《经济数学》第6章 行列式矩阵与线性方程组
经济应用数学课件6.1 行列式
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
a nn
称为 n 阶行列式，简称行列式．
9
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铃
经济应用数学
当n=1时，规定 D a11 a11
定理6．1 n 阶行列式 D 的值等于行列式的任意 一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之 和，即
n
Dai1A i1ai2A i2 ainA in aijA ij j1 n
0 5 5 1 ( 5 5 ) 0 3 5 1 ( 1 5 )
70
13
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二、行列式的性质
经济应用数学
定义6．2 将行列式 D 的行与列互换后得到的新的行列式，
称为行列式 D 的转置行列式记为 D T
即若
a11 a12 D a21 a22
a1n
a11 a21
Da11a22a12a21aa1211
a12 a22
D2
a11b2
b1a21
a11 a21
b1 b2
D1 b1a22
a12b2
b1 b2
a12 a22
6
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经济应用数学
所以当 D 0 时 二元一次方程组（6．１）的解可表示
x1
D1 D
,
x2
D2 D
.
类似地 由3×3个元素组成的式子
称行列式中划去元素 a ij 所在的第 i行、第 j列后
剩下的元素按原来的相对位置不变构成的
低一阶的行列式为元素 a ij 的余子式 ，记为 M ij 令 Aij (1)ijMij 称 A ij 为元素 a ij 的代数余子式．
高中数学知识点总结线性方程组与矩阵运算
高中数学知识点总结线性方程组与矩阵运算高中数学知识点总结：线性方程组与矩阵运算在高中数学学习中，线性方程组与矩阵运算是一个重要的章节。
本文将对这两个知识点进行详细总结，以帮助同学们更好地理解和掌握相关概念与方法。
一、线性方程组1. 定义与基本形式线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组。
一般形式为：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b其中，a₁、a₂、...、aₙ称为系数，x₁、x₂、...、xₙ称为未知数，b为常数。
2. 解的存在与唯一性对于线性方程组来说，存在三种解的情况：（1）无解：若线性方程组的系数矩阵的秩r小于增广矩阵的秩s，则线性方程组无解。
（2）有唯一解：若线性方程组的系数矩阵的秩r等于增广矩阵的秩s，并且r=未知数的个数n，则线性方程组有唯一解。
（3）有无穷多解：若线性方程组的系数矩阵的秩r等于增广矩阵的秩s，但r<n，则线性方程组有无穷多解。
3. 解的求解方法（1）代入法：将一个方程的解代入到其他方程中，逐步求解出未知数。
（2）消元法：通过行变换等操作，将线性方程组转化为简化行阶梯形矩阵，从而求解出未知数。
二、矩阵运算1. 矩阵的定义与基本性质矩阵是一个按照行和列排列起来的数的矩形阵列。
常用的表示方法为：A=(aij)ₙₓₙ其中，A表示矩阵，aij表示矩阵中第i行、第j列的元素，ₙ表示矩阵的行数，ₙ表示矩阵的列数。
矩阵的基本性质包括加法、数乘、乘法等。
其中，加法满足交换律和结合律，数乘和乘法满足分配律。
2. 矩阵的基本运算（1）矩阵的加法与减法：两个矩阵进行加法或减法时，需要行列相同，将对应位置的元素进行相加或相减。
（2）矩阵的数乘：一个矩阵与一个数相乘时，将矩阵中的每个元素与该数相乘。
（3）矩阵的乘法：两个矩阵Aₙₓₙ和Bₙₓₙ相乘的结果为一个矩阵Cₙₓₙ。
Cₙₓₙ的第i行第j列的元素cij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
3. 矩阵的转置与逆矩阵（1）矩阵的转置：将矩阵的行与列进行互换得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
线性方程组与矩阵
线性方程组与矩阵线性方程组和矩阵是线性代数中重要的概念和工具，在数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将介绍线性方程组和矩阵的基本定义、解法和应用。
一、线性方程组线性方程组是由一组线性方程构成的方程组，其中每个方程都是由未知数的线性项和常数项构成。
一般地，一个包含n个未知数的线性方程组可以表示为：a11*x1 + a12*x2 + a13*x3 + ... + a1n*xn = b1a21*x1 + a22*x2 + a23*x3 + ... + a2n*xn = b2a31*x1 + a32*x2 + a33*x3 + ... + a3n*xn = b3...an1*x1 + an2*x2 + an3*x3 + ... + ann*xn = bn其中，a11, a12, ..., ann是系数矩阵的元素，x1, x2, ..., xn是未知数，b1, b2, ..., bn是常数项。
这个方程组可以用矩阵和向量的形式更简洁地表示为Ax=b，其中A是系数矩阵，x和b分别是未知数和常数项的向量。
二、矩阵矩阵是线性代数中的基本工具，是由m行n列的数按一定规律排列的数表。
一个常见的表示形式是使用方括号将元素括起来，并按行或列排列。
例如：A = [a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33]其中, A是一个3行3列的矩阵，a11、a12等是矩阵的元素。
矩阵可以进行加法、乘法和数乘等运算，符合相应的运算规则和性质。
矩阵的乘法特别有用，可以用于表示线性方程组的系数矩阵与未知数向量之间的关系。
三、线性方程组的解法解线性方程组的方法有很多，包括高斯消元法、LU分解法、矩阵逆法等。
其中高斯消元法是最常用的解法，可以将线性方程组化为一个等价的三角形式方程组，从而求得解。
高斯消元法的基本步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，即将系数矩阵A和常数项向量b合并为一个矩阵[B]。
2. 利用初等行变换将系数矩阵化为上三角矩阵。
高中数学之七《行列式和线性方程组》
些二项式各取一项作成相应行（或列）而余行（或列）不变的两个行列式的和。
定理 6 把行列式的某一行（或列）的所有元素同乘以一个数 k ，加到另一行（或另一
