材料力学教案第5章 弯曲应力

第五章 弯曲应力§5.1 纯弯曲§5.2 纯弯曲时的正应力§5-3 横力弯曲（剪切弯曲）时的正应力 §5.4 弯曲切应力 §5.6 提高弯曲强度的措施§5.1 纯弯曲 1.⎩⎨⎧===----στ,0,,0,const M F MF S S 纯弯曲横力弯曲弯曲2．观察变形 以矩形截面梁为例（1）变形前的直线aa 、bb 变形后成为曲线a a ''、b b ''，变形前的mm ，nn 变形后仍为直线m m ''、n m ''，然而却相对转过了一个角度，且仍与a a ''、b b ''曲线相垂直。

（2）平面假设根据实验结果，可以假设变形前原为平面的梁的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的梁轴线，这就是弯曲变形的平面假设。

（3）设想设想梁是由平行于轴线的众多纤维组成。

在纯弯曲过程中各纤维之间互不挤压，只发生伸长和缩短变形。

显然，凸边一侧的纤维发生伸长，凹边一侧的纤维缩短。

由平面假设纤维由伸长变为缩短，连续变化，中间一定有一层纤维称既不伸长,也不缩短,这一层纤维为中性层。

（4）中性轴中性层与横截面的交线称为中性轴，由于整体变形的对称性，中性轴由与纵向对称面垂直。

P139note ：可以证明，中性轴为形心主轴。

§5.2 纯弯曲时的正应力1．正应力分布规律：①变形几何关系 ②物理关系 ③静力关系 （1）变形几何关系取d x 微段来研究，竖直对称轴为y 轴，中性轴为z 轴，距中性层为y 的任一纤维b b ''的线应变。

()ρθρθρθρεyy =-+=d d d （a ）（2）物理关系因为纵向纤维之间无正应和，每一纤维都是单向拉伸或者单向压缩，当应力小于比例极限时，由胡克定律ε=σEρ=σy E（b ）此式表明：任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比。

在横截面上，任意点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。

亦即沿截面高度，正应力按直线规律变化。

（3）静力关系横截面上的微内力σd A组成垂直于横截面的空间平行力学。

这一力e系可能简化为三个内力分量：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫===⎰⎰⎰N A iz Aiy AA y M A z M AF d d d σσσ 横截面上的内力与截面左侧的外力必须平衡。

在纯弯曲情况下，截面左侧的外力只有对z 轴的力偶矩M e 。

由于内外力必须满足平衡方程，故：①⎰===∑N Ax A F F 00d σ（c ）式（b ）代入式（c ）⎰⎰==AAA y EA 0d d ρσ∵ 0≠ρ=ρEconst E∴⎰==AZ S A y 0d结论：Z 轴（中性轴）通过形心。

② ⎰===∑Aiy y A z M M 00d σ （d ）式（b ）代入式（d ）⎰⎰==AAA yz EA z 0d d ρσ ⎰==AI A yz 0yzd结论：y 轴为对称轴，上式自然满足③ ⎰====∑Aiz e z A y M M M M d σ0（e ） 式（b ）代入式（e ）⎰⎰==AAA y EA y M d d 2ρσ （f ）∵⎰=AZ I A y d 2∴式（f ）可写成ZEI M=ρ1（g ）d式中ρ1为梁轴线变形后的曲率，EI Z 称为梁的抗弯刚度。

2．纯弯曲时梁的正应力计算公式 由式（g ）和式（b ）中消去ρ1得zy I M =σ讨论：（1）导出公式时用了矩形截面，但未涉及任何矩形的几何特性，因此，公式具有普遍性。

（2）只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于对称面内，公式都适用。

（3）横截上任一点处的应力是拉应力还是压应力可直接判定，不需用y 坐标的正负来判定。

§5-3 横力弯曲（剪切弯曲）时的正应力1．纯弯曲正应力公式推广应用于横力弯曲ZI yM ⋅=σ 讨论：公式的适用条件 （1）平面弯曲（2）纯弯曲或l/h ≥5的横力弯曲（σ，τ） （3）应力小于比例极限。

2．最大正应力ZI y M maxmax max =σ 引入记号：maxy IW Z Z =ZW M max max =σW ——抗弯截面系数（m 3） 讨论：（1）等直梁而言σmax 发生在最大弯矩断面，距中性轴最远处y max 。

（2）对于变截面梁不应只注意最大弯矩M max 截面，而应综合考虑弯矩和抗弯截面系数W Z 两个因素。

3．强度条件][maxmaxσσ≤=ZW M （1）对抗拉抗压强度相同的材料，只要[]σσ≤max即可（2）对抗拉抗压强度不等的材料（如铸铁）则应同时满足：[][]⎭⎬⎫≤≤c c t t σσσσmax max4．强度计算 （1）强度校核（2）设计截面尺寸：[]σmaxM W Z ≥（3）确定许用载荷：[]Z W M σ≤maxExample1 空气泵操作杆，右端受力F 1=8.5kN ，1-1、2-2截面相同，均为h/b =3的矩形，若[σ]=50MPa ，试选用1-1、2-2截面尺寸。

