广东省肇庆市高中第一次统考数学(文)试题(解析版)

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广东省肇庆市2020届高中毕业班第一次统考数学(文)试题及参考答案

试卷类型：A肇庆市2020届高中毕业班第一次统一检测文科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色字迹的签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束.监考人员将试卷、答题卷一并收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}10A x x =-<，{}220B x x x =-<，则A B =I （） A.{}0x x <B.{}1x x <C.{}01x x <<D.{}12x x <<2.已知复数1z i =+，则z z ⋅=（）B.2C.2-D.3.已知x ∈R ，向量(),1a x =r ，()1,2b =-r ，且a b ⊥r r，则a b +=r r （）C. D.104.已知sin 2cos αα=，则sin cos αα=（） A.25-B.15-C.25D.155.下面关于复数21z i=-+的四个命题： 1p ：2z =，2p ：22z i =，3p ，z 的共轭复数为1i +，4p ：z 的虚部为1-，其中真命题为（）A.2p ，3pB.1p ，2pC.2p ，4pD.3p ，4p6.已知变量x ，y 满足约束条件360203x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则目标函数2z y x =-的最小值为（）A.7-B.4-C.1D.27.若01x y <<<，则（）A.33y x<B.log 3log 3x y <C.44log log x y <D.1144x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8.执行如图所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =（）A.67B.37C.89D.499.“1a =”是“函数()f x x a =-在区间[)1,+∞上为增函数”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.由函数()sin 2f x x =的图象平移得到()cos 6g x ax π⎛⎫=-⎪⎝⎭（其中a 为常数且0a >）的图象，需要将()f x 的图象（）A.向左平移3π个单位 B.向左平移6π个单位 C.向右平移3π个单位D.向右平移6π个单位11.已知函数()sin f x x x =⋅的图象是下列两个图象中的一个，如图，请你选择后再根据图象作出下面的判断：若1x ，2,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且()()12f x f x <，则（）A.12x x >B.120x x +>C.12x x <D.2212x x <12.已知函数()x f x e =，()2g x =，若在[)0,+∞上存在1x ，2x ，使得()()12f x g x =，则21x x -的最小值是（） A.1ln2+B.1ln2-C.916D.2e -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b =______. 14.在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点，若2AD DB =u u u r u u u r ，13CD CA CB λ=+u u u r u u u r u u u r，则λ=______.15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，120S >，130S <，则当n =______n S 最大. 16.已知ABC ∆中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且21cos cos 4b Cc B a -=，tan 3tan B C =，则a =______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）己知()22sin 2xf x x ωω=-（0ω>）的最小正周期为3π.（1）求ω的值；（2）当3,24x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最小值 18.（本小题满分12分）己知在ABC ∆中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c，)sin 1cos A A =-. （1）求角A ；（2）若7a =，sin sin 14B C +=，求ABC ∆的面积. 19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，0n a >，前n 项和为n S，若n a =n *∈N ，且2n ≥）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2n an n c a =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠.（1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（2）当2λ=时，求数列()()1111n n n a a a ++⎧⎫⎨⎬--⎩⎭的前n 项和.21.（本小题满分12分）已知函数()()1ln 1a x f x x x -=-+，a R ∈.（1）若2x =是函数()f x 的极值点，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若1x >时，()0f x >，求a 的取值范围. 22.（本小题满分12分）设函数()()212ln f x ax a x x =+--（a ∈R ）（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，证明()()2ln e2f x a a ≥-（e 为自然对数的底数）.2020届高中毕业班第三次统一检测题文科数学参考答案及评分标准一、选择题13.1 14.2315.6 16.2三、解答题（17）（本小题满分10分）解：（1）()1cos 22xf x x ωω-=-⋅cos 12sin 16x x x πωωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭由23ππω=得23ω=（2）由（1）得()22sin 136f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.又当324x ππ≤≤时，可得222363x πππ≤+≤，所以当22363x ππ+=，即34x π=时， ()min 2112f x =⨯-=. （18）（本小题满分12分）解：（1）法一：由)sin 1cos A A =-可得22sincos 222A A A=，即tan23A =，又因为()0,A π∈，所以3A π=.法二：由)sin 1cos A A =-可得sin 2sin 3A A A π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，即sin 32A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 又因为()0,A π∈，所以4,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以233A ππ+=，即3A π=. （2）由正弦定理得sin sin sin b c a B C A ===，整理得sin 14B =，sin 14C =，又因为sin sin 14B C +=，所以13b c += 由余弦定理可得()222222cos 22b c bc ab c a A bc bc+--+-==，代入数据计算得40bc =ABC ∆的面积为1sin 2bc A =（19）（本小题满分12分）解：（1）当2n ≥时，1n n n a S S -=-，又由已知可得n a =所以1n n n a S S -=-=0n a >1=所以数列1==为首项，1为公差的等差数列，()11n n=+-=，2nS n=当2n≥时，121n n na S S n-=-=-，当1n=是，11a=也满足上式，所以数列{}n a的通项公式是21na n=-（2）()21212nnc n-=-⋅则()3521123252212nnT n-=⋅+⋅+⋅++-⋅L()357214123252212nnT n+=⋅+⋅+⋅++-⋅L两式相减得()()()()2235212121812 3222222122221214nn n n nT n n--++--=++++--=+---L211052233nn+⎛⎫=-+-⎪⎝⎭所以()21652109nnnT+-+=（20）（本小题满分12分）解：（1）依题意得1111a S aλ==+，故1λ=，111aλ=-，故1a=由1n nS aλ=+，111n nS aλ++=+得111n n n n na S S a aλλ+++=-=-即()11n na aλλ+-=，由0λ≠，1a≠，0na≠，故11nnaaλλ+=-所以数列{}n a是以11λ-为首项，为1λλ-公比的等比数列，()1111nnaλλλ-=--（2）当2λ=时，()()()()()111121121112121212nnn nn nn naa a+--+-==---++++所以数列()()1111nn naa a++⎧⎫⎨⎬--⎩⎭的前n项和为()()()()23211111111121211121212121212n n -⎡⎤-+-+-++-⎢⎥++++++++⎣⎦L ()1122121212n n=-=-++（21）（本小题满分12分）解：（1）()()()()2222211211x a x a f x x x x x +-+'=-=++ 当()20f '=时，得94a =，经验证符合题意. ()118f '=-，()10f =，所以()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()118y x =--，即810x y +-=.（2）若2a ≤，当1x >时，()()()()()()2222222211210111x a x x x x f x x x x x x x +-+--+'=>=>+++所以()f x 在()1,+∞单调递增，当1x >时，()()10f x f >=符合题意. 当2a >时，方程()22210x a x +-+=的判别式为正，所以该方程有两个不等的根，设两根分别为1x ，2x （21x x >），因为12220x x a +=->，121x x ⋅=，所以1201x x <<< 易得当()11,x x ∈时，()22210x a x +-+<，即()0f x '<，()f x 在()11,x 单调递减，所以当()11,x x ∈时， ()()10f x f <=，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是(],2-∞ （22）（本小题满分12分）解：（1）()()1212f x ax a x'=+--()()()22121211ax a x ax x x x+--+-==当0a ≥时，()0f x '>得()1,x ∈+∞，由()0f x '<得()0,1x ∈ 所以()f x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞当0a <时，若112a -=即12a =-时， ()0f x '≤，()f x 的单调递减区间是()0,+∞若112a ->即102a -<<时，()f x 的单调递减区间是()0,1，1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间是11,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭若112a -<即12a <-时，()f x 的单调递减区间是10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递增区间是1,12a ⎛⎫-⎪⎝⎭（2）由（1）可知当0a >时，()f x 的最小值为()11f a =- 令()()21ln e 21ln g a a a a a a =---=--()111a g a a a-'=-=，当01a <<时，()0g a '<，()g a 单调递减，当1a >时，()0g a '>，()g a 单调递增，所以()()10g a g ≥= 所以()21ln e2a a a -≥-即()()2ln e 2f x a a ≥-.。

2020届广东省肇庆市高中第一次统考数学(文)试题(解析版)

