中学数学基本能力的培养
如何培养学生的数学基本能力
如何培养学生的数学基本能力中学数学基本能力主要包括运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力。
如何培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，并在此基础上如何进一步培养一般能力，下面笔者分别探究培养学生这几种能力的基本途径：一、培养学生运算能力的基本途径运算的意义不仅局限于通常的加、减、乘、除、乘方、开方等代数运算，还包括数的计算、方程和不等式的恒等变形、函数的运算和求值、几何量的测量和计算以及数列、函数、集合、微分、积分、概率、统计的初步计算等。
1.牢固掌握基础知识，弄通算理、法则在数学学习中，运算不正确的原因常常是概念模糊，公式、法则遗忘，性质混淆或生搬死套，不注意适用条件等。
因此，学生只有透彻理解和牢固掌握各种运算所需要的数学概念、性质、定理、公理、法则和公式等数学基础知识，才能为提高运算能力打好基础。
在数学运算过程中，熟练准确地掌握基础知识是提高学生运算能力的必要途径。
2.提高记忆能力，加强运算基本功训练培养学生运算能力还要提高学生的记忆能力，讲究记忆方法，牢固掌握一些常用的数据和常用的公式和法则。
例如：均值不等式的试用条件，三角函数的图像及其性质，三角恒等变换公式，正余弦定理，等差等比数列的定义及性质，要讲究记忆方法，要在理解和运用中记忆，也可采用“口诀”帮助记忆。
3.加强运算练习，培养学生的运算能力我们知道任何能力都是有计划、有目的地训练出来的，提高学生的运算能力也必须加强练习，进行严格训练。
只有经过反复的训练，形成解题的技巧和技能，才可以节省时间和精力，达到迅速运算的目的，而且能避免繁琐的计算，减少错误发生的可能。
二、培养学生逻辑思维能力的基本途径注重提高学生的数学思维能力是高中数学课程的基本理念之一，也是高中数学教育的基本目标之一。
逻辑思维是借助于概念、判断、推理等思维形式所进行的思考活动，是一种有条件、有步骤、有根据、渐进式的思维方式，是学生数学能力的核心。
在教学中，发展学生的逻辑思维是发展学生思维的中心环节和主要标志。
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第9章中学数学基本能力培养教学目的：通过本章的学习，使学生掌握在教学中如何培养三种能力，即如何培养学生的运算能力，思维能力和空间想象能力，并在此基础上如何进一步培养一般能力，如观察能力，理解能力，记忆能力和运用能力等。
教学内容：1、运算能力的培养。
2、空间想象能力的培养。
3、分析和解决实际问题的能力培养。
4、逻辑思维能力的培养。
教学重、难点：三种能力的培养既是本章的重点又是难点。
教学方法：讲授法教学过程：§9．1 运算能力的培养9．1．1 什么是运算能力运算的意义不仅局限于通常的加、减、乘、除、乘方开方等代数运算，还包括初等函数的运算和求值，各种几何量的测量和计算，求数列与函数极限以及微分、积分等分析运算，还有概率、统计的初步计算等．特别要指出的是几何的平移、旋转、对称、伸缩等“变换”也可称为“几何运算”．在一些高中数学教材和中等专业技术学校使用的数学课本中，还简单介绍了逻辑代数知识，“与”，“或”、“非”这是“逻辑运算”．对于集合求其交集、并集及全集，是进行集合运算．如果对于运算作上述广义的理解，那么我们就不会再片面地说运算只是算术和代数的事了．因此，培养学生正确和迅速的运算能力是整个中学数学教学中的任务．9．1．2 培养学生运算能力的基本途径怎样才能使学生具有正确迅速的运算能力呢？在小学、初中与高中这几个阶段中，都必须有计划有步骤地进行培养，由算术运算到代数运算；由代数运算到分析运算、几何运算、集合运算、逻辑运算，由口算、笔算到表算、工具算等都要切实抓好.总之，一要学习,即学习与运算有关的知识；二要训练，即精心选择一部分习题，让学生独立完成．下面谈一谈培养学生运算能力的基本途径．1、牢固掌握基础知识，弄通算理、法则要使运算正确而又迅速就要牢固地掌握与运算有关的概念、公式法则以及变形化简等思维方法．同时要多练习，常反复，形成熟练的技能技巧．但也不能“死练”，在练之前，要使得学生懂得“算理”使其懂得“怎样算”，“为什么这样算”．只有“计有据”，才能“算有准”．如果教师只教给学生“怎样算”，而学生并不明白“为什么这样算”，“为什么这样算就正确”，那么学生的运算能力就不会始终保持其正确性，也形成不了什么运算能力．例1 讲异分母分数的加减时，如果只教给学生要先通分，变成同分母的分数之后，再按同分母的分数进行加减运算，而不讲清为什么要这样算，有的学生对运算的方法是记不牢的，时间一长，往往会遗忘，甚至会出现523121=+之类的笑话． 因此，教师必须在学生学习通分算法之初，就教学生“算理”，让学生清楚地懂得：如果两个分数分母不同，分数的单位就不同，每份的大小也就不同，而单位不同的分数是不能直接相加减的．只有经过通分之后，它们的分母相同了，即分数的单位相同了，每份的大小是一样的，从而就可以直接进行加减运算了．例2 如化简()οο10tan 3150sin +⋅，则需要灵活运用和角三角函数公式来进行推理，计算如下： 原式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=οοοοο10cos 10sin 60cos 60sin 150sin οοοοοοο10cos 60cos 10sin 60sin 10cos 60cos 50sin +=()οοοοο10cos 60cos 1060cos 50sin -⋅= οοο10cos 2150cos 50sin =110cos 10cos 10cos 100sin ===οοοο 这里，三角函数公式的应用，恒等变形的使用都给培养正确的、迅速的运算能力提供了前提．例3 如解方程()21lg 2=-x ，首先应该知道方程的解域是1≠x ，再进行同解变形得第 245 页 ()100lg 1lg 2=-x 从而有（x -1）2＝100，解此方程得x ＝11或x = -9但要注意，如果把原方程变为：()()11lg 21lg 2=-⇒=-x x 由于未知数取值范围缩小为x ＞1，于是产生减根．显见这种解法是错的．在例2和例3的运算过程中，每步推导都是依理进行的．事实上，在培养运算能力的过程中，逻辑思维能力的培养也在其中了．例 4 实系数方程013=++mx x 的三根在复平面上构成正三角形的三个顶点，则m 的值的是：（A ）－1； （B ）0； （C ）1； （D ）2． 答案（ ） 解 因为三点不可能都在实数轴上，所以方程至少有一个虚根，又因为实系数为一元三次方程，故必有一个实根．设三根为α，a+bi ，a-bi （α、a 、b ∈R ，α≠0）它们的对应点分别为A （α,0），B （a,b ），C （a,-b ），其中A 在实轴上．由韦达定理，可得α+（a+bi ）（a-bi ）＝0所以：α＝-2a故A 与B 、C 位于y 轴两侧．设B 、C 连线交x 轴于D 点，则有|OD|=|a||OA|＝|-2a|＝2|a|所以O 为ΔABC 的中心．|OB|＝2|a|，a 2+b 2＝4a 2 ∴b ＝±3a所以三根为-2|a|，a （1+3i ），a （1-3i ）又因为（-2a ）a （1+3i ）a （1-3i ）＝-1解得a=21，则α＝-2a ＝-1将α＝-1代入原方程，得（-1）3＋m （-1）＋1＝0，故m=0，故选择（B ）．本题推理丝丝入扣，逻辑严谨．各步判断有根有据，然而各步判断均和计算结果直接相关．由此可见运算能力的培养有助于推理判断能力的培养．除此，运算能力的培养在运算型的证明题中也能得到较好的体现．总而言之，在运算过程中，“言之有据”是应该遵循的重要原则之一．下面再举一例，以说明在逻辑运算中，也必须弄通算理，才能使运算达到正确迅速．例5 某年级先后举行数、理、化三种竞赛，学生中至少参加一科的：数学201人，物理177人，化学163人；参加两科的：数学、物理141人，数学、化学114人，物理、化学95人；三科都参加的87人．问参加竞赛的学生总数是多少？解 这是一道涉及到逻辑运算的运算题．如学生弄不通算理，如学生弄不通算理，不懂逻辑运算法则，还照以往代数中的运算一样去运算，即将各类竞赛者一加求和了事，那就出现错误了．所以说，一些与运算相关的新的数学概念、法则、公式的引入都需要加以格外留意，以免在运算过程中，因算理不通，铸成谬误．