=，代入离心率公式，即可得答案.【详解】设1122(,),(,)B x y D x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差可得：2222121222x x y a b y =--，即1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-+=，因为()1,3M 为BD 中点，所以12122,6x x y y +=+=，又直线BD 斜率为1所以12121y y x x -=-，代入可得，223b a =，所以C 的离心率2212be a+.12．已知双曲线2212y x -=上存在两点,M N 关于直线y x b =-+对称，且MN 的中点在抛物线23y x =上，则实数b 的值为________． 【答案】0或94【解析】【分析】设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，MN 的中点为0(E x ，0)y ，由点差法可得0MN y k x ；通过,M N 两点关于直线y x b =-+对称，可得1MN k =，求出E 的坐标，代入抛物线方程求解即可．【详解】设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，MN 的中点为0(E x ，0)y ，则221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 由点差法可得212121211()()()()2x x x x y y y y -+=-+，即212121212y y y y x x x x -+⋅=-+①，显然12x x ≠，又因为12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩②，代②入①可得02MN y k x ⋅=；由,M N 两点关于直线y x b =-+对称，可得1MN k =，所以002y x =，又因为00y x b =-+，所以2(,)33b b E ，代入抛物线方程得24393b b=⨯，解得0b =或94b =．13．已知P ，Q 为曲线22:14x C y -=上的两点，线段PQ 的中点为()3,1M ，则直线PQ 的斜率为（ ）A ．–3B ．34-C ．34D ．3【答案】C 【解析】【分析】设1122(,),(,)P x y Q x y ，代入双曲线方程相减可得直线斜率．【详解】设1122(,),(,)P x y Q x y ，则221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得12121212()()()()04x x x x y y y y -+--+=，所以121212122334()4214PQ y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯⨯．此时直线方程为31(3)4y x -=-，3544y x =-，代入双曲线方程有：2235()1444x x --=，整理得241605x x -+=，4116364055∆=-⨯=>，直线与双曲线相交于两点，又12623x x +==⨯，M 是PQ 中点，满足题意．14．已知斜率为1的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为2，则双曲线C 的离心率为（ ）A 3B ．2C 5D ．3【答案】A 【解析】【分析】利用点差法可求得22b a 的值，结合221b e a=+C 的离心率的值.【详解】设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得2222121222x x y y a b --=，所以2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+．因为1202x x x +=，1202y y y +=，所以21202120-=⋅-y y b x x x a y ． 因为12121AB y y k x x -==-，002==OP yk x ，所以2212b a =，故222b a =，故222222213c c a b b e a a a a +===+． 15．已知点()13,0F ，)23,0F ，动点M 满足122MF MF -=.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)直线l 与点M 的轨迹交于A ，B 两点，若弦AB 的中点坐标为()2,1，求直线l 的方程. 【答案】(1)2212y x -=；(2)470x y --=【分析】（1）根据双曲线的定义求解即可；（2）根据点差法求解并检验即可得答案. 【解析】(1)根据双曲线的定义得动点M 的轨迹是以()13,0F -，()23,0F 为焦点，实轴长为2的双曲线，22,3a c ==2221,2a b c a ==-=，所以动点M 的轨迹方程2212y x -=(2) 设()()1122,,,A x y B x y ，则221112-=y x ，222212-=y x ，所以2222121222y y x x -=-，即()()()()121212122y y y y x x x x +-+-=，所以()121212122AB x x y y k x x y y +-==-+， 因为弦AB 的中点坐标为()2,1，所以12124,2x x y y +=+=， 所以()1212121224AB x x y y k x x y y +-===-+所以直线l 的方程为()142y x -=-，即470x y --=. 联立方程2212470y x x y ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩得21456510x x -+=，此时256414515630∆=-⨯⨯=⨯>，124x x +=， 满足题意.所以直线l 的方程为470x y --=16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，离心率3e =22(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过点()1,1P 能否作直线l ，使直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，且点P 为弦AB 的中点?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2212y x -=；(2)不存在，理由见解析【分析】（1）根据离心率及虚轴长即可求解；（2）运用点差法求解，但是要注意检验. 