肇庆市2020届高中毕业班第一次统检测文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}|10A x x =-<，{}2|20B x x x =-<，则A B =I ( )A. {}|0x x <B. {}|1x x <C. {}1|0x x <<D. {}|12x x <<【答案】C 【解析】【分析】求出A 、B 中不等式的解集确定出A 、B ，找出A 与B 的交集即可．【详解】集合{}{}|10|1A x x x x =-<=<，集合{}{}2|20|02B x x x x x =-<=<<，所以A B =I {}1|0x x <<. 故选C【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2.已知复数z ＝1+i ，则z •z =( )B. 2C. ﹣2D.【答案】B 【解析】【分析】先求出z 的共轭，进而利用乘法公式得到结果. 【详解】∵z ＝1+i ，∴1z i =-r，∴()()112z z i i ⋅=+-=r，故选：B【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题.3.设x R ∈，向量(,1)a x =r ，(1,2)b =-r ，且a b ⊥r r ，则a b r r +=( )A.5 B. 10 C. 25 D. 10【答案】B 【解析】试题分析：由a b ⊥rr知，则，可得．故本题答案应选B ．考点：1.向量的数量积；2.向量的模．【此处有视频，请去附件查看】4.已知sin 2cos αα=，则sin cos αα=( ) A. 25-B. 15-C.25D.15【答案】C 【解析】【分析】先由题得tan 2α=，再化简222sin cos sin cos tan sin cos 1sin cos tan 1αααααααααα===++，即得解.【详解】由题得tan 2α=, 所以222sin cos sin cos tan 2sin cos 1sin cos tan 15αααααααααα====++. 故答案为C【点睛】(1)本题主要考查三角化简求值，考查同角的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)本题解题的关键是222sin cos sin cos tan sin cos 1sin cos tan 1αααααααααα===++，这里利用了“1”的变式，221sin cos αα=+. 5.下面是关于复数21z i=-+四个命题：其中的真命题为( )1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-A. 23,p pB. 12,p pC. 24,p pD. 34,p p【答案】C 【解析】因为，所以，，共轭复数为，的虚部为，所以真命题为选C.【此处有视频，请去附件查看】6.设变量x, y 满足约束条件360,{20,30,x y x y y +-≥--≤-≤则目标函数z = y －2x 的最小值为( )A. －7B. －4C. 1D. 2【答案】A 【解析】画出原不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，由题意知,当目标函数2z y x =-表示的直线经过点A(5，3)时，z 取得最小值，所以z 的最小值为3257-⨯=-，故选A.【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考. 【此处有视频，请去附件查看】7.若01x y <<<，则 A. 33y x < B. log 3log 3x y < C. 44log log x y < D. 11()()44xy<【答案】C 【解析】【详解】试题分析：3xy =为增函数且x y <，所以A 错误.3log y x =为增函数且01x y <<<，故33log log 0x y <<，即110log 3log 3x y <<，所以log 3log 3x y >，所以B 错误；14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数且x y <，所以D 错误.4log y x =为增函数且x y <，故44log log x y <故选C.考点：比较大小.【此处有视频，请去附件查看】8. 执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，中输入的S=( )A.67B.37C.89D.49【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意得，输出的为数列的前三项和，而，∴，故选B.考点：1程序框图；2.裂项相消法求数列的和.【名师点睛】本题主要考查了数列求和背景下的程序框图问题，属于容易题，解题过程中首先要弄清程序框图所表达的含义，解决循环结构的程序框图问题关键是列出每次循环后的变量取值情况，循环次数较多时，需总结规律，若循环次数较少可以全部列出.9.“a=1”是“函数()f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】函数f (x )的单调增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]，所以当a ＝1时，增区间为[1，＋∞)，所以在[2，＋∞)上也递增．当f (x )在区间[2，＋∞)上为增函数，则有a ≤2，所以a ＝1不一定成立．“a=1”是“函数()f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的充分不必要条件，故选A.10.由函数f (x )＝sin 2x 的图象平移得到g (x )＝cos (ax 6π-)，(其中a 为常数且a ＞0)的图象，需要将f (x )的图象( )A. 向左平移3π个单位 B. 向左平移6π个单位 C. 向右平移3π个单位D. 向右平移6π个单位【答案】B 【解析】【分析】先根据平移关系求出a ＝2，利用三角函数的诱导公式，进行转化，结合平移关系进行转化即可．【详解】解：由函数f (x )＝sin2x 的图象平移得到g (x )＝cos (ax 6π-)，则函数的周期相同即a ＝2，则g (x )＝cos (2x 6π-)＝sin (2x 62ππ-+)＝sin (2x 3π+)＝sin2(x 6π+)，则需要将f (x )的图象向向左平移6π个单位，故选：B ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的诱导公式以及平移关系是解决本题的关键，比较基础．11.已知函数f (x )＝x •sinx 的图象是下列两个图象中的一个，如图，请你选择后再根据图象作出下面的判断：若x 1，x 2∈(22ππ-，)，且f (x 1)＜f (x 2)，则( )A. x 1＞x 2B. x 1+x 2＞0C. x 1＜x 2D. x 12＜x 22【答案】D 【解析】【分析】根据函数的解析式f (x )＝x •sin x ，结合奇偶函数的判定方法得出函数f (x )＝x •sin x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，其图象是右边一个图．再利用正弦函数的性质得出当x 02π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时和当x 02π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，时，函数f (x )＝x •sin x 的单调性，即可对几个选项进行判断．【详解】解：由于函数f (x )＝x •sin x ， ∴f (﹣x )＝﹣x •sin (﹣x )＝x •sin x ＝f (x )，∴函数f (x )＝x •sin x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，其图象是右边一个图．且当x 02π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，函数f (x )＝x •sin x 是增函数，∵x 1，x 2∈(22ππ-，)，函数f (x )＝x •sin x 是偶函数，且f (x 1)＜f (x 2)， ∴()()12fx f x < ，又当x 02π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，函数f (x )＝x •sin x 是增函数， ∴12x x <，即x 12＜x 22 故选：D ．【点睛】本题主要考查了函数图象和奇偶性与单调性的综合，根据函数解析式，得出函数图象的特点，考查了数形结合思想和读图能力．12.已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝2，若在[0，+∞)上存在x 1，x 2，使得f (x 1)＝g (x 2)，则x 2﹣x 1的最小值是( ) A. 1+ln 2 B. 1﹣ln 2 C.916D. e ﹣2【答案】B 【解析】【分析】先由f (x 1)＝g (x 2)，可得12xe =，设x 2﹣x 1＝t ，(t ＞0)可得x 2＝t +x 1，即方程2xe -=0．那么(e x +2)2＝16(t +x )，t 2(2)16x e x +=-，通过求导研究单调区间，求极值即可求出结论．【详解】解：由f (x 1)＝g (x 2)，可得12xe =，设x 2﹣x 1＝t ，(t ＞0) 可得x 2＝t +x 1，即方程2x e -=0．那么(e x +2)2＝16(t +x )∴t 2(2)16x e x +=-，令y 2(2)16x e x +=-，(x ≥0)可得y ′()()242()2888x x x x e e e e +-+-==令y ′＝0，可得x ＝ln2，∴在区间(0，ln 2)时函数y 递减，(ln 2，+∞)时函数y 递增；当x ＝ln 2，可得y 的最小值为1﹣ln 2．即t 的最小值为1﹣ln 2．故选：B ．【点睛】本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及函数恒成立问题，考查换元法及减元思想，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝﹣1，a 4＝b 4＝8，则22a b =_____．【答案】 1 【解析】【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果．【详解】等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝﹣1，a 4＝b 4＝8，设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ．可得：8＝﹣1+3d ，d ＝3，a 2＝2； 8＝﹣q 3，解得q ＝﹣2，∴b 2＝2．可得22a b =1．故答案为：1【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．14.1ABC D AB AD 2DB CD CA λCB λ__________3u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r V 在中，已知是边上一点．若＝，＝＋，则＝．【答案】23【解析】 ∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋ (－)＝＋.又＝＋λ，∴ λ＝.15.已知等差数列的前n 项和为n S ，且12130,0S S ><，则使n S 取得最大值的n 为_______. 【答案】6 【解析】【分析】由12130,0S S ><，根据等差数列的前n 项和公式，看出第七项小于0，第六项和第七项的和大于0，得到第六项大于0，这样前6项的和最大．【详解】因为等差数列中，12130,0S S ><，所以()126713760,130S a a S a =+>=<，6770,0a a a ∴+><， 670,0a a ∴><，∴S n 达到最大值时对应的项数n 的值为6．故答案：6【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的前n 项和，属于容易题． 16.已知△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且bcosC ﹣ccosB 14=a 2，tanB ＝3tanC ，则a ＝_____．