高中数学苏教版必修一函数的表示方法(一)
苏教版高中数学必修1《函数的表示方法》教学课件1
则 f(2) ＝
________. 答案 1 解析 f(2)＝ 2－1＝1.
规律方法 1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所 在的范围，代入相应的解析式求值． 2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段 利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式 的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解 析式再求解．
跟踪演练 3
已 知 函 数 f(x) ＝ x＋1 1，x<1， x－1，x>1，
标为(－1,0)， (3,0) ．
[预习导引] 1．函数的表示法
2．若函数在定义域中，在定义域内不同部分上，有不同的 解析表达式 ，这样的函数叫做分段函数，分段函数是由 几个部分构成的，但它表示的是一个函数．
要点一 待定系数法求函数解析式 例 1 (1)已知反比例函数 f(x)满足 f(3)＝－6，求 f(x)的解析式；
要点二 换元法(或配凑法)求函数解析式 例 2 求下列函数的解析式：
(1)已知 f 1＋x x＝1＋x2x2＋1x，求 f(x)； (2)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)．
解 (1)法一 (换元法)令 t＝1＋x x＝1x＋1，有 x＝t－1 1.
则 t≠1.把 x＝t－1 1代入 f1＋x x＝1＋x2x2＋1x，得
(2)一次函数 y＝f(x)，f(1)＝1，f(－1)＝－3，求 f(3)． 解 (1)设反比例函数 f(x)＝xk(k≠0)，则 f(3)＝3k＝－6，解得 k＝－18，故 f(x)＝－1x8.
(2)设一次函数 f(x)＝ax＋b(a≠0)，∵f(1)＝1，f(－1)＝－3， ∴a－＋ab＋＝b1＝，－3， 解得ab＝ ＝2－，1， ∴f(x)＝2x－1. ∴f(3)＝2×3－1＝5.
苏教版必修1函数的表示法
即
y
7
7, 2.4 (x
3),
0
x
x
3
3
7, 0 x 3 y 2.4x 0.2, x 3
以上例题中函数具有共同特点：
在定义域内不同部分上，有不同 的解析式。像这样的函数通常叫 做分段函数
（注：分段函数是一个函数，而 不是几个函数。）
思考交流
• 以下叙述正确的有（ C）
(1)分段函数的定义域是各段定义域的并集。值域是各 段值域的并集。
(2)分段函数在定义域的不同部分有不同的对应法则， 但它是一个函数。
（3）若D1、D2分别是分段函数的两个不同对应法则的值 域，则D1∩ D2 ≠φ也能成立。
A 1个 D 0个
B 2个
C 3个
思考交流
2. 设A=[0,2], B=[1,2], 在下列各图
中, 能表示f:A→B的函数是( D ).
y
y
2
A
2
B
0
2
y
x
2
C
0
2x
0y 2
x
2
D
0
x
2
思考交流
x+2, (x≤－1)
3. 已知函数f (x)= x2, (－1＜x＜2)
2x, ( x≥2 )
若f(x)=3, 则x的值是( D )
A. 1
B.
1或
3 2
C. 1,
3,
3 2
D. 3
2一物体从静止开始下落,下落的距离ym与 下落时间xs之间近似地满足关系y 4.9x2.若
一物体下落2s, 你能求出它下落的距离吗?
高中数学 苏教版必修一 函数的表示方法(一)
填一填 研一研 练一练
练一练•当堂检测、目标达成落实处
3．已知 f(x)是一次函数，且 f[f(x)]＝4x－1，求 f(x)的解析式．
解 设 f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则 f[f(x)]＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b
＝k2x＋kb＋b＝4x－1，
本 课 时 栏
缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值．
填一填 研一研 练一练
研一研•问题探究、课堂更高效
例 1 购买某种饮料 x 听，所需钱数为 y 元．若每听 2 元，试分
别用解析法、列表法、图象法将 y 表示成 x(x∈{1,2,3,4})的函
数，并指出该函数的值域．
解 (1)解析法：y＝2x，x∈{1,2,3,4}．
栏 目
②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，③双根式：f(x)＝a(x－x1)(x－
开 关
x2)(a≠0)．
填一填 研一研 练一练
研一研•问题探究、课堂更高效
跟踪训练 3 已知 f(x)是二次函数，若 f(0)＝0，且 f(x＋1)＝f(x)＋x＋
1，求函数 f(x)的解析式．
解 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由 f(0)＝0 知 c＝0.
