4静定拱(李廉锟_结构力学)
李廉锟《结构力学》(上册)笔记和课后习题(含考研真题)详解(力 法)【圣才出品】
第7章力法7.1 复习笔记【知识框架】【重点难点归纳】一、超静定结构 超静定结构的定义 多余联系的描述超静定结构的概述 超静定结构类型：超静定梁、超静定桁架、超静定刚架等 求解超静定问题应考虑的条件：平衡条件、几何条件、物理条件 基本方法：力法（柔度法）、位移法（刚度法） 计算方法 其他演变方法：力矩分配法、混合法、矩阵位移法等 超静定次数的确定 超静定次数的定义力法的定义 确定方法力法的基本结构力法的基本概念 相关概念 力法的基本体系力法的基本方程力法的典型方程确定力法的基本体系建立力法典型方程力法的计算步骤 计算方程中的系数和自由项力法的求解步骤 解算典型方程求出多余未知力 力法的相关结论 由平衡条件或叠加法求得最后内力 对称结构的条件对称的类型：正对称、反对称对称性的利用 对称的特点未知力分组及荷载分组取一半结构计算：奇数跨对称刚架、偶数跨对称刚架 理论基础超静定结构的位移计算 方法步骤平衡条件的校核最后内力图的校核 位移条件的校核温度变化对超静定结构的影响温度变化时超静定结构的计算 温度变化时超静定结构内力分析支座位移对超静定结构的影响支座位移时超静定结构的计算 支座位移对超静定结构的影响拱轴线方程及截面变化规律弹性中心法计算无铰拱 无铰拱的力法计算的相关步骤及弹性中心法 无铰拱的一些结论两铰拱的相关概念和力法求解步骤两铰拱及系杆拱 系杆拱的相关概念和力法求解步骤系杆拱的其他情况及桁架拱的简单介绍外界变化的影响超静定的结构特性 内力的确定多余联系的影响 力法1．定义单靠平衡条件还不能确定全部反力和内力的结构，称为超静定结构，如图7-1-1（a）、7-1-2（b）所示。
图7-1-1图7-1-22．多余联系（1）定义在超静定结构（几何不变）中，对保持结构的几何不变性没有必要的联系称为多余联系。
（2）多余未知力多余联系中产生的力称为多余未知力，又称赘余力或冗力，如图7-1-1（b）、7-1-2（b）所示。
《结构力学》第四章静定拱
受力特点概述
静定拱在荷载作用下，拱身主要承受 压力作用，这使得拱具有较好的受压 性能。
拱身受压力作用
由于拱的曲线形状和荷载作用位置的 不同，拱身内力分布通常不均匀，需 要进行详细的内力分析。
内力分布不均匀
静定拱在荷载作用下，其变形主要以 压缩变形为主，弯曲变形相对较小。
变形以压缩为主
影响因素分析
面内失稳
1
拱在面内发生屈曲，导致承载力急剧下降。
面外失稳
2
拱在面外方向发生侧倾或扭转，失去原有形状。
局部失稳
3
拱的局部区域发生失稳，如拱脚的局部压曲等。
提高稳定性的措施
合理选择拱的轴线形式 使拱在受力时能够均匀分布荷载，避 免应力集中。
加强拱的横向联系
通过设置横撑、横系梁等构件，增强 拱的横向稳定性。
贰
静定拱的受力特点
受力分析基本假设
拱身是理想弹性体 在分析中，假设拱身材料符合胡克定律， 即应力与应变成正比关系。 荷载作用在拱的节点上 为简化计算，通常将荷载（如均布荷载、 集中力等）作用在拱的节点上进行分析。 忽略拱身自重影响 在分析中，通常忽略拱身自重对受力的影 响，或将其简化为等效荷载进行处理。
增加拱的刚度
采用高强度材料、增加截面尺寸等措 施，提高拱的整体刚度。
考虑施工方法和顺序
合理的施工方法和顺序可以有效减少 拱在施工过程中的变形和应力，有利 于提高稳定性。
陆
静定拱的工程应用
桥梁工程中的应用
拱桥
静定拱是拱桥的主要结构形式，能够承受较大的竖向荷载和水平推 力，具有良好的经济性和美观性。
习题一
某静定拱的跨度为L，矢高为f，承受均布 荷载q作用，试求其拱脚处的水平推力H和 竖向反力V。
结构力学(李廉锟第五版)(课堂PPT)
内部可 F
变性
结构力学 D
A
中南大学
找刚片
E
.
