不等式证明方法问题论文
放缩法在不等式证明中的应用 数学作业毕业论文
放缩法在不等式证明中的应用数学作业毕业论文引言放缩法是数学不等式证明中十分重要的一种方法，它在数学竞赛以及数学研究中有着广泛的应用。
其基本思想是通过找到一个与原式子不同但与之等价的不等式，将原式子的证明转化为证明这个新的不等式。
放缩法的优点是方法简单、易于计算，但需要具备一定的数学基础以及经验才能熟练应用。
本文将深入探讨放缩法在不等式证明中的应用。
一、放缩法的基本思想假设要证明的不等式为$A\\geqslant B$，则放缩法的目的在于找到另一个不等式$C\\geqslant D$，且有所求不等式$A\\geqslant B$可以由另一个不等式$C\\geqslantD$ 经过一系列的推导和化简得到。
要使用放缩法证明某个不等式，通常需要两个关键步骤：（1）首先找到一个与原式子不同但与之等价的不等式；（2）然后利用已知的数学定理和切实可行的数学方法将原有的不等式化为等价不等式，也就是通过一系列的推导和计算将原有的不等式转化成所求的不等式。
二、放缩法的具体应用1.幂、指数函数不等式放缩法在处理与幂、指数函数有关的不等式时尤其有用。
例如，对于如下不等式：$$x^a+y^b\\geqslant 2\\times\\left(\\frac{x^2}{y^{a-2}}\\right)^{\\frac{a}{2(a+b)}}$$其中，$a,b$均为正实数，$x,y$也是正实数。
首先，我们考虑一个简单的情况：当$a=b=1$时，所求不等式可以化为：$$x+y\\geqslant 2\\sqrt{\\frac{x^2}{y}} $$我们可以找到一个新的不等式$$(x+y)^2\\geqslant 4xy$$然后，将$(x+y)^2$拆开得到：$$(x+y)^2=(x^2+y^2)+2xy$$再将原式子转化为$$\\begin{aligned}(x^2+y^2)+2xy&\\geqslant4xy\\\\x^2+y^2&\\geqslant 2xy\\end{aligned}$$显然，$x^2+y^2\\geqslant 2xy$恒成立，证毕。
不等式证明毕业论文
不等式证明毕业论文本篇论文主要研究不等式的证明，介绍了不等式的基本概念和证明方法，并详细阐述了几种常用不等式的证明过程，并对证明过程中需要注意的细节进行了分析。
一、不等式的基本概念不等式是数学中的一类常见且极其重要的结论形式，它与等式类似，都是表示一个值与另一个值之间的关系，但不等式却不一定要求这两个值相等，而只需要它们满足一定的大小关系。
常见的不等式有单变量不等式、双变量不等式、多变量不等式等。
二、不等式的证明方法证明不等式的方法一般分为数学归纳法、数学分析法、构造法、反证法、代数法、几何法等多种，而选择不同的证明方法往往取决于不同的不等式性质。
1. 数学归纳法数学归纳法是一种非常常用的证明方法，它通过证明一个基本条件成立，再证明该基本条件成立时下一步也成立，反复循环这个过程最终达到证明整个结论的目的。
这种证明方法对于很多不等式问题非常有效，因为它可以将整个证明过程分成逐步推进的几个步骤，每个步骤都是简单且显然成立的。
例如，我们考虑证明以下的不等式：$$1+2+3+...+n\\leq\\frac{n(n+1)}{2}(n\\in N^*)$$首先，我们将该式子称之为P(n)，即需要证明P(n)成立。
接着，我们通过证明P(1)为真来展开证明，即证明1的结论成立：$$1\\leq\\frac{1(1+1)}{2}$$证明上述结论后，我们进入下一步，假设P(k)成立，即$$1+2+3+...+k\\leq\\frac{k(k+1)}{2}$$接下来，我们考虑P(k+1)成立，即$$1+2+3+...+k+(k+1)\\leq\\frac{(k+1)(k+2)}{2}$$将等式两边加上(k+1)即可得到$$1+2+3+...+k+(k+1)\\leq\\frac{(k+1)(k+2)}{2}$$于是，我们通过数学归纳法证明了该不等式。
2. 数学分析法数学分析法通常适用于一些比较复杂的不等式，该方法能够通过对数学表达式的一些基本性质进行分析，从而推导出结论。
不等式证明论文
不等式证明论文摘要：不等式是数学中的一个重要课题，揭示了现实世界中广泛存在的量与量之间的不等关系，在现实生活和生产活动中有着重要的应用。
就知识间的内在联系而论，不等式是进一步学习函数、方程等知识必不可少的基础，不少数学问题的解决，都将直接或间接地用到不等式的有关知识。
下面就来看一下不等式的证明以及它的简单应用一、不等式的证明问题不等式的证明问题，是中学数学的重点和难点问题，是解决函数最值问题、应用题的常用工具，也是学好其他方面数学知识的基础。
因此，学好、掌握不等式的证明将会给我们以后在处理一些数学问题解决方面带来便捷和帮助。
下面我将就这个问题谈一下自己的体会和心得。
在证明不等式时，应从条件入手，从不同的思维角度去探求多种证明方法，并努力做到举一反三，总结出简捷的解法。
二、不等式的几种证明方法总结以往我们所学的数学知识不难发现不等式的证明方法多种多样，它可以和许多其他的数学内容相结合，如数列，函数，三角函数，二次曲线，方程等等。
因此证明时，除应用不等式性质外，还要用到其他数学知识的技能和技巧，在方法上有比较法、分析法、综合法、反证法、换元法、数学归纳法、放缩法等等。
问题：已知a，b∈R+且a+b=1，求证：a4+b4≥18下面我将就上面这个具体的不等式证明问题来简单介绍一下不等式证明证明的几种方法。
1.分析法：就是从寻求使结论成立的充分条件入手，逐步寻求需条件成立的充分条件，直到所需的条件已知正确为止。
证明a4+b4≥18就是证明（a2+b2）2-2a2b2≥18即证明（1-2ab）2-2a2b2≥18即2a2b2-4ab+78≥0也就是证明（ab-74）（ab-14）≥0∵a，b∈R+，a+b=1∴0由a+b≥2ab得ab≤（a+b2）2=14∴（ab-74）（ab-14）≥0成立∴a4+b4≥182.综合法：就是从已知或证明过的不等式出发根据不等式性质推导出要证明的不等式。
综合法往往是分析法证明的逆过程，表述简单，条理清楚。
柯西不等式毕业论文
摘要柯西不等式是一个非常重要的公式，对于柯西不等式的深入了解对于我们解决一些问题有非常大的帮助。
本文给出了柯西不等式的二维形式、三角形式、向量形式、一般形式、推广形式、积分形式，对于柯西不等式的证明本文也给出了多种证明方法包括构造二次函数法、数学归纳法、配方法、均值不等式法、向量法、行列式证明法、利用二次型法、利用线性相关性法，本文结尾对于柯西不等式在距离问题、证明等式及不等式、解三角形和几何相关问题、求最值、利用柯西不等式解方程、用柯西不等式解释样本线性相关系数的应用给出了具体的例子，帮助大家更好的理解和掌握柯西不等式。