对本题可作如下解答：设A 、B 、C 分别表示参加数学、物理化学每一科竞赛学生的集合（如图9-1）,并且以n（S ）表示有限集合S 的元素个数．则有 n （A ∪B ∪C ）=n （A ）+n （B ）+n （C ）-n （A ∩B ）-n （A ∩C ）-n （B ∩C ）+n （A ∩B ∩C ）=201+177+163-141-114-95+87=2782、提高记忆能力，加强运算基本功训练培养学生运算能力，还要提高学生的记忆能力，牢固掌握一些常用的数据、常用的公式和法则．尤其要加强运算基本功训练，籍以形成熟练的技能技巧．A ∩C A ∩B B ∩C A ∩B ∩C B A C 图9-1第 247 页（1）一般来说，在小学阶段，作为运算的基本功主要是：i ）熟练掌握整数、小数、分数的四则运算；ii ）20以内的口算加减法与表内乘法、相应的除法，要达到“直呼”的程度：熟悉分数、小数互化运算，熟悉一些分数互化的数值．例如：5.021=、25.041=、75.043=、125.081=等等． （2）在初中阶段，作为运算的基本功主要是：i ）熟练掌握有理数的四则运算和有理指数、常用对数、锐角三角函数的运算，特别还要加强整式、分式与根式的运算训练．ii ）要熟记一些重要数据，讲究记忆方法和规律，最好能达到“直呼”的程度：a 、多位数与一位数相乘，直接得积；b 、1－20的平方数，1－10的立方数．c 、将被开方数化为质因数乘积求方根；d 、特殊角的三角函数值；角度制与弧度制互换．e 、乘法公式．（3）在高中阶段，要通过复习以巩固上述初等运算的能力．要学习一些初等函数的恒等变形；学习行列式和复数的运算；学习极限与微积分运算；还要学会集合的运算、逻辑运算．这阶段的运算基本功主要是：i ）熟练掌握指数、对数式与三角函数式的恒等变形，初步掌握极限与微积分运算．ii ）熟记基本公式、重要的极限等、以提高计算速度．例如：1log =a a ，01log =a ，（0>a 且1≠a ）；()βαβαβα +=+sin cos cos sin sin ； e n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim ；1sin lim 0=→x x x ； 微积分基本公式等．为了使学生练习基本功，一要理解运算所依据的道理；二要记住常用的公式、法则；三要通过练习才能落实到学生身上．下面选一组指数、对数的基础练习和一组心算练习题，供参考．i ）化简计算：①()()()222314.3-----οπ； ②843333⋅⋅；③113243--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-； ④8lg 3236.0lg 23lg 38lg 2+++． ii ）比较大小①π⎪⎭⎫ ⎝⎛21，13.321⎪⎭⎫ ⎝⎛； ②25.0log ，55.0log ；③ο80cos ，1lg ； ④8log 2，3；⑤32log 32，234-⎪⎭⎫ ⎝⎛-； ⑥12log 3，12log 10． iii ）求函数的定义域；①4lg -=x y ； ②()x y lg lg =；③()x y +=1log 12； ④13log 2-=x y ． iv ）求值：①已知lg x ＝6，lg y ＝3，求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅322lg y x x y 的值． ②已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求318lg 的值．③已知ΔABC 中，∠C ＝90°，三边长a 、b 、c ，求()()b c c b a a -++log log ． v ）解方程：①x x x 36124=+； ②102tan 2x x x =-． 心算练习题：①a 为实数，a 2永远为正数，对吗？第 249 页②代数式2+x 2的值，最小可能是几？③代数式1－y 2的值，最大可能是几？ ④211x +的值能否大于1？为什么？ ⑤下列哪些式子相等，哪些不相等；a 、62·64与68；b 、（24）3与212；c 、（2·3·5）2与22·32·52；d 、（-7·14）4与-74·144．⑥“a 加b 平方”与“a 与b 和的平方”意思一样吗？分别写出表达式来．⑦若3x <x ，x 的值会怎样？⑧想出一个数c ，使c 2＞c 而2c <c ． ⑨方程11616-+=-+x x x x 与166+=+x x 是否同解？ ⑩为什么方程组⎩⎨⎧=+=+3221y x y x 无解？ 练好运算的基本功，并使运算具有一定的速度，是培养学生正确迅速的运算能力不可缺少的．3、加强运算练习，培养学生的运算能力我们知道任何能力都是可以有计划、有目的地训练出来的，提高学生运算能力必须加强练习，严格训练．加强练习就要按规律进行多练、巧练、反复练．题目由浅到深，基本题、引伸题、创新题依次出现，这样不但可训练学生的运算技能技巧，而且可培养学生的运算能力．严格训练就要做到高质量、高效率，即学生练习要做到正确、迅速、合理．从某种意义上讲，运算能力的培养实际上就是对合理进行计算的能力培养．而这种合理性的发现，“简捷算法”的寻得，首先就需要有很好的观察力和对基础知识的良好掌握．例如计算()()41022551025++⋅-+． 有观察习惯的人绝不一见题就用乘法分配律展开，而是对55、22都含有11具有“好奇心”，并接着会想从第一个因式中提取公因式5，从第二个因式中提取公因式2，看它们会变成什么样子？即 原式＝()()225112112255++⋅-+至此，就容易进一步想到用乘法公式作进一步的化简了．由于每个人在观察时，抓住问题的特点不同，或者运用的知识不同，对同一个问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”，“多解”之中一般总有较为简捷的解法．经常引导学生重视“简捷算法”与“一题多解”的训练，可以培养学生思维的敏捷性和灵活性．只有思想上“迅速”了，行动上才能“迅速”起来；只有解法上“合理”了，即在应有的水平上达到了“最佳选择”，才能获得最快的速度．当然“简捷算法”与“一题多解”的训练必须紧密结合教学内容进行；必须从小学到中学，一贯重视这种能力的培养，循序渐进地提高要求，才能使学生学到运算技能和技巧，得到系统的巩固和提高，从而形成一种运算能力，进而去探索未知领域，获得新知识．当然这种未知领域对于学生来说是先前未曾感知过的，而对教师来说是可能感知过的．在低年级，一般宜进行“简捷运算”的训练．因为学生年龄尚小，所学知识也不多，他们往往会为获得一种“简捷运算”而欢欣鼓舞，可以说简捷运算容易引起学生的学习兴趣．当然在高年级也要寻求“简捷算法”，即使搞“一题多解”训练，最后也要比较，看哪种解法最为简捷．例1 化简3181434313128⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⋅⋅⋅--a x a x a ． 分析 这是一道根指数，分数指数的综合运算题，首先要确定统一成哪种指数形式进行运算较为简捷． 原式＝18616161213111=⋅⋅+--+--x a ．例2 已知直角三角形两直角边的长分别为5cm 和12cm ，求斜边上的高．第 251 页解 若用射影定理计算高就繁了．所以先求斜边长，得1312522=+，再由面积相等求出斜边上的高为138413512=⨯． 例3 已知51-=x ，求314524+--x x x 的值．分析 若用51-=x 直接代入求值就太繁了．所以，我们改变一个角度，由51-=x 得51=-x ，所以5122=+-x x ，422+=x x ，所以1616424++=x x x ，把它代入原式，则问题就解决了．解 由51-=x ，得51=-x ，所以422+=x x ，1616424++=x x x ，所以原式31451616422+--++=x x x x151********=+++-=++-=x x x x ．以上三例都显示了简捷运算的优点．但这种简捷运算的获得，是经过认真分析，进行选择的结果，这个过程，一题多解的思想已包含在其中了．采用多样化方法解题，不但可以发展学生的思维能力与运算能力，而且还可以提高学生的学习积极性，培养创造精神．为了提倡“一题多解”，在教学中教师要经常进行“一题多解”的典型示范，同时引导学生判断哪种方法较简捷，从而进行选择，加强解题的预见性，做到解题时思维敏捷，避繁就简，达到正确迅速的要求．对于学生有创见的解法，也要善于引导，爱护他们独立思考的积极性，同时帮助他们分析具体错误的症结．