退出
返回
B 41 03:16
§2-5 机动分析示例
A
C
结构力学 E
DD E
如何才能不变？ 可变吗？ 有多余吗？
B
中南大学
.
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42
03:16
§2-5 机动分析示例
结构力学
中南大学
加减二元体
.
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43
03:16
§2-6 三刚片虚铰在无穷远处的讨论 (a) 一铰无穷远情况
几何可变体系: 瞬变 , 常变
• 例：（图2-17） 二刚片三链杆相联情况
• （a）三链杆交于一点；
• （b）三链杆完全平行（不等长）；
• （c）三链杆完全平行（在刚片异侧） ；
• （d）三链杆完全平行（等长）
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.
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32
03:15
§2-5 机动分析示例
结构力学
例2-1 对图示体系作几何组成分析。
6. 运用三刚片规则时，如何选择三个刚片是关键，刚 片选择的原则是使得三者之间彼此的连接方式是铰结。
7. 各杆件要么作为链杆，要么作为刚片，必须全部 使用，且不可重复使用。
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.
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39
03:16
§2-5 机动分析示例
结构力学
中南大学
F
G
D
E
如何变静定？ 唯一吗？
.
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40
03:16
§2-5 机动分析示例
铰
中南大学
Ⅱ
.
李廉锟《结构力学》(第5版)(上册)笔记和课后习题(含考研真题)详解 第4章~第6章【圣才出品】
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图 4-1-1 （2）按铰趾位置 ①平拱 平拱是指两拱趾在同一水平线上的拱。 ②斜拱 斜拱是指不在同一水平线上的拱。 3．拱的特点 （1）优点 ①与梁相比，拱在竖向荷载作用下会产生水平反力。推力的存在与否是区别拱与梁的主 要标志。 ②由于推力的存在，拱的弯矩常比跨度、荷载相同的梁的弯矩小得多，使得拱截面上的 应力分布较为均匀。 ③主要承受压力，可利用抗拉性能较差而抗压较强的材料如砖、石、混凝土等来建造， 更能发挥材料的作用。 （2）缺点 拱支座要承受水平推力，因而要求比梁具有更坚固的地基或支承结构（墙、柱、墩、台 等）。 4．拱式结构 拱式结构是指在竖向荷载作用下会产生水平反力的结构，也称为推力结构。如三铰刚架、
b．当荷载及拱的跨度 l 不变时，推力 FH 将与拱高 f 成反比。
第一，f 愈大即拱愈陡时 FH 愈小；
第二，f 愈小即拱愈平坦时 FH 愈大；
第三，若
，则
，此时三个铰已在一直线上，属于瞬变体系。
2．内力的计算
（1）弯矩
①弯矩正负
通常规定弯矩以使拱内侧受拉者为正。
②计算公式
由图 4-1-5（b）所示的隔离体可求得截面 K 的弯矩为
图 4-1-2 6．拱的各部分名称 （1）拱轴线 拱轴线是指拱身各横截面形心的连线。 （2）拱趾 拱趾是指拱的两端支座的位置。 （3）拱的跨度 l 拱的跨度是指两拱趾间的水平距离。 （4）起拱线 起拱线是指两拱趾的连线称为起拱线。 （5）拱顶 拱顶是指拱轴上距起拱线最远的一点。 （6）拱高 f
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第 4 章 静定拱
