数三高数上学习重点及考查范围
高数部分知识点总结
高数部分知识点总结1 高数部分1.1 高数第一章《函数、极限、连续》求极限题最常用的解题方向:1.利用等价无穷小;2.利用洛必达法0,,0,0,1则，对于型和型的题目直接用洛必达法则，对于、、型0,0,的题目则是先转化为型或型，再使用洛比达法则;3.利用重要极0,1xx1x,1(1，x),e限，包括、、;4.夹逼定理。
(1，),exlimlimlimsinxxx,0,0x,,1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限;更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。
对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。
在此只提醒一点:不定积分f(x)dx,F(x)，C中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答,案中少写这个C会失一分。
所以可以这样建立起二者之间的联系以加f(x)dx深印象:定积分的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，,f(x)dx,F(x)，C把它折弯后就是中的那个C,漏掉了C也就漏掉了,这1分。
第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下af(x)dx限上做文章:对于型定积分，若f(x)是奇函数则有,,aaaaf(x)dxf(x)dxf(x)dx=0;若f(x)为偶函数则有=2;对于,,,,a,a0,,2t,,xf(x)dx型积分，f(x)一般含三角函数，此时用的代换是常,02用方法。
所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利aaa奇函数,0偶函数,2偶函数用性质、。
大学全册高等数学知识点总结(全)
大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一. 数列函数: 1. 类型:(1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数:(3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤⎧=⎨>⎩; *0()(),x x f x F x x x a ≠⎧=⎨=⎩;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ϕ== (5)隐式(方程): (,)0F x y =(6)参式(数一,二): ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩(7)变限积分函数: ()(,)xaF x f x t dt =⎰(8)级数和函数(数一,三): 0(),nn n S x a xx ∞==∈Ω∑2. 特征(几何):(1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ⇒∀--定号) (2)奇偶性与周期性(应用).3. 反函数与直接函数: 11()()()y f x x f y y f x --=⇔=⇒=二. 极限性质:1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞(含x →±∞); *0lim ()x x f x →(含0x x ±→)2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):3. 未定型:000,,1,,0,0,0∞∞∞-∞⋅∞∞∞4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论:11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)nnn na b c a b c ++→, ()00!na a n >→1(0)x x→→∞, 0lim 1xx x +→=, lim 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x →+∞=, 0lim ln 0nx x x +→=, 0,xx e x →-∞⎧→⎨+∞→+∞⎩ 四. 必备公式:1. 等价无穷小: 当()0u x →时, sin ()()u x u x ; tan ()()u x u x ; 211cos ()()2u x u x -; ()1()u x eu x -; ln(1())()u x u x +; (1())1()u x u x αα+-;arcsin ()()u x u x ; arctan ()()u x u x2. 泰勒公式:(1)2211()2!xe x x o x =+++; (2)221ln(1)()2x x x o x +=-+;(3)341sin ()3!x x x o x =-+;(4)24511cos 1()2!4!x x x o x =-++;(5)22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++.五. 常规方法: 前提: (1)准确判断0,,1,0M α∞∞∞(其它如:00,0,0,∞-∞⋅∞∞); (2)变量代换(如:1t x=) 1. 抓大弃小()∞∞, 2. 无穷小与有界量乘积 (M α⋅) (注:1sin1,x x≤→∞) 3. 1∞处理(其它如:00,∞)4. 