【答案】2 【解析】【分析】根据题意，由tan B ＝3tan C 可得sinB cosB =3sinCcosC⨯，变形可得sin B cos C ＝3sin C cos B ，结合正弦定理可得sin B cos C ﹣sin C cos B 14=sin A ×a ，变形可得：sin B cos C ﹣sin C cos B 14=sin (B +C )×a ，由和角公式分析可得sin B cos C ﹣sin C cos B 14=⨯a ×(sin B cos C +sin C cos B )，将sin B cos C ＝3sin C cos B 代入分析可得答案．【详解】根据题意，△ABC 中，tanB ＝3tanC ，即sinB cosB =3sinCcosC⨯，变形可得sinBcosC ＝3sinCcosB ，又由bcosC ﹣ccosB 14=a 2，由正弦定理可得：sinBcosC ﹣sinCcosB 14=sinA ×a ，变形可得：sinBcosC ﹣sinCcosB 14=sin (B +C )×a ，即sinBcosC ﹣sinCcosB 14=⨯a ×(sinBcosC +sinCcosB )，又由sinBcosC ＝3sinCcosB ，则2sinCcosB ＝sinCcosB ×a ，由题意可知：2B π≠，即sinCcosB≠0，变形可得：a ＝2；故答案为：2．【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，涉及正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知f (x )=﹣2sin 22xω(ω＞0)的最小正周期为3π．(1)求ω的值；(2)当x ∈[324ππ，]时，求函数f (x )的最小值．【答案】(1)23(2)1．【解析】【分析】(1)先化简f (x )＝2sin (6x πω+)﹣1，由函数f (x )的最小正周期为3π即可求出ω的值；(2)由(1)可知f (x )＝2sin (23x 6π+)﹣1，在由x ∈[324ππ，]，求出222363x πππ≤+≤，从而当22363x ππ+=，即x 34π=时，f (x )min ＝22⨯-11=．【详解】(1)f (x )=﹣2112cos xx cos x ωωω-⨯=+-=2sin (6x πω+)﹣1， ∵函数f (x )的最小正周期为3π， ∴ω2233ππ==， (2)由(1)可知f (x )＝2sin (236x π+)﹣1， ∵x ∈[324ππ，]，∴222363x πππ≤+≤，∴当22363x ππ+=，即x 34π=时，f (x )min ＝211=．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，三角函数的周期性及求三角函数的最值，是基础题．18.已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin cos )A A =-．(1)求A ；(2)若7a =，sin sin B C +=ABC 的面积．【答案】(1)π3A =;(2)【解析】【分析】(1)先根据二倍角公式以及同角三角函数关系得tan2A，解得A;(2)根据正弦定理得13b c +=，再根据余弦定理得40bc =，最后根据三角形面积公式得结果.【详解】(1)由于)sin 1cos A A =-，所以22sincos 222A A A =，tan 2A =．因为0πA <<，故π3A =． (2)根据正弦定理得sin a A =， b B =，c C =．因为sin sin B C +=，所以13b c +=．由余弦定理得222π72cos 3b c bc =+-得40bc =．因此△ABC 的面积为1sin 2bc A = 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.19.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＞0，前n 项和为S n ，若n a =n ∈N *，且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记2n an n c a =⋅，求数列{c n }的前n 项和T n ．【答案】(1) a n ＝2n ﹣1；(2) T n ()21652109n n +-⨯+=．【解析】【分析】(1)根据题意，有a n＝S n﹣S n﹣1，结合na==1，则数列{是以=1为首项，公差为1=1+(n﹣1)＝n，则S n＝n2，据此分析可得答案；(2)由(1)的结论可得c n＝(2n﹣1)×22n﹣1；进而可得T n＝1×2+3×23+5×25+……+(2n﹣1)×22n﹣1，由错位相减法分析可得答案．【详解】(1)数列{a n}中，a n＝S n﹣S n﹣1，(n∈N*，且n≥2)①na=(n∈N*，且n≥2)②①÷-=1，则数列=1为首项，公差为1的等差数列，=1+(n﹣1)＝n，则S n＝n2，当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣1，a1＝1也符合该式，则a n＝2n﹣1；(2)有(1)的结论，a n＝2n﹣1，则c n＝(2n﹣1)×22n﹣1；则T n＝1×2+3×23+5×25+……+(2n﹣1)×22n﹣1，③；则4T n＝1×23+3×25+5×27+……+(2n﹣1)×22n+1，④；③﹣④可得：﹣3T n＝2+2(23+25+……+22n﹣1)﹣(2n﹣1)×22n+1103=-+(53-2n)×22n+1，变形可得：T n()21652109nn+-⨯+ =．【点睛】本题考查数列的递推公式的应用以及数列的错位相减法求和，关键是求出数列{a n}的通项公式，考查学生的计算能力．20.已知数列{a n}的前n项和S n＝1+λa n，其中λ≠0．(1)证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；(2)当λ＝2时，求数列{()()1111n n n a a a ++--}的前n项和．【答案】(1)证明见解析，a n 11λ=-•1()1n λλ-- (2)2 12n -+1．【解析】【分析】(1)数列{a n }的前n 项和S n ＝1+λa n ，其中λ≠0．n ＝1时，a 1＝1+λa 1，λ≠1，解得a 1．n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，化为：11n n a a λλ-=-．即可证明{a n }是等比数列，进而得出其通项公式． (2)当λ＝2时，a n ＝﹣2n ﹣1．()()()()1112111212nn n n n n a a a +-+-==--++21111212n n -⎛⎫- ⎪++⎝⎭．利用裂项求和方法即可得出．【详解】(1)证明：数列{a n }的前n 项和S n ＝1+λa n ，其中λ≠0． n ＝1时，a 1＝1+λa 1，λ≠1，解得a 111λ=-． n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝1+λa n ﹣(1+λa n ﹣1)，化：11n n a a λλ-=-． ∴数列{a n }是等比数列，首项为11λ-，公比为：1λλ-． ∴a n 11λ=-•1()1n λλ--， (2)解：当λ＝2时，a n ＝﹣2n ﹣1．()()()()1112111212n n n n n n a a a +-+-==--++21111212n n -⎛⎫- ⎪++⎝⎭． ∴数列{()()1111n n n a a a ++--}的前n 项和＝2[21111111121112121212n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ＝2(11122n -+)212n=-+1．【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21.已知函数f (x )＝lnx ()11a x x --+，a ∈R ．(1)若x ＝2是函数f (x )的极值点，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若x ＞1时，f (x )＞0，求a 的取值范围．【答案】(1) x +8y ﹣1＝0，(2) (﹣∞，2]．【解析】【分析】(1)由x ＝2是函数f (x )的极值点，可得，f ′(2)＝0，代入可求a ，然后结合导数的几何意义即可求解， (2)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a 进行分类讨论即可求解．【详解】(1)∵f ′(x )()22222112(1)(1)x a x ax x x x +-+=-=++，由x ＝2是函数f (x )的极值点，可得，f ′(2)＝0， ∴a 94=， ∴y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝f ′(1)18=-，又f (1)＝0故y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程y ()118x =--即x +8y ﹣1＝0， (2)若a ≤2，x ＞1时，f ′(x )()222222211221(1)(1)(1)x a x ax x x x x x x x +-+-+=-=+++＞＞0，∴f (x )在(1，+∞)上单调递增，f (x )＞f (1)＝0，符合题意，若a ＞2，方程x 2+(2﹣2a )+1＝0的△＝4a 2﹣8a ＞0，∴x 2+(2﹣2a )+1＝0有两个不等的根，设两根分别为x 1，x 2，且x 1＜x 2， ∵x 1+x 2＝2a ﹣2，x 1•x 2＝1，∴0＜x 1＜1＜x 2，＜0，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ∈(1，x 2)时，x 2+(2﹣2a )+1＜0，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， f (x )＜f (1)＝0，不符合题意，综上可得，a 的范围(﹣∞，2]．【点睛】本题主要考查了极值存在条件的应用，导数的几何意义的应用及函数恒成立问题的求解，体现了分类讨论思想的应用．22.设函数f (x )＝ax 2+(1﹣2a )x ﹣lnx (a ∈R )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a＞0时，证明f(x)≥ln(ae2)﹣2a(e为自然对数的底数)．【答案】(1)见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)先求出导函数f'(x)，再对a分情况讨论，分别求出函数f(x)的单调区间；(2)由(1)可知当a＞0时，f(x)的最小值为f(1)＝1﹣a，令g(a)＝1﹣a﹣(lnae2﹣2a)＝a﹣1﹣lna，利用导数得到g(a)的最小值为g(1)＝0，所以g(a)≥0，即证得f(x)≥ln(ae2)﹣2a．【详解】(1)f'(x)＝2ax+(1﹣2a)()()()221212111ax a x ax xx x x+--+--==，x＞0，①当a≥0时，令f'(x)＞0得：x＞1；令f'(x)＜0得：0＜x＜1，∴函数f(x)的单调递增区间为(1，+∞)，单调递减区间为(0，1)，②当a＜0时，若12a-=1，即a12=-时，f'(x)≤0，f(x)的单调递减区间为(0，+∞)，若12a-＞1即12-＜a＜0时，f(x)的单调递减区间为(0，1)，(12a-，+∞)，单调递增区间为(1，12a-)，若12a-＜1即a12-＜时，f(x)的单调递减区间为(0，12a-)，(1，+∞)，单调递增区间为(12a-，1)；(2)由(1)可知当a＞0时，f(x)的最小值为f(1)＝1﹣a，令g(a)＝1﹣a﹣(lnae2﹣2a)＝a﹣1﹣lna，∴g'(a)＝111aa a--=，∴当a∈(0，1)时，g'(a)＜0，g(a)单调递减；当a∈(1，+∞)时，g'(x)＞0，g(x)单调递增，∴g(a)的最小值为g(1)＝0，∴g(a)≥0，∴1﹣a≥lnae2﹣2a，即f(x)≥ln(ae2)﹣2a．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和不等式的证明，考查了分类讨论思想与转化思想，是中档题．。