列）的对应元素上，所得行列式与原行列式相等。 （四）按一行（或一列）展开三阶行列式
把行列式中某一元素所在的行与列划去后，剩下的元素按原行列顺序排列所组成的行列 式，叫做原行列式中对应于这个元素的余子式。
的乘积的和等于零。
（五）三元线性方程组
一个三元线性方程组，当其中方程的个数与未知数的个数相同时，它的一般形式是
aa12xx
b1 y c1z d1 b2 y c2 z d
2
a3 x b3 y c3 z d3
如 果 当 x x1，y y1，z z1 时 ， 方 程 组 的 每 个 方 程 左 右 两 边 的 值 相 等 ， 那 么
如果当 x x1，y y1 时，方程组 I 中的每个方程左右两边的值相等，也就是说
x x1，y y1 适 合 方 程 组 I ， 那 么 x x1，y y1 叫 做 方 程 组 I 的 一 个 解 ， 记 为
x y
x1 y1
，或简记为
x1，y1
。方程组
I
的所有的解构成的集合叫做方程组
设行列式中某一元素位于第 i 行第 j 列，把对应于这个元素的余子式乘上 1 i j 后所得
到的式子叫做原行列式中对应于这个元素的代数余子式。
定理 1 行列式等于它的任意一行（或一列）的所有元素与它们各自对应的代数余子式
的乘积的和。
定理 2 行列式某一行（或一列）的各元素与另一行（或一列）对应元素的代数余子式
a1 b1 ， 6
a2 b2
并且规定它就表示
经济数学线性代数教学大纲
《经济数学—线性代数》教学大纲适用专业：经济类本科各专业学时：48 学分: 3一、内容简介本课程主要介绍行列式、矩阵和线性方程组，包括行列式的性质和求值，矩阵的加法、数乘和乘法，矩阵的特征值和特征向量，用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵以及各种线性方程组的解法。
二、课程的目的和任务通过本课程的学习，使学生掌握行列式的求值、矩阵的运算及逆矩阵的求法，矩阵特征值和特征向量的求法以及线性方程组的解法。
能应用所学知识建立投入产出的数学模型，并解决经济生活中的一些定量问题。
三、课程与其它课程的关系本课程是经济类本科各专业的基础理论课之一。
学生必须在学完微积分学后才能进行学习。
学完本课程后，为今后经济类专业课程中的定性定量分析打下扎实的数学基础。
四、课程教学基本要求1、掌握n阶行列式的定义，性质和计算方法2、熟练掌握矩阵的各类运算，并以初等（行）变换为主线，会求逆矩阵、特征值和特征向量3、掌握用初等行变换求解线性方程组4、会判断向量组的线性相关性，会求向量组的秩及线性关系5、五、课程内容第一章行列式１．理解二阶、三阶行列式的的概念，并在此基础上掌握n阶行列式的定义２．熟悉行列式的各种性质，知道其导出的证明思路３．知道行列式的展开定理的证明，熟练掌握行列式的性质和展开定理，并用来计算行列式的值４．掌握克耒姆法则，并会解系数行列式不为零的线性方程组第二章矩阵1.掌握矩阵的概念和背景2.掌握矩阵的加法，数乘法。
熟练掌握矩阵乘法的条件和公式。
理解矩阵的乘法与数的乘法的不同处3.知道一些常用的特殊矩阵4.会将大矩阵分块，并进行分块矩阵的加法和乘法5.掌握逆矩阵的定义，并通过伴随矩阵来求逆矩阵6.掌握矩阵的行与列的三种初等变换。
会应用初等行变换来求逆矩阵和解简单的线性方程组。
7.理解矩阵秩的概念，知道矩阵的标准型，并应用初等变换求矩阵的秩第三章线性方程组1. 复习并深入了解线性方程组的消元解法2.了解n维向量空间的概念3.了解向量组的线性相关性的概念，会用初等变换求向量组的线性关系或线性相关性。
线性方程组与矩阵知识点
线性方程组与矩阵知识点线性方程组和矩阵是线性代数中的重要概念和工具，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍线性方程组和矩阵的基本概念、性质以及解题方法。
一、线性方程组1. 定义线性方程组由多个线性方程组成，形式为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ和b₁, b₂, ..., bₙ是已知的常数，x₁, x₂, ..., xₙ是未知数。
这个方程组可以用矩阵形式表示为AX = B，其中A是一个m×n的矩阵，X是一个n×1的列向量，B是一个m×1的列向量。
2. 系数矩阵和增广矩阵在线性方程组中，常常用系数矩阵和增广矩阵来表示。
系数矩阵A是由线性方程组中各个方程的系数组成的矩阵，形式为：A = [a₁₁ a₁₂ ... a₁ₙa₂₁ a₂₂ ... a₂ₙ...aₙ₁ aₙ₂ ... aₙₙ]增广矩阵是在系数矩阵的右边增加一列，该列是线性方程组的等号右边，形式为：[A | B] = [a₁₁ a₁₂ ... a₁ₙ | b₁a₂₁ a₂₂ ... a₂ₙ | b₂...aₙ₁ aₙ₂ ... aₙₙ | bₙ]3. 解的存在性与唯一性解的存在性与唯一性是研究线性方程组时需要关注的重要问题。
对于一个线性方程组，它的解有以下几种可能：a) 无解：线性方程组不满足任何条件，无法找到一个符合所有方程的解；b) 唯一解：线性方程组满足一定条件，存在且只存在一个符合所有方程的解；c) 无穷解：线性方程组满足一定条件，存在不止一个符合所有方程的解。
解的存在性与唯一性可以通过高斯消元法、矩阵的秩以及行列式等方法来判断与求解。
二、矩阵1. 定义和基本运算矩阵是按照矩形排列的数的集合，是线性方程组理论的基础，也是线性代数的重要工具。
《经济数学基础》课件第6章
下面举例说明这两种方法在解题中的使用.
1201
例2 计算四阶行列式 1 3 5 0 .
0156 1234
解 利用行列式的性质，将四阶行列式化为上三角行列式，
再求值.
例3 计算四阶行列式:
解 利用行列式的性质，将此四阶行列式化为上三角行列 式，再求值.
例4 计算五阶行列式:
5 3 1 2 0 1 7 2 52 D 0 2 3 1 0 0 4 1 4 0 0 2 3 50
0 a43 0
a12a24
(1)13
a31 0
0 a43
a12a24a31a43
6.2
6.2.1 由前面的学习，大家发现按照行列式的定义，可以计算
一些特殊的行列式，但对阶数较高的行列式，其计算量很大， 为简化行列式的计算，下面先介绍行列式的性质.
定义6.5 如果把n阶行列式
a11 a12
a1n
a11 0 0 a22
00
0 0
a11a22 ann
ann
a11 0 a21 a22
an1 an2
0 0
a11a22 ann
ann
5 7 1 2
例5 写出四阶行列式
0 2
3 1
5 2
6 4
的元素a23的余子式和
代数余子式.
10 7 11 15
解 元素a23的余子式为删除第二行和第三列后，剩下的 元素按原来顺序组成的三阶行列式，而元素a23的代数余子式 为其余子式前面加一个符号因子，所以有
列式的值为零.