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第4章 静定拱【圣才出品】
第4章 静定拱4.1 复习笔记【知识框架】【重点难点归纳】一、拱的基本概念及特点 ★★表4-1-1 拱的基本概念及特点表4-1-2 有拉杆和无拉杆三铰拱的区别与联系二、三铰拱的计算 ★★★★★1．支座反力的计算（见表4-1-3）表4-1-3 支座反力的计算2．内力的计算（见表4-1-4）表4-1-4 三铰拱的内力计算三、三铰拱的合理拱轴线（见表4-1-5） ★★★表4-1-5 三铰拱的合理拱轴线4.2 课后习题详解复习思考题1．拱的受力情况和内力计算与梁和刚架有何异同？答：（1）拱与梁的受力情况和内力计算的区别①约束反力方面，拱在竖向荷载作用下会产生水平反力（推力），而梁在竖向荷载作用下不会产生水平反力（推力）；②内力分布方面，由于水平推力的存在，拱的弯矩常比跨度、荷载相同的梁的弯矩小得多，使得拱截面上的应力分布较为均匀；③内力分析方法方面，若只有竖向荷载时，梁只需进行简单的整体分析即可求解，而拱由于水平力的存在，需要整体分析与局部分析相结合。
（2）拱与刚架的受力情况和内力计算的异同①内力分析方法方面，拱与刚架的受力情况和内力计算的特点和所应用方法基本一致，例如三铰刚架也属于拱式结构；②拱的轴线是曲线，刚架杆的轴线是直线，在应用平衡条件计算内力时，拱仍然取投2．在非竖向荷载作用下怎样计算三铰拱的反力和内力？能否使用式（4-1）和（4-2）？答：（1）对于三铰拱承受非竖向荷载的情况，可将非竖向荷载分解为水平荷载和竖向荷载。
（2）仍然可以应用式（4-1）和（4-2），将水平反力加上非竖向荷载水平方向上的分量一起代入公式中进行求解。
(4-1)o AV AV o BV BV o c H F F F F M F f ⎫⎪=⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪⎭cos sin (4-2)sin cos o H o S S H o N S H M M F y F F F F F F ϕϕϕϕ⎫=-⎪⎪=-⎬⎪=+⎪⎭3．什么是合理拱轴线？试绘出图4-2-1各荷载作用下三铰拱的合理拱轴线形状。
李廉锟《结构力学》(上册)笔记和课后习题(含考研真题)详解(静定拱)【圣才出品】
第4章 静定拱4.1 复习笔记【知识框架】【重点难点归纳】一、拱的基本概念1．拱的定义拱是指轴线（截面形心的连线）为曲线并且在竖向荷载作用下会产生水平反力的结构。
2．拱的分类（1）按铰点数①三铰拱；②两铰拱；③无铰拱。
拱的定义 按铰点数：三铰拱、两铰拱、无铰拱 拱的分类 按铰趾位置：平拱、斜拱拱的基本概念 拱的特点拱式结构消除推力对支撑结构影响的方法拱各部分的名称：拱轴线、拱趾、拱的跨度、起拱线、拱顶、拱高等 反力个数 支座反力的计算 计算方法 计算公式三铰拱的计算 反力值影响因素内力的计算：弯矩、剪力、轴力斜拱支座反力计算三铰拱的合理拱轴线 合理拱轴线的定义拱轴线的计算方法 静定拱图4-1-1（2）按铰趾位置①平拱平拱是指两拱趾在同一水平线上的拱。
②斜拱斜拱是指不在同一水平线上的拱。
3．拱的特点（1）优点①与梁相比，拱在竖向荷载作用下会产生水平反力。
推力的存在与否是区别拱与梁的主要标志。
②由于推力的存在，拱的弯矩常比跨度、荷载相同的梁的弯矩小得多，使得拱截面上的应力分布较为均匀。
③主要承受压力，可利用抗拉性能较差而抗压较强的材料如砖、石、混凝土等来建造，更能发挥材料的作用。
（2）缺点拱支座要承受水平推力，因而要求比梁具有更坚固的地基或支承结构（墙、柱、墩、台等）。
4．拱式结构拱式结构是指在竖向荷载作用下会产生水平反力的结构，也称为推力结构。
如三铰刚架、拱式桁架等。
5．消除推力对支撑结构影响的方法在拱的两支座间设置拉杆来代替支座承受水平推力，使其成为带拉杆的拱（图4-1-2（a））。