2020年广东省肇庆市第一中学高三数学文测试题含解析

2020年广东省肇庆市第一中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知全集U={l，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5），则=（）D略2. 下列说法正确的是（）A．函数的图象与直线可能有两个交点；B．函数与函数是同一函数；C．对于上的函数，若有，那么函数在内有零点；D．对于指数函数 ()与幂函数 ()，总存在一个,当时，就会有．参考答案：答案：D解析：因为选项A中最多有个交点，选项B中，不是同一函数，定义域不同，选项C中，函数不一定是连续函数，故选D.3. 若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3，x)满足条件(8—)·=30，则x=( )A．6 B．5 C．4D．3参考答案：C在△ABC中，∠BAC=60°AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则．B．C．D参考答案：A略5. 对于使成立的所有常数中，我们把的最小值1叫做的上确界,若，且，则的上确界为（）A. B. C.D.-4参考答案：B6. 下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间内单调递增的是（）A．B．C．D．参考答案：D7. 设，函数的定义域为，值域为，定义“区间的长度等于”，若区间长度的最小值为，则实数的值为（）A.11B.6C.D.参考答案：B8. 二项式的展开式中，的系数为(A) 10 (B) 15 (C) 20(D) 25参考答案：【知识点】二项式定理的应用．J3A解析：二项式的展开式的通项为；令10﹣3r=1解得r=3，∴二项式的展开式中的系数为C53=10，故选A．【思路点拨】先求出二项式的展开式的通项，然后令的指数为1，求出r，从而可求出的系数．9. 如果正方形ABCD的边长为1，那么等于（）A．1 B．C．D．2参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出的模长和夹角，代入数量积公式计算．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1，∴||=1，||=，∠BAC=，∴=||?||?cos=1．故选：A．10. 如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）．（）B．（，1）D考点：函数零点的判定定理．分析：由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间．解答：解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，从而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，g（）=ln+1+a＜0，g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知,,则_____.参考答案：：,,所以.12. 已知平面向量的夹角为，且，若平面向量满足=2，则= ．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设出向量，夹角为α，则与夹角为（），由平面向量满足=2，以及三角函数的平方关系得到cosα，再由数量积公式求得．【解答】解：设向量，夹角为α，则与夹角为（），由平面向量满足=2，得到，整理得到sin，代入sin2α+cos2α=1得到cosα=，所以||===；故答案为：13. 给出下列命题：①是幂函数②函数的零点有1个③的解集为④“＜1”是“＜2”的充分不必要条件⑤函数在点O（0，0）处切线是轴其中真命题的序号是（写出所有正确命题的编号）参考答案：④⑤略14. 已知函数f（x）=+alnx，若对任意两个不等的正实数x1，x2都有＞2恒成立，则实数a 的取值范围是．参考答案：[1，+∞）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】方法一：由题意可知：当x＞0时，f′（x）＞2恒成立，则a＞2x﹣2x2，在（0，+∞）上恒成立，即a＞g（x）max，根据二次函数的性质，即可求得实数a的取值范围；方法二：构造函数g（x）=f（x）﹣2x，x＞0，求导，由题意可知f′（x）＞2，（0，+∞）上恒成立，则a＞h（x）max，根据二次函数的性质，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：方法一：对任意两个不等的正实数x1，x2都有＞2恒成立，则当x＞0时，f′（x）＞2恒成立f′（x）=x+＞2，在（0，+∞）上恒成立，则a＞2x﹣x2，在（0，+∞）上恒成立，设g（x）=2x﹣x2，x＞0，函数的对称轴为x=1，则当x=1时，取最大值，最大值为g（x）max=1，∴a＞1，则实数a的取值范围[1，+∞），故答案为：[1，+∞）．方法二：设g（x）=f（x）﹣2x，x＞0，求导g′（x）=f′（x）﹣2，由＞2，则g′（x）=f′（x）﹣2＞0，则f′（x）＞2，即f′（x）=x+≥2，在（0，+∞）上恒成立，则a≥2x﹣x2，在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=2x﹣x2，x＞0，函数的对称轴为x=1，则当x=1时，取最大值，最大值为h（x）max=1，∴a≥1，则实数a的取值范围[1，+∞），故答案为：[1，+∞）．15. 已知函数有下列4个命题：①若，则的图象关于直线对称；②与的图象关于直线对称；③若为偶函数，且，则的图象关于直线对称；④若为奇函数，且，则的图象关于直线对称. 其中正确的命题为．参考答案：①②③④16. 圆心在轴上，且与直线及都相切的圆的方程为。

