【名师解析】广东省实验中学2015届高三第一次阶段考试数学(理)试题(解析版)

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2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(广东卷)(含答案全解析)

2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上,用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:样本数据x 1,x 2,…,x n 的方差s 2=1[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2],其中x 表示样本均值.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015广东,理1)若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},则M ∩N=( ) A.{1,4} B.{-1,-4} C.{0} D.⌀ 答案:D解析:由题意知集合M={-4,-1},N={4,1},M 和N 没有相同的元素.故M ∩N=⌀. 2.(2015广东,理2)若复数z=i(3-2i)(i 是虚数单位),则z = ( )A.2-3iB.2+3iC.3+2iD.3-2i 答案:A解析:因为z=i(3-2i)=3i -2i 2=2+3i,所以z =2-3i .3.(2015广东,理3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A.y= 2 B.y=x+1 C.y=2x +12x D.y=x+e x答案:D解析:根据函数奇偶性的定义,易知函数y= 2y=2x +1x 为偶函数,y=x+1为奇函数,所以排除选项A,B,C.故选D.4.(2015广东,理4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为( ) A.5B.10C.11D.1答案:B解析:从15个球中任取2个球,其中白球的个数服从超几何分布,根据超几何分布的概率公式,得所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为C 101C 51C 152=10×5=10. 5.(2015广东,理5)平行于直线2x+y+1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是( ) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+ =0或2x+y- =0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+ 5=0或2x-y- 5=0 答案:A解析:设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m ≠1),因为直线2x+y+m=0与圆x 2+y 2=5相切,即点(0,0)到直线2x+y+m=0的距离为 5,所以 5= 5,|m|=5.故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.6.(2015广东,理6)若变量x ,y 满足约束条件 4x +5y ≥8,1≤x ≤3,0≤y ≤2,则z=3x+2y 的最小值为( )A.4B.235C.6 D.315答案:B解析:作出题中约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,由z=3x+2y可得y=-32x+z2.z指的是直线y=-3x+z在y轴上的截距,根据图形可知当直线y=-3x+z通过点A时,可使z取得最小值,即z取得最小值.易知点A的坐标为1,45,所以z min=3×1+2×4=23.7.(2015广东,理7)已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1的离心率e=54,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.x 24−y23=1 B.x29−y216=1C.x 2−y2=1 D.x2−y2=1答案:C解析:因为双曲线C的右焦点为F2(5,0),所以c=5.因为离心率e=ca =54,所以a=4.又a2+b2=c2,所以b2=9.故双曲线C的方程为x 2−y2=1.8.(2015广东,理8)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值()A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5答案:B解析:特殊值法.当n=3时,正三角形的三个顶点之间两两距离相等,故n=3符合;当n=4时,联想正四面体的四个顶点之间两两距离相等,故n=4符合.由此可以排除选项A,C,D.故选B.二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9~13题)9.(2015广东,理9)在(x-1)4的展开式中,x的系数为.答案:6解析:该二项展开式的通项为T r+1=C4r(x)4-r(-1)r,当x的指数为1时,4-r=2,解得r=2.故T3=C42(x)2(-1)2=6x,即x的系数为6.10.(2015广东,理10)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=. 答案:10解析:根据等差数列的性质,得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,解得a5=5.又a2+a8=2a5,所以a2+a8=10.11.(2015广东,理11)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=3,sin B=12,C=π6,则b=.答案:1解析:由sin B=12解得B=π6或B=5π6.根据三角形内角和定理,舍去B=5π,所以B=π6,A=2π3.根据正弦定理asin A =bsin B,得3sin2π3=bsinπ6,解得b=1.12.(2015广东,理12)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案:1 560解析:该问题是一个排列问题,故共有A402=40×39=1 560条毕业留言.13.(2015广东,理13)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=. 答案:13解析:根据二项分布的均值、方差公式,得E(X)=np=30,D(X)=np(1−p)=20,解得p=13.(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.(2015广东,理14)(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2ρsin θ−π4=2,点A的极坐标为A22,7π4,则点A到直线l的距离为.答案:522解析:2ρsin θ−π=2,即2ρsin θcosπ-2ρcos θsinπ=2,将其化为直角坐标方程为y-x=1.又点A的直角坐标为22cos7π4,22sin7π4=(2,-2),所以点A(2,-2)到直线y-x=1的距离d=2=522.15.(2015广东,理15)(几何证明选讲选做题)如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1,过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于点D和点P,则OD=.答案:8解析:设OD交劣弧AC于点M,由OP∥BC,得OP=1,P为AC的中点,PM=3.由切割线定理得DC2=DM·(DM+4).①在△ABC中,AC为直角边,且AC=2−BC2=42−12=15,所以CP=152.在Rt△DCP中,DC2=(DM+PM)2+CP2, ②联立①②可求得DM=6,所以OD=8.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015广东,理16)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=22,−22,n=(sin x,cos x),x∈0,π.(1)若m⊥n,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为π3,求x的值.解:(1)∵m=2,−2,n=(sin x,cos x),且m⊥n,∴m·n=22,−2·(sin x,cos x)=2sin x-2cos x=sin x−π=0.又x∈0,π2,∴x-π4∈ −π4,π4.∴x-π=0,即x=π.∴tan x=tanπ4=1.(2)由(1)和已知得cosπ3=m·n|m|·|n|=sin x−π422+−22·sin2x+cos2x=sin x−π4=12,又x-π∈ −π,π,∴x-π4=π6,即x=5π12.17.(本小题满分12分)(2015广东,理17)某工厂36名工人的年龄数据如下表:(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;(2)计算(1)中样本的均值x和方差s2;(3)36名工人中年龄在x-s与x+s之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解:(1)依题意知所抽取的样本编号是一个首项为2,公差为4的等差数列,故其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34,对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)由(1)可得其样本的均值x=44+40+36+43+36+37+44+43+379=40,方差s2=19[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2]=19[42+02+(-4)2+32+(-4)2+(-3)2+42+32+(-3)2]=100.(3)由(2)知s=10,所以x-s=3623,x+s=4313.因为年龄在x-s与x+s之间共有23人,所以其所占的百分比是2336≈63.89%.18.(本小题满分14分)(2015广东,理18)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3,点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PE⊥FG;(2)求二面角P-AD-C的正切值;(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.(1)证明:∵PD=PC,且点E为CD边的中点,∴PE⊥DC.又平面PDC⊥平面ABCD,且平面PDC∩平面ABCD=CD,PE⊂平面PDC,∴PE⊥平面ABCD.又FG⊂平面ABCD,∴PE⊥FG.(2)解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD⊥DC.又平面PDC⊥平面ABCD,且平面PDC∩平面ABCD=CD,AD⊂平面ABCD,∴AD⊥平面PDC.∵PD⊂平面PDC,∴AD⊥PD.∴∠PDC即为二面角P-AD-C的平面角.在Rt△PDE中,PD=4,DE=1AB=3,PE= PD2−DE2=7,∴tan∠PDC=PEDE =73,即二面角P-AD-C的正切值为73.(3)解:如图所示,连接AC,∵AF=2FB,CG=2GB,即AF=CG=2,∴AC ∥FG ,∴∠PAC 即为直线PA 与直线FG 所成的角或其补角. 在△PAC 中,PA=2+AD 2=5, AC=2+CD 23 由余弦定理可得cos ∠PAC=PA 2+AC 2−PC 2=2 5)222×5×3 5=9 5, ∴直线PA 与直线FG 所成角的余弦值为9 525.19.(本小题满分14分)(2015广东,理19)设a>1,函数f (x )=(1+x 2)e x -a.(1)求f (x )的单调区间;(2)证明:f (x )在(-∞,+∞)上仅有一个零点;(3)若曲线y=f (x )在点P 处的切线与x 轴平行,且在点M (m ,n )处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原点),证明:m ≤a −2e3-1.解:(1)由题意可知函数f (x )的定义域为R ,f'(x )=(1+x 2)'e x +(1+x 2)(e x )'=(1+x )2e x ≥0,故函数f (x )的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间. (2)∵a>1,∴f (0)=1-a<0,且f (a )=(1+a 2)e a -a>1+a 2-a>2a-a=a>0. ∴函数f (x )在区间(0,a )上存在零点.又由(1)知函数f (x )在(-∞,+∞)上单调递增, ∴函数f (x )在(-∞,+∞)上仅有一个零点. (3)由(1)及f'(x )=0,得x=-1.又f (-1)=2e -a ,即P −1,2e −a ,∴k OP =2e−a−0−1−0=a-2e .又f'(m )=(1+m )2e m ,∴(1+m )2e m =a-2.令g (m )=e m -m-1,则g'(m )=e m -1,∴由g'(m )>0,得m>0,由g'(m )<0,得m<0.∴函数g (m )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. ∴g (m )min =g (0)=0,即g (m )≥0在R 上恒成立, 即e m ≥m+1.∴a-2e =(1+m )2e m ≥(1+m )2(1+m )=(1+m )3, 即 a −23≥1+m. 故m ≤ a −23-1.20.(本小题满分14分)(2015广东,理20)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A ,B. (1)求圆C 1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k ,使得直线L :y=k (x-4)与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由. 解:(1)由x 2+y 2-6x+5=0,得(x-3)2+y 2=4,从而可知圆C 1的圆心坐标为(3,0). (2)设线段AB 的中点M (x ,y ),由弦的性质可知C 1M ⊥AB ,即C 1M ⊥OM. 故点M 的轨迹是以OC 1为直径的圆,该圆的圆心为C 3,0 ,半径r=1|OC 1|=1×3=3, 其方程为 x −322+y 2= 322,即x 2+y 2-3x=0.又因为点M 为线段AB 的中点,所以点M 在圆C 1内, 所以 2+y 2<2. 又x 2+y 2-3x=0,所以可得x>5. 易知x ≤3,所以5<x ≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为x 2+y 2-3x=0 53<x ≤3 . (3)存在实数k 满足题意.由(2)知点M 的轨迹是以C 32,0 为圆心,32为半径的圆弧EF(如图所示,不包括两个端点), 且E 53,2 53 ,F 53,−2 53. 又直线L :y=k (x-4)过定点D (4,0), 当直线L 与圆C 相切时,由k 32−4 −0 k +1=32,得k=±34.又k DE =-k DF =-0− −2 534−53=2 5,结合上图可知当k ∈ −3,3 ∪ −2 5,2 5时,直线L :y=k (x-4)与曲线C 只有一个交点.21.(本小题满分14分)(2015广东,理21)数列{a n }满足:a 1+2a 2+…+na n =4-n +22n−1,n ∈N *.(1)求a 3的值;(2)求数列{a n }的前n 项和T n ; (3)令b 1=a 1,b n =T n−1+ 1+1+1+⋯+1a n (n ≥2),证明:数列{b n }的前n 项和S n 满足S n <2+2ln n.解:(1)依题意知3a 3=(a 1+2a 2+3a 3)-(a 1+2a 2)=4-3+223−1− 4−2+222−1 =34,即a 3=14.(2)∵当n ≥2时,na n =(a 1+2a 2+…+na n )-[a 1+2a 2+…+(n-1)a n-1]=4-n +22n−1− 4−n +12n−2=n2n−1,∴a n = 12 n−1.又a 1=4-1+220=1也适合此式, ∴a n = 1n−1,即数列{a n }是首项为1,公比为12的等比数列.故T n =1− 12n1−12=2- 1n−1. (3)由b n =a 1+a 2+⋯+a n−1n + 1+12+⋯+1n a n ,且b 1=a 1,知b 2=a 12+ 1+12 a 2,b 3=a 1+a 23+ 1+12+13a 3,……∴S n =b 1+b 2+…+b n = 1+1+⋯+1 (a 1+a 2+…+a n )= 1+1+⋯+1T n= 1+1+⋯+1 2−12n−1 <2× 1+1+⋯+1.记f (x )=ln x+1x -1(x>1),则f'(x )=1−12=x−12>0,∴f (x )在(1,+∞)上是增函数, 又f (1)=0,即在(1,+∞)上f (x )>0.又k ≥2,且k ∈N *时,kk−1>1, ∴f k =ln k+1k k−1-1>0,即lnk >1.∴1<ln 2,1<ln 3,……,1<ln n,即有1+1+…+1<ln 2+ln 3+…+ln n=ln n. ∴2× 1+1+1+⋯+1<2+2ln n , 即S n <2+2ln n.。

