北师大版八年级上数学7.难点探究专题：一次函数与几何的综合问题
第4章一次函数 题型全解8 一次函数与几何综合题型-北师大版八年级数学上册
《一次函数》题型解读8 一次函数与几何综合题型【题型与方法解读】2.解题技巧：（1）求关键点的坐标：①用“x=0或y=0”分别求与坐标轴交点；②用二元一次方程组求两线段的交点坐标；③代入法求点的坐标；④作x、y轴的垂线，求垂线段的长度求点的坐标；（2）求关键线的解析式①常用“等定系数法”求某条线段所在直线的解析式；②也可以通过以下两个技巧设或求解析式：若两直线平行，则它们的K值相同；若两直线垂直，则它们的K值为负倒数；（3）已知或求面积问题：解题思路-----先明确面积方法：①公式法；②外补法（面积差）或内割法（面积和）（4）注意几何图形中隐藏的数学典型模型或典型图形①“一线三垂直或二垂或一垂模型”；②“双垂直模型”；③“一线三等角模型”；④“角平分线+平行线=等腰”模型；⑤“两圆一线”的解题方法；⑥“将军饮马问题”求线段和最小值；（5）常用的补充公式：①中点坐标公式：若，，则AB的中点O的坐标为②两点之间的距离公式：若，，则AB=③求面积的三种方法：公式法；补割法；等底等高面积相等；【典型例题】例1.如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C为线段OB上一点，将沿着直线AC翻折，点B恰好落在x轴上的D处，则的面积为______．解：直线，当时，，当时，，点A的坐标为，点B的坐标为，，，，将沿着直线AC翻折，点B恰好落在x轴上的D 处，，，设，则，，，，，解得，，即，，的面积为：，例2.如图,直线22+=xy与x轴、y轴分别交于A、B两点,点C是第二象限内一点,连接CB,若∠CBA=45°,则直线BC的解析式为_________.yC B解析：解题经验：出现45°角必构造等腰直角三角形，这是解题的突破口。
过点A 作AD ⊥AB 交BC 于点D ，作DE ⊥轴于点E ，出现数学典型模型：“一线三垂直模型”，则易证△OAB ≌△EDA ，则OB=AE=2，OA=DE=1，∴OE=3，∴D 点的坐标为（-3，1），∵D （3，2），B （0，2），用“待定系数法”可求得BC 的解析式：.例3.已知,如图点A(1,1),B(2,-3),点P 为x 轴上一点,当PBPA -最大时,点P 的坐标为（ ）A.()01，-B.⎪⎭⎫ ⎝⎛021， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛045，D.()01， 解析：“将军饮马问题”，选择压轴题。
4.难点探究专题：一次函数与几何的综合问题(选做)
难点探究专题：一次函数与几何的综合问题(选做)◆类型一 一次函数与面积问题 一、由一次函数图象求面积1．(当涂县期末)直线y ＝2x －4与两坐标轴所围成的三角形面积等于( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．162．已知直线l 1：y 1＝2x ＋3与直线l 2：y 2＝kx －1交于A 点，A 点横坐标为－1，且直线l 1与x 轴交于B 点，与y 轴交于D 点，直线l 2与y 轴交于C 点．(1)求出A 点的坐标及直线l 2的解析式； (2)连接BC ，求出S △ABC .二、由面积求一次函数关系式3．若直线y ＝－2x ＋b (b >0)与两坐标轴围成的三角形的面积是1，则该直线的解析式为__________．4．在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，过点A (1，2)的直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于点B ，且S △AOB ＝4.则该直线的解析式为____________________．三、一次函数上的动点与面积问题 5．(盐城中考)如图，在边长为2的正方形ABCD 中剪去一个边长为1的小正方形CEFG ，动点P 从点A 出发，沿A →D →E →F →G →B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B 时停止(不含点A 和点B )，则△ABP 的面积S 随着时间t 变化的函数图象大致是( )6．如图所示，直线y ＝kx －1与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，OB OC ＝12.(1)求B 点坐标和k 的值； (2)若点A (x ，y )是直线y ＝kx －1在第一象限内的部分上的一个动点，试写出在点A 运动过程中，三角形AOB 的面积S 与x 的函数表达式；(3)探索：当动点A (x ，y )可在直线y ＝kx －1上任意移动时，若S △AOB ＝14，试确定点A的位置．【易错4】◆类型二 一次函数与几何图形综合的探究性问题7．如图所示，直线y ＝x ＋1与y 轴交于点A 1，以OA 1为边作正方形OA 1B 1C 1，然后延长C 1B 1与直线y ＝x ＋1交于点A 2，得到第1个梯形A 1OC 1A 2；再以C 1A 2为边作正方形C 1A 2B 2C 2，同样延长C 2B 2与直线y ＝x ＋1交于点A 3得到第2个梯形A 2C 1C 2A 3；再以C 2A 3为边作正方形C 2A 3B 3C 3，延长C 3B 3，得到第3个梯形……则第2个梯形A 2C 1C 2A 3的面积是________；第n (n 是正整数)个梯形的面积是____________(用含n 的式子表示)．第7题图 第8题图8．★如图，直角坐标系中，点P (t ，0)是x 轴上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线，分别与直线y ＝12x ，直线y ＝－x 交于A 、B 两点，以AB 为边向右侧作正方形ABCD .(1)当t ＝2时，正方形ABCD 的周长是________；(2)当点(2，0)在正方形ABCD 内部时，t 的取值范围是__________________．参考答案与解析1．C2．解：(1)当x ＝－1时，y 1＝－2＋3＝1，∴A 点的坐标为(－1，1)．∵直线l 2：y 2＝kx －1经过点A (－1，1)，∴1＝－k －1，∴k ＝－2，∴y 2＝－2x －1；(2)∵直线y 1＝2x ＋3与y 轴交于D (0，3)，直线y 2＝－2x －1与y 轴交于C (0，－1)，∴CD ＝4，∴S △ADC ＝12×4×1＝2.∵直线y 1＝2x ＋3与x 轴交于B ⎝⎛⎭⎫－32，0，∴S △BCD ＝12×4×32＝3，∴S △ABC ＝S △BCD －S △ACD ＝3－2＝1.3．y ＝－2x ＋24．y ＝－23x ＋83或y ＝25x ＋85 解析：设B 点坐标为(m ，0)，则S △AOB ＝12·|m |·2＝|m |.又∵S △AOB＝4，∴|m |＝4，∴m ＝±4.当m ＝4时，由直线y ＝kx ＋b 过点A (1，2)，B (4，0)，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝k ＋b ，0＝4k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－23，b ＝83.此时该直线的解析式为y ＝－23x ＋83；当m ＝－4时，由直线y ＝kx ＋b 过点A (1，2)，B (－4，0)，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝k ＋b ，0＝－4k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝25，b ＝85.此时该直线的解析式为y ＝25x ＋85.综上所述，该直线的解析式为y ＝－23x ＋83或y ＝25x ＋85.5．B 解析：当点P 在AD 上时，△ABP 的底AB 不变，高增大，所以△ABP 的面积S随着时间t 的增大而增大；当点P 在DE 上时，△ABP 的底AB 不变，高不变，所以△ABP 的面积S 不变；当点P 在EF 上时，△ABP 的底AB 不变，高减小，所以△ABP 的面积S 随着时间t 的增大而减小；当点P 在FG 上时，△ABP 的底AB 不变，高不变，所以△ABP 的面积S 不变；当点P 在GB 上时，△ABP 的底AB 不变，高减小，所以△ABP 的面积S 随着时间t 的增大而减小．故选B.6．解：(1)设B 点坐标为(m ，0)．∵OB OC ＝12，∴C 点坐标为(0，－2m )．由直线y ＝kx －1与y 轴交于点C 可得C 点坐标为(0，－1)，∴－2m ＝－1，∴m ＝12，∴B 点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.由12k －1＝0得k ＝2； (2)∵A (x ，y )在第一象限，且y ＝2x －1，∴S △AOB ＝12OB ·y ＝12×12(2x －1)＝12x －14⎝⎛⎭⎫x >12； (3)由题意，得12OB ·|y |＝14.∵OB ＝12，∴y ＝±1.当y ＝1时，x ＝1；当y ＝－1时，x ＝0.∴A点坐标为(1，1)或(0，－1)． 7．6 (2n －1＋2n )·2n －28．(1)12 (2)t <－4或45<t <2解析：当t <0时，AB ＝－32t ，即正方形ABCD 的边长为－32t .∵点(2，0)在正方形ABCD 内部，∴－32t >2－t ，解得t <－4；当t >0时，AB ＝32t ，即正方形ABCD 的边长为32t ，则⎩⎪⎨⎪⎧t <2，t ＋32t >2，解得45<t <2.故当点(2，0)在正方形内部时，t <－4或45<t <2.。
北师大版八年级数学上难点探究专题：一次函数与几何的综合问题
难点探究专题：一次函数与几何的综合问题——代几结合明思路◆类型一一次函数与面积问题一、由一次函数图象求面积1．(2016·抚顺中考)一次函数y＝2x－4的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，O 为原点，则△AOB的面积是()A．2 B．4C．6 D．82．(2016·自贡中考)如图，把Rt△ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC ＝5，点A，B的坐标分别为(1，0)，(4，0)，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x－6上时，线段BC扫过的面积为________．3．已知直线l经过点(－1，5)，且与直线y＝－x平行．(1)求直线l的函数关系式；(2)若直线l分别交x轴、y轴于A，B 两点，求△AOB的面积．二、由面积求一次函数关系式或字母系数的值4．如果直线y＝2x＋m与两坐标轴围成的三角形面积等于4，则m的值是() A．±3 B．3 C．±4 D．45．已知一次函数y＝kx＋b的图象过点(0，2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则此一次函数的解析式为()A．y＝x＋2B．y＝－x＋2C．y＝x＋2或y＝－x＋2D．y＝－x＋2或y＝x－2三、一次函数中动点与面积问题6．(2016·荆门中考)如图，正方形ABCD 的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止．设点P的运动路程为x(cm)，在下列图象中能表示△ADP的面积y(cm2)关于x(cm)的函数关系的图象是()第6题图第7题图7．(2016·青海中考)如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B)，则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是()◆类型二一次函数与几何图形综合的探究型问题(选做)。
难点探究专题：一次函数与几何图形的综合问题-北师大版八年级上册数学作业课件
∴A(4，0)，B(0，－4)．
(1)求直线AB的函数关系式；
△AOB的面积． y＝2x－6上，∴2x－6＝4，解得x＝5，即OA′＝5.