2024届广东省肇庆市高三上学期第一次教学质量检测数学试卷

2024届广东省肇庆市高三上学期第一次教学质量检测数学试卷一、单选题1. 已知集合，集合，则（）A．B．C．D．2. 已知复数满足，则（）A．1B．C．2D．43. 记为等比数列的前项和，若，，则（）A．3B．4C．5D．64. 已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5. 若，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．6. 记的内角的对边分别为，，，已知，则（）A．B．C．D．7. 已知，，且，则的最大值为（）A．2B．C．4D．8. “顺德眼”是华南地区首座双立柱全拉索设计的摩天轮总共设有36个等间距座舱，其中亲子座舱4个，每2个亲子座舱之间有8个普通座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，质点运行轨迹为圆弧，运行距离为弧长，“顺德眼”在旋转过程中，座舱每秒运行约0.2米，转一周大约需要21分钟，则两个相邻的亲子座舱在运行一周的过程中，距离地面的高度差的最大值约为（）（参考数据：，计算结果保留整数）A．40米B．50米C．57米D．63米二、多选题9. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A．B．C．D．10. 已知是模长为1的复数，则（）A．B．C．D．11. 已知，是夹角为的单位向量，且，，则（）A．在上的投影向量为B．C．D．12. 已知定义在R上的函数，对任意的，都有，且，则（）A．或1B．是偶函数C．，D．，三、填空题13. 记数列的前项和为，且，则 __________ .14. 已知向量，，若，则__________ .15. 已知函数在区间上的值域为，则___________ .16. 已知不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ________ .四、解答题17. 记的内角的对边分别为，，，已知为锐角，且.(1)求角的大小；(2)若，，求的面积.18. 已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，且.(1)求与的通项公式；(2)记，记为数列的前项和，求.19. 设，为实数，且，函数.(1)讨论的单调性；(2)设，函数，试问是否存在极小值点?若存在，求出的极小值点；若不存在，请说明理由.20. 记数列的前项和为，已知，是公差为1的等差数列.(1)求的通项公式；(2)设为数列落在区间，内的项数，在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和.21. 如图，在四边形中，，，，.(1)若，求；(2)求的最大值.22. 已知函数.(1)求的极值点；(2)若（且），证明：对一切，都有（ⅰ）；（ⅱ）.。

2024-2025学年广东省肇庆市肇庆一中高三(上)开学数学试卷(含答案)

2024-2025学年广东省肇庆一中高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合U =R ，集合A ={x|−3<x <1}，B ={x|0≤x ≤2}，则图中阴影部分表示的集合为( )A. (−3,0)B. (−1,0)C. (0,1)D. (2,3)2.复数1+3i 1−i 的虚部为( )A. −iB. −1C. 2iD. 23.已知命题p ：∃x ∈R ，使得ax 2+2x +1<0成立为真命题，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,0]B. (−∞,1)C. [0,1)D. (0,1]4.对任意x ∈[1,2]，不等式ax 2−2x +3a <0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞, 5)B. (−∞,47)C. (47,+∞)D. (−∞,12)5.已知函数f(x)={x +2,x ≤0−x +2,x >0，则不等式f(x)≥x 2的解集是( )A. [−1,1]B. [−2,2]C. [−2,1]D. [−1,2]6.已知函数f(x)=2x −2−x +ax +2(a ∈R)，若f(2)=5，则f(−2)=( )A. −1B. 1C. −5D. 57.已知函数f(x)=(m−2)x m 为幂函数，若函数g(x)=lgx +x−m ，则g(x)的零点所在区间为( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)8.已知定义在R 上的函数f(x)={lnx,x >1|x 2−x|,x ≤1，若函数k(x)=f(x)+ax 恰有2个零点，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,−1e )∪{0}∪(1,+∞)B. (−1,−1e )∪{0}∪(1,+∞)C. (−1,−1e )∪{0}∪(−1e ,+∞) D. (−∞,−1)∪{0}∪(−1e ,1)二、多选题：本题共3小题，共18分。

2023届广东省肇庆市高三上学期第一次教学质量检测数学试题及答案

肇庆市2023届高中毕业班第一次教学质量检测数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。

2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀。

考试结束后，请将本试题及答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，已知全集{}4,U x x x =<∈Z ，集合{}3,1,0,1A =--，{}2,1,0,1B =--，{}1,1,2,3C =-，图中阴影部分表示集合M ，则M =A.{}1,0,1-B.{}3,2,0,2,3--C.{}3,2,2,3,4-- D.{}1,1-2.同时满足以下三个条件的一个复数是.①复数在复平面内对应的点位于第三象限；②复数的模为5；③复数的实部大于虚部.A.43i - B.2i-- C.34i-- D.43i--3.设sin 22a =，2log sin 2b =，sin 22c =，则下列关系正确的是A.a c b >> B.c a b >> C.b a c>> D.a b c>>4.已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，且6710220a a a ++=，则78a a ⋅的最大值为A.10B.20C.25D.505.下列选项正确的是A.A B A ⋂=是A B ⊆的必要不充分条件B.在ABC △中，sin sin A B =是A B =的充要条件C.ln ln a b >是22ab>的充要条件D.命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定是：“x ∀∈R ，210x x ++≤”6.已知函数()()y f x x =∈R ，满足导函数()()f x f x '<恒成立，则下列选项正确的是A.()()e 20212022f f = B.()()e 20212022f f <C.()()e 20212022f f > D.()()2e 20212022f f >7.22sin 1252cos15cos5512sin 50︒︒-︒-︒的值为.A.12-B.12C.1D.28.《周髀算经》是我国最早的数学典籍，书中记载：我国早在商代时期，数学家商高就发现了勾股定理，亦称商高定理三国时期数学家赵爽创制了如图2（1）的“勾股圆方图”（以弦为边长得到的正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成），用数形结合法给出了勾股定理的详细证明.现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2（2）.在图2（2）中，若6AF =，BF =，G ，F 两点间的距离为，则“勾股圆方图”中小正方形的面积为A.9B.4C.3D.8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024-2025学年广东省肇庆市高三(上)第一次模拟数学试卷(含答案)

2024-2025学年广东省肇庆市高三（上）第一次模拟数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.log 318−log 32=( )A. 4B. 2log 32C. log 32D. 22.已知集合A ={x ∈N|(x−1)(x−4)≤0}，B ={x|0<x <3}，则A ∩B =( )A. {1,2}B. (1,3)C. {2,3}D. [1,3)3.曲线y =x(x 2−1)在x =1处的切线方程为( )A. x =1B. y =1C. y =2x +1D. y =2x−24.已知函数f(x)={lnx,x ≥1e x +1,x <1，则不等式f(x)>1的解集为( )A. (−1,+∞)B. (−1,3)C. (1,+∞)D. (−1,1)∪(e,+∞)5.已知复数z 1，z 2，则“z 1=z 2”是“|z 1+i|=|z 2+i|”的( )A. 充分必要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知定义在R 上的函数g(x)=e x −e −x +f(x)，其中g(x)是奇函数且在R 上单调递减，f(log 12x)<f(2)的解集为( )A. (−∞,14)B. (0,14)C. (14,+∞)D. (4,+∞)7.已知cos (x +π4)=35，5π12<x <7π4，则sinx +cosx cosx−sinx =( )A. −43B. −43或43C. −34D. −34或348.在△ABC 中，cosC +cosB(cosA−sinA)=0且BC =2，若BM =BC +xBA(x ∈R)，则BM 的最小值为( )A. 22 B. 1 C. 2 D. 2二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.设正实数m ，n 满足m >n ，且m +2n =4，则下列说法正确的是( )A. |m−4|+2|n−4|=8B. n +2m +2<nm C. mn 的最大值为2 D. m 2+n 2的最小值是410.将自然数1，2，3，4，5，…按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，…称为“拐弯数”，则下列数字是“拐弯数”的是( )A. 37B. 58C. 67D. 7911.已知f(x)=2cos(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)在(π12,5π12)上是单调函数，对于任意的x ∈R 满足f(x +π6)=−f(π6−x)，且f(x)≥f(5π12)，则下列说法正确的是( )A. φ=π3B. 若函数y =f(λx)(λ>0)在[0,π]上单调递减，则λ∈(0,512]C. 若f(x 1)−f(x 2)=4，则|x 1−x 2|的最小值为π2D. 若函数f(x)在(π2,a)上存在两个极值点，则17π12<a ≤23π12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

