最小方差与最优投资组合
《证券投资基金基础知识》必考点总结
第六章、投资管理基础财务报表1、理解资产负债表、损益表和现金流量表所提供的信息资产负债表称为“第一会计报表”，报告了企业在某一时间点的资产，负责和所有者权益的状况揭示出企业在特定时点财务状况，是企业瓜里获得结果的集中体现。
反应企业偿还债务能力，资本结构是否合理，经营是否稳健，经营风险等。
损益表（利润表）反映一个时期的总体经营结果，揭示财务状况发生的直接原因，是一个动态报表，看企业获取利润能力和经营趋势。
现金流量表也叫财务状况变动表，表现的是特定会计时间内，企业的现金增减变化。
有利于投资者评价企业偿债能力和变现能力。
2、理解资产、负债、权益的类型；资产=负责+所有者权益所有者权益包含：股本，资本公积，盈余公积，未分配利润。
3、理解利润和净现金流净利润=息税前利润-利息和税费经营活动产生的现金量（CFO）+投资活动产生的现金量（CFI）+融资活动产生的现金量（CFF）=净现金流财务报表分析1、理解基于财务报表的比率分析的用途【企业资产流动性；企业面临的财务风险；企业资产使用效率；盈利能力】2、理解衡量盈利能力的三个比率：销售利润率（ROS）=净利润/销售收入资产收益率（ROA）=净利润/总资产权益报酬率（ROE）=净利润/所有者权益货币的时间价值与利率1、掌握货币的时间价值的概念：指货币随着时间的推移而发生的增值。
2、掌握名义利率和实际利率的概念名义利率：包含了对通货膨胀补偿的利率，当物价不断上涨时，名义利率比实际利率高。
实际利率：在物价不变且购买力不变的情况下的利率，或者是指当物价有变化，扣除通货膨胀后的利息率。
2、掌握即期利率和远期利率的概念即期利率：设定到期日的零息票债券的到期收益率，从现在到时间T的收益，利息和本金都在时间T支付。
远期利率：资金的远期价格，从未来某个时间点到另一时间点的利率。
3、掌握单利和复利的概念单利：只算本金在计息周期的利益复利：每经过一个利息周期，利息加入本金再计算下一周期的利息4、理解时间和贴现率对价值的影响5、理解PV和FV在投资估值中的应用：复利方式计算常用描述性统计概念1、掌握平均值、中值、百分位的概念、计算和应用2、理解方差和标准差的概念、计算和应用方差越大，收益与期望值差距越大；标准差低于期望值，说明收益比较稳定。
投资学中的资产组合理论
投资学中的资产组合理论投资学是研究投资行为和投资决策的学科，而资产组合理论是投资学中的重要理论之一。
资产组合理论旨在通过合理配置不同资产，以达到最佳的投资组合，实现风险和收益的平衡。
一、资产组合理论的基本原理资产组合理论的核心思想是通过将资金分散投资于不同的资产类别，降低投资风险，提高收益。
这是因为不同的资产类别具有不同的风险和收益特征，通过组合投资可以平衡不同资产的风险和收益，降低整体投资风险。
资产组合理论的基本原理包括以下几点：1. 分散投资：将资金分散投资于不同的资产类别，如股票、债券、房地产等，以降低投资风险。
当某一资产表现不佳时，其他资产可能表现良好，从而实现风险的分散。
2. 风险与收益的权衡：投资者在选择资产组合时，需权衡风险和收益。
通常情况下，高风险资产具有高收益潜力，而低风险资产则收益相对较低。
投资者需根据自身风险承受能力和投资目标来确定合适的资产配置比例。
3. 投资者偏好：资产组合理论认为投资者有不同的风险偏好和收益要求。
有些投资者偏好高收益高风险的资产，而有些投资者则更倾向于低风险低收益的资产。
因此，投资者的风险偏好是资产组合构建的重要考量因素。
二、资产组合构建的方法资产组合构建的方法有多种，常见的方法包括：1. 最小方差组合：这是资产组合理论中最经典的方法之一。
最小方差组合是指在给定风险水平下，使投资组合的方差最小化。
通过对不同资产的权重进行调整，可以找到最佳的投资组合，以实现风险和收益的平衡。
2. 马科维茨均值方差模型：这是一种基于投资组合风险与收益之间的权衡关系的建模方法。
该模型将投资组合的收益率和方差作为评价指标，通过优化模型中的参数，找到最佳的投资组合。
3. 市场组合理论：市场组合理论认为，市场上的投资组合是最佳的组合，因为市场上的投资者都是理性的，他们会选择最佳的资产配置比例。
因此，投资者可以通过购买市场上的指数基金等方式，间接获得市场组合的收益。
三、资产组合理论的应用资产组合理论在实际投资中具有广泛的应用。
数理金融复习题(含答案)
V
t 1
P m t 1 r 1 r m m