解：(1)设直线l的表达式为y＝－x＋b，
当点M在线段OA上时，
解：在直线y＝x＋3中，令y＝0，则x＝－3；
∵∠CAB＝90°，BC＝5，∴AC＝4.
解：在直线y＝x＋3中，令y＝0，则x＝－3；
∵∠ABO＝45°， B.
(2)∵A(4，0)，B(0，－4)，
∵点A的坐标为(6，0)，
∠ABM＋∠CBO＝45°， (2)在点P运动的过程中，求出
y＝2x－6上，∴2x－6＝4，解得x＝5，即OA′＝5.
解：(1)设直线l的表达式为y＝－x＋b，
A2022的横坐标为21010.故答案为21010.
11．(2019－2020·福田区期末)如图，已知直线 y＝x－4分别与x轴、y轴交于A，B两点，直线 OG：y＝kx(k＜0)交AB于点D. (1)求A，B两点的坐标； 解：(1)∵直线y＝x－4分别与 x轴、y轴交于A，B两点， 令y＝0，则x－4＝0， ∴x＝4. 令x＝0，则y＝－4. ∴A(4，0)，B(0，－4)．
3．已知直线l经过点(－1，5)，且与直线y＝－x 平行． (1)求直线l的表达式； 解：(1)设直线l的表达式为y＝－x＋b， 将(－1，5)代入，可得b＝4， ∴直线l的表达式为y＝－x＋4.
(2)若直线l分别交x轴、y轴于A，B两点，求 在Rt△OBM′中，由勾股定理得BM′2＝OB2＋OM′2，即BM′2＝16＋(4＋a)2.
4
(2)在点P运动的过程中，求出
北师大版数学八上一次函数的知识点及例题(精华)(K12教育文档)
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【函数与变量】在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量，有些量的数值是始终不变的，我们称它为常量，如圆的面积2S r π=，S 与r 是变量，π是常量注意：在某一变化过程中,变量、常量都可能有多个。
常量可以是一个实数，也可以是一个代数式（数值始终保持不变） 【函数的概念】一般地，设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，并且对于x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。
(实际上,函数说的就是y 是怎么样随着x 的变化而变化的,也可以管y 叫x 的变化规律)对函数概念的理解： （1）有两个变量（2)一个变量的数值随着另一个变量的变化而变化（3)自变量每确定一个值，函数有一个并且只有一个值与之对应（或多个x 的值可以对应一个y 值但不能一个x 值对应多个y 值，如y=x 2和x 2=y)（4） 我们习惯上设y 为函数，但不表示其它字母不可以作为函数，如s=vt x=6y （5)我们在写函数的时候把函数写在等号的左边，把自变量写在等号的右边例：y=2x-1 例：下列变量之间的关系不是函数关系的是（ ）A 、长方形的宽一定,其长与面积B 、正方形的周长与面积C 、等腰三角形的底边与面积D 、球的体积与球的半径 【函数的表示方法】(1）列表法:通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫列表法。
北师大版八年级上册数学一次函数的综合应用(共17张)
G都在x轴上，且点G与点B重合．
（1）求△ABC的面积． （2）求矩形DEFG的边DE与EF的长．
y l2 E
l1 D
（3）S矩形DEFG:S△ABC =_________．
C
AO
B F (G) x
（3）∵S矩形DEFG=4×8=32 S△ABC=½ ×[8-（-4）]×6=36
∴S矩形DEFG:S△ABC =32:36=8:9
例4：一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往 甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1（km）， 出租车离甲地的距离为y2（km），客车行驶时间为x （h），y1，y2与x的函数关系图象如图所示： （1）根据图象，求出y1，y2关于x的函数关系式。 （2）若设两车间的距离为S（km），请写出S关于x的 函数关系式。 （3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200km， 若客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油。求A 加油站到甲地的距离。
（3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200km，若客车进入A站加油时，
出租车恰好进入B站加油。求A加油站到甲地的距离。
y
练习： B
1y轴.如于图点，A在，平B，面将直△角A坐O标B系绕中点，O顺直时线针l：旋y=转90x°43+后4分得别到交x轴，
A
△A′OB′． （1）求直线A′B′的解析式；
y ox (k>0,b<0
y ox (k<0,b<0
典型题分析
y
C
例1.如图，已知直线l：y=
3 x 3
3 与x轴交于点A，
l
B
与y轴交于点B，将△AOB沿直线l折叠，点O落在
点C处，则直线CA的表达式为_________．
第4章一次函数 题型全解8 一次函数与几何综合题型-北师大版八年级数学上册
《一次函数》题型解读8 一次函数与几何综合题型【题型与方法解读】1.解题关键：2.解题技巧：（1）求关键点的坐标：①用“x=0或y=0”分别求与坐标轴交点；②用二元一次方程组求两线段的交点坐标；③代入法求点的坐标；④作x、y轴的垂线，求垂线段的长度求点的坐标；（2）求关键线的解析式①常用“等定系数法”求某条线段所在直线的解析式；②也可以通过以下两个技巧设或求解析式：若两直线平行，则它们的K值相同；若两直线垂直，则它们的K值为负倒数；（3）已知或求面积问题：解题思路-----先明确面积方法：①公式法；②外补法（面积差）或内割法（面积和）（4）注意几何图形中隐藏的数学典型模型或典型图形①“一线三垂直或二垂或一垂模型”；②“双垂直模型”；③“一线三等角模型”；④“角平分线+平行线=等腰”模型；⑤“两圆一线”的解题方法；⑥“将军饮马问题”求线段和最小值；（5）常用的补充公式：①中点坐标公式：若A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则AB 的中点O 的坐标为(x 1+x 22,y 1+y 22)②两点之间的距离公式：若A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则AB=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2 ③求面积的三种方法：公式法；补割法；等底等高面积相等；【典型例题】例1.如图，直线y =43x +4交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点C 为线段OB 上一点，将△ABC 沿着直线AC 翻折，点B 恰好落在x 轴上的D 处，则△ACD 的面积为______．解：∵直线y =43x +4，∴当x =0时，y =4，当y =0时，x =−3，∴点A 的坐标为(−3,0)，点B 的坐标为(0,4)，∴OA =3，OB =4，∴AB =5，∵将△ABC 沿着直线AC 翻折，点B 恰好落在x 轴上的D 处，∴AD =5，∴OD =2，设OC =a ，则BC =4−a ，∵BC =DC ，∴DC =4−a ，∵∠COD =90∘，∴a 2+22=(4−a)2，解得，a =32，即OC =32，∵AD =5，∴△ACD 的面积为：AD⋅OC 2=5×322=154，例2.如图,直线22+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,点C 是第二象限内一点,连接CB,若∠CBA=45°,则直线BC 的解析式为_________.ED Oy xCBA解析：解题经验：出现45°角必构造等腰直角三角形，这是解题的突破口。
第四章一次函数 一次函数与几何综合(一)讲义2021-2022学年八年级数学北师大版上册
一次函数与几何综合（一）（讲义）➢ 课前预习1. 若一次函数经过点A (2，-1)和点B (4，3)，则该一次函数的表达式为____________．2. 如图，一次函数的图象经过点A ，且与正比例函数y =-x 的图象交于点B ，则该一次函数的表达式为____________．第2题图 第3题图3. 如图，直线334y x =-+与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，点C 是y 轴负半轴上一点，若BA =BC ，则直线AC 的表达式为__________． 4. 如图，点A 在直线l 1：y =3x 上，且点A 在第一象限，过点A 作y 轴的平行线交直线l 2：y =x于点B ．（1）设点A 的横坐标为t ，则点A 的坐标为_________，点B 的坐标为_________，线段AB 的长为__________；（用含t 的式子表示） （2）若AB =4，则点A 的坐标是__________．➢ 知识点睛1. 一次函数与几何综合的处理思路：从已知的表达式、坐标或几何图形入手，分析特征，通过坐标与横平竖直线段长、函数表达式相互转化解决问题．2. 函数与几何综合问题中常见转化方式：（1）借助表达式设出点坐标，将点坐标转化为横平竖直线段长，结合几何特征利用线段长列方程；（2）研究几何特征，考虑线段间关系，通过设线段长进而表达点坐标，将点坐标代入函数表达式列方程．➢ 精讲精练1. