垂径定理在实际问题中的应用举例
垂径定理及其应用
垂径定理应用举例垂径定理是圆中最基本和最重要的定理之一，利用垂径定理，可以解决许多数学问题，如证明圆中线段相等，角相等，线段垂直，证明弧相等，也是后面学习圆的其他性质的重要依据，利用它可以综合运用勾股定理和三角函数，使解决问题的思路更宽。
在运用垂径定理的时候，必须掌握常见的辅助线的作法，那就是作过圆心的直线或直径、弦心距。
从而构造直角三角形来处理问题。
在垂径定理部分共涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h它们之间存在重要的关系式：r = h+d ; r2 = d2 + (a/2)2下面介绍一下垂径定理在解题中的应用。
1、应用公式r2 = d2 + (a/2)2 解决问题。
例1、已知：⊙O的半径为5 ，弦AB∥CD ，AB = 6 ，CD =8 .求：AB与CD间的距离.解：分两种情况：（1）当弦AB、CD在圆心O的两侧过点O作EF⊥AB于E，连结OA、OC，又∵AB∥CD，∴EF⊥CD．（注意：作辅助线是难点，学生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，错误的结论）由EF过圆心O，EF⊥AB，AB = 6，得AE=3，在Rt△OEA中，由勾股定理，得，∴同理可得：∴EF=OE+OF=4+3=7．（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧同（1）的方法可得：OE=4，OF=3．∴．评析：①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②培养学生作辅助线的方法和能力．例2、已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC∥AB ，AB=24 ，OC = 15 .求：BC的长.解：过O作OE⊥AB于E ，则AE=BE=12，过B作BF⊥OC于F ，连结OB.在Rt△OEB中，由勾股定理，得OE=9。
由已知条件可得四边形OEBF是矩形，则BF=OE=9，OF=BE=12。
在Rt△FCB中，由勾股定理，得BC =评析：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间建立关系.2、在实际问题中的应用例1、在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后．截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．分析：要求油的最大深度，就是求有油的弓形的高，弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后垂径定理和勾股定理来解决．解：过O点作OC┷AB于E，交弧AB于D点，Rt△OBC中，由勾股定理可求OC=125，所以CD=OD-OC=200。
垂径定理在计算习题中的应用
习题二 ：已知 ６ ３ ０ 的半径 ＝ ５ ，弦Ａ 曰 与弦∞ 平 行， 他们之间距离 为１ ， Ａ Ｂ ＝ ８ 。求弦Ｃ Ｄ的长 。
习题 三 ： 已知 ＱＯ的半 径Ｒ＝ ５ ， 弦Ａ 曰 与弦Ｃ Ｄ 平
交ＡＢ 于Ｄ， Ａ Ｂ＝ ２ ４ ｃ ｍ， ＧＯ的半径 为 １ ３ ，求 Ｃ Ｄ的
长。
例题六 ： ＧＯ的半径 为１ ３ ｃ ｍ， 弦Ａ 曰／ ／ Ｃ Ｄ， 且Ａ Ｂ ＝
２ ４ ｃ ｍ， Ｃ Ｄ＝ ６ ｃ ｍ， 求 与 Ｃ Ｄ 之 间 的距 离 。
习题一 ： 已知 ： ００ 中， Ａ Ｂ 为弦 ， Ｄ为ＡＢ 中点 ， Ｏ Ｃ
习题一 ： 如 图６ ， 已知 ｏ０的半径长 为Ｒ＝ ５ ， 弦 曰 与弦Ｃ Ｄ平行 ， 他们之间的距 离为７ ， Ａ Ｂ ＝ ８ 。 求弦Ｃ Ｄ的
Ｂ
习题 四 ： 已知 ＧＯ 的半径长为Ｒ＝ ５ ， 弦Ａ Ｂ 与 弦Ｃ Ｄ 平行 ， 他们之间距离为ｌ ， Ｃ Ｄ ＝ ６ 。求弦Ａ 曰 的长 。
习题二 ： 如 图３ — １ ， 两 同心 圆 ， 连接 Ｏ Ａ， Ｏ Ｂ， 设
Ｏ Ａ＝ Ｏ Ｂ， 求证： Ｃ ＝ Ｂ Ｄ。
图５ － １ 图５ — ２ 图６
０
．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．一
例题 一 ： 如图１ ， ６ ３ ０ 的直径为２ ６ ， 圆 Ｇｏ 到 弦Ａ Ｂ
的距 离 Ｏ Ｍ的长 为 ５ ， 那 么 弦Ａ Ｂ的长 是 — — 。
习题一 ： 如图４ ， 某公园石拱桥是 圆弧形 ， 其跨 度
行， 他们之间距离为７ ， Ｃ Ｄ ＝ ６ 。求弦ＡＢ 的长。
例题 三 ： 已知 ： 如 图３ — １ ， 若 以０为 圆心 作一 个
(文章)垂径定理解题应用举例
垂径定理解题应用举例垂径定理及其推论是《圆》一章的重要考点，定理告诉我们，对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具有其它三个：①垂直于弦，②过圆心，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧。
它反映了圆的重要性质，是证明线．段相等．．．、角相等．．．、垂直关系．．．．的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法和依据，下面分类举例说明。
一、利用垂径平分弦所对的弧，来处理角的关系例1 (重庆市)如图1，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD ＝40°,则∠DCF 等于（ ）A.80°B. 50°C. 40°D. 20° 【析解】本题可由②③⇒①④⑤，所以可得ED DF =，从而得出∠DCF 与∠EOD 的关系。
解：∵直径CD 平分弦EF ， ∴ ED DF =， ∴ ∠DCF ＝12∠EOD ＝20°。
故选（D ）．二、利用垂径垂直平分弦，证相关线段相等例2 (南京市)如图2，矩形ABCD 与与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ， GB ＝8cm ，AG ＝1cm ，DE ＝2cm ，则EF ＝ cm .【分析】本题上手有点不知所措，其实利用矩形和垂径定理相关知识可以得到解决。
分别过O ，G 作OM ⊥CD ，GN ⊥DC ，即可求出EF 的长。
解：如图2，分别过O ，G 作OM ⊥CD ，GN ⊥DC ，则根据矩形的性质可得：NC ＝GB ＝8，DN ＝AG ＝1，GN ∥OM ∥BC ，∵ OM ⊥EF ， ∴ EM ＝MF ，∵ OG ＝OB ，GN ∥OM ∥BC ， ∴ MN ＝MC ，∴ CF ＝NE ， ∵ DE ＝2，∴ NE ＝DE －DN ＝DE －AG ＝1， ∴ EF ＝NC －NE －CF ＝8－2＝6．三、利用垂径定理，构造直角三角形，利用勾股定理 例 3 （长春市）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，图3是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB ＝16cm ，水面最深地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径．分析：（1）要补全输水管道的圆形截面，需要画出图3所在的圆，因此首先确定所在图1O G FEDC N M OGF E D C BA图2图3圆的圆心和半径.⑴任作两条弦，⑵分别作出两弦的垂直平分线，⑶两弦的垂直平分线的交点为圆心，⑷以交点为圆心,交点到圆上任意一点为半径作圆，所作出的圆即为所求.作图过程:略.（2）本题的解题关键是作垂直于弦的半径,然后构造直角三角形,应用勾股定理列方程求解.解：（1）正确作出图形，并做答．（2）如图4,解：过O 作OC ⊥AB 于D ，交弧AB 于C ， ∵OC ⊥AB ， ∴BD ＝21AB ＝21×16＝8cm ． 由题意可知，CD ＝4cm ．设半径为x C m ，则OD ＝（x －4）cm ． 在Rt △BOD 中，由勾股定理得：OD 2＋BD 2＝OB 2， ∴( x －4)2＋82＝x 2．∴x ＝10．四、利用垂径垂直弦，构造成特殊四边形例4 （四川省）如图5，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直的两条弦， AB ＝8cm ，AC ＝6cm ，那么⊙O 的半径OA 的长（ ）A ．4 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．8 cm【分析】要求半径OA 的长，可通过垂径定理构造Rt △，于是过O 分别作OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，则可得矩形ADOE 。
3.3垂径定理的应用
如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且 相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 求证：四边形ADOE是正方形． C
E
A
· O D
B
A C
.
