高中数学北师大版选修1-2第4章《数系的扩充与复数的引入》导学案：数系的扩充与复数的概念

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高中数学北师大版选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》(第1课时数系的扩充和复数的概念)精品学案

第1课时数系的扩充和复数的概念1.了解引进复数的必要性,理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的代数形式,复数虚部与实部.3.实数集、复数集、虚数集与纯虚数集的关系.重点:掌握复数的实部与虚部;实数、复数、虚数、纯虚数与复数的代数形式的实部、虚部的关系;两复数相等的充要条件.难点:体会复数问题实数化的过程.由于解方程的需要推动了数的发展,为了使类似x+5=3的方程有解,引入了负数;为了使类似5x=3的方程有解,引入了分数;为了使类似x2=3的方程有解,引入了无理数.但引入无理数后,类似x2=-1的方程在实数范围内仍然没解.问题1:为了得到方程x2=-1的解,需引入虚数单位i,试给出虚数单位i的定义?虚数单位i满足它的平方等于-1,即i2=-1.问题2:(1)复数:形如a+b i(a,b∈R)的数叫作复数.(2)复数集:全体复数所成的集合叫作复数集,用字母C表示.(3)复数的代数形式:复数通常用字母z表示,把复数表示成a+b i(a,b∈R)的形式,其中a与b分别叫作复数的实部与虚部.(4)两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.这就是说,如果a、b、c、d∈R,那么a+b i=c+d i⇔a=c,b=d.问题3:复数z=a+b i(a,b∈R),当b=0时,复数z是实数;当b≠0时,复数z是虚数;当时,复数z是纯虚数.问题4: 两复数可不可以比较大小?当两复数是实数时,两复数可以比较大小;当两复数有一个是虚数时,两复数不能比较大小,只能分析两复数相不相等.“复数”“虚数”这两个名词,都是人们在解方程时引入的.为了用公式求一元二次、三次方程的根,就会遇到求负数的平方根的问题.1545年,意大利数学家卡丹诺在《大术》一书中,首先研究了虚数,并进行了一些计算.1.“a=0”是“复数a+b i(a,b∈R)为纯虚数”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】a=0时,a+b i(a,b∈R)可能为纯虚数,也可能为0;a+b i为纯虚数时,a=0.所以答案为B.【答案】B2.复数z=-3-10i的实部是().A.3B.-3C.-10iD.10【解析】复数z=-3-10i的实部是-3.【答案】B3.若复数z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则z1=z2的充要条件是.【解析】z1=z2,则它们的实部与虚部分别相等,即a=c且|b|=|d|.【答案】a=c且b2=d2(或写成a=c且|b|=|d|)4.判断下列命题的真假:(1)-1的平方根只有一个;(2)i是1的4次方根;(3)i是方程x6-1=0的根;(4)方程x3-x2+x-1=0的根只有一个.【解析】(1)∵(-i)2=i2=-1,∴-i也是-1的平方根,故(1)为假命题.(2)∵i2=-1,∴i4=i2·i2=(-1)2=1,故(2)为真命题.(3)i6-1=i2·i2·i2-1=(-1)3-1=-2≠0,故(3)为假命题.(4)由x3-x2+x-1=0得(x2+1)(x-1)=0,则x2=-1或x=1,即x=±i或x=1都是方程x3-x2+x-1=0的根,故(4)为假命题.对复数概念的理解已知下列命题:①复数a+b i不是实数;②两个复数不能比较大小;③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,其中x∈R,则x=±2;④若复数z=a+b i,则当且仅当b≠0时,z为虚数;⑤若a+b i=c+d i,则a=c且b=d.其中真命题的个数是().A.0B.1C.3D.4【方法指导】根据复数的有关概念来判断命题的真假.【解析】①是假命题,因为当a∈R且b=0时,a+b i是实数.②是假命题,因为两个复数都是实数时,可以比较大小.③是假命题,因为由纯虚数的条件得解得x=2.④是假命题,因为没有强调a,b∈R.⑤是假命题,因为没有强调,a,b,c,d∈R这一重要条件,故选A.【答案】A【小结】对于概念的理解注意一些小细节,比如a+b i中要求a∈R,b∈R.复数概念的应用z=+(m2+5m+6)i,当实数m为何值时,(1)z是实数;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数?【方法指导】根据复数的分类方式将问题转化为求实部和虚部应满足什么条件.【解析】(1)若z是实数,则得m=-2.(2)若z是虚数,则得m≠-2且m≠-3且m∈R.(3)若z是纯虚数,则得m=3.【小结】①本题考查复数集的分类,给出的是复数的标准代数形式即z=a+b i(a,b∈R),若不然,应先将其化为标准形式,再根据满足的条件去解;②解题中应时刻注意使式子有意义.复数相等的充要条件(1)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,x,y∈R,求x与y.(2)设z1=1+sin θ-icos θ,z2=+(cos θ-2)i,若z1=z2,求θ.【方法指导】确定两复数的实部与虚部,利用两复数相等的定义列方程组,解方程组.【解析】(1)根据复数相等的充要条件,得方程组解得(2)由已知,得故解得θ=2kπ(k∈Z).【小结】复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法,转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是:①等式两边整理为a+b i(a,b∈R)的形式;②由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组;③解方程组,求出相应的参数.下列命题中正确的有.①若z=a+b i(a,b∈R),则当a=0,b≠0时,z为纯虚数;②若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3;③若实数a与a i对应,则实数集与纯虚数集一一对应.【解析】①正确.②错误,只有当z1,z2,z3∈R时才成立;若z1=1,z2=0,z3=i也满足题意.③错误,若a=0,则0·i=0不再是纯虚数.【答案】①复数z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),当x为何实数时:(1)z∈R;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数?【解析】(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为零,所以有由②得x=4,经验证满足①.所以当x=4时,z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部非零,所以有解得即<x<4或x>4.所以当<x<4或x>4时,z为虚数.(3)因为一个复数是纯虚数时其实部为零且虚部不为0,所以有解得方程无解,所以复数z不可能是纯虚数.关于a的方程是a2-a tan θ-2-(a+1)i=0,若方程有实数根,求锐角θ和实数根.【解析】设实数根是a,则a2-a tan θ-2-(a+1)i=0,∵a,tan θ∈R,∴∴a=-1且tan θ=1,又0<θ<,∴θ=,a=-1.1.设集合C={复数},A={实数},B={纯虚数},若全集S=C,则下列结论中正确的是().A.A∪B=CB.∁S A=BC.A∩(∁S B)=⌀D.B∩(∁S A)=B【答案】D2.如果复数z=(a2-3a+2)+(a-1)i为纯虚数,则实数a的值为().A.1或2B.1C.2D.不存在【解析】由a2-3a+2=0和a-1≠0,得a=2.【答案】C3.已知复数z=3-2i,则复数z的实部与虚部的积是.【解析】z=3-2i的实部和虚部分别为3,-2,故答案为-6.【答案】-64.实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:(1)位于第四象限;(2)在x 轴的负半轴上?【解析】(1)由已知得∴∴-7<m<3.∴当m∈(-7,3)时,z对应的点在第四象限.(2)由已知得解得m=4,即m=4时,z对应的点在x轴的负半轴上.(2013年·上海卷)设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=.【解析】∵m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,∴∴m=-2.【答案】-21.复数z=-2+3i的虚部是().A.-2B.2C.3D.3i【解析】复数z=-2+3i的虚部是3.【答案】C2.若复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i为虚数,则实数x满足().A.x=-B.x=-2或-C.x≠-2D.x≠1且x≠-2【解析】由题意得x2+x-2≠0,∴x≠1且x≠-2.【答案】D3.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合N={-1,3},若M∩N={3},则实数m的值为.【解析】由题设知3∈M,∴m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3.∴即∴m=-1.【答案】-14.设复数z=ab+(a2+b2)i(a、b∈R),a、b分别满足什么条件时,z是实数、虚数、纯虚数?【解析】当a、b同时为0时,z为实数;当a、b不全为0时,z是虚数;当a、b有且仅有一个为0时,z为纯虚数.5.如果(x+y)i=x-1,则实数x、y的值分别为().A.x=1,y=-1B.x=0,y=-1C.x=1,y=0D.x=0,y=0【解析】根据复数相等的充要条件,可知解得【答案】A6.下列命题中,正确命题的个数是().①若x,y∈C,则x+y i=1+i的充要条件是x=y=1;②若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i;③若x2+y2=0,则x=y=0;④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零;⑤-1没有平方根;⑥若a∈R,则(a+1)i是纯虚数.A.0B.1C.2D.3【解析】由于x,y∈C,所以x+y i不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件,①是假命题.由于两个虚数不能比较大小,∴②是假命题.当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,∴③是假命题.因为复数为纯虚数要求实部为零,虚部不为零,故④错.因为-1的平方根为±i,故⑤错.当a=-1时,(a+1)i是实数0,故⑥错.【答案】A7.复数z=(a2+2a-3)+(a2-1)i(a∈R)为纯虚数,则复数z的虚部为.【解析】复数z=(a2+2a-3)+(a2-1)i(a∈R)为纯虚数,∴∴∴a=-3,∴a2-1=8,∴复数z的虚部为8.【答案】88.已知m∈R,复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时:(1)z∈R;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数;(4)z=+4i?【解析】(1)m需满足解得m=-3.(2)m需满足m2+2m-3≠0且m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.(3)m需满足解得m=0或m=-2.(4)m需满足解得m∈⌀.9.已知m、n∈R,复数z1=m2+2n-3+(m+n)i,z2=2m-3n+2+(2m-n)i,若z1=z2,则m+n=.【解析】∵z1=z2,∴∴∴n=1或n=-,m+n=3n,∴m+n的值为3或-.【答案】3或-10.已知复数z1=sin 2x+λi,z2=m+(m-cos 2x)i(λ,m,x∈R),且z1=z2.若λ=0且0<x<π,求x的值.【解析】∵z1=z2,∴∴λ=sin 2x-cos 2x.若λ=0,则sin 2x-cos 2x=0,得tan 2x=.∵0<x<π,∴0<2x<2π,∴2x=或2x=, ∴x=或.。