【解析】(1)3ce a==222b =3c a ∴=，2b =222c a b =+，2232a a ∴=+．21a ∴=． ∴双曲线C 的标准方程为2212y x -=．(2)假设以定点(11)P ，为中点的弦存在， 设以定点(11)P ，为中点的弦的端点坐标为11(,)A x y ，2212(),()B x y x x ≠， 可得122x x +=，122y y +=．由A ，B 在双曲线上，可得：221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减可得以定点(11)P ，为中点的弦所在的直线斜率为：211221122()2y y x x k x x y y -+===-+， 则以定点(11)P ，为中点的弦所在的直线方程为12(1)y x -=-．即为21y x =-， 代入双曲线的方程可得22430x x -+=，由2(4)42380<∆=--⨯⨯=-，所以不存在这样的直线l ． 17．已知抛物线C ：22x py =（0p >）的焦点为F ，P 为C 上的动点，Q 为P 在动直线y t =（0t <）上的投影.当PQF △为等边三角形时，其面积为43 (1)求C 的方程；(2)设O 为原点，过点P 的直线l 与C 相切，且与椭圆22142x y +=交于A ，B 两点，直线OQ 与AB 交于点M .试问：是否存在t ，使得M 为AB 的中点？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)24x y =；(2)存在，1-，理由见解析. 【分析】（1）根据PQF △的面积可求出等边三角形的边长为4，再由60OFQ PQF ∠=∠=，cos60p OF PQ ==⋅求出p 的值即可得C 的方程；（2）设200,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()0,Q x t ，可得0OQ t k x =，由导数的几何意义可得012l k x =，设()11,A x y ，()22,B x y ，中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，由点差法可得12l OMk k ⋅=-，01OM k x =-，因此可求出1t =-即可. 【解析】(1)设()00,P x y ，0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，因为PQF △为等边三角形时，其面积为43所以21si πn 4323PQ ⨯=4PQ =，即4PQ PF FQ ===，由抛物线定义可知，y=t 为抛物线的准线，由题意可知60OFQ PQF ∠=∠=，所以12cos60422p OF FQ ==⋅=⨯=，所以C 的方程24x y =； (2)设200,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则P 在动直线y t =上的投影()0,Q x t ，当00x ≠时，0OQ t k x =，由214y x =可得12y x '=，所以切线l 的斜率为012l k x =， 设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，由22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得22221212042x x y y --+=， 所以()()()()12121212042x x x x y y y y +-+-+=，整理可得：1212121212y y y y x x x x -+⋅=--+，即12l OM k k ⋅=-， 所以01122OM x k ⋅=-，可得01OM k x =-，又因为0OQ OM t k k x ==，所以当1t =-时，01OQ OM k k x ==-，此时,,O M Q 三点共线，满足M 为AB 的中点，综上，存在t ，使得点M 为AB 的中点恒成立，1t =-.18．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>经过点(2,3)，一条渐近线的倾斜角为60︒.(1)求双曲线的标准方程；(2)若斜率为(0)k k ≠的直线l 与双曲线E 交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的中垂线与y 轴交于点(0,4)，求实数k 的取值范围.【答案】(1)2213y x -=；(2)(,2)(3,0)3)(2,)-∞-⋃⋃⋃+∞. 【分析】(1)根据给定条件列出关于a ，b 的方程求解即可作答.(2)设出直线l 的方程，联立直线l 与双曲线E 的方程消去y ，借助韦达定理及判别式列式计算作答. 【解析】(1)依题意，双曲线E 的渐近线方程为by x a =±，因一条渐近线的倾斜角为60︒，即3b a= 由双曲线E 经过点(2,3)，得22231a b -=，解得1a =，3b =E 的方程为2213y x -=. (2)设直线l 的方程为y kx m =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，由2233y kx mx y =+⎧⎨-=⎩消去y 并整理得222(3)230k x kmx m ----=，230k -≠， 22222(2)4(3)(3)12(3)0km k m m k ∆=+-+=+->，即223m k >-，则12223km x x k +=-，212233m x x k +=-，12122226()2233km my y k x x m k m k k +=++=⋅+=--，于是得线段MN 中点为2(3km k -，23)3m k -，因此，线段MN 的垂直平分线的方程为2231()33m kmy x k k k -=----，而线段MN 的垂直平分线过点(0,4)， 从而有22314()33m km k k k-=----，化简得23m k =-，代入223m k >-得：242963k k k -+>-， 解得2k >或2k <-，或33k <<0k ≠，所以k 的取值范围为(,2)(3,0)3)(2,)-∞-⋃-⋃⋃+∞. 19．中心在原点的双曲线E 焦点在x 轴上且焦距为4，请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面问题：①该曲线经过点()2,3A ；②该曲线的渐近线与圆22840x x y -++=相切；③点P 在该双曲线上，1F 、2F 为该双曲线的焦点，当点P 的纵坐标为32时，恰好12PF PF ⊥.