目 所以 b＝－1，所以解析式为 f(x)＝(x－1)2－1.
开
关
填一填 研一研 练一练
练一练•当堂检测、目标达成落实处
2．已知 f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则 g(x)＝____2_x_－__1______.
解析 由已知得：g(x＋2)＝2x＋3，令 t＝x＋2，则 x＝t－2，代 入 g(x＋2)＝2x＋3，则有 g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1. 所以 g(x)＝2x－1.
函数的表示方法课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
数值，而且有时误差较大
高中数学
必修第一册
配套江苏版教材
示例 下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年六次数学测试的成绩及班级平均分表.
测试序号
姓名
1
2
3
4
5
6
小伟
98
87
91
92
88
95
小城
90
76
88
75
86
80
小磊
68
65
73
72
75
82
班级平均分
88.2
78.3
85.4
高中数学
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例6 某镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色镇”.经调
研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：
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3.分段函数的图象
分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次
画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点.
示例 已知函数f（x）＝1+
−
（-2<x≤2）.
2
（1）用分段函数的形式表示f（x）；（2）画出f（x）的图象；（3）写出函数f（x）的值域.
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+ 1 2 , ≤ −1,
例5 已知函数f（x）＝ 2 + 2, −1 < < 1, 若f（a）>1，则实数a的取值范围是（
C ）
1
, ≥ 1,
1
高一数学苏教版必修1教学案：第2章5函数的表示方法(1)
江苏省泰兴中学高一数学教学案(15)必修1_02 函数 函数的表示方法（1）班级 姓名目标要求1． 了解函数的三种表示法，以及三种表示法的内在联系；2． 根据具体问题的特点，选用恰当的方法表示函数关系．重点难点重点：函数的表示法；难点：解析法与图象法的联系与转化．课前预习1、回顾初中学过的函数及其表示方法2、函数表示方法列表法：用 来表示两个变量之间函数关系的方法。
解析法：用 来表示两个变量之间函数关系的方法。
图像法：用 来表示两个变量之间函数关系的方法。
3、分段函数在定义域内不同部分上，有不同的 ，像这样的函数通常叫做分段函数。
课堂互动例1 购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元，若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y 表示成x ({1,2,3,4})x 的函数，并指出该函数的值域．例2 某市出租汽车收费标准如下：在km 3以内（含km 3）路程按起步价7元收费，超过km 3以外的路程按2.4元km /收费，试写出收费额关于路程的函数的解析式．回顾小结：分段函数（1） 概念：（2） 理解：例3 （1）已知⎩⎨⎧<-≥=-=)0.(1)0.()(,12)(2x x x x g x x f ，求[][])(,)(x f g x g f ．例4 如图AOB ∆是边长为2的正三角形，这个三角形在直线t x =左侧部分的面积为y,求函数)(t f y =的解析式，并画出)(t f y =的图象.例5 作出函数)1(|2|-+=x x y 的图象，并求函数的定义域与值域．课堂练习１、下列各个图形中，表示函数关系()y f x =的图象的有（１）（２） （３）（４）2、设(),f x π=则2()f x =____________3、1 n mile （海里） 约合1852m ，根据这一关系，写出米数y 关于海里数x 的函数解析式．