左右极限(包括x →±∞):(1)1(0)x x→; (2)()xe x →∞; 1(0)x e x →; (3)分段函数: x , []x , max ()f x5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子)6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则(00最后方法); (注意对比: 1ln lim 1x x x x →-与0ln lim 1x x x x→-)(2)幂指型处理: ()()ln ()()v x v x u x u x e=(如: 1111111(1)x x x x xee e e-++-=-)(3)含变限积分;(4)不能用与不便用7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: ()lim (,)n f x F x n →∞=(⇒分段函数)六. 非常手段 1. 收敛准则:(1)()lim ()n x a f n f x →+∞=⇒(2)双边夹: *?n n n b a c ≤≤, *,?n n b c a →(3)单边挤: 1()n n a f a += *21?a a ≥ *?n a M ≤ *'()0?f x >2. 导数定义(洛必达?): 00lim'()x ff x x→=3. 积分和: 10112lim [()()()]()n nf f f f x dx n n n n→∞+++=⎰,4. 中值定理: lim[()()]lim '()x x f x a f x a f ξ→+∞→+∞+-=5. 级数和(数一三):(1)1n n a ∞=∑收敛lim 0n n a →∞⇒=, (如2!lim n n n n n →∞) (2)121lim()n n n n a a a a ∞→∞=+++=∑,(3){}n a 与11()nn n aa ∞-=-∑同敛散七. 常见应用:1. 无穷小比较(等价,阶): *(),(0)?n f x kx x →(1)(1)()(0)'(0)(0)0,(0)n n f f f f a -=====⇔()()!!nn na a f x x x x n n α=+ (2)()xxn f t dtkt dt ⎰⎰2. 渐近线(含斜):(1)()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-()f x ax b α⇒++(2)()f x ax b α=++,(10x→)3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, '()f x 连续性) 八. [,]a b 上连续函数性质1. 连通性: ([,])[,]f a b m M = (注:01λ∀<<, “平均”值:0()(1)()()f a f b f x λλ+-=)2. 介值定理: (附: 达布定理)(1)零点存在定理: ()()0f a f b <0()0f x ⇒=(根的个数); (2)()0(())'0xaf x f x dx =⇒=⎰.第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一. 基本概念:1. 差商与导数: '()f x =0()()limx f x x f x x→+-; 0'()f x =000()()lim x x f x f x x x →--(1)0()(0)'(0)limx f x f f x →-= (注:0()lim (x f x A f x→=连续)(0)0,'(0)f f A ⇒==)(2)左右导: ''00(),()f x f x -+;(3)可导与连续; (在0x =处, x 连续不可导; x x 可导) 2. 微分与导数:()()'()()'()f f x x f x f x x o x df f x dx =+-=+⇒=(1)可微⇔可导; (2)比较,f df ∆与"0"的大小比较(图示); 二. 求导准备:1. 基本初等函数求导公式; (注: (())'f x )2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数1'dx dy y = 三. 各类求导(方法步骤):1. 定义导: (1)'()f a 与'()x a f x =; (2)分段函数左右导; (3)0()()limh f x h f x h h→+--(注: 0()(),x x F x f x x x a ≠⎧=⎨=⎩, 求:0'(),'()f x f x 及'()f x 的连续性) 2. 初等导(公式加法则):(1)[()]u f g x =, 求:0'()u x (图形题); (2)()()xaF x f t dt =⎰, 求:'()F x (注: ((,))',((,))',(())'x b baaaf x t dt f x t dt f t dt ⎰⎰⎰)(3)0102(),()x x f x y x x f x <⎧=⎨≥⎩,求''00(),()f x f x -+及0'()f x (待定系数)3. 隐式((,)0f x y =)导: 22,dy d y dx dx (1)存在定理;(2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法.4. 参式导(数一,二): ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩, 求:22,dy d ydx dx 5. 高阶导()()n f x 公式:()()ax n n axe a e =; ()11!