例如， 三阶行列式
a1 a2 a3 b1 b2 b3 a1b2a3 a2b3a1 a3b1a2 a1b3a2 a2b1a3 a3b2a1 0 a1 a2 a3
大一经济数学知识点总结归纳
大一经济数学知识点总结归纳经济数学作为经济学专业中必修的一门基础课程，是为了培养学生运用数学工具解决经济问题的能力而设置的。
在大一的学习过程中，我们通过学习经济数学，逐渐掌握了一些基本的数学方法和技巧。
接下来，我将对大一经济数学的知识点进行总结和归纳。
一、微积分基础知识1. 函数及其图像：函数的定义及其性质，包括奇偶性、周期性等。
函数图像的性质和画法。
2. 极限与连续：极限的概念与性质，包括左极限、右极限及无穷大与无穷小的概念。
连续性的定义及其判定方法。
3. 导数与微分：导数的定义与计算方法，包括常用的求导法则、高阶导数、隐函数求导等。
微分的概念及其应用。
4. 积分与不定积分：不定积分的定义与性质，包括常用的积分法则、分部积分法、换元积分法等。
二、线性代数基础知识1. 行列式与矩阵：行列式的定义与计算方法，包括二阶、三阶行列式的求解。
矩阵的定义、性质及其运算法则。
2. 线性方程组：线性方程组的解的判定方法，包括齐次线性方程组与非齐次线性方程组的解法。
3. 向量与向量空间：向量的定义与性质，包括向量的线性组合与线性相关性的判定。
向量空间的定义与性质。
三、概率论与数理统计基础知识1. 随机事件与概率：随机事件的概念与性质，包括条件概率、独立事件、全概率公式和贝叶斯定理。
2. 随机变量与概率分布：随机变量的概念及其分类，包括离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布。
3. 数理统计：样本与总体的概念，样本统计量与总体参数的估计方法，包括点估计与区间估计。
四、最优化理论基础知识1. 函数的极值：函数的极值的定义与判定方法，包括极大值点、极小值点及鞍点的判定。
2. 一元函数的优化：一元函数的最大值与最小值的求解方法，包括一元函数的一阶条件与二阶条件的判定。
3. 多元函数的优化：多元函数的最大值与最小值的求解方法，包括多元函数的一阶条件与二阶条件的判定。
五、微分方程基础知识1. 常微分方程：常微分方程的基本概念与解法，包括一阶常微分方程与二阶常微分方程的求解方法。
课件+经济数学基础+罗国湘+高等教育出版社-第6章 矩阵与线性方程组
0
=
2 × 1 + 3 × (−1) + (−1) × 1 2 × (−1) + 3 × 1 + (−1) × 1
−2
2
;
0
1 × 1 + (−1) × 2 1 × 2 + (−1) × 3 1 × 1 + (−1) × (−1)
−1 −1
= (−1) × 1 + 1 × 2 (−1) × 2 + 1 × 3 (−1) × 1 + 1 × (−1) = 1
1. 矩阵的加法和减法
定义 3 设 =
×
, =
×
, 则矩阵的减法 − 规是为
− = + (−) = −
×
.
例如, 若
=
1
2 −3
−2 2 −1
, =
,
−6 −5 4
−3 1 −5
则
−=
1 − (−2)
(−6) − (−3)
1 × 矩阵
= 1 , 2 , ⋯ ,
称为行矩阵 (也称为 维行向量) ; × 1 矩阵
=
1
2
⋮
称为列矩阵 (也称为 维列向量). 行向量与列向量统称为向量.
第六章 矩阵与线性方程组
6.1 矩阵的概念与运算
二、几类特殊矩阵
5.上(下)三角形矩阵与对角形矩阵
对于 阶方阵,若主对角线一侧所有元素都为零, 则称为三角形矩阵. 三角形矩阵分为上三角形矩阵
1
0 0
0
0
1
第六章 矩阵与线性方程组
经济数学复习第六章线性方程组
1 2
C1
1 2
C2
1 2
,
的一般解
则原方程组的解是
x2
C1,
原方程组有
x3 3C2 3, 无穷多组解
x4 C2.
(完)
ESC
一. 非齐次线性方程组的消元解法
例2
解线性方程组:
解(1)写出方程组的增广矩阵～A ,
并对其施行初等行变换,化为 阶梯形矩阵.
x1 2x2 x3 2x4 2x1 x2 x3 x4 3x1 x2 2x3 x4
例1
～A 1
2 0 0 0
续解
1 0 0 0
(121)继续23将阶23梯 形矩r1阵～Ar1化2 为 02简化10阶梯10 形矩13阵.
1 3
0
0
1 2
r1
0
0
1 0
0
0
1 2
0
01
1 2
3
0 0
0 0
1
2 3
～A 2
00 00
0 0
简化阶梯
形矩阵
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
方程组: 解 写出方程组
的增广矩阵～A ,
并对其施行初等
x1 x2
x1 x2 4x1 2x2
3x4 x5 1, 2x3 x4 x5 3, 6x3 5x4 x5
0, 3, 1.
～A
1 2
2 1
1 1
2 1
0 r2 (2)r1 1 3 r3 (3)r1 0
2 5
1 1
2 5
0 3
3 1 2 1 1
0 5 1 5 1
ESC
一. 非齐次线性方程组的消元解法
大学数学易考知识点线性代数中的矩阵与行列式
大学数学易考知识点线性代数中的矩阵与行列式大学数学易考知识点：线性代数中的矩阵与行列式在大学数学中，线性代数是一门重要的基础课程，其中矩阵与行列式是其核心内容之一。
掌握了矩阵与行列式的基本概念和操作方法，对于理解和应用线性代数具有极大的帮助。
本文将介绍线性代数中矩阵与行列式的相关知识点，帮助理清概念、加深理解，并为后续的学习奠定基础。
一、矩阵的基本概念与运算1. 矩阵的定义矩阵是一个由m行n列的数字按一定顺序排成的一个矩形阵列。
其常用表示形式为：A = [aij]m×n = |a11 a12 .. a1n||a21 a22 .. a2n||... ... .. ... ||am1 am2 .. amn|其中，a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
2. 矩阵的运算（1）矩阵的加法：若A = [aij]m×n，B = [bij]m×n为两个m×n矩阵，则矩阵A与B的和为C = [cij]m×n，其中cij = aij + bij。
（2）矩阵的数乘：若A = [aij]m×n为一个m×n矩阵，k为任意实数，则kA = [kaij]m×n。
（3）矩阵的乘法：若A = [aij]m×p为一个m×p矩阵，B = [bij]p×n为一个p×n矩阵，则矩阵A与B的乘积为C = [cij]m×n，其中cij =∑(k=1→p) aikbkj。
二、行列式的基本概念与性质1. 行列式的定义行列式是一个与矩阵相关的数。
对于一个n阶方阵A = [aij]n×n，其行列式记为|A|或det(A)，定义为：|A| = ∑(s∈Sn) (sgn(s)·a1s(1)·a2s(2)·...·ans(n))其中，Sn为全排列的集合，sgn(s)为排列s的逆序数的(-1)^k次方。
《经济数学》第6章 行列式矩阵与线性方程组
第6章 行列式、矩阵与线性方程组本章教学要求：了解行列式、矩阵的基本概念，并会计算行列式、矩阵的计算题。
在一个函数、方程或不等式中，如果所出现的数学表达式是关于未知数或变量的一次式，那么这个函数、方程或不等式就称为线性函数、线性方程或线性不等式。
在经济管理活动中，许多变量之间存在着或近似存在着线性关系，使得对这种关系的研究显得尤为重要，许多非线性关系也可转化为线性关系。
线性代数是高等数学的又一个重要内容，与微积分有着同样的地位和同等的重要性．行列式、矩阵与线性方程组（即一次方程组）的理论是线性代数的一个基本内容，也是主要内容．线性代数在许多实际问题中有着直接的应用，并为数学的许多分支和其它学科所借鉴．行列式、矩阵与线性方程组在数据计算、信息处理、均衡生产、减少消耗、增加产出等方面有着广泛应用，是我们改善企业生产经管管理、提高经济效益很有用的工具。
在这一章里，我们将介绍行列式和矩阵的一些基础知识，并讨论线性方程组的解法，以及行列式、矩阵与线性方程组的一些相关经济应用。
６．１ n 阶行列式及性质行列式是在讨论线性方程组时建立起来的一个数学概念，是我们解线性方程组的一个有力工具．6.1.1 二阶行列式二元线性方程组的一般形式是)(Ⅰ ⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a ②① 利用消元法求解：1222a ②a ①⨯-⨯，得 122221112212211)(a b a b x a a a a -=-． 2111a ①a ②⨯-⨯，得 121211212212211)(b a b a x a a a a -=-．当012212211≠-a a a a 时，方程组)(Ⅰ的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=122122112111122122122111222211a a a a a b a b x a a a a a b a b x ③． 在二元线性方程组)(Ⅰ的解的表达式③中，1x 、2x 的解的分母都是12212211a a a a -．为了便于记忆和讨论，引入一个新的记号22211211a a a a 来表示12212211a a a a -，即22211211a a a a ＝12212211a a a a - (6-1)在22211211a a a a 中，11a 、12a 、21a 、22a 是方程组)(Ⅰ中1x 、2x 的系数，它们按原来的位置排成一个正方形． 我们称22211211a a a a 为二阶行列式，其中横排称为行，纵排称为列，ij a （2,1=i ；2,1=j ）称为二阶行列式第i 行第j 列的元素．(6-1)式的右端称为二阶行列式的展开式．显然，二阶行列式有二行和二列，共4个元素，记为22个元素，二阶行列式的展开式有两项，记为2!项。