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =kx +b 的图象经过点A (-2，6)，且与x 轴相交于点B ，与正比例函数y =3x 的图象交于点C ，点C 的横坐标为1，则△OBC 的面积为_______．第1题图 第2题图2. 如图，直线l 1：364y x =+与y 轴相交于点N ，直线l 2：y =kx -3与直线l 1相交于点P ，与y轴相交于点M ，若△PMN 的面积为18，则直线l 2的表达式为______________．3. 如图，一次函数123y x =+的图象与y 轴交于点A ，与正比例函数y =kx 的图象交于第二象限内的点B ，若AB =OB ，则k 的值为__________．第3题图 第4题图4. 如图，点A ，B 的坐标分别为(-8，0)，(0，4)，点C (a ，0)为x 轴上一个动点，过点C 作x轴的垂线，交直线AB 于点D ，若CD =5，则a 的值为_________．5. 如图，直线y =kx +6与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点A 的坐标为(6，0)，点C 的坐标为(4，0)．若点P 是直线y =kx +6上的一个动点，当点P 的坐标为______________时，△OPC 的面积为4．第5题图 第6题图6. 如图，在平面直角坐标系中，直线y =x +1与334y x =-+相交于点A ，两直线与x 轴分别交于点B 和点C ，D 是直线AB 上的一个动点．当△BDC 的面积是△ABC 面积的2倍时，点D 的坐标为______________．第8题图7. 如图，直线12y x b =-+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与直线y =x 交于点M ，点M 的横坐标为2，点C 为线段AM 上一点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ，交直线y =x 于点E ．若ED =4CD ，则点E 的坐标为________．8. 如图，直线AB ：y =-x +20与y 轴交于点A ，与直线OB ：13y x =交于点B ．点C 为线段OB上一点，过点C 作y 轴的平行线交直线AB 于点D ，向y 轴作垂线，垂足为点E ．若DC =2CE ，则点C 的坐标为__________．y9. 如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 和B ，D 分别在直线132y x =+和x 轴上，若△OAB ，△BCD 都是等腰直角三角形，∠OAB =∠BCD=90°，则点C 的坐标为___________．第9题图 第10题图10. 如图，P ，Q 是直线122y x =+上的两点，OP =OQ ，OP ⊥OQ ，则点Q 的坐标为__________．11. 如图，直线l 1：y =2x +1与直线l 2：y =mx +4相交于点P (1，b )，垂直于x 轴的直线x =a 与直线l 1，l 2分别交于点A ，B ，若线段AB 的长为2，则a 的值为__________．12. 如图，直线l 1：34y x =与直线l 2：y =-x +7相交于点A ．点P 在x 轴正半轴上，过点P 作x 轴的垂线，与直线l 1，l 2分别交于点B ，C ．设点P 的横坐标为t ．（1）当t =1时，求线段BC 的长； （2）用含t 的式子表达BC 的长；（3）若三个点B ，C ，P 中恰有一点是其他两点所连线段的中点，则称B ，C ，P 三点为“共谐点”．请直接写出使得B ，C ，P 三点成为“共谐点”的t 的值．一次函数与几何综合（一）（随堂测试）1. 如图，直线l 1：y =2x +3与y 轴交于点A ，直线l 2：y =kx -1与y 轴交于点B ，两直线相交于点C ，若AC =BC ，则直线l 2的表达式为_____________．第1题图 第2题图2. 如图，已知直线l 1：443y x =-+与直线l 2：y kx =交于点A ，点A 的横坐标为2，点B 为线段OA 上一点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为点C ，交直线l 1于点D ．若BD =2BC ，则点B 的坐标为________．一次函数与几何综合（一）（习题）1. 如图，直线l 1：y =-x +2与x 轴交于点B ，直线l 2经过点D (0，5)，与直线l 1交于点C (-1，m )，且与x 轴交于点A ．则△ABC 的面积为___________．第2题图2. 如图，在平面直角坐标系中，直线y =kx +4与x 轴交于点A ，与直线y =3x 交于点B ，点B的纵坐标为3，点C 是线段AB 上一点，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，连接BD ，若BD =BC ，则点C 的坐标为___________．3. 如图，直线l 1：y =kx -3与x 轴交于点A ，交直线l 2：y =x 于点B ，且点B 的横坐标为-2．若P 为直线l 1上一动点，当P 的坐标为_________________时，△AOP 的面积为9．第3题图 第4题图4. 如图，已知正比例函数43y x =与一次函数y =-2x +10的图象交于点A ，点P (a ，0)是x 轴上一点，过点P 作x 轴的垂线（垂线位于点A 的右侧），与43y x =和y =-2x +10的图象分别交于点B ，C ．若BC =2AO ，则a 的值为___________．5. 如图，直线与直线y =-x +14相交于点A ，点B 为线段OA 上一点，过点B 作BC ∥y轴交直线y =-x +14于点C ，过点B 向y 轴作垂线，垂足为点D ，若B D =B C ，则点B 的坐标为____________．第5题图 第6题图6. 如图，在平面直角坐标系中，直线OM 经过点A (6，6)，过A 作正方形ABCD ，在直线OA上有一点E ，过E 作正方形EFGH ．已知正方形的边长与坐标轴平行，直线OC 经过点G，且正方形ABCD 的边长为2，正方形EFGH 的边长为3，则点F 的坐标为__________．13y x =7. 如图，直线l 1：y =x +4与直线l 2：y =-2x 交于点A ，点B 是直线l 1上一点，过点B 作BC ∥y轴，交直线l 2于点C ．若BC =5，则点B 的坐标是____________________．第7题图第8题图8. 如图，在平面直角坐标系中，点A 在直线y =2x +5上，连接OA ，过点O 作OA 的垂线，交直线y =-x +3于点B ，若OA =OB ，则点B 的坐标是________．9. 如图，在平面直角坐标系中，过点A (-6，0)的直线AB 与直线OB 相交于点B (-4，2)，与y 轴相交于点C ．动点M 在线段OB 和射线BC 上运动，当点M 的坐标为_______________时，△OMC 的面积是△OBC 的面积的14．一次函数与几何综合（一）【讲义】➢课前预习1.25y x=-2.2y x=+3.122y x=-4.（1）(t，3t)，(t，t)，2t（2）(2，6)➢精讲精练1.62.332y x=--3.1 3 -4.2或-185.(4，2)或(8，-2)6.(237，307)或(377-，307-)7.(4，4)8.(6，2)9.(30，18)10.(45，125)11.53或1312.（1）214 BC=；（2）77(04)477(4)4t tBCt t⎧-+<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩≤；（3）当t的值为145，5611或28时，B，C，P三点成为“共谐点”【随堂练习】1.21y x=--2.(65，45)【习题】1.2742.(2，2)3.(-12，3)或(0，-3)4.65.(6，2)6.(9，6)7.(13，133)或(-3，1)8.(1，2)9.(-1，12)，(-1，5)，(1，7)。
2023学年北师大版八年级数学上学期压轴题专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型含解析
专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型类型一、面积问题例1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AB 与x 轴交于A 点 （2，0）与y 轴交于点B （0，1）． （1）求直线AB 的解析式；（2）点M （-1，y 1），N （3，y 2）在直线AB 上，比较y 1与y 2的大小. （3）若x 轴上有一点C ，且S △ABC =2，求点C 的坐标【变式训练1】已知一次函数12y kx =+的图象与x 轴交于点(2,0)B -，与正比例函数2y mx =的图象交于点(1,)A a ．（1）分别求k ，m 的值；（2）点C 为x 轴上一动点，如果ABC 的面积是6，请求出点C 的坐标．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 为线段DC 上的一个动点．设DP x =，由点,,,A B C P 首尾顺次相接形成图形的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数表达式及x 的取值范围；（2）设（1）中函数图象的两个端点分别为M N 、，且P 为第一象限内位于直线MN 右侧的一个动点，若MNP △正好构成一个等腰直角三角形，请求出满足条件的P 点坐标；（3）在（2）的条件下，若l 为经过(1,0)-且垂直于x 轴的直线，Q 为l 上的一个动点，使得MNQNMPS S=，请直接写出符合条件的点Q 的坐标．