c
mT
代入数据得：
2 20
V
(1
t 1
90 2 0.12 t 2
)
1000 774.30 12 2 20 (1 0.2 )
11．企业 1 在时期 t 1 将发行 100 股股票，该种股票在时期 t 2 的价 值为随机变量 V1 (2) 。企业的资金都是通过发行这种股票而筹集的，以 至于股票持有者有资格获得完全的收益流。最后给出的有关数据是
各股票之间的相关系数为 甲乙 =0.8，乙丙 =0.75，丙甲 =0.85， 银行在 0 时刻
-4-
注：此答案仅供参考，若有错漏敬请见谅！
发行债券，价格为 10 元，1 时刻赎回价为 12.5 元。求 (1)各股票的期望收益率； (2)各股票收益率的方差； (3)若某投资者对甲乙丙三种股票及债券的投资组合为 求 的期望收益率和方差。
(2)?
(3)?
bx 14.若某投资者的效用函数为V ( x ) e , b 0 ，
(1)判断该投资者的风险类型； (2)计算阿罗—伯瑞特(Arrow-Pratt)绝对风险厌恶函数。
解：(1) V ( x) be
bx
0, V ( x) b 2 e bx 0, 所以该投资者为风险厌恶型。
T T 16.已知两种股票 A，B 的期望回报率向量为 r (r1 , r2 ) (0.1, 0.2) ，协
0.1 0.12 V 0.12 0.2 方差矩阵为
计算(1)最小方差证券组合中两种股票 A，B 投资比例； (2) 最小方差证券组合的回报率。
最优投资组合的计算
最优投资组合的计算案例：设风险证券A 和B 分别有期望收益率%201=-r ，%302=-r ，标准差分别为%301=σ，%402=σ，它们之间的协方差%612=σ，又设无风险证券的收益率f r =6%，求切点处风险证券A 、B 的投资比例及最优风险资产投资组合的期望收益率和标准差；再求效用函数为()2005.0σA r E U -=，A=4时，计算包含无风险资产的三种资产最优组合的结构。
求解：第一步，求风险资产的最优组合及该组合的收益率与标准差。
随意指定一个期望收益率%14=-P r ，考虑达到-P r 的最小方差的投资比例（因为无风险证券的方差以及与其他风险证券的协方差也都等于零，所以包括无风险证券在内的投资组合的方差实际上就等于风险证券组合的方差）：min(1221222221212σσσx x x x ++),S.T.---=--++P f r r x x r x r x )1(212211.令L=(1221222221212σσσx x x x ++)+[λ--P r ])1(212211f r x x r x r x ------， 由一阶条件：=∂∂λL --P r 0)1(212211=------f r x x r x r x 0)(2211222111=--+=∂∂-f r r x x x L λσσ 0)(2221212222=--+=∂∂-f r r x x x L λσσ 代入上述数字解得26825.8,268521==x x 。
风险证券A 、B 的组合结构为62.0,38.0212211=+=+x x x x x x ，这就是风险证券内部的组合结构和比例。
如果投资者比较保守，不追求那么高的收益率，比如选择%8=-P r ，则解得风险证券内部的组合结构和比例，仍然不变（忽略计算）。
说明投资者的风险偏好无论怎样，只是改变资金在无风险证券和风险证券之间的分配比例，风险资产投资的内部结构不会改变。
实验4：多种风险资产与无风险资产的最优投资组合决策
实验四：无风险资产与多种风险型资产最优投资组合的模型分析 一、实验目的通过上机实验，使学生充分理解Excel 软件系统管理和基本原理,掌握多资产投资组合优化的Excel 应用。
二、预备知识（一）相关的计算机知识： Windows 操作系统的常用操作；数据库的基础知识；Excel 软件的基本操作。
（二）实验理论预备知识现代资产组合理论发端于Markowitz(1952)提出的关于投资组合的理论。
该理论假设投资者只关心金融资产（组合）收益的均值（期望收益）和方差，在一定方差下追求尽可能高的期望收益，或者在一定的期望水平上尽可能降低投资收益的方差。
投资者的效用是关于投资组合的期望回报率和方差的函数，理性的投资者通过选择有效地投资组合以实现期望效用最大。
该理论第一次将统计学中期望与方差的概念引入投资组合的研究，提出用资产收益率的期望来衡量预期收益，用资产预期收益的标准差来度量风险的思想。