阐述行列式与线性方程组的关系
阐述行列式与线性方程组的关系
行列式与线性方程组是线性代数学习中务必掌握的重要概念。
它们之间有着密不可分的联系，行列式中的每一项都直接关系到线性方程组求解结果的实质，因此在计算机有关应用中都广泛采用，比如解决线性规划问题。
行列式是一维数组，当元素数大于一时，需要乘以一个常数把这些数变成一个多项式，这就是行列式的基本定义。
它定义了线性方程组的解的存在，且行列式的值处于两种特殊的区间，一旦出现这两种特殊值，就可以了解到线性方程组是否可解。
线性方程组表示为Ax=B，A为系数矩阵，x为未知数，B为常数项，而行列式实际上就是系数矩阵的值，通过行列式的值可以确定线性方程组是否有解，也可以计算线性方程组的解。
更容易理解的是，如果行列式（系数矩阵）不可行，那么线性方程组也就不存在解；如果行列式（系数矩阵）可逆，那么线性方程组有唯一解；如果行列式（系数矩阵）可除，那么线性方程组有无穷多解。
总的来说，行列式与线性方程组之间的联系非常紧密，是许多计算机应用中重要的内容，研究行列式及其特性能帮助我们得出线性方程组的解，甚至解决一些线性规划问题，使行列式在计算机科学领域更加重要。
矩阵与行列式线性方程组的求解与矩阵的运算
矩阵与行列式线性方程组的求解与矩阵的运算矩阵和行列式是线性代数中非常重要的概念，它们在数学和工程领域中具有广泛的应用。
本文将讨论矩阵与行列式的基本知识，以及它们在线性方程组求解和矩阵运算中的应用。
一、矩阵和行列式的定义1. 矩阵的定义：矩阵是由数个数按照矩阵形式排列组成的一种数学对象。
矩阵由m行n列的元素组成，通常用大写字母表示矩阵，如A。
矩阵中的每个元素用小写字母表示，如a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
2. 行列式的定义：行列式是一个按特定规则计算出的标量值。
行列式可以理解为一个方阵的属性，它的值可以告诉我们这个方阵的一些重要信息，比如是否可逆、是否为奇偶数等。
二、矩阵运算矩阵的运算包括加法、减法、数乘和乘法四种基本运算。
1. 矩阵加法和减法：若两个矩阵A和B的行数和列数相等，那么可以对应元素进行加法和减法运算，得到的结果矩阵的元素等于对应位置的两个矩阵的元素之和或之差。
2. 数乘：数乘是指将矩阵的每一个元素都乘以一个数。
即若A是一个m行n列的矩阵，k是一个数，那么kA是一个m行n列的矩阵，它的每个元素等于k乘以对应位置上的元素。
3. 矩阵乘法：若矩阵A是一个m行n列的矩阵，矩阵B是一个n 行p列的矩阵，那么矩阵A乘以矩阵B得到的结果是一个m行p列的矩阵，其中新矩阵的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行和矩阵B 的第j列对应元素的乘积之和。
三、线性方程组的求解线性方程组可以用矩阵和行列式的方法进行求解。
对于一个m个方程、n个未知数的线性方程组Ax=b，其中A是一个m行n列的系数矩阵，x是一个n行1列的未知数向量，b是一个m行1列的常数向量。
通过矩阵和行列式的运算，我们可以将线性方程组的求解转化为求解矩阵方程Ax=b。
若矩阵A可逆，即矩阵A的行列式不为0，那么方程组的唯一解为x=A^(-1)b，其中A^(-1)是矩阵A的逆矩阵。
如果矩阵A不可逆，即矩阵A的行列式为0，那么方程组可能有无穷多个解或者无解。
应用高等数学第6章 线性代数
本章将介绍行列式 、矩阵理论以及线性 方程组的求解方法 ． 矩阵和线性方程的理论在最 优化领域中有着广泛的应用 ． 线性代数是一个全 新的数学领域 ， 我们将体会到和看到无论是在思 维方式和方法上都有着和前面微积分学大不相同 的地方 ， 相信大家会很感兴趣 ．
1
第一节
行列式
一 、 n 阶行列式的概念
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当系数行列式不等于零 ， 即
时 ， 方程组有惟一的解
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其中的 Dj （j ＝ １ ， ２ ，… ， n）是把方 程组右边的常数列代替系数行列式 D中的第 j 列得 的 n 阶行列式 ． 当方程组右边的常数 bi （i ＝ １ ， ２ ， … ， n）不全为零时 ， 叫非齐次方程组 ； 当 b１ ＝ b２ ＝ … ＝ bn ＝０ 时 ， 方程组叫齐次方程组 ， 对于齐次方程组有下面的结论
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性质１ 行列式 D的值与它的转置行列式 DT的 值相等 ， 即 D ＝ DT 性质２ 互换行列式的任意两行（列）行列式 的值仅改变符号 ， 即
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性质３ 行列式一行（列）元素的公因子可以 提到行列式符号外面 ． 即
上述等式从左往右是提取公因子 ， 而右往左 就相当于用 k乘行列式 ， 可以乘到行列式内任意 一行（列）上去 ．
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二 、行列式的性质 从以上例题分析我们看出 ， 由于行列式中很 多元素都为零或者说行列式的结构比较特殊才得以 用定义求出了行列式的值 ． 但对于一般的高阶行 列式的计算 ， 单纯用定义的方法在很多时候是不 能解决的 ． 这就有必要进一步研究行列式的性质 ． 在给出性质之前 ， 先定义转置行列式的概念 ．
１ ． 二、三阶行列式 将２２个数 ， 排成的两行 ， 两列的如下的式 子：
矩阵与线性方程组的基本概念与求解方法
矩阵与线性方程组的基本概念与求解方法矩阵与线性方程组是线性代数中的重要概念，它们在数学、物理、计算机科学等众多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍矩阵的基本概念、线性方程组的表示和求解方法，并对其应用进行简要讨论。
一、矩阵的基本概念矩阵是由数个数按照矩形排列而成的矩形数组。
通常用大写字母表示矩阵，例如A、A、A。
一个A×A的矩阵有A行A列。
矩阵中的每个数叫作元素，元素常用小写字母表示，例如A11、A12、A21。
元素 aij 表示矩阵中第A行第A列的元素。
二、线性方程组的表示线性方程组是由多个线性方程联立而成的方程组。
一般形式为：A11A1 + A12A2 + ⋯ + A1AAA = A1A21A1 + A22A2 + ⋯ + A2AAA = A2⋮AA1A1 + AA2A2 + ⋯ + AAAAA = AA其中，A1、A2、⋯、AA是未知数，A1、A2、⋯、AA是已知常数，A11、A12、⋯、AAA是已知系数。
我们可以使用矩阵的形式来表示线性方程组，将未知数和常数分别组成矩阵A和A，并将系数矩阵A表示为：[A11 A12 ⋯A1A ][A21 A22 ⋯A2A ][⋮⋮⋱⋮ ][AA1 AA2 ⋯AAA ]则线性方程组可以表述为AA = A。
三、求解线性方程组的方法1. 列主元消去法列主元消去法是一种利用矩阵的行变换来求解线性方程组的方法。
基本步骤如下：（1）选取系数矩阵的第一行的绝对值最大的元素所在的列，将该列的元素作为主元所在列。
（2）通过行变换，将主元所在列的其他元素变为零。
（3）选取剩余未使用的行中，同样以列主元消去法进行操作，直到得到一个上三角矩阵。
（4）通过回代法求解得到线性方程组的解。
2. 克拉默法则克拉默法则是一种通过行列式的计算来求解线性方程组的方法。
该法则适用于方程个数与未知数个数相等的线性方程组。
基本步骤如下：（1）由系数矩阵的行列式计算出其值。
（2）分别用已知常数替换掉系数矩阵的第A列，并计算出新的系数矩阵的行列式值。
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第6章 行列式、矩阵与线性方程组本章教学要求：了解行列式、矩阵的基本概念，并会计算行列式、矩阵的计算题。
在一个函数、方程或不等式中，如果所出现的数学表达式是关于未知数或变量的一次式，那么这个函数、方程或不等式就称为线性函数、线性方程或线性不等式。
在经济管理活动中，许多变量之间存在着或近似存在着线性关系，使得对这种关系的研究显得尤为重要，许多非线性关系也可转化为线性关系。