北京市2016-2017学年高中数学北师大版选修1-2学案：4.1 数系的扩充与复数的引入 Word版含解析

§1 数系的扩充与复数的引入 1．1 数的概念的扩展 1．2 复数的有关概念1．了解引入虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程．2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．(重点) 3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．(易混点) 4．理解复数的几何表示．(难点)[基础·初探]教材整理1 复数的有关概念及分类阅读教材P 73部分，完成下列问题． 1．复数的有关概念 (1)复数①定义：形如a ＋b i 的数叫作复数，其中a ，b ∈R ，i 叫作虚数单位．a 叫作复数的实部，b 叫作复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i. (2)复数集①定义：复数的全体组成的集合叫作复数集． ②表示：通常用大写字母C 表示． 2．复数的分类及包含关系 (1)复数a ＋b i ，a ，b ∈R . ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)⎩⎨⎧纯虚数(a ＝0)，非纯虚数(a ≠0).(2)集合表示：图4-1-1判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)若a 为实数，则z ＝a 一定不是虚数．( ) (3)b i 是纯虚数．( )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 教材整理2 复数的有关概念阅读教材P 74“1.2复数的有关概念”以下至P 75“练习”以上部分，完成下列问题．1．两个复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 当且仅当a ＝c ，且b ＝d . 2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )； (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――→一一对应复平面向量OZ →＝(a ，b )． 3．复数的模设复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点是Z (a ，b )，点Z 到原点的距离|OZ |叫作复数z 的模或绝对值，记作|z |，且|z |＝a 2＋b 2.如果(x ＋y )i ＝x －1，则实数x ，y 的值分别为( ) A ．x ＝1，y ＝－1B ．x ＝0，y ＝－1C ．x ＝1，y ＝0D ．x ＝0，y ＝0【解析】 ∵(x ＋y )i ＝x －1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －1＝0，∴x ＝1，y ＝－1. 【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________[小组合作型]复数的概念与分类(1)若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．±1D ．－1或－2(2)已知复数z ＝a ＋(a 2－1)i 是实数，则实数a 的值为________．(3)当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m ＋(m 2－2m )i 为：①实数？②虚数？③纯虚数？【精彩点拨】依据复数的分类标准，列出方程(不等式)组求解．【自主解答】 (1)∵(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0.由x 2－1＝0，得x ＝±1，又由x 2＋3x ＋2≠0，得x ≠－2且x ≠－1，∴x ＝1.(2)∵z 是实数，∴a 2－1＝0，∴a ＝±1. 【答案】 (1)B (2)±1(3)①当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数．②当m 2－2m ≠0，且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．③当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．要特别注意复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0.[再练一题]1．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠bD ．a >0且a ＝±b【解析】要使复数z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，a ＋|a |≠0，∴a >0，a ＝±b .故选D. 【答案】 D复数相等(1)下列命题： ①若a ＋b i ＝0，则a ＝b ＝0；②x ＋y i ＝2＋2i ⇔x ＝y ＝2；③若y ∈R ，且(y 2－1)－(y －1)i ＝0，则y ＝1. 其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)已知x ，y ∈R ，(x ＋2y －1)＋(x －3y ＋4)i ＝10－5i ，求x ，y . 【精彩点拨】根据复数相等的充要条件求解．【自主解答】 (1)命题①②中未明确a ，b ，x ，y 是否为实数，从而a ，x 不一定为复数的实部，b ，y 不一定是复数的虚部，故命题①②错误；命题③中，y ∈R ，从而y 2－1，－(y －1)是实数，根据复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 2－1＝0，－(y －1)＝0，∴y ＝1，故③正确．【答案】 B(2)因为x ，y ∈R ，所以(x ＋2y －1)，(x －3y ＋4)是实数，所以由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝10，x －3y ＋4＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4. 所以x ＝3，y ＝4.1．复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，其中a ，b ，c ，d ∈R ，则z 1＝z 2⇔a ＝c 且b ＝d .2．复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法．转化过程主要依据复数相等的充要条件．基本思路是：(1)等式两边整理为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式；(2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组； (3)解方程组，求出相应的参数．[再练一题]2．(1)(2016·重庆高二检测)若(x －y )＋(2x －3)i ＝(3x ＋y )＋(x ＋2y )i(其中x ，y 为实数)，则x ＝________，y ＝________.(2)已知(2x ＋8y )＋(x －6y )i ＝14－13i ，则xy ＝________. 【解析】 (1)由复数相等的意义得 ⎩⎨⎧ x －y ＝3x ＋y ，2x －3＝x ＋2y ，所以⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1. (2)由复数相等的意义，得 ⎩⎨⎧ 2x ＋8y ＝14，x －6y ＝－13，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2. 所以xy ＝－2.【答案】 (1)1 －1 (2)－2[探究共研型]复数的几何意义探究1 若向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，如何求OZ →1＋OZ →2对应的复数？【提示】因为向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，所以OZ →1＝(5，－4)，OZ →2＝(－5,4)，所以OZ →1＋OZ →2＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ →1＋OZ →2对应的复数是0. 探究2 若复数(a ＋1)＋(a －1)i(a ∈R )在复平面内对应的点P 在第四象限，则a 满足什么条件？【提示】 a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，a －1＜0，即－1＜a ＜1.(1)已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是( ) A ．－ 3B.3iC ．±3iD ．±3(2)求复数z 1＝6＋8i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们模的大小．【精彩点拨】 (1)设出复数z 的虚部，由模的公式建立方程求解． (2)用求模的公式直接计算．【自主解答】 (1)设复数z 的虚部为b ，∵|z |＝2，实部为1，∴1＋b 2＝4，∴b ＝±3，选D.【答案】 D(2)因为z 1＝6＋8i ，z 2＝－12－2i ，所以|z 1|＝62＋82＝10，|z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋(－2)2＝32.因为10>32，所以|z 1|>|z 2|.1．复数集和复平面内所有的点构成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可以根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．2．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算．3．两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．[再练一题]3．(1)复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是________．(2)已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．【解析】 (1)因为复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA→与OB →，所以OA →＝(4,3)，OB →＝(－2，－5)，又AB →＝OB →－OA →＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB→表示的复数是－6－8i. 【答案】－6－8i (2)∵z ＝3＋a i(a ∈R )，|z |＝ 32＋a 2，由已知得32＋a 2<4，∴a 2<7，∴a ∈(－7， 7)．[构建·体系]1．给出下列三个命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②2i －1的虚部是2i ；③2i 的实部是0.其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】复数的平方不一定大于0，故①错误；2i －1的虚部为2，故②错误；2i 的实部是0，③正确，故选B.【答案】 B2．已知复数z ＝2－3i ，则复数的模|z |等于( ) A ．5 B ．8 C ．6D ．11【解析】 |z |＝(2)2＋(－3)2＝11.【答案】 D3．下列命题正确的是__________(填序号)．①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋2i 的充要条件是x ＝1，y ＝2； ②若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ③实数集的补集是虚数集．【解析】 ①由于x ，y 都是复数，故x ＋y i 不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．②当a ＝0时，a i ＝0为实数，故②为假命题． ③由复数集的分类知，③正确，是真命题．【答案】 ③4．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________．【解析】 ∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，3－x ＜0，解得x ＞3. 【答案】 (3，＋∞)5．已知复数z ＝(m 2＋3m ＋2)＋(m 2－m －6)i ，则当实数m 为何值时，复数z 【导学号：67720023】(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．【解】 z ＝(m 2＋3m ＋2)＋(m 2－m －6)i.(1)令m 2－m －6＝0⇒m ＝3或m ＝－2，即m ＝3或m ＝－2时，z 为实数． (2)令m 2－m －6≠0，解得m ≠－2且m ≠3，所以m ≠－2且m ≠3时，z 是虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m ＋2＝0，m 2－m －6≠0，解得m ＝－1，所以m＝－1时，z是纯虚数．我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·泰安高二检测)－(2－2i)的虚部是()A．－2B．－ 2C. 2 D．2【解析】∵－(2－2i)＝－2＋2i，∴其虚部是 2.【答案】 C2．(2016·青岛高二检测)在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵sin 2>0，cos 2<0，∴复数z对应的点(sin 2，cos 2)在第四象限．故选D.【答案】 D3．(2016·肇庆高二检测)若x i－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i＝() A．－2＋i B．2＋iC ．1－2iD ．1＋2i【解析】由i 2＝－1，得x i －i 2＝1＋x i ，则由题意得1＋x i ＝y ＋2i ，根据复数相等的充要条件得x ＝2，y ＝1，故x ＋y i ＝2＋i.【答案】 B4．已知复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2，且a ≠1 C ．a ＝0D ．a ＝2或a ＝0【解析】由题意，得a 2－2a ＝0，得a ＝0或a ＝2.故选D. 【答案】 D5．如果复数z 满足条件z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( ) A ．－34＋i B.34－i C ．－34－iD ．34＋i【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝34，b ＝1，即z ＝34＋i.【答案】 D 二、填空题6．设i 为虚数单位，若复数z ＝(m 2＋2m －3)＋(m －1)i 是纯虚数，则实数m ＝__________.【解析】依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3.【答案】－37．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是__________．【解析】 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，所以所求的复数是3－3i.【答案】 3－3i8．复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹是________．【解析】 ∵|z |＝3， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2＝3，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝32.故点Z (x ，y )的轨迹是以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆．【答案】以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆三、解答题9．已知m ∈R ，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时；(1)z ∈R ；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z ＝12－4i? 【解】 (1)∵z ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3， ∴当m ＝－3时，z ∈R . (2)∵z 是虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0，m －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠1且m ≠－3，m ≠1，∴当m ≠1且m ≠－3时，z 是虚数． (3)∵z 是纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0，m (m ＋2)m －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠1且m ≠－3，m ＝0或m ＝－2，∴当m ＝0或m ＝－2时，z 是纯虚数． (4)∵z ＝12－4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋2)m －1＝12，m 2＋2m －3＝－4，即⎩⎨⎧m ＝－1或－12，m ＝－1，∴m ＝－1时，z ＝12－4i.10．已知O 为坐标原点，OZ →1对应的复数为－3＋4i ，OZ →2对应的复数为2a＋i(a ∈R )．若OZ →1与OZ →2共线，求a 的值．【解】因为OZ →1对应的复数为－3＋4i ，OZ →2对应的复数为2a ＋i ，所以OZ→1＝(－3,4)，OZ →2＝(2a,1)．因为OZ →1与OZ →2共线，所以存在实数k 使OZ →2＝kOZ →1，即(2a,1)＝k (－3,4)＝(－3k,4k )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－3k ，1＝4k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝14，a ＝－38，即a 的值为－38.[能力提升]1．若复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45i 是纯虚数，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4的值为( ) A ．－7 B ．－17 C ．7D ．－7或－17【解析】 ∵复数z 是纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－35＝0，cos θ－45≠0，∴sin θ＝35且cos θ≠45，∴cos θ＝－45.∴tan θ＝sin θcos θ＝－34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7，故选A. 【答案】 A2．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°，且复数z 的模为2，则复数z 为( )A ．1＋3iB ．2C ．(－1, 3)D ．－1＋3i【解析】设复数z 对应的点为(x ，y )，则 x ＝|z |·cos 120°＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y ＝|z |·sin 120°＝2×32＝3，∴复数z 对应的点为(－1, 3)，∴z ＝－1＋3i. 【答案】 D3．复数z ＝－5－12i 在复平面内对应的点到原点的距离为__________．【解析】复数z ＝－5－12i 在复平面内对应点Z (－5，－12)，所以点Z 与原点O 的距离为|OZ |＝(－5)2＋(－12)2＝13.【答案】 134．若m 为实数，z 1＝(m 2＋1)＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝(4m ＋2)＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 的值的集合又是什么？【导学号：67720024】【解】当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1或m ＝－2， ∴z 1＝1或z 1＝2或z 1＝5. 当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0，解得m ＝0或m ＝1或m ＝4，∴z2＝2或z2＝6或z2＝18.上面m的公共值为m＝0，此时，z1与z2同时为实数，且z1＝1，z2＝2. ∴当z1>z2时，m值的集合为空集；当z1<z2时，m值的集合为{0}．。