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)过定点()1,1Q 能否作直线l ，使l 与此双曲线相交于1Q 、2Q 两点，且Q 是弦12Q Q 的中点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1)条件选择见解析，双曲线E 的标准方程为2213y x -=；(2)不存在，理由见解析【分析】（1）选①：利用双曲线的定义求出2a 的值，结合c 的值可求得b 的值，由此可得出双曲线E 的标准方程； 选②：求出3ba=2c a =，结合已知条件可得出a 、b 的值，由此可得出双曲线E 的标准方程； 选③：利用双曲线的定义和勾股定理可得出2122PF PF b ⋅=，然后利用三角形的面积公式可求得2b 的值，结合c 的值可求得a 的值，由此可得出双曲线E 的标准方程.（2）假设满足条件的直线l 存在，设点()111,Q x y 、()222,Q x y ，利用点差法可求得直线l 的斜率，可得出直线l 的方程，再将直线l 与双曲线E 的方程联立，计算∆，即可得出结论. 【解析】(1)设双曲线E 的标准方程为()222210x y a b a b-=>>.选①：由题意可知，双曲线E 的两个焦点分别为()12,0F -、()22,0F ， 由双曲线的定义可得221224332a AF AF =-+=，则1a =，故223b c a -所以，双曲线E 的标准方程为2213y x -=. 选②：圆22840x x y -++=的标准方程为()22412x y -+=，圆心为()4,0，半径为23双曲线E 的渐近线方程为by x a=±24231b ab a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭3b a =即3b a =，因为2222c a b a +=，则1a =，3b = 因此，双曲线E 的标准方程为2213y x -=.选③：由勾股定理可得2222212121212416242PF PF c PF PF PF PF a PF PF +===-+⋅=+⋅，所以，()2221222PF PF c a b ⋅=-=，则122121134222F PF S PF PF b =⋅==⨯⨯△，则3b =故221a c b =-=， 所以，双曲线E 的标准方程为2213y x -=.(2)假设满足条件的直线l 存在，设点()111,Q x y 、()222,Q x y ，则121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，由题意可得221122221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得()()()()121212123y y y y x x x x -+-+=， 所以，直线l 的斜率为12123y y k x x -==-，所以，直线l 的方程为()131y x -=-，即32y x =-. 联立223213y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理可得261270x x -+=，2124670∆=-⨯⨯<，因此，直线l 不存在.20．已知0a b >>，如图，曲线Γ由曲线22122:1(0)x y C y a b +=≤和曲线22222:1(0)x y C y a b -=>组成，其中点F 1，F 2为曲线C 1所在圆锥曲线的焦点，点F 3，F 4为曲线C 2所在圆锥曲线的焦点，F 2（2，0），F 4（6，0）.(1)求曲线Γ的方程；(2)如图，作直线l 平行于曲线C 2的渐近线，交曲线C 1于点A ，B ，求证：弦AB 的中点M 必在曲线C 2的另一条渐近线上.【答案】(1)221(0)2016x y y +=≤和221(0)2016x y y -=>；(2)证明见解析【分析】（1）根据题意得到2222364a b a b ⎧+=⎨-=⎩，再解方程组即可.（2）不妨令直线l 平行于渐近线25y =，设25:)l y x m =-，(25)m ≥，联立2225)1,2016y x m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得到2222200x mx m -+-=，设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，得到02m x =，05y =，0025y x =，即可证明中点M 在另一条渐近线25y =上. 【解析】(1)2(2,0)F ，4(6,0)F ，2222364a b a b ⎧+=∴⎨-=⎩，解得222016a b ⎧=⎨=⎩，则曲线Γ的方程为：221(0)2016x y y +=≤和221(0)2016x y y -=>. (2) 由题意曲线C 2的渐近线为：25y =，不妨令直线l 平行于渐近线25y x =， 设25:)l y x m =-，(5)m ≥，由2225)1,2016y x m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2222200x mx m -+-=， ()2248200m m ∴∆=-->，解得：210210m -<<所以有25210m <设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则12x x m +=，212202m x x -=，02mx ∴=，05y =，0025y ∴=，即中点M 在另一条渐近线25y =上.。
_点差法_求双曲线中的中点弦方程为什么要检验_王怀学
点评
本 题 易 产 生 错 误 的 解 法 是 ： 将 α= π 代
入椭圆参数方程得
∈
x=2 ， y=3.
故P （ 2 ，3） ， 产 生 错 误 的 原
因是错将 OP 与 x 轴正向所成角 π 当成 α.
3
椭圆的参数方程
∈
x=acosφ， y=bsinφ
（ a >0，b >0，φ 为 参
数 学 爱 好 者
.........................................
（ 如图） 面分成下面区域 ：
2 2 （ m ，n） 在 渐 进 线 上 时 ， m - n =0 ； 点 ①点 P 16 9 2 2 （ m ，n） 在 双 曲 线 上 时 ， m - n =1 ， 都 有 Δ =0 ， 符 合 P 16 9
2 曲 线 有 共 同 渐 近 线 的 双 曲 线 x - y =λ （ λ ≠0） 的 情 2 2
的 ， 因 为 直 线 AB ： x+y -4=0 过 椭 圆 内 的 一 点 N ， 因 此 该 直 线 必 然 满 足 和 椭 圆 相 交 的 条 件 ， 因 此 Δ >0 恒 成 立.