O
┓ E D B
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则根据 垂径定理，得AE＝BE，CE＝DE。 ∴AE－CE＝BE－DE。
∴AC＝BD
变式：
图中两圆为同心圆
变式1：隐去大圆，连接OA，OB，设
OA=OB，AC、BD有什么关系？为什
么？
O
A C
D B
变式：
图中两圆为同心圆
变式2：隐去小圆，连接OC，OD，设
已知：AB是⊙O直径，CD
是弦，AE⊥CD，BF⊥CD 求证：EC＝DF
A E C
M
B
O
.
D F
AB是⊙O的直径，直线MN不经过圆心O,交⊙O于C、 D两点，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F。 （1）如图，在下面2个圆中分别补画出满足上述 条件的具有不同位置关系的图形； （2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各 图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其它 字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结 论中，不写推理过程）；
.O
.P
垂径定理三角形在生活中的应用
生活应用 1. 测公路的弯道的半径 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD， 点O是圆心），其中CD=600m，E为弧CD上一点，且 OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径. 解：连接OC. C 设弯路的半径为Rm，则0F=（R-90）m. E ∵OE⊥CD， ∴CF= =300（m）. F D R 在Rt 中，根据勾股定理，得 OC2=CF2+OF2， 0 即 R2=3002+（R-90）2 解这个方程，得R=545. 答：这段弯路的半径为545m.
垂径定理的应用
与垂径定理有关的情景问题赏析河北 杜友平日常生活中到处都有圆，人们的生活离不开圆，圆被人们看成是最完美、最美丽的图形，垂径定理是圆的重要内容，在实际生活中有着广泛的应用。
近两年的中考中与垂径定理有关的情景问题不断出现，只有理解和掌握了垂径定理用其有关的变化，然后将垂径定理与勾股定理在机结合起来，这样的问题就迎刃而解。
一、圆中的最小值：(2007四川乐山课改,3分)如图，M N 是O 的直径，2M N =，点A 在O 上，30AMN = ∠，B为A N 的中点，P 是直径M N 上一动点，则P A PB +的最小值为（ ）Ａ．Ｃ．1 Ｄ．2答案：Ｂ二、求圆的半径：利2.(2007湖南张家界课改，9分)如图，已知A B 为圆O 的弦（非直径），E 为A B 的中点，E O 的延长线交圆于点C ，C D AB ∥，且交A O 的延长线于点D ．:E O O C 1:2=，4C D =，求圆O 的半径．答案：解： E 是A B 的中点，∴O E A B ⊥，即90AEO ∠=，AB C D ∥，90OCD ∴∠=，A O E D O E ∠=∠ ，∴A O E D O C △∽△，::1:2AE D C O E O C ∴==， 122A E C D ∴==．又2O A O C O E == ， 而222AE OE OA +=，C224(2)O E O E ∴+=，O E ∴=∴圆O的半径22O A O E ===三、求弦长：例 3. （2007广东梅州课改，7分）如图，点C 在以A B 为直径的O 上，C D AB ⊥于P ，设A P a PB b ==，．（1）求弦C D 的长；（2）如果10a b +=，求a b 的最大值，并求出此时a b ，的值．答案：解：（1）连结22a b b a O C O C O P +-==，，，所以2222222a b a b PC O C O P ab +-⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2C D PC ==（也可以根据A P C C P B △∽△求解）4分（2）由于C D A B ≤，所以10a b +=，得25ab ≤，所以a b 的最大值为25，此时5a b ==．A BB。
初中数学 垂径定理的应用有哪些
初中数学垂径定理的应用有哪些
垂径定理是初中数学中一个重要的定理，它有着广泛的应用。
下面我将介绍垂径定理的几个常见应用。
1. 判断垂直关系：
垂径定理可以用于判断两条线段或弦之间是否垂直。
当一条线段垂直于圆的直径，并且与直径的两个端点相交时，根据垂径定理，与这条线段所得的弦所连接的两个交点连线一定垂直于这条直径。
因此，我们可以通过观察线段和弦的几何关系，利用垂径定理判断它们是否垂直。
2. 求解问题：
垂径定理可以帮助我们求解与垂直关系相关的问题。
例如，已知一条线段垂直于圆的直径，并且与直径的两个端点相交，我们可以利用垂径定理得到与这条线段所得的弦垂直的弦。
这样，我们可以利用已知的线段和求得的弦，进一步解决几何问题，如计算长度、角度等。
3. 证明几何定理：
垂径定理也可以作为证明其他几何定理的基础。
例如，当我们需要证明某个弦与圆的直径垂直时，可以先证明这条弦与圆的直径的一个端点连线是垂直的，然后应用垂径定理得出结论。
垂径定理的应用可以简化证明过程，使证明更加简洁和直观。
4. 解决实际问题：
垂径定理的应用不仅局限于理论推导，还可以帮助我们解决实际问题。
例如，在建筑设计中，我们需要确定某个角度的垂线位置，可以利用垂径定理判断垂线与圆的直径的关系。
在地理测量中，我们需要确定某个位置的垂直高度，也可以运用垂径定理来计算。
以上是垂径定理的几个常见应用。
垂径定理通过垂直关系的判断和问题的求解，帮助我们理解和应用几何知识，解决实际问题。
希望以上内容能够满足你对垂径定理应用的了解。
部编数学九年级上册专题24.2垂径定理的应用(重点题专项讲练)(人教版)(解析版)含答案
专题24.2 垂径定理的应用【典例1】如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）连接ON，OB，根据勾股定理即可得到结论．解：（1）如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝12m，∴BD=12AB＝6m．又∵CD＝4m，设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，解得r＝6.5．∴拱桥的半径为6.5m．（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3.4m，∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44，∴EN m）．∴MN＝2EN＝2×≈5.4m＞5m．∴此货船能顺利通过这座拱桥．1．（2022•南海区校级一模）如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（ ）A．50m B．45m C．40m D．60m【思路点拨】设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交AB于D，连接OA，先由垂径定理得AC＝BC=12AB＝150，再由勾股定理求出OC＝200，然后求出CD的长即可．【解题过程】解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交AB于D，连接OA，如图所示：则OA＝OD＝250，AC＝BC=12AB＝150，∴OC=200，∴CD＝OD﹣OC＝250﹣200＝50（m），即这些钢索中最长的一根为50m ，故选：A ．2．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为圆心的圆，如图2，已知圆心O 在水面上方，且⊙O 被水面截得弦AB 长为4米，⊙O 半径长为3米．若点C 为运行轨道的最低点，则点C 到弦AB 所在直线的距离是（ ）A ．1米B ．2米C ．米D ．(3+米【思路点拨】连接OC ，OC 交AB 于D ，由垂径定理得AD ＝BD =12AB ＝2（米），再由勾股定理得OD 后求出CD 的长即可．