线性代数是高等数学的又一个重要内容，与微积分有着同样的地位和同等的重要性．行列式、矩阵与线性方程组（即一次方程组）的理论是线性代数的一个基本内容，也是主要内容．线性代数在许多实际问题中有着直接的应用，并为数学的许多分支和其它学科所借鉴．行列式、矩阵与线性方程组在数据计算、信息处理、均衡生产、减少消耗、增加产出等方面有着广泛应用，是我们改善企业生产经管管理、提高经济效益很有用的工具。
在这一章里，我们将介绍行列式和矩阵的一些基础知识，并讨论线性方程组的解法，以及行列式、矩阵与线性方程组的一些相关经济应用。
６．１ n 阶行列式及性质行列式是在讨论线性方程组时建立起来的一个数学概念，是我们解线性方程组的一个有力工具．6.1.1 二阶行列式二元线性方程组的一般形式是)(Ⅰ ⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a ②① 利用消元法求解：1222a ②a ①⨯-⨯，得 122221112212211)(a b a b x a a a a -=-． 2111a ①a ②⨯-⨯，得 121211212212211)(b a b a x a a a a -=-．当012212211≠-a a a a 时，方程组)(Ⅰ的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=122122112111122122122111222211a a a a a b a b x a a a a a b a b x ③． 在二元线性方程组)(Ⅰ的解的表达式③中，1x 、2x 的解的分母都是12212211a a a a -．为了便于记忆和讨论，引入一个新的记号22211211a a a a 来表示12212211a a a a -，即22211211a a a a ＝12212211a a a a - (6-1)在22211211a a a a 中，11a 、12a 、21a 、22a 是方程组)(Ⅰ中1x 、2x 的系数，它们按原来的位置排成一个正方形． 我们称22211211a a a a 为二阶行列式，其中横排称为行，纵排称为列，ij a （2,1=i ；2,1=j ）称为二阶行列式第i 行第j 列的元素．(6-1)式的右端称为二阶行列式的展开式．显然，二阶行列式有二行和二列，共4个元素，记为22个元素，二阶行列式的展开式有两项，记为2!项。
二阶行列式按如下方法展开（图6-1）：2111a a2212a a图6-1 二阶行列式展开方法实对角线（叫做主对角线）上两元素之积取正号，虚对角线上两元素之积取负号，然后相加就是行列式的展开式．这种展开行列式的方法称为对角线展开法．由上可知，二阶行列式等于一个确定的数，这个数称为二阶行列式的值．求二阶行列式的值可用对角线展开法．例6-1 计算下列二阶行列式的值：⑴5342-； ⑵ααααsin cos cos sin -．解：⑴5342-22)4(352=-⨯-⨯=；⑵ααααsin cos cos sin -1cos sin 22-=--=αα．根据对角线展开法，我们再来解决前面给出的二元线性方程组求解的另一种方法。
有：对应于1x 、2x 解的分母和分子的表达式,联系二阶行列式的展开形式,得到如下：122221a b a b -=222121a b a b ，121211b a b a -=221111b a b a ．记：22211211a a a a D =，2221211a b a b D =，2211112b a b a D =，由于行列式D 是由方程组)(Ⅰ中未知数的系数按原来的顺序排列而成，故称D 为系数行列式．显然，行列式1D 、2D 是以1b 、2b 分别替换行列式D 中的第一列、第二列的元素所得到．因此，当0≠D 时，方程组)(Ⅰ的解可表示为：D D x 11=，DDx 22= (6-2) 例6-2 解方程组⎩⎨⎧=-+=++0134022y x y x ． 解：方程组化为一般形式：⎩⎨⎧=+-=+13422y x y x ． 因为 023412≠==D ，731121-=-=D ，1014222=-=D ，所以，根据(6-2)式，方程组的解为：271-==D D x ，52==DD y ． 6.1.2 三阶行列式三元线性方程组的一般形式为)(Ⅱ ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323113123232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ③②①与二元线性方程组类似，用消元法可求出解的公式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧---++---++=---++---++=---++---++=233211332112312213213213312312332211232113211231221213213121232211323321133211231221321321331231233221123311332113121321313312313321122332113321123122132132133123123322112332133212322132321332312332211aa a a a a a a a a a a a a a a a ab a a b a a a a b a a b a b a b a a x a a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a a a b a b a a b a a a b a b a x a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a b a a b a a a a b x ④ 其中分母0233211332112312213213213312312332211≠---++a a a a a a a a a a a a a a a a a a ．④式比较繁杂，为了便于记忆与讨论，仿照二阶行列式，用记号333231232221131211a a a a a a a a a 来表示233211332112312213213213312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++，即333231232221131211a a a a a a a a a ＝213213312312332211a a a a a a a a a ++ 233211332112312213a a a a a a a a a --- (6-3)(6-3)式的左边叫做三阶行列式，右边叫做这个三阶行列式的展开式．显然，三阶行列式有三行和三列，共23个元素，其中ij a （3,2,1=i ；3,2,1=j ）是三阶行列式第i 行第j 列的元素．三阶行列式的展开式有3!项．三阶行列式的展开可按如下方法展开（图6-2）：图6-2 三阶行列式展开方法实线上三数之积取正号，虚线上三数之积取负号，然后相加就是行列式的展开式，这种展开法则叫做对角线法则．例6-3 计算行列式542201312---的值． 解：542201312---1432)2()1(50)2(⨯⨯+⨯-⨯-+⨯⨯-= )2(4)2(51)1(203-⨯⨯--⨯⨯--⨯⨯-5=．例6-4 展开行列式ab c c a bbc a ． 解：ab c c a bbc a abc abc abc b c a ---++=333 abc c b a 3333-++=．与二阶行列式相似，用三阶行列式来求解三元线性方程。
引入记号D 、1D 、2D 、3D ，其中333231232221131211a a a a a a a a a D =，3332323222131211a a b a a b a a b D =，3333123221131112a b a a b a a b a D =，3323122221112113b a a b a a b a a D =． 行列式D 是由方程组)(Ⅱ中未知数的系数按原来的顺序排列而成，叫做方程组的系数行列式，行列式1D 、2D 、3D 是以1b 、2b 、3b 分别替换行列式D 中的第一列、第二列、第三列的元素所得到．因此，当0≠D 时，方程组)(Ⅱ的解可表示为：D D x 11=，D Dx 22=，DD x 33= (6-4) 例6-5 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=--+01220240523y x z y z y x ．解：方程组化为一般形式：⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+=-+12224523y x z y z y x 因为 1202214213=-=D ，270211422151-=--=D ， 21012122532=--=D ，601222405133-=-=D ，所以，根据(6-4)式，方程组的解为：491-==D D x ，472==D D y ，53-==DD z ． 6.1.3 n 阶行列式为了定义n 阶行列式及学习行列式的展开定理，我们先介绍代数余子式的概念． 定义6.1 将行列式中第i 行第j 列的元素ij a 所在行和列的各元素划去，其余元素按原来的相对位置次序排成一个新的行列式，这个新的行列式称为元素ij a 的余子式，记作ij M 。
