等离子体物理讲义04_动理学理论矩方程

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可以是标量，矢量，也可以是张量。
1.1 Maxwell 分布
统计力学证明，达到热力学平衡的系统满足一个特别重要的分
布函数，Maxwell 分布
/
exp 2
其中
，
2
用定积分
exp
d√
很容易证明 对d d d 的积分为 ．
服从 Maxwell 分布有几种常用的平均速度．均方根速度为
/
3
/
平均速度大小可按下式求出：
运动；二是粒子之间相互作用（碰撞）引起的。设在时间 ，空间位
置在 ~
，运动速度为 ~
的位于相空间体积元 中的
粒子数目为
，， dd 经过 时间后，原来处于相体积元 中的粒子，因粒子运动或外场
作用全部进入对应的相体积元
，粒子数目是不变的
，， dd
，，
dd
其中， ， ，
d d 表示在
时刻，空间位置在
~
，运动速度为 ~
，， d
1
，， d
，
，， d
其中尖括号 · 表明对速度分布求平均。理论上，函数 是任意的，
1 Kinetic 原译为“运动的”，有鉴于“动力的”，前者与 kinematic 混淆，后者与 dynamic 混淆，2002 年中国物理学会物理名词委员会协商，将 Kinetic 译为“动理的”。于是，kinetic theory of gases 原定名为“分子运动论”更名为“分子动理学理论”。
的位于相空间体积元d d 中的
粒子数目，且有
，
与此同时，在时间 ~
内，因为粒子相互作用（碰撞），使得一
部分粒子进入新相体积元d d ，而另一部分粒子离开旧相体积元
d d ，两相抵扣为因为碰撞作用进入新相体积元d d 的净粒子数目
dd
9
考虑粒子运动和碰撞引起的分布函数变化
，， dd
，，
dd
dd
在这个过程中，相体积元发生变形，新旧相体积元的关系为
11
因为等离子体中包含多种粒子，不妨设为 种，那么描写这个粒 子体系的相空间是6 维的
， ， 1，2, ， 对于第 种粒子的分布函数 ， ， 在相空间中演化的动理学 方程为
·
·
其中， 表示第 种粒子所受的外力场，包括外场和等离子体内部的 平均场（自洽场），而碰撞作用项为
,
表示因碰撞引起的单位时间内第 种粒子的净增加数，是各类粒子碰 撞作用的总和，也包括同类粒子之间的碰撞。特别需要指出的是，碰 撞项依模型或近似方法不同而不同，既可以是积分算子，也可以是微 分算子，统称为碰撞算子。
，，
，
，
，，
·
·
不考虑碰撞作用时，相体积元变化粒子数不变，因此
，，
dd
，，
·
·
dd
保留一阶 近似和相体积元体积不变
·
·
dd
dd
因为 相体积元d d 的任意性，得到
·
·
此即关于粒子分布函数演化的支配方程，称为动理学方程，在 1872 年由 L. E. Boltzmann 首先提出，也称为 Boltzmann 方程。
在足够热的等离子体中，因碰撞引起的单位时间内第 种粒子的 数目保持恒定，则碰撞可以忽略．而且，如果 完全是电磁力，则动 理学方程取下面的特殊形式
·
·
0
这个方程称为 Vlasov 方程。1938 年，Anatoly Vlasov（1908－1975） 引入的。对于电子和离子而言，分布函数 和 分别满足，加上求平 均后的 Maxwell 方程，形成耦合方程组，这样确定的电场和磁场称为
Irving Langmuir 的经验观察支持了流体理论，他用了以他的名 字命名的静电探针，发现电子分布函数比起碰撞率所能说明的分布大
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大接近 Maxwell 分布．这个现象称作 Langmuir 佯谬。这个现象迄今 并没有得到令人满意的解决。
1.2 动理学方程
考虑在 6 维 ， 空间运动的粒子，分布函数随时间的变化由两 种原因：一是粒子运动引起的，即由粒子受到外部长程力作用引起的
由于
d d dd
，
1·
·
，
有
dd 1 ·
· dd
符号 代表空间的梯度， 代表速度空间的梯度。如通常用法一样， 在直角坐标系中
和
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既然 与 都是独立变数，因此 · 0；在非相对论条件下
·
0
这就意味相空间体积元不变 1，即
d d dd
考虑粒子运动和碰撞引起的分布函数变化，将 ， ，
对
作 Taylor 展开
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自洽场。
1.3 速度矩
在等离子体物理中，研究的是宏观平均物理量而不是分布函数的
详细形式，一般说来，物理上有意义的只有
1，
，
1
2
这三种，分别与质量，动量和能量相联系。对于普通流体，用三种矩
方程可以得到流体力学方程租。
实际上有物理测量意义的分别为一阶矩，二阶矩和三阶矩的一部
分。当
时，速度分布的一阶矩为粒子的平均速度
1
||
||
d 2
2| | exp
d
exp
d
exp
d
方括号里面的二个积分分别都等于√ ，最后一个积分简单，值为
。这样得到
||
＝2
/
/
从假想平面的一边穿越到另一边的无规则运动通量为
1
1
||
||
2
4来自百度文库
概括地说，对于 Maxwell 分布而言，
3
，| |
2 2
，| |＝ 2
/
，
0
对于类似麦克斯韦的各向同性分布，能定义另一个函数 ，它
流体模型能用于等离子体的一个原因是：在某种意义上磁场起到 了碰撞的作用．例如，当粒子被电场加速时，如果许可粒子自由流动， 就会连续地增加速度．当存在频繁的碰撞时，粒子就达到一个与电场 成正比的极限速度，磁场通过使粒子以 Larmor 轨道回旋，能限制粒 子自由流动．等离子体中的电子也以正比于电场的速度一起漂移．在 这个意义上，一个无碰撞等离子体的行为类似于一个有碰撞流体．当 然，粒子可以沿着磁场方向自由运动，流体模型对此并不特别合适．对 于垂立于磁场的运动，流体理论是一种很好的近似．
＝1 ，
，， d
，
定义粒子的无规热运动速度为
，
，
则有
＝1
，
，
1
||
|| d
由于 是各向同性的，在 空间，用球坐标很容易作出积分．因为
每个球壳的体积元是4
，得到
|| 2
/
exp
4 / exp
5
4d 2
d √
其中用分部积分求出定积分的值为 1/2．这样
2 || 2
在单个方向的速度分量，譬如说 ，
它的平均就有所不同．当然，对各
向同性分布 等于零，但是| |不为 零