形 . 换句话说 ， 上述解题过程实际上是帮助有共同渐 （ λ ≠0） 之 一 在 解 中 点 弦 . 正 近 线 的 双 曲 线 x 2- y = λ
∈
x=4cosα，
（ α 为参数） 上一点
y=2 姨 3 sinα
专 业 S
精心策划
P 与 x 轴正向所成角 θ= π ， 求点 P 的坐标 . 3
分析 此题需要利用参数 α 构造出点的坐标 ，
高 二
再结合 θ 求解 . （ 上接 19 页内容） 是 Q1、Q2 的 中 点 ， 假 设 符 合 题 意 的 l 存 在 ， 求 出 k=
一个关于双曲线中点弦问题的研究
20 福建中学数学 2016年第10期即证明ln(1)(1)(1)244k k k k k k ++−<−+， 即证2ln(1)(2)k k k +<+．只需证22ln(1)(1)1(1)k k k +<+−>， 即证ln 1x x <−，(2)x ≥恒成立， 只需证ln 10x x −+<恒成立．取1k =有ln(1)(1)10x x −−−+<恒成立， 根据第二问的结论，ln 10x x −+<也恒成立． 数学教学的主要阵地是课堂教学，而数学课堂教学则是以数学教材、数学问题为纲要而展开的以教师为主导、学生为主体的数学学习活动．虽然高中阶段强调自主学习，但教师也不能一味地“放手”．在遇到上述问题时，教师应该就题目向学生详细解答，帮学生揭开“容易知道”，“不难知道”，“不妨设”等字眼的神秘面纱．数学教师的主导地位从根本上说是围绕学生的数学思维，尽最大可能保障学生在高三数学复习中有效地巩固数学知识、提高数学能力、提升数学素养，突破解决问题的思维难点，使学生解决问题的数学思维更富有合理性．参考文献[1]马忠林，任樟辉．数学思维理论[M]．南宁：广西教育出版社，2001一个关于双曲线中点弦问题的研究党忠良 王历权 重庆市育才中学（400050）先看一个常见的问题：双曲线2212yx −=中是否存在被(11)P ，平分的弦MN ，若存在，求出弦MN 所在的直线方程，若不存在请说明理由．被(21)Q ，平分的弦呢？这个问题的常见解法如下：方法1 假设存在符合条件的弦，显然其斜率存在，故可设直线方程为(1)1y k x =−+．由22(1)112y k x y x =−+−= ，， 得222(2)2(1)230k x k k x k k −−−+−+=． 由0∆>有32k <，由韦达定理有1222(1)22k k x x k −+==−， 故2k =，矛盾，因此这样的弦不存在． 若将(11)P ，换成(21)Q ，，用同样的方法可得符合条件的弦是存在的．方法2 设11()M x y ，，22()N x y ，在双曲线上， 且弦MN 的中点为(11)P ，，则221112y x −=且222212y x −=．两式相减，并由122x x +=，122y y +=，得12122y y x x −=−，故:12(1)MN y x −=−． 由于点差法的使用过程中没有考查所求直线与双曲线是否存在交点的问题，故还需验证所求直线与双曲线是否有交点．由2212(1)12y x y x −=−−= ，，得22430x x −+=， 但是此方程0∆<，故这样的弦不存在． 同理可得以(21)Q ，为中点的弦是存在的． 那么双曲线中如果存在以某点P 为中点的弦时，点P 应该在一个什么区域内呢？设双曲线22221(00)a x y a bb >−=>，，定点00()P x y ，，（此处不妨设000x y ≠）． 若弦MN 以P 为中点，设11()M x y ，，22()N x y ，， 则有2211221x y a b −=，2222221x y a b−=．两式相减得20122120b x y y x x a y −=−， 故可以得到直线200020:()b x MN y y x x a y −=−．万方数据2016年第10期 福建中学数学 21由222220020()1x y a b b x y y x x a y − −=−= ，，得222220422000420()[2b x x x x a y x y b x a +−+−220022)]2(b x x x ab a +−=， 即42432000222202202)((2)b x b x b x a y a y b x x −−+4422002202222020a y b x b x a a y b +−−−=．上述关于x 的方程应有两个不同的根， 因此4202204342200022222222022200442200220()4()()02.022b x a y b x b b x b x a y a y b x b x a y b a y b a −− −−≠ ∆=−+− −>，即点P 不能在双曲线的渐近线上（原点除外）且4342200022222200()4()202b x b x b x a y a y b <∆=−−−⋅ 44220222200220(2)b x b x a y a y b a +−−−3322200022220204[()(1)b x b x b bx a y a y −+−⋅44220022022220()]2a y b b x b x a y a ++−664444220000222044222200024[b x b x b x b b x a y a y a y a y +=−++66444220000422222042220002]2b x b x b x b x a y a y y b x b a +−−+−−444222000022202222024(2)a b a b x b x b y b x a y y −=++−224220002022204[(])b x b x b y ay y a b a +−−． 