1、理论假设（Ⅰ）市场上存在n ≥2种风险资产，资产的收益率服从多元正态分布，允许卖空行为的存在。
{}12(,,,)T n ωωωωω=,代表投资到这n 种资产上的财富（投资资金）相对份额，它是n 维列向量，有11=∑=ni i ω，允许0<i ω，即卖空不受限制。
(Ⅱ) 用e 表示所有由n 种风险资产的期望收益率组成的列向量。
12(,,,)T n e R R R R == （1）p r 表示资产组合的收益率，)(p r E 和)(p r σ分别为资产组合p 的期望收益率和收益率标准差。
∑=⋅=⋅=ni ii Tp e r E 1)(μωω (2)(Ⅲ)假设n 种资产的收益是非共线性的(其经济意义为：没有任何一种资产的期望收益率可以通过其他资产的线性组合来得到，它们的期望收益是线性独立的。
)。
这样它们的方差-协方差矩阵可以表示为:⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=nn n n n n Q σσσσσσσσσ212222111211 （3）由于总是假定非负的总体方差,它还必须是一个正定矩阵,即对于任何非0的n 维列向量a ,都有0T a Qa >。
线性代数在投资组合优化中的应用案例研究
线性代数在投资组合优化中的应用案例研究随着金融市场的不断发展和投资者对投资回报的追求，投资组合优化成为了一个重要的研究领域。
在投资组合优化中，线性代数作为一种重要的数学工具，被广泛应用于资产配置、风险管理和投资决策等方面。
本文将基于实际案例，论述线性代数在投资组合优化中的应用。
1. 引言投资组合优化是指通过合理配置不同资产，以期达到最优的风险与回报平衡。
而线性代数作为数学的一个分支，专注于研究线性方程组和线性映射等数学问题。
通过线性代数的方法，我们可以精确地描述和解决投资组合优化问题。
2. 投资组合优化的基本原理投资组合优化的目标是要在给定的投资标的和约束条件下，寻找到最佳的资产配置方案。
线性代数在这一过程中扮演着重要的角色，其主要应用在构建资产预期收益率和协方差矩阵。
2.1 资产预期收益率的估计在投资组合优化中，资产的预期收益率是投资决策的一个重要指标。
通过线性代数的方法，我们可以利用历史数据或者基本面分析等方法来估计资产的预期收益率。
线性代数提供了一种有效的工具，可以对多个投资标的的收益率进行分析和运算，从而得到资产的预期收益率。
2.2 协方差矩阵的计算协方差矩阵是描述多个随机变量之间相关性的矩阵。
在投资组合优化中，协方差矩阵的计算是评估和管理投资组合风险的重要步骤。
线性代数提供了一种有效的方法来计算协方差矩阵，通过对资产收益率的线性组合，可以得到投资组合的协方差矩阵。
3. 案例研究：最小方差组合优化模型为了更好地阐述线性代数在投资组合优化中的应用，我们将以最小方差组合优化模型为例进行案例研究。
3.1 问题描述假设投资者面临5个不同的投资标的，每个标的具有不同的预期收益率和协方差。
投资者希望通过优化投资组合，最小化投资组合的风险（方差），以达到在给定风险下获取最大回报的目标。
3.2 模型构建我们可以利用线性代数的方法构建最小方差组合优化模型：Minimize: w^T * ∑ * wSubject to: w^T * μ = Rw^T * 1 = 1其中，w是一个n维向量，表示投资组合中不同资产的权重；∑是协方差矩阵；μ是预期收益率向量；R是给定的预期收益率；1是全1向量。
运用ExcelSolver构建最优投资组合王世臻
运用Excel Solver构建最优投资组合王世臻〔20121563〕黄燕宁〔20121941〕王爽〔20125204〕汪雅娴〔20121336〕杨瑞(20121799)潘晓玉〔20123384〕本文运用马科维茨投资组合优化程序来说明股票市场的分散化投资，借助Excel Solver构建最优投资组合。
我们从Resset金融研究数据库中从电子信息行业选取启明星辰等40只股票2010年至2013年的月收益率以与对应的无风险收益率等数据。