4、用长为30 cm 的铁丝围成矩形，试将矩形面积Ｓ（cm 2）表示成矩形一边长x （cm ）的函数，并画出函数的图象．5、在学校的洗衣店中，每洗一次衣服（4.5千克以内）需要付费4元，如果在这家洗衣店洗衣10次，则其后可以免费洗一次(1)根据题意填写下表：(2)问：＂费用c是次数n的函数＂还是＂次数n是费用c的函数＂？(3)写出当n 15时函数的解析式．学习反思1、函数关系的表示方法主要有．2、函数的解析式从＂数＂的层面表示了函数关系；而函数的图象从＂形＂的层面表示了函数关系，它们各有特点，要善于＂取长补短＂；3、分段函数在不同的定义域内各有不同的对应关系，因而分段函数的处理常需要分类讨论，再整合出相应的结论．江苏省泰兴中学高一数学作业(15)班级 姓名 得分1、函数()y f x =的图象与直线()x a a R =∈的交点个数是 （ ）A ．至少一个B ．至多一个C ．有且仅有一个D ．一个或两个以上2、物体从静止开始下落，下落的距离与下落时间的平方成正比。
2019年苏教版高中数学必修一 2.1.2函数的表示方法(1)教案
2.1.2 函数的表示方法（1）教学目标：1．进一步理解函数的概念，了解函数表示的多样性，能熟练掌握函数的三种不同的表示方法；2．在理解掌握函数的三种表示方法基础上，了解函数不同表示法的优缺点，针对具体问题能合理地选择表示方法；3．通过教学，培养学生重要的数学思想方法——分类思想方法．教学重点：函数的表示． 教学难点：针对具体问题合理选择表示方法．教学过程：一、问题情境 1． 情境．下表的对应关系能否表示一个函数：2．问题．如何表示一个函数呢？ 二、学生活动1．阅读课本掌握函数的三种常用表示方法； 2．比较三种表示法之间的优缺点． 3．完成练习 三、数学建构 1．函数的表示方法： 2．三种不同方法的优缺点： 列表法—用列表来表示两个变量之间函数关系的方法 解析法—用等式来表示两个变量之间函数关系的方法 图象法—用图象来表示两个变量之间函数关系的方法3．三种不同方法的相互转化：能用解析式表示的，一般都能列出符合条件的表、画出符合条件的图，反之亦然；列表法也能通过图形来表示．四、数学运用（一）例题例1 购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数，并指出该函数的值域．跟踪练习：某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，则销售量就减少10个．（1）列表：（2）图象：（3）解析式：将条件变换成：“某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售，每天可卖出110个”例2 如图，是一个二次函数的图象的一部分，试根据图象中的有关数据，求出函数f(x)的解析式及其定义域．（二）练习：1．1 nmile(海里)约为1854m，根据这一关系，写出米数y关于海里数x的函数解析式．2．用长为30cm的铁丝围成矩形，试将矩形的面积S(cm2)表示为矩形一边长x(cm)的函数，并画出函数的图象．3．已知f(x)是一次函数，且图象经过(1，0)和(－2，3)两点，求f(x)的解析式．4．已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x－4，求f(x)的解析式．五、回顾小结1．函数表示的多样性；2．函数不同表示方法之间的联系性；3．待定系数法求函数的解析式．六、作业课堂作业：课本35页习题1，4，5．。
高中数学苏教版必修一《2.1.2函数的表示方法》课件
点评：求函数解析式常见的题型有： (1)解析式类型已知的，如本例第(1)题．一般用待定系数法，对 于二次函数问题要注意一般式 y＝ax2＋bx＋c，顶点式 y＝a(x－h)2 ＋k 和标根式 y＝a(x－x1)(x－x2)的选择． (2)已知 f[g(x)]求 f(x)型问题．方法一是用配凑法；方法二是用换 元法，如本例第(2)、(3)题． (3)函数方程问题，需建立关于 f(x)的方程组，如本例第(4)题．若 函数方程中同时出现 f(x)、f1x，则一般 x 用1x代之，构造另一方程． 特别要指出的是，求函数解析式均应严格考虑函数的定义域．
范围是______{_a_|a__≥_0_或__a_＜___－__1_}______．
6．已知函数
f(x )＝
x＋1，x≤1， －x＋3，x＞1，
则等于( B
)
A.1
B.3
2
2
C.5
D.9
2
2
x＋1，x＞0， 7．已知 f(x)＝π，x＝0，
则 f{f[f(－1)]}＝__π__＋__1__.