广东省实验中学高三数学上学期第一次段考试卷文(含解析)

广东省实验中学2015届高三上学期第一次段考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．（5分）从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，322．（5分）如图，设全集为U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}3．（5分）已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A（1，2），B（﹣1，3），则=（）A．1+i B．i C．1﹣i D．﹣i4．（5分）如图是某高中举办的2010年元旦学生歌曲大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为（）A．84，85 B．84，84 C．85，84 D．85，855．（5分）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（）A．定B．有C．收D．获6．（5分）已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则公差d等于（）A．1 B．C．2 D．37．（5分）在△ABC中，若 sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，则△ABC 的形状是（）A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形8．（5分）已知直线l丄平面α，直线m⊂平面β，则“l∥m”是“α⊥β”的（）A．充要条件B．必要条件C．充分条件D．既不充分又不必要条件9．（5分）若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或D．或10．（5分）各项互不相等的有限正项数列{a n}，集合A={a1，a2，…，a n，}，集合B={（a i，a j）|a i∈A，a j∈A，a i﹣a j∈A，1≤i，j≤n}，则集合B中的元素至多有（）个．A．B．2n﹣1﹣1 C．D．n﹣1二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）各项都是正数的等比数列{a n}中，a2，，a1成等差数列，则=．12．（5分）在△ABC中，AB=1，，，则BC=．13．（5分）已知点A（x1，a x1），B（x2，a x2）是函数y=a x（a＞1）的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点A（x1，sinx1），B（x2，sinx2）是函数y=sinx（x∈（0，π））的图象上任意不同两点，则类似地有成立．二.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14．（5分）（几何证明选讲）如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB=5，BC=3，CD=6，则线段AC的长为．三.（坐标系与参数方程选做题）15．在极坐标系中，过点作圆ρ=4sinθ的切线，则切线的极坐标方程是．三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答填写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．17．（12分）为了宣传今年10月在济南市举行的“第十届中国艺术节”，“十艺节”筹委会举办了“十艺节”知识有奖问答活动，随机对市民15～65岁的人群抽样n人，回答问题统计结果如图表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率频率分布直方图第1组[15，25）50.5第2组[25，35）a0.9第3组[35，45）27 x第4组[45，55）90.36第5组[55，65）30.2（1）分别求出a，x的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，“十艺节”筹委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．18．（14分）如图，斜三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧面AA1C1C是菱形，∠A1AC=60°，E、F分别是A1C1、AB的中点．求证：（1）EC⊥平面ABC；（2）求三棱锥A1﹣EFC的体积．19．（14分）等比数列{c n}满足c n+1+c n=10•4n﹣1（n∈N*），数列{a n}的前n项和为S n，且a n=log2c n．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）数列的前n项和，是否存在正整数m，k（1＜m＜k），使得T1，T m，T k成等比数列？若存在，求出所有m，k的值；若不存在，请说明理由．20．（14分）已知函数f（x）=，g（x）=alnx﹣x（a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．21．（14分）已知点列B1（1，y1），B2（2，y2），…，B n（n，y n），…（n∈N*）顺次为直线上的点，点列A1（x1，0），A2（x2，0），…，A n（x n，0），…（n∈N*）顺次为x轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对任意的n∈N*，点A n、B n、A n+1构成以B n为顶点的等腰三角形．（1）证明：数列{y n}是等差数列；（2）求证：对任意的n∈N*，x n+2﹣x n是常数，并求数列{x n}的通项公式；（3）对上述等腰三角形A n B n A n+1添加适当条件，提出一个问题，并做出解答．（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）广东省实验中学2015届高三上学期第一次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．（5分）从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，32考点：系统抽样方法．专题：计算题．分析：由系统抽样的特点知，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为总体的个数除以样本容量．从所给的四个选项中可以看出间隔相等且组距为10的一组数据是由系统抽样得到的．解答：解：从50枚某型导弹中随机抽取5枚，采用系统抽样间隔应为=10，只有B答案中导弹的编号间隔为10，故选B．点评：一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本．2．（5分）如图，设全集为U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：集合．分析：由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁R B），然后利用集合的基本运算进行求解即可．解答：解：A={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则∁R B={x|x≥1}．由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁R B），∴A∩（∁R B）={x|1≤x＜2}，故选B．点评：本题主要考查集合的基本运算，利用韦恩图确定集合关系，然后利用数轴求基本运算是解决此类问题的基本方法．3．（5分）已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A（1，2），B（﹣1，3），则=（）A．1+i B．i C．1﹣i D．﹣i考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则和几何意义即可得出．解答：解：由复数的几何意义可知z1=1+2i，z2=﹣1+3i，∴，故选A．点评：熟练掌握复数的运算法则和几何意义是解题的关键．4．（5分）如图是某高中举办的2010年元旦学生歌曲大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为（）A．84，85 B．84，84 C．85，84 D．85，85考点：众数、中位数、平均数；茎叶图．专题：计算题．分析：按照要求调整数据以后，这组数据是84，85，86，84，87，在这组数据中出现的次数最多的是84，把这组数据按照从小到大的顺序排列，最中间一个是85，得到众数和中位数．解答：解：去掉一个最高分和一个最低分后，这组数据是84，85，86，84，87，在这组数据中出现的次数最多的是84，∴众数是84，把这组数据按照从小到大的顺序排列，最中间一个是85，∴中位数是85，故选A．点评：对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．考查最基本的知识点．5．（5分）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（）A．定B．有C．收D．获考点：棱柱的结构特征．专题：数学模型法．分析：利用正方体及其表面展开图的特点以及题意解题，把“努”在正方体的后面，然后把平面展开图折成正方体，然后看“努”相对面．解答：解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“努”与面“有”相对，所以图中“努”在正方体的后面，则这个正方体的前面是“有”．故选B．点评：本题考查了正方形相对两个面上的文字问题，同时考查空间想象能力．注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．6．（5分）已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则公差d等于（）A．1 B．C．2 D．3考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的首项和公差，由a3=6，S3=12，联立可求公差d．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a3=6，S3=12，得：解得：a1=2，d=2．故选C．点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，是基础的会考题型．7．（5分）在△ABC中，若 sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，则△ABC 的形状是（）A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：由sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，结合两角和的正弦公式即可得A，B的关系，从而可判断解答：解：∵sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，∴sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB∴A=B（A+B=π舍去），是等腰三角形故选B点评：本题主要考查了两角和的正弦公式的简单应用，属于基础试题8．（5分）已知直线l丄平面α，直线m⊂平面β，则“l∥m”是“α⊥β”的（）A．充要条件B．必要条件C．充分条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：利用充分条件和必要条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：∵直线l丄平面α，l∥m，∴m丄平面α，∵直线m⊂平面β，∴α⊥β成立．若α⊥β，当直线l丄平面α时，则l⊂β或l∥β，但l∥m，不一定成立，∴“l∥m”是“α⊥β”的充分条件．故选：C．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用线面垂直和面面垂直的性质和判定定理是解决本题的关键．9．（5分）若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或D．或考点：圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质．专题：计算题．分析：先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a和b，则c可求得，继而求得离心率．当m＜0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得．最后综合答案即可．解答：解：依题意可知m=±=±4当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e==当m=﹣4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=故选D点评：本题主要考查了圆锥曲线的问题，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用，对基础的把握程度．10．（5分）各项互不相等的有限正项数列{a n}，集合A={a1，a2，…，a n，}，集合B={（a i，a j）|a i∈A，a j∈A，a i﹣a j∈A，1≤i，j≤n}，则集合B中的元素至多有（）个．A．B．2n﹣1﹣1 C．D．n﹣1考点：集合中元素个数的最值．分析：根据各项互不相等的有限正项数列{a n}，不妨假设数列是单调递增的，进而分类讨论，利用数列的求和公式，即可得到结论．解答：解：因为各项互不相等的有限正项数列{a n}，所以不妨假设数列是单调递增的因为集合A={a1，a2，…，a n}，集合B={（a i，a j）|a i∈A，a j∈A，a i﹣a j∈A，1≤i，j≤n}，所以j=1，i最多可取2，3，…，nj=2，i最多可取3，…，n…，j=n﹣1，i最多可取n所以集合B中的元素至多有1+2+…+（n﹣1）=故选A．点评：本题主要考查集合与元素的关系，考查组合的有关知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）各项都是正数的等比数列{a n}中，a2，，a1成等差数列，则=．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题．分析：由a2，a3，a1成等差数列可得a1、a2、a3的关系，结合等比数列的通项公式即可求出q，而由等比数列的性质可得则=，故本题得解．解答：解：设{a n}的公比为q（q＞0），由a3=a2+a1，得q2﹣q﹣1=0，解得q=．∴则==．故答案为．．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质及等比数列的性质化简求值，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道基础题．12．（5分）在△ABC中，AB=1，，，则BC=1或．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由三角形的面积求得sinA的值，可得cosA的值，再由余弦定理求得BC的值．解答：解：由题意可得=•AB•AC•sinA=，故sinA=，故cosA=±，当cosA=时，由余弦定理求得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=1+2﹣2=1，故BC=1．当cosA=﹣时，由余弦定理求得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=5，故BC=，故答案为 1或．点评：本题主要考查三角形的面积公式、余弦定理、同角三角函数的基本关系的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．