例4 计算ο15sin ο15cos +． 解①原式＝2630cos 45sin 275sin 15sin ==+οοοο； ②原式＝()264515sin 215cos 2115sin 212=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+οοοο； ③原式＝()2630sin 115cos 15sin 2115cos 15sin 2=+=+=+οοοοο； ④原式＝432432230cos 1230cos 1++-=++-οο()()()()264132413281381322=++-=++-=． 显然解法①是最简捷的，但解法③也很巧妙．例5 已知ax 4+bx 3+1能被（x -1）2整除，求a 、b 之值．解法一用竖式除法，即得余式为 （3b +4a ）x +（1-2b -3a ）＝0解得 a =3，b =-4解法二用比较系数法．令()()r qx px x bx ax ++-=++223411将等号右边展开，两边比较系数，解方程组得：a =3，b ＝-4，p ＝3，q ＝2，r ＝1，例4、例5 在完成运算之后可知有较简捷算法存在，而例1、例2、例3是在未完成运算之前就作出合理选择，从而采用了简捷算法，实质上，前3例也进行了“一题多解”的思维过程，只不过表述成文字的是一种简捷的算法．运算能力形成的重要性，不仅仅在于它能够从事一系列的运算，甚至具有一定的技能技巧，而更重要地在于它能帮助人们去开拓新知识领域． 例6 计算 1＋2＋3＋……＋100这是历史上很有名的一道题．据说高斯在六岁的时候，就以老师不敢相信的速度得出了正确的答案5050．高斯是如何进行运算的呢？我们可以推测，他可能是观察之后，发现了1＋100＝2＋99＝……＝50＋51，然后利用加法的交换律、结合律及乘法的定义进行运算的，即1＋2＋3＋……＋100＝（1＋100）+（2＋99）+……+（50＋51）＝101＋101＋……＋101＝101×50＝5050第 253 页所用知识是有限的，是人所共知的，然而他将这些知识选择，组合的方法是别有洞天的．再朝前走一步，自然数列求和公式不就应运而生了吗？例7 求自然数倒数平方的级数和：++++16191411…… 解 这是数学家伯努利（Bernoulli ，1654－1705）的一个级数求和难题，伯努利是17世纪杰出的数学家，他是古典概率论的创始人，对古典微积分学以及级数求和等问题都有贡献，但是他却没有办法算出自然数倒数平方的级数和．于是他公开征解，可惜直到他逝世时还未见到有人解出此难题．这个难题过了数十年之后才由欧拉解答出来．在这里欧拉巧妙地利用了类比推理完成了一项非常有趣的发现，给出了伯努利所未能找到的级数和．首先，对于只含偶数次项的2n 次代数方程-+-42210x b x b b ……()012=-+n n n x b ，（00≠b ）假设有2n 个互不相同的根：,,,,2211ββββ--……n n ββ-,,．则得-+-42210x b x b b ……()n n n x b 21-+ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222212011ββx x b ……⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-221n x β 把乘积展开出来，易见x 2项的系数为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=2222101111n b b βββΛ 以上所述为一般代数方程式论中的初等知识．欧拉又考虑了三角方程：+-+-=!7!5!31sin 642x x x x x ……0= 他把它看成是只含有偶次项的无穷次代数方程．由于此方程含有相异根π±，π2±，π3±……于是欧拉采用了类比法，即仿照上述2n 次多项式分解成乘积的形式，把这里出现的所谓无限次多项式也照样分解成因式乘积形式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππ91411sin 22222x x x x x …… 这便是著名的“欧拉乘积公式”．这样一来，再把右边的乘积展开，便发现x 2项的系数是：++++=222216191411!31ππππ…… 即++++16191411……62π=． 奇迹出现了．在数学中经常给学生出一些创新题去运算，对学生的运算能力培养是十分有益的．当然这些创新题应是学生力所能及的，那种一提“创造”就认为是让学生解答数学家所未能解答的问题的态度，显然是不可取的．9．2 空间想象能力的培养9．2．1 什么是空间想象能力想象是一种特殊的思维活动，即在头脑中表象出某种未曾感知的东西，或者创造某种未曾感知过的物体和现象的形象，或者专门产生某些新事物的概念．空间想象不应只局限于三维空间．如果我们认为空间想象乃是全部数学中的形象思维，它就和逻辑思维相辅相成了．通过逻辑思维，由具体到抽象，又通过空间想象，由抽象到具体，波浪式地发展着．实际上，在平面几何中，特别是在平面解析几何中，时常要想象图象的运动．在代数和三角中，空间想象也扮演着重要的角色．例如由函数的图像，便易于掌握函数的性质．代数和分析中的许多概念，如果明确了它们的几何解释，就能使本来很抽象的概念变得生动、直观、形象起来，例如导数和定积分概念就是这样，特别是复数的几何意义的获得，对复数的研究更起了重大的作用．总之，培养学生的空间想象能力应是整个中学数学教学的任务．其中立体几何教学在培养学生的空间想象能力方面所起到的特殊作用是明显的．空间想象能力的培养应当包括哪些要求？一般认为大体上包括下列三个方面的要求：1、对于客观存在的空间形式，能在头脑中反映出正确的形象来，即形成空间概念．2、能将空间形式，按照统一规定，绘成平面图形，反之，能从已知的平面图形想象出它所表达的空间形式．3、不但能进行逻辑思维，而且能进行形象思维，也就是说能运用图形的几何直觉去研究某些问题．9．2．2 培养学生空间想象能力的基本途径如同培养学生的运算能力一样，培养学生的空间想象能力也需要认真学习，牢固掌握基础知识，要会绘图会看图，还要进行一系列的关于加强空间想象能力的训练．具体地说，培养学生空间想象能力的基本途径可有以下几条：1、学好有关空间形式的基础知识想象是客观现实在人脑中的一种反映，所以学生学好有关空间形式的数学知识是提高学生空间想象能力的根本．中学数学中有关空间形式的知识不仅是几何的知识，还有数形结合的内容．如数轴、坐标法、函数图象、三角函数的几何意义、方程与曲线，几何量的度量与计算等内容都可以通过数量分析的方法对几何图形加强理解，掌握这些有利于培养学生的空间想象能力．从研究数量之间的关系，到研究图形之间的关系，数形之间的关系，这是一个很大的变化，虽然在小学里学生已接触过一些几何图形，数形结合的知识，但是学生的空间概念还是很薄弱的，要使学生熟悉图形之间的关系、数形间的关系，还是较为困难的问题，需要有一个逐步培养的过程．对于某一图形所反映的空间形式，怎样使学生形成关于它的空间概念第 255 页呢？一般认为，大致需要经过如下过程．（1）运用实物、模型等进行直观教学，使学生在头脑中形成空间概念的整体形象．（2）通过教师和学生绘制草图和示意图，使头脑中形成的空间概念的形象“具体化”．（3）研究图形的组成元素及其性质，深入了解空间形式的内部结构和特性．（4）根据给定条件，运用画图工具作图，切实掌握空间形式的常用表达方法．总之，空间概念的形成必须经过由画图到看图的一系列训练．例如：在“直线和平面”这一章的教学中，为了有步骤地培养学生的空间想象能力，首先要着重向学生指出现在研究的图形是在空间里，是空间图形，它和平面几何中学习的图形有着本质的区别．其次在教学中，应尽可能多地利用模型实物的直观性，并结合模型绘制草图；往后则逐渐有意识地减弱模型的作用，增强图形的作用；再后则完全不要模型，只利用图形，以培养学生通过图形来想象实际各种元素在空间的位置关系．最后，再进一步既不用模型，也不用图形，而能解决一些比较简单的问题（包括计算题、证明题和作图题），从而不断发展学生的空间想象能力．2、从事数学实习活动通过对实物的观察、解剖、分析或者制作模型、实地测量、作图等数学实习活动也是培养学生空间想象能力的重要途径．人们以现实世界中客观事物为观察研究对象，通过抽象，通过抽象概括，舍弃了诸多的特性，保留了数量关系和空间形式，这种数量关系和空间形式在人们给出了相应的表达方式之后，使人们能够见数、形就能想象出客观事物．