【条件】高中数学北师大版选修12教案第4章数系的扩充与复数的概念参考教案

【关键字】条件数系的扩充与复数的概念一、教学目标：1、知识与技能：了解引进单数的必要性；理解并掌握虚数的单位i；2、过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律；3、情感、态度与价值观：理解并掌握单数的有关概念(单数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握单数相等的有关概念。

二、教学重点，难点：单数的基本概念以及单数相等的充要条件。

三、教学方法：阅读理解，探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、问题情境1、情境：数的概念的发展：从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面．①解决实际问题的需要．由于计数的需要产生了自然数；为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数；由于测量等需要产生了分数；为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数)．②解方程的需要．为了使方程有解，就引进了负数，数系扩充到了整数集；为了使方程有解，就要引进分数，数系扩充到了有理数集；为了使方程有解，就要引进无理数，数系扩充到了实数集．引进无理数以后，我们已经能使方程永远有解．但是，这并没有彻底解决问题，当时，方程在实数范围内无解．为了使方程有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数．（可以以分解因式：为例）2、问题：实数集应怎样扩充呢？（二）、新课探析1、为了使方程有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从引入平方等于的“新数”开始．为此，我们引入一个新数，叫做虚数单位（）．并作如下规定：①；②实数可以与进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．在这种规定下，可以与实数相乘，再同实数相加得．由于满足乘法交换律和加法交换律，上述结果可以写成()的形式．2、单数概念及单数集形如()的数叫做单数。

全体单数构成的集合叫做单数集，一般用字母来表示，即．显然有N*NZQRC．3、单数的有关概念：1) 单数的表示：通常用字母表示，即()，其中分别叫做单数的实部与虚部；2）虚数和纯虚数：①单数()，当时，就是实数．②单数()，当时，叫做虚数。

北师大版数学- 数系的扩充和复数的概念导学案选修1-2

青海师范大学附属第二中学高中数学 3.1.1 数系的扩充和复数的概念导学案选修1-2【学习要求】1．了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．【学法指导】可以从实际需求和数系的扩充认识引入复数的必要性，认识复数代数形式的结构，从本质上理解复数和有序数对的对应关系.1．复数的有关概念(1)复数 ①定义：形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b ∈______，i 叫做__________．a 叫做复数的______，b 叫做复数的______．②表示方法：复数通常用字母____表示，即________．(2)复数集①定义：__________所构成的集合叫做复数集．②表示：通常用大写字母____表示．2．复数的分类及包含关系(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R)⎩⎨⎧ 实数b ＝0虚数b ≠0⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0(2)集合表示：3．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔__________. 探究点一复数的概念问题1 为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？问题2 如何理解虚数单位i?问题3 什么叫复数？怎样表示一个复数？问题4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.跟踪1符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在请说明理由．(1)实部为－2的虚数； (2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数； (4)实部为－2的纯虚数．例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为 (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．跟踪2 实数m 为何值时，复数z ＝m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i 是 (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．探究点二两个复数相等问题1 两个复数能否比较大小？问题2 两个复数相等的充要条件是什么？例3 已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .跟踪3 已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R)，求x 的值．【达标检测】1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是 ( )A ．2，1B ．2，5C ．±2，5D ．±2，12．下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是 ( )A ．±1B ．±IC ．±2iD ．±2i3．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．－1或14．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－a i(a ∈R)是一个复数；④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i ；⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根；。

高中数学选修1-2精品学案：第四章数系的扩充与复数的引入复数代数形式的加减运算及其几何意义

第2课时复数代数形式的加减运算及其几何意义1.理解复数代数形式的加减运算规律.2.复数的加减与向量的加减的关系.重点:正确理解复数的加减运算,复数加减运算的几何意义.难点:对比复数加减法与向量加减法的异同,从而理解复数的几何意义.实数可以进行加减运算,并且具有丰富的运算律,其运算结果仍是实数;多项式也有相应的加减运算和运算律;对于引入的复数,其代数形式类似于一个多项式,当然它也应有加减运算,并且也有相应的运算律.问题1:依据多项式的加法法则,得到复数加法的运算法则.设z1=a+b i,z2=c+d i是任意两个复数,那么(a+b i)+(c+d i)=(a+c)+(b+d)i,很明显,两个复数的和仍然是一个确定的复数.问题2:复数的加法满足交换律、结合律.即z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).问题3:利用向量加法讨论复数加法的几何意义向量加法遵循平行四边形法则,在直角坐标系中从横纵坐标上分析就是横纵坐标分别相加.故复数相加就是实部与虚部分别相加得到一个新的复数.问题4:如何理解复数的减法?复数减法是复数加法的逆运算.向量减法遵循三角形法则,在直角坐标系中从横纵坐标上分析就是横纵坐标分别相减.故复数相减就是实部与虚部分别相减得到一个新的复数.十八世纪末十九世纪初,著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理“任何一元n次方程在复数集内有且仅有n个根”时,就应用并论述了卡尔丹所设想的新数,并首次引进了“复数”这个名词,把复数与平面内的点一一对应起来,创立了复平面,依赖于平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础.这样历经300年的努力,数系从实数系到复数系的扩张才基本完成,复数才被人们广泛承认和使用.1.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】(3-4i)-(-2+3i)=5-7i.【答案】D2.(2-i)+(3+i)+(4+i)+(5+i)-i(其中i为虚数单位)等于().A.10B.10+2iC.14D.14+2i【解析】(2-i)+(3+i)+(4+i)+(5+i)-i=2+3+4+5+(-+1++-)i=14.【答案】C3.复数z1=9+3i,z2=-5+2i,则z1-z2=.【解析】z1-z2=(9+3i)-(-5+2i)=14+i.【答案】14+i4.已知复数z1=7-6i,z1+z2=-4+3i.(1)求z2;(2)求z1-2z2.【解析】(1)z2=(z1+z2)-z1=(-4+3i)-(7-6i)=-11+9i.(2)z1-2z2=(7-6i)-2(-11+9i)=7-6i+22-18i=29-24i.复数代数形式的加减法运算(1)z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2;(2)计算:(+i)+(2-i)-(-i);(3)计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2019+2019i)+(2019-2019i).【方法指导】依据复数代数形式的加减运算法则以及运算律求解.【解析】(1)z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i,z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.(2)+i+(2-i)-(-i)=(+2-)+(-1+)i=1+i.(3)(法一)原式=[(1-2)+(3-4)+…+(2019-2019)+2019]+[(-2+3)+(-4+5)+…+(-2019+2019)-2019]i=(-1006+2019)+(1006-2019)i=1007-1008i.(法二)(1-2i)+(-2+3i)=-1+i,(3-4i)+(-4+5i)=-1+i,(2019-2019i)+(-2019+2019i)=-1+i,将以上各式(共1006个)相加可知:原式=1006(-1+i)+(2019-2019i)=1007-1008i.【小结】几个复数相加减,运算法则为这些复数的所有实部相加减,所有虚部相加减.第(3)小题的解法一是从整体上把握,将计算分实部和虚部进行,有机构造特殊数列的和进而求得结果.解法二是从局部入手,抓住了式中相邻两项和的特点,恰当地分组使计算得以简化.复数代数形式加减运算的几何意义在复平面内,A、B、C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC,求D点对应的复数z4及AD的长.【方法指导】根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算.【解析】如图所示:对应复数z3-z1,对应复数z2-z1,对应复数z4-z1.由复数加减运算的几何意义得=+,∴z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1),∴z4=z2+z3-z1=(5+i)+(3+3i)-(1+i)=7+3i,∴AD的长为||=|z4-z1|=|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=2.【小结】利用向量进行复数的加减运算时,同样满足平行四边形法则和三角形法则.复数加减法运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.复数加减运算的综合应用已知实数a>0,b>0,复数z1=a+5i,z2=3-b i,|z1|=13,|z2|=5,求z1+z2.【方法指导】利用两复数的模,可求得a,b的值,再求z1+z2.【解析】由题意得∴∴z1=12+5i,z2=3-4i,∴z1+z2=15+i.【小结】本题结合了复数的模与复数的加法,表面看着难,其实难度不大.复数z1=2+3i,z2=4-5i,z3=-6i,求z1+z2-z3,并说明z1+z2-z3在复平面内对应的点所在的象限.【解析】z1+z2-z3=(2+3i)+(4-5i)-(-6i)=6+4i,z1+z2-z3在复平面内对应的点为(6,4),在第一象限.如图所示,平行四边形OABC的顶点O、A、C分别表示0、3+2i、-2+4i.求:(1)表示的复数;(2)表示的复数;(3)表示的复数.【解析】(1)因为=-,所以表示的复数为-3-2i.(2)因为=-,所以表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因为=+,所以表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.已知实数a∈R,复数z1=a+2-3a i,z2=6-7i,若z1+z2为纯虚数,求a的值.【解析】z1+z2=(a+2-3a i)+(6-7i)=a+8-(3a+7)i,∴z1+z2为纯虚数,∴∴a=-8.1.复数z1=-3+4i,z2=6-7i,则z1+z2等于().A.3-3iB.3+3iC.-9+11iD.-9-3i【答案】A2.复数(3+i)m-(2+i)对应的点在第三象限内,则实数m的取值范围是().A.m<B.m<1C.<m<1D.m>1【解析】(3+i)m-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i,∴点(3m-2,m-1)在第三象限,∴即m<.【答案】A3.复数z1=-2+3i,z2=4+3i,则z1-z2=.【解析】z1-z2=(-2+3i)-(4+3i)=-6.【答案】-64.已知a∈R,复数z1=2+(a+2)i,z2=a2+2a-1+3i,若z1+z2为实数,求z1-z2.【解析】z1+z2=a2+2a+1+(a+5)i,∴a∈R,z1+z2为实数,∴a+5=0,∴a=-5,∴z1=2-3i,z2=14+3i,∴z1-z2=-12-6i.在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.(1)求向量,,对应的复数;(2)判断∈ABC的形状.【解析】(1)=-=(2+i)-1=1+i,=-=(-1+2i)-1=-2+2i,=-=(-1+2i)-(2+i)=-3+i,所以,,对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i.(2)因为||2=10,||2=8,||2=2,所以有||2=||2+||2,所以∈ABC为直角三角形.1.向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,则+对应的复数是().A.-10+8iB.10-8iC.0D.10+8i【解析】+对应的复数为5-4i+(-5+4i)=0.【答案】C2.复数z1=1-5i,z2=-2+i,则z1-z2在复平面内对应的点在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】z1-z2=(1-5i)-(-2+i)=3-6i,对应的点为(3,-6),该点位于第四象限.【答案】D3.复数z1=5-12i,z2=4+7i,则z1-z2=.【解析】z1-z2=(5-12i)-(4+7i)=1-19i.【答案】1-19i4.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).设z=z1-z2且z=13-2i,求z1,z2.【解析】z=z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i,又z=13-2i,且x,y∈R,则解得故z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,z2=4×(-1)-2×2-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i.5.复平面内点A,B,C对应的复数分别为i,1,4+2i,由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD,则||等于().A.5B.C.D.【解析】如图所示,∈ABCD四个顶点对应复数分别为z1=i,z2=1,z3=4+2i,z4,则有=+,=(z1-z2)+(z3-z2)=2+3i,故||==.【答案】B6.已知复数z1,z2,有|z1|=5,|z2|=12,|z1+z2|=13,则|z1-z2|为().A.8B.10C.12D.13【解析】利用向量结合复数分析可知构成的平行四边形为矩形,故对角线相等.【答案】D7.已知实数a>0,复数z1=a+2i,z2=3+5i,|z1-z2|=5,则a的值为.【解析】z1-z2=a-3-3i(a∈R),∴|z1-z2|=5,∴=25,∴a-3=±4,又a>0,∴a=7.【答案】78.已知f(z)=2z+2-i,z0=1+2i,f(z0-z1)=6-3i,z∈C,求复数z1,f(|z0+z1|).【解析】由已知得2z0-2z1+2-i=6-3i,z0=1+2i,∴2+4i-2z1+2-i=6-3i,即4+3i-2z1=6-3i,∴2z1=(4+3i)-(6-3i)=(4-6)+(3+3)i=-2+6i,∴z1=-1+3i,∴|z0+z1|=|(1+2i)+(-1+3i)|=|5i|=5,∴f(|z0+z1|)=f(5)=2×5+2-i=12-i.9.已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为.【解析】(法一)∴|z|=2,∴|z-i|≤|z|+|i|=2+1=3.(法二)设w=z-i,则w+i=z,∴|w+i|=|z|=2.w表示以点(0,-1)为圆心,以2为半径的圆,由图知,圆上到原点的距离以|OP|为最大,最大值是3.【答案】310.已知a,b∈R,若复数z1=a+b i,|z1|=4,z2=b-a i,求|z1+z2|,|z1-z2|.【解析】∴|z1|=4,∴=4,a2+b2=16.∴z1+z2=(a+b)+(b-a)i,∴|z1+z2|====4.∴z1-z2=(a-b)+(b+a)i,∴|z1-z2|====4.。