【变式训练3】如图，已知直线1:3l y x =+与过点A （3，0）的直线2l 交于点C （1，m ），且与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ． （1）求直线2l 的解析式；（2）若点D 关于x 轴的对称点为P ，求△PBC 的面积．类型二、一次函数与平行四边形例1.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x ，y 轴分别交于点(4,0)A ，(0,3)B ，点C 是直线554y x =-+上的一个动点，连接BC ．（1）求直线AB 的函数解析式；（2）如图1，若//BC x 轴，求点C 到直线AB 的距离；（3）如图2，点(1,0)E ，点D 是直线AB 上的动点，试探索点C ，D 在运动过程中，是否存在以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C ，D 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练1】一次函数y = kx+1（k ≠ 0）的图象过点P （-3，2），与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求k 的值及点A 、B 的坐标；（2）已知点C （-1，0），若以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标．【变式训练2】平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x b =+与直线2l ：12y x =交于点()2,P m ． （1）求m ，b 的值；（2）直线()0x n n =≠与直线1l ，2l 分别交于M ，N 两点，当MN ＝3时，若以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标．类型三、一次函数与等腰三角形例1．一次函数的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 0），B （0，1），以AB 为边在第一象限内做等边△ABC ． （1）线段AB 的长是 ，△BAO ＝ °，点C 的坐标是 ；（2）如果在第二象限内有一点P （a ，1），试用含a 的代数式表示四边形ABPO 的面积． （3）在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等腰三角形，请直接写出点M 的坐标．【变式训练1】如图一，已知直线l ：6y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线m 与v 轴交于点(0,2)C -，与直线l 交于点(,1)D t ．（1）求直线m 的解析式；（2）如图二，点P 在直线l 上且在y 轴左侧，过点P 作//PQ y 轴交直线m 于点Q ，交x 轴于点G ，当2PCG QCG S S ∆∆=，求出P ，Q 两点的坐标；（3）将直线l ：6y x =-+向左平移12个单位得到直线n 交x 轴于E 点，点F 是点C 关于原点对称点．过点F 作直线//k x 轴．点M 在直线k 上，写出以点C ，E ，M ，为顶点且CE 为腰的等腰三角形，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．【变式训练2】在如图的平面直角坐标系中，直线n 过点A （0，﹣2），且与直线l 交于点B （3，2），直线l 与y 轴交于点C ．（1）求直线n 的函数表达式；（2）若△ABC 的面积为9，求点C 的坐标；（3）若△ABC 是等腰三角形，求直线l 的函数表达式．【变式训练3】如图，直线1:l y ax a =-，1l 与x 轴交于点B ，直线2l 经过点(4,0)A ，直线1l ，2l 交于点(2,3)C -．（1）a =______；点B 的坐标为______． （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ABC 的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ABP △为等腰三角形，请直接写出P 点的横坐标？类型四、一次函数与直角三角形例1.如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝－x ＋2的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与函数y ＝13x ＋b 的图象交于点C （－2，m ）． （1）求m 和b 的值；（2）函数y ＝－x ＋b 的图象与x 轴交于点D ，点E 从点D 出发沿DA 向，以每秒2个单位长度匀速运动到点M （到A 停止运动），设点E 的运动时间为t 秒． ①当ΔACE 的面积为12时，求t 的值；②在点E 运动过程中，是否存在t 的值，使ΔACE 为直角三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图1，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，对角线AC BD 、交于点,O P 从B 点出发，沿B DC →→方向匀速运动，P 点运动速度为1cm/s ．图2是点P 运动时，APC △的面积2()cm y 随P 点运动时间()s x变化的函数图像．（1）AB =_______cm,a =_____；（2）P 点在BD 上运动时，x 为何值时，四边形ADCP ； （3）在P 点运动过程中，是否存在某一时刻使得APB △为直角三角形，若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．【变式训练2】在平面直角坐标系xOy 中，将直线2y x =向下平移2个单位后，与一次函数132y x =-+的图象相交于点A ．（1）将直线2y x =向下平移2个单位后对应的解析式为 ； （2）求点A 的坐标；（3）若P 是x 轴上一点，且满足△OAP 是等腰直角三角形，直接写出点P 的坐标．类型五、最值问题例1．如图，将直线34y x=-向上平移后经过点()4,3A，分别交x轴y轴于点B、C．（1）求直线BC的函数表达式；（2）点P为直线BC上一动点，连接OP．问：线段OP的长是否存在最小值？若存在，求出线段OP的最小值，若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图，四边形OABC是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，5OC=，点E在边BC上．（1）若点N的坐标为(3,0)，过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M，将纸片沿直线OE折叠，顶点C恰好落在MN上，并与MN上的点G重合．①求点G、点E的坐标；②若直线:l y mx n=+平行于直线OE，且与长方形ABMN有公共点，请直接写出n的取值范围．（2）若点E为BC上的一动点，点C关于直线OE的对称点为G，连接BG，请求出线段BG的最小值．专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型类型一、面积问题例1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AB 与x 轴交于A 点 （2，0）与y 轴交于点B （0，1）． （1）求直线AB 的解析式；（2）点M （-1，y 1），N （3，y 2）在直线AB 上，比较y 1与y 2的大小. （3）若x 轴上有一点C ，且S △ABC =2，求点C 的坐标 【答案】（1）112y x =-+；（2）y 1＞y 2；（3）()6,0C 或()2,0-． 【解析】（1）解：设直线AB 的解析式为y kx b =+△A （2，0）B （0,1），△201k b b +=⎧⎨=⎩，解得：k =12-，b =12△直线AB 的解析式为112y x =-+ （2）△y ＝﹣12x +1中k ＝﹣12＜0，△y 值随x 值的增大而减小， △﹣1＜3，△y 1＞y 2；（3）△x 轴上有一点C ，设点C （x ，0），△AC ＝|2﹣x |， △S △ABC ＝2，△12×|2﹣x |×1＝2，△x ＝﹣2或x ＝6， △C （﹣2，0）或C （6，0）． 故答案为：（1）112y x =-+；（2）y 1＞y 2；（3）()6,0C 或()2,0-． 【变式训练1】已知一次函数12y kx =+的图象与x 轴交于点(2,0)B -，与正比例函数2y mx =的图象交于点(1,)A a ．（1）分别求k ，m 的值；（2）点C 为x 轴上一动点，如果ABC 的面积是6，请求出点C 的坐标． 【答案】（1）1k =，3m =；（2）点C 的坐标为(2,0)或(6,0)- 【解析】（1）一次函数1=2y kx +的图象与x 轴交于点2,0B -（），220k ∴-+=1k ∴=12y x ∴=+一次函数12y x =+的图象与正比例函数2y mx =的图象交于点(1,)A a ，12a ∴=+，a m =，3m ∴=； （2）设点C 的坐标为(,0)n ，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．ABC 的面积是6，162BC AD ∴⋅=，1|(2)|362n ∴--⨯=，2n ∴=或6n =-∴点C 的坐标为(2,0)或(6,0)-，或过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．