【解题过程】解：连接OC ，OC 交AB 于D ，由题意得：OA ＝OC ＝3米，OC ⊥AB ，∴AD ＝BD =12AB ＝2（米），∠ADO ＝90°，∴OD ==∴CD＝OC﹣OD＝（3即点C到弦AB所在直线的距离是（3故选：C．3．（2022•宣州区二模）如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，则该拱门的半径为（ ）A．53m B．2m C．83m D．3m【思路点拨】取圆心为O，连接OA，由垂径定理设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，由拱高CD＝3m，OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，由垂径定理得出AD＝1m，由勾股定理得出方程r2＝12+（3﹣r）2，解得：r=53，得出该拱门的半径为53m，即可得出答案．【解题过程】解：如图，取圆心为O，连接OA，设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，∵拱高CD＝3m，∴OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，∵AB＝2m，∴AD＝BD=12AB＝1m，∵OA2＝AD2+OD2，∴r2＝12+（3﹣r）2，解得：r=5 3，∴该拱门的半径为53 m，故选：A．4．（2021秋•海淀区校级期中）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交AB于点D，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出AB＝40cm，CD＝10cm，则轮子的半径为（ ）A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm【思路点拨】由垂径定理，可得出BC的长；连接OB，在Rt△OBC中，可用半径OB表示出OC的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．【解题过程】解：设圆心为O，连接OB．Rt△OBC中，BC=12AB＝20cm，根据勾股定理得：OC2+BC2＝OB2，即：（OB﹣10）2+202＝OB2，解得：OB＝25；故轮子的半径为25cm．故选：C．5．（2021秋•曾都区期中）在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油后，当油面宽变为8分米，油面AB上升（ ）A．1分米B．4分米C．3分米D．1分米或7分米【思路点拨】实质是求两条平行弦之间的距离．根据勾股定理求弦心距，作和或差分别求解．【解题过程】解：连接OA．作OG⊥AB于G，则在直角△OAG中，AG＝3分米，因为OA＝5cm，根据勾股定理得到：OG＝4分米，即弦AB的弦心距是4分米，同理当油面宽AB为8分米时，弦心距是3分米，当油面没超过圆心O时，油上升了1分米；当油面超过圆心O时，油上升了7分米．因而油上升了1分米或7分米．故选：D．6．（2021秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（ ）A．3cm B．134cm C．154cm D．174cm【思路点拨】设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，由垂径定理得：NF＝EN=12EF＝3（cm），设OF＝xcm，则OM＝（4﹣x）cm，再在Rt△MOF中由勾股定理求得OF的长即可．【解题过程】解：设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，如图所示：则NF＝EN=12EF＝3（cm），∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝6cm，设OF＝xcm，则OM＝OF，∴ON＝MN﹣OM＝（6﹣x）cm，在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2，即：（6﹣x）2+32＝x2，解得：x=15 4，即球的半径长是154cm，故选：C．7．（2022•鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（ ）A ．10cmB ．15cmC ．20cmD ．24cm【思路点拨】连接OE ，交AB 于点F ，连接OA ，∵AC ⊥CD 、BD ⊥CD ，由矩形的判断方法得出四边形ACDB 是矩形，得出AB ∥CD ，AB ＝CD ＝16cm ，由切线的性质得出OE ⊥CD ，得出OE ⊥AB ，得出四边形EFBD 是矩形，AF =12AB =12×16＝8（cm ），进而得出EF ＝BD ＝4cm ，设⊙O 的半径为rcm ，则OA ＝rcm ，OF ＝OE ﹣EF ＝（r ﹣4）cm ，由勾股定理得出方程r 2＝82+（r ﹣4）2，解方程即可求出半径，继而求出这种铁球的直径．【解题过程】解：如图，连接OE ，交AB 于点F ，连接OA ，∵AC ⊥CD 、BD ⊥CD ，∴AC ∥BD ，∵AC ＝BD ＝4cm ，∴四边形ACDB 是平行四边形，∴四边形ACDB 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ＝16cm ，∵CD 切⊙O 于点E ，∴OE ⊥CD ，∴OE ⊥AB ，∴四边形EFBD 是矩形，AF =12AB =12×16＝8（cm ），∴EF ＝BD ＝4cm ，设⊙O 的半径为rcm ，则OA ＝rcm ，OF ＝OE ﹣EF ＝（r ﹣4）cm ，在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，∴r2＝82+（r﹣4）2，解得：r＝10，∴这种铁球的直径为20cm，故选：C．8．（2022•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为 400π .（结果保留π）【思路点拨】根据垂径定理，勾股定理求出OB2，再根据圆面积的计算方法进行计算即可．【解题过程】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D，∵OD⊥AB，OD过圆心，AB是弦，∴AD＝BD=12AB=12（AC+BC）=12×（11+21）＝16，∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，∴S⊙O＝π×OB2＝400π，故答案为：400π．9．（2021秋•溧水区期末）在一个残缺的圆形工件上量得弦BC＝8cm，BC的中点D到弦BC的距离DE＝2cm，则这个圆形工件的半径是 5 cm．【思路点拨】由垂径定理的推论得圆心在直线DE上，设圆心为0，连接OB，半径为R，再由垂径定理得BE＝CE=12 BC＝4（cm），然后由勾股定理得出方程，解方程即可．【解题过程】解：∵DE⊥BC，DE平分弧BC，∴圆心在直线DE上，设圆心为O，半径为Rcm，如图，连接OB，则OD⊥BC，OE＝R﹣DE＝（R﹣2）cm，∴BE＝CE=12BC＝4（cm），在Rt△OEB中，OB2＝BE2+OE2，即R2＝42+（R﹣2）2，解得：R＝5，即这个圆形工件的半径是5cm，故答案为：5．10．（2022•柯桥区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为 26 寸．【思路点拨】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC ＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB 的长．【解题过程】解：连接OC，∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE=12CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸，故答案为：26．11．（2021秋•瑞安市期末）某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE＝10 m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17m，则MN＝ 10 m．