或者见到客观事物可抽象出数、形．人们经常从事这种数学实习活动，无疑会加强空间想象能力．例如，在立体几何教学中，对物体或模型的直观分析，在机械制图的教学中通过活动影片来分析视图的性质，在解三角形的教学中测量不可及物体的“高深远近”，凡此种种，对培养学生的空间想象能力都会收到良好的效果．3、加强空间想象能力的训练，不断发展空间想象能力在中学数学课里，不仅要研究图形及其性质，还要研究作图方法，而且要研究图形之间的联系以及数、形之间的联系．这些研究不仅要在一维空间中进行，而且要在二维、三维或高维抽象空间中进行．因此对学生加强下面的训练，将可以发展学生的空间想象能力．（1）研究同类图形之间的联系，丰富学生的空间想象能力在平面几何课里，最重要的图形是三角形和圆，在立体几何里最重要的基本图形是直线和平面．在教学中，在同类图形之间，研究其线面位置和量的关系，会有助于培养学生的空间想象能力．事实上，对各种位置和量的关系理解得越清楚，空间想象能力就越强．现举例如下：例延长等边△ABC的各边BA、CB、AC到D、E、F，使AD＝CF＝BE．求证：△DEF也为等边三角形（如图9－2所示）证因为AB＝BC＝CA， AD＝BE＝CF，所以AF＝BD＝CE， AD＝BE＝CF，又因为∠DAF＝∠EBD＝∠FCE＝180°－60°＝120°所以△DAF≌△EBD≌△FCE （SAS）所以DF＝ED＝EF，即△DEF为正三角形．例已知两圆相切，求证连心线垂直于过切点的公切线．已知：如图9－3，⊙O1和⊙O2外切于P点．AB为过P点的公切线．求证：O1O2⊥AB．证分别连O1P，O2P，因为P为切点，所以O1P⊥AB，O2P⊥AB，所以∠O1∠O2PA=180°，故O1，P，O2共线，所以O1O2图9-2图9-3第 257 页⊥AB讨论：本题两圆相内切的情形，读者可以自己证明．例3 多面体中，线面间的位置和量的关系．解①正棱柱a、上下底面是对应边互相平行的全等的正多边形．b、侧面是全等的矩形．c、侧棱互相平行且相等．d、两底面中心连线垂直于底面．②平行六面体a、对面平行且平等．b、对角线交于一点且在这点互相平分．c、对角线的平方和等于各棱的平方和．③长方体a、对角线的平方等于长宽高的平方和．b、体积等于长宽高之积．④正棱锥a、各侧棱相等．b、侧面为全等的等腰三角形．c、斜高都相等．d、顶点和底面中心的连线段和底面垂直．e、高上任一点到底面各顶点、到各侧面的距离分别相等．f、相邻侧面所成二面角都相等．g、侧面和底面所成二面角都相等．h、侧棱、高、底面半径组成一个以侧棱为弦的直角三角形．i、斜高、高、底面边心距组成一个以斜高为弦的直角三角形．j、侧棱、斜高、底面边长之半组成一个以侧棱为弦的直角三角形．⑤正棱台第 259 页a 、上下底面是相似正多边形．b 、侧棱都相等．c 、侧面为全等的等腰梯形．d 、斜高都相等．e 、两个底面中心连接线段和两底面垂直．f 、侧棱、高、上下底面半径组成一个直角梯形．g 、斜高、高、上下底面边心距组成一个直角梯形．h 、侧棱、斜高、上下底面边长之半组成一个直角梯形．（2）研究不同类图形之间的联系，发展学生的空间想象能力圆和多边形的联系是平面几何中最主要的内容之一，大量的习题都与它们有关，在数学教学中应当引导学生重视这类问题的分析，并加以训练．例 已知：如图9－4所示，四边形ABCD 内接于⊙O ．求证：AC ·BD ＝AB ·CD ＋AD ·BC证 如图，作∠DAE ＝∠BAC ，E 在BD 上．在△DAE 和△CAB 中，∠DAE ＝∠CAB ，又因为∠EDA ＝∠BCA ，所以△DAE ∽△CAB ，所以CB DE AC AD =，即 AC ·DE=AD ·BC （1）在△ABE 和△ACD 中，∠ABE ＝∠ACD ，∠BAC ＝∠DAE ，所以∠BAE ＝∠CAD ，所以△ABE ∽△CAD ，所以DCBE AC AB =，即 AC ·BE=AB ·CD （2）（1）＋（2）得AC （DE ＋BE ）＝AB ·CD ＋AD ·BC所以 AC ·BD ＝AB ·CD ＋AD ·BC 本题证明过程中，同弧上的圆周角相等这种关系的应用是十分重要的．B 图9-4。
浅谈初中数学基本能力的培养
浅谈初中数学基本能力的培养中学数学的教学目标就是加强数学基础知识的教学和基本能力的培养，培养学生对数学学习的兴趣、积极的态度和正确的价值观，为今后的数学学习奠定基础。
中学数学基本能力包括：运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力。
一、运算能力的培养中学数学的运算包括数的计算、方程和不等式的同解变形、初等函数的运算和求值、各种几何图形的测量与计算、概率统计的初步计算等。
在初中阶段，培养学生正确迅速的运算能力应做到以下几点。
1.加强基础知识的教学。
在教学中要求学生真正理解和牢固掌握各种运算所需要的数学概念、性质、公式、定理、公理、法则等数学知识，这是最基本的，也是提高学生运算能力的关键所在。
例如，在学习二次根式的运算时，要使学生正确理解二次根式的概念——正数和零的算术平方根；同时要使他们牢固掌握有关运算的各种公式，否则就会造成错误。
在培养学生运算能力的过程中，不仅要重视算法和结果，还要重视运算的推理过程，在运算练习时，使学生做到“言必有据”。
例如，对任意实数a＜b，则5a＜5b，有的学生的证明为：因为当a=2、b=3时，52＜53，所以对任意实数a＜b有5a＜5b。
这种证明是错误的，是“偷换论题，以特殊代一般”。
2.加强基本技能和技巧的训练。
在初中数学教学中加强这方面的训练，在以后的应试中能够节约时间，达到迅速运算的目的。
我们数学教师要在平时给学生总结一些重要的数据和结论。
例如在计算152、252、352……（个位上是5的数字的平方）时，让学生掌握其速算方法，就是先写上25，在25的前面写上比十位数大1的数与十位数上的数的乘积。
例如：“152=225，结果225”是这样得来的，先写25，百位上的2是1和2（比十位数1大1的数）相乘得到的，结果就是：225。
学生掌握了其方法后就能快速地口算出此类数的值。
再比如说我们要让学生记住1到20之间数的平方，还要记住2和5的平方根等一系列重要的数据。
因此在初中数学教学中，要使学生掌握运算规律，对常用的技能技巧让学生进行足够的练习，以此提高运算的速度和准确率。
中学数学教学与学生能力的培养
中学数学教学与学生能力的培养摘要：中学数学教育要培养学生的能力，就要培养学生集中的注意力，敏锐的观察力，阅读理解力，准确的语言表达能力，高效、持久的记忆力，创造性的思维能力，实践操作能力，顽强的毅力，丰富的想象力，最终实现我国新一轮数学课程改革的目的。
关键词：能力注意力阅读理解力观察力记忆力创造性思维能力实践操作能力毅力想象力新一轮数学课程改革的目的明确指出：九年义务教育阶段的数学教学，就是要培养学生各种能力（包括：注意力、观察力、记忆力、阅读力、思维力、想象力以及实践操作能力等，也包括情绪、意志、兴趣、性格等非智力因素）。
能力的培养是中学数学教学的一个重点。
在实际教学过程中广大数学教师也高度重视。
那么如何在中学数学教学过程中培养学生的能力？本文就此谈谈几点做法：1．培养学生集中的注意力有位教育家说过：“注意是我们心灵的唯一门户，意识中的一切必然经过它才能进来”。
注意是人在对一定对象的指向和集中，当人对某一事物发生高度注意时，就会对这一事物反应得更迅速、更清楚、更深刻、更持久。
如果学习时学生注意力分散，心不在焉，就很难集中在学习的对象上，就会导致视而不见、听而不闻的现象发生，也就不能很好地感知和认识教材。
所以，在教学过程中，我们应采取有效方法培养学生的注意力，以努力提高课堂教学效益。
课堂教学中如何培养学生学习的注意力？设疑加鼓励是效果良好的手段之一；巧妙的引入，能吸引学生的注意力；生动有趣幽默的语言能保持学生的注意力；教学方法的多样化、学生的参与，能提高学生的注意力。
例如：在教学《轴对称和轴对称图形》时，教师手捧着一个圆圆的蛋糕盒走进教室说：“同学们，今天我们一起来分享这个大大的蛋糕”。
然后引入新课：“不过，我们必须得先将它均匀地切成两半，你们有何办法吗”？同学们接着展开激烈的讨论，有的认为：有一张白纸放在这块蛋糕上，把蛋糕的上底复制出来，用剪刀剪下，而后折叠就可把蛋糕均匀地二等分了；有的说：“用一条细铁丝把蛋糕围绕一圈，而后对折，也可以把它均匀二等分”；……老师：“同学们的这些说法和做法都是有道理的，不过他们有一个共同点，就是轴对称和轴对称图形的问题。
数学基础知识的教学与基本能力的培养