ABC 的面积是6，162BC AD ∴⋅=，1362BC ∴⨯=，4BC ∴=，点B 的坐标为(2,0)-，∴点C 的坐标为(2)0，或(60)-，． 【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 为线段DC 上的一个动点．设DP x =，由点,,,A B C P 首尾顺次相接形成图形的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数表达式及x 的取值范围；（2）设（1）中函数图象的两个端点分别为M N 、，且P 为第一象限内位于直线MN 右侧的一个动点，若MNP △正好构成一个等腰直角三角形，请求出满足条件的P 点坐标；（3）在（2）的条件下，若l 为经过(1,0)-且垂直于x 轴的直线，Q 为l 上的一个动点，使得MNQNMPS S=，请直接写出符合条件的点Q 的坐标．【答案】（1）y =-2x +16，0＜x ＜4；（2）（12，12）或（8，20）或（6，14）；（3）（-1，-2）或（-1，8）或（-1，38）或（-1，28）【解析】（1）由线段的和差，得PC =（4-x ），由梯形的面积公式，得y =-2x +16， △四边形ABCD 是正方形，△AB =CD =4，△x 的取值范围是0＜x ＜4； （2）设P 点坐标是（a ，b ），M （0，16），N （4，8），以MN 为边，在MN 右侧做正方形，MNAB ，正方形中心为H ，则易知A ，B ，H 即为所求P 的坐标；示意图如下求得A （12，12），B （8，20），O （6，14），故P 点可能的坐标为（12，12）或（8，20）或（6，14）； （3）由S △MNQ =S △NMP ，设Q （-1，m ），QN 所在直线方程为y =kx +b ， 把Q 和N 代入方程，求得b =845m +，则可求S △NMP =12|16-b |×[4-（-1）]=|36-2m |当P 为（12，12）时，S △MNQ =40，△|36-2m |=40；解得m =-2或38，当P （8，20），同理解得m =-2或38，当P （8，20），有S △MNQ =20，解得m =8或28， 综上，符合条件的Q 的坐标为（-1，-2）或（-1，8）或（-1，38）或（-1，28）．【变式训练3】如图，已知直线1:3l y x =+与过点A （3，0）的直线2l 交于点C （1，m ），且与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ． （1）求直线2l 的解析式；（2）若点D 关于x 轴的对称点为P ，求△PBC 的面积．【答案】（1）-26y x =+；（2）12．【解析】（1）把(1,)C m 代入y ＝x ＋3，得1＋3＝m ，△m ＝4，△(1,4)C设2l 的解析式为：y ＝kx ＋b （k ≠0），将点A ,C 的坐标代入，则430k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得26k b =-⎧⎨=⎩，△2l 的解析式为：-26y x =+（2）当y ＝0时，30x += ，△3x =-，△(3,0)B -， 当x =0时，y =3，△(0,3)D ，△点P 、D 关于x 轴对称，△(0,3)P - ,如图，连接BP ,PC ,设PC 与x 轴的交点为Q ，设直线PC 的解析式为(0)y kx b k =+≠，将点(1,4),(0,3)C P -代入：43k b b +=⎧⎨=-⎩，解得73k b =⎧⎨=-⎩，△直线PC 的解析式为：73y x =-，令y =0，解得37x =， △BPCBQP BQCSSS=+1122c BQ OP BQ y =+1124()712227c BQ OP y =+=⨯⨯=．类型二、一次函数与平行四边形例1.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x ，y 轴分别交于点(4,0)A ，(0,3)B ，点C 是直线554y x =-+上的一个动点，连接BC ．（1）求直线AB 的函数解析式；（2）如图1，若//BC x 轴，求点C 到直线AB 的距离；（3）如图2，点(1,0)E ，点D 是直线AB 上的动点，试探索点C ，D 在运动过程中，是否存在以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C ，D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）334y x =-+；（2）2425；（3）17(2，45)8-、15(2-，69)8或1(2-，45)8、1(2，21)8或17(2，45)8-、15(2，21)8- 【解析】（1）设直线AB 的表达式为y kx b =+，则304b k b =⎧⎨=+⎩，解得343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故AB 的表达式为334y x =-+；（2）//BC x 轴，故点C 的纵坐标为3，当3y =时，即5534y x =-+=，解得85x =，即点C 的坐标为8(5，3)，则85BC =；由点A 、B的坐标得，5AB ==，过点C 作CH AB ⊥于点H ，在△ABC 中，S △ABC =1122BC OB AB CH ⨯⨯=⨯⨯，即18135252CH ⨯⨯=⨯⨯，解得：2425CH =，即点C 到直线AB 的距离为2425；（3）设点C 、D 的坐标分别为5(,5)4m m -+、3(,3)4n n -+，当EB 是对角线时，由中点坐标公式得：01m n +=+且53305344m n +=-+-+，解得172152m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故点C 、D 的坐标分别为17(2，45)8-、15(2-，69)8；当EC 是对角线时，同理可得：1m n +=且5353344m n -+=-++，解得，1212m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故点C 、D 的坐标分别为1(2-，45)8、1(2，21)8；当ED 是对角线时，同理可得：1n m +=且35035344n m -+=-++，解得152172m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点C 、D 的坐标分别为17(2，45)8-、15(2，21)8-．综上，点C 、D 的坐标分别为17(2，45)8-、15(2-，69)8或1(2-，45)8、1(2，21)8或17(2，45)8-、15(2，21)8-．【变式训练1】一次函数y = kx+1（k ≠ 0）的图象过点P （-3，2），与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求k 的值及点A 、B 的坐标；（2）已知点C （-1，0），若以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标．【答案】（1）13k =-，与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B （0，1）；（2）D （4，1）或D （2，-1）或D （-4，1）．【解析】（1）将P （-3，2）代入()10y kx k =+≠，得：13k =-函数表达式：113y x =-+，令y =0，x =3，令x =0，y =1，△与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B （0，1）；（2）分三种情况：①BC 为对角线时，点D 的坐标为（-4，1）；②AB 为对角线时，点D 的坐标为（4，1），③AC 为对角线时，点D 的坐标为（2，-1）．综上所述，点D 的坐标是（4，1）或（-4，1）或（2，-1）．【变式训练2】平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x b =+与直线2l ：12y x =交于点()2,P m ． （1）求m ，b 的值；（2）直线()0x n n =≠与直线1l ，2l 分别交于M ，N 两点，当MN ＝3时，若以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标．【答案】（1）13m b ==-,；（2）点Q 的坐标为()2,4，()2,2-或()6,6 【解析】（1）△直线1l ：2y x b =+与直线2l ：12y x =交于点()2,P m ，△4122m b m =+⎧⎪⎨=⨯⎪⎩，△1 3.m b ==-， （2）依题意可得直线1l ：23y x =-，△直线1l 与y 轴的交点为（0，-3） △直线()0x n n =≠与直线1l ，2l 分别交于M ，N 两点， MN ＝3， △M ，N 不是y 轴上的点，设M （x ，2x -3），则N （x ，12x ） 由MN ＝3，得（2x -3）-12x =3，解得x =4，△M （4，5），则N （4，2） △以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，①当MN 为四边形MPNQ 的对角线时，MN 的中点坐标为（4，3.5） 故()2,1P 、Q 关于（4，3.5）对称，△点Q 的坐标为()6,6，②当MN 为四边形MNQP 的一边时，MN =PQ =3，且PQ 与y 轴平行，故点Q 的坐标为()2,4或()2,2- 综上，点Q 的坐标为()2,4，()2,2-或()6,6． 