【思路点拨】根据题意和垂径定理得到CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，根据勾股定理求得半径，进而利用勾股定理求得MH，即可求得MN．【解题过程】解：设CD于AB交于G，与MN交于H，∵CD＝18m，AE＝10m，AB＝24m，HD＝17m，∴CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，设圆拱的半径为r，在Rt△AOG中，OA2＝OG2+AG2，∴r2＝（r﹣8）2+122，解得r＝13，∴OC＝13m，∴OH＝13﹣1＝12m，在Rt△MOH中，OM2＝OH2+MH2，∴132＝122+MH2，解得MH2＝25，∴MH＝5m，∴MN＝10m，故答案为10．12．（2022•荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为 7.5 cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．【思路点拨】设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由垂径定理得AM＝DM=12AD＝6（cm）然后在Rt△OAM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解题过程】解：如图，设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由题意得：AD＝12cm，OM＝32﹣20﹣r＝（12﹣r）（cm），由垂径定理得：AM＝DM=12AD＝6（cm），在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM2+OM2＝OA2，即62+（12﹣r）2＝r2，解得：r＝7.5，即球的半径为7.5cm，故答案为：7.5．13．（2021秋•温州校级月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为 26 米．【思路点拨】过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，由垂径定理得AN＝BN=12AB＝10（米），再证四边形DCNM是矩形，则MN＝CD＝14米，DM＝CN＝BC+BN＝24（米），设该圆的半径长为r米，然后由题意列出方程组，解方程组即可．【解题过程】解：过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，如图所示：则AN＝BN=12AB＝10（米），∠ONC＝∠DMN＝90°，∵DC⊥AB，∴∠DCN＝90°，∴四边形DCNM是矩形，∴MN＝CD＝14米，DM＝CN＝BC+BN＝24（米），设该圆的半径长为r米，由题意得：ON2=r2−102 OM2=r2−242 OM=ON−14，解得：r=26ON=24 OM=10，即该圆的半径长为26米，故答案为：26．14．（2021秋•金安区校级期末）往直径为680mm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽AB＝600mm，求油的最大深度．【思路点拨】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD 的长，进而可得出CD的长．【解题过程】解：过点O作OC⊥AB于点D，交弧AB于点C．∵OC⊥AB于点D∴BD=12AB=12×600＝300mm，∵⊙O的直径为680mm∴OB＝340mm…（5分）∵在Rt△ODB中，OD=160（mm），∴DC＝OC﹣OD＝340﹣160＝180（mm）；答：油的最大深度为180mm．15．（2021秋•惠城区校级期中）如图，⊙O为水管横截面，水面宽AB＝24cm，水的最大深度为18cm，求⊙O的半径．【思路点拨】由垂径定理可知AD＝12cm，设⊙O的半径为rcm，则OD＝（18﹣r）cm，在Rt△AOd中，再利用勾股定理即可求出r的值．【解题过程】解：作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，∴AD=12AB=12×24＝12cm，设⊙O的半径为rcm，则OD＝ED﹣OE＝（18﹣r）cm，在Rt△AOD中，由勾股定理得：OA2＝OD2+AD2，即r2＝（18﹣r）2+122，解得：r＝13，即⊙O的半径为13cm.16．（2021秋•奈曼旗期中）如图所示，测得AB是8mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，求这个圆的直径．【思路点拨】过O作OC⊥AB于C，交优弧AB于D，连接AO，由垂径定理得AC＝BC=12AB＝4（mm），设⊙O的半径为rmm，则OC＝CD﹣OD＝（8﹣r）mm，然后在Rt△AOC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解题过程】解：如图，过O作OC⊥AB于C，交优弧AB于D，连接AO，则AC＝BC=12AB＝4（mm），CD＝8mm，设⊙O的半径为rmm，则OC＝CD﹣OD＝（8﹣r）mm，在Rt△AOC中，由勾股定理得：42+（8﹣r）2＝r2，解得：r＝5，即⊙O的半径为5mm，∴⊙O的直径为10mm．17．（2021秋•阜阳月考）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）．问这块圆形木材的直径（AC）是多少？”如图所示，请根据所学的知识解答上述问题．【思路点拨】设⊙O的半径为x寸．在Rt△ADO中，AD＝5寸，OD＝（x﹣1）寸，OA＝x寸，则有x2＝（x﹣1）2+52，解方程即可．【解题过程】解：设⊙O的半径为x寸，∵OE⊥AB，AB＝10寸，∴AD＝BD=12AB＝5寸，在Rt△AOD中，OA＝x，OD＝x﹣1，由勾股定理得x2＝（x﹣1）2+52，解得x＝13，∴⊙O的直径AC＝2x＝26（寸），答：这块圆形木材的直径（AC）是26寸．18．（2021秋•高新区期中）某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面图；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝32cm，水最深处的地方高度为8cm，求这个圆形截面的半径．【思路点拨】（1）根据尺规作图的步骤和方法做出图即可；（2）先过圆心O作半径OD⊥AB，交AB于点D，设半径为r，得出AD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径．【解题过程】解：（1）如图所示；（2）作OD⊥AB于D，并延长交⊙O于C，则D为AB的中点，∵AB＝32cm，∴AD=12AB＝16．设这个圆形截面的半径为xcm，又∵CD＝8cm，∴OC＝x﹣8，在Rt△OAD中，∵OD2+AD2＝OA2，即（x﹣8）2+162＝x2，解得，x＝20．∴圆形截面的半径为20cm．19．（2021秋•黔西南州期末）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．【思路点拨】由垂径定理可知AM＝BM、A′N＝B′N，利用AB＝60，PM＝18，可先求得圆弧所在圆的半径，再计算当PN ＝4时A′B′的长度，与30米进行比较大小即可．【解题过程】解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，则OA＝OA′＝OP，由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝60米，∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N=16（米），∴A′B′＝32米＞30米，∴不需要采取紧急措施．20．（2021秋•余干县期中）如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．【思路点拨】（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC至O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；（2）利用垂径定理以及勾股定理得出HF的长，再求出EF的长即可．