一、数据收集处理来源于Resset 金融研究数据库表1 启明星辰等40只股票数据二、 模型设定我们可以设第i 只股票的期望风险溢价为i (r )E ，第i 只股票的权重为i w ，整体的期望风险溢价为p (r )E ，标准差为p ，夏普比率为p S ，因此我们可以得到组合的期望风险溢价为：11224040()()()()()p i i E r w E r w E r w E r w E r =+++++(1)整体的标准差为：124040[(,)]11i j i jp w w Cov r r i j σ=∑∑==(2) 夏普比率为： p (r )p pE S σ=(3)三、构建组合我们分卖空和未卖空两种情况分别进展讨论： 〔一〕允许进展卖空在这种情况下，为了找出最小的方差组合，我们以(2)式为目标函数，以4011i i w ==∑为约束条件运用Excel solver 求解可以得到最小的标准差为，此时的风险溢价为 ，夏普比率为0.94525，同时可以得到此时的风险组合如表。
为了画出风险组合的有效边界，我们以(2)式为目标函数，通过改变(1)式的值利用Excel solver 画出如下图1：0.040.0450.050.0550.060.0650.070.0750.080.0850.09标准差风险溢价图1 有效边界与资本配置线图选取边界上夏普比率最高的组合，即有效边界上的最优的风险组合。
CFP学习精简笔记--投资
投资理论一、证券组合理论效用函数1、风险态度效用指主观的满足程度；投资者的效用是其财富的函数；；假定投资者为理性效用最大化者：投资者的目标------在服从预算约束条件下，使当前消费效用和期望财富（未来消费）效用，E [U(W)]，最大化。
凹性效用函数（厌恶）：财富越多越好（一阶导数为正）凸性----风险喜好线性效用函数-------风险中性边际效用递减（二阶导数为负）二阶导数为负二阶导数=0—2、风险价格：投资者为避免进入赌局，愿意付出的最大代价π：U(W-π) =0 .5 ×U(W+h) + 0 .5 ×U(W-h)π＝0.5 A σ2 A＞0 厌恶A＜0 喜好--------------A为风险厌恶指数如果资产组合的预期收益为E(r)、收益方差为σ2，其效用函数为：U ＝ E (r ) －σ2:注：标准差、预期收益率代入都不需要%，但最后的结果需要加上%。
3、效用函数的应用及无差异曲线的制作资产组合的预期收益率为E(r)，收益率方差为σ2，其效用函数为：U ＝E (r ) －0.005Aσ2对于任何一个投资者，A是确定的。
若A=4，则U ＝ E (r ) －0.005Aσ2对不同的U，可以画出某投资者一系列的无差异曲线，越在上面Ｕ（效用）越大，同一条线上所有的点效用相同Ａ相同的人在资本市场线上选择的组合也相同。
、例：投资人要在一个预期收益率为22%，标准差为34%的风险资产组合与无风险报酬率为5%的国库券之间做出投资选择。
解：如果投资人比较厌恶风险，如A＝3时，资产组合效用值为：U ＝22－×3×342) ＝4 66% 比无风险报酬率稍低，这时投资人会放弃风险资产组合而选择国库券。
4、风险厌恶系数A影响因素：投资者的风险偏好、风险承受能力、时间期限------通常通过问卷获得调查问卷测风险容忍度18分，则：最小方差投资组合--------两个风险资产进行组合[资产ｘ所占比重为：---------考试给出有效集定理：资本市场线----引入无风险资产}'案例：最优投资组合：两个风险资产与一个无风险资产股票Stock: E(r s ) = 13%， σs = 20%债券Bond: E(r b ) = 8%， σb = 12% 国库券R f = 5% ρsb = 解：另：~ws = 1 – wb 将其带入上式，结果即为：w b =40% w s =60% 求出 E(Rp) =11%， σp = % 假定A = 4， 最优风险资产组合在C 中的权重应为：则% 股票: = × =0 .4436 = %(xs) %债券= 29 76% % 国库券: = %二、资本资产定价模型CAPM2．1假设：投资者都是采用资产期望收益和标准差来衡量资产的收益和风险。
金融市场学投资学期末练习题(1)
期末练习题一、单项选择题1.根据以下数据答复2、3、4题。
σ2.根据上述效用函数公式，如果投资者的风险厌恶系数A＝4，则投资者会选择哪种投资？3.根据上述效用公式，如果投资者是风险中性的，会选择哪种投资？4.在效用公式中，变量A表示：A.投资者的收益要求5.CAPM模型认为资产组合收益可以由得到最好的解释。
6.国库券支付6%的收益，而一个风险资产组合有40%的概率取得12%的收益，有60%的概率取得2%的收益，风险厌恶的投资者是否愿意投资于这样一个资产组合？A.愿意。