关键词：柯西不等式；形式；证明方法；应用；例子AbstractCauchy inequality is a very important formula, for in-depth understanding of Cauchy inequality for we have the very big help solve some of the problems. This paper gives the Cauchy inequality two-dimensional form, triangular form, a vector of the form, the general form, extended form, integral form, the proof of Cauchy inequality is also given in this paper some proving method includes the construction of two function method, the mathematical induction method, distribution, mean inequality method, vector method, the determinant method, proved by two method, using linear correlation method, in the end, the Cauchy inequality in the distance problem, proving inequality, triangle and geometric problems, solving the most value, using the Cauchy inequality using Cauchy inequality interpretation gives the sample of the linear correlation coefficient equation, specific examples, to help you better understand and master the Cauchy inequality.Key words: Cauchy inequality; form; proof method; application; examples目录前言 (1)一柯西不等式的知识背景 (2)二柯西不等式的形式 (3)（1）二维形式 (3)（2）三角形式 (3)（3）向量形式 (3)（4）一般形式 (3)（5）推广形式 (3)（6）概率论形式 (4)（7）积分形式 (4)（8）小结 (4)三柯西不等式的证明方法 (5)（1）构造二次函数法 (5)（2）数学归纳法 (5)（3）配方证明法 (6)（4）向量证明法 (7)（5）利用均值不等式法 (7)（6）利用行列式证明柯西不等式 (8)（7）利用线性相关性证明柯西不等式 (9)（8）利用二次型 (9)四柯西不等式的应用 (11)（1）距离问题 (11)（2）证明等式及不等式 (12)（3）解三角形和几何相关问题 (13)（4）求最值 (13)（5）利用柯西不等式解方程 (14)（6）用柯西不等式解释样本线性相关系数 (15)（7）小结 (16)参考文献 (17)致谢 (18)前言现在我国数学界对于柯西不等式的证明及应用都有非常深厚的认识，各位数学教授以及爱好柯西不等式研究的学者朋友们在柯西不等式的证明以及应用方面都给出了很好的方法和思路，而我现在首要的任务就是将大家的方法和思路做一个统一的整理，对柯西不等式结合初等数学、高等数学给出严谨的证明方法。
毕业论文完整论文【范本模板】
新疆财经大学本科毕业论文题目 : 微分和积分在不等式中的应用学号： 2005101412 学生姓名：阿卜杜瓦哈普·阿卜杜热西提院部：应用数学学院专业：应用数学年级：数学06-2班指导教师姓名职称：阿孜古丽·伊克木（讲师）完成日期：年月日摘要微积分和不等式都是数学中极为重要的内容,本文在回顾了几种常用的证明不等式的初等方法后,利用微分中值定理、泰勒公式、函数的单调性、极（最)值的判定法、定积分的性质等一些微积分知识探讨不等式的证明方法，最后指出了微积分在不等式证明中的具体应用．微积分是数学中的重要组成部分,是研究函数的性质，证明不等式,探求函数的极值、最值，求曲线的斜率和解决一些物理问题的有力工具．微积分的应用为解决数学问题提供了新的思路，新的方法和新的途径，可以说微积分是打开数学知识大门的一把钥匙.微积分在实际生活中的应用非常广泛，在不等式证明中也发挥着巨大的作用。
不等式的证明方法很多，灵活地运用微积分的性质及相关定理是解决许多不等式证明问题的关键．本篇论文归纳和总结了一些证明不等式的方法与技巧，利用微积分证明不等式的基本思想和基本方法，提出了运用这些方法和技巧能够使不等式的求解过程更为简单的思路．．关键词：微积分；不等式;微分中值定理；泰勒公式;函数的单调性；极（最)值的判定法;目录前言 (1)第一章微积分 (2)§1微积分的发展 (2)§2微积分的概念 (3)第二章不等式 (7)§1不等式的定义和性质 (7)§2常用的证明不等式的方法 (8)第三章微积分在不等式中的应用 (12)§1利用微分证明不等式 (12)§2利用积分证明不等式 (19)结论 (23)参考文献 (24)致谢 (25)前言在高等数学中常常要证明一些不等式.而不等式的证明方法很多，在以往多采用代数或几何方法,现在可借助于微积分的知识，这是普遍应用的一种方法。
微积分在不等式中的应用论文
摘要微积分和不等式都是数学学科中极为重要的内容，其证明通常不太客易。
本文回顾了几种常用的证明不等式的初等方法，利用微分中值定理、函数的单调性、极值（最值）的判定法、函数凸凹性质、泰勒公式、定积分的性质等一些微积分知识探究了不等式的证明方法，本文探讨了如何巧妙利用徽积分中的知识和方法来解决一些不等式的问题。
用微积分证明不等式成立, 基本思路是构造一个辅助函数, 然后利用微积分求出该函数的性质来证明不等式.关键词微积分不等式中值定理函数性质泰勒公式定积分性质1AbstractCalculus mathematics and inequality are extremely important, the proof is not usually easily. This paper reviews several commonly used to prove inequality elementary methods, using the differential mean value theorem, monotone of function, extreme value ( maximum ) decision method, function, convex and concave nature of Taylor formula, the nature of definite integral and some knowledge of calculus of the inequality proof method, this paper discusses how clever use of emblem integral knowledge and the method to solve some of the problems of inequality.Using calculus to prove inequality is established, the basic idea is