空间点线面的位置关系(优质课)

5.证明三点共线、三线共点的问题
例1 已知三角形ABC的三条边AB、BC、AC与平面α分别交于P、
Q、R.求证：P、Q、R共线.
A
要证明各点共线，只 要证明他们是两个相 交平面的公共点.
B C
P
RQ
证明： P AB 平面ABCP 平面ABC.
又 P P 平面ABC.
同理Q、R也为公共点，所以P、Q、R共线.
3.平面的基本性质
(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表示: a // b,b // c a // c.
c
a
a
α
bc
注4：①平行具有传递性；
②该公理是判断空间两条直线平行的方法之一.即要证明两条 直线平行，一般利用第三条直线作为联系两直线的中间环节.
例 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线AB与C1D1 ，AD1与 BC1是什么位置关系？为什么？
back
3.平面的基本性质
公理1： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
①图形语言：
A B C
②符号语言：
A, B,C不共线 有且只有一个平面，使得A, B ,C
3.平面的基本性质
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
A B aC
已知点A a，求证过点A和直线a可以确定一个平面.
记作：a b O
③异面直线——不在任何一个平面内，没有公共点的两条直线。
b
a γ
小结 点、线、面之间的位置关系及语言表达
文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达
点A在直线a上 点A不在直线a上
A
a
A
a
A∈a A∈a
点A在平面α上 点A不在平面α上 直线a在平面α内
A α
α α
A
a a
A∈α A∈ α
②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元 素确定平面，最后证明平面、重合.
4.点线共面问题
例 证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内.
B A
确定一个面，再
C
证明其余线在该
面内.
已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C 求证：直线AB，BC，AC共面.
证明：因为AB∩AC=A，
(1)证明的主要依据是公理3： 如果两个平面相交，则这两个平面的公共点共线； 如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一平面的交点
必在这两个平面的交线上.
(2)证明的常用方法： ①首先找出两个平面，再证这三个点都是这两个平面的公共点； ②选择其中两点确定一条直线，然后证明另一个点也在其上（一 般地，这条直线看作某两个平面的交线，往证第三个点也是两个 面的公共点）； ③证明三线共点问题：先证明两条直线交于一个点，再证明第三 条直线经过这个点（转化为证明点在线上的问题）
空间中的点、直线、平面之间有什么位置关系，是我们接下来要讨论的问题.
D1
C1
A1
B1
D C
A
B
平面的概念与画法
几何里的平面是无限延展的.
常常把水平的平面画成锐角为450， 横边长等于其邻边长2倍的平行四边形.
表示①平面α、平面β、平面γ；
②用表示平行四边形的四个顶点
或两个相对顶点的字母来表示，
如平面ABCD或平面AC、平面BD.
解：1）∵AB∥A1B1， C1D1 ∥A1B1， D1
C1
∴ AB ∥ C1D1
A1
B1
2）∵AB ∥C1D1 ，且AB = C1D1
D
C
∴ ABC1D1为平行四边形
A
B
故AD1 ∥ BC1
练习：上例中，AA1与CC1，AC与A1C1的位置是什么关系？
例 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，
思考：
(1)不共面的四点可以确定多少个平面? 4 个 (2)共点的三条直线可以确定多少个平面? 1个或3个
3.平面的基本性质
公理2：若一条直线上的两点在一个平面内， 则这条直线在此平面内.
①图形语言：

A
l
B
②符号语言：Al, B l且A, B l
3.平面的基本性质
思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？
C
“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法．
问1:若上例加上条件AC=BD，则四边形EFGH是一个什么图形？ 菱形
“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法．
E
D
G
（1）证明:连接EF ,
C
因为AE // BC且AE BC,
F
所以四边形ABFE为平行四边形.
AB // EF且AB EF.
不会！因为平面是无限延展的. 因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点， 并且这些公共点在一条直线上.
3.平面的基本性质
公理3：若两个不重合的平面有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线.
①图形语言：

P

l
②符号语言： P , P l P l
③该公理反映了平面与平面的位置关系：
D
所以往证K∈面ABD∩面CBD.
B
K
F
G
C
而显然，由EH∈面ABD，K∈EH，可得K∈面ABD. 同理，由FG∈面CBD，K∈FG，可得K∈面CBD.
练习 正方体ABCD A1B1C1D1中，
(1)M 是该正方体下底面的中心，过C1, B, D作一截面，
求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在C1M 上.
又 D BD,CD, AD ,即AD, BD,CD共面.
4.点线共面问题
证明：一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线共面.
cB
已知：a//b，a∩c=A，b∩c=B. 求证：直线a，b，c共面.
Aa b
证明： 因为a//b，
所以直线a，b确定一个平面 .（推论3）
因为A∈a，B∈b，所以A∈，B∈.
又因为A∈c，B∈c.故AB .（公理1）
因此直线a，b，c共面.
4.点线共面问题
思考 已知一条直线与三条平行直线都相交，证明这四条直线共面.
已知：a//b//c，a∩l=A，b∩l=B, c∩l=C.
求证：直线l与a，b，c共面.
l
A B
a
C
b c
证明： ∵a//b， ∴直线a，b确定一个平面.（推论3）
所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2）
因为B∈AB，C∈AC，所以B∈，C∈， 故BC.（公理1）
因此直线AB，BC，CA共面.
4.点线共面问题
练 已知A, B,C l,D l,求证:直线AD,BD,CD共面.
D
Al B C 证明: D l.l与D确定平面 .
又 A, B,C l, l A, B,C .
§4 空间图形的基本关系与公理
空间图形是丰富的，它由一些基本的图形： 点、线、面组成.认识清楚它们的位置关系，对 于我们认识空间图形是很重要的.
观察长方体，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线， 以及侧面、地面之间的关系吗？
长方体由上下、前后、左右六个面围成，有些面是平行的， 有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在 的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看作是某个面内 的直线等等.
1、直线在平面内
直线a与平面α有无数多个公共点
记作：直 线 a 平 面 α
α
2、直线与平面相交
直线与平面只有一个公共点
记作：直线a∩平面α=点A
3、直线与平面平行
A α
直线与平面没有公共点
记作：直线a//平面α
α
a a
a
4.空间平面与平面的位置关系有两种：
（1）两个平面平行---没有公
共点的两个平面
练 已知a ，b ，a∩b=A，P∈b，PQ//a . 求证：PQ .
b Aa