【解题过程】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，则BC=12AB＝1.6（米），设⊙O的半径为R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，解得R＝2，即该圆弧所在圆的半径为2米；（2）过O作OH⊥FE于H，则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2=65（米），OF＝2米，在Rt△OHF中，HF== 1.6（米），∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），即支撑杆EF的高度为0.4米．21．如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是一款拱门的示意图，其中C为AB中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心，已知拱门的半径为1.5m，拱门最下端AB＝1.8m．（1）求拱门最高点D到地面的距离；（2）现需要给房间内搬进一个长和宽为2m，高为1.2m的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为0.5m 2.236）【思路点拨】（1）如图②中，连接AO．利用勾股定理求出OC即可；（2）如图②﹣1，弦EF＝2m，且EF⊥CD，连接OE．求出CJ即可．【解题过程】解：（1）如图②中，连接AO．∵CD⊥AB，CD经过圆心O，∴AC＝CB＝0.9m，∴OC= 1.2（m），∴CD＝OD+PC＝1.5+1.2＝2.7（m），∴拱门最高点D到地面的距离为2.7m；（2）如图②﹣1，弦EF＝2m，且EF⊥CD，连接OE．∵CD⊥EF，CD经过圆心，∴EJ＝JF＝1m，≈1.118，∴OJ=2∴CJ＝1.2﹣1.118＝0.082（m），∵0.5＞0.082，∴搬运该桌子时能够通过拱门．22．（2021秋•姑苏区校级月考）诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．【思路点拨】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）连接ON，利用勾股定理求出EN，得出MN的长，即可得到结论．【解题过程】解：（1）如图，连接OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝16m，∴BD=12AB＝8（m），又∵CD＝4m，设OB＝OC＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+82，解得r＝10．答：此圆弧形拱桥的半径为10m．（2）此货船不能顺利通过这座拱桥，理由如下：连接ON，∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，∴CE＝4﹣3＝1（m），∴OE＝r﹣CE＝10﹣1＝9（m），在Rt△OEN中，由勾股定理得：EN∴MN＝2EN＝＜12m．∴此货船B不能顺利通过这座拱桥．。
垂径定理的应用
垂径定理的应用
1．如图是公园中的一个圆弧形拱门，其中拱门的圆心是点O，拱门的最高处点A到地面的距离AH=3米，拱门的地面宽BC=2米，求拱门的半径．
2．如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB为24cm，求截面上有油部分油面高CD（单位：cm）．
276．如图所示，某城区的过境公路MN和城区马路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，现计划在点A
（马路PQ边）处建一所中学，AP=160m，假设汽车行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响．
（1）那么汽车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校A是否会受到噪声的影响？请说明理由；
（2）如果受到影响，已知汽车的速度限为60km/小时，那么学校受到影响的时间为多少秒？
3．如图所示，已知B、C两个乡镇相距25千米，有一个自然保护区A与B相距15千米，与C相距20千米，以点A为圆心，10千米为半径是自然保护区的范围，现在要在B、C两个乡镇之间修一条笔直的公路，请问：这条公路是否会穿过自然保护区？试通过计算加以说明．。
九年级数学下册 3.3 垂径定理应用例析素材 (新版)北师大版
垂径定理应用例析圆是轴对称图形图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，利用这个“对称性”，我们可以得到垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.结合圆的特点，我们体会它们的用处：【例1】在直径为1米的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图1所示,若油面宽AB =0.6米,则油的最大深度为_______.图1分析：本题考查垂径定理和勾股定理.欲求油的最大深度,就是求图1中弓形高CD =OD －OC ,所以关键是求OC ,利用勾股定理在△AOC 中可求出.通过本题可看出图中弦长a ,弦心距d ,半径r ,与弓形高h 四者之间的关系,要特别明确:①r =h +d ; ②r 2=(2a )2+d 2,由两个式子可知对于a 、d 、r 、h 这四个量,已知两个,另外两个一定能求,我们应该熟记.解：作半径OD ⊥AB 于C ,∴AC =21AB =0.6×21=0.3. 在Rt △AOC 中,∵OC =22AC OA -=22)3.0()5.0(-=0.4, ∴CD =OD －OC =0.5－0.4=0.1(米). ∴油的最大深度为0.1米.【例2】在半径为5厘米的圆内有两条互相平行的弦,一条弦长为8厘米,另一条弦长为6厘米,则两弦之间的距离为_______.分析：本题考查垂径定理和勾股定理.根据题意,画出图形,这是与半径、弦长有关的问题,很自然联想到垂径定理,作出垂径,根据弦长a ,圆心到弦的距离d ,半径r 三者之间的关系r 2=(2a )2+d 2可求出弦心距d ,从而问题解决.解答本题时,一定要注意分两种情况讨论,两条平行弦可能在圆心两侧,也可能在圆心同侧.解：①如图2所示,如果两条平行弦在圆心两侧,过O 作EF ⊥AB 于E ,EF ⊥CD 于F ,连结AO 、CO , 在Rt △AOE 中,OE =22AE OA -=2245-=3, 在Rt △COF 中,OF =22CF OC -=2235-=4, ∴EF =OE +OF =7(厘米).E FA BCDOE F ABC D O图2图3②如图3所示,如果两条平行弦在圆心同侧,过O 作OE ⊥AB 于E ,延长OE 交CD 于F . ∵AB ∥CD ,则OF ⊥CD ,连结AO 、CO ,在Rt △AOE 中,OE =22AE OA -=2245-=3, 在Rt △COF 中,OF =22CF OC -=2235-=4, ∴EF =OF －OE =1(厘米).【例3】已知：如图4，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于P ，CD ＝10cm ，AP :PB ＝1:5.求：⊙O 的半径.图3分析：已知直径AB ⊥弦CD ，利用垂径定理可知PC =21CD =5cm ，可设AP =x ，PB =5x ，直径AB =6x ，连结OC ，则OC =3x ，把已知和未知集中在Rt △CPO 中，利用勾股定理可以求解.一个圆的半径有无数条，在解题时要利用好这个条件，并能恰当地增添辅助线.连结OC ，构造出一个直角三角形，利用勾股定理便可以使问题得以解决.在圆中有关弦，弦心距，半径的问题常作的辅助线是连半径或作弦心距，常把垂径定理和勾股定理结合起来解题.解：连结OC ∵ AP :PB ＝1:5.∴ 设AP ＝x ，PB ＝5x ，AB ＝AP ＋PB ＝6x .∵ 直径AB ⊥弦CD . ∴ PC ＝PD ＝21CD ＝5cm . ∵ OC ＋OA ＝3x . ∴ PO ＝2x .在Rt △POC 中，根据勾股定理，得OC 2＝PC 2＋OP 2. ∴ (3x )2＝52＋(2x )2.解方程，得x ＝±5，x ＝－5不合题意，舍去. ∴ ⊙O 的半径为35cm .【例4】“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题,“今有圆材,埋壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何？”用现在的数学语言表述是:“如图3－2－16所示,CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD ,垂足为E , CE =1寸,求直径CD 的长.”分析：本题是考查垂径定理和勾股定理的一道跨学科试题.解决本题的关键是理解题意,把文言文翻译成数学语言,然后画出几何图形,再利用数学知识来解决.解：连结OA .∵AB ⊥CD ,CD 为直径,∴AE =21AB =21×10=5(寸). 在Rt △AEO 中,设OA =x ,则OE =x －1,由勾股定理,得x 2=52+(x －1)2,解得x =13. ∴OA =13,∴CD =2AO =26(寸).。