()()n n n b n a bx a bx +=--; ()(sin )sin()2n n ax a ax n π=+⨯; ()(cos )cos()2n n ax a ax n π=+⨯()()1(1)2(2)()'"n n n n n n uv u v C uv C u v --=+++注: ()(0)n f与泰勒展式: 2012()nn f x a a x a x a x =+++++()(0)!n n f a n ⇒=四. 各类应用:1. 斜率与切线(法线); (区别: ()y f x =上点0M 和过点0M 的切线)2. 物理: (相对)变化率-速度;3. 曲率(数一二):ρ=曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点0'()0f x =): (1) '()0()f x f x ≥⇒; '()0()f x f x ≤⇒;(2)分段函数的单调性(3)'()0f x >⇒零点唯一; "()0f x >⇒驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点:(1)表格('()f x 变号); (由0002'()'()''()lim0,lim 0,lim 00x x x x x x f x f x f x x x x x→→→≠≠≠⇒=的特点) (2)二阶导(0'()0f x =)注(1)f 与',"f f 的匹配('f 图形中包含的信息);(2)实例: 由'()()()()f x x f x g x λ+=确定点“0x x =”的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优) 3. 不等式证明(()0f x ≥)(1)区别: *单变量与双变量? *[,]x a b ∈与[,),(,)x a x ∈+∞∈-∞+∞? (2)类型: *'0,()0f f a ≥≥; *'0,()0f f b ≤≥*"0,(),()0f f a f b ≤≥; *00"()0,'()0,()0f x f x f x ≥=≥ (3)注意: 单调性⊕端点值⊕极值⊕凹凸性. (如: max ()()f x M f x M ≤⇔=) 4. 函数的零点个数: 单调⊕介值六. 凹凸与拐点(必求导!): 1. "y ⇒表格; (0"()0f x =)2. 应用: (1)泰勒估计; (2)'f 单调; (3)凹凸. 七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点) 1. 结论: ()()'()()0F b F a F f ξξ=⇒== 2. 辅助函数构造实例: (1)()f ξ⇒()()xaF x f t dt =⎰(2)'()()()'()0()()()f g f g F x f x g x ξξξξ+=⇒= (3)()'()()()'()0()()f x fg f g F x g x ξξξξ-=⇒= (4)'()()()0f f ξλξξ+=⇒()()()x dxF x e f x λ⎰=;3. ()()0()n ff x ξ=⇔有1n +个零点(1)()n f x -⇔有2个零点4. 特例: 证明()()n fa ξ=的常规方法:令()()()n F x f x P x =-有1n +个零点(()n P x 待定)5. 注: 含12,ξξ时,分家!(柯西定理)6. 附(达布定理): ()f x 在[,]a b 可导,['(),'()]c f a f b ∀∈,[,]a b ξ∃∈,使:'()f c ξ= 八. 拉格朗日中值定理1. 结论: ()()'()()f b f a f b a ξ-=-; (()(),'()0a b ϕϕξϕξ<⇒∃∍>)2. 估计:'()f f x ξ=九. 泰勒公式(连接,',"f f f 之间的桥梁) 1. 结论: 2300000011()()'()()"()()"'()()2!3!f x f x f x x x f x x x f x x ξ=+-+-+-; 2. 应用: 在已知()f a 或()f b 值时进行积分估计十. 积分中值定理(附:广义): [注:有定积分(不含变限)条件时使用] 第三讲: 一元积分学一. 基本概念: 1. 原函数()F x :(1)'()()F x f x =; (2)()()f x dx dF x =; (3)()()f x dx F x c =+⎰注(1)()()xaF x f t dt =⎰(连续不一定可导);(2)()()()()xx aax t f t dt f t dt f x -⇒⇒⎰⎰ (()f x 连续)2. 不定积分性质:(1)(())'()f x dx f x =⎰; (())()d f x dx f x dx =⎰(2)'()()f x dx f x c =+⎰; ()()df x f x c =+⎰二. 不定积分常规方法1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法: 拆(线性性)1212(()())()()k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎰⎰⎰3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活(221sin cos x x =+)如: 211(),,ln ,2dx dx d ax b xdx dx d x a x =+==2=(1ln )(ln )x dx d x x =+=4. 变量代换:(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换): 1sin ,,,x t t t t x====(2)作用与引伸(化简):x t =5. 