0，x＜0，
变式 训练
解析：当 x∈(－2.0)时，x＋2∈[0,2)，f(x)＝kf(x ＋2)＝k(x＋2)x；当 x∈[－3，－2)时，x＋2∈[－1,0) ⊆[－2,0)，f(x)＝kf(x＋2)＝k(x＋2)(x＋4)；当 x∈(2,3] 时，x－2∈(0,1]⊆[0,2]，f(x)＝fx－k 2＝x－2kx－4. 综上得 f(x)的表达式为：
例 1 由于学校实行寄宿制，为了方便同学们的日常生 活，设立了洗衣服务处，专为同学们提供洗床单、被罩等大 件衣物的服务，规定洗一次床单、被罩(不超过 2 件)付费 2 元．如果每洗超过 5 次，则给予一次免费洗的机会．
苏教版高中数学必修一第二章学生教案第课时函数的表示方法(1)
第五课时 函数的表示方法（2）1．掌握函数的概念，能正确求出函数的定义域、值域；2．领会题意正确地求出两个变量的函数关系；3．能解决简单的复合函数的解析式和定义域问题．自学评价1．下列函数中，与2(2)y x x =->相同的函数是 （ ） A ．2-=x y B ．2-=x y C ．22--=x x y D ．2)22(--=x x y 2．下列图象中，表示函数关系()y f x =的是 （ ）3．作出函数221,[1,3)y x x x =--∈-的图象。
解：2(1)2,[1,3)y x x =--∈-例1：（1）若设函数()f x =的定义域为 ，(1)f x += ，函数(1)y f x =+的定义域为 。
（2）若函数()y f x =的定义域为[1,3)，则函数(1)y f x =+的定义域为 。
例2：如图实线部分，某电影院的窗户的上部呈半圆形，下部呈矩形。
已知窗户的外框的周长是l ，矩形的水平边的长是x ，求窗户的采光面的面积y 与x 的函数解析式，并指出函数的定义域。
【解】由题意AB x =，»2CDx π=， 22l x xAD π--=，∴2()2222x l x x y x ππ--=⋅+， 即2482ly x x π+=+。
由问题的实际意义可知：AABCD x0202x l x xπ>⎧⎪⎪⎨--⎪>⎪⎩，解得202l x π<<+。
所以，y 与x 的函数解析式是2482ly x x π+=+，函数的定义域是2(0,)2l π+。
例3．若函数27()43kx f x kx kx +=++的定义域为R ，求实数k 的取值范围．追踪训练一1．函数()f x =的定义域为 （ ） ()A [1,1]- ()B (,1][1,)-∞-+∞U ()C [0,1] ()D {1,1}- 2．动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示点P 的行程，y 表示线段PA 的长，求y 关于x 的函数解析式。
苏教版高中数学高一必修1教学案 第14课时 函数的表示方法Ⅰ
一、复习引入1、复习函数的有关概念及性质2、函数的三种表示方法 （1）列表法（2）解析法（3）图象法（4）三种表示方法各自特点3、分段函数二、例题分析例1、设购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元。
若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y 表示成x })4,3,2,1{(∈x 的函数，并指出该函数的值域。
例2、设)(x f 是定义在R 上的函数，且1)32(2-+=-x x x f 。
求)(x f 的解析式。
例3、已知)(x f 是一次函数，且[]14)(-=x x f f ，求)(x f 的解析式。
例4、定义在闭区间[]2,1-上的函数)(x f 的图象如图所示，求此函数的解析式、定义域、值域及1()4f ，1()8f -，))41((f f三、随堂练习1、画出函数3)(+=x x f 的图象。