为了使拱下获得较大的净空，有时也将拉杆做成折线形的（图4-1-2（b））。
图4-1-26．拱的各部分名称（1）拱轴线拱轴线是指拱身各横截面形心的连线。
（2）拱趾拱趾是指拱的两端支座的位置。
（3）拱的跨度l拱的跨度是指两拱趾间的水平距离。
（4）起拱线起拱线是指两拱趾的连线称为起拱线。
（5）拱顶拱顶是指拱轴上距起拱线最远的一点。
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题（含考研真题）详解-第4章静定拱【圣才出品】
李廉锟《结构⼒学》笔记和课后习题（含考研真题）详解-第4章静定拱【圣才出品】第4章 静定拱4.1 复习笔记【知识框架】【重点难点归纳】⼀、拱的基本概念及特点 ★★表4-1-1 拱的基本概念及特点表4-1-2 有拉杆和⽆拉杆三铰拱的区别与联系⼆、三铰拱的计算 ★★★★★1．⽀座反⼒的计算（见表4-1-3）表4-1-3 ⽀座反⼒的计算2．内⼒的计算（见表4-1-4）表4-1-4 三铰拱的内⼒计算三、三铰拱的合理拱轴线（见表4-1-5） ★★★表4-1-5 三铰拱的合理拱轴线4.2 课后习题详解复习思考题1．拱的受⼒情况和内⼒计算与梁和刚架有何异同？答：（1）拱与梁的受⼒情况和内⼒计算的区别①约束反⼒⽅⾯，拱在竖向荷载作⽤下会产⽣⽔平反⼒（推⼒），⽽梁在竖向荷载作⽤下不会产⽣⽔平反⼒（推⼒）；②内⼒分布⽅⾯，由于⽔平推⼒的存在，拱的弯矩常⽐跨度、荷载相同的梁的弯矩⼩得多，使得拱截⾯上的应⼒分布较为均匀；③内⼒分析⽅法⽅⾯，若只有竖向荷载时，梁只需进⾏简单的整体分析即可求解，⽽拱由于⽔平⼒的存在，需要整体分析与局部分析相结合。
（2）拱与刚架的受⼒情况和内⼒计算的异同①内⼒分析⽅法⽅⾯，拱与刚架的受⼒情况和内⼒计算的特点和所应⽤⽅法基本⼀致，例如三铰刚架也属于拱式结构；②拱的轴线是曲线，刚架杆的轴线是直线，在应⽤平衡条件计算内⼒时，拱仍然取投2．在⾮竖向荷载作⽤下怎样计算三铰拱的反⼒和内⼒？能否使⽤式（4-1）和（4-2）？答：（1）对于三铰拱承受⾮竖向荷载的情况，可将⾮竖向荷载分解为⽔平荷载和竖向荷载。
（2）仍然可以应⽤式（4-1）和（4-2），将⽔平反⼒加上⾮竖向荷载⽔平⽅向上的分量⼀起代⼊公式中进⾏求解。
(4-1)o AV AV o BV BV o c H F F F F M F f ??=??=?=cos sin (4-2)sin cos o H o S S H o N S H M M F y F F F F F F =-??=-?=+3．什么是合理拱轴线？试绘出图4-2-1各荷载作⽤下三铰拱的合理拱轴线形状。
结构力学(李廉锟第五版)
变形：结构在外部因素作用下发生的形状的变化。
两者之间的关系：有形变必有位移；有位移不一 定有形变。
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22:16
§6-1 概述
结构力学
2. 位移的分类
P
A
A
Ay
A
位移
线位移 转角位移
Ax
A A点线位移
Ax A点水平位移
Ay A点竖向位移
A截面转角
dn
1 2
Md
d ds d ds d kds
1 ds
所以
dw
1 2
FNds
1 2
FSds
1 2
Mκds
由胡克定律有：
FN , FS , 1 M
EA
GA EI
故
dw 1 FN2 ds 1 FS2 ds 1 M 2 ds
2 EA 2 GA 2 EI
实功数值上就等于微段的应变能。
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22:17
§6-2 变形体系的虚功原理
结构力学
例：当A支座向上移动一个
A'
已知位移c1，求点B产生的竖向
位移⊿。
c1
A
a
C
B
△
b
在拟求线位移的方向加单位力
由平衡条件 F yA b a
A F yA
1
C B