分部积分(巧用):(1)含需求导的被积函数(如ln ,arctan ,()xax x f t dt ⎰);(2)“反对幂三指”: ,ln ,n ax nx e dx x xdx ⎰⎰(3)特别:()xf x dx ⎰ (*已知()f x 的原函数为()F x ; *已知'()()f x F x =)6. 特例: (1)11sin cos sin cos a x b x dx a x b x ++⎰; (2)(),()sin kx p x e dx p x axdx ⎰⎰快速法; (3)()()n v x dx u x ⎰ 三. 定积分:1. 概念性质:(1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续) (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)*2(0)8a a π>=⎰; *()02baa bx dx +-=⎰ (3)附:()()baf x dx M b a ≤-⎰,()()()bbaaf xg x dx M g x dx ≤⎰⎰)(4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重2: 变限积分()()xax f t dt Φ=⎰的处理(重点)(1)f 可积⇒Φ连续, f 连续⇒Φ可导 (2)(())'xaf t dt ⎰()f x =; (()())'()x xaax t f t dt f t dt -=⎰⎰;()()()xaf x dt x a f x =-⎰(3)由函数()()xaF x f t dt =⎰参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题3. N L -公式:()()()baf x dx F b F a =-⎰(()F x 在[,]a b 上必须连续!)注: (1)分段积分, 对称性(奇偶), 周期性 (2)有理式, 三角式, 根式 (3)含()baf t dt ⎰的方程.4. 变量代换: ()(())'()baf x dx f u t u t dt βα=⎰⎰(1)00()()()aa f x dx f a x dx x a t =-=-⎰⎰,(2)()()()[()()]aaaaaf x dx f x dx x t f x f x dx --=-=-=+-⎰⎰⎰ (如:4411sin dx x ππ-+⎰)(3)2201sin n n n n I xdx I nπ--==⎰,(4)2200(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰;20(sin )2(sin )f x dx f x dx ππ=⎰⎰,(5)(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰,5. 分部积分(1)准备时“凑常数” (2)已知'()f x 或()xaf x =⎰时, 求()baf x dx ⎰6. 附: 三角函数系的正交性: 22200sin cos sin cos 0nxdx nxdx nx mxdx πππ===⎰⎰⎰220sin sin cos cos ()0nx mxdx nx mxdx n m ππ=≠=⎰⎰22220sin cos nxdx nxdx πππ==⎰⎰四. 反常积分: 1. 类型: (1)(),(),()aa f x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰(()f x 连续)(2)()baf x dx ⎰: (()f x 在,,()x a x b x c a c b ===<<处为无穷间断)2. 敛散;3. 计算: 积分法⊕N L -公式⊕极限(可换元与分部)4. 特例: (1)11p dx x +∞⎰; (2)101p dx x⎰ 五. 应用: (柱体侧面积除外)1. 面积, (1)[()()];baS f x g x dx =-⎰(2)1()dcS f y dy -=⎰;(3)21()2S r d βαθθ=⎰; (4)侧面积:2(b a S f x π=⎰ 2. 体积: (1)22[()()]bx aV f x g x dx π=-⎰; (2)12[()]2()d by caV f y dy xf x dx ππ-==⎰⎰(3)0x x V =与0y y V =3. 弧长: ds =(1)(),[,]y f x x a b =∈ as =⎰(2)12(),[,]()x x t t t t y y t =⎧∈⎨=⎩ 21t t s =⎰(3)(),[,]r r θθαβ=∈:s βαθ=⎰4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,5. 平均值(中值定理): (1)1[,]()baf a b f x dx b a =-⎰;(2)0()[0)limx x f t dt f x→+∞+∞=⎰, (f 以T 为周期:0()Tf t dt fT=⎰)第四讲: 微分方程一. 基本概念1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件)2. 变换方程:(1)令()'""x x t y Dy =⇒=(如欧拉方程)(2)令(,)(,)'u u x y y y x u y =⇒=⇒(如伯努利方程) 3. 建立方程(应用题)的能力 二. 一阶方程:1. 形式: (1)'(,)y f x y =; (2)(,)(,)0M x y dx N x y dy +=; (3)()y a b =2. 变量分离型: '()()y f x g y =(1)解法:()()()()dyf x dx G y F x Cg y =⇒=+⎰⎰(2)“偏”微分方程:(,)zf x y x∂=∂; 3. 