j i j i M ++•-)1(称为元素ij a 的代数余子式，记作ij A ，即j i j i ij M A ++•-=)1( （6-5）例如，在行列式142102321--中，4141011-=-=M ，41410)1(1111-=-•-=+A ；0422123==M ，04221)1(32=•-=+ij A ．有了代数余子式的概念，我们容易得到三阶行列式按第一行元素展开为131312121111333231232221131211A a A a A a a a a a a a a a a ++= （＊） 若规定一阶行列式a a =，则二阶行列式按第一行元素展开为1212111122211211A a A a a a a a += （＊＊）依照上述（＊）、（＊＊）式来定义n 阶行列式：定义6.2 将2n 个数ij a ),,3,2,1,(n j i =排成一个正方形数表，并在它的两旁各加一条竖线，即nnn n nna a a a a a a a a212222111211 （6-6） 称为n 阶行列式．当1=n 时，规定一阶行列式1111a a =；当2≥n 时，规定n 阶行列式nnn n nna a a a a a a a a212222111211n n A a A a A a 1112121111+++= (6-7) 例6-6 计算行列式312211013210201---=D 的值．解：根据定义，18312210121)1()2(31211132)1(13122110132102013111-=--⨯-+--⨯=---++． 在n 阶行列式中，有一类特殊的行列式，它们形如nn n n a a a a a a 2122211100 (6-8) 或nnnna a a a a a022211211(6-9) 我们都称它们为三角形行列式，其中式(6-8)称为下三角形行列式，式(6-9)称为上三角形行列式．三角形行列式D 的值等于主对角线上各元素的乘积，即nn a a a D •••= 2211．四阶和四阶以上的行列式称为高阶行列式．6.1.4 n 阶行列式的性质按定义计算行列式是一种较复杂的运算方法，下面学习的n 阶行列式性质，能简化行列式的计算．性质１ 行列式所有的行与相应的列互换，行列式的值不变，即nnn nn n nnn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a212221212111212222111211=．我们把行列式D 的行与列互换后所得行列式称为D 的转置行列式，记作TD ． 这个性质说明，对于行列式的行成立的性质，对于列也一定成立，反之亦然．性质２ 行列式的任意两行（列）互换，行列式仅改变符号．例如， 333231131211232221333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a -=． 性质３ 若行列式中某两行（列）对应元素相同，则此行列式的值为零．例如， 0333231131211131211=a a a a a a a a a ． 性质４ 行列式中某行（列）的各元素有公因子时，可把公因子提到行列式符号外面．例如， 333231232221131211333231232221131211a a a a a a a a a k a a a a a a ka ka ka =． 例6-7 计算下列行列式的值：⑴1143612248------； ⑵2131611323121121--． 解：⑴ 1143612248------11412412432------⨯=111121121)4(32----⨯⨯=624⨯-= 144-=．⑵3213211216131212131611323121121--⨯⨯=--3113111112613121--⨯⨯⨯=8181⨯=94=． 推论１ 若行列式有一行（列）各元素都是零，则此行列式等于零．例如，0000333231232221=a a a a a a ． 推论２ 若行列式有二行（列）对应元素成比例，则此行列式等于零．例如，0333231131211131211=a a a ka ka ka a a a ． 性质５ 若行列式某一行（列）的各元素均是两项之和，则行列式可表示为两个行列式之和，其中这两个行列式的该行（列）元素分别为两项中的一项，而其它元素不变．例如，333231232221321333231232221131211333231232221313212111a a a a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a +=+++． 性质６ 将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数k 后加到另一行对应位置的元素上，行列式的值不变．例如，333231132312221121131211333231232221131211a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a a +++=． 性质６在行列式的计算中起着重要的作用．运用性质时选择适当的数k ，可以使行列式的某些元素变为零．反复交替地使用行列式性质，将行列式化为三角形行列式，也是计算行列式的值的常用方法．例6-8 计算下列行列式的值：⑴573162251； ⑵3214214314324321．解：⑴573162251205)4(1500340251180340251-=⨯-⨯=--=----=．⑵3214214314324321131070108207214321---------=364440072104321----=40440072104321----=160=．在n 阶行列式的定义中，是将行列式按第一行展开的．事实上， n 阶行列式也可以按任何一行（列）展开．性质７（行列式展开性质） 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和．例6-9 利用性质７计算行列式32103121-的值． 解：143213)1(23210312121-=⨯-⨯=-+． 性质８ 行列式某一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零．例如，在三阶行列式333231232221131211a a a a a a a a a 中， 0231322122111=++A a A a A a ； 0313321231113=++A a A a A a ．习题6-1１．利用对角线法则求下列各行列式的值：⑴3413-； ⑵b a a a b a -+； ⑶241331572--； ⑷7213089005-． ２．写出下列行列式中元素12a ，23a ，33a 的代数余子式：⑴ 321123312； ⑵2113101202121121----３．利用行列式的性质求下列各行列式的值：⑴11111014213-； ⑵214312521---； ⑶ααααcos 1sin 11sin 1cos 11111+-++； ⑷ba c a cbc b a +++111；４．求下列各行列式的值：⑴1020*********221； ⑵3214214314324321；⑶cb a +++1111111111111111； ⑷211230021121620211216121211216121----． ５．用行列式解下列线性方程组：⑴⎩⎨⎧=--=-+0820523y x y x ； ⑵⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-3513222161y x y x ； ⑶⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++014230132010z y x z y x z y x ； ⑷⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+b cz ax a cz by cby ax )0(≠abc ． ６．试证明下列范得蒙（V andermonde ）行列式：⑴))()((111222b c a c a b c b a c b a---=； ⑵))()()()()((111133332222c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a ------=．６．２ 克莱姆（Cramer ）法则在上一节的讨论中我们知道，二元、三元线性方程组在系数行列式0≠D 时方程组有唯一解，并且解可以用式(6-2)或(6-4)求出．类似地，对于n 元线性方程组，其一般形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* (6-10) 有如下结论：定理6.1（克莱姆法则） 若n 元线性方程组(6-10)的系数行列式0212222111211≠=nnn n nna a a a a a a a a D， 则方程组(6-10)有且仅有一个解：D D x 11=，D Dx 22=，…，DD x n n =． 