因为他们获得了风险溢价B.不愿意，因为他们没有获得风险溢价C.不愿意，因为风险溢价太小E以上各项均不准确7σ2，A的值是多少时使得风险资产与无风险资产对于投资者来讲没有区别？A.5B.6C.78.国库券一般被看作无风险证券是因为〔〕。
A.短期和特性使得它们的价值相对于利率波动不敏感和B9.假设有两种收益完全负相关的证券组成的资产组合，那么最小方差资产组合的标准差为一个〔〕的常数。
A.大于零10.考虑两种有风险证券组成的资产组合的方差，以下哪种说法是正确的〔 BC 〕。
A.证券的相关系数越高，资产组合的方差减少的越多C.资产组合方差减小的程度依靠于证券的相关性11.从资本市场线上选择资产组合，以下哪些说法正确〔 BCE 〕。
A.风险厌恶度低的投资者将比一般风险厌恶投资者较多投资于无风险资产，较少投资于风险资产的最优组合B. 风险厌恶度高的投资者将比一般风险厌恶投资者较多投资于无风险资产，较少投资于风险资产的最优组合12.根据CAPM模型，贝塔值为1.0，的资产组合的预期收益率为〔 D 〕。
M和r f之间 B。
无风险利率 C. r M－r fM13.债券的到期收益率是：BA.当债券以折价方式出售时，低于息票率；当以溢价方式出售时，高于息票率14.一债券有提前赎回条款是：DA.很有吸引力的，因为可以立即得到本金加上溢价，从而获得高收益B.当利率较高时倾向于执行赎回条款，因为可以节省更多的利息支出C.相对于不可赎回的类似债券而言，通常有一个更高的收益率15.下面哪一种情况是以折价方式卖出债券？CA.债券息票率大于当期收益率，也大于债券的到期收益率B.债券息票率等于当期收益率，也等于债券的到期收益率C.债券息票率小于当期收益率，也小于债券的到期收益率D.债券息票率小于当期收益率，但大于债券的到期收益率16.考虑一个5年期债券，息票率为10%，但现在的收益率为8%，如果利率保持不变，一年以后这种债券的价格会：B17.以下哪一条对投资者而言，可转换债券不是有利的：A18.六个月期国库券即期利率为4%，一年期国库券即期利率为5%，则六个月后隐含的六个月远期利率为：DA.3.0%B.4.5%C.5.5%D.6.0%19.把以下两类债券按久期长短排序。
最小方差组合计算公式
最小方差组合计算公式最小方差组合权重具体公式为：例如根据权重、标准差计算：A证券的权重×标准差设为A；B证券的权重×标准差设为B；C证券的权重×标准差设为C。
确定相关系数：A、B证券相关系数设为X；A、C证券相关系数设为Y；B、C 证券相关系数设为Z。
展开上述代数公式，将x、y、z代入，即可得三种证券的组合标准差=(A的平方+B的平方+C的平方+2XAB+2YAC+2ZBC)的1/2次方。
最小方差组合是一系列投资组合中风险最小的投资组合，适合风险厌恶型投资者，该种投资方式的收益也是最低的。
以最小方差法能反映一个地区类型分布的实际情况。
也可利用平方和公式，计算各个类型组合结构假设百分比分布和实际百分比分布之差的平方和。
最小方差组合权重公式反映了什么？利用最小方差公式，分别计算出各个类型的实际百分比分布和理论假设百分比分布之差的平方和，所得平方和愈趋近于0，说明实际分布最接近这种理论分布；将公式中所求出的平方和与假设组合结构分类标准逐一比较找出其最小N值，确定所属的组合类型。
方差反映了样本数据围绕样本平均值变化的情况，方差值越小，表明数据越靠近平均值，离散程度越小。
相反，方差值越大，数据离平均值越远，离散程度越大。
最小方差组合权重公式如图所示：以下是方差的相关介绍：方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。
在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。
方差是衡量源数据和期望值相差的度量值。
在统计描述中，方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异。
为避免出现离均差总和为零，离均差平方和受样本含量的影响，统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异程度。
证券的最小方差如何计算完全负相关的证券A和证券B，其中证券A的标准差为30％、期望收益率为14％，证券B的标准差为25％、期望收益率为12％。
最优投资组合模型
收益确定时,怎样投资风险最小;
或者风险确定时,怎样投资收益最大.