数学基础知识的教学与基本能力的培养本讲简介：根据中学数学的教学目的，加强数学基础知识的教学与基本能力的培养，是提高数学教学质量的根本措施。
本讲主要讨论中学数学中的概念、命题、思想方法及例题、习题的教学方法，研究培养学生基本能力的主要途径。
知识结构：学习建议：数学概念的教学，是数学教学的一个基本的和重要的环节，要掌握数学概念教学的常用形式和基本步骤。
数学命题教学是数学教学的重要组成部分，对于公理、定理、公式、法则的教学，应熟悉其常用的步骤及有关的注意点。
数学思想方法和数学能力是数学素质的精髓，在数学教学中，应注意经常地自觉地运用和渗透常用的数学思想方法，有意识地加强对学生各种能力的培养。
重点与难点：本讲的重点是探讨如何进行数学概念的教学、数学命题的教学和数学思想方法的教学以及能力的培养。
第七讲数学基础知识的教学与基本能力的培养第一节数学概念的教学第二节数学命题的教学第三节数学思想方法的教学第四节解题的教学第五节能力的培养相关知识第一节数学概念的教学概念是最基本的思维形式，数学中的命题，都是由概念构成的；数学中的推理和证明，又是由命题构成的。
因此，数学概念的教学，是整个数学教学的一个重要环节。
数学概念教学的根本任务，是正确揭示概念的内涵和外延，使学生深刻地理解概念，牢固地掌握概念，灵活地运用概念。
学生理解和掌握数学概念过程，是一个认识的过程。
因此，数学概念的教学，必须遵循认识论的规律，以唯物辩证法作指导，联系现实原型，对概念作唯物的解释；抓住事物的本质，对概念作辩证的分析；并注意在实践中运用概念，在运用中加深理解。
1.联系现实原型，对概念作唯物的解释在数学概念的教学中，要密切联系数学概念的现实原型，引导学生分析日常生活和生产实际中常见的事例，观察有关的实物、图示或模型，在感性认识的基础上逐步形成概念。
例如，正、负数概念的教学，可以联系生活中的现实原型，如温度是零上几度或零下几度，从某地出发向东走几米或向西走几米，收入多少元或支出多少元等等，结合图示的直观进行分析，让学生看到，在现实世界中存在着大量的具有相反意义的量。
数学基本能力的培养浅谈
数 学学 习与 研 究 ２ １ ．２ ０ ０２
结解 题 规 律 ， 强 对 学 生 素 质 的训 练 ． 加
３ 养 成 熟 练技 巧 和机 敏 创 造 的 思维 能 力 ．参加 现代 化 生 ．
产 和学 习 现 代科 学 技 术 ， 生 有 必 要 达 到 解 题 的熟 练 及 准 确 学
例 如 ，在 有 理 数 范 围 内 分 解 因 式 一４＝ （ ＋２ （ 一 ） ２ 。 是 在 实数 范 围 内 ， 样 推 出来 的 结 果就 不 正 确 了 ． ）但 这 因 此 ． 数 学 教 学 过 程 中 进 行 逻 辑 论 证 时 ， 须 使 学 生 在 必 首 先 搞 清楚 这 个 问题 是在 哪个 范 围 内考 虑 的 ， 后 再 用 正确 然
精 一 设 计题 目， 当练 习 ． 格 训 练 就要 做 到高 质 量 、 效 率 ， １ ２ ， 适 严 高 即学 生 练 习 要做 到正 确 、 速 、 迅 合理 ． 二 、 养 学 生 逻 辑 思 维能 力的 途 径 培 初 中数 学 内 容 是 通 过 逻 辑 论证 来 叙 述 的 ， 数学 中 的 运 算 证 明作 图都 蕴含 着 逻 辑 推 理 的 过程 ． １ 在 传 授 数 学 知 识 过 程 中 ，教 师 要 严 格 遵 守 逻 辑 规 律 ， ＿
则 等 ．要 使 运 算 正确 而 又迅 速 就 要 牢 固地 掌 握 与 运 算有 关 的 概念 、 式 法则 以及 变形 化 简 等思 维 方 法 ． 时要 多 练 习 ， 公 同 常反 复， 形成 熟 练 的技 能技 巧． 也 不能 “ 练”在 练之 前 ， 使 得学 但 死 ， 要 生 懂得 “ 理 ” 其懂 得 “ 样 算 ” 为 什 么 这 样算 ” 有 “ 有 算 使 怎 “ ． 只 计 据 ”才 能 “ 。 算有 准 ” 果教 师 只教 给 学 生 “ ． 如 怎样 算 ”而学 生 并不 ， 明 白“ 什 么这 样算 ” 为什 么 这样 算 就正 确 ” 那 么学 生 的运 算 为 “ ，
初一数学能力培养人教版
初一数学是中学数学的起点，它为学生提供了数学基础知识和思维方法的初步培养。
1. 数学基础知识：
- 学生应牢固掌握整数、分数、小数、百分数等基本数学概念和运算规则。
- 理解正比例、反比例关系，掌握比例、百分比等相关计算。
- 学习代数，包括字母代数、代数式的化简和计算。
- 掌握基本的几何概念，如点、线、面、角，以及多边形、圆的性质和计算。
2. 数学思维和问题解决：
- 培养数学思维，包括分析问题、提出假设、进行推理和证明等。
- 鼓励学生独立思考和解决问题，而不仅仅依赖记忆公式。
- 练习解决实际问题，培养应用数学知识的能力。
3. 数学技能：
- 学会使用计算器和电脑辅助工具进行数学运算和绘制图表。
- 练习手工绘图和测量，提高几何图形的绘制和测量精度。
- 掌握基本的统计和概率概念，包括数据收集、整理、展示和分析。
4. 数学学习方法：
- 培养良好的数学学习习惯，如及时完成作业、复习课堂内容。
- 鼓励学生积极参与课堂讨论和提问，解决疑惑。
- 阅读数学相关的书籍和资料，拓宽数学知识面。
5. 数学沟通能力：
- 学生应能够清晰表达数学思想和解决问题的步骤。
- 学会与同学和老师讨论数学问题，分享解决方法和策略。
初一数学能力培养是一个逐步的过程，建议学生和家长密切关注课程，及时解决困难，鼓励学生独立思考和探索，培养对数学的兴趣和自信心。
同时，老师的指导和教育资源也对学生的数学能力培养起着关键作用。
初中数学课堂教学中数学能力培养
浅析初中数学课堂教学中数学能力的培养一、数学能力我们把日常生活中，人们顺利地完成某种活动所需的个性心理特征称为能力。
能力分为一般能力和特殊能力。
数学能力是一种特殊的心理能力。
它又分为学习数学的数学能力和“创造性”的数学能力。
学习数学的数学能力是指在数学学习过程中，迅速而成功地掌握知识和技能的能力。
数学教学大纲中，明确指出要培养的三大能力（运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力）以及与此紧密相关的观察能力、理解能力、记忆能力和运用能力等基本上属于学习数学的数学能力。
在此基础上的数学科学探索活动中的能力，则属于“创造性”的数学能力。
这种“创造性”的数学能力可产生具有社会价值的数学的新成果和新成就。
因此，“创造性”数学能力是“创造性”人才必备的重要能力。
其它学习数学的能力是“创造性”数学能力培养的基础。
所以，教育工作中，要想成功地培育出一批高素质的科技人才，必须首先重视他们数学能力的培养。
二、初中阶段是数学能力培养的重要时期数学家的数学活动和学生的数学活动，无疑有着很大的区别，这是不能相提并论的。
然而，学生在学习数学的学习活动中，发现某些数学知识（或公式、定理）时，所表现出的数学能力与数学家的发明具有不可否认的同样的性质，因为对学生而言，成人已知的简单的数学知识用在学生身上，就成了一个全新的发现过程，等同于新的创造。
只不过与数学家的发明相比，有程度深浅和水平高低上的差距。
可见，数学家的创造能力也应该是从他在数学学习过程中，类似的这种重新发现数学知识或解决数学问题。
初中生（十二三岁至十五六岁）的抽象、逻辑思维日益占有主导地位，并且他们的观察力、注意力和记忆力的逻辑性也相应的得到发展，他们能较长时间集中于一件事情的研究上，因而具备了系统学习数学知识，提高数学能力的生理、心理条件；初中生有很强的思维批判性，对一些书本中的知识常常提出疑问或不同看法，（有强烈的创新愿望）这种过于自信，好追问的特性造成了经常与老师、同学为课本中的某一内容辩论不休。
数学教学要注重培养学生的基本数学能力
计算概念， 加强基本１算的同时， ３ ： 要注意培养学生良好的 计算习惯。例如： 在式题计算时要做到： 一看， 看清运算符 号； 二定， 确定运算顺序； 三算， 仔细计算； 四查， 查运算顺 序、 每步计算数字与运算符号的抄写、 书写格式等。 准确又
促使他们的思维方式得到训练，１头表达能力得到提高。 ３ ： 在训练学生数学语言表达能力时应做到为每一个学生想
的思维品质和创新思维能力。
说、 敢说提供良好的环境保证和时间保证； 同时， 要循序渐 进地对学生数学语言进行规范， 训练学生表达算理概念的 逻辑性和准确性 ， 训练数学语言表达的灵活性。对周一问