一阶线性(重点): '()()y p x y q x +=(1)解法(积分因子法): 00()01()[()()]()xx p x dxx x M x e y M x q x dx y M x ⎰=⇒=+⎰ (2)变化: '()()x p y x q y +=;(3)推广: 伯努利(数一) '()()y p x y q x y α+= 4. 齐次方程: '()y y x=Φ (1)解法: '(),()ydu dxu u xu u x u u x =⇒+=Φ=Φ-⎰⎰(2)特例:111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ 5. 全微分方程(数一): (,)(,)0M x y dx N x y dy +=且N Mx y∂∂=∂∂ dU Mdx Ndy U C =+⇒=6. 一阶差分方程(数三): 1*()()x x x x x n xx y ca y ay b p x y x Q x b+=⎧-=⇒⎨=⎩ 三. 二阶降阶方程1. "()y f x =: 12()y F x c x c =++2. "(,')y f x y =: 令'()"(,)dpy p x y f x p dx=⇒== 3. "(,')y f y y =: 令'()"(,)dpy p y y pf y p dy=⇒== 四. 高阶线性方程: ()"()'()()a x y b x y c x y f x ++= 1. 通解结构:(1)齐次解: 01122()()()y x c y x c y x =+(2)非齐次特解: 1122()()()*()y x c y x c y x y x =++ 2. 常系数方程: "'()ay by cy f x ++= (1)特征方程与特征根: 20a b c λλ++=(2)非齐次特解形式确定: 待定系数; (附: ()axf x ke =的算子法) (3)由已知解反求方程.3. 欧拉方程(数一): 2"'()ax y bxy cy f x ++=, 令2"(1),'tx e x y D D y xy Dy =⇒=-= 五. 应用(注意初始条件):1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积); 注: 切线和法线的截距2. 积分等式变方程(含变限积分); 可设()(),()0xaf x dx F x F a ==⎰3. 导数定义立方程: 含双变量条件()f x y +=的方程4. 变化率(速度)5. 22dv d x F ma dt dt === 6. 路径无关得方程(数一): Q Px y∂∂=∂∂ 7. 级数与方程:(1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解法:201201,(0),'(0)y a a x a x a y a y =+++==8. 弹性问题(数三)第五讲: 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (1)000000(,),(,),(,)x y f f x x y y f f x x y f f x y y ∆=++∆=+∆=+ (2)lim ,lim,lim y x x y f ff f f x y∆∆∆==∆∆ (3)22,lim()()x y f df f x f ydf x y ∆-++ (判别可微性)注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义: 00(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim,(0,0)lim x y x y f x f f y f f f x y→→--==2. 特例:(1)22(0,0)(,)0,(0,0)xyx y fx y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩: (0,0)点处可导不连续;(2)(0,0)(,)0,(0,0)f x y ≠==⎩: (0,0)点处连续可导不可微;二. 偏导数与全微分的计算:1. 显函数一,二阶偏导: (,)z f x y = 注: (1)yx 型; (2)00(,)xx y z ; (3)含变限积分2. 复合函数的一,二阶偏导(重点): [(,),(,)]z f u x y v x y =熟练掌握记号''"""12111222,,,,f f f f f 的准确使用3. 隐函数(由方程或方程组确定): (1)形式: *(,,)0F x y z =; *(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ (存在定理)(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性): 0x y z F dx F dy F dz ++= (要求: 二阶导) (3)注: 00(,)x y 与0z 的及时代入 (4)会变换方程. 三. 二元极值(定义?);1. 二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别)2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用)(1)目标函数与约束条件: (,)(,)0z f x y x y ϕ=⊕=, (或: 多条件) (2)求解步骤: (,,)(,)(,)L x y f x y x y λλϕ=+, 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值(重点).