材料力学教案第5章 弯曲应力

第五章 弯曲应力

§5.1 纯弯曲

§5.2 纯弯曲时的正应力

§5-3 横力弯曲（剪切弯曲）时的正应力 §5.4 弯曲切应力 §5.6 提高弯曲强度的措施

§5.1 纯弯曲 1.⎩⎨

⎧===----σ

τ,0,,0,const M F M

F S S 纯弯曲横力弯曲弯曲

2．观察变形 以矩形截面梁为例

（1）变形前的直线aa 、bb 变形后

成为曲线a a ''、b b ''，变形前的mm ，nn 变形后仍为直线m m ''、n m ''，然而却相对转过了一个角度，且仍与a a ''、b b ''曲线相垂直。 （2）平面假设

根据实验结果，可以假设变形前原为平面的梁的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的梁轴线，这就是弯曲变形的平面假设。

（3）设想

设想梁是由平行于轴线的众多纤维组成。在纯弯曲过程中各纤维之间互不挤压，

只发生伸长和缩短变形。显然，凸边一侧的纤维发生伸长，凹边一侧的纤维缩短。由平面假设纤维由伸长变为缩短，连续变化，中间一定有一层纤维称既不伸长,也不缩短,这一层纤维为中性层。

（4）中性轴

中性层与横截面的交线称为中性轴，由于整体变形的对称性，中性轴由与纵向对称面垂直。P139

note ：可以证明，中性轴为形心主轴。

§5.2 纯弯曲时的正应力

1．正应力分布规律：

①变形几何关系 ②物理关系 ③静力关系 （1）变形几何关系

取d x 微段来研究，竖直对称轴为y 轴，中性轴为z 轴，距中性层为y 的任一纤维b b ''的线应变。

()ρ

θ

ρθρθρεy

y =

-+=

d d d （a ）

（2）物理关系

因为纵向纤维之间无正应和，每一纤维都是单向拉伸或者单向压缩，当应力小于比例极限时，由胡克定律

ε=σE

ρ

=σy E

（b ）

此式表明：任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比。在横截面上，任意点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。亦即沿截面高度，正应力按直线规律变化。

（3）静力关系

横截面上的微内力σd A

组成垂直于横截面的空间平行力学。这一力

e

系可能简化为三个内力分量：

⎪

⎪

⎭⎪

⎪⎬⎫===⎰⎰⎰N A iz A

iy A

A y M A z M A

F d d d σσσ 横截面上的内力与截面左侧的外力必须平衡。在纯弯曲情况下，截面左侧的外力只有对z 轴的力偶矩M e 。由于内外力必须满足平衡方程，故：

①

⎰

===∑N A

x A F F 00

d σ

（c ）

式（b ）代入式（c ）

⎰⎰

==

A

A

A y E

A 0d d ρσ

∵ 0≠ρ

=ρ

E

const E

∴

⎰

==A

Z S A y 0d

结论：Z 轴（中性轴）通过形心。

② ⎰===∑A

iy y A z M M 00

d σ （d ）

式（b ）代入式（d ）

⎰⎰

==

A

A

A yz E

A z 0d d ρσ ⎰==A

I A yz 0yz

d

结论：y 轴为对称轴，上式自然满足

③ ⎰====∑A

iz e z A y M M M M d σ0

（e ） 式（b ）代入式（e ）

⎰⎰

=

=

A

A

A y E

A y M d d 2ρσ （f ）

∵

⎰

=A

Z I A y d 2

∴式（f ）可写成

Z

EI M

=

ρ

1

（g ）

d

式中ρ

1为梁轴线变形后的曲率，EI Z 称为梁的抗弯刚度。 2．纯弯曲时梁的正应力计算公式 由式（g ）和式（b ）中消去ρ

1得

z

y I M =

σ

讨论：（1）导出公式时用了矩形截面，但未涉及任何矩形的几何特性，因此，公式具有普遍性。

（2）只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于对称面内，公式都适用。 （3）横截上任一点处的应力是拉应力还是压应力可直接判定，不需用y 坐标的正负来判定。

§5-3 横力弯曲（剪切弯曲）时的正应力

1．纯弯曲正应力公式推广应用于横力弯曲

Z

I y

M ⋅=

σ 讨论：公式的适用条件 （1）平面弯曲

（2）纯弯曲或l/h ≥5的横力弯曲（σ，τ） （3）应力小于比例极限。 2．最大正应力

Z

I y M max

max max =

σ 引入记号：

max

y I

W Z Z =

Z

W M max max =σ

W ——抗弯截面系数（m 3） 讨论：

（1）等直梁而言σmax 发生在最大弯矩断面，距中性轴最远处y max 。 （2）对于变截面梁不应只注意最大弯矩M max 截面，而应综合考虑弯矩和抗弯截面系数W Z 两个因素。

3．强度条件

][max

max

σσ≤=Z

W M （1）对抗拉抗压强度相同的材料，只要

[]σσ

≤max

即可

（2）对抗拉抗压强度不等的材料（如铸铁）则应同时满足：

[][]⎭

⎬⎫

≤≤c c t t σσσσmax max

4．强度计算 （1）强度校核

（2）设计截面尺寸：[]

σmax

M W Z ≥

（3）确定许用载荷：[]Z W M σ≤max

Example1 空气泵操作杆，右端受力F 1=8.5kN ，1-1、2-2截面相同，均为h/b =3的矩形，若[σ]=50MPa ，试选用1-1、2-2截面尺寸。

Solution ①求F 2

072.05.838.00

20=⨯-=∑F M

1162.F =kN

②求截面弯矩

M 1=8.5×(0.72-0.08)=5.44kN·m

M 2=16.1×(0.38-0.08)=4.38kN·m

故：

4451.M M max ==kN·m