垂径定理在实际问题中的应用举例
- 1 -垂径定理在实际问题中的应用“数学源于生活，生活中充满着数学”,我们刚刚学过的垂经定理在生活中就有着广泛的应用，中考中也常常体现这一点，现采撷几例,以飨读者．例1小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图1所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A ．第①块 B ．第②块 C ．第③块 D ．第④块析解：显然，小明带到商店去的应是一块能确定其圆心和半径的玻璃碎片，观察图中的玻璃碎片，根据垂径定理可知，由第②块可确定出圆心和半径（如图2所示），故选答案B.例2高速公路的隧道和桥梁最多．如图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ）A.5B.7C. 537D. 737析解：本题主要考查垂径定理与勾股定理的知识.设圆的半径为r ，有(7－r)2+52=r 2. 解之得,r=737.故选D. 例3兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图4所示，已知AB =16m ，半径 OA =10m ，高度CD 为_____m ．析解:考查垂径定理及其应用,如图根据垂径定理,三角形ADO是Rt △,所以OD=221610()62-=,CD=10－6=4,填4.例4如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据，于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20 cm ，且AB ，CD 与水平地面都是垂直的．根OD ABC 图3DBAOC图4O MN G图5图1- 2 -据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？ 析解:本题解决的关键是利用垂径定理构造直角三角形，进行运用勾股定理求出圆弧形门所在圆的半径.如图5，连接AC ，作AC 的中垂线交AC 于G ，交BD 于N ，交圆的另一点为M ，由垂径定理可知：MN 为圆弧形的所在的圆与地面的切点，取MN 的中点O ，则O 为圆心，连接OA 、OC ， ∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ， ∴AB ∥CD ． ∵AB=CD,∴四边形ABCD 为矩形, ∴AC=BD=200cm,GN=AB=CD=20 cm, ∴AG=GC=12AC=100 cm ． 设⊙O 的圆心为R,由勾股定理得 OA 2=OG 2+AG 2,即R 2=(R -20)2+1002, 解得R=260 cm, ∴MN=2R=520 cm ．答:这个圆弧形门的最高点离地面的高度是=520 cm ．总评：垂径定理及其推论是圆中的重要性质，它是根据圆的对称性推导出来的，希望同学们熟练掌握其内容，并会灵活应用，同时注意它经常和勾股定理结合来解决问题。
垂径定理在实际问题中的应用
垂径定理在实际问题中的应用垂径定理是《圆》中的一个重要的定理，由垂径定理可解决一些实际问题．现举例说明．一、实际计算问题例1 如图1，在直径为130mm 的圆铁片上切去一块高为32mm 的弓形铁片．求这个弓形铁片弦AB 的长．解：将实物图转化为几何图形，如图2，则有CD =32mm ，1130mm 65mm 2OA =⨯=，OC ⊥AB 于D ，因为OC ⊥AB ，根据垂径定理，得AB =2AD ．在Rt △ADO 中，∠ADO =90°，OA =OC =65mm ，OD =OC -CD =65-32=33(mm)，所以2222653356(mm)AD OA OD =-=-= (mm)，所以弦AB 的长为56×2=112(mm)．例2 今有一圆木砌入壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？ 分析：如图4，将实物图（图3）转化为几何图形，则BE 表示锯道，CD 表示锯深，求⊙O 的直径是多少？解：如图4，设圆木的半径OB =x 寸，则OC =（x -1）寸，152BC BE ==寸，在Rt △OCB 中，由勾股定理得x 2=（x -1）2+52，解得x =13．所以圆木半径是13寸，直径为26寸．二、弧形物体平分问题例3 如图5，是一自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋友做玩具？ 分析：根据实物画出几何图形，利用垂径定理解决问题．作法：如图6，用表示自行车内胎的一部分．（1）连接AB ．（2）作AB 的垂直平分线CD ，交于点E ，则点E 为的中点．从点E 处将内胎剪开后，即可分给两个小朋友．三、判断问题例4 某地方有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现由一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱形桥吗?分析：判断货船能否通过这座拱桥，关键是看船舱顶部两角是否会被拱桥顶部挡住．用表示拱桥，画出如图7几何图形，实际问题就转化为求FN 的长度．解： 设圆心为O ，连接OA 、0B ，作OD ⊥AB 于D ，交圆于点C ，交MN 于点H ，由垂径定理可知，D 为AB 的中点．设OA =r ，则OD =OC -DC =r -2.4，1 3.62AD AB ==， 在Rt △AOD 中，OA 2=AD 2+OD 2，即r 2=3.62+（r -2.4）2，解得r =3.9，在Rt △OHN 中，22223.9 1.5 3.6OH ON NH =-=-=．所以FN =DH =OH -OD =3.6-（3.9-2.4）=2.1，因为2.1米>2米．所以货船可以通过这座拱桥．。
垂径定理的应用
垂径定理的应用
嘿，咱就说说垂径定理的应用呗。
这垂径定理啊，用处可不少哩。
比如说，在算圆里的线段长度的时候就很管用。
要是知道圆的半径和一条弦的长度，再根据垂径定理，就能算出弦心距。
啥是弦心距呢？就是圆心到弦的距离。
有了这个距离，再加上一些其他条件，就能算出好多东西来。
还有啊，在证明一些几何问题的时候也能用得上。
要是碰到跟圆有关的证明题，看看能不能用垂径定理。
有时候一用垂径定理，问题就变得简单多了。
再就是在实际生活中也有应用。
比如说盖房子的时候，要做个圆形的柱子啥的，就得用到垂径定理来保证柱子是直的。
还有做一些圆形的零件的时候，也得靠垂径定理来保证精度。
咱打个比方哈，要是有个圆形的池塘，要在池塘中间架一座桥。
这时候就得用垂径定理来确定桥的位置和长度。
先找到圆心，然后根据垂径定理算出桥的长度和位置，这样才能把桥建得稳稳当当的。
咱举个例子哈。
俺们村有个老张，他要盖个沼气池。
沼气池是圆形的，他就想用垂径定理来确定沼气池的圆心和半径。
他找了根绳子，在沼气池的边上找了三个点，然后用绳子量出这三个点到圆心的距离相等。
这样就确定了圆心的位置，再根据其他条件算出了半径。
老张按照这个方法盖的沼气池可好用了。
这垂径定理啊，虽然看起来有点难，但是用好了能解决很多问题。
咱要是学几何的时候，可得好好琢磨琢磨垂径定理，说不定啥时候就能用上呢。
垂径定理及其应用