广东省肇庆市2020届高三第一次统考数学(文)试题 Word版含解析

肇庆市2020届高中毕业班第一次统检测文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}|10A x x =-<，{}2|20B x x x =-<，则AB =（）A. {}|0x x <B. {}|1x x <C. {}1|0x x <<D.{}|12x x <<【答案】C 【解析】【分析】求出A 、B 中不等式的解集确定出A 、B ，找出A 与B 的交集即可．【详解】集合{}{}|10|1A x x x x =-<=<，集合{}{}2|20|02B x x x x x =-<=<<，所以A B ={}1|0x x <<.故选C【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2.已知复数z ＝1+i ，则z •z =（） 2 B. 2C. ﹣2D. 2[【答案】B 【解析】【分析】先求出z 的共轭，进而利用乘法公式得到结果. 【详解】∵z ＝1+i ，∴1z i =-， ∴()()112z z i i ⋅=+-=，故选：B【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题. 3.设x R ∈，向量(,1)a x =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则a b +=（）A. 5B. 10C. 25D. 10【答案】B 【解析】试题分析：由a b ⊥知，则，可得．故本题答案应选B ．考点：1.向量的数量积；2.向量的模．4.已知sin 2cos αα=，则sin cos αα=（） A. 25-B. 15-C.25D.15【答案】C 【解析】【分析】先由题得tan 2α=，再化简222sin cos sin cos tan sin cos 1sin cos tan 1αααααααααα===++，即得解.【详解】由题得tan 2α=, 所以222sin cos sin cos tan 2sin cos 1sin cos tan 15αααααααααα====++.故答案为C【点睛】(1)本题主要考查三角化简求值，考查同角的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)本题解题的关键是222sin cos sin cos tan sin cos 1sin cos tan 1αααααααααα===++，这里利用了“1”的变式，221sin cos αα=+.5.下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（） 1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-A. 23,p pB. 12,p pC. 24,p pD. 34,p p【答案】C 【解析】因为，所以，，共轭复数为，的虚部为，所以真命题为选C.6.设变量x, y 满足约束条件360,{20,30,x y x y y +-≥--≤-≤则目标函数z = y －2x 的最小值为（）A. －7B. －4C. 1D. 2【答案】A 【解析】画出原不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，由题意知,当目标函数2z y x =-表示的直线经过点A(5，3)时，z 取得最小值，所以z 的最小值为3257-⨯=-，故选A.【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.7.若01x y <<<，则 A. 33y x < B. log 3log 3x y < C. 44log log x y < D. 11()()44xy<【答案】C 【解析】【详解】试题分析：3xy =增函数且x y <，所以A 错误.3log y x =为增函数且01x y <<<，故33log log 0x y <<，即110log 3log 3x y <<，所以log 3log 3x y >，所以B 错误；14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数且x y <，所以D 错误.4log y x =为增函数且x y <，故44log log x y <故选C.考点：比较大小.8. 执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，输出的S=（）A.67B.37C.89D.49【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意得，输出的为数列的前三项和，而，∴，故选B.考点：1程序框图；2.裂项相消法求数列的和.【名师点睛】本题主要考查了数列求和背景下的程序框图问题，属于容易题，解题过程中首先要弄清程序框图所表达的含义，解决循环结构的程序框图问题关键是列出每次循环后的变量取值情况，循环次数较多时，需总结规律，若循环次数较少可以全部列出.9.“a=1”是“函数()f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】函数f (x )的单调增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]，所以当a ＝1时，增区间为[1，＋∞)，所以在[2，＋∞)上也递增．当f (x )在区间[2，＋∞)上为增函数，则有a ≤2，所以a ＝1不一定成立．“a=1”是“函数()f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的充分不必要条件，故选A.10.由函数f （x ）＝sin 2x 的图象平移得到g （x ）＝cos （ax 6π-），（其中a 为常数且a ＞0）的图象，需要将f （x ）的图象（）A. 向左平移3π个单位 B. 向左平移6π个单位 C. 向右平移3π个单位D. 向右平移6π个单位【答案】B 【解析】【分析】先根据平移关系求出a ＝2，利用三角函数的诱导公式，进行转化，结合平移关系进行转化即可．【详解】解：由函数f （x ）＝sin2x 的图象平移得到g （x ）＝cos （ax 6π-），则函数的周期相同即a ＝2，则g （x ）＝cos （2x 6π-）＝sin （2x 62ππ-+）＝sin （2x 3π+）＝sin2（x 6π+），则需要将f （x ）的图象向向左平移6π个单位，故选：B ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的诱导公式以及平移关系是解决本题的关键，比较基础．11.已知函数f （x ）＝x •sinx 的图象是下列两个图象中的一个，如图，请你选择后再根据图象作出下面的判断：若x 1，x 2∈（22ππ-，），且f （x 1）＜f （x 2），则（）A. x 1＞x 2B. x 1+x 2＞0C. x 1＜x 2D. x 12＜x 22【答案】D 【解析】【分析】根据函数的解析式f （x ）＝x •sin x ，结合奇偶函数的判定方法得出函数f （x ）＝x •sin x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，其图象是右边一个图．再利用正弦函数的性质得出当x 02π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时和当x 02π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，时，函数f （x ）＝x •sin x 的单调性，即可对几个选项进行判断．【详解】解：由于函数f （x ）＝x •sin x ， ∴f （﹣x ）＝﹣x •sin （﹣x ）＝x •sin x ＝f （x ），∴函数f （x ）＝x •sin x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，其图象是右边一个图．且当x 02π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，函数f （x ）＝x •sin x 是增函数，∵x 1，x 2∈（22ππ-，），函数f （x ）＝x •sin x 是偶函数，且f （x 1）＜f （x 2）， ∴()()12fx f x < ，又当x 02π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，函数f （x ）＝x •sin x 是增函数， ∴12x x <，即x 12＜x 22 故选：D ．【点睛】本题主要考查了函数图象和奇偶性与单调性的综合，根据函数解析式，得出函数图象的特点，考查了数形结合思想和读图能力．12.已知函数f （x ）＝e x，g （x ）＝2，若在[0，+∞）上存在x 1，x 2，使得f （x 1）＝g （x 2），则x 2﹣x 1的最小值是（） A. 1+ln 2 B. 1﹣ln 2 C.916D. e ﹣2【答案】B 【解析】【分析】先由f （x 1）＝g （x 2），可得12xe =，设x 2﹣x 1＝t ，（t ＞0）可得x 2＝t +x 1，即方程2xe -=0．那么（e x+2）2＝16（t +x ），t 2(2)16x e x +=-，通过求导研究单调区间，求极值即可求出结论．【详解】解：由f （x 1）＝g （x 2），可得12xe =，设x 2﹣x 1＝t ，（t ＞0）可得x 2＝t +x 1，即方程2x e -=0．那么（e x +2）2＝16（t +x ）∴t 2(2)16x e x +=-，令y 2(2)16x e x +=-，（x ≥0）可得y ′()()242()2888x x x x e e e e +-+-==令y ′＝0，可得x ＝ln2，∴在区间（0，ln 2）时函数y 递减，（ln 2，+∞）时函数y 递增；当x ＝ln 2，可得y 的最小值为1﹣ln 2．即t 的最小值为1﹣ln 2．故选：B ．【点睛】本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及函数恒成立问题，考查换元法及减元思想，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b =_______. 【答案】1 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题中条件求出d 、q 的值，进而求出2a 和2b 的值，由此可得出22a b 的值. 【详解】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3138d q -+=-=，求得2q =-，3d =，那么221312a b -+==，故答案为1. 【考点】等差数列和等比数列【点睛】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.14.1ABC D AB AD 2DB CD CA λCB λ__________3在中，已知是边上一点．若＝，＝＋，则＝．【答案】23【解析】∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋ (－)＝＋.又＝＋λ，∴ λ＝.15.已知等差数列的前n 项和为n S ，且12130,0S S ><，则使n S 取得最大值的n 为_______. 【答案】6 【解析】【分析】由12130,0S S ><，根据等差数列的前n 项和公式，看出第七项小于0，第六项和第七项的和大于0，得到第六项大于0，这样前6项的和最大．【详解】因为等差数列中，12130,0S S ><，所以()126713760,130S a a S a =+>=<，6770,0a a a ∴+><， 670,0a a ∴><，∴S n 达到最大值时对应的项数n 的值为6．故答案为：6【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的前n 项和，属于容易题． 16.已知△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且bcosC ﹣ccosB 14=a 2，tanB ＝3tanC ，则a ＝_____．【答案】2 【解析】【分析】根据题意，由tan B ＝3tan C 可得sinB cosB =3sinCcosC ⨯，变形可得sin B cos C ＝3sin C cos B ，结合正弦定理可得sin B cos C ﹣sin C cos B 14=sin A ×a ，变形可得：sin B cos C ﹣sin C cos B 14=sin （B +C ）×a ，由和角公式分析可得sin B cos C ﹣sin C cos B 14=⨯a ×（sin B cos C +sin C cos B ），将sin B cos C＝3sin C cos B 代入分析可得答案．【详解】根据题意，△ABC 中，tanB ＝3tanC ，即sinB cosB =3sinCcosC⨯，变形可得sinBcosC ＝3sinCcosB ，又由bcosC ﹣ccosB 14=a 2，由正弦定理可得：sinBcosC ﹣sinCcosB 14=sinA ×a ，变形可得：sinBcosC ﹣sinCcosB 14=sin （B +C ）×a ，即sinBcosC ﹣sinCcosB 14=⨯a ×（sinBcosC +sinCcosB ），又由sinBcosC ＝3sinCcosB ，则2sinCcosB ＝sinCcosB ×a ，由题意可知：2B π≠，即sinCcosB≠0，变形可得：a ＝2；故答案为：2．【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，涉及正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知f （x ）=﹣2sin 22xω（ω＞0）的最小正周期为3π．（1）求ω的值；（2）当x ∈[324ππ，]时，求函数f （x ）的最小值．【答案】(1)23(2)1．【解析】【分析】（1）先化简f （x ）＝2sin （6x πω+）﹣1，由函数f （x ）的最小正周期为3π即可求出ω的值；（2）由（1）可知f （x ）＝2sin （23x 6π+）﹣1，在由x ∈[324ππ，]，求出222363x πππ≤+≤，从而当22363x ππ+=，即x 34π=时，f （x ）min ＝2-11=．【详解】（1）f （x ）=﹣2112cos xx cos x ωωω-⨯=+-=2sin （6x πω+）﹣1，∵函数f （x ）的最小正周期为3π， ∴ω2233ππ==，（2）由（1）可知f （x ）＝2sin （236x π+）﹣1， ∵x ∈[324ππ，]，∴222363x πππ≤+≤，∴当22363x ππ+=，即x 34π=时，f （x ）min ＝2-11=．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，三角函数的周期性及求三角函数的最值，是基础题．18.已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin cos )A A =-．（1）求A ；（2）若7a =，sin sin 14B C +=，求△ABC 的面积．【答案】（1）π3A =;（2）【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式以及同角三角函数关系得tan2A，解得A;（2）根据正弦定理得13b c +=，再根据余弦定理得40bc =，最后根据三角形面积公式得结果.【详解】（1）由于)sin 1cos A A =-，所以22sin cos 222A A A =，tan 23A =．因为0πA <<，故π3A =．（2）根据正弦定理得sin a A =， b B =，c C =．因为sin sin B C +=，所以13b c +=．由余弦定理得222π72cos 3b c bc =+-得40bc =．因此△ABC的面积为1sin 2bc A = 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 19.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＞0，前n 项和为S n，若n a n ∈N *，且n ≥2）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记2n an n c a =⋅，求数列{c n }的前n 项和T n ．【答案】(1) a n＝2n ﹣1；(2) T n()21652109n n +-⨯+=．【解析】分析】（1）根据题意，有a n ＝S n ﹣S n ﹣1，结合n a ==1，则数列=1为首项，公差为1的等差数列，=1+（n ﹣1）＝n ，则S n ＝n 2，据此分析可得答案；（2）由（1）的结论可得c n ＝（2n ﹣1）×22n ﹣1；进而可得T n ＝1×2+3×23+5×25+……+（2n ﹣1）×22n ﹣1，由错位相减法分析可得答案．【详解】（1）数列{a n }中，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，（n ∈N *，且n ≥2）①n a （n ∈N *，且n ≥2）②=1，则数列=1为首项，公差为1的等差数列，=1+（n ﹣1）＝n ，则S n ＝n 2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2n ﹣1，a 1＝1也符合该式，则a n ＝2n ﹣1；（2）有（1）的结论，a n ＝2n ﹣1，则c n ＝（2n ﹣1）×22n ﹣1；则T n ＝1×2+3×23+5×25+……+（2n ﹣1）×22n ﹣1，③；则4T n ＝1×23+3×25+5×27+……+（2n ﹣1）×22n +1，④；③﹣④可得：﹣3T n ＝2+2（23+25+……+22n ﹣1）﹣（2n ﹣1）×22n +1103=-+（53-2n ）×22n +1，变形可得：T n()21652109n n +-⨯+=．【点睛】本题考查数列的递推公式的应用以及数列的错位相减法求和，关键是求出数列{a n }的通项公式，考查学生的计算能力．20.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1+λa n ，其中λ≠0．（1）证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；（2）当λ＝2时，求数列{()()1111n n n a a a ++--}的前n 项和．【答案】(1)证明见解析，a n 11λ=-•1()1n λλ-- (2)212n -+1．【解析】【分析】（1）数列{a n }的前n 项和S n ＝1+λa n ，其中λ≠0．n ＝1时，a 1＝1+λa 1，λ≠1，解得a 1．n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，化为：11n n a a λλ-=-．即可证明{a n }是等比数列，进而得出其通项公式．（2）当λ＝2时，a n ＝﹣2n ﹣1．()()()()1112111212nn n n n n a a a +-+-==--++21111212n n -⎛⎫- ⎪++⎝⎭．利用裂项求和方法即可得出．【详解】（1）证明：数列{a n }的前n 项和S n ＝1+λa n ，其中λ≠0．n ＝1时，a 1＝1+λa 1，λ≠1，解得a 111λ=-． n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝1+λa n ﹣（1+λa n ﹣1），化为：11n n a a λλ-=-．∴数列{a n }是等比数列，首项为11λ-，公比为：1λλ-． ∴a n 11λ=-•1()1n λλ--，（2）解：当λ＝2时，a n ＝﹣2n ﹣1．()()()()1112111212n n n n n n a a a +-+-==--++21111212n n -⎛⎫- ⎪++⎝⎭． ∴数列{()()1111n n n a a a ++--}的前n 项和＝2[21111111121112121212n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝2（11122n-+）212n=-+1．【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21.已知函数f （x ）＝lnx ()11a x x --+，a ∈R ．（1）若x ＝2是函数f （x ）的极值点，求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（2）若x ＞1时，f （x ）＞0，求a 的取值范围．【答案】(1) x +8y ﹣1＝0，(2) （﹣∞，2]．【解析】【分析】（1）由x ＝2是函数f （x ）的极值点，可得，f ′（2）＝0，代入可求a ，然后结合导数的几何意义即可求解，（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a 进行分类讨论即可求解．【详解】（1）∵f ′（x ）()22222112(1)(1)x a x a x x x x +-+=-=++，由x ＝2是函数f （x ）极值点，可得，f ′（2）＝0， ∴a 94=， ∴y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率k ＝f ′（1）18=-，又f （1）＝0故y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程y ()118x =--即x +8y ﹣1＝0，（2）若a ≤2，x ＞1时，f ′（x ）()222222211221(1)(1)(1)x a x ax x x x x x x x +-+-+=-=+++＞＞0， ∴f （x ）在（1，+∞）上单调递增，f （x ）＞f （1）＝0，符合题意，若a ＞2，方程x 2+（2﹣2a ）+1＝0的△＝4a 2﹣8a ＞0，∴x 2+（2﹣2a ）+1＝0有两个不等的根，设两根分别为x 1，x 2，且x 1＜x 2， ∵x 1+x 2＝2a ﹣2，x 1•x 2＝1，∴0＜x 1＜1＜x 2，＜0，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，当x ∈（1，x 2）时，x 2+（2﹣2a ）+1＜0，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，f （x ）＜f （1）＝0，不符合题意，综上可得，a 的范围（﹣∞，2]．【点睛】本题主要考查了极值存在条件的应用，导数的几何意义的应用及函数恒成立问题的求解，体现了分类讨论思想的应用．22.设函数f （x ）＝ax 2+（1﹣2a ）x ﹣lnx （a ∈R ）．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＞0时，证明f （x ）≥ln （ae 2）﹣2a （e 为自然对数的底数）．【答案】(1)见解析 (2)证明见解析【解析】【分析】（1）先求出导函数f '（x ），再对a 分情况讨论，分别求出函数f （x ）的单调区间；（2）由（1）可知当a ＞0时，f （x ）的最小值为f （1）＝1﹣a ，令g （a ）＝1﹣a ﹣（lnae 2﹣2a ）＝a ﹣1﹣lna ，利用导数得到g （a ）的最小值为g （1）＝0，所以g （a ）≥0，即证得f （x ）≥ln （ae 2）﹣2a ．【详解】（1）f '（x ）＝2ax +（1﹣2a ）()()()221212111ax a x ax x x x x+--+--==，x ＞0， ①当a ≥0时，令f '（x ）＞0得：x ＞1；令f '（x ）＜0得：0＜x ＜1， ∴函数f （x ）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）， ②当a ＜0时，若12a-=1，即a 12=-时，f '（x ）≤0，f （x ）的单调递减区间为（0，+∞），若12a-＞1即12-＜a＜0时，f（x）的单调递减区间为（0，1），（12a-，+∞），单调递增区间为（1，12a -），若12a-＜1即a12-＜时，f（x）的单调递减区间为（0，12a-），（1，+∞），单调递增区间为（12a-，1）；（2）由（1）可知当a＞0时，f（x）的最小值为f（1）＝1﹣a，令g（a）＝1﹣a﹣（lnae2﹣2a）＝a﹣1﹣lna，∴g'（a）＝111aa a--=，∴当a∈（0，1）时，g'（a）＜0，g（a）单调递减；当a∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（a）的最小值为g（1）＝0，∴g（a）≥0，∴1﹣a≥lnae2﹣2a，即f（x）≥ln（ae2）﹣2a．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和不等式的证明，考查了分类讨论思想与转化思想，是中档题．。