2、用长cm 30为的铁丝围成矩形，试将矩形面积)(2cm S 表示为矩形一边长)(cm x 的函数，并画出函数的图象。
3、某人去公园玩，先步行、后骑自行车，如果S 表示该人离公园的距离，t 表示出发后的时间，则下列图象中符合此人走法的是 。
（1） （2） （3） （4） 4、设函数x x f 31)(-=，它的值域为{}4,3,1,1,2--，求此函数的定义域。
5、已知一次函数)(x f 满足34))((+=x x f f ，求)(x f 。
四、回顾小结1、重点掌握函数的解析方法；2、会用待定系数法、换元法等求函数的解析式；3、分段函数及其简单应用。
课后作业班级：高一（ ）班 姓名__________一、基础题1、若函数52)(+=x x f ，则)(2x f = 。
2、已知1)(2+=x x f ，则=+)1(x f ，=))((x f f 。
3、若函数⎩⎨⎧-+=xx y 212 )0()0(>≤x x 则)3(-f 的值为 。
4、若函数212x y x ⎧+=⎨⎩)0()0(>≤x x 则使函数值为10的x 的集合为 。
函数的表示法(同步课件)-高一数学同步精品课堂(苏教版2019必修第一册)
=
+ 1,
≥ −1
所以，函数y = |x + 1|的图象如图所示.
练习巩固
变式2：把函数() = ︱ − 2︱ + ︱ + 1︱写成分段函数的形式.
解：由绝对值的概念，我们有
2 − 1,
≥2
−1 ≤ < 2
= 3,
−2 + 1,
< −1
即() = 2 − 1( ≥ 1).
练习巩固
练习5： ()是一次函数，且3 ( + 1) − () = 2 + 9，则 =___________.
【答案】： = + 3
变式5-1：已知 ()是一次函数，且满足( ()) = 4 + 8，则 =___________.
A. 1
B. 2
C. 4
D. 5123 Nhomakorabea4
5
y
4
5
3
2
1
【答案】：
)
练习巩固
3x + 5，x ≤ 0，
变式2-3：已知函数f(x)的解析式为f(x) = x + 5，0 < x ≤ 1，
−2x + 8，x > 1.
3
2
(1)求f( )，f(−1)的值；
解：
3
(1)f( )
2
= −2 ×
3
+
2
(2)画出这个函数的图象.
赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成绩变化的图象呈上升趋势，
表明他的数学成绩在稳步提高.
练习巩固
变式7：依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照 《中华人民共和
函数的表示方法课件-高一上学期数学苏教版
【图像】
跟踪练习
3. 下列各图中，哪些可能是函数的图像？哪些一定不是函数的图像？
√
×
√
√
跟踪练习
4.已知二次函数的图像过点（-1，4），（0，1），（1，2），求 这个二次函数的解析式. 【解】
课堂小结
1. 函数的三种表示方法：
解析法 列表法 图像法
2. 分段函数: 在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式.
第五章
§5.2 函数的表示方法
复习提问
1、上节课所学的函数的概念是什么？
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合A中的
任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数 f (x)和它对应，那么就称f： A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：
y f (x), x A
2、函数的三要素是什么？
函数的值域是 {2,4,6,8}.
典例精析
例2 画出函数 f(x) =|x| 的图像，并求 f(-3) , f (3) , f (-1) , f(1) 的值.