垂径定理及其应用一．垂径定理的应用1． 半径、弦心距、弦长、弓形高之间的计算：求半径、求弦心距、求弦长、求弓形高、求角、求平行弦的之间的距离 2． 证明线段相等、角相等、弧相等 3． 解决实际问题 二．垂径定理的推论的应用 1． 求半径、求弦心距、求弦长、求弓形高、求角 2． 等分弧（作图） 3． 确定圆心与半径（作图） 4． 解决实际问题 思想方法：分类讨论、数形结合1． 已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP:PB ＝1:5，则⊙O 的半径为_______。
2． 在⊙O 中，P 为其内一点，过点P 的最长的弦为8cm ，最短的弦长为4cm ，则OP ＝_____。
3． 已知圆内接△ABC 中，AB ＝AC ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，半径r＝7cm ，则腰长AB 为_________。
4． 已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为_______。
5． ⊙O 的半径OA ＝1，弦AB 、AC 的长分别是3,2，则∠BAC 的度数为______。
6． 已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_____。
7． 在半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm ，另一条弦长为6cm ，则这两条弦之间的距离为______。
8． 如图，在⊙O 中，OA 是半径，弦AB ＝310cm ，D 是弧AB 的中点，OD 交AB 于点C ，若∠OAB ＝300，则⊙O 的半径____cm 。
9． 在⊙O 中，半径OA ＝10cm ，AB 是弦，C 是AB 弦的中点，且OC:AC=3:4，则AB=_____。
10．已知以O 为圆心两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点。
求证：AC ＝BD11．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D两点，AB ＝10cm ，CD ＝6cm ，则AC 的长为_____。
垂径定理_精品文档
垂径定理垂径定理是解决几何问题中常用的一个定理，它和“垂直”有关。
垂径定理的全称是“垂直于直径的半径必垂直于圆”。
垂径定理的内容简单而明确，但它却具有重要的意义和应用价值。
本文将从垂径定理的定义、证明以及几个典型的应用来介绍垂径定理，并解释为什么它在解决几何问题中具有重要意义。
首先，我们来了解一下垂径定理的定义。
垂径定理主要是指：如果在一个圆上，有一个半径垂直于直径，那么这个半径和这个直径在圆上的交点之间的弧长就是90度。
换句话说，半径与直径的交点和圆上的其他点之间的弦垂直。
这是垂径定理的基本内容。
接下来，让我们来看一下垂径定理的证明。
首先，我们假设在一个圆上，有一个半径OA垂直于直径BC，如下图所示。
这是一个坐标证明的图。
为了简化问题，我们可以假设圆的半径为1。
因此，点O的坐标就是(0，1)，点B的坐标就是(-1，0)，点C 的坐标就是(1，0)。
我们知道，在直角三角形中，直角的两条边的斜率乘积为-1。
我们可以计算出OA的斜率为-1，而BC的斜率为0，因此满足垂径定理的条件。
我们可以继续应用几何知识来证明垂径定理。
根据半径垂直于弦的定义，我们知道OA垂直于BC。
根据直径的定义，我们知道BC就是圆的直径。
因此，根据垂直定理，我们可以得出结论，OA是圆的半径，它与直径BC垂直。
接下来，我们将介绍几个典型的应用垂径定理的例子。
例1：证明对称圆上的两条弦垂直在一个圆上，有两条弦AB和CD，且AB与CD以圆心为中点。
我们需要证明这两条弦互相垂直。
根据问题的设定，我们知道AB和CD以圆心O为中点。
因此，OA 等于OC，OB等于OD。
根据垂径定理的定义，OA垂直于AB，OC垂直于CD。
进一步观察，我们可以发现OA和OC重合，因为它们都是圆的半径，长度相等，方向相同。
同理，OB和OD重合。
因此，根据重合线段垂直定理，我们可以得出结论，AB垂直于CD。
例2：证明正方形的对角线相互垂直在一个正方形中，连接两个相对顶点的线段被称为对角线。
垂径定理的知识点
垂径定理的知识点垂径定理是平面几何中常用的一个定理，它是指在一个圆中，一个角的顶点在圆上，另外两个角的顶点分别在这个角的两边上，那么这两个角的顶点连线所在的直径与这两个角的对边垂直。
垂径定理是解决与圆相关的问题时的重要工具，它有着广泛的应用。
我们来看一个简单的例子。
假设在一个圆中，有一个角的顶点在圆上，另外两个角的顶点分别在这个角的两边上。
我们可以通过连线，将这两个角的顶点与圆心相连，得到两条半径。
根据垂径定理，我们可以知道，这两条半径与这两个角的对边垂直。
垂径定理不仅适用于角的情况，还可以应用于直线与圆的关系。
例如，如果一条直线与一个圆相交，并且与圆心连线的中点在圆上，那么这条直线与圆的切点之间的线段垂直于直线。
除了以上的应用，垂径定理还可以用来证明一些几何性质。
例如，可以利用垂径定理证明圆的切线与半径的垂直性。
具体来说，如果一条直线与一个圆相切，并且该直线与圆心连线的中点在圆上，那么该直线与圆的切点之间的线段垂直于直线。
这个性质在解决圆的相关问题时经常会用到。
垂径定理的应用不仅局限于平面几何，还可以扩展到立体几何中。
例如，在一个球体上，如果一个平面与球面相切，并且与球心连线的中点在球面上，那么该平面与球的切点之间的线段垂直于平面。
除了以上的几何应用外，垂径定理还可以用来解决一些实际问题。
例如，在建筑设计中，如果要确定一个柱子的竖直性，可以利用垂径定理。
具体来说，可以利用一个圆盘和一个垂直于圆盘的直尺，通过测量圆盘和柱子之间的距离，来确定柱子是否竖直。
总结来说，垂径定理是平面几何中的一个重要定理，它可以用来解决与圆相关的问题，证明几何性质，以及应用于实际问题中。
掌握垂径定理的应用，可以帮助我们更好地理解和解决与圆相关的几何问题。
通过不断练习和应用，我们可以提高自己的几何思维能力，更好地应对各种几何问题的挑战。
垂径定理典型例题课件
垂径定理的逆定理证明
先假设垂径定理不成立，然后通过反证法推导出矛盾，从而 证明垂径定理。
辅助线证明方法
添加辅助线
在图形中添加适当的辅助线，将垂径定理的证明转化为其他已知定理或公式的 应用。
利用辅助线性质
利用辅助线的性质和已知条件，推导出垂径定理的结论。
代数证明方法
坐标法证明
通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，利用代数方法证明垂径 定理。
向量法证明
利用向量的性质和运算规则，推导出垂径定理的结论。
03 垂径定理的典型例题解析
基础例题解析
简单明了 基础应用
基础例题通常涉及简单的几何图形，如圆、三角形等， 主要考察垂径定理的基本应用，难度较低。
这类题目要求学生对垂径定理有基本的理解，能够根据 题目条件，正确应用垂径定理求解问题。
中等难度例题解析
01
综合应用
02
这类题目涉及的几何图形较为复杂，可能包含多个圆、三角形等，需 要学生综合运用垂径定理和其他几何知识进行解答。
03
多知识点融会
04
这类题目不仅考察学生对垂径定理的理解，还要求他们能够灵活运用 其他几何知识点，如全等三角形、类似三角形等。
定理的重要性与应用领域
重要性
垂径定理是几何学中的基础定理之一 ，它在证明其他几何定理、解决几何 问题以及构造几何图形等方面具有广 泛的应用。
应用领域
垂径定理在数学、工程、建筑等领域 都有应用，特别是在解析几何、圆的 性质和定理证明等方面有重要的应用 价值。
02 垂径定理的证明方法
基础证明方法
垂径定理的直接证明
05
定理的变式
垂径定理的应用课件
对垂径定理的回顾与思考
垂径定理是几何学中的一个重要定理，它涉及到圆的性质和证明。在学习过程中 ，我们需要深入理解垂径定理的证明过程和推理逻辑，以便更好地应用它来解决 实际问题。
在回顾过程中，我们需要思考如何将垂径定理应用于实际问题的解决中，并思考 如何通过推理和证明来得出正确的结论。此外，我们还需要思考如何通过实践来 加深对垂径定理的理解和应用。
垂径定理的应用课件
目录
• 垂径定理的介绍 • 垂径定理的应用场景 • 垂径定理的应用实例 • 垂径定理的应用练习题 • 总结与回顾
01 垂径定理的介绍
垂径定理的定义
垂径定理
过圆心作圆的弦的垂线，则垂足 到弦中点的连线与垂线重合。
定理证明