(1)(,){(,)(,)0}z f x y M D x y x y ϕ=⊕∈=≤ (2)实例: 距离问题四. 二重积分计算:1. 概念与性质(“积”前工作): (1)Dd σ⎰⎰,(2)对称性(熟练掌握): *D 域轴对称; *f 奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标; (3)“分块”积分: *12D D D =; *(,)f x y 分片定义; *(,)f x y 奇偶2. 计算(化二次积分):(1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“D ”为主; (2)交换积分次序(熟练掌握). 3. 极坐标使用(转换): 22()f x y +附: 222:()()D x a y b R -+-≤; 2222:1x y D a b+≤;双纽线222222()()x y a x y +=- :1D x y +≤ 4. 特例:(1)单变量: ()f x 或()f y (2)利用重心求积分: 要求: 题型12()Dk x k y dxdy +⎰⎰, 且已知D 的面积DS与重心(,)x y5. 无界域上的反常二重积分(数三) 五: 一类积分的应用(():;;;;f M d D L σΩ⇒ΩΩΓ∑⎰):1. “尺寸”: (1)D Dd Sσ⇔⎰⎰;(2)曲面面积(除柱体侧面);2. 质量, 重心(形心), 转动惯量;3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.第六讲: 无穷级数(数一,三)一. 级数概念1. 定义: (1){}n a , (2)12n n S a a a =+++; (3)lim n n S →∞(如1(1)!n nn ∞=+∑)注: (1)lim n n a →∞; (2)n q ∑(或1n a∑); (3)“伸缩”级数:1()n n a a +-∑收敛{}n a ⇔收敛. 2. 性质: (1)收敛的必要条件: lim 0n n a →∞=;(2)加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→; 二. 正项级数1. 正项级数: (1)定义: 0n a ≥; (2)特征: nS ; (3)收敛n S M ⇔≤(有界)2. 标准级数: (1)1p n ∑, (2)ln k n n α∑, (3)1ln k n n∑3. 审敛方法: (注:222ab a b ≤+,ln ln ba ab =)(1)比较法(原理):np ka n(估计), 如10()n f x dx ⎰; ()()P n Q n ∑(2)比值与根值: *1limn n nu u +→∞*n (应用: 幂级数收敛半径计算)三. 交错级数(含一般项):1(1)n n a +-∑(0n a >)1. “审”前考察: (1)0?n a > (2)0?n a →; (3)绝对(条件)收敛?注: 若1lim1n n na a ρ+→∞=>,则n u ∑发散2. 标准级数: (1)11(1)n n +-∑; (2)11(1)n p n +-∑; (3)11(1)ln n p n+-∑ 3. 莱布尼兹审敛法(收敛?) (1)前提:na∑发散; (2)条件: ,0nn a a →; (3)结论:1(1)n n a +-∑条件收敛.4. 补充方法:(1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→. 5. 注意事项: 对比 na∑;(1)n na-∑;na∑;2na∑之间的敛散关系四. 幂级数:1. 常见形式: (1)nna x∑, (2)()nna x x -∑, (3)20()nna x x -∑2. 阿贝尔定理:(1)结论: *x x =敛*0R x x ⇒≥-; *x x =散*0R x x ⇒≤- (2)注: 当*x x =条件收敛时*R x x ⇒=- 3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备) 注(1),n nn n a na x x n∑∑与n n a x ∑同收敛半径 (2)nna x∑与20()nna x x -∑之间的转换4. 幂级数展开法:(1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域) 23111,2!3!xe x x x R =++++Ω= 24111()1,22!4!x x e e x x R -+=+++Ω= 35111(),23!5!x x e e x x x R --=+++Ω= 3511sin ,3!5!x x x x R =-+-Ω= 2411cos 1,2!4!x x x R =-++Ω=;211,(1,1)1x x x x =+++∈--; 211,(1,1)1x x x x=-+-∈-+ 2311ln(1),(1,1]23x x x x x +=-+-∈-2311ln(1),[1,1)23x x x x x -=----∈-3511arctan ,[1,1]35x x x x x =-+-∈-(2)分解: ()()()f x g x h x =+(注:中心移动) (特别: 021,x x ax bx c=++) (3)考察导函数: ()'()g x f x 0()()(0)xf xg x dx f ⇒=+⎰(4)考察原函数: 0()()xg x f x dx ⎰()'()f x g x ⇒=5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换): (1)(),S x =+∑∑(2)'()S x =,(注意首项变化)(3)()()'S x =∑,(4)()"()"S x S x ⇒的微分方程 (5)应用:()(1)n nn n aa x S x a S ⇒=⇒=∑∑∑.6. 