【解】因为f(x) =|x| = - x , x＜0， x，x 0,
所以函数 f(x)的图像为过原点且平分第一象限、第二象限的一条折线，如图所示，其中
【解】 定义域：，1，2，3}
值 域：，，，2.75}
跟踪练习
2.设x为任意一个实数，y是不超过x的最大整数，判断这种对应关系 是否是整数.如果是，作出函数图像；如果不是，说明理由. 根据题意填写表格：
x 6.89
5
π
-1.5
-2
y6
5
3
-1
-2
跟踪练习
【解】
根据函数的定义 任意x的值都有唯一的y值与之对应 因此这种对应关系是函数 这种函数称作取整函数
高一数学(苏教版必修第一册)5.2函数的表示方法(课件)
1
x 0
A．
2x 1
2
B ． 1 x 0
x
）
1 x
x 1
C．
1 x
【答案】B
【解析】令 t
1
2
1
f
t
1 t 0 ，
x
t
0
，则
且
，所以，
x
t
t
2
f
x
因此， x 1 x 0 .故选：B.
2x
x 1
知识回顾
二：函数解析式的四种求法
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等）
，可用待定系数法．
（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；
（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
2、换元法：主要用于解决已知 f g x 的解析式，求函数 f x 的解析式的问题
（1）先令 g x t ，注意分析 t 的取值范围；
（2）反解出 x，即用含 t 的代数式表示 x；
（3）将 f g x 中的 x 度替换为 t 的表示，可求得 f t 的解析式，从而求得 f x 。
3、配凑法：由已知条件 f g x F x ，可将 F x 改写成关于 g x 的表达式，
a b 2c 5
c 1
所以 f 1 2 1 1 2 ，所以 f
故选：B.
x 2 x2 x 1 ，
f 1 f 2 2 4 2 1 7 ，
第5章-5.2-函数的表示方法高中数学必修第一册苏教版
（直接法）当2 − 2 ≥ ，即−2 ≤ ≤ 1时， = ，此时
max = 1．
− 2 < ，即
> 1或 < −2时， = 2 − 2 ，此时 < 1．
综上可知 的最大值为1．
（数形结合法） 在同一平面直角坐标系中分别画出函数
= 2 − 2 和函数 = 的图象，由题意知函数 的图象为图D
2
+ 2 − 1 = 2 − 1 ≥ 1 ，
所以 = 2 − 1 ≥ 1 .
（配凑法） + 2 =
1+ =
+1
2
2
+2 +1−1=
− 1.
又1 + ≥ 1，所以 = 2 − 1 ≥ 1 .
+1
2
− 1，所以
【学会了吗丨变式题】
1.(2024·福建省福州市期中)已知函数 = 1 − 2，
当 > 0时，− + 2 ≥ 2 ，解得0 < ≤ 1．
综上可得，不等式 ≥ 2 的解集为{| − 1 ≤ ≤ 1}．
D.{| − 1 ≤ ≤ 2}
题型3 函数图象的应用
例12 (2024·四川大学附属中学期中)函数 =
A.
B.
【解析】
易得函数 =
+ 的大致图象是( C
∵ 点 1,1 在抛物线上，∴ + 2 = 1,解得 = −1.
∴ 当1 ≤ ≤ 3时，函数的解析式为 = − 2 + 4 − 2(1 ≤ ≤ 3).