上式左右两端同乘以2024y b，得2224220000222)(b x b x y aa y ab >−−，两端同乘以241a b ，得2222200002222()x y x y a b a b−>−，故 2200220x y a b −<或2200221x y a b−>．当P 在y 轴上或在x 轴上且在双曲线内部时，显然存在以P 为中点的弦，因此得到定理1 双曲线22221(00)a x y a bb >−=>，中存在以00()P x y ，为中点的弦当且仅当02020{()|P x y x a−∈Ω=，2020y b <或2200221x y a b −>或(00)}，． 同时也不难验证前面题目中(11)P ，未落在对应的区域Ω内，但(21)Q ，在此区域内． 定理2 双曲线22221(00)a x y a bb >−=>，中以0(P x ，0)y （不为坐标原点）为中点的弦所在直线方程为2200002222x x y y x y a b a b−=−，当P 与坐标原点重合时，中点弦不唯一，方程为()b by kx k a a−<<．证明 （1）若点P 在x 轴上且在双曲线内部时，即00y =，||x a >，中点弦为直线0x x =，符合上式．（2）若点P 在y 轴上且不与原点重合时，即0x 0=，00y ≠，中点弦为直线0y y =，符合上式．（3）若点P 不在坐标轴上，且中点的弦MN 存在时，设11()M x y ，，22()N x y ，，则有2211221x y a b −=，2222221x y a b−=，两式相减得20122120b x y y x x a y −=−， 故可以得到直线200020:()b x MN y y x x a y −=−，即220000()()a y y y b x x x −=−，两端同除以22a b ，000022()()y y y x x x b a −−∴=，即2200002222=x x y y x y a b a b−−． （4）若点P 为坐标原点，中点弦不唯一，由双曲线的对称性知，直线簇()b by kx k a a−<<均与双曲线左右两支各有一个交点，且中点为坐标原点．定理得证．（本文为重庆市教育科学“十二五规划课题《基于促进学生理解数学本质的中学数学核心概念及思想方法的教学实践与评价研究》（课题批准号2014-00-021）的阶段性研究成果）万方数据。
3.2.2双曲线的简单几何性质第四课时(双曲线中点弦问题)课件-高二上学期数学人教A版选择性
x1 x2 4, y1 y2 2
由x12
y12 3
1, x22
y22 3
1得x12
x22
y12 3
y22 3
y1 y2 3 x1 x2 6k 6 x1 x2 y1 y2
MN直线方程为y 1 6(x 2),代入x2 y2 1得 3
33x2 132x 124 0, 1322 132124 0
x1
x2
2m 3
AB中点横坐标为1 3
x1
x2
2 ， 2m 33
2 3
m 1, 代入方程得： 3x2 2x 5 0
(2)2 60 62 0符合题意
m 1
三、例题讲解：
例1：已知直线 y x m与双曲线 x2 y2 1相交于A, B两点，AB中点横坐标为 1，
4
3
求m的值。
A(3. 1)是弦CD的中点 x1 x2 6, y1 y2 2
x12 4
y12
1,
x22 4
y22
1 x12
x22 4
y12
y22
k y1 y2 x1 x2 3 x1 x2 4( y1 y2 ) 4
直线CD所在方程为: y 1 3 (x 3) 4
整理得：3x 4 y 5 0代入 x2 y 2 1得：5x2 30x 41 0 4
b 0)
x a或x a, y R
A1(- a,0) A2(a,0)
e c (e 12
1
b2 a2
ybx a
c2 a2 b2
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
y a或y a, x R
A1(0,-a) A2(0,a)
e 2c | F1F2 | 2a || PF1 | | PF2 ||
双曲线中点弦二级结论
在双曲线中，中点弦二级结论是一个关于双曲线中点弦的几何性质。
下面是双曲线中点弦二级结论的表述和解释：
假设在双曲线上取一点P，并以点P为端点在双曲线上作一条切线，该切线与双曲线的交点分别为A和B。
如果以点P为中点，作通过点P的弦CD，且弦CD与双曲线交于点E和F，则点E、F是切线AB上的两个定点。
换句话说，点E和F与切线AB的距离相等，且它们都在双曲线的对称轴上。
这个结论可以通过双曲线的几何性质和切线的定义来推导和证明。
在双曲线上取任意一点P，作切线AB，并将切线AB延长，使其与双曲线交于点C和D。
然后以点P为中点作弦CD，连接点E和F，我们可以证明点E和F满足上述的几何特性。
这个结论在双曲线的研究中有一些重要的应用，特别是在双曲线的对称性和切线性质的推导中。
它也是双曲线的一项基本几何性质，对于理解和分析双曲线的形态和性质非常有帮助。
关于双曲线的中点弦的一个性质
关于双曲线的中点弦的一个性质河北省保定市第二中学 李建昌引理：设有双曲线C ：122=-y x 及点()00,y x P ，当点P 位于双曲线C 和它的渐近线x y l ±=:之间时，双曲线的以点P 为中点的弦不存在。
