非线性弹性三维本构关系
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三维非线性指标：Ottosen法
! 保持σ1, σ2不变，改变σ3 直至与破坏面相交得到 交点(σ1, σ2, σ3f) β = σ3 σ3f
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
三维非线性指标：比例增大法
! 比例增大(σ1, σ2, σ3)，直至与破坏面相 交得到交点(σ1f, σ2f, σ3f)
(1 −ν )E0 νE0
(1 −ν )t E0
sym
νE0
νE0
(1−ν )E0
0 0 0
0.5(1− 2ν )E0
0 0 0 0
0.5(1− 2ν )E0
0
0
0
0
0ห้องสมุดไป่ตู้
0.5(1
−
2ν
)E0
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
各种本构模型的本质差别
! 非线性弹性模型：主要（完全）依赖对 试验数据的拟合和人为假设
! 引入调整系数k
β
=
σ3 σ3f
k
0≤k ≤1
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
等效一维应力应变关系
! 采用Sargin表达式
σ
=
k3
fc
1
A
ε ε0
+
(D
+
(
A
−
2)
ε ε0
−1)
ε ε0
2
+
D
ε ε0
2
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
割线模量计算式
β=σ fc
Es
=
σ ε
三维非线性指标： J2 法
! 保持I1, θ不变，改变J2 直至与破坏面相交得到 交点(I1, J2f, θ)
β = J2 J2 f
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
Cedolin 模型
σ oct = 3K sε oct τ oct = 3Gsγ oct
K s = ab −εoct / c + d K0
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
非线性弹性模型的分类
! 全量形式模型 ! 采用割线模量 ! 简单 ! 难以模拟加卸载
{t+∆tσ }= [Ds ]{t+∆tε}= [Ds ]({tε}+ {dε})
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
弹性本构矩阵－E υ形式
1
De = (1 +ν )(1− 2ν )×
νs =ν0
if β < βa
( ) ν s = ν f − ν f −ν 0
1
−
β 1
− βa − βa
2
if β ≥ βa
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
求主应力
I1 = −6 − 6 −12 = −24 [s] = [2 2 − 4 2 2 1]T
σm
=
− 24 3
=
−8
J 2 = −S11S22 − S22S33 − S11S33 + S122 + S232 + S312 = 21
β
1 +
(A
−
2)
ε ε0
+
D
ε ε0
2
=
A
ε ε0
+
(D
−
1)
ε ε0
2
ε = σ / fc = β Ec
ε0 Es Ec
Es
Es
=
1 2
E0
−
β
(
1 2
E0
−
Ec )
±
1 2
E0
−
β
(
1 2
E0
−
E
f
)
2
+
βEc2
[D(1−
β
)
−1]
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
割线泊松比计算
G
K
=
E 3(1 − 2ν )
G
=
E 2(1 +ν
)
E
=
9KG 2K + G
ν
=
3K − 2G 2(3K + G)
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
非线性弹性模型的基本思路
! 将三维应力/应变归一化，寻找合适的应 力/应变水平指标，以该指标为基础建立 本构模型 ! Ottosen, 江见鲸模型，过镇海模型
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
全量模型
! K－G模型 ! 分别建立K和G随应力/应变的变化关系
! E－υ模型
! 分别建立E和υ随应力/应变的变化关系
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
非线性指标(Nonlinear Index)
β= σ
σ
fc
fc
! β = 1 处于破坏状态
ε
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
J 3 = S11S22 S33 + 2S12S23S31 − S11S232 − S22S312 − S33S122 = −2
r = cos 3θ
4J2 3
= 5.292
=
4J3 r3
= 31.03o
J2 = 5.292
σ σ
1 2
=
2
σ 3
J2 3
ccooss((cθθos+−θ3232
! 弹塑性模型：用塑性力学解释非线性指 标，控制其发展变化
! 损伤模型：用损伤力学解释非线性指标， 控制其发展变化
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
非线性弹性模型的分类
! 增量形式模型 ! 采用切线模量 ! 稍复杂 ! 可以模拟加卸载
{ } { } σ t+∆t = tσ + {dσ } = {tσ }+ [Dt ]{dε}
Gs G0
=
pq −γ oct / v
+ sγ oct
+t
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
二维非线性指标
β = σ 2 = σ1 = OP σ 2 f σ1 f OF
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
Ottosen模型
! 破坏准则 ! 非线性指标 ! 等效应力应变关系
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
! 在主应力空间里分别建立主应力－主应 变的关系，然后用经验/假设方法确定本 构矩阵的非对角项 ! ADINA, Darwin
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
空间应力应变关系
σ ij = ε Cijkl kl
σ x
σ
y
[σ
]
=
τσxzy
τ
yz
τ zx
εx
ε
y
[ε
]
=
εεxzy
ε
yz
ε zx
[σ ] = [D][ε ]
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
混凝土三维本构模型的核心
! 混凝土的应力应变关系，主要是建立在 一维情况下
! 寻找合适的指标，将一维的应力应变关 系拓展到三维
! 非线性指标：
! 非线性弹性本构 β
! 弹塑性本构
ε pl
! 损伤力学本构 D
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
非线性弹性三维本构关系
江见鲸 陆新征 清华大学土木工程系
2004
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
弹性本构矩阵－K G形式
K
+
4 3
G
D=
K
−
2 3
G
K
+
4 3
G
sym
K
−
2 3
G
K
−
2 3
G
K
+
4 3
G
0 0 0 G
0
0
0 0 G
0
0
0
0
0
π π
) )
+
I1 3
=
cos(31.030) 5.288cos(31.030 −1200 ) − 8
cos(31.030 + 1200 )
=
− 3.466
−
7.905
−12.630