13．（5分）已知点A（x1，a x1），B（x2，a x2）是函数y=a x（a＞1）的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点A（x1，sinx1），B（x2，sinx2）是函数y=sinx（x∈（0，π））的图象上任意不同两点，则类似地有成立．考点：类比推理．专题：探究型；推理和证明．分析：由类比推理的规则得出结论，本题中所用来类比的函数是一个变化率越来越大的函数，而要研究的函数是一个变化率越来越小的函数，其类比方式可知．解答：解：由题意知，点A、B是函数y=a x（a＞1）的图象上任意不同两点，函数是变化率逐渐变大的函数，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结成立；而函数y=sinx（x∈（0，π））其变化率逐渐变小，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论．故答案为：．点评：本题考查类比推理，求解本题的关键是理解类比的定义，及本题类比的对象之间的联系与区别，从而得出类比结论．二.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14．（5分）（几何证明选讲）如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB=5，BC=3，CD=6，则线段AC的长为4.5．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质；弦切角．专题：计算题．分析：根据圆的切线和割线，利用切割线定理得到与圆有关的比例线段，代入已知线段的长度求出DB的长，根据三角形的两个角对应相等，得到两个三角形全等，对应线段成比例，得到要求的线段的长度．解答：解：∵过点C的切线交AB的延长线于点D，∴DC是圆的切线，DBA是圆的割线，根据切割线定理得到DC2=DB•DA，∵AB=5，CD=6，∴36=DB（DB+5）∴DB=4，由题意知∠D=∠D，∠BCD=∠A∴△DBC∽△DCA，∴∴AC==4.5，故答案为：4.5点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查三角形的相似的判定定理与性质定理，本题解题的关键是根据圆中的比例式，代入已知线段的长度求出未知的线段的长度，本题是一个基础题．三.（坐标系与参数方程选做题）15．在极坐标系中，过点作圆ρ=4sinθ的切线，则切线的极坐标方程是ρcosθ=2．考点：极坐标系．专题：计算题；转化思想．分析：求出极坐标的直角坐标，极坐标方程的直角坐标方程，然后求出切线方程，转化为极坐标方程即可．解答：解：的直角坐标为：（2，2），圆ρ=4sinθ的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=0；显然，圆心坐标（0，2），半径为：2；所以过（2，2）与圆相切的直线方程为：x=2，所以切线的极坐标方程是：ρcosθ=2故答案为：ρcosθ=2点评：本题是基础题，考查极坐标与直角坐标方程的互化，考查计算能力，转化思想．三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答填写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）把x=直接代入函数的解析式，化简求得f（）的值．（II）由cosx≠0，得x≠kπ+，（k∈z ）．化简函数的解析式为sin（2x+），从而求得f（x）的最小正周期．再由2kπ+≤2x+≤2kπ+，x≠kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．解答：解：（I）由函数的解析式可得=+=0+=．…（4分）（II）∵cosx≠0，得x≠kπ+，（k∈z ）故f（x）的定义域为{x|x≠kπ+，（k∈z ）}．因为=sinx（cosx﹣sinx）+=sin2x﹣sin2x+=sin2x﹣+=sin2x+cos2x=sin（2x+），所以f（x）的最小正周期为 T==π．由2kπ+≤2x+≤2kπ+，x≠kπ+，k∈z，得 kπ+≤x≤kπ+，x≠kπ+，k∈z，所以，f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+），（kπ+，kπ+），k∈z．…（13分）点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，属于中档题．17．（12分）为了宣传今年10月在济南市举行的“第十届中国艺术节”，“十艺节”筹委会举办了“十艺节”知识有奖问答活动，随机对市民15～65岁的人群抽样n人，回答问题统计结果如图表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率频率分布直方图第1组[15，25）50.5第2组[25，35）a0.9第3组[35，45）27 x第4组[45，55）90.36第5组[55，65）30.2（1）分别求出a，x的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，“十艺节”筹委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率=该组人数÷总人数n，即可求得a，x的值．（2）依题意第2，3，4组中回答正确的共有54人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，得出每组分别抽取的人数，由此能求出所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．解答：解：（1）由频率表中第1组数据可知，第1组总人数为，再结合频率分布直方图可知．…（2分）∴a=100×0.020×10×0.9=18，…（4分），…（6分）（2）第2，3，4组中回答正确的共有54人．∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人，第3组：人，第4组：人．…（8分）设第2组的2人为A1、A2，第3组的3人为B1、B2、B3，第4组的1人为C，则从6人中抽2人所有可能的结果有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），（B2，C），（B3，C），共15个基本事件，…（10分）其中第2组至少有1人被抽中的有（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C）这9个基本事件．∴第2组至少有1人获得幸运奖的概率为．…（12分）点评：此题把统计和概率结合起来考查，重点考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率和计算，以及频率分布直方图．18．（14分）如图，斜三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧面AA1C1C是菱形，∠A1AC=60°，E、F分别是A1C1、AB的中点．求证：（1）EC⊥平面ABC；（2）求三棱锥A1﹣EFC的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）在平面AA1C1C内，作A1O⊥AC，O为垂足．易得四边形OCEA1为平行四边形，进而可得EC∥A1O，且EC=A1O．再由已知和面面垂直的性质可得所以A1O⊥底面ABC，进而可得结论；（2）F到平面A1EC的距离等于B点到平面A1EC距离BO的一半，可得BO=，所以，代入数据计算可得．解答：证明：（1）在平面AA1C1C内，作A1O⊥AC，O为垂足．因为，所以，即O为AC的中点，所以OC∥A1E，且OC=A1E…（3分）可得四边形OCEA1为平行四边形，故EC∥A1O，且EC=A1O．因为侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1O⊥AC，所以A1O⊥底面ABC．所以EC⊥底面ABC．…（6分）（2）F到平面A1EC的距离等于B点到平面A1EC距离BO的一半，而BO=．…（8分）所以．…（12分）点评：本题考查直线与平面垂直的判定，涉及三棱锥体积的求解，属中档题．19．（14分）等比数列{c n}满足c n+1+c n=10•4n﹣1（n∈N*），数列{a n}的前n项和为S n，且a n=log2c n．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）数列的前n项和，是否存在正整数m，k（1＜m＜k），使得T1，T m，T k成等比数列？若存在，求出所有m，k的值；若不存在，请说明理由．考点：数列递推式；等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知令n=1，n=2可求，c1+c2，c2+c3，从而可求公比q，及c1，结合等比数列的通项公式可求c n，进而可求a n，结合等差数列的求和公式可求s n（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用裂项可求T n，然后结合等比数列的性质可求满足条件的m，k解答：解：（Ⅰ）由已知令n=1，n=2可得，c1+c2=10，c2+c3=40，所以公比q=4…（2分）∴c1+c2=c1+4c1=10得c1=2∴…（4分）所以…（5分）由等差数列的求和公式可得，…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知于是…（9分）假设存在正整数m，k（1＜m＜k），使得T1，T m，T k成等比数列，则，可得，所以﹣2m2+4m+1＞0从而有，，由m∈N*，m＞1，得m=2…（11分）此时k=12．当且仅当m=2，k=12时，T1，T m，T k成等比数列．…（12分）点评：本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的通项公式的简单应用，数列的裂项求和方法的应用．20．（14分）已知函数f（x）=，g（x）=alnx﹣x（a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（I）先求函数f（x）的导数，再对字母a进行分类讨论，根据导数大于0函数单调递增，导数小于0时函数单调递减可得答案．（Ⅱ）欲证当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立，只须证明对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x）max＜f（x）min．由（Ⅰ）可知，当a＞0时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在（1，e]上单调递减，从而有f（x）min=a，同样地利用导数可得，当a＞0时，g（x）在（0，a）上单调递增，g（x）在（a，e]上单调递减，从而g（x）max=g （a）=alna﹣a，最后利用作差法即可得到g（x）max＜f（x）min．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，．当a＞0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，1） 1 （1，+∞）f'（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）↘↗↘当a＜0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，1） 1 （1，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗↘↗综上所述，当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣1，1），单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），单调递减区间为（﹣1，1）．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a＞0时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在（1，e]上单调递减，又f（0）=a，f（e）=所以f（x）min=a，同样地，当a＞0时，g（x）在（0，a）上单调递增，g（x）在（a，e]上单调递减，所以g（x）max=g（a）=alna﹣a，因为a﹣（alna﹣a）=a（2﹣lna）＞a（2﹣lne）=a＞0，所以对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x）max=g（e）=alna﹣a＜a=f（x）min．所以对于任意x1，x2∈（0，e]，仍有x1，x2∈（0，e]．综上所述，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．…（13分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）已知点列B1（1，y1），B2（2，y2），…，B n（n，y n），…（n∈N*）顺次为直线上的点，点列A1（x1，0），A2（x2，0），…，A n（x n，0），…（n∈N*）顺次为x轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对任意的n∈N*，点A n、B n、A n+1构成以B n为顶点的等腰三角形．（1）证明：数列{y n}是等差数列；（2）求证：对任意的n∈N*，x n+2﹣x n是常数，并求数列{x n}的通项公式；（3）对上述等腰三角形A n B n A n+1添加适当条件，提出一个问题，并做出解答．（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）考点：等差关系的确定；数列的函数特性；三角形的形状判断．专题：计算题．分析：（1）根据B n（n，y n）在直线上可得，然后根据等差数列的定义可知数列{y n}是等差数列；（2）由题意得，则x n+x n+1=2n，根据递推关系又有x n+2+x n+1=2（n+1）两式作差可得x n+2﹣x n是常数，从而x1，x3，x5，…；x2，x4，x6，…都是等差数列，即可求出数列{x n}的通项公式；（3）提出问题：若等腰三角形A n B n A n+1中，是否有直角三角形，若有，求出实数a．讨论n的奇偶，求出|A n A n+1|，过B n作x轴的垂线，垂足为C n，则，要使等腰三角形A n B n A n+1为直角三角形，必须且只须：|A n A n+1|=2|B n C n|，从而求出a的值．解答：解：（1）依题意有，于是．所以数列{y n}是等差数列．（4分）（2）由题意得，即x n+x n+1=2n，（n∈N*）①所以又有x n+2+x n+1=2（n+1）．②由②﹣①得：x n+2﹣x n=2，所以x n+2﹣x n是常数．（6分）由x1，x3，x5，…；x2，x4，x6，…都是等差数列．x1=a（0＜a＜1），x2=2﹣a，那么得x2k﹣1=x1+2（k﹣1）=2k+a﹣2，x2k=x2+2（k﹣1）=2﹣a+2（k﹣1）=2k﹣a．（k∈N*）（8分）故（10分）（3）提出问题：若等腰三角形A n B n A n+1中，是否有直角三角形，若有，求出实数a．解：当n为奇数时，A n（n+a﹣1，0），A n+1（n+1﹣a，0），所以|A n A n+1|=2（1﹣a）；当n为偶数时，A n（n﹣a，0），A n+1（n+a，0），所以|A n A n+1|=2a；过B n作x轴的垂线，垂足为C n，则，要使等腰三角形A n B n A n+1为直角三角形，必须且只须：|A n A n+1|=2|B n C n|．（13分）当n为奇数时，有，即①∴，当n≥5，a＜0不合题意．（15分）当n为偶数时，有，，同理可求得当n≥4时，a＜0不合题意．（17分）综上所述，使等腰三角形A n B n A n+1中，有直角三角形，a的值为或或．（18分）点评：本题主要考查了数列与几何的综合，同时考查了数列的通项公式，第三问是开放题，有一定的新意，属于中档题．。