令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功，得虚
功方程
Δ1 c1 F yA 0
总的来讲： 单位位移法的虚功方程
平衡方程
单位荷载法的虚功方程
几何方程
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22:17
§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 结构力学
【经典】结构力学(李廉坤第五版) 上
§2-4 瞬变体系
分析图示体系： 三根链杆平行且等长 从异侧连出时。体系 为瞬变体系。
§2-5 机动分析示例
例2-1 试分析图所示多跨静定梁的几何构 造。
解：地基与AB段梁看作一个刚片（两刚片 规上则述）刚；片与BC段梁扩大成一个刚片（两刚 片上规述则大）刚；片与CD段梁又扩大成一个刚片（两 刚DE片段规梁则同）样；分析（两刚片
需的最少联系
图示体系数计目算，自而由布度置W不=0，
当会成为几何可变但；布置不当，上部有多余 联系，
下 体部 系缺 计少 算联 自系 由，度是W≤几0何，可
变 是的 体。 系几何不变的必要条 件。
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
三刚片规则 三个刚片用不在同一直线上的三个单
铰两两相连，组成的体系是几何不变的，且 没有多余联系。如图。
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
两刚片规则
两个刚片用一个铰和一根不通过此铰
的链杆相连，组成的体系是几何不变的，且
没有多余联系。如图。
图示体系
也是按三刚片规则
组成的。将链杆看
作一个刚片，组成
的体系是几何不变
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
如图所示，刚
片I和刚片II可以绕O点 转动；O点成为刚片I和
点O作相对转动，但发生
微小转动后，三根杆就 不再交于同一点，运动 也就不再继续发生。体
§2-4 瞬变体系
分析图示体系： 三根链杆平行不等长时， 交于无穷远处的同一点， 两刚片可相对平动，发 生微小相对移动后，三 杆分不析再图全示平体行系。：体系为 瞬三变根体链系杆。平行且等长时， 两刚片的相对平动一直 持续下去。体系为可§1-4 支座和结点的类型
支座：连接结构与基础的装置。 （1）活动铰支座
《结构力学》(李廉锟)PPT课件-力法
X1
1次超静定
X1
1次超静定
X1
X2
2次超静定
X1
第五章 力法
X1
内 蒙 古 农 业 大 学
X2
3次超静定 2次超静定
X3 X2
3次超静定
X1
二、解除约束法
1、去掉支座的一根支杆或切断一根链杆相当于去掉一个联系。 2、去掉一个铰支座或一个简单铰相当于去掉两个联系。 3、去掉一个固定支座或将刚性联结切断相当于去掉三个联系。 4、将固定支座改为铰支座或将刚性联结改为铰联结相当于去掉一个联 系。
4、超静定结构的类型
内 蒙 古 农 业 大 学
超静定梁 超静定刚架 超静定桁架
超静定拱
超静定组合结构
第五章 力法
二、求解超静定结构的一般方法
内 蒙 古 农 业 大 学
静定结构没有多余约束，其全部反力和内力仅用平衡条件确定即可； 超静定结构存在多余约束，未知量总数多余可建立的平衡方程数，所以， 需综合考虑变形协调条件、本构关系条件、平衡条件三方面才能求解。
遵循“变形、本构、平衡”分析思想，可以有以下三种分析方法：
力法 以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础上进行分析，这时重点 要解决变形协调问题。 位移法 以位移作为基本未知量，在自动满足变形协调条件的基础上进行分析，
这时重点要解决平衡问题