收益用收益率度量,风险表示不确定性,可用方差衡 量,方差越大,风险越高.
马克维茨最优投资组合模型-法1
8
假设有n个项目可以投资，各项目的平均收益率分别为Ri，各项
步2-利用average函数计算各项目的平均收益率,设定初 始投资比例,计算投资比例合计
示例2-步骤
11
步3-计算投资组合的收益率和风险（方差）。
利用sumproduct函数，根据各项目平均收益率和投资比例计算投资组合的 收益率。
根据风险计算公式，计算投资组合的风险
选中N4：P6区域，在函数编辑框输入“=TRANSPOSE(J10:L10)*J10:L10” 同时按下CTRL+SHIFT+ENTER3个键，计算投资i和投资j在投资组合中的权重 利用sumproduct函数，根据上述计算结果和项目间的协方差矩阵计算投资组
15
引入风险厌恶度,使风险和收益两个目标合并成1个目标.风 险厌恶度表示投资人对风险的厌恶程度,范围在0-1之间.风 险厌恶度=1,表示最厌恶风险,是最保守的态度;风险厌恶度 =0,表示最喜欢风险,是最冒险的态度.则投资组合问题转化 为单目标问题.
若风险厌恶度等于D，预期收益率为R，预期方差为 则 综合风险收益率为 R (1 D)R D2
合的风险（方差）
n
投资组合收益率 R WiRi i 1
nn
投资风险 2
WiWj cov(RBiblioteka , R j )i1 j1
投资i和投资j在投资组合中的权重
第五章投资组合
)
2
2 A
P
(1 W
) A
W
1 P A
E(RP )
Rf
E(RA) Rf
A
P
35
E(RP)
E(RA)
一种无风险证券与一种风险证券组合的有效集
0﹤W﹤1 贷出
W﹤0,借入 CAL
A
E(RA)- Rf
Rf
36
说明
1、无风险证券和风险证券构成的组合的可行集 也是有效集，是一条直线，称为资本配置线 （CAL）；
1
1.1
1.2
标准差
30
多种证券组合的可行集的一般形状
E(R)
A 最小方差 组合
B
S
C
D
31
三、有效集 efficient set
• 又称有效边界，是可行集的子集， 集合中所有组合满足两个条件：收 益率一定，风险最低；风险一定， 收益率最高。
1、风险证券组合的有效集 证券组合可行集的左上边界（分
• 某投资人风险厌恶系数A=3，资产组合X 的期望收益率是12%，标准差是18%； 资产组合Y的标准差是24%，且年终有概 率相等的现金流是84000元和144000 元。Y的价格为多少时，X、Y是无差异 的？
41
投资者的最优选择
• 最优证券组合：投资者的无差异曲线和有
效集的切点组合。
• 是投资者效用最大时的投资组合。由于不
• 其中WA +WB=1，可以为负数，表示卖 空该股票
• 两种证券组合的预期收益率为：
E(RP ) WAE(RA ) WB E(RB )
3
例5-1
• 投资者投资于预期收益率分别为 29.22%和17.01%的平安银行和宝钢股 份两种股票。问：①如将自有资金10 000元等比例投资于两种股票上，则投 资者的预期收益率是多少？②如先卖空 宝钢股份股票16 000元，然后将所得资 金与自有资金10 000元一起购买平安银 行，则投资者的预期收益率又是多少？
基金从业资格考试投资组合管理知识点
第十二章投资组合管理本章内容概述本章主要介绍投资组合管理的基础理论和方法。
第一节介绍马科维茨均值方差模型；第二节介绍资本市场理论和CAPM模型；第三节介绍被动投资与主动投资的基本理论，包括市场有效性、被动投资、主动投资等内容；第四节介绍股票和债券投资组合的构建。
第一节现代投资组合理论一、现代投资组合理论与资本市场理论发展概述1.1952年，马科维茨在《金融杂志》上发表了一篇题为“资产组合的选择”的文章，首次提出了均值—方差模型，奠定了投资组合理论的基础，标志着现代投资组合理论的开端。