题， 从不同角度， 可以 用不同的词语来表达叙述， 提高表达 的全面性和深刻性。当 学生的数学表达能力形成并非 然，
“ 朝夕之功”数学教师只有坚持不懈地进行训练 ， ， 才能实
二、 注重培养学生的数学计算能力。 提高学习和运用 的效率 学生的 数学计算能力大致表现在计算的准确性和计 算的速度两个方面。 要使学生的计算正确、 迅速、 合理、 灵
理 科 教 学 探 索
教 学 教 学 要 注 重 培 养 学 生 白基 本教 学 能 力 勺
吴 海 军
（ 正定县南牛乡曹村中学 ， 河北 石 家庄 ０ ０ ０ ） ５ ８０
摘
要： 学生的数 学水平 ， 主要体现在 学习和运用数学的能力上。 中学数 学教 学应注重数学思维能力、 学 数
计算能力、 学表达能 力、 数 数学 实践能力、 学记 忆能力等基 本数 学能力的培养和训 练 ， 数 以实现 “ 课程标准 ” 的要 求 ， 高学生的整体素质 ， 提 培育 出掌握和运用数学这 门工具学科 的优 秀人才。
要 的作用 。 ， 那么 如何才能真正发展学生 的数学思维能力 、 优化他们的数学思维品质呢？从教师教的要素来分析， 我 认为应从以下两点着手 ： ， 中应关注学生探索性 、 首先 教学 理解性的数学学习过程 ， 注意对学生数学活动经验 、 数学
中学生数学能力培养
中学生数学能力的培养【摘要】:中学生数学能力的培养是中学数学的主要教学目标之一,当前数学的教育改革是以提高学生的数学能力作为主要方向的。
如何提高学生的数学能力也一直是广大基础教育工作者关心的问题。
【关键词】:能力主体性说数学探索数学是一种语言,是认识世界必不可少的方法。
要使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练,形成用数学的意识,在教学中应培养学生各方面的能力:一、培养学生应用数学的能力数学概念和数学规律大多是由实际问题抽象出来的,因而在进行数学概念和数学规律的教学中,我们不应当只是单纯地向学生讲授这些数学知识,而忽视对其原型的分析和抽象。
我们应当从实际事例或学生已有知识出发,逐步引导学生对原型加以抽象、概括,弄清知识的抽象过程,了解它们的用途和适用范围,从而使学生形成对学数学、用数学所必须遵循的途径的认识。
这不仅能加深学生对知识的理解和记忆,而且激发学生学数学的兴趣、增强学生用数学的意识。
二、培养建立数学模型的能力建立适当数学模型,是利用数学解决实际问题的前提。
建立数学模型的能力是运用数学能力的关键一步。
解应用题,特别是解综合性较强的应用题的过程,实际上就是建造一个数学模型的过程。
在教学中,我们可根据教学内容选编一些应用问题对学生进行建模训练,也可结合学生熟悉的生活、生产、科技和当前商品经济中的一些实际问题(如利息、股票、利润、人口等问题)。
三、培养学生运用数学解决实际问题的能力在教学中,可根据教学内容,组织学生参加社会实践活动,为学生创造运用数学的环境,引导学生亲手操作,如测量、市场调查和分析、企业成本和利润的核算等。
把学数学和用数学结合起来,使学生在实践中体验用数学的快乐,学会用数学解决身边的实际问题,达到培养学生用数学的能力的目的。
四、培养学生的思维能力为了促进学生思维能力的发展,我们必须高度关注学生在数学学习过程中的思维活动,必须研究思维活动的发展规律,研究思维的有关类型和功能、结构、内在联系及其在数学教学中所起的作用。
中学数学教学中学生能力培养论文
浅谈中学数学教学中学生能力的培养摘要：本着我国深化教育改革和普及并推进素质教育的根本宗旨，以及在新课改发展目标的指引下，在中学数学教学中培养学生的各项能力已然成为教学的一部分。
而培养学生的各项能力，不仅能够推动教学水平的稳步提高，还能为学生综合素质的提升起到催化的功效。
本文中，笔者将就几项需要重点培养的能力进行阐述。
关键词：中学数学教学阅读能力自学能力一、阅读能力的培养阅读是进行中学数学教学的重要途径之一，也可以培养学生的阅读习惯。
它不仅是素质教育中重要的内容，也是培养学生其他能力的基础。
而根据数学本身就来源于生活，应用于生活的特点，教师应当多采用生活中的实际例子来辅助教学，这样可以增强学生对将要学习的内容的亲近感，产生一种阅读欲望。
而且也可以将例题转变成故事性的问题，让学生在阅读故事的同时对将要学习的内容产生兴趣，进而可以更好的解决问题。
但是由于学生阅读能力的参差不齐，所以提供的阅读资料不要过长，并选择通俗易懂、知识性强的章节，阅读时间也要控制在15分钟左右。
在学生进行阅读的时候，教师应当巡视并督促学生进行阅读，对个别学生要重点关注，辅导他们如何阅读。
还要鼓励他们在阅读后踊跃提出问题，对典型的问题进行再次讲解，提高学生的阅读积极性。
培养学生的阅读能力是一项长期工作，虽然过程会很漫长，但是坚持下去，一定会有好的效果。
二、自学能力的培养谈到自学能力，我们不禁会想起诸多伟人的事迹，比如牛顿，比如爱迪生，比如华罗庚等。
他们并没有接受过很正式的教育，但是他们的成就却是有目共睹的。
其中的关键就是他们善于自学。
中学数学课本上几乎没有生字，因而很适合学生自学，而如何去自学则是需要教师对其进行指导。
首先，要激发学生强烈的求知欲望，给学生留有充足的思考空间，比如在讲旋转体知识时，可以先讲矩形绕其一直角边旋转一周后得到的旋转体是圆柱体，然后引导学生思考直角三角形和直角梯形旋转后是什么图形？这样可以调动学生的兴趣，使其自主学习。
高一数学教学计划
高一数学教学计划高一数学教学计划篇一一、指导思想使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展和社会进步的需要。
具体目标如下：1.突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的培养对数学基础知识和基本技能的培养，要贴近教学实际，既注意全面，又突出重点，注重知识内在联系以及中学数学中所蕴涵的数学思想方法的培养。
2.重视数学基本能力的培养数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这几方面的能力。
根据高一上学期的内容，侧重以下几个方面：（1）运算求解能力是思维能力和运算技能的结合，主要包括数的计算、估算和近似计算，式子的组合变形与分解变形，以及能够针对问题探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等。
（2）抽象概括能力的培养要求是：能够通过对实例的'探究发现研究对象的本质；能够从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或做出新的判断。
（3）推理论证能力的培养要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用演绎推理，论证某一数学命题的真假性。
（4）数据处理能力是指会收集、整理、分析数据，能够从大量数据中提取对研究问题有用的信息并做出判断，以解决给定的实际问题。
3.注重数学的应用意识和创新意识的培养培养数学的应用意识，要求能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决。
培养学生的创新意识，鼓励学生创造性地解决问题。
4.提高学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，形成批判性的思维习惯，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。
二、教材特点高一上使用的是人教版《必修1》和《必修4》，这套教材在坚持我国数学教育优良传统的前提下，认真处理继承、借鉴、发展、创新的关系，体现了基础性、时代性、典型性和可接受性等，具有如下特点：1. 亲和力：以生动活泼的呈现方式，激发学习兴趣和美感，每章配有优美的章头图和诗一般的引言和富有哲理的数学家名言。
初一年级数学考试中学生应具备的基本能力
初一年级数学考试中学生应具备的基本能力
初一年级数学考试中，学生需要具备一系列基本能力，这些能力不仅是应试考试的需要，更是他们数学学习道路上的重要支持。
首先，数学考试要求学生具备良好的基本技能，如加减乘除的熟练运用，能够在不同情境下灵活运用这些技能解决问题。
这就像是数学的基础设施，为学生提供了解决更复杂问题的框架和工具。
其次，学生需要具备良好的逻辑思维能力。
数学考试往往不只是简单的机械计算，更强调问题的分析和推理。
在这方面，学生需要像探险家一样，勇敢地探索问题的本质，找到解决问题的线索和方法。