广东省肇庆市第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

肇庆市第一中学2024-2025学年第一学期高三数学开学考（文字版|含答案）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集U =R {}31A x x =-<<{}02B x x =≤≤合为（）A ．B ．C ．D ．()3,0-()1,0-(0,1)(2,3)2．复数的虚部为（）13i1i +-A ．B ．C ．D ．2i-1-2i3．已知命题：，使得成立为真命题，则实数的取值范围是（p x ∃∈R 2210ax x ++<a ）A ．B ．C ．D ．(],0-∞(),1-∞[)0,1(]0,14．对任意，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是（）[]1,2x ∈2230ax x a -+<A ．B ．C ．D．⎛-∞ ⎝4,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭4,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭5．已知函数，则不等式的解集是（）2,(){2,0x x f x x x +≤=-+>2()f x x ≥A ．B ．C ．D ．[1,1]-[2,2]-[2,1]-[1,2]-6．已知函数，若，则（）()()222x x f x ax a -=-++∈R ()25f =()2f -=A ．B ．1C ．-5D ．51-7．已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区()(2)mf x m x =-()lg g x x x m =+-()g x 间为（）A ．B ．C ．D ．(0,1)(1,2)(2,3)(3,4)8．已知定义在R 上的函数，若函数恰有2个零点，2ln ,1(),1x x f x x x x >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩()()k x f x ax =+则实数a 的取值范围为（）A ．B ．{}1,0(1,)e ⎛⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭{}11,0(1,)e ⎛⎫--⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．D ．111,{0},e e ⎛⎫⎛⎫--⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1(,1){0},1e ⎛⎫-∞-⋃⋃ ⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9．下列说法正确的有（）A ．不等式的解集是21131x x ->+123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭B ．“，”是“”成立的充分条件1a >1b >1ab >C ．命题：，，则：，p x ∀∈R 20x >p ⌝x ∃∈R 2x <D ．“”是“”的必要条件5a <3a <10．已知，且，则（）0,0a b >>1a b +=A ．的最小值是B ．最小值为ab 14222a b +23C D ．的最小值是12a a b +1+11．已知函数是定义在R 上的奇函数，是偶函数，当，()f x ()1f x +[]()20,1,x f x x x∈=+则下列说法中正确的有（）A ．函数关于直线对称()f x 1x =B ．4是函数的周期()f x C ．()()202220230f f +=D ．方程恰有4不同的根()ln f x x=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．计算：的值是．()()12920243lg 4lg 254-⎛⎫+⨯++ ⎪⎝⎭13．已知函数，函数为一次函数，若，()221f x x x =+-()y g x =()()2243g f x x x =++则.()g x =14．若函数，则使得成立的的取值范围是.()()2ln 2f x x x =++()()211f x f x +<-x 四、解答题：本题共5小题，共77分。

广东省肇庆市高三数学第一次模拟试题文(含解析)新人教A版

2013年广东省肇庆市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•肇庆一模）设i为虚数单位，复数z1=a﹣3i，z2=2+bi，其中a、b∈R．若2．（5分）（2013•肇庆一模）已知全集U={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6}，集合M={大x4．（5分）（2013•肇庆一模）甲、乙两种水稻试验品种连续5年的单位面积平均产量如下（单位：t/hm2），根据这组数据下列说法正确的是（）甲甲乙5．（5分）（2013•肇庆一模）已知等差数列{a n}，满足a3+a9=8，则此数列的前11项的和S11===446．（5分）（2013•肇庆一模）平面上有三个点A（2，2）、M（1，3）、N（7，k），若向量与垂直，则k=（）利用向量⊥⇔=，，⊥⇔7．（5分）（2013•肇庆一模）阅读如图的程序框，并判断运行结果为（）8．（5分）（2013•肇庆一模）设变量x，y满足，则z=3x+2y的最大值为（）coaA==sinA==10．（5分）（2013•肇庆一模）设集合M={A0，A1，A2，A3，A4，A5}，在M上定义运算“⊗”为：A i⊗A j=A k，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3，4，5．则满足关系式（a⊗a）⊗A2=A0二、填空题(本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分，11-13为必做题，14-15为选做题，考生只能做一道)11．（5分）（2013•肇庆一模）函数的定义域为（0，1] ．解：要使有意义，则12．（5分）（2013•肇庆一模）若圆心在直线y=x上、半径为的圆M与直线x+y=4相切，则圆M的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x﹣3）2+（y﹣3）2=2．．d==r==r=，13．（5分）（2013•肇庆一模）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于．×4，侧面积为24+8故答案为：14．（5分）（2013•肇庆一模）在极坐标系中，圆p=2上的点到直线p（cosθ）=6的距离的最小值是1 ．y15．（2013•肇庆一模）（几何证明选讲选做题）如图，D是⊙O的直径AB延长线上一点，PD是⊙O的切线，P是切点，∠D=30°，AB=4，BD=2，则PA= ．中，PA=2×AO•sin60°=2×故答案为：三、解答题（共6小题，满分80分）本大题共6小题，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（12分）（2012•天津）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．2x+）2x+[，]）=sin2x•cos+cos2x•sin+sin2x•cos﹣cos2x•sin+cos2x）=，]（﹣（（上的最大值为sin2x+17．（13分）（2013•肇庆一模）某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了x•46%=230人，回答问题统计结果如图表所示．（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．18．（13分）（2013•肇庆一模）如图，PA垂直于⊙O所在平面ABC，AB为⊙O的直径，PA=AB=2，（1）证明：BC⊥平面PAC；（2）证明：CF⊥BP；（3）求四棱锥C﹣AOFP的体积．的体积．（19．（14分）（2013•肇庆一模）已知S n是数列{a n}的前n项和，且a1=1，．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求数列{a n}的通项a n；（3）设数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．）在（，则）可求得）由，，）个式子相乘得，∴；）∵满足：}和用裂项相消法求解，其中=20．（14分）（2013•肇庆一模）已知圆C的方程为x2+y2+2x﹣7=0，圆心C关于原点对称的点为A，P是圆上任一点，线段AP的垂直平分线l交PC于点Q．（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹L的方程；（2）过点B（1，）能否作出直线l2，使l2与轨迹L交于M、N两点，且点B是线段MN的中点，若这样的直线l2存在，请求出它的方程和M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由．，可得，分别代入，利用“点，半径，∴，∴的方程为．分别代入得两式相减得，即的方程为．的方程为，它与轨迹时，；当．和．21．（14分）（2013•肇庆一模）若f（x）=其中a∈R （1）当a=﹣2时，求函数y（x）在区间[e，e2]上的最大值；（2）当a＞0，时，若x∈[1，+∞），恒成立，求a的取值范围．分段令其，+2=e，﹣（x+﹣）当）当）在区间x=时，（）当（12分）得无解；。

广东省肇庆市2014届高三第一次模拟考试数学(文科)试题(解析版)