混合法 当一个问题既有力的未知量，也有位移的未知量，则力的部分考虑位移 协调，位移部分考虑力的平衡。
（3）多余联系遭破坏后，仍能维持几何不变性。
（4）局部荷载对结构影响范围大，内力分布均匀。 3、关于超静定结构的几点说明 （1）多余是相对保持几何不变性而言，并非真正多余。 （2）内部有多余联系亦是超静定结构。 （3）超静定结构去掉多余联系后，就成为静定结构。 （4）超静定结构应用广泛。
结构力学(李廉锟第五版)
世界上跨径最大的石拱桥。桥宽8m，双肋石拱桥，腹拱为9孔13m，南岸引桥3孔13m，北 岸引桥1孔15m。主拱圈由两条分离式矩形石肋和8条钢筋混凝土横系梁组成。拱轴线为悬
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结构力学
23:11
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
结构力学
由于当x =0时， dy 0，故常数A等于零，即 dx
dy dx
sh
p FH
x
再积分一次，得
y FH ch p x B p FH
由于当x=0时，y=0，
故 B FH p
最后得
y
FH p
ch
p FH
x 1
等截面拱在自重荷载作用下，合理轴线为一悬链线。
物线，当坐标原点选在左支座时，它的轴线方程式
为
y
4f l2
x，l 已x知D截面的坐标为: xD=5.25m 。
q=20 kN/m
Y F = 100 kN
解:(1) 代入数据后拱
C
轴线方程为：
y 1 x(12 x) 9
FH= 82.5 kN
D y=3.983 m A
X
FVA =105 kN 3m
f=4m B
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23:11
§4-2 三铰拱的数值解
结构力学
一、三铰拱的反力和内力计算。
1.支座反力 计算（与三铰刚 架反力的求法类 似）。
y FHA
代梁：同跨度、同
荷载的简支梁,其反力、
第四章：静定拱(李廉锟第五版配套)
4.1 概述
4.2 静定拱的计算
4.3 静定拱的合理拱轴线
4.1 概述
静定拱的特点
静定拱的特点
拱的特点： 在竖向荷载作用下有水 平反力或称推力，如图(a)。 推力是拱式结构的主要标志 优点：弯矩小得多，主要承受压力。应力分布均匀。 缺点：地基或者支撑结构要坚固 图(b)为有拉杆的三铰拱， 推力就是拉杆内的拉力。
ql 2
ql 2
先列出简支梁的弯矩方程
q M x x l x 2
拱的推力为：
MC ql 2 H f 8f
注意
*合理轴线对应的是
一组固定荷载； *合理轴线是一组。
所以拱的合理轴线方程为：
q 8f 4f y x x l x 2 2 x l x 2 ql l
f=4m
8 B
பைடு நூலகம்
1 x
y1
A
50.25kN
H 50.25kN
VB 58.5kN
4f y 2 x l x l 制内力图。
计算反力并绘
3m VA 75.5kN
3m 6m 6m
（1）计算支座反力
（2）内力计算
y1
以截面1为例
4f 4 4 x l x 312 1.5 1.75m 2 2 l 12
dy dx
x 3
14 6 9 50 3 75.5kN 12 14 6 3 50 9 VB VB 58.5kN 12 MC 75.5 6 14 6 3 H 50.25kN f 4
VA VA
M1 M1 Hy2 75.5 1.5 141.5 1.5 / 2 50.251.75 9.6kN m
结构力学(李廉锟第五版)
3m
f=4m B
FH= 82.5 kN F = 115 kN
VB
当x =5.25m 时，y =3.938m
5.25m 12m
y tan 2 6 x
9
故 tanD 0.1667 ，因而 sin D 0.1644 ，cosD 0.9864