北师大版数学选修12 第四章数系的扩充与复数的引入课件38张

导 ·北师大版 ·数学 ·选修1-2
2．若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝( )
A．－1
B．1
C．±1
D．不存在
[答案] C
[解析] (a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2－1＝0，∴a＝±1．
第四章 §1 第1课时
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A．0
B．1
C．2
D．3
第四章 §1 第1课时
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[错解] 两个复数不能比较大小，故①正确；设z1＝mi(m∈R)，z2＝ni(n∈R) ∵z1与z2的虚部相等，∴m＝n，∴z1＝z2，故②正确．若a、b是两个相等的实数，则a－b＝0，所以(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，故③正确．综上可知：①②③都正确，故选D．
实数b＝0 复数 a＋bi(a、b∈R)虚数b≠0纯非虚纯数虚数a＝a0≠ 0
第四章 §1 第1课时
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1．若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________． [答案] 1或－3
第四章 §1 第1课时
(2)∵z 为虚数，∴mm2＋－32≠m0－15≠0 ， ∴mm≠ ≠5－且3m≠－3 ，∴m≠5 且 m≠3． ∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
第四章 §1 第1课时
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m2－m－6＝0
(3)∴z 为纯虚数，∴m＋3≠0
第四章 §1 第1课时
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北师大版高中数学选修1-2导学案：数系的扩充与复数的概念

学习目标理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念.二、新课导学※ 学习探究探究任务一：复数的定义问题：方程210x +=的解是什么？为了解决此问题，我们定义21i i i ⋅==-，把新数添进实数集中去，得到一个新的数集，那么此方程在这个数集中就有解为 .新知：形如a bi +的数叫做复数，通常记为z a bi =+（复数的代数形式），其中i 叫虚数单位，a 叫实部，b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集.试试：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。

23i +，84i -，83i +，6，i ，29i --，7i ，0反思：形如的数叫做复数，其中和都是实数，其中叫做复数z 的实部，叫做复数z 的虚部.对于复数(,)a bi a b R +∈当且仅当时，它是实数；当时，它是虚数；当时，它是纯虚数；探究任务二：复数的相等若两个复数a bi +与c di +的实部与虚部分别，即: ， .则说这两个复数相等.a bi +=c di + ⇔ ；a bi +=0 ⇔ .注意:两复数比较大小.※ 典型例题例1 实数m 取什么值时，复数1(1)z m m i =++-是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？变式：已知复数22276(56)()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，试求实数a 分别取什么值时，分别为（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？例2已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程2430x x --=的两根，试求：,,a b k 的值.练2. 已知i 是虚数单位，复数2(1)(23)4(2)z m i m i i =+-+-+，当m 取何实数时，z 是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零.三、总结提升※学习小结1. 复数的有关概念；2. 两复数相等的充要条件；3. 数集的扩充.※知识拓展复数系是在实数系的基础上扩充而得到的.数系扩充的过程体现了实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）对数学发展的推动作用，同时也体现了人类理性思维的作用. 学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 实数m取什么数值时，复数1(1)=-++是实数（）z m m iA．0 B．1-C．2-D．3-2. 如果复数a bi+的和是纯虚数，则有（）+与c diA．0a c+≠+=且0b dB．0+=a cb d+≠且0C．0+≠a db d+=且0D．0+≠b d+=且0b c3. 如果22=+-+-+为实数,那么实数a的值为（）2(32)z a a a a iA．1或2-B．1-或2C．1或2 D．1-或2-4.若22-+++是纯虚数，则实数x的值是x x x i(1)(32)5. 若()(1)(23)(21)x y y i x y y i++-=+++，则实数x= ；y= .课后作业1.求适合下列方程的实数与的值:(1)(32)(5)172++-=-x y x y i i(2)(3)(4)0+-+-=x y x i2. 符合下列条件的复数一定存在吗?若存在，请举出例子；若不存在,请说明理由.(1)实部为(2)虚部为(3)虚部为。