the construction of an auxiliary function, then make use of infinitesimal calculus to derive the properties of function to prove inequality.Key words calculus inequality theorem function Taylor formulaof definite integral character目录摘要 (I)1 Abstract (II)2 前言 (1)3 微积分 (2)2.1微积分的定义 (2)2.2微积分的发展历史 (3)2.3微积分学的创立的意义 (4)2.4微积分不断深化 (5)4 微积分在不等式中的应用 (6)5 利用微分中值定理证明不等式 (7)6 利用函数的单调性证明不等式 (8)7 利用函数的最值(极值)证明不等式 (9)8 利用函数的凹凸性质证明不等式 (10)9 利用泰勒公式证明不等式 (11)10 利用定积分的性质证明不等式 (12)结论 (13)参考文献 (16)附录 (17)致谢......................................................................................................... 错误！未定义书签。
数学论文【不等式的证明方法】(汉)
黔南民族师范学院（贵定分院）毕业论文题目：不等式的证明姓名：丁成义班级：12级数学（2）班学号：2012052206专业：数学教育指导教师：张大书日期：2015年2月26日2不等式的证明方法不等式的证明方是中学数学的难点和重点，证明不等式的途径是利用不等式的性质进行代数变形，经常用到的证明不等式的主要方法有基本法 如：比较法，综合法，分析法。
其他方法：如反证法，放缩法，数学归纳法，涣元法，构造法和判别式法等。
1．证明不等式的基本方法1．1比较法比较法是证明不等式的方法之一，比较法除了比差法之外，还有比商法，它们的解题依据及步具步骤如下：比差法。
主要依据是实数的运算性质与大小顺序关系。
即 ，0,0,0a b a b a b a b a b a b ->⇔>-<⇔<-=⇔=基本解题步骤是：作差——变形——判断符号。
（1）作商比较法。
当欲证的不等式两端是乘积形式幂指数式可采用作商比较法。
当0b > 欲证a b >只需证1ab > 欲证a b <只需证1ab< 基本解题步骤是：作商——变形——判断。
（与1的大小）例1．求证： 222(2)5a b a b +≥--322224254250a b a b a b a b +≥--=>+-++≥22(44)(21)0a a b b -++++≥ 2,1a b ==-时等号成立。
所以222(2)5a b a b +≥--成立。
例2．已知,a b R +∈求证a b b a a b a b ≥证： ,a b R +∈又()a b a b b a a b aa b b -=∴()1a b b a a b a a b a b b-≥⇔≥ （1）当a b >时，1a b >，0a b ->所以()1a b ab -> （2）当a b <时01,a a b o b <<-<所以()1a b ab-> （3）当a b =时不等式取等号。
论文：柯西—施瓦茨不等式的证明及其应用
摘要柯西—施瓦茨不等式是数学学科中应用较为广泛的一类重要不等式,常常作为重要的基础去架设条件与结论之间的桥梁.柯西—施瓦茨不等式可以证明,推广其它不等式和解竞赛题,而且它也是发现新命题的重要工具.文章主要利用一元二次不等式,一元二次函数和向量三种方法证明了柯西—施瓦茨不等式,介绍了柯西—施瓦茨不等式在实数域,复数域,欧式空间,微积分和概率论中的表现形式以及柯西—施瓦茨不等式的推广,并且给出了它在初等数学,欧式空间,微积分,级数及概率论中的一些应用.灵活巧妙地运用柯西—施瓦茨不等式,可以使一些较困难的实际问题得到比较简单的解决,甚至可以得到一步到位的效果.关键词:柯西—施瓦茨不等式;向量;积分;级数;推广The Proof and Application of Cauchy -Schwartz Inequality 09404222 LIANG Xiao-wen Mathematics and Applied MathematicsFaculty adviser ZHANG An -lingAbstractCauchy-Schwartz inequality is a kind of important inequality which is widely used in mathematics,and it is often as an important basis to set up the bridge between condition and conclusion.Cauchy-Schwartz inequality can prove and promote other inequalities and solve contest questions,at the same time it is also the important tool to discover new propositions. The paper mainly uses one-variable quadratic inequality, quadratic equation in one unknown and vector to prove the Cauchy-Schwartz inequality, and this paper introduces the forms of Cauchy-Schwartz inequality in real number field, complex number field, euclidean space, calculus and probability theory and the promotion of Cauchy-Schwartz inequality , and the paper gives some applica- tions of Cauchy-Schwartz inequality in elementary mathematics,euclidean space, calculus, series and probability ing the Cauchy-Schwartz inequality flexibly can make some relatively difficult problems get more simple to slove and can even get an one-off effect.Key words: Cauchy-Schwartz inequality; vector; integral; series; promotion目录1 引言............................................. 错误！未定义书签。
毕业论文：有关积分不等式证明的论文
,故命题成立.