逻辑思维能力不仅帮助学生在考试中得心应手，更是他们日常生活中解决各种难题的关键。
除了基本技能和逻辑思维，数学考试还需要学生具备坚韧不拔的精神。
数学学习中难免会遇到挫折和困难，只有拥有坚持不懈的毅力，才能在困难面前不气馁，继续努力。
这种精神就像是数学考试的保险，让学生在面对挑战时能够坚定不移地前行。
此外，数学考试还要求学生具备团队合作的能力。
虽然数学通常被视为一门独立的学科，但在解决复杂问题或者进行项目时，学生需要像团队中的一员一样，有效地与他人合作，共同达成
目标。
团队合作能力不仅培养了学生的沟通技能和社交能力，还能让他们从多角度理解问题，并学会接受他人的不同见解。
总之，初一年级数学考试不仅是考察学生数学知识的掌握程度，更是全面评估他们在数学学习过程中所获得的各种能力。
通过培养基本技能、逻辑思维、坚韧精神和团队合作能力，学生不仅能在考试中取得好成绩，更能在今后的学习和生活中游刃有余，成为具有综合素质的人才。
如何在中学数学培养学生的三大基本能力
浅谈如何在中学数学培养学生的三大基本能力中学数学教学大纲中规定“培养学生的运算能力，逻辑思维能力和空间想象的能力”。
运算能力就是指利用数学中的数字和各阶段所学到的公式进行的数字运算。
逻辑思维能力是指在公式转化与转换过程中所运用的知识合体，来共同解决问题的思维过程。
空间想象能力是指对空间图形的想象能力，比如我们在几何中学到的各种图形。
运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力三者之间既有区别又有联系，它们的培养途径既有相同也有不同，下面我分别介绍这三种基本能力的培养途径。
一、运算能力运算能力反映在运算的准确、合理和敏捷的程度上，它的基础是牢牢地掌握好运算的公式和法则。
运算在中学数学中是普遍的计算过程。
学生运算能力的好坏，应以掌握有关运算的基础知识和基本技能为基础，同时也要运用自己的运算能力技巧。
首先，教师要使学生正确理解和掌握数学基础知识，只有掌握了这些最基本的东西才会展开以后的运算。
教师要教给学生正确运用相关的概念、法则和公式，然后不断地去练习和实践。
因为数学基础知识掌握的好坏直接影响着运算的正确性和效率性。
其次，提高学生运用运算公式和性质进行推理的能力。
数学运算是一个比较广泛的概念，因此，运算过程的实质是一种推理的过程，在中学数学中，有好多都是运用公式去推理的，有的时候一道题有好多种计算方法。
因此，中学数学教师一定要着重培养学生的运算能力，这里就要培养学生多练习的好习惯，使学生多动手、多动脑，总结经验力争创新。
因此，教师在教学过程中必须有目的、有计划地加强学生的运算练习，这是提高学生运算能力的最好办法。
另外，还要抓好运算技巧的训练，让学生的运算能力得到全面提高。
二、逻辑思维能力逻辑思维能力一般包括抽象想象能力和推理论证能力。
在数学运算中逻辑思维能力也起着很重要的作用，需要老师不断地进行引导和数学练习。
要培养学生的数学逻辑思维能力，必须让学生能够对教材内容进行分析和综合、比较和对照、抽象和概括、判断和推理等思维活动。
人教版9下 数学能力培养
人教版9下数学能力培养
人教版九年级下册数学教材中，能力培养是一个重要的教学目标。
在教学中，教师应该注重培养学生的数学思维能力、运算能力、空间想象能力和解决实际问题的能力。
例如，在全等三角形这一章中，教师可以通过让学生观察图形，动手操作，引导学生发现全等三角形的性质和判定定理。
通过这样的教学方法，可以培养学生的观察力和动手能力，同时也能够激发学生对数学的兴趣。
此外，在解决问题的过程中，教师应该鼓励学生运用所学知识独立思考，提出解决问题的方法。
例如，在解决与实际生活相关的问题时，教师可以引导学生运用所学知识分析问题，提出解决方案。
这样不仅能够锻炼学生的运算能力，还能够培养学生解决实际问题的能力。
在人教版九年级下册数学教学中，教师应该注重培养学生的数学思维能力、运算能力、空间想象能力和解决实际问题的能力。
通过这样的教学方法，可以帮助学生更好地掌握数学知识，为今后的学习打下坚实的基础。
浅谈中学生的数学能力及培养
浅谈中学生的数学能力及培养一数学能力的概念究竟什么是数学能力，许多数学家和数学教育学家对此给出过不同的答案。
恩格斯在《反杜林论》中指出：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和量的关系，所以是非常现实的材料。
”恩格斯的说法是，数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学。
数学能力是思维作用于数量关系、空间形式、数与形相结合的特定数学材料的具体表现，也就是思维对数学知识的实际操作。
前苏联学者克鲁切茨基说过：“数学能力是运用数学材料去形成它们的概括的灵活的可逆的联想的和系统的能力。
”教学新课标也要求“具有正确迅速的运算能力、一定的逻辑思维能力和一定的空间想象能力，从而逐步地培养学生分析问题和解决问题的能力”。
二培养数学能力的前提是训练数学数学能力不是人们天生就有的，而是在人们的生活、学习和工作中不断形成的。
而学习阶段尤其是中学阶段是人们形成数学能力的基础和关键时期。
在学习阶段，数学能力的形成则是与数学的严格训练密切相关的。
搞好数学思想的严格训练，是提高数学能力的重要保证。
1．训练数学思想，提高数学能力核心是培养和发展学生的逻辑思维能力，这是由于数学的高度抽象性决定的。
逻辑思维能力的培养，首先可以通过学习数学知识本身达到，这是最重要的途径；其次可以通过逻辑知识的学习得到。
从传统的观点看，逻辑思维能力包括判断能力、逻辑推理能力、建立数学模型能力和分析数学解题能力。
详述如下：（2）培养逻辑推理能力。
推理，就本质而言，是由条件得出结论这一过程，就是要根据题目中的条件，运用有关数学概念、定义、公理和定理等进行逻辑推理，逐步推出结论。
其目的培养是多方面的，主要包括归纳推理和类比推理能力的培养。
归纳推理能力的培养是一种综合逻辑思维能力的培养。
归纳推理是由个别的事物或现象推出该类事物或现象的普遍性规律的推理。
许多数学概念、公理、定理等就是经过归纳推理得出。
通过具体数学问题来培养学生的归纳推理相同，推出它们在其他属性上相同的一种逻辑推理方法。
中学数学基本能力的培养
两方面的训练 ： １加强 口算速算方法的严格训 练；２ 进行运算 （） （）
技巧的严格训练 。进行运算技巧 的训练 ，首先要 引导学生养成 仔细审题 ， 观察分析题 目特点的 良好习惯 。根据题 目特点 ， 择 选
一
种最合理 、 最简捷 的解法 ， 减少失误机会 ， 保证运算正确 。此
力。在教学 中对空间图形的想象， 往往还借助于逻辑推理与运 算， 才能确定它的形状 、 大小 、 位置关 系。因此 ， 间想象 能力 、 空 逻辑思维能力 、 运算能力都有着密切 的联系。
原式 【 ２９ （ ． ） 一＿ ） ＋． ） ＋导）（ ÷］ ＝一． ） 一 ６ Ｈ（１７ （１７ （ ３ ＋ ７１ ５ ＋ ５ Ｈ（３ ＋一 ＋ ２ 【一 １） 一２ ］ 一０＋＋＋ ）（３）（ ８＋＋ ） （ ＋ ３— ＝ １） （１ ＋一８＝一 ）（１ ５ （ 孚） （ ０ ４
中学数学基本能力主要包括运算能力、逻辑思维能力和空
问想象能力 。运算能力就是指进行数和式 的代数运算 、初等超 越运 算 、 微积分 中微分 和积分 的初步运算 以及集合的简单运算
等能力 。逻辑思维能力是指正确运用逻辑思维的形式 、规律和
方法 进 行 思 考 的 能力 。空 间想 象 能 力是 指 对 空 间 图 形 的想 象 能
、
运 算 能 力
运算能力反映在运算 的准确 、合理和敏捷的程度上 。运算 能力是在掌握运算技能 的基础上发展起来的 ，但 它主要表现在 灵活运用运算 的法则 、 性质 、 公式 ， 善于观察 、 比较 、 分析 、 综合 、
成 和发展逻辑思维能力将是一句空话 。
概括 、 推理等 。学生运算能力的形成 ， 以掌握有关运算的基础 应
初中数学教学中学生运算能力的培养
初中数学教学中学生运算能力的培养一、加强基础知识的学习运算能力的培养离不开对数学基础知识的学习。
在中学阶段，学生需要系统地学习和掌握整数、有理数、无理数、分数、百分数、比例、方程、函数等数学基础知识。
只有通过对这些基础知识的系统学习，学生才能夯实数学的基础，并对运算方法有更深的理解和掌握。
加强基础知识的学习是培养学生运算能力的第一步。
在教学中，老师要善于总结基础知识的重点和难点，通过例题讲解和练习巩固，引导学生逐步掌握常见的数学基础知识。