北师大版数学高二-选修1学案 4.1数系的扩充与复数的引入

4.1数系的扩充与复数的引入导学案●三维目标1．知识与技能(1)了解数的概念的发展过程和数集扩充到复数集的必然性．(2)了解复数的有关概念及分类．(3)理解复数相等的充要条件．(4)了解复数与复平面内点的对应关系．2．过程与方法通过数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维在数系扩充过程中的作用．3．情感、态度与价值观通过复数与复平面内点的对应关系，体会二维空间中数与形之间的内在联系，培养数形结合的意识．●重点难点重点：数的概念的扩展和复数相等的充要条件．难点：复数的向量表示．虚数单位i的认知是教学的重点，教学中要围绕“为什么引入i？如何引入i，i是什么？”展开教学，本节课是在复数的代数表示下，介绍了复数的有关概念、复数的分类、复数相等的充要条件以及复数的几何意义，抓住复数的代数表示，就抓住了重点，继而突破难点．●教学建议1．教学时应从两个方面阐述数的发展，首先是因生产和科学发展的需要而使数逐步扩充的过程；其次数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾．2．教学时应强调数系扩充应满足的两个条件：一是数系扩充后仍然保持原有数系中的运算法则和运算关系；二是新数系解决了原有数无法解决的矛盾．3．在教学中，应引导学生体会复数相等的充要条件的意义和用法，它是化“虚”为“实”的桥梁．4．教学时，应强调建立复平面的意义，它使实数与数轴上的点之间的一一对应扩展到复数与复平面内的点之间的一一对应，即从一维空间扩展到二维空间，使复数有了几何形象．●教学流程通过问题引入课题：x2＝－1在R上有解吗？→定义复数：z＝a＋b i(a，b∈R)⇒复数的分类→复数相等的充要条件⇒复数的几何意义→应用示例→练习反馈→归纳总结，深化认识课标解读1.了解数系的扩充过程(重点)．2．了解复数的有关概念及分类(重点)．3．理解两个复数相等的充要条件(重点)．4．理解复数的几何意义(难点).复数【问题导思】对于方程x2＋1＝0，思考下列问题：(1)该方程有实数解吗？为什么？(2)若i是该方程的一个解，则i要满足什么条件？【提示】(1)因为Δ＝0－4＜0，所以方程无实数解．(2)i2＝－1.1．复数的概念(1)虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位．(2)复数的概念：把形如a＋b i的数叫作复数(a，b是实数，i是虚数单位)．复数通常表示为z＝a＋b i(a，b∈R)．(3)对于复数z＝a＋b i，a与b分别叫作复数z的实部与虚部，并且分别用Re_z与Im_z 表示，即a＝Re_z，b＝Im_z.(4)复数的全体组成的集合叫作复数集，记作C，显然R C.2．复数的分类z＝a＋b i(a，b∈R)中，当b＝0时，z为实数；当b≠0时，z为虚数；当a＝0且b≠0时，z为纯虚数．3．复数相等的充要条件a＋b i＝c＋d i(a，b，c，d∈R)当且仅当a＝c且b＝d.4．复平面当用直角坐标平面内的点表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．5．复数的两种几何意义6．复数的模设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)在复平面内对应的点是Z (a ，b )，点Z 到原点的距离|OZ |叫作复数z 的模或绝对值，记作|z |，显然|z |＝a 2＋b 2.复数的有关概念及分类当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 为(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？【思路探究】本例考查复数的有关概念及分类问题．清楚复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为实数、虚数及纯虚数的限制条件是解决本题的关键．【自主解答】 (1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0，解得m ＝－2.∴当m ＝－2时，z 为实数．(2)若z 为虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0，解得m ≠－2且m ≠－3.∴当m ≠－2且m ≠－3时，z 为虚数．(3)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝3.∴当m ＝3时，z 为纯虚数．1．研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提条件．2．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当b ＝0时为实数；当b ≠0时为虚数；a ＝0且b ≠0时为纯虚数．复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时，(1)z 为实数？(2)z 为虚数？(3)z 为纯虚数？【解】 (1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －3＝0，x 2－3x －3＞0，解得x ＝4，∴当x ＝4时，z 为实数．(2)若z 为虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －3≠0，x 2－3x －3＞0. 解得3＋212＜x ＜4或x ＞4，∴当3＋212＜x ＜4或x ＞4时，z 为虚数． (3)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ log 3x 2－3x －3＝0，log 2x －3≠0， ①②解①得x ＝－1或4.当x ＝－1时，x －3＝－4＜0，当x ＝4时，x －3＝1，log 2(x －3)＝0，所以无解．∴复数z 不可能是纯虚数．复数相等的充要条件求使等式(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i 成立的实数x ，y 的值．【思路探究】题目条件给出的是关于复数的等式，可以考虑利用复数相等的充要条件来解决．【自主解答】由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝y ，1＝－3－y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.1．在利用复数相等的充要条件解题时，首先要把复数化为a ＋b i 的形式，便于分清复数的实部与虚部．2．复数相等的充要条件是将复数问题转化为实数问题的主要依据，实部与实部、虚部与虚部分别相等，进而列方程组求解实数x ，y 的值．已知(2x ＋8y )＋(x －6y )i ＝14－3i ，求实数x ，y 的值．【解】由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋8y ＝14，x －6y ＝－3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1. 复数的几何意义在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R )的对应点(1)在虚轴上；(2)在实轴负半轴上；(3)在直线y ＝x 上，分别求出复数z .【思路探究】把点的对应关系转化为实部与虚部应满足的条件，列方程(不等式)组，求解实数m .【自主解答】 (1)若复数z 对应点在虚轴上，则m 2－m －2＝0，∴m ＝－1或m ＝2.此时z ＝6i 或z ＝0.(2)若复数z 对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2＜0，m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1，∴z ＝－2.(3)若复数z 对应的点在直线y ＝x 上，则m 2－m －2＝m 2－3m ＋2，∴m ＝2，∴复数z ＝0.1．复数a ＋b i(a ，b ∈R )在复平面内与点(a ，b )对应．2．此类问题的解题方法是根据点的位置，利用复数的相关概念，转化为关于m 的方程或不等式(组)求解．本例中，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 在复平面中的对应点位于第二象限，求实数m 的取值范围．【解】由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <2，m >2或m <1. ∴－1<m <1.即实数m 的取值范围为{m |－1<m <1}．复数模的几何意义已知复数z 1＝3－i ，z 2＝－12＋32i. (1)求|z 1|及|z 2|的值并比较大小；(2)设z ∈C ，满足|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的集合是什么图形？【思路探究】利用模的几何意义解题．【自主解答】 (1)由复数模的定义：|z 1|＝|3－i|＝2，|z 2|＝|－12＋32i|＝1. ∴|z 1|>|z 2|.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则1≤|z |≤2.∴1≤x 2＋y 2≤4.因为x2＋y2≥1表示圆x2＋y2＝1及其外部所有点组成的集合，x2＋y2≤4表示圆x2＋y2＝4及其内部所有点组成的集合．∴满足条件的点Z(x，y)的集合是以O为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环，如图所示．1．画出图形，结合图形求解，把复数问题转化为几何问题，数形结合是常用的数学思想方法之一．2．设复数z＝x＋y i(x，y∈R)，则在复平面内，满足：(1)|z|＝r(r∈R且r＞0)的点Z的轨迹是以原点为圆心，r为半径的圆．(2)|z－(a＋b i)|＝r(a，b∈R，r∈R且r＞0)的点Z的轨迹是以(a，b)为圆心，r为半径的圆．。

高中北师大数学选修1-2课件：第四章数系的扩充与复数的引入 1 第1课时

扩充到复数系后，各数系之间的关系为：N Z Q R C．
(3)实数集 R 和虚数集都是复数集 C 的真子集，且 R∪{虚数}＝C，R∩{虚数}＝∅.
(4)实数也是复数，但是复数不一定是实数，它也可能是虚数． 2．对于复数 a＋bi，当且仅当 b＝0 时，它是实数；当且仅当 a＝b＝0 时，它是实数 0；当 b≠0 时，叫作虚数；当 a＝0 且 b≠0 时，叫作纯虚数．即
(2)当 k2－5k－6≠0，即 k≠6 且 k≠－1 时，z 是虚数．
(3)当kk22－－35kk－－46＝≠00 ，即 k＝4 时，z 是纯虚数．
(4)当kk22－－35kk－－46＝＝00 ，即 k＝－1 时，z 是零．
互动探究学案
命题方向1 ⇨复数的概念
(1)给出下列三个命题：①若 z∈C，则 z2≥0；②2i－1 虚部是 2i；
实数b＝0 复数 a＋bi(a、b∈R)虚数b≠0非纯纯虚虚数数a＝a≠0 0
• 1．复数1－i的A虚部是( )
• A．－1
B．1
• C．i D．－i
• [解析] 虚部是i的系数，为实数，故选A
．
• 2．若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈C R)是实数，则a＝( )
• A．－1 B．1
• C．±1 D．不存在
• 〔跟踪练习3〕 • 已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i， • 求实数x、y的值．
[解析] 因为 x、y 为实数，所以 2x－1、y＋1、x－y、－x－y 均为实数．由复数相等的充要条件，
知2y＋x－11＝＝－x－x－yy ，
所以xy＝＝3－2 .
准确掌握概念
在下列命题中，正确命题的个数是( A )
• 〔跟踪练习2〕 • 实数m取什么值时，复数(m2－5m＋6)＋(m2

北师大版数学4.1.1 数系的扩充和复数的概念学案 (北师大选修1-2)

高中数学：4.1.1 数系的扩充和复数的概念学案（北师大选修1-2）教学要求: 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。

教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。

教学难点：复数及其相关概念的理解教学过程：一、复习准备：1. 提问：N 、Z 、Q 、R 分别代表什么？它们的如何发展得来的？（让学生感受数系的发展与生活是密切相关的）2．判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与∆的关系）：（1）2340x x --= （2）2450x x ++= （3）2210x x ++= （4）210x +=3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。

讨论：若给方程210x +=一个解i ，则这个解i 要满足什么条件？i 是否在实数集中？实数a 与i 相乘、相加的结果应如何？二、讲授新课：1. 教学复数的概念：①定义复数：形如a bi +的数叫做复数，通常记为z a bi =+（复数的代数形式），其中i 叫虚数单位，a 叫实部，b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。

例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。

23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i +-+--规定：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。

②讨论：复数的代数形式中规定,a b R ∈，,a b 取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？③定义虚数：,(0)a bi b +≠叫做虚数，,(0)bi b ≠叫做纯虚数。

④ 数集的关系：0,0)0)0,0)Z a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？2例题2：51P 实数m 取什么值时，复数1(1)z m m i =++-是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数（引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论）练习：已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程2430x x --=的两根，试求：,,a b k 的值。