例6设函数 在闭区间 上连续且单调递减,求证:当 时
证明:把闭区间 划分成两个区间 和 ,则有
从而有 由积分中值定理可得:存在 使得: ,由于 在闭区间 上单调递减 ,知 ,则
即 ,因此有
1.4利用拉格朗日中值定理来证明积分不等式
分析:设 在闭区间 上连续,在开区间 内可导,则存在 使得:
1.5利用分部积分法来证明不等式
分部积分法:若 与 可导,不定积分 存在,则 也存在,并且有:
利用分部积分法来证明不等式,实质上是利用分部积分法证明一个等式,然后在给出积分估计来实现证明的
例9:设 在 上具有连续导数, ,且 ,
求证:
证明: ,又因为
, ,故命题得证.
例10:设 在闭区间 上具有二阶导数并且导数连续, , 求证:
本科毕业论文（设计）
摘
积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用,且在考研试卷中会经常出现.积分不等式的证明方法灵活多样,而且技巧性和综合性也比较强.研究积分不等式的证明方法,不仅解决了一些积分不等式的证明,而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来,拓宽我们的视野,提高我们的发散思维能力和创新能力.本文综述了证明积分不等式的若干方法,通过对例题的分析,总结了求积分不等式的一般方法.本文主要从以下几个方面去研究积分不等式的证明:利用定积分的定义,利用积分的性质,利用拉格朗日中值定理、利用积分中值定理、利用泰勒公式 、利用二重积分等多种方法来证积分不等式及研究了杨格 不等式的证明,推广及应用和柯西——施瓦兹 不等式的证明,改进及应用.
(1-3)
同理 (1-4)
(1-3ห้องสมุดไป่ตู้(1-4)相加整理得
高中数学不等式论文不等式论文
高中数学不等式解法及应用笮江苏省兴化市第一中学陈业摘要：从笔者对往年高考试卷分析来看，不等式的考查仍是考查重点之一，而且考查的形式多样，充满灵活性，需要考生及高中生认真掌握不等式相关知识，尤其是对诸如柯西不等式等的掌握。
在教学中发现，不少学生对不等式题无从下手，解答很费力，因此本文以不等式为研究对象，重点探讨其解法和应用，以期为提高学生解答不等式相关问题服务。
关键词：高中数学；不等式；应用及解法；探讨本文对高中数学不等式解法及应用进行研究，主要是通过几个常考点来阐述。
高考对知识的掌握，不是单单的考查简单的知识，而是充满了灵活性，考查学生的创新意识，那么学生掌握书本上简单的知识点是往往不够的，高考的题型是由简单的知识组合而来的，需要学生掌握通过现象看到本质的能力。
一、不等式中有关恒成立的问题及解答其实恒成立考查的就是不等式方面的东西，与函数最值或者极值有着间接的关系。
如下题目所示：例题：已知f(x)=x2-2bx+6，当x∈[0,+∞)时，f(x)≥b恒成立，求b 的取值范围？解答：根据题意可知，f(x)=x2-2bx+6=（x-b）2+6-b2从该函数图像中可以发出：该函数在x=b时候取值最小f(x) min=f(b)=6-b2≥b从而b+b2-6≤0，（b+3）（b-2）≤0，-3≤b≤2。
综上所述,所求b的取值范围-3≤b≤2二、分式形式的不等式问题及解答在填空或者选择题中，很容易出现分式形式的不等式，而且往往比较复杂，对于这一题型，是有窍门的，不需要计算繁杂的式子。
这个小窍门就通过例题来阐述：例题：x2-3x-4x2-x＞0求x的取值范围？解答：分子，分母通分：从而找出x的四个点，分别为-1、0、1、4。
在数轴上标出，因为不等式是大于0，那么在4的右边可以任意取一个值，比如5代入不等式中，得出大于0，那么曲线在4右边是在数轴上方的，按照这个顺序在这四个点上标出，形成了一条曲线，那么从中就可以看出，x的取值范围是（-∞,-1）U（0,1）U（4, +∞）。
柯西不等式的证明及应用论文
南京师范大学泰州学院毕业论文（设计）（一三届）题目：柯西不等式的证明及应用院（系、部）：数学科学与应用学院专业：数学与应用数学姓名：学号指导教师：南京师范大学泰州学院教务处制摘要：本文对柯西不等式及其推论、变形、推广和积分形式进行了诠释，详细介绍了柯西不等式的几种典型证明方法，如配方法、判别式法、数学归纳法、运用基本不等式和推广不等式、利用二次型和向量内积等方法，并通过列举一系列范例揭示柯西不等式在不等式证明、等式证明、求最值、解析几何、求参数范围、解方程、解函数、几何等方面的应用。
说明了柯西不等式是数学中的一个非常重要的不等式，它结构对称和谐，在初等数学和高等数学中都有比较广泛的应用，在数学的各个分支都可以见到它的应用。
灵活巧妙地运用它，往往可使一些比较困难的问题迎刃而解，甚至收到出奇制胜、事半功倍的效果，充分体现柯西不等式的重要性及较强的应用性。
关键词：柯西不等式；证明；应用Abstract:In this paper, Cauchy inequality and its corollary, deformation, diffusion and integral form are explained in detail. What’s more, several typical Cauchy inequality proofs, such as the distribution method, discriminant method, mathematical induction, the use of the basic and promotional inequality, using the second type and vector inner product are introduced. Furthermore, the paper reveals the application of Cauchy inequality in inequalities, equality proof, for the most value, analytic geometry, the scope of demand parameters, solving equations, the solution function and geometry through a series of examples. Cauchy inequality is a very important mathematics inequality. Within its harmonious