广东省2015年高考一模数学(理)试题分类汇编：统计与概率(含答案)

3、（ 2015 届湛江市）某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x ， y ，10 ，11 ， 9 ．已知这组数据的平均值为 10 ，方差为 2 ，则 x y 的值为
4、（ 2015 届佛山市）某市有 40% 的家庭订阅了《南方都市报》 , 从该城市中任取 4 个家庭 , 则这 4 个家庭中恰好有 3 个家庭订阅了《南方都市报》的概率为 _________
6 个城市，省环保部门再从中随机选取 3 个城市组织专家进行调研，记省环保部门 “选到空气
质量“良好”的城市个数为
”，求的分布列和数学期望．
8、（ 2015 届湛江市）广东省第十四届运动会将在湛江举行，组委会招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者，将这 30 名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图（单位：cm ），身高在 175 cm 以上（包括 175 cm ）定义为“高个子”身高在 175 cm以下（不包括 175 cm ）定义为“非高个子”． 1 如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人，再从这 5 人中选 2 人，求至少有一人是“高个子”的概率；
球的概率为 1 ，每个球被取到的机会均等 . 现从袋子中每次取 7
再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为
X.
1个球，如果取出的是白球则不
（ 1）求袋子中白球的个数；
（ 2）求 X 的分布列和数学期望 .
2、（ 2015 届江门市）某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了
100 株树苗，分别测出它们的高度（单位： cm ），并将所得数据分组，画出频率分布表
广东省各市 2015 年高考一模数学理试题分类汇编
统计与概率
一、选择题

广东省广州市2015届高三毕业班综合测试数学(理)(一)试题含解析

一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =，则集合{}1,2可以表示为（ ) A ．M N B ．()UM NC．()U MND ．()()UU M N【答案】B考点：集合的交集、补集运算．2.已知向量()3,4a =,若5λ=a ，则实数λ的值为（） A ．15B ．1C ．15±D ．1± 【答案】D考点：1、向量的数乘运算；2、向量的模．3.若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示(如图1），其中茎为十位数，叶为个位数,则这组数据的中位数和平均数分别是（ ) A ．91，91.5B ．91， 92C ．91.5, 91.5D ．91.5,92图17432109878【答案】C 【解析】试题分析：由茎叶图知：这组数据的中位数是919291.52+=，平均数是()1888791979492909391.58x =+++++++=，故选C ．考点：1、茎叶图;2、样本的数字特征． 4.直线10x ay ++=与圆()2214x y +-=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定【答案】A考点：直线与圆的位置关系．5.若直线3y x =上存在点(),x y 满足约束条件40,280,,x y x y x m ++>⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则实数m 的取值范围是（） A ．()1,-+∞ B ．[)1,-+∞ C ．(),1-∞-D ．(],1-∞- 【答案】A考点：线性规划．6。

已知某锥体的正视图和侧视图如图2，其体积为233，则该锥体的俯视图可以是（）侧视图正视图22222222222222A ．B ．C ．D ．【答案】C考点：1、三视图;2、锥体的体积．7。

已知a 为实数，则1a ≥是关于x 的绝对值不等式1x x a +-≤有解的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B考点：1、绝对值不等式；2、充分与必要条件．8。

广东省2015年高考一模数学(理)试题分类汇编：解析几何(含答案)

广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编解析几何一、选择题1、（2015届广州市）直线10x ay ++=与圆()2214x y +-=的位置关系是A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定2、（2015届江门市）双曲线C ：1422=-y x 的两条渐近线夹角（锐角）为θ，则=θta n A ．158 B ．815 C ．43 D ．343、（2015届揭阳市）已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线的斜率为12，则该双曲线的离心率为B.C.2D.24、（2015届茂名市）以点（3，－1）为圆心且与直线34x y +＝9相切的圆的方程是（） A 、22(3)(1)x y -++＝1 B 、22(3)(1)x y ++-＝1 C 、22(3)(1)x y ++-＝2 D 、22(3)(1)x y -++＝25、（2015届梅州市）动圆M 经过双曲线2213y x -=的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是A 、2y ＝8x B 、2y ＝－8x C 、2y ＝4x D 、2y ＝－4x6、（2015届汕头市）若双曲线的标准方程为22184x y -=，则它的渐近线方程为（）A ．0x =B ．0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=7、（2015届湛江市）抛物线280y x -=的焦点F 到直线:l 10x y --=的距离是（）A ．2 B C ．2D ．2 8、（2015届中山市）设抛物线的顶点在原点,准线方程为-2,x =则抛物线的方程是( ) A.28y x = B. 28y x =- C. 24y x =- D.24y x =选择题参考答案1、B2、D3、D4、A5、B6、A7、B8、A 二、填空题1、（2015届江门市）已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，P 是C 上一点，若P 在第一象限，8||=PF ，则点P 的坐标为2、（2015届茂名市）已知A ，B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>学科网长轴的两个顶点，M ，N是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为12,k k ，且120k k ≠，若12||||k k +的最小值为1，则椭圆的离心率为＿＿＿＿3、（2015届梅州市）以F 1（－1,0）、F 2（1,0）为焦点，且经过点M （1，－32）的椭圆的标准方程为＿＿＿4、（2015届深圳市）已知圆C ：05822=-+++ay x y x 经过抛物线E ：y x 42=的焦点，则抛物线E 的准线与圆C 相交所得弦长为5、（2015届佛山市）已知点()2,0A -、()0,4B 到直线l :10x my +-=的距离相等,则实数m 的值为________填空题参考答案1、)34 , 6( 23、13422=+y x 4、 5、112-或三、解答题1、（2015届广州市）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线.(1) 求椭圆1C 的方程； (2) 求点Q 的轨迹方程；(3) 求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.2、（2015届江门市）平面直角坐标系xOy 中，椭圆∑：12222=+by a x （0>>b a ）的离心率为36，焦点为1F 、2F ，直线l ：02=-+y x 经过焦点2F ，并与∑相交于A 、B 两点． ⑴求∑的方程；⑵在∑上是否存在C 、D 两点，满足AB CD //，D F C F 11=？若存在，求直线CD 的方程；若不存在，说明理由．3、（2015届揭阳市）在平面直角坐标系xoy 中，已知点(01)A ，，点B 在直线1:1l y =-上，点M 满足//MB OA uuu r uu r， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r ，点M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程；（2）设直线2:l y kx m =+与曲线C 有唯一公共点P ，且与直线1:1l y =-相交于点Q ,试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.4、（2015届茂名市）已知F （0,1），直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且（1）求动点P 的轨迹C 的方程。

广东省实验中学2015届高三第一次阶段考试理综 Word版含答案.pdf

（1）D中含氧官能团的名称为，1 mol D完全燃烧所需氧气为
mol；
（2）写出→B的化学反应方程式
。
（3）写出→D的化学反应方程式
。
（4）反应E + F→G属于下列麦克尔加成反应，则的结构简式为
。
（5）比G少2个氢原子的物质具有下列性质：遇FeCl3溶液显紫色；苯环上的一氯取代物只有一种；1mol物质最多可
。结果如下表分析表中数据可判定( )
A．光照的1 h时间内，第4组合成葡萄糖总量为2 mg
B．光照的1 h时间内，第1,2,3组释放的氧气量相等
C．光照的1 h时间内，四组光合作用强度均大于呼吸作用强度
D．呼吸作用酶的最适温度是29 ℃7．能在水溶液中大量共存的一组离子是
A．Al3+、Mg2+、SO、CO
B图乙C．若细胞正处于图丙所示状态时，则细胞液浓度不一定小于外界溶液浓度
D图丁在观察植物细胞有丝分裂实验的部位是③三、非选择题：本大题共11小题，共182分。按题目要求作答。解答
题应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写
出数值和单位。26．（16分）下图一是某种生物体细胞的亚显微结构示意图，图为某示意图，请据图回答下列问题。与
方程式为：
。用该方法处理10 m3 CrO42－的物质的量浓度为
1.5×10－3 mol·L－1的废水，至少需要绿矾（FeSO4?7H2O，相对分子质量为278）的质量是
Kg（保留两位小
数）。33．17分研究性学习小组用Na2SO3与硫酸溶液（硫酸与水体积比1:1）制备SO2并进行性质探究实验。
（1）D中的实验现象是：_____________________________，C，E中溶液都褪色，分别体现