高中数学选修1-2精品学案：第四章数系的扩充与复数的引入第1课时数系的扩充和复数的概念

第1课时数系的扩充和复数的概念1.了解引进复数的必要性,理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的代数形式,复数虚部与实部.3.实数集、复数集、虚数集与纯虚数集的关系.重点:掌握复数的实部与虚部;实数、复数、虚数、纯虚数与复数的代数形式的实部、虚部的关系;两复数相等的充要条件.难点:体会复数问题实数化的过程.由于解方程的需要推动了数的发展,为了使类似x+5=3的方程有解,引入了负数;为了使类似5x=3的方程有解,引入了分数;为了使类似x2=3的方程有解,引入了无理数.但引入无理数后,类似x2=-1的方程在实数范围内仍然没解.问题1:为了得到方程x2=-1的解,需引入虚数单位i,试给出虚数单位i的定义?虚数单位i满足它的平方等于-1,即i2=-1.问题2:(1)复数:形如a+b i(a,b∈R)的数叫作复数.(2)复数集:全体复数所成的集合叫作复数集,用字母C表示.(3)复数的代数形式:复数通常用字母z表示,把复数表示成a+b i(a,b∈R)的形式,其中a与b分别叫作复数的实部与虚部.(4)两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.这就是说,如果a、b、c、d∈R,那么a+b i=c+d i∈a=c,b=d.问题3:复数z=a+b i(a,b∈R),当b=0时,复数z是实数;当b≠0时,复数z是虚数;当时,复数z是纯虚数.问题4:两复数可不可以比较大小?当两复数是实数时,两复数可以比较大小;当两复数有一个是虚数时,两复数不能比较大小,只能分析两复数相不相等.“复数”“虚数”这两个名词,都是人们在解方程时引入的.为了用公式求一元二次、三次方程的根,就会遇到求负数的平方根的问题.1545年,意大利数学家卡丹诺在《大术》一书中,首先研究了虚数,并进行了一些计算.1.“a=0”是“复数a+b i(a,b∈R)为纯虚数”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】a=0时,a+b i(a,b∈R)可能为纯虚数,也可能为0;a+b i为纯虚数时,a=0.所以答案为B.【答案】B2.复数z=-3-10i的实部是().A.3B.-3C.-10iD.10【解析】复数z=-3-10i的实部是-3.【答案】B3.若复数z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则z1=z2的充要条件是.【解析】z1=z2,则它们的实部与虚部分别相等,即a=c且|b|=|d|.【答案】a=c且b2=d2(或写成a=c且|b|=|d|)4.判断下列命题的真假:(1)-1的平方根只有一个;(2)i是1的4次方根;(3)i是方程x6-1=0的根;(4)方程x3-x2+x-1=0的根只有一个.【解析】(1)∵(-i)2=i2=-1,∵-i也是-1的平方根,故(1)为假命题.(2)∵i2=-1,∵i4=i2·i2=(-1)2=1,故(2)为真命题.(3)i6-1=i2·i2·i2-1=(-1)3-1=-2≠0,故(3)为假命题.(4)由x3-x2+x-1=0得(x2+1)(x-1)=0,则x2=-1或x=1,即x=±i或x=1都是方程x3-x2+x-1=0的根,故(4)为假命题.对复数概念的理解已知下列命题:①复数a+b i不是实数;②两个复数不能比较大小;③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,其中x∈R,则x=±2;④若复数z=a+b i,则当且仅当b≠0时,z为虚数;⑤若a+b i=c+d i,则a=c且b=d.其中真命题的个数是().A.0B.1C.3D.4【方法指导】根据复数的有关概念来判断命题的真假.【解析】①是假命题,因为当a∈R且b=0时,a+b i是实数.②是假命题,因为两个复数都是实数时,可以比较大小.③是假命题,因为由纯虚数的条件得解得x=2.④是假命题,因为没有强调a,b∈R.⑤是假命题,因为没有强调,a,b,c,d∈R这一重要条件,故选A.【答案】A【小结】对于概念的理解注意一些小细节,比如a+b i中要求a∈R,b∈R.复数概念的应用z=+(m2+5m+6)i,当实数m为何值时,(1)z是实数;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数?【方法指导】根据复数的分类方式将问题转化为求实部和虚部应满足什么条件.【解析】(1)若z是实数,则得m=-2.(2)若z是虚数,则得m≠-2且m≠-3且m∈R.(3)若z是纯虚数,则得m=3.【小结】①本题考查复数集的分类,给出的是复数的标准代数形式即z=a+b i(a,b∈R),若不然,应先将其化为标准形式,再根据满足的条件去解;②解题中应时刻注意使式子有意义.复数相等的充要条件(1)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,x,y∈R,求x与y.(2)设z1=1+sin θ-icos θ,z2=+(cos θ-2)i,若z1=z2,求θ.【方法指导】确定两复数的实部与虚部,利用两复数相等的定义列方程组,解方程组.【解析】(1)根据复数相等的充要条件,得方程组解得(2)由已知,得故解得θ=2kπ(k∈Z).【小结】复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法,转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是:①等式两边整理为a+b i(a,b∈R)的形式;②由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组;③解方程组,求出相应的参数.下列命题中正确的有.①若z=a+b i(a,b∈R),则当a=0,b≠0时,z为纯虚数;②若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3;③若实数a与a i对应,则实数集与纯虚数集一一对应.【解析】①正确.②错误,只有当z1,z2,z3∈R时才成立;若z1=1,z2=0,z3=i也满足题意.③错误,若a=0,则0·i=0不再是纯虚数.【答案】①复数z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),当x为何实数时:(1)z∈R;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数?【解析】(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为零,所以有由②得x=4,经验证满足①.所以当x=4时,z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部非零,所以有解得即<x<4或x>4.所以当<x<4或x>4时,z为虚数.(3)因为一个复数是纯虚数时其实部为零且虚部不为0,所以有解得方程无解,所以复数z不可能是纯虚数.关于a的方程是a2-a tan θ-2-(a+1)i=0,若方程有实数根,求锐角θ和实数根.【解析】设实数根是a,则a2-a tan θ-2-(a+1)i=0,∵a,tan θ∈R,∵∵a=-1且tan θ=1,又0<θ<,∵θ=,a=-1.1.设集合C={复数},A={实数},B={纯虚数},若全集S=C,则下列结论中正确的是().A.A∈B=CB.∈S A=BC.A∩(∈S B)=∈D.B∩(∈S A)=B【答案】D2.如果复数z=(a2-3a+2)+(a-1)i为纯虚数,则实数a的值为().A.1或2B.1C.2D.不存在【解析】由a2-3a+2=0和a-1≠0,得a=2.【答案】C3.已知复数z=3-2i,则复数z的实部与虚部的积是.【解析】z=3-2i的实部和虚部分别为3,-2,故答案为-6.【答案】-64.实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:(1)位于第四象限;(2)在x轴的负半轴上?【解析】(1)由已知得∵∵-7<m<3.∵当m∈(-7,3)时,z对应的点在第四象限.(2)由已知得解得m=4,即m=4时,z对应的点在x轴的负半轴上.(2019年·上海卷)设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=.【解析】∵m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,∵∵m=-2.【答案】-21.复数z=-2+3i的虚部是().A.-2B.2C.3D.3i【解析】复数z=-2+3i的虚部是3.【答案】C2.若复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i为虚数,则实数x满足().A.x=-B.x=-2或-C.x≠-2D.x≠1且x≠-2【解析】由题意得x2+x-2≠0,∵x≠1且x≠-2.【答案】D3.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合N={-1,3},若M∩N={3},则实数m的值为.【解析】由题设知3∈M,∵m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3.∵即∵m=-1.【答案】-14.设复数z=ab+(a2+b2)i(a、b∈R),a、b分别满足什么条件时,z是实数、虚数、纯虚数?【解析】当a、b同时为0时,z为实数;当a、b不全为0时,z是虚数;当a、b有且仅有一个为0时,z为纯虚数.5.如果(x+y)i=x-1,则实数x、y的值分别为().A.x=1,y=-1B.x=0,y=-1C.x=1,y=0D.x=0,y=0【解析】根据复数相等的充要条件,可知解得【答案】A6.下列命题中,正确命题的个数是().①若x,y∈C,则x+y i=1+i的充要条件是x=y=1;②若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i;③若x2+y2=0,则x=y=0;④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零;⑤-1没有平方根;⑥若a∈R,则(a+1)i是纯虚数.A.0B.1C.2D.3【解析】由于x,y∈C,所以x+y i不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件,①是假命题.由于两个虚数不能比较大小,∵②是假命题.当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,∵③是假命题.因为复数为纯虚数要求实部为零,虚部不为零,故④错.因为-1的平方根为±i,故⑤错.当a=-1时,(a+1)i是实数0,故⑥错.【答案】A7.复数z=(a2+2a-3)+(a2-1)i(a∈R)为纯虚数,则复数z的虚部为.【解析】复数z=(a2+2a-3)+(a2-1)i(a∈R)为纯虚数,∵∵∵a=-3,∵a2-1=8,∵复数z的虚部为8.【答案】88.已知m∈R,复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时:(1)z∈R;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数;(4)z=+4i?【解析】(1)m需满足解得m=-3.(2)m需满足m2+2m-3≠0且m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.(3)m需满足解得m=0或m=-2.(4)m需满足解得m∈∈.9.已知m、n∈R,复数z1=m2+2n-3+(m+n)i,z2=2m-3n+2+(2m-n)i,若z1=z2,则m+n=.【解析】∵z1=z2,∵∵∵n=1或n=-,m+n=3n,∵m+n的值为3或-.【答案】3或-10.已知复数z1=sin 2x+λi,z2=m+(m-cos 2x)i(λ,m,x∈R),且z1=z2.若λ=0且0<x<π,求x的值.【解析】∵z1=z2,∵∵λ=sin 2x-cos 2x.若λ=0,则sin 2x-cos 2x=0,得tan 2x=.∵0<x<π,∵0<2x<2π,∵2x=或2x=,∵x=或.。

高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案

高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案一、教学目标1. 让学生了解数系的扩充过程，理解实数和复数的概念。

2. 培养学生运用数系知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学美的感受，培养学生的创新意识。

二、教学内容1. 数系的扩充过程：有理数、实数、复数。

2. 实数和复数的概念及其性质。

3. 复数的几何意义。

三、教学重点与难点1. 教学重点：数系的扩充过程，实数和复数的概念及其性质。

2. 教学难点：复数的几何意义，复数方程的求解。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究数系的扩充过程。