symmetrical structure, it is widely used in elementary mathematics, higher mathematics and almost every branches of mathematics. When using it flexibly, most of the difficult problems can be solved, or even users can receive a surprise move, a multiplier effect. All these fully reflect the importance of Cauchy inequality and the strong capability of application.Keywords: Cauchy inequality; proof; application目录1绪论 (3)1.1 研究意义 (3)1.2 国内外研究现状 (3)1.3 本文解决的主要问题 (4)2柯西不等式的诠释 (5)2.1 柯西不等式 (5)2.2 柯西不等式的推论 (5)2.3 柯西不等式的变形 (6)2.4 柯西不等式的推广 (7)2.5 柯西不等式的积分形式 (8)3柯西不等式的证明 (9)3.1 配方法 (9)3.2 判别式法 (9)3.3 数学归纳法 (10)3.4 运用基本不等式 (11)3.5 运用推广不等式 (12)3.6 利用二次型 (12)3.7 利用向量内积 (13)4柯西不等式的应用 (14)4.1 在证明不等式方面的应用 (14)4.2 在证明等式方面的应用 (16)4.3 在求最值方面的应用 (18)4.4 在解析几何方面的应用 (19)4.5 在求参数范围问题中的应用 (22)4.6 在解方程问题中的应用 (22)4.7 在解函数问题中的应用 (23)4.8 在几何上的应用 (23)结论 (26)谢辞 (27)参考文献 (28)1 绪论在自然界中存在着大量的不等量关系，不等关系也是最基本的数学关系，不等式在数学研究和数学应用中起着重要的作用。
不等式证明的若干种方法毕业论文
本科生毕业论文题目不等式证明的若干种方法院系_____________ 数学系_____________ 专业数学与应用数学2013年5月本科生毕业设计（论文♦创作）声明本人重声明：所呈交的毕业设计，是本人在指导教师指导下，进行研究工作所取得的成果。
除文中已经注明引用的容外，本设计的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或没有公开发表的作品容。
对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
本设计创作声明的法律责任由本人承担。
作者签名：年月日本人声明：该毕业设计是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过毕业设计的全部容，保证题目、关键词、摘要部分中英文容的一致性和准确性，并通过一定检测手段保证毕业设计未发现违背学术道德诚信的不端行为。
指导教师签名：年月日不等式证明的若干种方法高银梅（师学院数学系数学与应用数学2009级）摘要：无论在初等数学还是高等数学中，不等式都是十分重要的容。
而不等式的证明则是不等式知识的重要组成部分。
在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法。
在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、综合法、分析法、换元法、增量代换法'反证法、放缩发、构造法、数学归纳法、判别式法等等。
在高等数学不等式的证明中经常利用中值定理、泰勒公式♦拉格朗日函数以及一些箸名不等式，如：柯西不等式、蔭森不等式、施瓦茨不等式、赫尔德不等式等等。
从而使不等式的证明方法更加完善，有利于我们进一步探讨和研究不等式的证明。
通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯。
关键词：不等式，证明方法，常用，特殊Abstract: both in elementary mathematics and higher mathematics, the inequality is very important content・ Inequality and the proof is an important part of knowledge・ In this article, I suniniarized some mathematical proof of the method of inequality. Inequality in elementary matheinatics analyst is often used with comparison method, synthesis, analysis, change element method, incremental substitution method, the reduction to absurdity, zooming, construction method, mathematical induction, discriminant method and so on. Inequality in higher mathematics analyst often use of mean value theorem, Taylor formula, Lagrange function, and some well-known inequalities, such as cauchy inequality, Jensen，s inequality, inequality Schwartz, held, and so on. So that the inequality proof method more perfect, good for our further discussion and study of inequality proof・ By studying these proofs, can help us to solve some practical problems, to cultivate logical reasoning ability and abstract thinking ability and the students to form good learning habits of thinking, good at thinking・Keywords: inequality, the proof method, commonly used, special目录1前言 (6)2利用常用方法证明不等式 (7)2. 1比校法 (7)2. 2综合法 (7)2. 3分析法 (8)2. 4换元法 (8)2. 5增量代换法 (8)2. 6反证法 (9)2. 7放缩法 (9)2. 8构造法 (10)2. 9数学归纳法 (10)2.10判别式法。