P
Q
证明: PQ // a,直线PQ与a确定一个平面，设为. P,a .
又P b , a ,且P a.
由推论1，过P，a有且只有一个平面.
和重合，即有PQ .
5.证明三点共线、三线共点的问题
3.填空: (1)___不__在__同__一__直__线__上__的三点确定一个平面;
(2)两条 平行或 相交直线确定一个平面;
(3)有一个公共点的两个平面交于 唯一的一条直线.
4.下列命题正确的是( D) A. 经过三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
A
又因为C, D分别为棱边的中点,
CD为 GEF的中位线.
B
DC // EF且DC 1 EF. 2
即DC // AB且DC 1 AB. 2
四边形ABCD为梯形.
back
4.点线共面问题
(1)证明的主要依据：公理1；公理2及其三个推论.
(2)证明的常用方法： ①纳入平面法：先由部分元素确定一个平面，再证明其余有关的 点、线在此平面内；
aα
a b∩α＝A
直线a在平面α外 α
A α
a∥α
1、如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
a
B A
l
（1）

al
P
b
（2）
D
2.观察长方体中点、直线、平面之间的位置关系 A
C B
D C
A
B
思考：
(1)过一点可以做几条直线？两点呢？ (2)过平面内一点可以做几个平面？两点呢？三点呢？
∵ l ∩a=A， l ∩b=B，∴ A∈，B∈. 又A∈l，B∈l，故l .
同理，直线b，c确定一个平面，且l .
∴平面与都过两相交直线b，l.
又∵两相交直线确定一个唯一的平面.
∴与重合.
故l与a，b，c共面.
证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法.
4.点线共面问题
3.平面的基本性质
公理2： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
A B C
B
A
aC
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
a
α
b
a
b
α
注3： 公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据， 是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.
练习
5.判断下列命题是否正确:
(1)平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点. ×
(2)经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个
平面. √ (3)经过两条相交直线,有且只有一个平面. √
(4)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个
平面重合. √
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3.平面的基本性质
我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,
5.证明三点共线、三线共点的问题
空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，H分别 是CD和AD上的点，且EH与FG相交于K. 求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.
分析：
A
已知EH∩FG=K，要证EH，BD，FG共点. 即要证明B，D，K三点共线.
E
H
而BD是面ABD和面CBD的交线.
G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证：
EFGH是一个平行四边形.
证明：连结BD，
∵ EH是△ABD的中位线，
∴EH ∥BD且EH =
1 2
BD．
1
同理，FG ∥BD且FG = 2 BD．
∴EH ∥FG且EH =FG．
A
H E
D G
∴EFGH是一个平行四边形．
B
F
记作：平 面 α / / 平 面 β
（2）两个平面相交---两个平面不
重合，并且有公共点
记作：平面α平面β 直线a
α


a
5. 空间两条直线的位置关系：
①平行直线——在同一个平面内，没有公共点的两条直线。
②相交直线——在同一个平面内，有且只有一个公共点的两条直线。
α
a
b 记作：a//b
β
a Ob
β
如果一个平面被另一个平面挡住，
则这遮挡的部分用虚线画出来也可以不画。 α
.

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1.空间点与直线的位置关系有两种：
①点A在直线上
A
记作： Al
②点B在直线外
记作： B b
2.空间点与平面的位置关系有两种：
①点B在平面内
记作： B
②点A在平面外
记作： A
l
B
b
A
B
3. 空间直线与平面的位置关系有三种：
那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
D'
C'
观察：在右图的长方体中，
BB '// AA', DD '// AA'，那么 A'
B'
BB '与DD '平行吗？
D
C
A
B
观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, …
之间有何关系？
abcde
a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …
(2)若E, F分别是AB, A1A的中点，求证：CE, D1F, DA三线共点.
D1
C1
A1
F
A
D M
E
B1 C
B
例 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， (1)判断下列命题是否正确，并说明理由：
A×. 直线AC1在平面CC1B1B内； B×. 点A,O,C可确定一个平面；