利用圆的性质和三角形的中位线 定理进行证明。
垂径定理的重要性
详细描述
已知一个圆和该圆外的一条直线，我们要证明这条直线是圆的切线。根据垂径定 理，如果一条直线与圆只有一个交点，那么这条直线就是圆的切线。因此，我们 只需要证明这条直线与圆只有一个交点即可证明它是圆的切线。
04 垂径定理的应用练习题
基础练习题
总结词：巩固垂径定理的基本概念和性质。 详细描述 给出一条直线和该直线所通过的圆，判断该直线是否为圆的 垂径，并说明理由。 给定圆的直径和一条过圆心的线段，求作圆的垂径。 已知圆的半径和一条过圆心的线段，求作圆的垂径。
综合练习题
详细描述
总结词：结合其他几何知识，综 合运用垂径定理解决复杂问题。
给定一个圆和该圆上的一条弦， 求作该弦的中垂线，并证明其为 圆的垂径。
已知一个三角形和该三角形的一 边的中点，求作该边的垂直平分 线，并证明其为三角形的角平分 线。
已知一个三角形和该三角形的一 边的中点，求作该边的垂直平分 线，并证明其为三角形的中线。
垂径定理应用
一工厂的厂门是由一个半圆与矩形组成的。
如图所示，AD ＝2.3米，CD ＝2米，现有一辆集装箱卡车要开进工厂，卡车高2.5米，宽1.6米，请你通过计算说明这辆卡车能否通过厂门？
如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道
这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的AB=CD=20 cm ，BD=200 cm ，且 与水平地
面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这
个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？
一条30M 宽的河（AB)上架有一半径为25M 的圆弧形拱桥，
请问顶部宽为6M 且高出水面4M 的船能否通过此桥，并说
明理由
一条河上架有一半径55米的圆弧形拱桥，已知水面宽60米，请问：一顶部宽12米且高出水面8米的船能否通过此桥
一个拱形桥洞最顶部高出水面2.4米,水面宽7.2米,一艘前部为方形宽3米的船高出水面2米,问该船能不能通过桥洞
某圆桥的水面跨度20M ，拱高4M ，现有一船，宽10M ，水面以上高3M ，这条船能否从桥下通过？
水上涨，卸掉货物 一辆货车要过一座桥，但是货物高出桥2厘米，问在不卸掉货物的情况怎么过桥？一艘货船沿着小河顺水而下，当通过一座小桥时，才发现货物装的太多了，比小桥的洞高出了两厘米，船长想卸掉一些货可奈何货是整箱装的，一时没法卸。
有什么办法，既不用卸货，又能让船顺利通过呢？
A B C D。
专题10 垂径定理实际应用(解析版)
解：如图所示，
根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心．
故选：B．
7．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（ ）
A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm
解：连接AB、CD交于点D，
由题意得，OC⊥AB，
则AD＝DB＝ AB＝4，
A．25cmB．30cmC．50cmD．60cm
解：作辅助线如下所示：
设井盖的直径为2xcm，
则BE＝10cm，BD＝（x﹣10）cm，BC＝20cm，CD＝xcm，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得：CD2＝BC2+BD2，
代入得：x2＝202+（x﹣10）2，
解得：x＝25，
则井盖的直径是50cm．
设圆的半径为Rcm，则OD＝（R﹣2）cm，
在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，即R2＝42+（R﹣2）2，
解得，R＝5，
则该铁球的直径为10cm，
故选：B．
8．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图．
故选：B．
9．如图，是一个单心圆隧道的截面，若路面AB宽为20米，净高CD为14米，则此隧道单心圆的半径OA是（ ）
A．10B． C． D．14
解：设圆的半径是R．
∵OD⊥AB，
∴AD＝ AB＝10．
在直角三角形AOD中，根据勾股定理得
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垂径定理在实际问题中的应用
“数学源于生活，生活中充满着数学”,我们刚刚学过的垂经定理在生活中就有着广泛的应用，中考中也常常体现这一点，现采撷几例,以飨读者．
例1小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图1所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A ．第①块 B ．第②块 C ．第③块 D ．第④块
析解：显然，小明带到商店去的应是一块能确定其圆心和半径的玻璃碎片，观察图中的玻璃碎片，根据垂径定理可知，由第②块可确定出圆心和半径（如图2所示），故选答案B.
例2高速公路的隧道和桥梁最多．如图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ）
A.5
B.7
C. 537
D. 7
37
析解：本题主要考查垂径定理与勾股定理的知识.设圆的半径为r ，有(7－r)2+52=r 2. 解之得,r=
7
37
.故选D. 例3兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图4所示，已知
AB =16m ，半径 OA =10m ，高度CD 为_____m ．
析解:考查垂径定理及其应用,如图根据垂径定理,三角形ADO
是Rt △,所以OD=2
2
1610()62
-=,CD=10－6=4,填4.
例4如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据，于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20 cm ，且AB ，CD 与水平地面都是垂直的．根
O
D A
B
C 图3
D
B
A
O
C
图
4
O M
N G
图5
图1
- 2 -
据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？ 析解:本题解决的关键是利用垂径定理构造直角三角形，进行运用勾股定理求出圆弧形门所在圆的半径.
如图5，连接AC ，作AC 的中垂线交AC 于G ，交BD 于N ，交圆的另一点为M ，由垂径定理可知：MN 为圆弧形的所在的圆与地面的切点，取MN 的中点O ，则O 为圆心，连接OA 、OC ， ∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ， ∴AB ∥CD ． ∵AB=CD,∴四边形ABCD 为矩形, ∴AC=BD=200cm,GN=AB=CD=20 cm, ∴AG=GC=
1
2
AC=100 cm ． 设⊙O 的圆心为R,由勾股定理得 OA 2=OG 2+AG 2,即R 2=(R -20)2+1002, 解得R=260 cm, ∴MN=2R=520 cm ．
答:这个圆弧形门的最高点离地面的高度是=520 cm ．
总评：垂径定理及其推论是圆中的重要性质，它是根据圆的对称性推导出来的，希望同学们熟练掌握其内容，并会灵活应用，同时注意它经常和勾股定理结合来解决问题。
备用：
每位同学都看到过日出时美丽的景色.图4是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A 、B 两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）
A. 0.4厘米/分
B. 0.5厘米/分
C. 0.6厘米/分
D. 0.7厘米/分
解析：作与弦AB 垂直的直径，交AB 于点C ，交圆O 于点D ，连接OB. 根据垂径定理可知BC=
2
1
AB=4（厘米）. 在Rt △OBC 中，OC=22BC OB -=2245-=3(厘米). 所以DC=OD+OC=8（厘米）.
故“图上”太阳升起的速度为8÷16=0.5（厘米/分），应选择答案B 。