Solution ①求F 2072.05.838.0020=⨯-=∑F M1162.F =kN②求截面弯矩M 1=8.5×(0.72-0.08)=5.44kN·mM 2=16.1×(0.38-0.08)=4.38kN·m故：4451.M M max ==kN·m③设计截面[]561008815010445⨯=⨯=σ≥..M W max Z mm 3621223max bh h bh y I W Z Z === ∵52100881233⨯≥==.b W bh z mm 37413100881233..b =⨯⨯≥mm∴h =125mm§5.4 弯曲切应力⎩⎨⎧--τσS F M 横力弯曲切应力的分布规律与梁的横截面形状有关，因此以梁的横截面形状不同分别加以讨论。

1．矩形截面梁（1）切应力的分布规律⎩⎨⎧沿截面宽度均匀分布切应力平行的方向与剪力切应力假设ττS F 当h >b 时，按上述假设得到的解答与精确解相比有足够的准确度。

（2）切应力沿截面高度的变化规律①从梁中取出d x 段，而微段上无载荷作用。

②截面上的σ和τ的分布如图 ③研究微块的平衡()()*1**12*ZA ZA A Z S IM M Ay I M M AI y M M A F d d d d d d +=+=+==⎰⎰⎰N σ （a ）式中：⎰=*1*A z A y S d 为离中性轴为y 的横线以下面积对中性轴之静矩。

Z zA Z A ZA I MS A y I MA I My A F **1*1*1====⎰⎰⎰N d d d σ（b ）考虑到微块顶面上相切的内力系的合力x b F S d d τ'='（c ）00'12=--=∑N N S x F F F F d （d ）式（a ）、（b ）、（c ）代入式（d ）()0**='--+x b S IM S I M M ZzZd d τ （e ）bI S x M Z Z*d d ='τ （d ） ∵S F xM=d d ∴bI S F Z *ZS =τ'（f ）由切应力互等定理，横截面上pq 线处切应力为b I S F Z ZS *=τ（g ）这就是矩形截面梁弯曲切应力计算公式。

④讨论：a . 横力弯曲下梁的纵向纤维层之间存在切应力b. 矩形截面如图 1y b A d d =⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-===2/2211*1*42h yA Zy h b y by A y S d d or∴说明切应力τ沿截面高度按抛物线规律变化。

c. 当2h y ±=时，τ=0当y =0时，ZS I h F 82max ==ττd. 考虑到123bh I Z =bh F bh F S S⨯==5.123max τ 2．工字形截面梁（1）计算表明：截面上剪力F S 的95～97%由腹板承担，故只考虑腹板上的切应力分布规律，而腹板是一个狭长矩形，矩形截面切应力两个假设均适用（τ方向与F S 一致，设宽度均布），采用矩形截面方法可得： 0*b I S F Z ZS =τ式中：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=2200202*428y h b h h b S Z ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=22002020428y h b h h b b I F Z S τ 以y=0，20hy ±=代入上式得()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=8820020max h b b bh b I F Z S τ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=882020minbh bh b I F Z Sτ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22242y h I F Sτ∵b 0<<b ∴τmax ≈τmin 于是近似认为hb F S0max =τ （2）翼缘中切应力分布比较复杂，且数量很小，无实际意义，不予讨论。

（3）工字梁翼缘的全部面都距中性轴较远，每一点的正应力都很大，所以工字梁的最大特点是，用翼缘承担大部分弯矩，腹板承担大部分剪力。

3．圆形及圆环形截面梁（1）bI S F Z ZS y *=τ*Z S ——阴影面积对中性轴的静矩b ——为弦AB 的长度 在中性轴上 ππ3422*maxR R SZ ⋅= b =2R44R I Z π=AF R F S S34342max==πτ （2）圆环形截面AFs ⋅=2max τ 4．弯曲切应力的强度校核 （1）强度条件[]ττ≤=b I S F Z Zs max*max max最大切应力发生于中性轴处，故*m ax Z S ——中性轴以上或以下截面面积对中性轴之静矩（2）细长梁而言，强度控制因素，通常是弯曲正应力，一般只按正应力强度条件进行强度计算，不需要对弯曲切应力进行强度校核。

（3）只在下述情况下，才进行弯曲切应力强度校核：①梁的跨度较短。

②在梁的支座附近作用较大的载荷，以致梁的弯矩较小，而剪力颇大。

③铆接或焊接的工字梁，如腹板较薄而截面高度颇大，以致厚度与高度的比值小于型钢的相应比值，这时对腹板进行切应力校核。

④经焊接，铆接或胶而成的梁，对焊缝、铆钉或胶合面一般进行剪切计算。

§5.6 提高弯曲强度的措施弯曲正应力为控制梁的主要因素。

由梁的强度条件：[]σσ≤=ZWMmaxmax合理安排梁的受力情况，降低M max。

采用合理截面形状，提高W Z1．合理安排梁的受力情况，降低M max（1）合理布置梁的支座（2）合理布置载荷①载荷置于合理位置②将集中力分为较小的集中力③将集中力分为分布力2．梁的合理截面，提高W Z 由强度条件()()[]σσ==x W x M x 得 []Z W M σ≤max可见W Z 越大，梁承受的弯矩就越大。