广东省实验中学高三数学第一次阶段考试试题文(含解析)新人教A版

广东省实验中学2015届高三第一次阶段考试数学（文）试题（解析版）【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．【题文】1. 从已编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是 A ．5，10，15，20，25 B.3，13，23，33，43 C ．1，2，3，4，5 D.2，4，6，16，32 【知识点】系统抽样方法．I1【答案解析】B 解析：从50枚某型导弹中随机抽取5枚，采用系统抽样间隔应为 =10，只有B 答案中导弹的编号间隔为10，故选B ．【思路点拨】由系统抽样的特点知，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为总体的个数除以样本容量．从所给的四个选项中可以看出间隔相等且组距为10的一组数据是由系统抽样得到的．【题文】2．如图，设全集为U=R ，{|(2)0},{|1(1)}A x x x B x y n x =-<==-，则图中阴影部分表示的集合为 A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{}|01x x <≤D ．{}|1x x ≤ 【知识点】Venn 图表达集合的关系及运算．A1【答案解析】B 解析：{|(2)0}A x x x =-<={x|0＜x ＜2}，B={|1(1)}B x y n x ==-= {x|1﹣x ＞0}={x|x ＜1}，则∁R B={x|x≥1}．由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁R B ）， ∴A∩（∁R B ）={x|1≤x＜2}，故选B ．【思路点拨】由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁R B ），然后利用集合的基本运算进行求解即可．【题文】3.已知复数12,z z 在复平面上对应的点分别为()()211,2,1,3,z A B z -=则A.1i +B.iC.1i -D.i -【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．L4 【答案解析】A 解析：由复数的几何意义可知z 1=1+2i ，z 2=﹣1+3i ，∴，故选A ．【思路点拨】利用复数的运算法则和几何意义即可得出．【题文】4．如图是2013年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为A ．84，85B ．84，84C ．85，84D ．85，85【知识点】众数、中位数、平均数；茎叶图．I2【答案解析】A 解析：去掉一个最高分和一个最低分后，这组数据是84，85，86，84，87，在这组数据中出现的次数最多的是84，∴众数是84，把这组数据按照从小到大的顺序排列，最中间一个是85，∴中位数是85，故选A ．【思路点拨】按照要求调整数据以后，这组数据是84，85，86，84，87，在这组数据中出现的次数最多的是84，把这组数据按照从小到大的顺序排列，最中间一个是85，得到众数和中位数．【题文】5.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面” 表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是A.定B.有C.收D.获【知识点】棱柱的结构特征．G7【答案解析】B 解析：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“努”与面“有”相对，所以图中“努”在正方体的后面，则这个正方体的前面是“有”．故选B ．【思路点拨】利用正方体及其表面展开图的特点以及题意解题，把“努”在正方体的后面，然后把平面展开图折成正方体，然后看“努”相对面．【题文】6.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若336,12a S ==，则公差d 等于 A.1B.53C.2D.3【知识点】等差数列的前n 项和．D2【答案解析】C 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3=6，S 3=12，得：解得：a 1=2，d=2．故选C ．7 8 9 94 56 47 3 第4题图【思路点拨】设出等差数列的首项和公差，由a 3=6，S 3=12，联立可求公差d ．【题文】7.在ABC ∆中，若sin sin cos cos sin A A C A C -=，则ABC ∆的形状是 A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角形【知识点】三角形的形状判断．C8【答案解析】B 解析：∵sinA ﹣sinAcosC=cosAsinC ， ∴sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin （A+C ）=sinB ∴A=B （A+B=π舍去），是等腰三角形,故选B【思路点拨】由sinA ﹣sinAcosC=cosAsinC ，结合两角和的正弦公式即可得A ，B 的关系，从而可判断.【题文】8.已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则“m l //”是“αβ⊥”的 A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分又不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2【答案解析】C 解析：∵直线l 丄平面α，l ∥m ，∴m 丄平面α，∵直线m ⊂平面β，∴α⊥β成立．若α⊥β，当直线l 丄平面α时，则l ⊂β或l ∥β，但l ∥m ，不一定成立，∴“l ∥m”是“α⊥β”的充分条件．故选：C ．【思路点拨】利用充分条件和必要条件和必要条件的定义进行判断．【题文】9.已知m 是两个正数2和8的等比中项,则圆锥曲线122=+my x 的离心率是 A ．23或25 B ．23C ．5D ．23或5 【知识点】圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质．D3 【答案解析】D 解析：依题意可知m==±4 当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e==当m=﹣4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e= 故选D【思路点拨】先根据等比中项的性质求得m 的值，分别看当m 大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a 和b ，则c 可求得，继而求得离心率．当m ＜0，曲线为双曲线，求得a ，b 和c ，则离心率可得．最后综合答案即可．【题文】10.各项互不相等的有限正项数列{}n a ,集合{},,2,1,...n a a a A = ,集{(,)i j B a a =},,,1,i j i j a A a A a a A i j n ∈∈-∈≤≤,则集合B 中的元素至多有( )个. A ．2)1(-n n B ．121--nC ．2)1)(2(-+n nD ．1-n【知识点】集合中元素个数的最值．A1【答案解析】A 解析：因为各项互不相等的有限正项数列{a n }，所以不妨假设数列是单调递增的因为集合A={a 1，a 2，…，a n }，集合B={（a i ，a j ）|a i ∈A ，a j ∈A ，a i ﹣a j ∈A ，1≤i，j≤n}，所以j=1，i 最多可取2，3，…，n ，j=2，i 最多可取3，…，n…，j=n ﹣1，i 最多可取n 所以集合B 中的元素至多有1+2+…+（n ﹣1）=2)1(-n n ，故选A ．【思路点拨】根据各项互不相等的有限正项数列{a n }，不妨假设数列是单调递增的，进而分类讨论，利用数列的求和公式，即可得到结论．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）【题文】11.各项都是正数的等比数列{}23111,,2n a q a a a ≠的公比，且成等差数列，则3445a a a a ++的值为_________.【知识点】等差数列与等比数列的综合．D5【答案解析】21-5 解析：设{a n }的公比为q （q ＞0），由a 3=a 2+a 1，得q 2﹣q ﹣1=0，解得q=．∴则==．故答案为21-5.【思路点拨】由a 2，a 3，a 1成等差数列可得a 1、a 2、a 3的关系，结合等比数列的通项公式即可求出q ，而由等比数列的性质可得则=，故本题得解．【题文】12. 在ABC ∆中，1=AB ，2=AC ，21=∆ABC S ，则=BC .【知识点】余弦定理．C8【答案解析】1或5 解析：由题意可得=•AB•AC•sinA=，故sinA=，故cosA=±，当cosA= 时，由余弦定理求得BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB•AC•cosA=1+2﹣2=1，故BC=1．当cosA=﹣时，由余弦定理求得BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB•AC•cosA=5，故BC=5，故答案为 1或5．【思路点拨】由三角形的面积求得sinA 的值，可得cosA 的值，再由余弦定理求得BC 的值．【题文】13.已知点()()1212,,x x A x aB x a 、是函数xy a=的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，因此有结论121222x x x x a a a ++＞成立.运用类比思想方法可知，若点()()()1122,sin ,sin sin 0,A x x B x x y x x π=∈⎡⎤⎣⎦、是函数图象上的不同两点，则类似地有________________成立. 【知识点】类比推理．M1【答案解析】2sin 2sin sin 2121x x x x +<+ 解析：由题意知，点A 、B 是函数y=a x（a ＞1）的图象上任意不同两点，函数是变化率逐渐变大的函数，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，因此有结121222x x x x a a a ++＞成立；而函数y=sinx （x ∈（0，π））其变化率逐渐变小，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论．故答案为：．【思路点拨】由类比推理的规则得出结论，本题中所用类比的函数是一个变化率越越大的函数，而要研究的函数是一个变化率越越小的函数，其类比方式可知．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） (二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【题文】14.（几何证明选讲选做题）如图,点A 、B 、C 都在⊙O 上,过点C 的切线交A B 的延长线于点D ,若AB = 5, BC = 3,CD = 6,则线段AC 的长为_______。

广东省深圳市2015届高三第一次调研考试数学理试题 Word版含解析

2015年深圳市高三年级第一次调研考试【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本能力为载体，，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、椭圆、导数、数列、三角函数的性质，立体几何等；考查学生解决实际问题的能力。

一选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

【题文】1、已知集合}5,1,0,2{=U ，集合}2,0{=A ，则A C U ＝（） A.φ B 。

}2,0{ C 。

}5,1{ D 。

}5,1,0,2{ 【知识点】集合及其运算A1 【答案】C【解析】由}5,1,0,2{=U ，}2,0{=A 则A C U =}5,1{ 【思路点拨】根据集合的运算得到。

【题文】2、已知复数z 满足1)1(=+i z （其中i 为虚数单位），则=z （） A.21i +- B 。

21i -- C 。

21i + D 。

21i- 【知识点】复数的基本概念与运算L4 【答案】D 【解析】z=11i += 1(1)(1)i i i -+-=21i - 【思路点拨】根据复数运算性质得到。

【题文】3、若函数b a y x+=的部分图象如图1所示，则 A.01,10<<-<<b a B 。

10,10<<<<b a C.01,1<<->b a D 。

10,1<<>b a a>1, 0<b<1【知识点】指数与指数函数B6O xy图11-1【答案】A【解析】由图象可以看出，函数为减函数，故0＜a ＜1，因为函数y=a x 的图象过定点（0，1），函数y=a x +b 的图象过定点（0，b ），∴-1＜b ＜0 【思路点拨】根据指数函数的图象和性质即可判断【题文】4、已知实数y x ,满足不等式组300≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+y x y x ，则y x +2的最大值为（）A.3 B 。

2015-2016学年广东省深圳中学、广东实验中学、广雅中学四校联考高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年广东省深圳中学、华南师大附中、广东实验中学、广雅中学四校联考高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目人要求的）1．设全集U=R，集合M={x|x＞1}，P={x|x 2＞1}，则下列关系中正确的是（）A．M=P B．P?M C．M?P D．?U（M∪P）=?2．条件p：|x+1|＞2，条件q：x≥2，则￢p是￢q的（）A．充分非必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件3．将函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．121 B．132 C．142 D．1545．如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A．4 B．8 C．2πD．4π6．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=（）x，那么 f ﹣1（﹣9）的值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣37．已知等差数列{a n}的通项公式a n=，设A n=|a n+a n+1+…+a n+12|（n∈N *），当A n取得最小值时，n的取值是（）A．16 B．14 C．12 D．108．设第一象限内的点（x，y）满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为40，则的最小值为（）A．B．C．1 D．49．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（）A．B．C．2 D．10．如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥，若（λ∈R），则λ的值为（）A．B．C．D．2。

广东省实验中学高三数学上学期第一次段考试卷理(含解析)