证明：反之，假设存在以点P 为中点的弦21P P ，其中()111,y x P ，()222,y x P ，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-02121222221212211yy y x x x y x y x 0000121221212122212222x x y y y x x x y y y y x x y y x x --=⇒--=++⇒-=-⇒； 于是，得到直线21P P 的方程为：022000y y x x x y y --=。
22将直线21P P 的方程：0000202000x tx x y y y x x x y y -=--=代入双曲线方程可得：0212020220002=++-⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--y t x tx tx y t x y x x ； 它的判别式：()()()[]()014444420202020220202202<-=--=--=+-=∆t ty y t x t t y t tx t y t t x t ，矛盾。
由此可知假设是错误的，命题得证。
定理：设有双曲线C ：12222=-by a x 及点()00,y x P ，当点P 位于双曲线C 和它的渐近线x aby l ±=:之间时，双曲线的以点P 为中点的弦不存在。
证明：当点P 位于双曲线C 和它的渐近线x aby l ±=:之间时，()1,0220220∈-=b y a x t ；做伸缩变换：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==b y y ax x ''，这时，双曲线变为'C ：1''22=-y x ，点P 变为⎪⎭⎫⎝⎛b y a x P 00,'。
双曲线中点弦结论
双曲线中点弦结论新中学数学教材第一册中有一个教学题目叫“双曲线中点弦结论”，在学习双曲线时显得尤为重要，足以说，双曲线中点弦结论是数学中对于“双曲线”概念的重要延伸，也是一种非常有趣的课题，既具有研究价值又有实际意义。
本文将通过对双曲线中点弦结论的推导、解释、实际实例等多种形式，介绍双曲线中点弦结论的内容及其含义，以及它与双曲线的关系，为系统学习双曲线的概念、规律及其应用提供必要的参考资料。
一、双曲线中点弦结论的推导双曲线是由一个点和一条弦构成的，它的形状可以由下面的通用式：$$frac {x^2}{a^2} - frac {y^2}{b^2}=1 quad quad quad quad quad quad quad (1)$$来表示，其中$a$ 、$b$ 为正数。
该式即为双曲线的标准方程。
从几何图形上看，双曲线是由一个点和一条线段构成的，因此可以得出双曲线中点弦结论：双曲线中任意一点到双曲线上任一点（定点）的距离都是一定的。
设双曲线的中心为$O(0,0)$，其他点为$P(x_1, y_1)$，$Q(x_2,y_2)$ 有：$$large begin{cases}d(O,P)=sqrt{x_1^2+y_1^2}d(O,Q)=sqrt{x_2^2+y_2^2}d(P,Q)=sqrt {(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}end{cases}quad quad quad quad quad quad quad quad (2)$$将式（2）代入式（1）中可得：$$large sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=frac{a^2b^2}{sqrt{a^4+b^4}} quad quad quad quad quad quad quad (3)$$式（3）就是双曲线中点弦结论的表达式：双曲线的两点连线的距离等于双曲线的离心率的函数值。
二、双曲线中点弦结论的解释双曲线中点弦结论的解释是：双曲线上的任意两点之间的距离是固定的，表示在双曲线上任意一点到双曲线上任一点（定点）的距离都是一定的。
双曲线中点弦存在性的探讨
双曲线中点弦存在性的探讨
求过定点的双曲线的中点弦问题，通常有下面两种方法：
（1）点差法，即设出弦的两端点的坐标代入双曲线方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，从而求出直线方程．
（2）联立法，即将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理与判别式求解．
无论使用点差法还是联立法，都要运用来判定中点弦是否存在，而这完全取决于定点所在的区域．现分析如下：
利用双曲线及其渐近线，可把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域（如图）．
当在区域Ⅰ内时，有
．
当在区域Ⅱ内时，有
．
当在区域Ⅲ内时，有．
利用上述结论，可以证明：
当在区域Ⅰ时，以它为中点的弦不存在，而在区域Ⅱ、Ⅲ时，这样的弦是存在的．证明过程如下：
设双曲线的弦两端点为，，中点为
，则，．
运用点差法得出的斜率．①
令直线的方程为，
即．②
把②代入，整理得
．
．③
把①代入③，整理得．
若在Ⅱ、Ⅲ区域内，则或，这时，中点弦存在；
若在区域Ⅰ内，则，这时，中点弦不存在．
例过点作双曲线的弦，使点为的中点，则的方程为（）
（A）（B）
（C）（D）不存在
分析将及联立得．此时，
，则选（D）．
若运用上述区域法，只要判断在区域Ⅰ就可得出中点弦不存在的结论，故可直接选（D）．。
高中数学解析几何中点弦问题探究（设而不求与点差法）