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13:45
由 0
η FVA
FNK FVA F1 F2 sin FH cos 0 F1 F2
与代梁相比较
A
FV0A
a1
K C
FNK FS0K sin FH cos
a2 a3
F3
B
FV0B
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13:45
§4-2 三铰拱的数值解
结构力学
三铰拱任意截面K上的内力MK、FSK和FNK的计 算公式：
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13:45
§4-1 概 述
结构力学
拱与其同跨度同荷载的简支梁相比其弯矩要小 得多，所以拱结构适用于大跨度的建筑物。它广泛 地应用房屋桥梁和水工建筑物中。由于推力的存在 它要求拱的支座必须设计得足够的牢固，这是采用 拱的结构形式时必须注意的。
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13:45
§4-2 三铰拱的数值解
C
结构力学
C
A B
B
A
B
有拉杆的三铰拱
两铰拱
(c)
梁式结构在竖向荷载作用下是不会产生推力的。
C
B
A
B
曲梁
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§4-1 概 述
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§4-1 概述 §4-2 三铰拱的计算 §4-3 三铰拱的合理拱轴线
拱 (arch)
§4-1 概述
杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水
平反力。
1.拱的定义
结构力学
这是拱结构吗?
曲梁
拱--杆轴线为曲
线，在竖向荷载 作用下会产生水
拱
平推力的结构。
退出
拱 (arch) 2.拱的受力特点 §4-1 概述
7.5kN
1 0
A
2
2
y2
x
x2=3m 6m
6
7 8
B
3m
f=4m 图所示拱的轴线为抛物线方程
H 7.5kN
y
4f l2
xl x
计算反力并绘
制内力图。
6m
VB 9kN （1）计算支座反力
VA 11kN
VA
P1
Qo
Q Q cos H sin
Mo
V
A
N Q sin H cos
Ｈ
三、受力特点
（1）在竖向荷载作用下有水平反力 H;
（2）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多;
（3）拱内有较大的轴向压退力出 N.
q=2kN .m
P=8kN
结构力学
y
34
5
例 1、三铰拱及其所受荷载如
2.内力一般有弯矩、剪力和轴力，由于推力 的存在弯矩比同跨度梁小很多，拱主要承
点 受压力。 3.拱截面上应力分布均匀，更能发挥材料的 作用。可利用抗拉差抗压强的材料，如： 砖、石、混凝土。
退出
拱的特点：
结构力学
1.支座承受水平推力，需要更坚固的地基和
支承结构。 缺
三铰拱的缺点：
所以工程中 很少采用！
=50.25 kN
第二步：求各截面内力
FH FAV
A
012
3
4
5
6
7 8
l=8x1.5m=12m
B f=4 m
FH FBV
取图示等截面将拱轴分8等份，分别计算各段点的M、FS 、FN
求内力顺序：x→y →tan→ sin, cos → FS0→ M ,FS , FN
例截面1：x1 =1.5m,代入拱轴方程 求得 y1=1.75m,
退出
MC0= FAV0 l1 – F1 (l1- a1 )
FH= MC0 / f
2.内力的计算：
结构力学
基本方法—截面法
注： 拱的内力正负号的规定：
剪力以绕隔离体顺时针转动为正；
轴力以压力为正；
弯矩以使拱的下侧受拉为正。
退出
y F1 K C