广东省实验中学2015届高三上学期第一次段考数学试卷（理科）一．选择题（5*8=40分）1．（5分）设集合，B={（x，y）|y=3x}，则A∩B的子集的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．12．（5分）log2+log2cos的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．13．（5分）已知x，y∈R，则“x+y=1”是“xy≤”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知函数f（x）=，则有（）A．函数f（x）的图象关于直线x=对称B．函数f（x）的图象关关于点（，0）对称C．函数f（x）的最小正周期为D．函数f（x）在区间（0，π）内单调递减5．（5分）已知0＜a＜b＜1，则（）A．＞B．（）a＜（）b C．（lga）2＜（lgb）2D．＞6．（5分）已知函数f（x）=x2+2cosx，若f′（x）是f（x）的导函数，则函数f′（x）在原点附近的图象大致是（）A． B． C． D．7．（5分）已知函数f（x）=，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤m2﹣m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣] B．（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）C．[1，+∞）D． [﹣，1]8．（5分）已知方程=k在（0，+∞）上有两个不同的解α、β（α＜β），则下列的四个命题正确的是（）A．sin2α=2αcos2αB．cos2α=2αsin2αC．sin2β=﹣2βsin2βD．cos2β=﹣2βsina2β二．填空题（6*5=30分）（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．（5分）若=．10．（5分）如图是函数在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是．11．（5分）若，则的最大值为．12．（5分）已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥l 时，的取值范围是．13．（5分）已知的展开式中的常数项为T，f（x）是以T为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是．二.选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分．（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：，（α为参数）交于A、B两点，且|AB|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是．（几何证明选讲选做题）15．已知⊙O1和⊙O2交于点C和D，⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A、B点，交直线CD于点E，M是⊙O2上的一点，若PE=2，EA=1，∠AMB=45°，那么⊙O2的半径为．三.解答或证明题16．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a、b的值．17．（13分）一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的．（Ⅰ）从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；（Ⅱ）一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”（每次操作完成后将球放回）．某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18．（13分）如图1，AD是直角△ABC斜边上的高，沿AD把△ABC的两部分折成直二面角（如图2），DF⊥AC于F．（Ⅰ）证明：BF⊥AC；（Ⅱ）设∠DCF=θ，AB与平面BDF所成的角为α，二面角B﹣FA﹣D的大小为β，试用tanθ，cosβ表示tanα；（Ⅲ）设AB=AC，E为AB的中点，在线段DC上是否存在一点P，使得DE∥平面PBF？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．19．（14分）如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．20．（14分）如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的半径都是2km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地．（1）如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．21．（14分）已知λ∈R，函数f（x）=lnx﹣，其中x∈[1，+∞）．（Ⅰ）当λ=2时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）在函数y=lnx的图象上取点P n（n，lnn）（n∈N*），记线段P n P n+1的斜率为k n，S n=++…+．对任意正整数n，试证明：（ⅰ）S n＜；（ⅱ）S n＞．广东省实验中学2015届高三上学期第一次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（5*8=40分）1．（5分）设集合，B={（x，y）|y=3x}，则A∩B的子集的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：交集及其运算；子集与真子集．专题：数形结合．分析：由题意集合，B={（x，y）|y=3x}，画出A，B集合所表示的图象，看图象的交点，来判断A∩B的子集的个数．解答：解：∵集合，∴为椭圆和指数函数y=3x图象，如图，可知其有两个不同交点，记为A1、A2，则A∩B的子集应为∅，{A1}，{A2}，{A1，A2}共四种，故选A．点评：此题利用数形结合的思想来求解，主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道不错的题．2．（5分）log2+log2cos的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：利用对数的运算法则进行计算即可．先结合对数运算法则：log a（MN）=log a M+log a N，利用二倍角的正弦公式将两个对数式的和化成一个以2为底的对数的形式，再计算即得解答：解：====﹣2．故选A．点评：本小题主要考查对数的运算性质、对数的运算性质的应用、二倍角的正弦公式等基础知识，考查基本运算能力．属于基础题．3．（5分）已知x，y∈R，则“x+y=1”是“xy≤”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由x+y=1，推出xy≤，判定充分性成立；由xy≤，不能得出x+y=1，判定必要性不成立即可．解答：解：∵x，y∈R，当x+y=1时，y=1﹣x，∴xy=x（1﹣x）=x﹣x2=﹣≤，∴充分性成立；当xy≤时，如x=y=0，x+y=0≠1，∴必要性不成立；∴“x+y=1”是“xy≤”的充分不必要条件．故选：A．点评：本题考查了充分与必要条件的判定问题，解题时应判定充分性、必要性是否都成立，然后下结论，是基础题．4．（5分）已知函数f（x）=，则有（）A．函数f（x）的图象关于直线x=对称B．函数f（x）的图象关关于点（，0）对称C．函数f（x）的最小正周期为D．函数f（x）在区间（0，π）内单调递减考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：常规题型．分析：分析函数f（x）=性质，要先利用公式化成正弦型、余弦型或正切型函数的标准形式，然后再研究性质．解答：解：∵f（x）==∴函数f（x）不是轴对称图形，∴A不正确；∵函数f（x）的最小正周期为π，∴C不正确；∵函数在区间（0，π）不单调，∴D不正确；∵函数f（x）的对称中心为（）k∈Z，∴函数f（x）的图象关关于点（，0）对称正确，故选B．点评：本题考查了三角变换和正切型函数的性质．5．（5分）已知0＜a＜b＜1，则（）A．＞B．（）a＜（）b C．（lga）2＜（lgb）2D．＞考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：利用不等式的基本性质和指数函数、对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵0＜a＜b＜1，∴，可得；；（lga）2＞（lgb）2；lga＜lgb＜0，可得．综上可知：只有D正确．故选：D．点评：本题考查了不等式的基本性质和指数函数、对数函数的单调性，属于基础题．6．（5分）已知函数f（x）=x2+2cosx，若f′（x）是f（x）的导函数，则函数f′（x）在原点附近的图象大致是（）A． B． C． D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由题可得f′（x）=2x﹣2sinx，判断导函数的奇偶性，利用特殊值的函数值推出结果即可．解答：解：函数f（x）=x2+2cosx，∴f′（x）=2x﹣2sinx=2（x﹣sinx），f′（﹣x）=﹣2x+2sinx=﹣（2x﹣2sinx）=﹣f′（x），导函数是奇函数，∵x∈（0，），x＞sinx＞0，∴B、C、D不正确．故选：A．点评：本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．7．（5分）已知函数f（x）=，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤m2﹣m 恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣] B．（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）C．[1，+∞）D． [﹣，1]考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：求出分段函数的最大值，把不等式f（x）≤m2﹣m恒成立转化为m2﹣m大于等于f （x）的最大值恒成立，然后求解不等式得到实数m的取值范围．解答：解：对于函数f（x）=，当x≤1时，f（x）=﹣（x﹣）2+；当x＞1时，f（x）=＜0．则函数f（x）的最大值为．则要使不等式f（x）≤m2﹣m恒成立，则m2﹣m恒成立，即m或m≥1．故选B．点评：本题考查了恒成立问题，训练了分段函数的最值的求法，考查了数学转化思想方法，考查运算能力，是中档题．8．（5分）已知方程=k在（0，+∞）上有两个不同的解α、β（α＜β），则下列的四个命题正确的是（）A．sin2α=2αcos2αB．cos2α=2αsin2αC．sin2β=﹣2βsin2βD．cos2β=﹣2βsina2β考点：余弦函数的图象．专题：导数的综合应用．分析：将方程=k转化为|cosx|=kx，作出两个函数的图象，利用数形结合，以及导数的几何意义即可得到结论．解答：解：∵=k，∴|cosx|=kx，∴要使方程=k（k＞0）在（0，+∞）上有两个不同的解，则y=|cosx|的图象与直线y=kx（k＞0）在（0，+∞）上有且仅有两个公共点，所以直线y=kx与y=|cosx|在（，π）内相切，且切于点（β，﹣cosβ），此时y=|cosx|=﹣cosx．∴切线的斜率为sinβ=，∴βsinβ=﹣cosβ，∴2βsinβsinβ=﹣2sinβcosβ，∴sin 2β=﹣2βsin2β，故选：C．点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，导数的几何意义，体现了转化的数学思想．二．填空题（6*5=30分）（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．（5分）若=3．考点：对数的运算性质．专题：计算题；转化思想．分析：由2x=3，得x=log23，把化为以2为底数的对数，然后运用对数的和等于乘积的对数进行运算．解答：解：∵2x=3，∴x=log23，又∵，∴x+2y==．故答案为3．点评：本题主要考查对数的运算，关键是化指数式为对数式，然后运用对数的运算法则进行化简计算，此题是基础题．10．（5分）如图是函数在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：先根据函数关系式和图象，求得图象与x的正半轴的另一个交点为（，0），再根据定积分的几何意义得到阴影部分的面积．解答：解：∵y=cos（2x﹣），∴周期T==π，∴∴阴影部分的面积S=﹣cos（2x﹣）dx+cos（2x﹣）dx=﹣sin（2x﹣）|+sin（2x﹣）|=；故答案为：．点评：本题主要考查了定积分的几何意义以及三角函数的问题，关键是求出积分上下限，计算积分值，属于基础题．11．（5分）若，则的最大值为．考点：二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：利用利用三角函数基本关系式、基本不等式即可得出．解答：解：∵，∴tanα＞0．∴====．故答案为：点评：本题考查了三角函数基本关系式、基本不等式，属于基础题．12．（5分）已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥l 时，的取值范围是[，]．考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：判断函数f（x）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合和的几何意义即可得到结论．解答：解：∵f（x）=x+sinx（x∈R），∴f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣（x+sinx）=﹣f（x），即f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数，∵f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，∴f（y2﹣2y+3）≤﹣f（x2﹣4x+1）=f[﹣（x2﹣4x+1）]，由f'（x）=1+cosx≥0，∴函数单调递增．∴（y2﹣2y+3）≤﹣（x2﹣4x+1），即（y2﹣2y+3）+（x2﹣4x+1）≤0，∴（y﹣1）2+（x﹣2）2≤1，∵y≥1，∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．的几何意义为动点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率的取值范围．