是 | |的函数
6
d
对于 Maxwell 分布，可以看到
4 2
/
exp
这是普通物理热学中给出的 Maxwell 分布形式。下图说明了 和一
维 Maxwell 分布 之间的差别．虽然 在 0是极大， 在
0却是零．这恰好是 0处相空间体积为零的结果．有时用
来表示 ；但是 与其宗量和 与其宗量的函数关系是不同的．
典型等离子体密度可以达到每立方米包含10 10 个离子— 电子对．每个粒子都遵循一条复杂的轨道，跟踪每一条轨道导出等离 子体的行为将是一个无望的工作，幸好这通常是不必要的。出人意外 的是，一个看似粗糙的模型能解释实际实验中所观察到的 80%的等 离子体现象，这就是流体力学的连续介质模型，它忽略了个别粒子的 本性，而只考虑流体质点的运动，粒子间的频繁碰撞使得流体质点中 的粒子一起运动．在等离子体情形中，流体还要包含电荷，这样一个 模型适用于一般不发生频繁碰撞的等离子体。
2
在等离子体中，实际情形要比粒子轨道理论描述的复杂得多。电 场和磁场不能事先给定，而应由带电粒子本身的位置和运动来确定， 必须解一个自洽问题（self‐consistent problem），寻找这样一组随时 间变化的粒子轨道和场，使得粒子沿着它们的轨道运动时产生场，而 场使粒子在它们的确切轨道上运动。
的粒子数。如果粒子的质量为 ，则粒子的质量密度或体密度为
，
，
因为等离子体中包含多种带电粒子，至少一种以上的正电荷离子
和带负电荷的电子，所以要将分布函数加以区别，必须对每个种类考
虑其分布函数，设 类粒子的分布函数为 ， ， ，这种处理称为
动理学理论1（kinetic theory）．一般地可以对函数 ，定义速度矩
等离子体物理学讲义
No. 4
马石庄
2012．02．29．北京
1
第 4 讲 动理学理论和矩方程
教学目的：学习从动理学方程建立等离子体宏观模型的方法，建立粒 子轨道与等离子体整体行为之间的联系，熟悉双流体模型的基本特征， 从等离子体的广义 Ohm 定律认识磁化等离子体的各向异性。 主要内容： §1 分布函数 ............................................................................................ 4
1.1 Maxwell 分布 ............................................................................... 5 1.2 动理学方程 ................................................................................. 9 1.3 速度矩 ....................................................................................... 13 §2 流体模型方程 .................................................................................. 17 2.1 双流体方程 ............................................................................... 17 2.2 磁流体模型 ................................................................................ 22 2. 3 流体漂移 ................................................................................... 27 §3 等离子体输运 .................................................................................. 31 3.1 BGK 方程.................................................................................... 32 3.2 双极扩散 ................................................................................... 38 3.2 经典扩散 ................................................................................... 40 习题 4 ..................................................................................................... 42
平面上的投影
将给出 的拓扑映射图．这样的图对于获得等离子体具有怎样行为的
初步观念是很有用的。
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如果考虑在空间给定 点的 ，则能得到另一种 形式的有关 的等值线 图．例如如果运动是二维的， 且 对 ， 是各向同性的， 则 ， 的等值线将是 圆．各问异性的分布会有椭 圆等值线．一个漂移 Maxwell 分布会有偏离原点的圆周等值线，而一 个在 方向传播的粒子束应当作为一个独立的尖峰而显示出来．
如果不减少维数，要在给定时间 绘制出 ， 的图是不可能的．在
一维系统中， ， 能被描述为一个曲面．这个曲面和 常数平
面的交线是速度分布 ．这个曲面和 常数平面的交线给出给
定 的粒子密度分布．如果所有曲线 碰巧有相同的形状，通过
峰值的曲线应当表示密度分布．图中的虚线是曲面和 常数平面的
交线：它们是水平曲线成常 曲线．这些曲线在
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§1 分布函数
统计力学引入粒子的分布函数 ， ， 描述大量粒子组成的
体系。在相空间 ， 中，分布函数 ， ， 的意义是
，， dd
是粒子空间位置在 ~
，运动速度为 ~
的数目，显然有
，， dd
和
，， d
，
其中特别注意，积分号出现的d 和 d 分别是位移空间和速度空间的
体积元。 是系统的粒子总数， ， 是粒子数密度，即单位体积中