类型三、一次函数与等腰三角形例1．一次函数的图像与x 轴、y 轴分别交于点A0），B （0，1），以AB 为边在第一象限内做等边△ABC ． （1）线段AB 的长是 ，△BAO ＝ °，点C 的坐标是 ；（2）如果在第二象限内有一点P （a ，1），试用含a 的代数式表示四边形ABPO 的面积． （3）在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等腰三角形，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）2，30，C2）；（22a-；（3）（0，-1）或（0，3）【解析】（1）(3A ，0)，(0,1)B ，在Rt AOB ∆中，2AB =，2OB =AB ，可30BAO ∴∠=︒，以AB 为边在第一象限内做等边ABC ∆，60ACB ∠=︒∴，AB AC =，90OAC ∴∠=︒，C ∴2)，故答案为2，30，C 2)；（2）四边形ABPO 的面积BAO =∆的面积OBP +∆的面积1111()222a a =+⨯⨯-=；（3）2AB =，30BAO ∠=︒，60OBA ∴∠=︒，①当AB BM =时，2BM =，(0,1)M -或(0,3)M ；②当AB AM =时，ABM ∆是等边三角形，M ∴与B 关于x 轴对称，(0,1)M ∴-； ③当BM AM =时，ABM ∆是等边三角形，M ∴与B 关于x 轴对称，(0,1)M ∴-； 综上所述：MAB ∆为等腰三角形时，M 点坐标为(0,1)-或(0,3)．【变式训练1】如图一，已知直线l ：6y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线m 与v 轴交于点(0,2)C -，与直线l 交于点(,1)D t ．（1）求直线m 的解析式；（2）如图二，点P 在直线l 上且在y 轴左侧，过点P 作//PQ y 轴交直线m 于点Q ，交x 轴于点G ，当2PCG QCG S S ∆∆=，求出P ，Q 两点的坐标；（3）将直线l ：6y x =-+向左平移12个单位得到直线n 交x 轴于E 点，点F 是点C 关于原点对称点．过点F 作直线//k x 轴．点M 在直线k 上，写出以点C ，E ，M ，为顶点且CE 为腰的等腰三角形，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来． 【答案】（1）直线m 的解析式为325y x =-；（2）P 点的坐标为（-10，16），Q 点坐标为（-10，-8）；（3）当CE 为腰时，点M 的坐标为：M （2）或M （-2）或M （0，2）．过程见解析． 【解析】（1）△D （t ，1）在直线l ：y =-x +6上，△1=-t +6，△t =5，△D （5，1），设直线m 的解析式为y =kx +b ，将点C ，D 代入得，512k b b +=⎧⎨=-⎩，解得，352k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以，直线m 的解析式为325y x =-； （2）设P （a ，6-a ），△点P 在x 轴的左侧，△0a < △PQ △轴，G （a ，0），Q （a ，325a -），如图，点P 、Q 在x 轴两侧，△S △PCG =12PG •（-a ），S △QCG =12GQ •(-a )且S △PCG =2S △QCG ， △PG =2QG ，△6-a =2（2-35a ），解得：a =-10， △66(10)16a -=--=，332(10)2855a -=⨯--=-△P 点的坐标为（-10，16），Q 点坐标为（-10，-8）；（3）对于直线l ：y =-x +6，当x =0时，y =6；当y =0时，x =6．△A （6，0），B （0，6），△将直线l ：y =-x +6向左平移12个单位得直线n 交x 轴于点E ，点F 是点C 关于原点的对称点．点C （0，-2）， △E （-6，0），F （0，2）， 如图，△将直线l ：y =-x +6向左平移12个单位得直线n ，△直线n ：y =-x -6， 又△F （0，2）△k 的解析式为：y =2，设M （a ，2），则MCME，CE ，当△MCE 为等腰三角形，且CE 为腰，有：①CE =MCa =a =-M （2）．M （-2）， ②ME =CE解得，a =0或a =-12（此时三点共线，不构成三角形，舍去），即M （0，2），综上，当CE 为腰时，点M 的坐标为：M （2）或M （-2）或M （0，2）．【变式训练2】在如图的平面直角坐标系中，直线n 过点A （0，﹣2），且与直线l 交于点B （3，2），直线l 与y 轴交于点C ．（1）求直线n 的函数表达式；（2）若△ABC 的面积为9，求点C 的坐标；（3）若△ABC 是等腰三角形，求直线l 的函数表达式．【答案】（1）y ＝43x ﹣2；（2）C （0，4）或（0，﹣8）；（3）直线l 的解析式为：y ＝﹣13x +3或y ＝3x ﹣7或y ＝﹣43x +6或y ＝724x +98 【解析】（1）设直线n 的解析式为：y ＝kx +b ，△直线n ：y ＝kx +b 过点A （0，﹣2）、点B （3，2），△232b k b =-⎧⎨+=⎩ ，解得：432k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ，△直线n 的函数表达式为：y ＝43x ﹣2； （2）△△ABC 的面积为9，△9＝12•AC •3，△AC ＝6， △OA ＝2，△OC ＝6﹣2＝4或OC ＝6+2＝8，△C （0，4）或（0，﹣8）； （3）分四种情况：①如图1，当AB ＝AC 时，△A （0，﹣2），B （3，2），△AB 22(22)＝5，△AC ＝5，△OA ＝2，△OC ＝3，△C （0，3），设直线l 的解析式为：y ＝mx +n ，把B （3，2）和C （0，3）代入得：323m n n +=⎧⎨=⎩ ，解得：133m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ，△直线l 的函数表达式为：y ＝13-x +3； ②如图2，AB ＝AC ＝5，△C （0，﹣7），同理可得直线l 的解析式为：y ＝3x ﹣7； ③如图3，AB ＝BC ，过点B 作BD △y 轴于点D ，△CD ＝AD ＝4，△C （0，6），同理可得直线l 的解析式为：y ＝43-x +6； ④如图4，AC ＝BC ，过点B 作BD △y轴于D ，设AC ＝a ，则BC ＝a ，CD ＝4﹣a ，根据勾股定理得：BD 2+CD 2＝BC 2，△32+（4﹣a ）2＝a 2，解得：a ＝258， △OC ＝258﹣2＝98 ，△C （0，98），同理可得直线l 的解析式为：y ＝724x +98； 综上，直线l 的解析式为：y ＝13-x +3或y ＝3x ﹣7或y ＝43-x +6或y ＝724x +98． 【变式训练3】如图，直线1:l y ax a =-，1l 与x 轴交于点B ，直线2l 经过点(4,0)A ，直线1l ，2l 交于点(2,3)C -．（1）a =______；点B 的坐标为______． （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ABC 的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ABP △为等腰三角形，请直接写出P 点的横坐标？【答案】（1）3a =-，()10B ,；（2）362y x =-；（3）92；（4）52，2813【解析】（1）△直线1:l y ax a =-经过点(2,3)C -，32a a ∴-=-，解得：3a =-；即直线1:l y ax a =-的解析式为33y x =-+；当y =0时，-3x +3=0，解得1x =，则()10B ,；故答案为：-3，（1,0）；（2）设直线2l 的解析式为:y kx b =+， △经过点()4,0A 和点(2,3)C -，△0432k b k b=+⎧⎨-=+⎩，解得：32k ，6b =-．△直线2l 的解析式为：362y x =-； （3）设ABC 的面积的面积为ABC S ；则413AB =-=，ABC 的高为3，则193322ABCS=⨯⨯=； （4）存在，设点P 的坐标为（x ，362x ），分三种情况： ①当AP=BP 时，点P 在线段AB 的垂直平分线上，△A （4,0），B （1,0），△点P 的横坐标为：41522+=； ②当AP=AB =3时，过点P 作PH △x 轴于点H ，△222PH AH AP +=，△2223(6)(4)32x x -+-=，解得x③当AB=BP =3时，作PM △x 轴于点M ， △222PM BM BP +=，△2223(6)(1)32x x -+-=，解得x =2813或x =4（舍去）；综上，符合条件的P 点的横坐标是52，2813，5213± 类型四、一次函数与直角三角形例1.