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! 保持σ1, σ2不变，改变σ3 直至与破坏面相交得到 交点(σ1, σ2, σ3f) β = σ3 σ3f
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
三维非线性指标：比例增大法
! 比例增大(σ1, σ2, σ3)，直至与破坏面相 交得到交点(σ1f, σ2f, σ3f)
(1 −ν )E0 νE0
(1 −ν )t E0
sym
νE0
νE0
(1−ν )E0
0 0 0
0.5(1− 2ν )E0
0 0 0 0
0.5(1− 2ν )E0
0
0
0
0
0ห้องสมุดไป่ตู้
0.5(1
−
2ν
)E0
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各种本构模型的本质差别
! 非线性弹性模型：主要（完全）依赖对 试验数据的拟合和人为假设
! 引入调整系数k
β
=
σ3 σ3f
k
0≤k ≤1
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
等效一维应力应变关系
! 采用Sargin表达式
σ
=
k3
fc
1
A
ε ε0
+
(D
+
(
A
−
2)
ε ε0
−1)
ε ε0
2
+
D
ε ε0
2
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
割线模量计算式
β=σ fc
Es
=
σ ε
三维非线性指标： J2 法
! 保持I1, θ不变，改变J2 直至与破坏面相交得到 交点(I1, J2f, θ)
β = J2 J2 f
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
Cedolin 模型
σ oct = 3K sε oct τ oct = 3Gsγ oct
K s = ab −εoct / c + d K0
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
非线性弹性模型的分类
! 全量形式模型 ! 采用割线模量 ! 简单 ! 难以模拟加卸载
{t+∆tσ }= [Ds ]{t+∆tε}= [Ds ]({tε}+ {dε})
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
弹性本构矩阵－E υ形式
1
De = (1 +ν )(1− 2ν )×
νs =ν0
if β < βa
( ) ν s = ν f − ν f −ν 0
1
−
β 1
− βa − βa
2
if β ≥ βa
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
求主应力
I1 = −6 − 6 −12 = −24 [s] = [2 2 − 4 2 2 1]T
σm
=
− 24 3
=
−8
J 2 = −S11S22 − S22S33 − S11S33 + S122 + S232 + S312 = 21
β
1 +
(A
−
2)
ε ε0
+
D
ε ε0
2
=
A
ε ε0
+
(D
−
1)
ε ε0
2
ε = σ / fc = β Ec
ε0 Es Ec
Es
Es
=
1 2
E0
−
β
(
1 2
E0
−
Ec )
±
1 2
E0
−
β
(
1 2
E0
−
E
f
)
2
+
βEc2
[D(1−
β
)
−1]
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割线泊松比计算
G
K
=
E 3(1 − 2ν )
G
=
E 2(1 +ν
)
E
=
9KG 2K + G
ν
=
3K − 2G 2(3K + G)
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
非线性弹性模型的基本思路
! 将三维应力/应变归一化，寻找合适的应 力/应变水平指标，以该指标为基础建立 本构模型 ! Ottosen, 江见鲸模型，过镇海模型
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
全量模型
! K－G模型 ! 分别建立K和G随应力/应变的变化关系
! E－υ模型
! 分别建立E和υ随应力/应变的变化关系
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
非线性指标(Nonlinear Index)
β= σ
σ
fc
fc
! β = 1 处于破坏状态
ε
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J 3 = S11S22 S33 + 2S12S23S31 − S11S232 − S22S312 − S33S122 = −2
r = cos 3θ
4J2 3
= 5.292
=
4J3 r3
= 31.03o
J2 = 5.292
σ σ
1 2
=
2
σ 3
J2 3
ccooss((cθθos+−θ3232
! 弹塑性模型：用塑性力学解释非线性指 标，控制其发展变化
! 损伤模型：用损伤力学解释非线性指标， 控制其发展变化
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
非线性弹性模型的分类
! 增量形式模型 ! 采用切线模量 ! 稍复杂 ! 可以模拟加卸载
{ } { } σ t+∆t = tσ + {dσ } = {tσ }+ [Dt ]{dε}
Gs G0
=
pq −γ oct / v
+ sγ oct
+t
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
二维非线性指标
β = σ 2 = σ1 = OP σ 2 f σ1 f OF
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
Ottosen模型
! 破坏准则 ! 非线性指标 ! 等效应力应变关系
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
! 在主应力空间里分别建立主应力－主应 变的关系，然后用经验/假设方法确定本 构矩阵的非对角项 ! ADINA, Darwin
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
空间应力应变关系
σ ij = ε Cijkl kl
σ x
σ
y
[σ
]
=
τσxzy
τ
yz
τ zx
εx
ε
y
[ε
]
=
εεxzy
ε
yz
ε zx
[σ ] = [D][ε ]
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
混凝土三维本构模型的核心
! 混凝土的应力应变关系，主要是建立在 一维情况下
! 寻找合适的指标，将一维的应力应变关 系拓展到三维
! 非线性指标：
! 非线性弹性本构 β
! 弹塑性本构
ε pl
! 损伤力学本构 D
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
非线性弹性三维本构关系
江见鲸 陆新征 清华大学土木工程系
2004
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
弹性本构矩阵－K G形式
K
+
4 3
G
D=
K
−
2 3
G
K
+
4 3
G
sym
K
−
2 3
G
K
−
2 3
G
K
+
4 3
G
0 0 0 G
0
0
0 0 G
0
0
0
0
0
π π
) )
+
I1 3
=
cos(31.030) 5.288cos(31.030 −1200 ) − 8
cos(31.030 + 1200 )
=
− 3.466
−
7.905
−12.630
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》