2. 运用实例讲解法，让学生理解实数和复数的概念。

3. 利用数形结合法，揭示复数的几何意义。

五、教学过程1. 导入新课：通过复习实数的概念，引出数系的扩充过程。

2. 讲解数系的扩充过程：有理数、实数、复数。

3. 讲解实数和复数的概念：实数的定义、性质；复数的定义、性质。

4. 讲解复数的几何意义：复平面、复数的几何表示。

5. 巩固练习：解决一些与实数和复数有关的实际问题。

6. 课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。

7. 布置作业：布置一些有关实数和复数的练习题，巩固所学知识。

六、教学拓展1. 介绍复数在工程、物理等领域的应用，如电路分析中的复数表示法。

2. 引导学生探究复数的运算规则，如复数的乘法、除法、乘方等。

七、案例分析1. 分析实际问题，如利用复数解决几何问题、信号处理问题等。

2. 引导学生运用复数知识解决实际问题，提高学生的应用能力。

八、课堂互动1. 组织学生进行小组讨论，探讨复数的几何意义。

2. 开展课堂提问，检查学生对实数和复数概念的理解。

3. 引导学生进行互动交流，分享学习心得和解决问题的方法。

九、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况。

2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，巩固所学知识。

3. 课后反馈：收集学生对课堂内容的反馈，了解学生的学习效果。

十、教学反思1. 反思教学内容：检查教学内容是否全面、深入，是否符合学生的实际需求。

北师大版选修1-2：4.1数系的扩充与复数的概念--教学设计一、二、三

4.1数系的扩充和复数的引入教学设计一【教学目标】依照课程标准对本节课的要求，本节课的教学目标如下：（1）通过回忆数系的扩充过程，观察所列举的复数能简述复数的定义，并能说出复数的实部与虚部.（2）通过小组讨论能将复数归类，并能用语言或图形表达复数的分类，会解决含有字母的复数的分类问题.（3）通过比较给出的两个复数能归纳出复数相等的充要条件，并能解决与例题相似的题目. 【教学重点】复数的概念【教学难点】虚数单位i的引进及复数的概念【教学过程】一、问题情境(多媒体)问题1:同学们,从小到大，我们认识了各种各样的数.进入高中，我们学习了集合，你知道的数集有哪些？分别用什么记号表示？问题2:你能用集合关系符号将这些数集“串”起来吗？设计意图：一方面从学生已有的认知入手，便于学生快速进入学习状态，激发他们的学习热情，培养学生的归纳、概括与表达能力；另一方面为引入虚数单位“i”埋下伏笔，引入课题.恩格斯曾经说过：“各种数集是数学的两大基本柱石之一，整个数学都是由此提炼、演变与发展起来的.”如此高的评价，看来我们要好好体会其中的奥秘，最熟悉的地方往往也能发现亮丽的风景.这些数并不是从来就有，也不是从天而降的，任何事物的发生发展总是有原因的.远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果，创造了自然数，那么其它数呢？它们产生的原因是什么呢？（归纳学生的回答：原因之一——客观需求）从数学内部看，我们研究数，与数的运算是分不开的，数集只是包含了运算的对象，那么运算的规则呢？一代代数学家们追求的不仅仅是数集的扩充，更是运算规则的完善. 二、学生活动问题3:我们常说的运算，是指加、减、乘、除、乘方、开方等运算，思考一下，这些运算在各个数集中总能实施吗？（学生回答）追问：这些问题是怎么解决的呢？——添加新数通过添加新数，解决了某些运算在原来的数集中不是总可以实施的矛盾.正是数学家们追求完美的理性精神，促使他们不断发现问题，解决问题，从而推动数学的发展.（原因之二——数学内因）设计意图：让学生思考数集扩充的原因，在此基础之上，帮助学生重新建构数集的扩充过程，这是本节课的生长点.问题4:那么在实数范围内加、减、乘、除、乘方、开方这些运算总能实施了吗？问题5:需要解决什么问题？（负数开偶次方的问题）我们知道，非负数可以开平方，负数只能开奇次方？现实的问题摆在眼前，如何才能解决？——添加新数学生讨论：尝试添加新数，求解方程2221,2,(1)1x x x =-=--=-.设计意图：教师引领学生采用类比的思想，将问题转化为找一个数的平方为－1，从而让“引入新数”水到渠成．第一个正视这类问题的是意大利数学家卡尔丹.16世纪，意大利数学家卡尔丹遇到问题“将10分成两部分，使两者的乘积等于40”时，出现了困惑.他认为把答案写成“155-+和155--”就可以满足条件，但是却无法解释.面对这些矛盾，笛卡尔、欧拉、高斯等一个又一个数学家们加入了研究的队伍，经过他们严密的论证，最后终于确定了它的合理地位.但是这类数与之前得到的实实在在的实数相比，似乎缺少有力的现实基础，所以法国数学家笛卡尔就将其命名为“虚数”，表示与实数相对应.从此虚数也加入了数的行列，与实数“平起平坐，和平共处”. 1777年，瑞士数学家欧拉首次提出用i 表示平方等于-1的新数. 1801年，德国数学家高斯系统地使用了这个符号，使i 通行于世. 三、建构数学实数集的扩充就从引入平方等于－1的“新数”i 开始的.（一）我们引入新数i ，叫做“虚数单位”，并规定：（1）i 2=-1;（2）实数可以与i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.由这两个规定，我们得到：i 代表一个数，；另外规定（2）保证了虚数加入后，能与实数“和平共处，互帮互助”.根据以上两项规定，请同学们思考问题6：添加的新数仅仅是i 吗？问题7：你还能写出其他含有i 的数吗？问题8：你能写出一个形式，把刚才所写出来的数都包含在内吗？设计意图：学生通过问题6、7的铺垫，引导学生由特殊到一般，抽象概括出复数的代数形式z=(,)a bi a b +∈R ，帮助学生主动建构复数的代数形式．我们构造的数都可以用bi a +来表示.bi a +是由实数与虚数单位i “复合”运作而成，我们把它们称为复数，由所有的复数组成的集合称为复数集，记作C ，我们常用字母z 表示复数. （二）bi a z +=（R b a ∈,），也称bi a +为复数的代数形式，其中a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部（是实数）.由此，追问： (,)a bi a b +∈R 能表示实数吗？问题9：实数集与扩充后的复数集是什么关系呢？问题10：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集它们之间是什么关系呢？你能用图表的形式画出来吗？设计意图：学生通过讨论自然而然地想到要对复数进行分类，从而深化对复数概念的理解.问题10是让学生直观地感受复数的分类，进一步深化复数的概念.从而攻克本节制定的第二个教学目标.问题11：两个二项式相等的充要条件是什么？你能类比得出两个复数相等的充要条件吗？设计意图：引导学生类比两个二项式相等的条件，归纳出复数相等的充要条件，即实部与实部相等并且虚部与虚部相等.并在此时告诉学生两个复数只能说相等或者不相等，除非它们都是实数时才可以比较大小.伴随着此问题的解决使得本节最后一个教学目标顺利呈现. (三)复数的相等如果两个复数的实部与虚部分别相等,则称两个复数相等,即： a+bi =c+d i (a,b,c,d ∈R) ⇔ a= c 且b =d.例1、指出下列复数的实部和虚部(1)4;(2)23;(3)56;(6)2i i i -- 注意:复数的实部与虚部都是实数.例2．实数m 分别取什么值时，复数z =m (m -1)+(m -1)i 是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？分析：因为m ∈R ，所以11--m ),m (m 都是实数，由复数z=a +bi (a,b ∈R)是实数、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数m 的值．.00101310121011为纯虚数时，即）当（为虚数；时，即）当（为实数；时，，即）当解（z m ,m )m (m z m ,m z m m =⎩⎨⎧≠-=-≠≠-==-练习1：已知z=m 2(1+i )−(m +i ),m 为实数，当m 为何值时，复数z 是 (1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数设计意图：例题1主要是前后照应，采用概念同化的方式完善认知结构；实现对目标1的巩固.例题2及练习1主要是巩固复设定的目标2中数的分类标准．让学生在解决问题的过程中内化复数有关概念，起到及时反馈、学以致用的功效.设计意图：强化复数相等的充要条件，并让学生感受到复数问题可以化归为实数问题来求解.例3：已知（2x -1)+i =y -(3-y )i ,其中x ,y ∈R,求x ,y 的值. 【解析】根据复数相等的定义，得方程组设计意图：强化复数相等的充要条件，并让学生感受到复数问题可以化归为实数问题来求解.【解析】由题意得 2x −1=y 1=− 3−y 解得 x =52y =4设计意图：强化复数相等的充要条件，并让学生感受到复数问题可以化归为实数问题来求解.的值求，小于且已知复数求实数）若（（：练习k z R k i k k k k z y x i x i y i 0),()65(3)2(,,9-1)2(-)10-31222∈+-+-==++（1） x =1,y =1 (2) k =2设计意图：此题主要是为了及时巩固、检查课堂效果；从而进一步提升学生分析问题和解决问题的能力.（四）课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑问？并抛出问题：实数能用数轴上的点来表示，所有的复数也能用数轴上的点来表示吗？设计意图：通过学生总结、教师提炼，深化内容，让学生体会数系扩充过程中蕴含的创新精神和实践能力.提出问题激发学生对复数的后续学习的欲望,为下节课学习埋下伏笔.（五）作业布置1、书面作业：课后习题A组第1、2题.2、知识拓展作业：小组成员交流合作，写一篇与数系扩充和发展有关的小论文；这节课，我们共同感受了数的概念发展的过程，虚数的出现与很多新生事物一样，刚开始并不为人所接受.对于“虚数”的研究，经历了漫长的过程，最终人们发现复数在物理学，空气动力学等很多领域的实际作用后，虚数才被大家所接受，正所谓实践才是检验真理的唯一标准.“数系发展到复数之后还能不能继续扩充？随着数学领域的不断扩展，或许有一天数系会冲破复数集的约束，迈向更广的数系空间.建议有兴趣的同学课下了解章末阅读材料中“四元数”的内容.教学设计二一、教学背景分析1.本课时在教材中的地位与作用本节课在教材中起着承上启下的作用，能够让学生了解数系扩充的历史，感受数学的理性精神及数学在解决生产生活问题中的价值，渗透数学文化.2.学情分析高二学生的理性思维已经得到发展，能够较为理性的分析和解决问题，但是对虚数单位i的理解以及复数的分类是难点也是重点，需要给学生足够的时间去经历知识的生成，而不是灌输式的将结论直接告诉学生、而后通过大量练习进行强化.3.教学目标的确定及依据知识与技能目标：了解数系扩充的过程，理解复数的基本概念，掌握复数相等的充要条件.过程与方法目标：经历理性分析数系扩充的过程，运用类比推理的方法实现从实数系向复数系的扩充.情感态度与价值观目标：强化理性思维的价值，渗透数学文化.4.教学重点、难点及处理办法教学重点：了解引入复数的必要性，理解复数的基本概念.教学难点：了解数系扩充的过程，理解并接受虚数单位i.二、教法与学法分析教学方法：诱思探究法合作交流法学法分析：建构-探究-归纳-应用.三、教学过程根据以上分析，教学过程从精设问题、引发冲突；引入新数、生成概念；应用举例、强化新知；课堂小结、回顾归纳；布置作业、课外拓展五个环节进行设计：归纳其代数表用韦恩图将复数的分类进行表为虚数单位i的引入做好铺垫.感悟数学文化，为虚数单位i的理解和接受做准备.体会两项规定合理性的同时积极主动探究复数的代数表达形式.经历知识的生成过程强化复数分类的基础上检测集合之间关系的掌握情况.学生活动四、教学效果预测学生了解了数系扩充的必要性与合理性，能够类比从自然数系一步步扩充到实数系的过程完成从实数系向复数系的扩充.经历了概念的生成过程，理解复数的代数表达形式，掌握实部、虚部的概念，能够清晰的掌握复数的分类，体会并掌握复数相等的充要条件.享受解决问题的愉悦，感悟数系扩充的历史.i的理解和接受是重点也是难点，学生掌握的情况仍需通过课后的作业、但是对虚数单位练习进行检测和反馈.教学设计三【教材分析】教材地位和作用：数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求.通过学习，学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养.复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备.教材处理办法：精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体，使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则.在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了.重点：数系扩充的过程和方法，复数的相关概念.难点：数系扩充的过程和方法，虚数的引入.【教学目标】知识目标：了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念.能力目标：发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识.情感目标：初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观.【教学方法】教学模式：“4+1”教学模式教学方法：开放式探究，启发式引导，互动式讨论，反馈式评价.学习方法：自主探究，观察发现，合作交流，归纳总结。

北师大版数学高二选修1-2学案第四章第1节数系的扩充与复数的引入(第1课时)