一个初等不等式一个初等不等式论文
一个初等不等式的研究一个初等不等式的研究【摘要】本文通过对一个初等不等式x3+y3+z3≥3xyz(x,y,z∈r+)进行研究，得到若干推广形式及一些应用，文中还留下了几个猜想。
【关键词】不等式；推广；应用；猜想不等式x3+y3+z3≥3xyz,①x,y,z∈r+是中学里一个简单且常见的不等式！然而它的内涵与外延是如此的丰富，似乎出乎我们的意料之外。
本文将给出此不等式的若干推广形式及一些应用，并提出几个猜想。
一、不等式的证明不等式①的证明似乎不难，左-右=12(x+y+z)［(x-y)2+(y-z)2-(z-x)2］≥0即得。
有意义的是由此证明以及经过简单的代数变形，我们可以给出一些有趣的推广及应用。
二、不等式的推广以下我们给出几个命题，题中条件均为x,y,z∈r+。
命题一 (a)x3+y3+z3≥3xyz+z(x-y)2+x(y-z)2+y(z-x)2。
②(b)xyz≥(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)。
③命题二 (a)x3+y3+z3≥3xyz+x+m2(y-z)2+y+m2(z-x)2+z+m2(x-y)2。
(其中m=min{x,y,z}) ④(b)xyz-m2［(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2］≥(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)。
⑤命题三 (a)27x2y2z2(x+y+z)3≥(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)。
⑥(b)x2y2z227(x+y+z)327xyz(x+y+z)3+83≥(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)。
⑦不等式③展开后整理即得②，展开后知不等式④与⑤也是等价形式，④显然强于②。
下面证明不等式④，不妨设x≥y≥z,则m=z。
左?右=12（x+y+z)［(x-y)2+（y-z)2+(z-x)2］-x+z2(y-z)2-y+z2(z-x)2-z+z2(x-y)2=12(y-x)(y-z)2+12(x-y)(z -x)2+12(x+y-2z)(x-y)2=12(x-y)［(z-x)2-(y-z)2］+12(x+y-2z)(x-y)2。
不等式论文：利用导数证明不等式的常用方法
不等式论文：利用导数证明不等式的常用方法不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点,在中学必修课本中只作了简单介绍.而利用导数证明不等式思路清晰、方法简捷、操作性强,易被学生掌握.下面介绍如何构造辅助函数证明不等式.一、作差构造函数证明不等式【例1】当x＞0时,求证:x-x22＜ln(x+1).证明:设f(x)=x-x22-ln(x+1)(x＞0),则f′(x)=-x2x+1.∵x＞0,∴f′(x)＜0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以x＞0时,f(x)＜f(0)=0,即x-x22＜ln(x+1)成立．点评:一般地,若证明不等式f(x)＞g(x)成立,通常构造辅助函数f(x)=f(x)-g(x),即证明f(x)＞0.【例2】当x＞-1时,证明不等式x1+x≤ln(1+x)≤x成立.证明:作函数f(x)=x1+x-ln(1+x),有f′(x)=-x(1+x)2.当x＞0时，f′(x)＜0；当-1＜x＜0时,f′(x)＞0.所以f(0)=0是函数f(x)的极大值也是最大值.故可知f(x)在x＞-1时,f(x)≤0．同理可证g(x)=ln(1+x)-x在x＞-1时，g(x)≤0．综上获证.点评: 构造辅助函数后,通常利用函数的单调性、极值、最值证明不等式成立.二、换元简化后证明不等式【例3】若x∈(0,+∞),求证:1x+1＜lnx+1x＜1x.证明：令1+1x=t,则x=1t-1.∵x＞0,∴t＞1.则原不等式可转化为1-1t＜lnt＜t-1，令f(t)=t-1-lnt，∴f′(t)=1-1t.∵当t∈(1,+∞)时,有f′(t)＞0,∴f(t)在(1,+∞)上为增函数.故f(t)＞f(1)=0,即t-1＞lnt.令g(t)=lnt-1+1t,则g′(t)=1t-1t2=t-1t2.同理可知当t∈(1,+∞)时，g(t)在(1,+∞)上为增函数.故g(t)＞g(1)=0,即lnt＞1-1t.综上可知,1x+1＜lnx+1x＜1x.点评:若所证不等式比较复杂,可通过换元的思想转化为简单的或熟悉的不等式，再进行证明.三、利用条件结构构造函数证明不等式【例4】定义y=log x+1f(x,y),x＞0,y＞0,若e＜x＜y,证明：f(x-1,y)＞f(y-1,x).证明:f(x-1,y)=xy,f(y-1,x)=yx.要证f(x-1,y)＞f(y-1,x),只要证xy＞yx.xy＞yx lnxx＞lnyyylnx＞xlny.令h(x)=lnxx,则h′(x)=1-lnxx2,当x＞e时,h′(x)＜0,∴h(x)在(e,+∞)上单调递减.∵e＜x＜y,∴h(x)＞h(y),即lnxx＞lnyy.∴不等式f(x-1,y)＞f(y-1,x)成立.点评:此题构造的方式不是直接作差或作商，而是根据题目的特点，先用分离变量的方式将两个变量分别变形到式子的两边，再构造函数.四、利用f(x)min＞g(x)max证明不等式【例5】证明对一切x∈(0,+∞),都有lnx＞1ex-2ex成立.证明:问题等价于证明xlnx＞xex-2e，x∈(0,+∞).