设k=，（k＞0）则y=kx+k，即kx﹣y+k=0．当直线和圆相切是，圆心到直线的距离d===1，即8k2﹣6k=0，解得k=．此时直线斜率最大．当直线kx﹣y+k=0．经过点B（3，1）时，直线斜率最小，此时3k﹣1+k=0，即4k=1，解得k=，∴≤k≤，故答案为[，]．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，函数奇偶性和单调性的判断以及直线斜率的取值范围，综合性较强，运算量较大，利用数形结合是解决本题的基本思想．13．（5分）已知的展开式中的常数项为T，f（x）是以T为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是．考点：二项式定理；函数零点的判定定理．专题：综合题；转化思想；综合法．分析：先求出展开式中的常数项T，求得函数的周期是2，由于g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，即函数f（x）与r（x）=kx+k有四个交点，根据两个函数的图象特征转化出等价条件，得到关于k的不等式，求解易得．解答：解：∵的常数项为=2∴f（x）是以2为周期的偶函数∵区间[﹣1，3]是两个周期∴区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点可转化为f（x）与r（x）=kx+k 有四个交点当k=0时，两函数图象只有两个交点，不合题意当k≠0时，∵r（﹣1）=0，两函数图象有四个交点，必有0＜r（3）≤1解得0＜k≤故答案为：点评：本题考点二项式定理，主要考查依据题设条件灵活转化的能力，如g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，即函数f（x）与r（x）=kx+k有四个交点，灵活转化是正确转化是解题的关键．二.选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分．（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：，（α为参数）交于A、B两点，且|AB|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是ρ（cosθ﹣sinθ）=1．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．分析：设倾斜角为的直线l的方程为：y=x+b，将曲线C化为普通方程，即为圆，圆心为（2，1），半径为1，求出圆心到直线l的距离d，再由弦长公式2，求得b，再用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得到所求方程．解答：解：设倾斜角为的直线l的方程为：y=tan x+b即有y=x+b，曲线C：，（α为参数）化为普通方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．则曲线C为圆，圆心为（2，1），半径为1，则圆心到直线l的距离为d==，弦长|AB|=2=2，解得b=﹣1．则直线l：y=x﹣1．故直线l的极坐标方程为：ρ（cosθ﹣sinθ）=1．故答案为：ρ（cosθ﹣sinθ）=1．点评：本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线和圆相交的弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题．（几何证明选讲选做题）15．已知⊙O1和⊙O2交于点C和D，⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A、B点，交直线CD于点E，M是⊙O2上的一点，若PE=2，EA=1，∠AMB=45°，那么⊙O2的半径为．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：根据切割线定理和割线定理，证出EP2=EA•EB，代入题中数据解得EB=4，从而得到AB=3．再在△ABM中利用正弦定理加以计算，即可得出⊙O2的半径．解答：解：∵PE切⊙O1于点P，∴EP2=EC•ED．∵ED、EB是⊙O2的两条割线，∴EC•ED=EA•EB．∴EP2=EA•EB，即22=1•EB，得EB=4，因此，△ABM中AB=EB﹣EA=3，∠AMB=45°，设⊙O2的半径为R，由正弦定理，得=2R，即2R==，解之得R=．故答案为：点评：本题给出两圆相交，在已知一条圆的切线长的情况下求另一个圆的半径．着重考查了圆当中的比例线段和正弦定理等知识，属于中档题．三.解答或证明题16．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a、b的值．考点：正弦定理；三角函数的化简求值；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 sin（2x﹣）﹣1，由此求出最小值和周期．（Ⅱ）由f（C）=0可得sin（2C﹣）=1，再根据C的范围求出角C的值，根据两个向量共线的性质可得 sinB﹣2sinA=0，再由正弦定理可得 b=2a．再由余弦定理得9=，求出a，b的值．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）==﹣﹣1=sin（2x﹣）﹣1，∴f（x）的最小值为﹣2，最小正周期为π．…（5分）（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，即 sin（2C﹣）=1，又∵0＜C＜π，﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，∴C=．…（7分）∵向量与共线，∴sinB﹣2sinA=0．由正弦定理，得 b=2a，①…（9分）∵c=3，由余弦定理得9=，②…（11分）解方程组①②，得 a= b=2．…（13分）点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，两个向量共线的性质，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．17．（13分）一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的．（Ⅰ）从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；（Ⅱ）一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”（每次操作完成后将球放回）．某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）设从袋子中任意摸出3个球，利用排列组合知识能求出摸出的球均为白球的概率．（Ⅱ）由一次”摸球成功”的概率P==．随机变量ξ服从二项分布B（3，），由此能求出ξ的分布列和数学期望．解答：解：（Ⅰ）设从袋子中任意摸出3个球，摸出的球均为白球的概率：P==．…（4分）（Ⅱ）由一次”摸球成功”的概率P==．…（8分）随机变量ξ服从二项分布B（3，），∴ξ的分布列为：…（12分）P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，ξ0 1 2 3PEξ=3×=2．…（14分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，在历年2015届高考中都是必考题型．解题时要认真审题，注意概率知识的灵活运用．18．（13分）如图1，AD是直角△ABC斜边上的高，沿AD把△ABC的两部分折成直二面角（如图2），DF⊥AC于F．（Ⅰ）证明：BF⊥AC；（Ⅱ）设∠DCF=θ，AB与平面BDF所成的角为α，二面角B﹣FA﹣D的大小为β，试用tanθ，cosβ表示tanα；（Ⅲ）设AB=AC，E为AB的中点，在线段DC上是否存在一点P，使得DE∥平面PBF？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：三角函数的求值；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）首先利用折叠，把平面问题转化成空间问题，进一步利用面面垂直转化成线面垂直和线线垂直．（2）利用三角函数及定义建立等量关系（3）存在性问题的确定，先确定结论，然后进行证明，进一步得出结论．解答：证明：（Ⅰ）∵AD⊥DB，AD⊥DC，∴∠BDC是二面角B﹣DA﹣C的平面角．又∵二面角B﹣DA﹣C是直二面角，∴BD⊥DC，∴BD⊥平面ADC，∴BD⊥AC，又DF⊥AC，∴AC⊥平面BDF，∴BF⊥AC．解：（Ⅱ）由（Ⅰ），．利用三角形相似得：，∴．解：（Ⅲ）存在，使DE∥平面PBF理由：连接CE交BF于点M，连接PM，则PM∥DE．∵AB=AC，∴AD=DC，∴F为AC的中点，而E为AB的中点，∴M为△ABC的重心，∴，∴．即在线段DC上存在一点P，此时，使DE∥平面PBF．故答案为：（1）略（2）tanθcosβ=tanα（3）存在，使DE∥平面PBF点评：本题考查的知识要点：面面垂直的性质定理与线面垂直和线线垂直的转化，三角函数只是在三角形中的应用，直二面角的应用，存在性问题的确定与证明方法．19．（14分）如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意可得b=1，2a=4，即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长|AB|，又l2⊥l1，可得直线l2的方程为x+kx+k=0，与椭圆的方程联立即可得到点D 的横坐标，即可得出|PD|，即可得到三角形ABD的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值．解答：解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2．∴椭圆C1的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．又圆的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．∴|AB|==．又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得，∴|PD|=．∴三角形ABD的面积S△==，令4+k2=t＞4，则k2=t﹣4，f（t）===，∴S△=，当且仅，即，当时取等号，故所求直线l1的方程为．点评：本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力．20．（14分）如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的半径都是2km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地．（1）如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．考点：在实际问题中建立三角函数模型．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）先过S作SH⊥RT于H，则有：S△RST=，由题意知：△RST在月牙形公园里，RT与圆Q只能相切或相离，RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，建立不等关系：RT≤4，SH≤2，当且仅当RT切圆Q于P时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．从而得出场地面积的最大值即可；（2）同（1）的分析，要使得场地面积最大，AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD必须切圆Q于P，再设∠BPA=θ，写出等腰梯形ABCD面积的表达式，再利用导数求得其极大值也是最大值即可．解答：解：（1）如下右图，过S作SH⊥RT于H，S△RST=．（2分）由题意，△RST在月牙形公园里，RT与圆Q只能相切或相离；（4分）RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有RT≤4，SH≤2，当且仅当RT切圆Q于P时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．此时，场地面积的最大值为S△RST==4（km2）．（6分）甲图乙图（2）同（1）的分析，要使得场地面积最大，AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD必须切圆Q于P，再设∠BPA=θ，则S ABCD=（AD+BC）×2sinθ=（4+2×2cosθ）×2sinθ．=4（sinθ+sinθcosθ）…（8分）令y=sinθ+sinθcosθ，则y'=cosθ+cosθcosθ+sinθ（﹣sinθ）=2cos2θ+cosθ﹣1．（11分）若y'=0，，又时，y'＞0，时，y'＜0，（14分）函数y=sinθ+sinθcosθ在处取到极大值也是最大值，故时，场地面积取得最大值为（km2）．（16分）点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型．解题的关键是利用三角函数这个数学模型，建立函数关系式，最后利用导数知识求最值．21．（14分）已知λ∈R，函数f（x）=lnx﹣，其中x∈[1，+∞）．（Ⅰ）当λ=2时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）在函数y=lnx的图象上取点P n（n，lnn）（n∈N*），记线段P n P n+1的斜率为k n，S n=++…+．对任意正整数n，试证明：（ⅰ）S n＜；（ⅱ）S n＞．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用导数求函数的最小值；（Ⅱ）利用两点的连线的斜率公式得出k n，再利用（Ⅰ）的结论对S n放缩即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）λ=2时，，求导可得…（3分）所以，f（x）在（1，+∞）单调递增，故f（x）的最小值是f（1）=0．…（5分）（Ⅱ）依题意，．…（6分）（ⅰ）由（Ⅰ）可知，若取λ=2，则当x＞1时f（x）＞0，即．于是，即知．…（8分）所以．…（9分）（ⅱ）取λ=3，则，求导可得当x∈（1，2）时，f'（x）＜0，故f（x）在（1，2）单调递减．所以，x∈（1，2]时，f（x）＜f（1）=0，即．…（12分）注意到，对任意正整数n，，于是，即知．…（13分）所以．…（14分）点评：本题考查导数的性质的综合运用及运用导数法证明函数与不等式的综合问题的处理能力，解题时注意转化思想的运用．。