其中j D ),,2,1(n j =是把D 的第j 列元素换成方程组的常数项1b ，2b ，…，n b 而得到的n 阶行列式．例6-10 解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+067452296385243214324214321x x x x x x x x x x x x x x ． 解：方程组的系数行列式0276741212060311512≠=-----=D ，所以，方程组有唯一解．又因为8167402125603915181=------=D ，10867012150609115822-=-----=D ，276412520693118123-=---=D ，2707415120903185124=-----=D ，由克莱姆法则，得方程组的解为327811==x ，4271082-=-=x ，127273-=-=x ，127274==x ． 例6-11 某企业一次投料生产能获得产品及副产品共四种，每种产品的成本未单独核解：设Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种产品的单位成本分别为1x ，2x ，3x ，4x ，依题意列方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++11001232368027248820410204050100580102020404321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ． 利用克莱姆法则解这个方程组，得方程组有唯一解：101=x ，52=x ，33=x ，24=x ．所以，四种产品的单位成本分别为10元、５元、３元、２元．如果n 元线性方程组(6-10)的常数项均为零，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (6-11) 则当系数行列式0≠D 时，方程组(6-11)有唯一零解：01=x ，02=x ，…，0=n x ．我们应该知道，解线性方程组，只有在方程组的未知数个数与方程个数相等以及方程组的系数行列式0≠D 时，才能应用克莱姆法则．当0=D ，或者未知数个数与方程个数不相等时，我们可以用矩阵的知识来解决．习题6-2１．用克莱姆法则解下列线性方程组：⑴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+--=++=-+-4224421232243214313214321x x x x x x x x x x x x x x ；⑵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-++-=--+-=---=+++4326324231324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ．２．一节食者准备他一餐的食物Ａ、Ｂ、Ｃ．已知每一盎司Ａ含有２单位的蛋白质，３单位的脂肪，４单位的糖；每一盎司Ｂ含有３单位的蛋白质，２单位的脂肪，１单位的糖；每一盎司Ｃ含有３单位的蛋白质，３单位的脂肪，２单位的糖．如果这一餐必须精确地含有25单位的蛋白质，24单位的脂肪，21单位的糖，请问节食者每种食物须准备多少盎司？（每盎司为28.35g ）３．试根据下列资料求每类商品的利润率：６．３ 矩阵的概念、运算在本节，我们要学习一个新的数学概念——矩阵(matrix)．矩阵不仅是解线性方程组的重要工具，而且在经济管理中也有着极为广泛的应用．6.3.1 矩阵的概念例6-12 某公司销售四种商品Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，它们在第一季度的销售量分别如表6-1所示：表6-1在数学中习惯仅将数据从表里提出来研究．这样一个纯数表： 如果我们把这些数按原来的行列次序排出一张矩形数表：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛40012026028032090300250300100220200 这种矩形数表在数学上就叫做矩阵．定义6.3 由n m ⨯个数ij a ),,2,1;,,2,1(n j m i ==按一定顺序排列成的一个m 行n 列的矩形数表：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 （6-12） 称为m 行n 列矩阵． ij a 称为矩阵Ａ的第i 行第j 列元素．矩阵通常用大写英文字母Ａ，Ｂ，…或)(ij a ，)(ij b ，…表示，也可记为n m A ⨯或n m ij a ⨯)(． 对于矩阵（6-12），⑴当n m =时，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211称为n 阶方阵，简称方阵． ⑵当1=m 时，()n a a a A 11211=称为行矩阵．⑶当1=n 时，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12111m a a a A 称为列矩阵．⑷当0=ij a ),,2,1;,,2,1(n j m i ==时，称为零矩阵，记作n m O ⨯或O ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯000000000)(O O n m 或． ⑸方阵从左上角到右下角的对角线称为主对角线．除了主对角线上的元素外，其余元素均为零的方阵称为对角矩阵，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn a a a A000002211．⑹主对角线上的元素均为１的对角矩阵称为单位矩阵，记为n I 或I ．例如，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001)(2I I 或，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001)(3I I 或． ⑺主对角线下方的各元素均为零的方阵称为上三角形矩阵，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a a a A 00022211211；主对角线上方的各元素均为零的方阵称为下三角形矩阵，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a a a A 21222111000．上三角形矩阵和下三角形矩阵统称为三角形矩阵．⑻把矩阵Ａ的行换成列所得的矩阵称为矩阵Ａ的转置矩阵，记作T A 或A '．例如，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=730152A ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=705312T A ．⑼若两矩阵n m ij a A ⨯=)(与n m ij b B ⨯=)(对应位置上的元素都相等，即ij ij b a =),,2,1;,,2,1(n j m i ==，则称矩阵Ａ与矩阵Ｂ相等，记作B A =．⑽由方阵Ａ的元素按原来的次序所构成的行列式称为矩阵Ａ的行列式，记作A 或A det ．例如，矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=232101321A 的行列式为232101321--=A ．6.3.2 矩阵的运算１．矩阵的加法与减法例6-13 某运输公司分两次将某商品（单位：吨）从３个产地运往４个销地，两次调运方案分别用矩阵Ａ与矩阵Ｂ表示：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=323310210542A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=131221325763B ．求该公司两次从各产地运往各销地的商品运输量．显然所求商品运输量用矩阵表示为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++++++45453153512105133213232110322150756432． 这个例子说明，在实际问题中有时需要把两个矩阵的所有对应元素相加．这就是矩阵的加法．定义6.4 设矩阵n m ij a A ⨯=)(，n m ij b B ⨯=)(，则矩阵n m ij ij b a ⨯±)(称为Ａ与Ｂ的和与差，记作B A ±，即n m ij ij b a B A ⨯+=±)(．显然，两个矩阵只有当它们的行数和列数都相同时，才能进行加减运算．例6-14 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=423110321A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=231032411B ，求⑴B A +；⑵T B A -． 