F2
结构力学
F1
M FN
载及A 三三个x铰铰拱y的的位内f 置力有不关但，与B而荷 FH FH
F下AV轴0 三向a铰1受拱压a在。2 竖b向1 荷载b2作F用BFV0N===FF(FSS00AVcsi–onsF1+–)
FH sin sin + FH FH cos
cos
退出
结构力学
例题4-1 （P59）作图示三铰拱的内力图。拱轴
线为抛物线，方程：
y
4f l2
x(l x)
q=14 kN/m
M
C
H
f
0
H
M
C
f
退出
二、内力计算 以截面D为例
结构力学
P1 Qo
截面内弯矩要和竖向力及水平力对D点构成的
x-a1 M
力矩相平衡，设使下面的纤维受拉为正。
H
D
y
MD 0
H x
M VA x P1 x a1 H y Ｑo
VA
M M Hy
tan =y’=4/3-2x/9 ; tan1=1，1=45o( 左半拱取正,右半拱取负)
sin1=0.707, cos1=0.707; FS10 = 75.5-14x1.5=54.5 kN
M1 = M10-FH y1=(75.5x1.5-14x1.5x1.5/2)-50.25x1.75=9.6 kN.m
F=50 kN
C
A 9m
f=4 m B
l=12 m
退出
第一步：求支座反力
结构力学
q=14 kN/m
FAV =FAV0= (14x6x9+50x3)/12=75.5 kN
F=50 kN C
FBV =FBV0= (14x6x3+50x9)/12=58.5 kN
FH =MC0 /f =(75.5x6-14x6x3)/4
点 1.铰的存在使结构复杂，施工困难，维护费
用高。
2.铰的存在降低了结构抗震能力。
3.拱的挠度曲线在顶铰处有转折，致使拱顶
三铰拱的计算 1. 支座反力的计算：
退出
F1
C
结构力学
F2
结论：F1
A
f
B FBH三载铰及F拱 三H 的 个反 铰力 的只 位与 置荷 有
yf
HA
x
HB
MB 0
VA
l1
l2
l
VB
P1
P2
c
V
A
x
VB
P1 d
c
f
H
l1
VA
VB
1 l
P1a1
+
P2a2
VB VB
VA
1 l
P1b1
+
P2b2
VA VA
x 0 HA HB H
MC 0
VA l1 P1 d H f 0
FAH
l1
FAV
等代梁
A
F1
l2 l
C
a1
b1
FAV0
a2
FBV
关关，。F与AV拱F轴1 线形状M无c0
F2
荷水载平与 推跨 力F度 与AV0一 矢定 高时 成， 反
B ∑Μ比。C=0
b2 FBV0 FH=1/ f ［ FAV l1 – F1 (l1- a1 )］
FBV=FBV0 FAV=FAV0 FAH=FBH =F H
FH且与拱轴l线1 的形状l有2x 关。
FAV
F1
FS
FAV 由于推力的l 存在，拱F的BV FAV0 弯矩比相应简支梁的弯矩要
FS0 M0
等小代。梁 F1 A
KC
F2
M=[FAV x– F1 (x-a1)] – FH y =M0 – FH y
BFS=(FAV – F1 ) cos – FH sin
FS1 =FS10 cos1 FH sin1 =3退k出N;FN1 =FS10 sin1 + FH cos1 =74 kN
结构力学
按上述方法依次求得各截面内力，绘制出内力图
退出
三铰拱的支座反力和内力
结构力学
一、支座反力 与同跨度同荷载对应简支梁比较
d
a1
b1
P1 a2
b2
c D
P2
MA 0
结构力学
拱
曲梁
P
拱比梁中的弯矩小
退出
拱 (arch) §4-1 概述
3.拱的分类
静定拱
三铰拱
拉杆
超静定拱
拉杆拱
结构力学 超静定拱
两铰拱
无铰拱 斜拱
高差h
退出
拱 (arch) §4-1 概述
4.拱的有关名称
结构力学
拱顶
拱肋 拱趾
拱肋 拱高f
拱趾 跨度
退出
拱的特点：
结构力学
1.竖向荷载作用下产生水平反力，指向内方， 优 又称推力。