垂径定理在实际问题中的应用举例

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垂径定理在实际问题中的应用

“数学源于生活，生活中充满着数学”,我们刚刚学过的垂经定理在生活中就有着广泛的应用，中考中也常常体现这一点，现采撷几例,以飨读者．

例1小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图1所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A ．第①块 B ．第②块 C ．第③块 D ．第④块

析解：显然，小明带到商店去的应是一块能确定其圆心和半径的玻璃碎片，观察图中的玻璃碎片，根据垂径定理可知，由第②块可确定出圆心和半径（如图2所示），故选答案B.

例2高速公路的隧道和桥梁最多．如图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ）

A.5

B.7

C. 537

D. 7

37

析解：本题主要考查垂径定理与勾股定理的知识.设圆的半径为r ，有(7－r)2+52=r 2. 解之得,r=

7

37

.故选D. 例3兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图4所示，已知

AB =16m ，半径 OA =10m ，高度CD 为_____m ．

析解:考查垂径定理及其应用,如图根据垂径定理,三角形ADO

是Rt △,所以OD=2

2

1610()62

-=,CD=10－6=4,填4.

例4如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据，于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20 cm ，且AB ，CD 与水平地面都是垂直的．根

O

D A

B

C 图3

D

B

A

O

C

图

4

O M

N G

图5

图1

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据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？ 析解:本题解决的关键是利用垂径定理构造直角三角形，进行运用勾股定理求出圆弧形门所在圆的半径.

如图5，连接AC ，作AC 的中垂线交AC 于G ，交BD 于N ，交圆的另一点为M ，由垂径定理可知：MN 为圆弧形的所在的圆与地面的切点，取MN 的中点O ，则O 为圆心，连接OA 、OC ， ∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ， ∴AB ∥CD ． ∵AB=CD,∴四边形ABCD 为矩形, ∴AC=BD=200cm,GN=AB=CD=20 cm, ∴AG=GC=

1

2

AC=100 cm ． 设⊙O 的圆心为R,由勾股定理得 OA 2=OG 2+AG 2,即R 2=(R -20)2+1002, 解得R=260 cm, ∴MN=2R=520 cm ．

答:这个圆弧形门的最高点离地面的高度是=520 cm ．

总评：垂径定理及其推论是圆中的重要性质，它是根据圆的对称性推导出来的，希望同学们熟练掌握其内容，并会灵活应用，同时注意它经常和勾股定理结合来解决问题。 备用：

每位同学都看到过日出时美丽的景色.图4是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A 、B 两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）

A. 0.4厘米/分

B. 0.5厘米/分

C. 0.6厘米/分

D. 0.7厘米/分

解析：作与弦AB 垂直的直径，交AB 于点C ，交圆O 于点D ，连接OB. 根据垂径定理可知BC=

2

1

AB=4（厘米）. 在Rt △OBC 中，OC=22BC OB -=2245-=3(厘米). 所以DC=OD+OC=8（厘米）.

故“图上”太阳升起的速度为8÷16=0.5（厘米/分），应选择答案B 。