设f(x)=xlnx,x∈(0,+∞),则f′(x)=lnx+1,易得f(x)的最小值为-1e,当且仅当x=1e时取得.设g(x)=xex-2e,x∈(0,+∞),则g′(x)=1-xex，易得g(x)max=g(1)=-1e.当且仅当x=1时取得.从而对一切x∈(0,+∞)，都有lnx＞1ex-2xe成立.五、利用已知(证)不等式证明不等式【例6】已知函数f(x)=lnx,g(x)=2x-2(x≥1).（1）试判断f(x)=(x2+1)f(x)-g(x)在定义域上的单调性；（2）当0＜a＜b时,求证:f(b)-f(a)＞2a(b-a)a2+b2.解:（1）易知f(x)=(x2+1)lnx-(2x-2),当x＞1时，f′(x)=2xlnx+(x-1)2x,则f′(x)＞0.函数f(x)=(x2+1)f(x)-g(x)在［1,+∞)上递增.（2）由（1）知当x＞1时,f(x)＞f(1)=0,∴f(x)＞0 .即(x2+1)lnx-(2x-2)＞0,∴ln x＞2x-2x2+1.①设x=ba,由0＜a＜b可知x＞1.则①式可化为lnba＞2ba-1(ba)2+1，即lnb-lna＞2a(b-a)a2+b2.故当0＜a＜b时,f(b)-f(a)＞2a(b-a)a2+b2.点评:证明不等式时,若能注意到所证不等式与所给函数的关系,往往能打开解题思路.【例7】已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈r)．（1）求函数f(x)的单调区间;（2）求证：ln22ln33ln44…lnnn＜1n(n≥2,n∈n*)．解:（1）f′(x)=a(1-x)x(x＞0),当a＞0时,f(x)的单调增区间为(0,1),减区间为(1,+∞)；当a＜0时,f(x)的单调增区间为(1,+∞)，减区间为(0,1);当a=0时，无单调区间．（2）令a=-1，此时f(x)=-lnx+x-3，所以f(1)=-2.由（1）知f(x)=-lnx+x-3在(1,+∞)上单调递增，∴当x∈(1,+∞)时，f(x)＞f(1)，即-lnx+x-1＞0，∴lnx＜x-1对一切x∈(1,+∞)成立，∵n≥2，m∈n*,则有0＜lnn＜n-1，∴0＜lnnn＜n-1n.∴ln22l n33ln44…lnnn＜122334…n-1n=1n(n≥2,n ∈n*).点评:对证明如下两个不等式(1) lnx≤x-1；(2)ex≥x+1时，应给予更多关注.总之，利用导数证明不等式,关键是如何根据不等式的结构特征构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值,从而证得不等式.。
不等式论文50篇
重庆 ·39·
活用均值不等式巧解数学题
(贵州省铜仁市坝黄中学 554307) 杨昌米 胡银萍
平均值不等式是高中数学的重要内容, 熟 练掌握二元和三元均值不等式及其变形应用, 可以巧妙地解决许多数学题.
1 证明不等式
<
1 4
,
即证
an 2
an
2
<
1 4
,即
证 an < 4 ,由 1) 知此结论显然成立 , 所以 an+ 1
-
2<
1 4
( an
-
2) .
例 2 已知数列{ xn } 满足
xn
=
3 8
+
1 2
x n- 1 2 ( n > 1)
, x1
=
3 8
.
1) 求证 :0
<
xn
<
1 2
;
2) 证明 : x n - 1 < x n ( n > 1) ;
1+
1 k2
(x 2
-
x 1) =
x 2 - x 1 = k (x 3 - x 2) ,
1 + k2 (x 3
1 k
+
2x 2 =
k (k -
2x 2) ,
k2 -
1 k
=
(2k +
2) x 2 ≥ 0, k 2 ≥ 1, k ≥ 1.
且有 x 2 =
k3 2k (k +
1 1)
,
正方形边长为
(k2 + 1) (x 3 - x 2) =
不等式证明浅谈毕业论文
不等式证明浅谈毕业论文不等式证明浅谈毕业论文毕业论文是大学生在毕业前完成的一项重要任务，也是评价学生学术能力和专业素养的重要依据之一。
在撰写毕业论文时，不等式证明是常见且重要的一种思维方式。
通过不等式证明，可以加强对问题本质的理解，提高论文的逻辑严密性和说服力。
本文将从不等式证明的定义、应用和技巧等几个方面进行深入浅出的探讨。
首先，不等式证明是指根据已知条件和相关数学知识，通过推理论证来证明某个不等式的成立或者不成立。
不等式证明在数学中有着重要的应用，可以帮助解决各种实际问题，同时也是发展数学思维和培养数学能力的有效途径之一。
其次，不等式证明在毕业论文中的应用十分广泛。
例如，在经济学、管理学等社会科学领域的研究中，经常会涉及到各种优化问题。
而不等式证明可以帮助我们确定目标函数的最值，从而优化决策和提高效率。
在工程领域的研究中，我们也常常需要证明某些约束条件下的一系列不等式的成立，以保证设计的有效性和安全性。
此外，在数学、物理、化学等理工科学科中，不等式证明也是重要的手段之一。
在进行不等式证明时，掌握一些技巧和方法是非常有帮助的。
首先，要善于利用已知条件和问题的特性来构造合适的不等式。
对于一些简单的问题，可以使用基本的不等式，如均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等。
对于更复杂的问题，可能需要利用数学分析知识和特殊的不等式进行推导。
其次，要善于利用数学运算的性质来进行变形和简化。
例如，可以通过平方、取倒数、换元等操作，将原始的不等式转化为更容易处理的形式。
另外，要注意不等式证明中的边界条件和临界点，这些往往是证明的关键。
最后，要注意不等式证明的严谨性和逻辑性。
证明过程中要注重推导的合理性和严密性，避免出现错误和矛盾。
在撰写毕业论文时，不等式证明可以帮助加强论文的逻辑性和说服力。
通过不等式证明，可以深入分析问题的本质和内在联系，理清问题的逻辑关系和因果关系。
同时，不等式证明也可以帮助展示研究者的数学思维和分析能力，增强论文的学术价值和研究深度。
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不等式证明方法问题探讨
摘要：在高中数学新课程改革不断发展的前提下，如何更好地进行高中数学教学就成了高中数学教师急待解决的问题。
本文通过对不等式证明方法探讨，去寻找高中数学新课程发展规律，这也为高中数学教师能从更高的角度去组织教学提供一定的指导.