如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝－x ＋2的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与函数y ＝13x ＋b 的图象交于点C （－2，m ）． （1）求m 和b 的值；（2）函数y ＝－x ＋b 的图象与x 轴交于点D ，点E 从点D 出发沿DA 向，以每秒2个单位长度匀速运动到点M （到A 停止运动），设点E 的运动时间为t 秒． ①当ΔACE 的面积为12时，求t 的值；②在点E 运动过程中，是否存在t 的值，使ΔACE 为直角三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）m =4，b =143；（2）①t =5；②t ＝4或t ＝6 【解析】（1）△点C （−2，m ）在直线y ＝−x ＋2上， △m ＝−（−2）＋2＝2＋2＝4，△点C （−2，4）， △函数y ＝13x ＋b 的图象过点C （−2，4），△4＝13×（−2）＋b ，得b =143，即m 的值是4，b 的值是143； （2）①△函数y ＝−x ＋2的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，△点A （2，0），点B （0，2）， △函数y ＝13x ＋143的图象与x 轴交于点D ，△点D 的坐标为（−14，0），△AD ＝16， △△ACE 的面积为12，△(16−2t )×4÷2＝12，解得，t ＝5．即当△ACE 的面积为12时，t 的值是5； ②当t ＝4或t ＝6时，△ACE 是直角三角形，理由：当△ACE ＝90°时，AC △CE ， △点A （2，0），点B （0，2），点C （−2，4），点D （−14，0），△OA ＝OB ，AC ＝，△△BAO ＝45°，△△CAE ＝45°，△△CEA ＝45°，△CA ＝CE ＝，△AE ＝8， △AE ＝16−2t ，△8＝16−2t ，解得，t ＝4；当△CEA ＝90°时，△AC ＝，△CAE ＝45°，△AE ＝4， △AE ＝16−2t ，△4＝16−2t ，解得，t ＝6；由上可得，当t ＝4或t ＝6时，△ACE 是直角三角形．【变式训练1】如图1，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，对角线AC BD 、交于点,O P 从B 点出发，沿B DC →→方向匀速运动，P 点运动速度为1cm/s ．图2是点P 运动时，APC △的面积2()cm y 随P 点运动时间()s x变化的函数图像．（1）AB =_______cm,a =_____；（2）P 点在BD 上运动时，x 为何值时，四边形ADCP； （3）在P 点运动过程中，是否存在某一时刻使得APB △为直角三角形，若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2；（2；（3或1【解析】（1）在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，则ABC ∆、ACD ∆为全等的两个等边三角形，设ABC ∆的边长为a，则其面积为24a ， 由图2知，当点P 在点A 时，y ABC =∆的面积2=，解得2a =（负值已舍去）， 即菱形的边长为2，则2()AB cm =，由题意知，点P 与点O 重合时，对于图2的a 所在的位置，则1AO =，故a BO ====2（2）由（1）知点P 在BO 段运动时，对于图2第一段直线，而该直线过点、0)，设其对应的函数表达式为y kx t =+，则0t t ⎧=⎪+=，解得1k t =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故该段函数的表达式为=-+y x ，当点P 在BD 上运动时，四边形ADCP，则点P 只能在BO 上，则四边形ADCP 的面积ACD S y ∆=+=x x =；（3）存在，理由：由（1）知，菱形的边长为2，则BP =1AO =，过点A 作AP DC ''⊥于点P ''交BD 于点P '，ABC ∆、ACD ∆均为等边三角形，则30PAP DAP ∠'=∠''=︒，①当点P 和点O 重合时，APB ∠为直角，则x BP ==②当BAP ∠'为直角时，则同理可得：PP '=x BP PP =+'=；③当BAP ∠''为直角时，则112x BD DP AD =+''=+=，综上，x 或1． 【变式训练2】在平面直角坐标系xOy 中，将直线2y x =向下平移2个单位后，与一次函数132y x =-+的图象相交于点A ．（1）将直线2y x =向下平移2个单位后对应的解析式为 ； （2）求点A 的坐标；（3）若P 是x 轴上一点，且满足△OAP 是等腰直角三角形，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）22y x =-；（2）（2，2）；（3）（2，0）或（4，0）．【解析】（1）根据题意，得22y x =-；故答案为：22y x =-．（2）由题意得：22132y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：22x y =⎧⎨=⎩，△点A 的坐标为（2，2）； （3）如图所示，△P 是x 轴上一点，且满足△OAP 是等腰直角三角形，当OA =OP 时，P 点坐标为（4，0），当OP =AP 时，P 点坐标为（2，0）， 综上，P 点的坐标为：（2，0）或（4，0）． 类型五、最值问题 例1．如图，将直线34y x =-向上平移后经过点()4,3A ，分别交x 轴y 轴于点B 、C ．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）点P 为直线BC 上一动点，连接OP ．问：线段OP 的长是否存在最小值？若存在，求出线段OP 的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）364y x =-+；（2）存在，线段OP 的最小值为4.8．【解析】（1）设平移后的直线BC 的解析式为34y x b =-+，代入()4,3A 得3344b =-⨯+，解得6b = △直线BC 的解析式为364y x =-+； （2）存在，理由如下：令x =0，得y =6，△C （0，6），故OC =6令y =0，得x =8，△B （8，0）故OB =8△BC 10= △OP △BC 时，线段OP 最小， △S △ABC =12BO CO ⨯=12BC OP ⨯，△OP = 4.8BO COBC⨯=，即线段OP 的最小值为4.8． 【变式训练1】如图，四边形OABC 是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，5OC =，点E 在边BC 上．（1）若点N 的坐标为(3,0)，过点N 且平行于y 轴的直线MN 与EB 交于点M ，将纸片沿直线OE 折叠，顶点C 恰好落在MN 上，并与MN 上的点G 重合． ①求点G 、点E 的坐标；②若直线:l y mx n =+平行于直线OE ，且与长方形ABMN 有公共点，请直接写出n 的取值范围． （2）若点E 为BC 上的一动点，点C 关于直线OE 的对称点为G ，连接BG ，请求出线段BG 的最小值．【答案】（1）①G （3，4），E （53，5）；②-15≤n ≤-4；（2）5【解析】（1）由折叠的性质可知，OG =OC =5，由勾股定理得，GN 4=， △点G 的坐标为（3，4）；设CE =x ，则EM =3-x ，由折叠的性质可知：EG =CE =x ， △GN =4，△GM =5-4=1，在Rt △EMG 中，222EG EM MG =+，即()22231x x =-+，解得：x =53， △点E 的坐标为（53，5）；设OE所在直线的解析式为：y=kx，则53k=5，解得，k=3，△OE所在直线的解析式为：y=3x，△直线l：y=mx+n平行于直线OE，△m=3，即直线l的解析式为y=3x+n，当直线l经过点M（3，5）时，5=3×3+n，解得，n=-4，当直线l经过点A（5，0）时，0=3×5+n，解得，n=-15，△直线l与长方形ABMN有公共点时，-15≤n≤-4；（3）连接OB，OG，△OC=BC=5，△OCB=90°，△BC OC=△点C关于直线OE的对称点为点G，△OC=OG=5，△BG≥OB-OG，△当O、B、G三点共线时，BG取得最小值，△BG的最小值为5．。
第4章一次函数 题型全解8 一次函数与几何综合题型-北师大版八年级数学上册
《一次函数》题型解读8 一次函数与几何综合题型【题型与方法解读】1.解题关键：2.解题技巧：（1）求关键点的坐标：①用“x=0或y=0”分别求与坐标轴交点；②用二元一次方程组求两线段的交点坐标；③代入法求点的坐标；④作x、y轴的垂线，求垂线段的长度求点的坐标；（2）求关键线的解析式①常用“等定系数法”求某条线段所在直线的解析式；②也可以通过以下两个技巧设或求解析式：若两直线平行，则它们的K值相同；若两直线垂直，则它们的K值为负倒数；（3）已知或求面积问题：解题思路-----先明确面积方法：①公式法；②外补法（面积差）或内割法（面积和）（4）注意几何图形中隐藏的数学典型模型或典型图形①“一线三垂直或二垂或一垂模型”；②“双垂直模型”；③“一线三等角模型”；④“角平分线+平行线=等腰”模型；⑤“两圆一线”的解题方法；⑥“将军饮马问题”求线段和最小值；（5）常用的补充公式：①中点坐标公式：若A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则AB 的中点O 的坐标为(x 1+x 22,y 1+y 22)②两点之间的距离公式：若A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则AB=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2 ③求面积的三种方法：公式法；补割法；等底等高面积相等；【典型例题】例1.如图，直线y =43x +4交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点C 为线段OB 上一点，将△ABC 沿着直线AC 翻折，点B 恰好落在x 轴上的D 处，则△ACD 的面积为______．解：∵直线y =43x +4，∴当x =0时，y =4，当y =0时，x =−3，∴点A 的坐标为(−3,0)，点B 的坐标为(0,4)，∴OA =3，OB =4，∴AB =5，∵将△ABC 沿着直线AC 翻折，点B 恰好落在x 轴上的D 处，∴AD =5，∴OD =2，设OC =a ，则BC =4−a ，∵BC =DC ，∴DC =4−a ，∵∠COD =90∘，∴a 2+22=(4−a)2，解得，a =32，即OC =32，∵AD =5，∴△ACD 的面积为：AD⋅OC 2=5×322=154，例2.如图,直线22+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,点C 是第二象限内一点,连接CB,若∠CBA=45°,则直线BC 的解析式为_________.解析：解题经验：出现45°角必构造等腰直角三角形，这是解题的突破口。