高中数学解析几何中点弦问题探究（设而不求与点差法）设而不求与点差法：⎧x 12y 12⎪2+2=1x 2y 2⎪a b 1a >b >0）第一步：若A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)是椭圆2+2=（上不重合的两点，则⎨，22a b ⎪x 2+y 2=1⎪⎩a 2b 2第二步：两式相减得（x 1+x 2）(x 1-x 2）(y 1+y 2)(y 1-y 2)+=0，22a b 第三步：y 1-y 2x +x y +y2（x 0,y 0）是直线AB 的斜率k ，是线段AB 的中点，化简可得（12,1）x 1-x 222y 0y 1+y 2y 1-y 2b 2b 2⋅=-2⇒⋅k =-2，此种方法为点差法。
x 1+x 2x 1-x 2a x 0a x 2y 21a >b >0）若AB 是椭圆2+2=（上不垂直于x 轴的两点，P 是AB 的中点，O 为椭圆的中心，则直线a b b 2AB 与OP 的斜率之积为定值-2a 典型例题：x 2y 2例1.已知双曲线2-2=1(a >0,b >0),F (5,0)为该双曲线的右焦点，过F 的直线交该双曲线于A ,B 两a b 点，且AB 的中点M (-2例2.已知抛物线y =4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是（）4580,-)，则该双曲线的方程为 .77A .y =x -1B .y =2x -1C .y =-x +2D .y =-2x +3x 2⎛11⎫+y 2=1，例3.已知椭圆（1）求过点P ，⎪且被P 平分的弦所在直线的方程；2⎝22⎭（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（3）过A (2，（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足kOP⋅kOQ=-求线段PQ 中点M 的轨迹方程．例4.(2015年新课标全国卷II20)已知椭圆C :9x 2+y 2=m 2(m >0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,1，2l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点 ⎛m ⎫,m ⎪,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否平行四边行？若能,求此时l 的⎝3⎭斜率,若不能,说明理由.巩固提升：x 2y 21.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆G :2+2=1(a >b >0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交椭a b ，-1),则E 的方程为 ( )圆于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=14536362727181892.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线E 的中心为原点,F (3,0)是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于A ,B 两点,且AB 的中点为N (-12,-15),则E 的方程为 ( )x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1364563544.已知抛物线y =2px (p >0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 ( )A.x =1B.x =-1C.x =2D.x =-25.设F 为抛物线C :y =4x 的焦点,过点P (-1,0)的直线l 交抛物线C 于A ,B 22两点,点Q 为线段AB 的中点,若FQ =2,则直线l 的斜率等于．6.已知倾斜角为45︒的直线l 过点A (1,-2)和点B ,B 在第一象限,|AB |=32.（1）求点B 的坐标;x 2F 两点,且线段EF 的中点坐标为(4,1),求a 的值.（2）若直线l 与双曲线C :2-y 2=1(a >0)相交于E 、ax2y2+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1,m)(m>0)．7．已知斜率为k的直线l与椭圆C：43(1)证明：k<-1；2(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP+FA+FB=0．证明：|FA|，|FP|，|FB|成等差数列，并求该数列的公差．高中数学解析几何中点弦问题探究（设而不求与点差法）参考答案典型例题：x 2y 2例1.【答案】：9-16=1.⎧x 12y 12-=1⎪⎪a 2b 2【解析】解法一：中点弦问题一般采用点差法.c =5，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)∴⎨两式作差得22⎪x 2-y 2=1⎪⎩a 2b 2y 1+y 2-0(x -x 1)(x -x 2)(y -y 1)(y -y 2)y 1-y 2y 1+y 2b y 1-y 2b 22=,⇒⋅=⇒⋅=a 2b 2x 1-x 2x 1+x 2a 2x 1-x 2x 1+x 2-0a 228080--0-2a 1616b 277即k AB ⋅kOM =2, k AB =k FM ==1,k OM ==,⇒k AB ⋅k OM ==245459b 9a --5-772x 2y 2=1∴a =3,b =4，所以双曲线方程为-916.