关键词：不等式；证明；方法；反思.
１.引言
证明不等式就是要证明所给不等式在给定条件下恒成立,由于不等式形式的多样性,所以要寻求不等式的证明方法,也就灵活多变,目前我们对用比较法、分析法、综合法、反证法、换元法、放缩法、判别式法、和数学归纳法来证明不等式都有了一定基础，这些方法在这里就不再阐述了，但是，在证明不等式时有很多相通的地方，也有需逐步深入的地方。
这就对高中数学教育提出了更高的要求，那么在数学教育方面应如何培养学生的潜在能力呢？怎么样才能
为学生以后的发展打下坚实的基础？基于这一点，我们是否能从不等式的证明方法的发展中得到什么启发呢？又如何从大学数学的
学习中反观高中数学的发展规律呢？因此我们能否从大学数学内
容的学习中找到一些与高中数学内容学习的共性，从这些共性中去探求高中数学的发展，再结合目前高中数学新课程改革，以更好地指导高中数学的教育教学，现在我就通过从不等式的证明方法探讨着手，并且从以下几个方面的分析去寻找高中数学的发展趋势. 2.不等式常用方法介绍及分析
本文主要用数学中常数变易法,再通过列举实例加以证明来对不等式进行探讨,以此来反观高中数学的发展,从而得出一般性结论. ２.1.应用常数变易法来证明不等式。
在这里主要是用这种方法来证明数值不等式，因为对于数值不等式的证明，如果没有一定的理论方法指导，这样的不等式问题是很难证明的，对数值不等式的证明是通过作辅助函数，用常数变易法的方法来解决.其证题步骤为：（ⅰ）将所给不等式中的某个常数变易成x.（ⅱ）移项使不等式一端为零，另一端令为.（ⅲ）求或，判断、的符号.（ⅳ）利用的单调性即可得出数值不等式的证明，使其问题得到解决.
例2.1.1：设,证明: .
分析:根据以上的步骤,首先得出,再求、…，直到能判断的单调性，再利用端点值进行比较大小.
证明：令=（将变易成）.
则有=，=，因为当xe时, 0,所以严格单调减少，从而当时，=，即当时, 严格单调增加.
因为，所以当时，有即0.故.
说明:常数变易法的应用使这类不等式的证明得到了很好的解决.但要注意的是在将常数变易成时,是否能将任意一个常数变易为呢?从方法的应用上来看是可以将不等式证明出来的,下面我们就来看如下的证明过程.如果将上例中的变易为,则同样令=，则 =，=，因为时, 0，所以严格单调增加.从而当时,==0，即当时, )严格单调减少.因为所以当时，有即0.同样使问题得到了证明.
通过对上面的数值不等式的证明我们为这类不等式的证明找到了通法,从总体上来说,它主要是利用设辅助函数，再求导数,最后判断辅助函数的单调性,从而使不等式得到证明.这种方法对于高中学生的学习也有很强的引导作用,并且通过以上的归纳,今后再遇到这类不等式时就有一定的思路了,同时,这也为高中数学教师在教授这部分内容时提供了参考.我们也可以通过对这部分知识的学习.让我们在将来的教育中反思和优化教学方法.
2.2.反观高中数学教材和历年高考中不等式的证明
纵观近几年高中数学教材的发展趋势，以及高考中不等式证明问题的走向.我们同样可以总结出，在每年各省的高考中，导数的知识点已占了一定的分量，在不等式的证明中表现得尤为突出，现在我们就通过对以下的分析来看是否能给我们以启发？
例2.2.1：设函数=.（ⅰ）证明：的导数2.（ii）若对所有.都有.求的取值范围.
分析：对于这类不等式，首先就要设出辅助函数，通过求导数得出函数的单调性，这恰是用常数变易法来证明不等式的方法的简化和体现.
证明:（ⅰ）函数的导数.由于，故2（当且仅当x=0时，等号成立），
（ii）令=，则，
（ⅰ）若2，当时, ，故g(x)在(0,+)上为增函数，所以时, ，即.
(ⅱ)若2时,方程的正根为，此时若，那么=0.即与题设相矛盾.综上.满足条件的的取值范围是(].
以上都是历年全国各省市高考题,类似以上例题在各省市的高考题中还很多,这就使我们得到启发,高中数学的发展有向大学数学微积分等方向渗透.我们现在也都很清楚,这已成了不争的事实.这对以后教师的教学和学生的学习也提出了更高的要求。
3.结论
通过对不等式的证明方法的探讨，找出了现在高中数学新课程改革的发展规律。
这也为传统教师能从更高的角度去进行高中数学教学提供了理论指导.我们从不等式的证明的发展过程中能体会到.作为教师不但要终身学习，还要去感悟怎样从更高的视点去解决好数学教学。
新课程改革下的教师们也应意识到：在高中数学的新课程改革不断发展的前提下，如何更好地进行高中数学教育教学？这也是教师们需要迫切解决的问题.那我们怎么样才能把高中数学教学工作做好：也就是要学好大学数学的一些基础知识.而且要不断的学习新知识，要以高标准要求自己.从而使高中数学的教学得以系统的解决，这也是新课程改革的出发点和目的.
参考文献：
[1]鲍曼，中学数学方法论
[2]喻平，走进高中新课改.
[3]齐建华，王红蔚，数学教育学.。