解：⑴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+--++--+++++=+24)3(2)1(301)3(120431211B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=652122732． ⑵T B A -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=204331121423110321 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------------=240243)3(1)3(110)1(32211 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=221241400． 矩阵的加法满足：⑴交换律：A B B A +=+；⑵结合律：)()(C B A C B A ++=++，其中Ａ、Ｂ、Ｃ均是m 行n 列矩阵． ２．数与矩阵相乘在例6-13中，若运输公司第三次将这种商品从３个产地运往４个销地，且运输量是第二次的２倍，则第三次从各产地运往各销地的商品运输量用矩阵表示为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯262442641014126212321222221232225272623． 这实际上是数２与矩阵Ｂ相乘．定义6.5 设矩阵n m ij a A ⨯=)(，R k ∈，则矩阵n m ij ka ⨯)(称为数k 与矩阵Ａ相乘，简称数乘矩阵，记作kA ，即n m ij ka kA ⨯=)(．例6-15 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=201312A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=446422B ，求B A 21+． 解：B A 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=022521223211201312． 数乘矩阵满足：⑴交换律：Ak kA =；⑵分配律：kB kA B A k +=+)(，A k A k A k k 2121)(+=+； ⑶结合律：A k k A k k )()(2121=； ⑷A A =•1，A A -=•-)1(； ⑸O A k O kA ==⇔=或0，其中1k 、2k 为任意常数，Ａ、Ｂ均是m 行n 列矩阵．３．矩阵与矩阵相乘例6-16 某公司生产甲、乙两种产品，计划元月份的产量分别为100、120件，用矩阵表示()120100=A ．已知每种产品都需经过三台机器加工，每台机器上所费时间（小时）用矩阵Ａ表示⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5.134125.1B ，求元月份每台机器的使用时间．显然，元月份每台机器的使用时间用矩阵表示()5.112011003120210041205.1100⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯()280560630=．这实际上就是矩阵Ａ与矩阵Ｂ相乘．定义6.6 设矩阵s m ij a A ⨯=)(，n s ij b B ⨯=)(，则矩阵n m ij c C ⨯=)(，其中sj is j i j i ij b a b a b a c +++= 2211∑==sk kj ik b a 1),,2,1;,,2,1(n j m i ==称为矩阵Ａ与矩阵Ｂ的乘积，记作AB ，即AB C =．由定义可以看出，只有当矩阵Ａ的列数等于矩阵Ｂ的行数时，Ａ才能与Ｂ相乘，并且所得结果AB 的行数等于矩阵Ａ的行数，而列数等于矩阵Ｂ的列数． 例6-17 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121302B ，求AB ． 解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=)1(43324031423)1(23122011221AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5810144．例6-18 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4221A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3162B ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=62124C ，求AB ，BA ，AC ． 解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000AB ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1052010BA ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000AC ．由例6-18可以知道：⑴BA AB ≠，即矩阵乘法不满足交换律．因此，矩阵Ａ与矩阵Ｂ的乘积AB 常读作＂Ａ左乘Ｂ＂或＂Ｂ右乘Ａ＂，这时我们称矩阵Ａ为左矩阵，矩阵Ｂ为右矩阵．⑵由O AB =不能推出O A =或O B =．⑶AC AB =不能推出C B =，即矩阵乘法不满足消去律．例6-19 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=231032A ，求AI ，IA ．解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2310321001231032AI ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=231032231032100010001IA ．矩阵乘法满足：⑴分配律：BC AC C B A +=+)(，AC AB C B A +=+)(；⑵结合律：)()(BC A C AB =，)()()(kB A B kA AB k ==； ⑶A IA AI ==，其中Ａ、Ｂ、Ｃ是矩阵，k 是任意常数．例6-20、某商店主要销售甲、乙、丙三种商品，其销售量如表1所示，每件商品销售价格及销售利润如表2所示，试求该商店第二季度三个月的销售额及销售利润各为多少？ 表1表2 单位：元解：4月份的销售额为40030200207001526500⨯+⨯+⨯=元4月份的利润为4005200470024200⨯+⨯+⨯=元同理可得：5月份的销售额为28500元，5月份的利润为4700元； 6月份的销售额为35000元，6月份的利润为5800元 我们将上运算用矩阵表示：400200700302650050030050020285006004006001535000400200700542005003005004470060040060025800⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭习题6-3１．行列式与矩阵有什么区别？２．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=364101523A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=406215321B ，求B A 2-，B A +-，T B A +．３．计算：⑴()432⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛； ⑵()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4123； ⑶⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21431321； ⑷()1211123-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-；⑸⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-04311012130221； ⑹⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x x x x x sin cos cos sin sin cos cos sin ． ４．若Ａ、B 是两个不同的n 阶方阵)2(≥n ，恒等式2222)(B AB A B A ++=+ 是否成立？为什么？其中A A A •=2．５．现有三批货物分别运往三个地点，货物去向，重量及运费分别如下表所列：试用矩阵运算计算出每日的销售量。