解法二： kAB=kFM80⎧y =x -5-0⎪消去y ，可得=7=1,设直线AB :y =x -5，⎨x 2y 245⎪2-2=1--5b ⎩a 7-⎧10a 2x 1+x 2=-2⎪10b 2⎪b-a 22222222(b -a )x +10a x -25a -a b =0⇒∆>0,⎨,y 1+y 2=x 1+x 2-10=-22222b -a -25a -a b ⎪x x =12⎪b 2-a 2⎩⎧5a 245-2=-222⎪25a 5b a 459⎪b -a 7所以M (,)⇒⇒==⇒a =3,b =4，⎨222222b -a b -a b 8016⎪-5b =-80⎪7⎩b 2-a 2x 2y 2-=1所以双曲线方程为916例2【答案】B⎧y 12=4x 1,【解析】由题意得：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，都在抛物线上⎨2y =4x 2⎩2y1-y 12=4(x1-x2)⇒2y 1-y 24=2，直线还经过P (1,1)，=x 1-x 2y 1+y2所以直线方程为y =2x -1例3.【解析】：设弦两端点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点R (x ，y )，则⎧x 12+2y 12=2，⎪22⎪x 2+2y 2=2，⎨⎪x 1+x 2=2x ，⎪y +y =2y ，⎩12①②③④①－②得(x 1+x2)(x1-x 2)+2(y 1+y2)(y1-y 2)=0．由题意知x 1≠x 2，则上式两端同除以x 1-x2，有(x1+x2)2(y1+y2)y 1+y 2=0，x 1-x2将③④代入得x +2y （1）将x =y 1-y2=0．⑤x 1-x2y -y 2111=-，故所求直线方程为：2x +4y -3=0．⑥，y =代入⑤，得1x 1-x 222222将⑥代入椭圆方程x +2y =2得6y 2-6y -所求．（2）将11=0，∆=36-4⨯6⨯>0符合题意，2x +4y -3=0为44y 1-y2=2代入⑤得所求轨迹方程为：x +4y =0．（椭圆内部分）x 1-x2（3）将y 1-y 2y -122=代入⑤得所求轨迹方程为：x +2y -2x -2y =0．（椭圆内部分）x 1-x 2x -22x 12+x 22+y 12+y 2=2，⑦，将③④平方并整理得（4）由①＋②得：2()22x 12+x 2=4x 2-2x 1x 2，⑧，y 12+y 2=4y 2-2y 1y 2，⑨4x 2-2x 1x2+4y 2-2y 1y 2=2，⑩将⑧⑨代入⑦得：4()y 21⎛1⎫222=1．再将y 1y 2=-x 1x 2代入⑩式得：2x -x 1x 2+4y -2 -x 1x 2⎪=2，即x +12⎝2⎭2此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例4.【解析】:（1）点差法：step1：设直线与曲线：设直线l :y =kx +t 与曲线C :9x 2+y 2=m 2(m >0)交于两点A 、B ，AB 中点为P (x 中,y 中)，则有A ,B 既在直线上又在曲线上，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)；222⎧y 1=kx 1+t ⎧⎪9x 1+y 1=m ⋅⋅⋅(1)Step2：代入点坐标：即⎨；⎨222y =kx +t ⎪⎩22⎩9x 2+y 2=m ⋅⋅⋅(2)；Step3：作差得出结论：（1）-（2）得：kOM⋅k l=-9；⎛-3mk +k 2m 9m -3km ⎫y M m ⎫⎛（2）设l 的斜率为k ，由联立得M .k =-9①，y M -m =k x M -⎪②， 3(k 2+9),k 2+9⎪⎪，x M3⎝⎭⎝⎭⎛-6mk +2k 2m 18m -6km ⎫得P 3(k 2+9),k 2+9⎪⎪，代入椭圆中得：⎝⎭k 4-8k 3+18k 2-72k +81=0，k 2+9k 2-8k +9=0，k =4±7，即存在。
关于二次曲线中点弦的几个问题
关于二次曲线中点弦的几个问题
肖振纲
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】1995(000)004
【摘要】如果二次曲线的弦AB以M为中点,则称AB为点M的中点弦。
文[1]、[2]先后讨论了二次曲线中点弦的存在性问题,但均用到了超出中学数学范围的知识。
能否用通常的解析几何方法讨论其存在性问题?能否直接根据点M的位置而确定其中点弦所在直线的方程以及中点弦的弦长?本文对这几个问题均予以肯定的回答。
【总页数】3页(P12-14)
【作者】肖振纲
【作者单位】湖南岳阳师专!414000
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
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1.求解二次曲线中点弦所在直线方程的基本思路 [J], 陈伟
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