2015年广东省普通高中一模考试答案(理数)

2 2
又 a1 1 适合上式， ∴ an 2 n 1 .
/w
解法 2：由 an1 2 Sn 1 ，得 an 1 1 4Sn ，当 n 2 时， an 1 4Sn 1 ，
2
tp :/
ht
∴ an 1 1 an 1 4 Sn Sn 1 4an . ∴ an1 an 2an1 2an 0 .
∴Rt△ POA ～Rt△ HGA .
PO PA ∴ . HG HA
∴ HG
PO HA 32 3 30 . PA 5 30
3
教 gu an 研 gz tr .e du .c n/
P
3 . ……5 分 G
A
D
E
州
H
O
B
F
…………………………12 分
在 Rt△ BHG 中， tan BGH

Sn 1 .

2
∵ an 0 ，∴ S n 0 . ∴ Sn1 ∴数列
n
Sn 1 .
∴ Sn 1 n 1 n .
州
S 是首项为
2
S1 1 ，公差为 1 的等差数列.
广
∴ Sn n .
ww .
2 2
2
当 n 2 时， an Sn Sn 1 n n 1 2n 1 ，
广
∴ PO BO . …………………………6 分 ∵ PO EF ， EF BO O ， EF 平面 BFED ， BO 平面 BFED ，
AO 2 PO 2 30 ，

在 Rt△ POA 和 Rt△ HGA 中， POA HGA 90 , PAO HAG ， …………………………11 分

2015-2016年广东省东莞实验中学高三(上)数学期中试卷和答案(理科)

（a＞0，b＞0）的右焦点，且两条曲线交点的连线过点 F，则该双曲线的离心率为（）
A．
B．2
C．
D．
12．（5 分）若函数 f（x）=|x2﹣k|的图象与函数 g（x）=x﹣3 的图象至多有一个公共点，则实数 k 的取值范围是（）
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A．（﹣∞，3] B．[9，+∞） C．（0，9] D．（﹣∞，9]
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．（5 分）函数（x＞﹣3）的最小值是．．
14．（5 分）曲线（ f x） =ex 在点（x0，（ f x0））处的切线经ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点 P （1， 0），则 x0= 15．（5 分）（x﹣y）（x+y）8 的展开式中 x2y7 的系数为
三、请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 22．（10 分）如图，△ABC 内接于直径为 BC 的圆 O，过点 A 作圆 O 的切线交 CB 的延长线于点 P，∠BAC 的平分线分别交 BC 和圆 O 于点 D、E，若 PA=2PB=10．（1）求证：AC=2AB；（2）求 AD•DE 的值．
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（Ⅰ）求证 BC⊥平面 AFG；（Ⅱ）求二面角 B﹣AE﹣D 的余弦值．
20．（12 分）已知⊙O：x2+y2=6，P 为⊙O 上动点，过 P 作 PM⊥x 轴于 M，N 为 PM 上一点，且．
（Ⅰ）求点 N 的轨迹 C 的方程；（Ⅱ）若 A（2，1），B（3，0），过 B 的直线与曲线 C 相交于 D、E 两点，则 kAD+kAE 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由． 21．（12 分）已知函数 f（x）=ex﹣ x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若函数 f（x）的图象在 x=0 处的切线方程为 y=2x+b，求 a，b 的值；（Ⅱ）若函数在 R 上是增函数，求实数 a 取值范围；（Ⅲ）如果函数 g（x）=f（x）﹣（a﹣ ）x2 有两个不同的极值点 x1，x2，证明： a＞．

广东省2015年高考一模数学(理)试题分类汇编：导数及其应用(含答案)

广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（2015届深圳市）在ABC ∆中，c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,所对的边，若函数1)(31)(2223+-+++=x ac c a bx x x f 有极值点，则B ∠的范围是（） A.)3,0(πB 。

]3,0(πC 。

],3[ππD 。

),3(ππ选择题参考答案1、D 二、填空题1、（2015届揭阳市）已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，若11a =31010(1()3f a ++=-2、（2015届深圳市）设P 是函数x y ln =图象上的动点，则点P 到直线x y =的距离的最小值为填空题参考答案1、由2'()3f x x =得曲线的切线的斜率23k k a =，故切线方程为323()k k k y a a x a -=-，令0y =得123k k a a +=123k ka a +⇒=，故数列{}n a 是首项11a =，公比23q =的等比数列，又 310(f f f a +++101011210(1)3(1)1a q a a a q q-=+++==--，所以31010(31()3f a ++=-.2、2三、解答题1、（2015届广州市）已知函数()()2ln 12a f x x x x =++-()0a ≥. （1）若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，求a 的取值范围；（2）已知e 为自然对数的底数，证明：∀n ∈N *22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++⋅⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.2、（2015届江门市）设函数)(ln )(a x e x f x -=，e 是自然对数的底数，718.2≈e ，R a ∈为常数．⑴若)(x f y =在1=x 处的切线 l 的斜率为e 2，求a 的值；⑵在⑴的条件下，证明切线 l 与曲线)(x f y =在区间)21 , 0(至少有1个公共点； ⑶若]3ln , 2[ln 是)(x f y =的一个单调区间，求a 的取值范围．3、（2015届揭阳市）已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈,（e ≈2.718）．（1）若函数()()()F x f x g x =-有极值1，求a 的值；（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围；（3）证明：211sinln 2(1)nk k =<+∑．4、（2015届茂名市）设函数2()ln ||f x x x ax =-+。

广东省2015年高考一模数学(理)试题分类汇编：数列(含答案)

广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编数列一、选择题 1、（2015届江门市）{}n a 是等差数列，1a 与2a 的等差中项为1，2a 与3a 的等差中项为2，则公差=dA ．2B ．23 C ．1 D ．212、（2015届汕头市）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又知()ln ln 1x x x '=+，且101ln eS xdx =⎰，2017S =，则30S 为（）A ．33B ．46C ．48D ．503、（2015届湛江市）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且公比1q ≠，若2a 、312a 、1a 成等差数列，则公比q =（）A B C D选择题参考答案1、C2、C3、D二、填空题1、（2015届梅州市）已知等比数列{n a }的公比为正数，且239522,1a a a a ==，则1a ＝＿＿＿填空题参考答案1、22三、解答题1、（2015届广州市）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足111,1n a a +==，n ∈N *.（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列? 若存在, 求k 的值；若不存在, 请说明理由.2、（2015届江门市）设数列{}n a 的前n 项和6)14)(1(-+=n n n S n ，*N n ∈．⑴求1a 的值；⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶证明：对一切正整数n ，有4541222221<+++na n a a ．3、（2015届揭阳市）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（*n N ∈），且211a =．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）设数列{}n b满足n b =123n b b b +++<4、（2015届茂名市）已知数列{n a }的前n 项和为Sn ，1a ＝1，且122(1)(1)(*)n n nS n S n n n N +-+=+∈，数列{n b }满足2120(*)n n n b b b n N ++-+=∈，3b ＝5，其前9项和为63。

广东省实验中学2015届高三第一次阶段考试数学(理) Wor

广东实验中学2015届高三阶段考试（一）理科数学一．选择题(5*8=40分)1．设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 2． 22log sinlog cos1212ππ+的值为（）A .-2B .–l C. 12D .13．已知x ，y ∈R ，则“1x y +=”是“14xy ≤”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．已知函数cos21()sin 2x f x x-=，则有（）A ．函数()f x 的图像关于直线2x π=对称B ．函数()f x 的图像关关于点(,0)2π对称C ．函数()f x 的最小正周期为2πD ．函数()f x 在区间(0,)π内单调递减5．已知0<a<b<l ．则（） A.11b a > B. 11()()22a b < C. 22(lg )(lg )a b < D. 11lg lg a b>6．已知函数 2()2cos f x x x =+，若 '()f x 是 ()f x 的导函数，则函数 '()f x 在原点附近的图象大致是（）A B C D7.已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式23()4f x m m ≤-恒成立，则实数m 的取值范围是（） 111.(,].(,][1,).[1,).[,1]444A B C D -∞--∞-+∞+∞-AB C DP ME O 1O 2 8．已知关于x 的方程cos xk x=在(0,)+∞有且仅有两根，记为,()αβαβ<，则下列的四个命题正确的是（）A ．2sin 22cos ααα= B ．2cos 22sin ααα= C ．2sin 22sin βββ=- D ．2cos22sin βββ=-二．填空题（6*5=30分）（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

广东省广州市2015年高考数学一模试卷(理科)【解析版】

＜（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e．
广东省广州市2015届高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合M={3，4，5}，N={1， 2，5}，则集合{1，2}可以表示为（） A． M∩N B．（∁UM） ∩N C． M∩（∁UN） D．（∁UM）∩（∁UN）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据元素之间的关系进行求解即可．解答：解：∵M={3，4，5}，N={1，2，5}， ∴M∩N={5}，（∁UM）∩N={1，2}， M∩（∁UN）={3，4}，（∁UM）∩（∁UN）=∅，故选：B 点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 2．（5分）已知向量 =（3，4），若|λ
C．
（﹣∞，﹣
简单线性规划．计算题；作图题；不等式的解法及应用．
分析：由题意作出其平面区域，先解出点A的坐标，再结合图象写出实数m的取值范围即可．解答：解：由题意作出其平面区域，
结合图象可得，，解得，A（﹣1，﹣3）；故m≥﹣1；故选B．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题． 6．（5分）已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该椎体的俯视图可以是（）
又关于x的绝对值不等式|x|+|x﹣1|≤a有解， ∴a≥|x|+|x﹣1|的最小值，又∵|x|+|x﹣1|表示数轴上的点到0和1的距离之和， ∴|x|+|x﹣1|的最小值为1，即a≥1， ∵{a|a≥1}是集合{a|a≤﹣1或a≥1}的真子集， ∴|a|≥1是关于x的绝对值不等式|x|+|x﹣1|≤a有解的必要不充分条件，故选：B 点评：本题考查充要条件的判定，涉及绝对值不等式的恒成立问题，属基础题． 8．（5分）已知i是虚数单位，C是全体复数构成的集合，若映射f： C→R满足：对任意z1，z2∈C，以及任意λ∈R，都有f（λz1+（1﹣λ） z2）=λf（z1）+（1﹣λ）f（z2），则称映射f具有性质P．给出如下映射： ①f1：C→R，f1（z）=x﹣y，z=x+yi（x，y∈R）； ②f2：C→R，f2（z）=x2﹣y，z=x+yi（x，y∈R）； ③f3：C→R，f3（z）=2x+y，z=x+yi（x，y∈R）；其中，具有性质P的映射的序号为（） A． ①② B． ①③ C． ②③ D． ①②③ 考点：映射．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：求出两个向量的和的坐标；分别对三个函数求f（λz1+（1﹣ λ）z2）、λf（z1）+（1﹣λ）f（z2）的值，判断哪个函数具有 f（λz1+（1﹣λ）z2）=λf（z1）+（1﹣λ）f（z2）解答：解：设 z1=（x1，y1），z2=（x2，y2），则λ z1+（1﹣λ） z2=（λx1+（1﹣λ）x2，λy1+（1﹣λ）y2），对于①，f[λa+（1﹣λ）z2]=λx1+（1﹣λ）x2+λy1+（1﹣λ） y2+1=λ（x1+y1）+（1﹣λ）（x2+y2）+1 而λf（ a）+（1﹣λ）f（z2）=λ（x1+y1+1）+（1﹣λ）（x2+y2+1） ═λ（x1+y1）+（1﹣λ）（x2+y2）+1， f1满足性质p；f2（λa+（1﹣λz2））=[λx1+（1﹣λ）x2]2+[λy1+（1﹣