广东省肇庆市2014届高三第一次模拟考试（解析版）数学（文科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,5}M =，{3,4,5}N =，则=)(N M C U ( )A ．{2}B ．{1，2}C ．{1，2，4}D ．{1，3，4，5}2．函数)1(log 4)(22-+-=x x x f 的定义域是( )A ．(1,2]B ．[1,2]C ．(1,)+∞D ．[2,)+∞3．设i 为虚数单位，则复数34iz i-=在复平面内所对应的点位于( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限【答案】B 【解析】试题分析：根据复数的除法公式可得()()()343443i i i z i i i i ---===---,所以z 在复平面对应点的坐标为()4,3--在第三象限角,故选B.考点：复数除法复平面4．下列函数中，在区间(,0)-∞上为减函数的是( )A ．()2x f x =B ．()|1|f x x =-C ．()cos f x x =D ．1()f x x x=+5．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值是( )A ．2B ．6C ．24D ．120【答案】C 【解析】试题分析：根据程序框图运行程序如下:4,1,1111,2122,3236,46424,5n i s s i s i s i s i =============== 所以输出24s =,故选C. 考点：程序框图6．某几何体的三视图如图2所示（单位：cm ），则该几何体的体积是( )A ．5033cm B ．503cm C ．2533cm D ．253cm7．已知圆C 的圆心是直线10x y -+=与x 轴的交点，且圆C 与直线30x y ++= 相切，则圆C 的方程是( )A ．22(1)2x y ++= B ．22(1)8x y ++= C ．22(1)2x y -+= D ．22(1)8x y -+= 【答案】A 【解析】试题分析：根据题意直线10x y -+=与x 轴的交点为()01,010y x y =⎧⇒-⎨-+=⎩,因为圆与直线30x y ++=相切,所以半径为圆心到切线的距离,即r d ===则圆的方程为()2212x y ++=,故选A考点：切线圆的方程8．在锐角ABC ∆中，AB =3，AC =4，其面积ABC S ∆=BC =( )A ．5BCD9．已知e 为自然对数的底数，设函数()xf x xe =，则( ) A ．1是)(x f 的极小值点 B ．1-是)(x f 的极小值点C ．1是)(x f 的极大值点D ．1-是)(x f 的极大值点10．设向量),(21a a =，),(21b b =，定义一种向量积：),(),(),(22112121b a b a b b a a =⊗=⊗．已知向量)4,21(=，)0,6(π=，点P 在cos y x =的图象上运动，点Q 在()y f x =的图象上运动，且满足+⊗=（其中O 为坐标原点），则()y f x =在区间]3,6[ππ上的最大值是( )A ．B ．C ．2D ．4第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11．已知{}n a 是递增的等差数列，12a =，n S 为其前n 项和，若126,,a a a 成等比数列，则5S = ▲ . 【答案】7012．若曲线21232-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，则切线方程为 ▲. 13．已知变量,x y 满足约束条件1,31x y y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，若z k x y =+的最大值为5，则实数k = ▲ . 【答案】1-=k 或21=k （对1个得3分，对2个得5分【解析】试题分析：利用线性规划的知识画出不等式组表示的可行域如下图所示:14．（坐标系与参数方程选做题）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程为2cos 2(1sin )x ty t =⎧⎨=-⎩（其中t 为参数，且02t π≤<），则曲线C 的极坐标方程为 ▲ . 【答案】θρsin 4= 【解析】试题分析：把曲线C 的参数方程()2cos 21sin x ty t =⎧⎪⎨=-⎪⎩(t 为参数)化为普通方程可得()2224x y +-=,再利用直角坐标到极坐标的转化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得()()()22222cos sin 24cos sin 4sin 44ρθρθρθθρθ+-=⇒+-+=24sin 4sin ρρθρθ⇒=⇒=,故填4sin ρθ=.考点：参数方程极坐标方程15．（几何证明选讲选做题）如图3，在ABC ∆中，︒=∠90BAC ，BC AD ⊥，AE DE ⊥，D 、E 为垂足，若AE =4，BE =1，则AC = ▲ .三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（本小题满分12分）在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A 、B 都是锐角，a =6，b =5 ，21sin =B . （1）求sin A 和cos C 的值；（2）设函数)2sin()(A x x f +=，求)2(πf 的值.【答案】(1)33sin ,cos 510A C -==7225f π⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（2）由（1）知4cos 5A =， ∴2sin 2cos 22cos 122f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=+==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（11分） 24721525⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭（12分）考点：正余弦值的关系正余弦值的和差角公式诱导公式余弦倍角公式17．（本小题满分13分）已知某山区小学有100名四年级学生，将全体四年级学生随机按00～99编号，并且按编号顺序平均分成10组．现要从中抽取10名学生，各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样.（1）若抽出的一个号码为22，则此号码所在的组数是多少？据此写出所有被抽出学生的号码；（2）分别统计这10名学生的数学成绩，获得成绩数据的茎叶图如图4所示，求该样本的方差；（3）在（2）的条件下，从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，求被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率．试题解析：（1）由题意，得抽出号码为22的组数为3. （2分）因为2＋10×(3－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为02，抽出的10名学生的号码依次分别为：02，12，22，32，42，52，62，72，82，92. （4分）（2）这10名学生的平均成绩为：x =110×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，（6分）故样本方差为：2110s =⨯（102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122）＝52. （8分）18．（本小题满分13分）如图5，AB 是圆O 的直径，点C 是弧AB 的中点，点V 是圆O 所在平面外一点，D 是AC 的中点，已知2AB =，2VA VB VC ===. （1）求证：OD //平面VBC ；（2）求证：AC ⊥平面VOD ；（3）求棱锥C ABV -的体积.【答案】(1)证明过程详见解析;(2)证明过程详见解析;(3)3【解析】试题分析：(1)要证明//OD 面VBC,只需要在面内找到一条线段与OD 平行即可,根据题目条件分析可得OD 平行于面VBC 内的线段BC,在三角形ABC 中根据D,O 是线段AC,AB 的中点,即可得到OD 为三角形BC 边的中位线,即可得到//OD BC ,进而通过线线平行得到线面平行.（3）由（2）知VO 是棱锥V ABC -的高，且VO == （10分）又∵点C 是弧的中点，∴CO AB ⊥，且1,2CO AB ==， ∴三角形ABC 的面积1121122ABC S AB CO ∆=⋅=⨯⨯=，（11分）∴棱锥V ABC -的体积为111333V ABC ABC V S VO -∆=⋅=⨯，（12分）故棱锥C ABV -. （13分）考点：三棱锥体积线面平行线面垂直中位线三线合一19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图象上.（1）求1a ，2a ；（2）求数列}{n a 的通项公式；（3）若211++=n n n n a a a b ，求证数列}{n b 的前n 项和601<n T ．【答案】(1)123,5a a == (2)21n a n =+ 【解析】试题分析：（1）∵点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图象上，∴2*2()n S n n n N =+∈，（1分） ∴113a S ==，（2分）又21222228a a S +==+⨯=，∴25a =. （4分）（2）由（1）知，2*2()n S n n n N =+∈，20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两圆C 1与C 2的圆心的距离之和等于4，其中C 1：023222=+-+y y x ，C 2：033222=-++y y x . 设点P 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．问k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB 的值是多少？【答案】(1)2214y x += (2)46517AB = 【解析】试题分析：(1) 通过配方把圆1C 和圆2C 的普通方程化为标准方程,得到圆心的坐标,根据椭圆的定义可以判断C 点轨迹为椭圆,其中两个圆的圆心为焦点可得c =y 轴上,根据题意24a =,李永刚,,a b c 之间的关系即可求出b 的值,进而得到C 的方程.(2)联立直线与椭圆的方程消元得到二次方程,二次方程的根AB 两点的横坐标,利用二次方程根与系数的关系得到AB 两点横坐标之间的关系,利用0OA OB OA OB ⊥⇒=得到AB 横纵坐标之间的关系即可求出k 的值,再利用椭圆的弦长公式即可求出AB 的长度. 试题解析：（2）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足22141.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=，（5分）∵042≠+k ，222412(4)16(3)0k k k ∆=++=+>，∴1,2x =故1212222344k x x x x k k +=-=-++，．（6分）又1)()1)(1(212122121+++=++=x x k x x k kx kx y y （7分）于是222121222223324114444k k k x x y y k k k k -++=---+=++++．（8分）令041422=++-k k ，得21±=k . （9分）因为2121y y x x +=⋅，所以当21±=k 时，有0=⋅，即⊥. （10分）当12k =±时，12417x x +=，121217x x =-．（11分）(AB x == （12分）而22212112()()4x x x x x x -=+-23224124134171717⨯=+⨯=，（13分）所以465AB =．（14分）考点：弦长内积椭圆定义圆21．（本小题满分14分）设函数3211()(0)32a f x x x ax a a -=+-->. （1）若函数)(x f 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围；（2）当a =1时，求函数)(x f 在区间[t ，t +3]上的最大值.【答案】(1)10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤--->-<+++=)14(31)14(58331)(23maxt t t t t t x f 或【解析】试题分析：试题解析：（1）∵3211()(0)32a f x x x ax a a -=+--> ∴()2()1(1)()f x x a x a x x a '=+--=+-，（1分）令()0f x '=，解得121,0x x a =-=> （2分）当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：②当231≤+≤-t ，即14-≤≤-t 时，因为)(x f 在区间(]1,-∞-上单调递增，在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，且31)1()2(-=-=f f ，所以)(x f 在区间(]2,∞-上的最大值为31)1()2(-=-=f f . （10分）由231≤+≤-t ，即14-≤≤-t 时，有[t ，t +3]⊂ (]2,∞-，-1∈[t ，t +3]，所以)(x f 在[,3]t t +上的最大值为31)1()(max -=-=f x f ；（11分） ③当t +3>2，即t >-1时，。

广东省肇庆市广才中学高一数学文联考试卷含解析

广东省肇庆市广才中学高一数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设等比数列的前项和为，若，则下列式子中数值不能确定的是（）A．B．C．D．参考答案：D2. 已知，，，则的大小关系是（）A． B． C． D．参考答案：A略3. 在△ABC中，已知∠B=45°，c=2，b=，则∠A的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°参考答案：D【考点】HP：正弦定理．【分析】由B的度数求出sinB的值，再由b与c的值，利用余弦定理求出a的值，再由a，sinB，以及b的值，利用正弦定理求出sinA的值，即可确定出A的度数．【解答】解：∵在△ABC中，∠B=45°，c=2，b=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即=a2+8﹣4a，解得：a=2+或a=2﹣，由正弦定理=得：sinA==或，∵sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=，sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=，∴∠A=75°或15°．故选D4. 已知函数，则的值为( )A．2 B．－2 C．0 D．参考答案：A5. 已知函数，正实数a、b、c是公差为正数的等差数列，且满足，若实数d是方程的一个解，那么下列四个判断：①；②；③；④中一定不成立的是（）A. ①B. ②③C. ①④D. ④参考答案：D【分析】先判断出函数的单调性，分两种情况讨论：①；②。

结合零点存在定理进行判断。

【详解】在上单调减，值域为，又。

广东省肇庆市容山中学高一数学文联考试卷含解析

广东省肇庆市容山中学高一数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 集合，集合，则（）....参考答案：C略2. 下列函数中，在区间上是增函数的是（）A．B．C．D．参考答案：A由题意得函数在上为增函数，函数在上都为减函数．选A．3. 不等式x2≥2x的解集是（）A．{x|x≥2}B．{x|x≤2}C．{x|0≤x≤2}D．{x|x≤0或x≥2}参考答案：D【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】解方程x2﹣2x=0，得x1=0，x2=2，由此能求出不等式x2＞2x的解集．【解答】解：∵x2≥2x，∴x2﹣2x≥0．解方程x2﹣2x=0，得x1=0，x2=2，∴不等式x2≥2x的解集是{x|x≤0或x≥2}．故选：D．4. 已知集合，，则A∩B=（）A. B. C. D.参考答案：D，5. 下列各函数中，最小值为2的是（）A．B．，C．D．参考答案：A【考点】7F：基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：对于A．∵，∴=2，当且仅当x=1时取等号．因为只有一个正确，故选A．6. 若点P(Cos,Sin)在直线y=-2x上，则=( )A、B、C、D、参考答案：B略7. 已知二次函数是偶函数,则实数的值为（）0 4 -2 2参考答案：D8. 在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（）A.1∶B. 1∶9C. 1∶D. 1∶参考答案：D略9. 若tan(+)=3, tan(－)=5, 则tan2= （）A． B．－C． D．－参考答案：B略10. 若时，函数的值有正值也有负值，则的取值范围是( )A． B． C． D．以上都不对参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若则= ．参考答案：12. 如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于．参考答案：13. 已知正实数x，y满足，则xy的最大值为▲．参考答案：；14. （5分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是；．参考答案：n≥22，或n＞20考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：计算每一次执行循环n，s的值，和已知比较即可确定退出循环的判定条件．解答：第1次循环：n=2，s=；第2次循环：n=4，s=+；第3次循环：n=6，s=++；…第10次循环：n=20，s=；第11次循环：n=22，s=+；故退出循环的判断条件是n≥22，或n＞20；．故答案为：n≥22，或n＞20；．．点评：本题主要考查算法和程序框图，属于基础题．15. 某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1—50号，并分组，第一组1—5号，第二组6—10号，……，第十组46—50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为___ 的学生.参考答案：37由题意知抽号的间隔为5，所以在第八组中抽得号码为。