老师还要善于引导学生思考和发现规律，帮助学生理解基础知识的内在联系，使学生在学习中形成系统化的数学知识结构，为提高运算能力打下坚实的基础。
二、注重运算方法的训练在数学教学中，运算方法是学生学习的重要内容。
通过训练可以培养学生的计算能力和解题能力。
在训练的过程中，老师可以针对不同的运算方法设计一些常见的运算题目，让学生通过大量的训练，掌握基本的运算规则和方法。
整数的加减法、乘除法，分数的加减法、乘除法，有理数的四则混合运算等。
通过这些练习，学生可以培养出快速而准确的计算能力，提高解题效率。
老师还可以设计一些具有一定难度的运算题目，引导学生动脑思考，培养学生的解决问题的能力。
在设计难度较大的运算题目时，老师要注意题目的设置，使其符合学生的认知水平，不至于造成学生的挫败感。
通过这种训练，学生不仅可以提高运算能力，还可以培养出自主学习和解决问题的能力。
三、强调应用能力的培养培养学生的运算能力不仅仅是为了让他们在课堂上能够准确无误地完成题目，更重要的是为了让学生能够将数学知识应用到实际生活和解决问题中。
在数学教学中，要注重应用能力的培养。
老师可以设计一些有实际背景的数学题目，鼓励学生运用所学的运算方法解决实际问题。
通过这种方式，可以使学生在解决问题的过程中，不断巩固和提升运算能力。
在培养应用能力的过程中，老师可以引导学生从多个角度思考问题，通过分析和解决问题，培养学生的逻辑推理能力和创新思维能力。
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中学数学基本能力的培养
教学目的：通过学习，使学生掌握在教学中如何培养三种能力，即如何培养学生的运算能力，思维能力和空间想象能力，并在此基础上如何进一步培养一般能力，如观察能力，理解能力，记忆能力和运用能力等。
教学内容：1、运算能力的培养。
2、空间想象能力的培养。
3、分析和解决实际问题的能力培养。
4、逻辑思维能力的培养。
教学重、难点：三种能力的培养既是重点又是难点。
教学方法：讲授法
教学过程：
1 运算能力的培养
1．1 什么是运算能力
运算的意义不仅局限于通常的加、减、乘、除、乘方开方等代数运算，还包括初等函数的运算和求值，各种几何量的测量和计算，求数列与函数极限以及微分、积分等分析运算，还有概率、统计的初步计算等．特别要指出的是几何的平移、旋转、对称、伸缩等“变换”也可称为“几何运算”．在一些高中数学教材和中等专业技术学校使用的数学课本中，还简单介绍了逻辑代数知识，“与”，“或”、“非”这是“逻辑运算”．对于集合求其交集、并集及全集，是进行集合运算．如果对于运算作上述广义的理解，那么我们就不会再片面地说运算只是算术和代数的事了．因此，培养学生正确和迅速的运算能力是整个中学数学教学中的任务．1．2 培养学生运算能力的基本途径
1、牢固掌握基础知识，弄通算理、法则
2、提高记忆能力，加强运算基本功训练
3、加强运算练习，培养学生的运算能力
2 空间想象能力的培养
2．1 什么是空间想象能力
想象是一种特殊的思维活动，即在头脑中表象出某种未曾感知的东西，或者创造某种未曾感知过的物体和现象的形象，或者专门产生某些新事物的概念．空间想象不应只局限于三维空间．如果我们认为空间想象乃是全部数学中的形象思维，它就和逻辑思维相辅相成了．通过逻辑思维，由具体到抽象，又通过空间想象，由抽象到具体，波浪式地发展着．实际上，在平面几何中，特别是在平面解析几何中，时常要想象图象的运动．在代数和三角中，空间想
象也扮演着重要的角色．例如由函数的图像，便易于掌握函数的性质．代数和分析中的许多概念，如果明确了它们的几何解释，就能使本来很抽象的概念变得生动、直观、形象起来，例如导数和定积分概念就是这样，特别是复数的几何意义的获得，对复数的研究更起了重大的作用．总之，培养学生的空间想象能力应是整个中学数学教学的任务．其中立体几何教学在培养学生的空间想象能力方面所起到的特殊作用是明显的．
空间想象能力的培养应当包括哪些要求？一般认为大体上包括下列三个方面的要求：
1、对于客观存在的空间形式，能在头脑中反映出正确的形象来，即形成空间概念．
2、能将空间形式，按照统一规定，绘成平面图形，反之，能从已知的平面图形想象出它所表达的空间形式．
3、不但能进行逻辑思维，而且能进行形象思维，也就是说能运用图形的几何直觉去研究某些问题．
2．2 培养学生空间想象能力的基本途径
如同培养学生的运算能力一样，培养学生的空间想象能力也需要认真学习，牢固掌握基础知识，要会绘图会看图，还要进行一系列的关于加强空间想象能力的训练．具体地说，培养学生空间想象能力的基本途径可有以下几条：
1、学好有关空间形式的基础知识
想象是客观现实在人脑中的一种反映，所以学生学好有关空间形式的数学知识是提高学生空间想象能力的根本．
中学数学中有关空间形式的知识不仅是几何的知识，还有数形结合的内容．如数轴、坐标法、函数图象、三角函数的几何意义、方程与曲线，几何量的度量与计算等内容都可以通过数量分析的方法对几何图形加强理解，掌握这些有利于培养学生的空间想象能力．
从研究数量之间的关系，到研究图形之间的关系，数形之间的关系，这是一个很大的变化，虽然在小学里学生已接触过一些几何图形，数形结合的知识，但是学生的空间概念还是很薄弱的，要使学生熟悉图形之间的关系、数形间的关系，还是较为困难的问题，需要有一个逐步培养的过程．
对于某一图形所反映的空间形式，使学生形成关于它的空间概念，大致需要经过如下过程．（1）运用实物、模型等进行直观教学，使学生在头脑中形成空间概念的整体形象．
（2）通过教师和学生绘制草图和示意图，使头脑中形成的空间概念的形象“具体化”．（3）研究图形的组成元素及其性质，深入了解空间形式的内部结构和特性．
（4）根据给定条件，运用画图工具作图，切实掌握空间形式的常用表达方法．
总之，空间概念的形成必须经过由画图到看图的一系列训练．
2、从事数学实习活动
通过对实物的观察、解剖、分析或者制作模型、实地测量、作图等数学实习活动也是培养学生空间想象能力的重要途径．
3、加强空间想象能力的训练，不断发展空间想象能力
在中学数学课里，不仅要研究图形及其性质，还要研究作图方法，而且要研究图形之间的联系以及数、形之间的联系．这些研究不仅要在一维空间中进行，而且要在二维、三维或高维抽象空间中进行．因此对学生加强下面的训练，将可以发展学生的空间想象能力．
（1）研究同类图形之间的联系，丰富学生的空间想象能力
（2）研究不同类图形之间的联系，发展学生的空间想象能力
（3）研究数形之间的联系，锻炼学生的空间想象能力
（4）借助图形解决问题，增强学生的空间想象能力
数与形之间建立紧密联系之后，可以运用代数方法去解决几何问题；反过来，借助图形，也能帮助解决代数问题．我们知道，对空间想象能力高一级的要求，就是使学生“不但能进行逻辑思维，而且能进行形象思维，也就是说能运用图形的几何直觉去研究某些问题”．
①借助图形，理解概念
②借助图形，分析题意
③借助图形解决问题
3 、逻辑思维能力的培养
3．1 什么是逻辑思维能力
所谓逻辑思维能力是指在一定的逻辑法则下进行思考活动的一种思维能力．逻辑思维在教学中常常表现为从已知条件中导出结论；从某些一般情况中找出个别例子；从理论上预示具体结果，并将所获得的结果进行推广等等．
在教学中，发展学生的逻辑思维是发展学生思维的中心环节和主要标志．
学生的逻辑思维常常表现在各种数学结论的推导、归纳、演绎，以及证明定理和证题的过程之中，在这个过程中学生的逻辑思维能力得到发展．
3．2 培养学生逻辑思维能力的基本途径
数学中的逻辑思维能力已如上所述，它是指根据正确的思维规律和形式对数学对象的属性进行综合分析，抽象概括，推理证明的能力．培养学生的逻辑思维能力有如下基本途径： 1、教师要作出示范
2、教会学生运用逻辑常识
3、加强逻辑思维能力的训练
4、分析和解决实际问题的能力培养
1、解题在数学教育中的作用和地位
2、关于数学解题的教学
由上述讨论我们知道培养学生的分析和解决实际问题的能力，实质上就是要培养学生的解题能力．那么如何培养学生的解题能力呢？显然使学生牢固掌握基础知识、提高基本能力是培养学生解题能力的根本．但要进一步提高学生的解题能力，还需要与其它相关知识和相关能力相互融会贯通，灵活运用．下面我们将讨论在数学解题过程中提高学生解题能力的基本途径．
（1）认真审题，理解题意
（2）机动灵活，寻找途径
（3）加强练习，尽力创造
（4）数学解题的基本要求
解答数学习题应做到正确、合理、简捷、完满、清楚．按照这些基本要求来培养学生良好的解题习惯，对于提高练习质量和解题能力都有很好的作用．。