第4章一次函数 题型全解8 一次函数与几何综合题型-北师大版八年级数学上册
《一次函数》题型解读8 一次函数与几何综合题型【题型与方法解读】1.解题关键：2.解题技巧：（1）求关键点的坐标：①用“x=0或y=0”分别求与坐标轴交点；②用二元一次方程组求两线段的交点坐标；③代入法求点的坐标；④作x、y轴的垂线，求垂线段的长度求点的坐标；（2）求关键线的解析式①常用“等定系数法”求某条线段所在直线的解析式；②也可以通过以下两个技巧设或求解析式：若两直线平行，则它们的K值相同；若两直线垂直，则它们的K值为负倒数；（3）已知或求面积问题：解题思路-----先明确面积方法：①公式法；②外补法（面积差）或内割法（面积和）（4）注意几何图形中隐藏的数学典型模型或典型图形①“一线三垂直或二垂或一垂模型”；②“双垂直模型”；③“一线三等角模型”；④“角平分线+平行线=等腰”模型；⑤“两圆一线”的解题方法；⑥“将军饮马问题”求线段和最小值；（5）常用的补充公式：①中点坐标公式：若A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则AB 的中点O 的坐标为(x 1+x 22,y 1+y 22)②两点之间的距离公式：若A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则AB=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2 ③求面积的三种方法：公式法；补割法；等底等高面积相等；【典型例题】例1.如图，直线y =43x +4交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点C 为线段OB 上一点，将△ABC 沿着直线AC 翻折，点B 恰好落在x 轴上的D 处，则△ACD 的面积为______．解：∵直线y =43x +4，∴当x =0时，y =4，当y =0时，x =−3，∴点A 的坐标为(−3,0)，点B 的坐标为(0,4)，∴OA =3，OB =4，∴AB =5，∵将△ABC 沿着直线AC 翻折，点B 恰好落在x 轴上的D 处，∴AD =5，∴OD =2，设OC =a ，则BC =4−a ，∵BC =DC ，∴DC =4−a ，∵∠COD =90∘，∴a 2+22=(4−a)2，解得，a =32，即OC =32，∵AD =5，∴△ACD 的面积为：AD⋅OC 2=5×322=154，例2.如图,直线22+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,点C 是第二象限内一点,连接CB,若∠CBA=45°,则直线BC 的解析式为_________.解析：解题经验：出现45°角必构造等腰直角三角形，这是解题的突破口。
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难点探究专题：一次函数与几何的综合问题
◆类型一一次函数与面积问题
一、由一次函数图象求面积
1．(2016·抚顺中考)一次函数y＝2x－4的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，O 为原点，则△AOB的面积是()
A．2 B．4
C．6 D．8
2．(2016·自贡中考)如图，把Rt△ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC ＝5，点A，B的坐标分别为(1，0)，(4，0)，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x－6上时，线段BC扫过的面积为________．
3．已知直线l经过点(－1，5)，且与直线y＝－x平行．
(1)求直线l的函数关系式；
(2)若直线l分别交x轴、y轴于A，B 两点，求△AOB的面积．
二、由面积求一次函数关系式或字母系数的值
4．如果直线y＝2x＋m与两坐标轴围成的三角形面积等于4，则m的值是() A．±3 B．3 C．±4 D．4
5．已知一次函数y＝kx＋b的图象过点(0，2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则此一次函数的解析式为()
A．y＝x＋2
B．y＝－x＋2
C．y＝x＋2或y＝－x＋2
D．y＝－x＋2或y＝x－2
三、一次函数中动点与面积问题
6．(2016·荆门中考)如图，正方形ABCD 的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止．设点P的运动路程为x(cm)，在下列图象中能表示△ADP的面积y(cm2)关于x(cm)的函数关系的图象是()
第6题图第7题图
7．(2016·青海中考)如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B)，则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是()
◆类型二一次函数与几何图形综合的探究型问题(选做)
8．(2016·德州中考)如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝－x的图象分别为直线l1，l2，过点(1，0)作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A2017的坐标为________．
9．如图，一系列“黑色梯形”是由x 轴、直线y＝x和过x轴上的正奇数1，3，5，7，9，…所对应的点且与y轴平行的直线围成的．从左到右将其面积依次记为S1，S2，S3，…，S n.则S1＝________，S n＝________.
参考答案与解析
1．B 2．16 解析：如图所示．
∵点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(4，0)，即OA ＝1，OB ＝4，∴AB ＝3.∵∠CAB ＝90°，BC ＝5，∴AC ＝4.∴A ′C ′＝4.∵点C ′在直线y ＝2x －6上，∴2x －6＝4，解得x ＝5.即OA ′＝5.∴AA ′＝OA ′－OA ＝5－1＝4.∵S △CAB ＝S △C ′A ′B ′，∴S 四边形CC ′B ′B ＝S 长方形CAA ′C ＝4×4＝16.即线段BC 扫过的面积为16. 3．解：(1)设直线l 的解析式为y ＝－x ＋b ，将(－1，5)代入，可得b ＝4，∴直线l
的函数关系式为y ＝－x ＋4；
(2)当y ＝0时，x ＝4.∴A 点坐标为(4，0)，当x ＝0时，y ＝4，∴B 点坐标为(0，4)，∴S △AOB ＝12OA ·OB ＝1
2
×4×4＝8.
4．C 解析：由题意得直线y ＝2x ＋m 与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫－m
2，0，与y 轴的交点坐标为(0，m )，∴1
2⎪⎪⎪⎪－m 2·|m |＝4，解得m ＝±4.
5．C 解析：∵一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点(0，2)，∴b ＝2.令y ＝0，则x ＝－2
k
.∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2，∴1
2×2×⎪⎪⎪⎪－2k ＝2，即⎪⎪⎪⎪2k ＝2，解得k ＝±1.则函数解析式是y ＝x ＋2或y ＝－x ＋
2.
6．A 7．B 解析：当点P 在AD 上时，△ABP 的底AB 不变，高增大，∴△ABP 的面积S 随着时间t 的增大而增大；当点P 在DE 上时，△ABP 的底AB 不变，高不变，∴△ABP 的面积S 不变；当点P 在EF 上时，△ABP
的底AB 不变，高减小，∴△ABP 的面积S 随着时间t 的增大而减小；当点P 在FG 上
时，△ABP 的底AB 不变，高不变，∴△ABP 的面积S 不变；当点P 在GB 上时，△ABP 的底AB 不变，高减小，∴△ABP 的面积S 随着时间t 的增大而减小．故选B.
8．(21008，21009) 解析：观察，发现规律：A 1(1，2)，A 2(－2，2)，A 3(－2，－4)，A 4(4，－4)，A 5(4，8)，…，∴A 2n ＋1[(－2)n ，2(－2)n ](n 为自然数)．∵2017＝1008×2＋1，∴A 2017的坐标为[(－2)1008，2(－2)1008]＝(21008，21009)．故答案为(21008，21009)． 9．4 4(2n －1) 解析：由图可得S 1＝（1＋3）×2
2＝4＝4×(2×1－1)，S 2＝
（5＋7）×2
2＝12＝4×(2×2－1)，S 3＝
（9＋11）×2
2＝20＝4×(2×3－1)，…，∴S n
＝4(2n －1)．。