高中数学苏教版必修一函数的表示方法(一)

2.1.2 函数的表示方法(一)

一、基础过关

1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为________．

2．一水池有2个进水口，1个出水口，进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)

给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是________．

3．如果f (1x )＝x 1－x

，则当x ≠0时，f (x )的表达式为________________． 4．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为________________．

5．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f {f [f (2)]}＝________.

6．f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式．

7．根据已知条件，求函数表达式．

(1)已知f (x )＝x 2－4x ＋3，求f (x ＋1)；

(2)已知f (x )＝3x 2＋1，g (x )＝2x －1，求f [g (x )]和g [f (x )]．

二、能力提升

8．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2

，则f (x )的解析式为________________． 9．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·

时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为________．

①y ＝[x 10] ②y ＝[x ＋310] ③y ＝[x ＋410

] ④y ＝[x ＋510

] 10．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________________________．

11．有一种螃蟹，从海上捕获不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1 000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克30元．据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400

元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元．

(1)设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；

(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1 000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式．

三、探究与拓展

12．设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y ＋1)，求f(x)的解析式．

答案

1．y ＝50x

(x >0) 2．1

3．f (x )＝1x －1

4．y ＝20－2x (5

5．2

6．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，

∴f (x ＋2)＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋c ，

则f (x ＋2)－f (x )＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.

∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝1，

b ＝－1. 又f (0)＝3，∴

c ＝3，

∴f (x )＝x 2－x ＋3.

7．解 (1)∵f (x )＝x 2－4x ＋3，

∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3＝x 2－2x .

(2)∵f (x )＝3x 2＋1，g (x )＝2x －1，

∴f [g (x )]＝3[g (x )]2＋1＝3(2x －1)2＋1＝12x 2－12x ＋4，

∴g [f (x )]＝2[f (x )]－1＝2(3x 2＋1)－1＝6x 2＋1.

8．f (x )＝2x 1＋x 2

(x ≠－1) 9．②

10．f (x )＝2x ＋83

或f (x )＝－2x －8 11．解 (1)由题意，知P ＝30＋x .

(2)由题意知，活蟹的销售额为(1 000－10x )(30＋x )元．死蟹的销售额为200x 元． ∴Q ＝(1 000－10x )(30＋x )＋200x

＝－10x 2＋900x ＋30 000.

12．解 因为对任意实数x ，y ，

有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，

所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，

即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1，

∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.