1．1 数的概念的扩展1．了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用．2．理解复数的有关概念，掌握复数的代数形式及复数的分类．1．把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，把i叫作________．根据解方程的需要，不断扩充数系．引入虚数之后，使得方程x2＋1＝0也有解．2．形如a＋b i的数叫作______(a，b是实数，i是虚数单位)．通常表示为z＝a＋b i(a，b ∈R)．【做一做1】对于实数a，b，下列结论正确的是()．A．a＋b i是实数B．a＋b i是虚数C．a＋b i是复数D．a＋b i≠03．对于复数z＝a＋b i，a与b分别叫作复数z的______与______，并且分别用______与______表示，即a＝______，b＝______.复数z＝a＋b i中，a∈R，b∈R时，a，b才分别为z的实部和虚部，否则不是，而且复数z的虚部是b，而不是b i，不要弄混．【做一做2】设复数z的实部为17，虚部为－8，则复数z＝__________.4．复数的全体组成的集合叫作________，记作C，显然，______.5．在z＝a＋b i中，当______时，z为实数；当______时，z为虚数；当________时，z 为纯虚数．复数包括实数与虚数，而虚数中又含有纯虚数．z为纯虚数时应满足两条，即实部为0，虚部不为0.【做一做3－1】“复数a＋b i(a，b∈R)为纯虚数”是“a＝0”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【做一做3－2】若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为()．A．－1 B．1 C．±1 D．－1或－2答案：1．虚数单位2．复数【做一做1】 C3．实部虚部 Re z Im z Re z Im z【做一做2】 17－8i4．复数集 R C5．b ＝0 b ≠0 a ＝0，b ≠0【做一做3－1】 A【做一做3－2】 B 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0，解得x ＝1.1．各数集之间有怎样的包含关系？剖析：数集在不断扩充，它们之间的关系为N Z Q R C .用图示表示如图所示．2．复数如何分类？剖析：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧ 实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数(a ＝0)，非纯虚数(a ≠0).3．复数z 为0的条件是什么？剖析：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为0的充要条件是a ＝b ＝0. 题型一辨析实数、虚数、纯虚数【例题1】指出下列各数中，哪些为实数，哪些为虚数，哪些为纯虚数？ 3＋2，79，13i,0，i,3i －2,10－14i ，(3－5)i ，πi 2，2－2i. 反思：正确把握复数的实部、虚部的概念及实数、虚数、纯虚数的定义是作出正确的分类的关键．题型二分清复数的实部和虚部【例题2】以4i －3的虚部为实部，以7i －2i 2的实部为虚部的复数为( )．A ．4－2iB ．4＋2iC ．－3＋7iD ．4＋7i反思：一定要弄清一个复数的实部与虚部，在已知一个复数时，能写出它的实部和虚部；同样地，在已知复数的实部和虚部时，也要能写出这个复数．注意在判断复数z ＝a ＋b i 的实部、虚部时，必须在a ，b ∈R 的前提下判断，而且虚部是指b ，而不是b i.题型三由实数、虚数、纯虚数的概念确定参数的取值【例题3】实数k 为何值时，复数z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零？分析：根据复数的分类，弄清一个复数满足什么条件时分别为实数、虚数、纯虚数，必须要分清复数的实部、虚部．反思：由复数z 的实部、虚部的取值来确定复数z 是实数、虚数、纯虚数．在解题时关键是确定z 的实部、虚部，并要注意纯虚数的概念满足两条：实部为零，虚部不为零．题型四实部、虚部有限定范围的复数的判定【例题4】复数z ＝log 2(x 2－5x ＋4)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时，(1)z ∈R ；(2)z 为虚数；(3)z 为纯虚数？分析：依照复数分类求解此题，但要注意对数函数本身的要求．反思：本题考查了复数的分类及对数函数的定义域，解决此类题时，既要注意复数概念的要求，又要注意实数x 的范围．答案：【例题1】解：实数有3＋2，79，0，πi 2；虚数有3i －2,10－14i ，2－2i ，13i ，i ，(3－5)i ；纯虚数有13i ，i ，(3－5)i. 【例题2】 B 复数4i －3的虚部为4，实部为－3；复数7i －2i 2即2＋7i ，其实部为2，虚部为7，所以以4i －3的虚部为实部，以7i －2i 2的实部为虚部的复数为4＋2i.【例题3】解：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，复数z 为实数．(2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，复数z 为虚数．(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0， ①②由①，得k ＝4或k ＝－1.由②，得k ≠6且k ≠－1，∴当k ＝4时，z 为纯虚数．(4)当⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 为零．【例题4】解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋4>0，log 2(x －3)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >4或x <1，x ＝4，此时无解． ∴不存在x 使z ∈R .(2)z 为虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋4>0，x －3>0，log 2(x －3)≠0. ∴⎩⎨⎧ x >4或x <1，x >3，x ≠4.∴x ＞4. ∴当x ＞4时，z 为虚数． (3)⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(x 2－5x ＋4)＝0，log 2(x －3)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋4＝1，x －3>0，x －3≠1， ①②③由①，得x ＝5＋132或x ＝5－132；由②，得x ＞3；由③，得x ≠4.∴当x ＝5＋132时，z 为纯虚数．1复数1－i 的虚部是( )．A ．1B ．－1C ．iD ．－i答案：B 分清复数的实部、虚部是解题的关键．2设全集I ＝{复数}，N ＝{实数}，M ＝{纯虚数}，则( )．A ．M ∪N ＝IB ．∁I M ∪N ＝IC ．∁I M ∩N ＝ND ．M ∩∁I N ＝I答案：C 弄清数集的分类和集合之间的包含关系以及集合之间的交、并、补的运算． 3以23-i 的虚部为实部，以i i 232+的实部为虚部的复数是( )．A ．3－3iB ．3＋iC ．i 22+-D.i 22+ 答案：A 注意i 2＝－1，所以3i 2＋2i ＝－3＋2i ，其实部为－3，虚部为2；3i －2的虚部为3，实部为－2，故所求复数为3－3i.4以π＋3i 的实部为虚部，以2＋ei 的虚部为实部的复数为______．答案：e ＋πi π＋3i 的实部为π，2＋ei 的虚部为e ，则所求的复数为e ＋πi.5若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m ＋2)为纯虚数，求实数m 的值．答案：分析：利用复数的分类解题．解：根据纯虚数的定义，得⎩⎨⎧≠+=--.0)2(log ,0)33(log 222m m m ∴⎩⎨⎧≠+=--.12,1332m m m ∴m ＝4.。

北师大版高中数学选修数系的扩充与复数的引入学案

《数系的扩充与复数的引入》一、一周知识概述复数的概念是整个复数内容的基础．复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的．虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的充要条件，以及虚数、纯虚数等概念的理解，都应促进对复数实质的理解，即复数实际上是一有序实数对．类比实数可以用数轴上的点表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的几何表示．用复平面内的点或平面向量表示复数，不仅使抽象的复数有了直观形象的表示，而且也使数和形得到了有机的结合．复数代数形式的四则运算，即复数代数形式的加法、减法、乘法和除法，重点是加法和乘法．复数加法和乘法的法则是规定的，其合理性表现在这种规定与实数加法、乘法的法则是一致的．二、重难点知识归纳1、虚数单位i由于解方程的需要，人们引进了一个新数i，叫做虚数单位．并且规定：(1)它的平方等于－1，即i2=－1．(2)实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加、乘运算律，仍然成立．2、复数形如a＋bi(a，b R)的数叫作复数，其中a，b分别叫作复数a＋bi的实部、虚部，复数常用字母z表示．全体复数组成的集合叫作复数集，一般用字母C表示．注意：(1)实数集R和虚数集都是复数集C的真子集，且R｛虚数｝＝C，R｛虚数｝=．(2)复数z=a＋bi(a，b R)的虚部是b，而不是bi．3、复数相等的条件如果a，b，c，d R，那么a＋bi=c＋di a=c，b=d;a＋bi=0a=b=0．4、复数的几何意义任何一个复数z=a＋bi与复平面内的一点Z（a，b）对应，复平面内任意一点Z（a，b）又可以与以原点为起点，点Z（a，b）为终点的向量对应．这些对应都是一一对应．向量的模r叫做复数z=a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|．容易看出|z|=|a＋bi|=r=．可以得出如下结论：(1);(2);(3)．5、复数的运算设，(1)加法：(a＋bi)＋(c＋di)=(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：(a＋bi)－(c＋di)=(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：(a＋bi)(c＋di)=(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：．6、共轭复数当两个复数实部相等、虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数，虚部不为0的两个共轭复数也叫作互为共轭虚数，复数z的共轭复数用来表示．共轭复数的有关性质：(1)；(2)|z|=||;(3);(4)，且z为纯虚数；(5)复平面内表示共轭复数的两个点Z与关于实轴对称．三、典型例题剖析例1、求当m为何实数时，复数是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解析：由复数z=a＋bi(a，b R)是实数、虚数和纯虚数的条件，把问题归结为解方程或解不等式的问题．解题过程中应重视分母不为零这一条件的约束．解：(1)当，即m=5时，z是实数．(2)当，即且时，z是虚数．(3)当，即m=3或m=－2时，z是纯虚数．例2、设m∈R，复数，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围.分析：先作加法z1＋z2，因为z1＋z2是虚数，利用虚部不为零解之.解答：，∵ z1＋z2是虚数，∴ m2－2m－15≠0，且m≠－2，∴ m≠5，m≠－3且m≠－2（m∈R）.点评：题中z1＋z2是虚数，须虚部不为零，同时要注意实部、虚部中若含分母，一定要使分母不为零.例3、已知复数z1=m＋(4－m2)i(m∈R)和，若z1=z2，求证：．证明：由复数z1=z2，可得从而有．，∴当时，．当时，，．例4、计算：(1)(－2＋3i)÷(1＋2i);(2)(5－29i)÷(7－3i);(3)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.解析：按照复数的乘法与除法运算法则进行计算．(1)原式.(2)原式．(3)原式=(3＋11i)(3－4i)＋2i=53＋21i＋2i=53＋23i．例5、设复数满足||z＋4－3i|－2|=2－|z＋4－3i|，求|z|的最大值和最小值.分析：仔细观察、分析等式||z＋4－3i|－2|=2－|z＋4－3i|实质是一个实数等式，由其特点，根据实数的性质知，若|a|=－a，则a≤0，因此已知等式可化为|z＋4－3i|－2≤0.解答：由已知等式得|z＋4－3i|－2≤0.即|z－(－4＋3i)|≤2，它表示的是以点P(－4，3)为圆心，半径R=2的圆面，如图可知|z|=|OQ|时，|z|有最大值|OP|＋R=5＋2=7，|z|=|OM|时，|z|有最小值|OP|－R=5－2=3.点评：求复数的模的最值常常根据其几何意义，利用图形直观来解.。

高中数学北师大版选修1-2+1.2复数的有关概念+教案

精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

北师大版高中数学选修(1-2)-4.2《数系的扩充与复数的引入》复习参考教案

数系的扩充与复数的引入
一、教学目标：
1、了解数的概念发展和数系扩充的过程，了解引进虚数单位i的必要性和作用，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；
2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；
3、理解并掌握复数的代数形式四则运算法则与规律
二、教学重难点：
复数的基本概念以及复数相等的充要条件；复数的代数形式四则运算法则与规律。

三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、基础梳理
1、复数的概念及其表示形式：
通常复数z的实部记作Rez；复数z的虚部记作Imz.
两个重要命题：
（2）复数的几何形式：复数集与平面上的点集之间能建立一一对应关系，
这是解决复数问题时进行虚实转化的工具：
（）复数的模：设在复平面上对应的点为（），则
=+∈
(,), 5z a bi a b R Z a b
2.、复数的运算：
（1）四则运算法则（可类比多项式的运算）。