2.马科维茨用收益率的期望值来度量收益，用收益率的标准差来度量风险，推导出的结论是，投资者应该通过同时购买多种证券而不是一种证券进行分散化投资。
1990年，马科维茨凭此获得了诺贝尔经济学奖。
3.现代投资组合理论的核心思想就是把多种证券的投资组合看作是一个整体来进行分析和度量，然后把投资组合的风险分解为两部分—系统风险和非系统风险。
投资者可以通过持有多种类型的证券以达到分散非系统风险，从而进一步降低整个组合的风险。
4.现代资本市场理论的产生使关于金融问题的分析实现了从定性到定量的转变，其所涵盖的大量科学分析方法与著名的金融理论，如资产组合理论、资本资产定价模型、套利定价理论、期权定价理论以及作为它们理论基础的有效市场假说等，皆在理论界得到普遍的认可。
二、均值—方差模型概述1.投资者不仅关心投资收益率，也关心投资风险。
马科维茨投资组合理论的基本假设是投资者是厌恶风险的。
如果在两个具有相同预期收益率的证券之间进行选择，投资者会选择风险较小的。
要让投资者承担更高的风险，必须有更高的预期收益来补偿。
2.在回避风险的假定下，马科维茨建立了一个投资组合分析的模型，其要点如下：首先，投资组合具有两个相关的特征，一是预期收益率，二是各种可能的收益率围绕其预期值的偏离程度，这种偏离程度可以用方差度量。
其次，投资者将选择并持有有效的投资组合。
最小方差控制
最小方差控制最小方差控制是一种在统计学和工程学中广泛使用的方法，主要用于优化过程控制和预测。
它的主要目标是找到一个系统或模型的参数设置，使得系统的输出（或预测）的方差最小。
这种方法通常用于减少随机误差，提高预测的准确性。
最小方差控制的基本思想是：如果我们能够找到一个参数设置，使得系统在不同输入条件下的输出（或预测）的方差最小，那么我们就可以说这个参数设置是最优化的。
这是因为方差是一个衡量数据分散程度的统计量，方差越小，数据的分散程度就越小，预测的准确性就越高。
最小方差控制的实现通常需要解决一个优化问题。
这个问题的目标是找到一个参数设置，使得系统输出的方差最小。
这个问题可以通过各种优化算法来解决，如梯度下降法、牛顿法等。
这些算法的基本思想是通过迭代地调整参数设置，逐步找到使方差最小的参数设置。
最小方差控制在许多领域都有广泛的应用。
例如，在金融工程中，最小方差控制被用来优化投资组合，以最小化投资的风险。
在机器学习中，最小方差控制被用来优化模型的参数，以提高模型的预测准确性。
在信号处理中，最小方差控制被用来优化滤波器的设计，以提高信号的质量。
然而，最小方差控制也有其局限性。
首先，它假设系统是线性的，或者至少是可近似为线性的。
如果系统是非线性的，那么最小方差控制可能无法找到最优的参数设置。
其次，最小方差控制只考虑了预测的准确性，而没有考虑其他可能的目标，如预测的速度、系统的复杂性等。
因此，在某些情况下，最小方差控制可能不是最优的控制策略。
总的来说，最小方差控制是一种强大的工具，可以帮助我们优化过程控制和预测。
然而，我们也需要注意它的局限性，并在实际应用中灵活地使用它。
在实际应用中，最小方差控制的具体步骤通常包括以下几个部分：1. 定义系统模型：首先，我们需要定义系统的行为模型。
这个模型可以是线性的，也可以是非线性的。
模型的形式取决于我们对系统的理解程度和可用的数据。
2. 选择优化算法：然后，我们需要选择一个优化算法来求解最小方差控制问题。
风险衡量
第四章 风险衡量第一节 风险的数学表达对于风险，理论上还没有统一的定义。
风险都是源自未来事件的不确定性，从数学角度看，它表明的是各种结果发生的可能性。
在公司金融学中，研究风险是为了研究投资的风险补偿，对风险的数学度量，是以投资（资产）的实际收益率与期望收益率的离散程度来表示的。
