不等式证明方法问题论文

不等式证明方法问题探讨

摘要：在高中数学新课程改革不断发展的前提下，如何更好地进行高中数学教学就成了高中数学教师急待解决的问题。本文通过对不等式证明方法探讨，去寻找高中数学新课程发展规律，这也为高中数学教师能从更高的角度去组织教学提供一定的指导.

关键词：不等式；证明；方法；反思.

１.引言

证明不等式就是要证明所给不等式在给定条件下恒成立,由于不等式形式的多样性,所以要寻求不等式的证明方法,也就灵活多变,目前我们对用比较法、分析法、综合法、反证法、换元法、放缩法、判别式法、和数学归纳法来证明不等式都有了一定基础，这些方法在这里就不再阐述了，但是，在证明不等式时有很多相通的地方，也有需逐步深入的地方。这就对高中数学教育提出了更高的要求，那么在数学教育方面应如何培养学生的潜在能力呢？怎么样才能

为学生以后的发展打下坚实的基础？基于这一点，我们是否能从不等式的证明方法的发展中得到什么启发呢？又如何从大学数学的

学习中反观高中数学的发展规律呢？因此我们能否从大学数学内

容的学习中找到一些与高中数学内容学习的共性，从这些共性中去探求高中数学的发展，再结合目前高中数学新课程改革，以更好地指导高中数学的教育教学，现在我就通过从不等式的证明方法探讨着手，并且从以下几个方面的分析去寻找高中数学的发展趋势. 2.不等式常用方法介绍及分析

本文主要用数学中常数变易法,再通过列举实例加以证明来对不等式进行探讨,以此来反观高中数学的发展,从而得出一般性结论. ２.1.应用常数变易法来证明不等式。在这里主要是用这种方法来证明数值不等式，因为对于数值不等式的证明，如果没有一定的理论方法指导，这样的不等式问题是很难证明的，对数值不等式的证明是通过作辅助函数，用常数变易法的方法来解决.其证题步骤为：（ⅰ）将所给不等式中的某个常数变易成x.（ⅱ）移项使不等式一端为零，另一端令为.（ⅲ）求或，判断、的符号.（ⅳ）利用的单调性即可得出数值不等式的证明，使其问题得到解决.

例2.1.1：设,证明: .

分析:根据以上的步骤,首先得出,再求、…，直到能判断的单调性，再利用端点值进行比较大小.

证明：令=（将变易成）.

则有=，=，因为当xe时, 0,所以严格单调减少，从而当时，=，即当时, 严格单调增加.

因为，所以当时，有即0.故.

说明:常数变易法的应用使这类不等式的证明得到了很好的解决.但要注意的是在将常数变易成时,是否能将任意一个常数变易为呢?从方法的应用上来看是可以将不等式证明出来的,下面我们就来看如下的证明过程.如果将上例中的变易为,则同样令=，则 =，=，因为时, 0，所以严格单调增加.从而当时,==0，即当时, )严格单调减少.因为所以当时，有即0.同样使问题得到了证明.

通过对上面的数值不等式的证明我们为这类不等式的证明找到了通法,从总体上来说,它主要是利用设辅助函数，再求导数,最后判断辅助函数的单调性,从而使不等式得到证明.这种方法对于高中学生的学习也有很强的引导作用,并且通过以上的归纳,今后再遇到这类不等式时就有一定的思路了,同时,这也为高中数学教师在教授这部分内容时提供了参考.我们也可以通过对这部分知识的学习.让我们在将来的教育中反思和优化教学方法.

2.2.反观高中数学教材和历年高考中不等式的证明

纵观近几年高中数学教材的发展趋势，以及高考中不等式证明问题的走向.我们同样可以总结出，在每年各省的高考中，导数的知识点已占了一定的分量，在不等式的证明中表现得尤为突出，现在我们就通过对以下的分析来看是否能给我们以启发？

例2.2.1：设函数=.（ⅰ）证明：的导数2.（ii）若对所有.都有.求的取值范围.

分析：对于这类不等式，首先就要设出辅助函数，通过求导数得出函数的单调性，这恰是用常数变易法来证明不等式的方法的简化和体现.

证明:（ⅰ）函数的导数.由于，故2（当且仅当x=0时，等号成立），

（ii）令=，则，

（ⅰ）若2，当时, ，故g(x)在(0,+)上为增函数，所以时, ，即.

(ⅱ)若2时,方程的正根为，此时若，那么=0.即与题设相矛盾.综上.满足条件的的取值范围是(].

以上都是历年全国各省市高考题,类似以上例题在各省市的高考题中还很多,这就使我们得到启发,高中数学的发展有向大学数学微积分等方向渗透.我们现在也都很清楚,这已成了不争的事实.这对以后教师的教学和学生的学习也提出了更高的要求。

3.结论

通过对不等式的证明方法的探讨，找出了现在高中数学新课程改革的发展规律。这也为传统教师能从更高的角度去进行高中数学教学提供了理论指导.我们从不等式的证明的发展过程中能体会到.作为教师不但要终身学习，还要去感悟怎样从更高的视点去解决好数学教学。新课程改革下的教师们也应意识到：在高中数学的新课程改革不断发展的前提下，如何更好地进行高中数学教育教学？这也是教师们需要迫切解决的问题.那我们怎么样才能把高中数学教学工作做好：也就是要学好大学数学的一些基础知识.而且要不断的学习新知识，要以高标准要求自己.从而使高中数学的教学得以系统的解决，这也是新课程改革的出发点和目的.

参考文献：

[1]鲍曼，中学数学方法论

[2]喻平，走进高中新课改.

[3]齐建华，王红蔚，数学教育学.