− + 2, < 1,
综上， = ቐ− 2 + 4 − 2,1 ≤ ≤ 3,
【高中教育】高中数学 苏教版必修一 函数的表示方法(一).doc
2.1.2 函数的表示方法(一)一、基础过关1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为________．2．一水池有2个进水口，1个出水口，进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是________．3．如果f (1x )＝x 1－x，则当x ≠0时，f (x )的表达式为________________． 4．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为________________．5．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f {f [f (2)]}＝________.6．f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式．7．根据已知条件，求函数表达式．(1)已知f (x )＝x 2－4x ＋3，求f (x ＋1)；(2)已知f (x )＝3x 2＋1，g (x )＝2x －1，求f [g (x )]和g [f (x )]．二、能力提升8．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为________________． 9．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为________．①y ＝[x 10] ②y ＝[x ＋310] ③y ＝[x ＋410]④y ＝[x ＋510]10．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________________________．11．有一种螃蟹，从海上捕获不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1 000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克30元．据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元．(1)设x 天后每千克活蟹的市场价为P 元，写出P 关于x 的函数关系式；(2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1 000 kg 蟹的销售总额为Q 元，写出Q 关于x 的函数关系式．三、探究与拓展12．设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．答案1．y ＝50x (x >0)2．13．f (x )＝1x －1 4．y ＝20－2x (5<x <10)5．26．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∴f (x ＋2)＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋c ，则f (x ＋2)－f (x )＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎨⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2.∴⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝－1.又f (0)＝3，∴c ＝3，∴f (x )＝x 2－x ＋3.7．解 (1)∵f (x )＝x 2－4x ＋3，∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3＝x 2－2x .(2)∵f (x )＝3x 2＋1，g (x )＝2x －1，∴f [g (x )]＝3[g (x )]2＋1＝3(2x －1)2＋1＝12x 2－12x ＋4，∴g [f (x )]＝2[f (x )]－1＝2(3x 2＋1)－1＝6x 2＋1.8．f (x )＝2x 1＋x 2(x ≠－1) 9．②10．f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8 11．解 (1)由题意，知P ＝30＋x .(2)由题意知，活蟹的销售额为(1 000－10x )(30＋x )元．死蟹的销售额为200x 元．∴Q＝(1 000－10x)(30＋x)＋200x＝－10x2＋900x＋30 000.12．解因为对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，所以令y＝x，有f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，即f(0)＝f(x)－x(x＋1)．又f(0)＝1，∴f(x)＝x(x＋1)＋1＝x2＋x＋1.。
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2.1.2 函数的表示方法(一)
一、基础过关
1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为________．
2．一水池有2个进水口，1个出水口，进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是________．
3．如果f (1x )＝x 1－x
，则当x ≠0时，f (x )的表达式为________________． 4．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为________________．
5．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f {f [f (2)]}＝________.
6．f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式．
7．根据已知条件，求函数表达式．
(1)已知f (x )＝x 2－4x ＋3，求f (x ＋1)；
(2)已知f (x )＝3x 2＋1，g (x )＝2x －1，求f [g (x )]和g [f (x )]．
二、能力提升
8．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2
，则f (x )的解析式为________________． 9．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·
时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为________．
①y ＝[x 10] ②y ＝[x ＋310] ③y ＝[x ＋410
] ④y ＝[x ＋510
] 10．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________________________．
11．有一种螃蟹，从海上捕获不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1 000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克30元．据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400
元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元．
(1)设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；
(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1 000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式．
三、探究与拓展
12．设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y ＋1)，求f(x)的解析式．
答案
1．y ＝50x
(x >0) 2．1
3．f (x )＝1x －1
4．y ＝20－2x (5<x <10)
5．2
6．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，
∴f (x ＋2)＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋c ，
则f (x ＋2)－f (x )＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝－1. 又f (0)＝3，∴
c ＝3，
∴f (x )＝x 2－x ＋3.
7．解 (1)∵f (x )＝x 2－4x ＋3，
∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3＝x 2－2x .
(2)∵f (x )＝3x 2＋1，g (x )＝2x －1，
∴f [g (x )]＝3[g (x )]2＋1＝3(2x －1)2＋1＝12x 2－12x ＋4，
∴g [f (x )]＝2[f (x )]－1＝2(3x 2＋1)－1＝6x 2＋1.
8．f (x )＝2x 1＋x 2
(x ≠－1) 9．②
10．f (x )＝2x ＋83
或f (x )＝－2x －8 11．解 (1)由题意，知P ＝30＋x .
(2)由题意知，活蟹的销售额为(1 000－10x )(30＋x )元．死蟹的销售额为200x 元． ∴Q ＝(1 000－10x )(30＋x )＋200x
＝－10x 2＋900x ＋30 000.
12．解 因为对任意实数x ，y ，
有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，
所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，
即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1，
∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.。