均匀随机数的产生

3.3.2 均匀随机数的产生

教材分析

本节内容是数学必修三第三章 概率 3.3.2均匀随机数的产生， 本节课在学生已经掌握几何概型的基础上，来学习解决几何概型问题的又一方法，本节课的教学对全面系统地理解掌握概率知识，对于培养学生自觉动手、动脑的习惯，对于学生辩证思想的进一步形成，具有良好的作用．

通过对本节课例题的模拟试验，认识用计算机模拟试验解决概率问题的方法，体会到用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识。

课时分配

本节内容用1课时的时间完成，主要讲解利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题。

教学目标

重 点: 掌握［0,1］上均匀随机数的产生及［a,b ］上均匀随机数的产生。学会采用适当的随机模拟法去估算几何概率。

难 点：利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中。

知识点：通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，了解均匀随机数的概念；掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法。

能力点：利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题，理解随机模拟的基本思想是用频率估计概率。 教育点：通过随机模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯，培养逻辑 思维能力和探索创新能力。

自主探究点：在信息技术环境下，通过算法解决大量重复模拟试验中的数据统计问题，得出问题的解的估计值，并由此进一步体会随机模拟方法、算法思想以及从特殊到一般的数学研究过程。

易错易混点：在计算器上用rand()产生[0,1]之间的随机数不是什么难事，但产生任意区间[a,b]上的 随机数涉及线性变换，这是学生不易处理的问题，容易出错。

教具准备 多媒体课件

一、引入新课

复习提问：

（1）什么是几何概型？（2）几何概型的概率公式是怎样的？（3）几何概型的特点是什么？(4)列举几个简单的几何概型例子？

【师生活动】

（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；

（2）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．

（3）几何概型的概率公式：

P （A ）=积）

的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A （4）几何概型例子：长3米的绳子被剪刀随机剪一次，问两段长度都不小于1米的概率？在这个几何概型中，随机剪绳子可以抽象成数学模型：从区间[0,3]中随机取一个数，由此引出今天的学习的内容，均匀随机数。

（5）均匀随机数：对于区间[a,b],实验结果X 是该区间内的任何一个实数，且是等可能出现。则X 为

[a,b]上的均匀随机数。

【设计意图】通过复习几何概型，很自然的引入课题。

二、探究新知

问题1：请你用计算器模拟产生［0,1］上的均匀随机数。

问题2：请你用计算器模拟产生［0,3］上的均匀随机数。

问题3：请你用计算器模拟产生［1,3］上的均匀随机数。

问题4：请你用计算器模拟产生［-1,3］上的均匀随机数。

问题5：请你用计算器模拟产生［a,b ］上的均匀随机数。

【师生活动】

利用计算机来产生0—1之间的均匀随机数(实数),方法：打开excel ，任意选定一格,键入“=RAND （）”，按Enter 键或点击屏幕其它位置，则在此格中的数是随机产生的［0,1］之间的均匀随机数。

通过对2-5个问题的分析总结可以得出：

［a,b ］上均匀随机数的产生方法：利用计算器或计算机产生［0,1］上的均匀随机数X=RAND ，

然后利用伸缩和平移变换，X=X*(b-a)+a 就可以得到［a,b ］上的均匀随机数，试验结果是［a,b ］内任何一实数,并且是等可能的。

这样我们就可以通过计算机或计算器产生的均匀随机数，用随机模拟的方法估计事件的概率。

【设计意图】通过问题串让学生对随机数的概念和随机数的产生有了一个全面的认识，通过学生自己实际操作加深了学生对随机数理解，同时也为几何概型的概率计算提供了一种新的思路.

三、运用新知

例1:假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6：30—7：30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7：00—8：00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A ）的概率是多少？ 问题6：复习回顾已学过的解法。

问题7：探索模拟试验的方法；如何用计算机产生随机数进行模拟求概率。

【师生活动】

（1）复习回顾原来解法：

解：设报纸送到的时间为x ，父亲出门时间为y ；

则全体基本事件可以表示为集合：}875.75.6|),{(≤≤≤≤=Ωy x y x 且；

父亲在出门前可以收到报纸的事件可以表示为集合：

}875.75.6|),{(x y y x y x A ≥≤≤≤≤=且且； 作图得：

根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即事件A 发生,

所以P(A)=8

712121211=⨯⨯-。 （2）探索模拟试验进行求解：

【分析】用计算机产生随机数模拟试验，我们可以利用计算机产生0—1之间的均匀随机数,利用计算机产

生x 是6.5—7.5的均匀随机数，利用计算机产生y 是7-8的均匀随机数，如果y ＞=x 时，事件A={父亲离家前能得到报纸}发生。

1.选定A2格，键入“=RAND （）+6.5”,按Enter 键,则在此格中的数是随机产生的［6.5,7.5］之间的均匀随机数。

2.选定B 2格，键入“=RAND （）+7”,按Enter 键,则在此格中的数是随机产生的［7,8］之间的均匀随机数。则A 列数x 表示父亲离开家的时间，B 列的数y 表示报纸到达的时间。往下拖动鼠标，复制已产生随机数50次，这样我们相当于做了50次随机试验。

3.选定C 列，计算y-x ，如果大于等于0，则表示父亲在离开家前能得到报纸。

送报时间X 父亲出门时间Y Y-X

6.56810009

7.72248226 1.154382

6.737668363

7.3213722630.583704

7.0676838597.699890360.632207

6.540312908

7.0564198760.516107

6.706912084

7.726281632 1.01937

7.368759817.4794603560.110701

6.676162433

7.739871485 1.063709

7.029*******.2661917310.237156

6.650689226

7.799120152 1.148431

7.0411603517.3669561890.325796

6.767951128

7.3391986790.571248

4.选定E1格，键入“=countif(c2:c51;>=0)”；计算出父亲出门前能收到报纸次数。

5.选定E2格，键入试验总次数。

6.选定E3格，键入“=E1/E2”，计算的结果就是表示统计50次试验中,父亲在离开家前能得到报纸的频率。

【总结】用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围。计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识。

例2：在如下图边长为2的正方形中随机撒一把豆子，用计算机随机模拟的方法估算圆周率的

值。

问题8：如何利用几何概型求圆周率？

问题9：计算机如何模拟试验求解？

【师生活动】

（1）问题中“几何概型与面积”有联系，而“面积与圆周率”有联系，从而建立了几何概型

求圆周率的桥梁。随机撒一把豆子,每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即

落在正方形中的豆子数

落在圆中的豆子数正方形的面积圆的面积≈； 假设正方形的边长为2,则4

22ππ=⨯=正方形的面积圆的面积； 由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的,所以π≈

落在正方形中的豆子数落在圆中的豆子数×4； 这样就得到了π的近似值。

（2）计算机模拟：