最常见的度量指标是方差（Var 或2σ）和标准差（σ）。
一、单项证券的期望和方差将投资收益率视为一个随机变量（R ~）。
期望收益率是指投资前所能预期的所有可能的收益率的期望平均值，用R 或)~(R E 表示。
收益率的方差或标准差表示收益率对于期望值的偏离程度，偏离程度越高，未来收益率越波动，风险也越大。
下面以股票投资的例子来说明投资收益率的这些指标是如何计算的。
【例4.1】假设股票A 一年后的投资收益率会根据未来不同的经济情况而变化，具体预测情况见表4—1。
表4—1股票A 一年后预期收益率情况表1. 股票A 的期望收益率i A ni i A R P R ,1~⨯=∑=＝0.5×20％＋0.1×5％＋0.4×(－10％)＝6.5%2. 股票A 的方差2,1)~(A i A ni i A R R P Var -⨯=∑=＝0.0200253. 股票A 的标准差A A V a r =σ=0.141510=14.15%。
上例中，假设收益率只有三种可能的情况出现，股票A 的收益率是离散型分布。
如果股票A 的收益率连续型分布，有无限的可能结果，就需要根据连续型分布的特征，运用积分计算期望收益率以及方差和标准差。
对收益率的一个经常的假设是它符合正态分布。
正态分布是对称分布，其特点是只有两个特征变量，即期望值和方差（或标准差）。
因此，如果我们已知股票A 收益率的期望与方差并且符合正态分布，就可以知道预期收益率的所有变化情况（见图4—1）。
图4—1 股票A 收益率服从正态分布二、证券之间的协方差和相关系数方差和标准差表示了单个股票收益率的变动程度，如果我们要研究两个证券之间互动关系，就需要了解它们之间的协方差和相关系数。
两定两动的最小值问题的思路
两定两动的最小值问题的思路1. 什么是两定两动的最小值问题？在数学中，两定两动的最小值问题是指有两组或两类已知量，其中有两个量是固定不变的（称为定值），而另外两个量可以自由变动（称为动值）。
问题的目标是找到这两个可变量的取值，使得某个函数（目标函数）的值达到最小。
具体来说，两定两动的最小值问题可以通过以下形式进行表达：minf(x,y)x,y其中，x和y是可变量，f(x,y)是目标函数。
2. 解决两定两动的最小值问题的思路解决两定两动的最小值问题的思路通常可以分为以下几个步骤：2.1 理解问题并确定目标函数首先，需要完全理解问题的背景和要求，明确目标函数的定义。
目标函数是两定两动的最小值问题中需要最小化的函数。
它可以是一个已知函数，也可以是通过数据和限制条件构建的数学模型。
2.2 分析约束条件在解决两定两动的最小值问题时，通常会有一些额外的约束条件需要满足。
这些约束条件可能是关于可变量取值的限制，也可能是关于目标函数取值的限制。
分析这些约束条件可以帮助我们更好地理解问题，同时也有助于确定可行解的范围。
2.3 求解最小值根据问题的要求和定义，采用适当的数学方法和算法求解目标函数的最小值。
常见的方法包括数值优化方法（如梯度下降法、牛顿法等）和约束优化方法（如拉格朗日乘子法、KKT条件等）。
根据具体情况选择合适的求解方法，进行迭代求解直到满足停止准则。
2.4 验证最小值求解得到最小值后，需要对结果进行验证。
验证可以通过计算目标函数在最小值处的值，以确定解是否满足问题的要求。
同时，还可以通过敏感性分析和全局搜索等方法，进一步验证最小值的准确性和稳定性。
3. 实例分析：优化投资组合的最小方差问题为了更好地理解两定两动的最小值问题的思路，我们以优化投资组合的最小方差问题为例进行分析。
3.1 问题描述假设我们有一组可选的投资标的，每个标的的预期收益率和风险（方差）已知。
我们希望找到一个投资组合，使得投资组合的方差最小。