方程的幂级数解法7. 经济应用(数三):(1)复利: (1)nA p +; (2)现值: (1)nA p -+五. 傅里叶级数(数一): (2T π=)1. 傅氏级数(三角级数): 01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑ 2. Dirichlet 充分条件(收敛定理): (1)由()()f x S x ⇒(和函数) (2)1()[()()]2S x f x f x =-++ 3. 系数公式: 01()cos 1(),,1,2,3,1()sin n n a f x nxdx a f x dx n b f x nxdx πππππππππ---⎧=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩⎰⎰⎰4. 题型: (注: ()(),?f x S x x =∈) (1)2T π=且(),(,]f x x ππ=∈-(分段表示)(2)(,]x ππ∈-或[0,2]x π∈ (3)[0,]x π∈正弦或余弦 *(4)[0,]x π∈(T π=) *5. 2T l =6. 附产品: ()f x ⇒01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑ 00001()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞=⇒=++∑001[()()]2f x f x =-++第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一)一. 向量基本运算1. 12k a k b +; (平行b a λ⇔=)2. a ; (单位向量(方向余弦) 01(cos ,cos ,cos )a a aαβγ=)3. a b ⋅; (投影:()a a b b a⋅=; 垂直:0a b a b ⊥⇔⋅=; 夹角:(,)a b a b a b⋅=)4. a b ⨯; (法向:,n a b a b =⨯⊥; 面积:S a b =⨯) 二. 平面与直线1.平面∏(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z n A B C ⊕=(2)方程(点法式): 000:()()()00A x x B y y C z z Ax By Cz D π-+-+-=⇒+++= (3)其它: *截距式1x y za b c++=; *三点式2.直线L(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z s m n p ⊕= (2)方程(点向式): 000:x x y y z z L m n p---== (3)一般方程(交面式): 111122220A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩(4)其它: *二点式; *参数式;(附: 线段AB 的参数表示:121121121()(),[0,1]()x a a a t y b b b t t z c c c t=+-⎧⎪=+-∈⎨⎪=+-⎩)3. 实用方法:(1)平面束方程: 11112222:()0A x B y C z D A x B y C z D πλ+++++++= (2)距离公式: 如点000(,)M x y到平面的距离d =(3)对称问题;(4)投影问题.三. 曲面与空间曲线(准备) 1. 曲面(1)形式∑: (,,)0F x y z = 或(,)z f x y =; (注: 柱面(,)0f x y =) (2)法向(,,)(cos ,cos ,cos )x y z n F F F αβγ=⇒ (或(,1)x y n z z =--)2. 曲线(1)形式():()()x x t y y t z z t =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩, 或(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩;(2)切向: {'(),'(),'()}s x t y t z t = (或12s n n =⨯)3. 应用(1)交线, 投影柱面与投影曲线;(2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转;(3)锥面计算.四. 常用二次曲面1. 圆柱面: 222x y R += 2. 球面: 2222x y z R ++=变形: 2222x y R z +=-,z =,2222x y z az ++=, 2222000()()()x x y y z z R -+-+-=3. 锥面: z =变形: 222x y z +=, z a = 4. 抛物面: 22z x y =+,变形: 22x y z +=, 22()z a x y =-+ 5. 双曲面: 2221x y z +=± 6. 马鞍面: 22z x y =-, 或z xy =五. 偏导几何应用 1. 曲面(1)法向: (,,)0(,,)x y z F x y z n F F F =⇒=, 注: (,)(,1)x y z f x y n f f =⇒=- (2)切平面与法线:2. 曲线(1)切向: (),(),()(',',')x x t y y t z z t s x y z ===⇒= (2)切线与法平面3. 综合: :Γ00F G =⎧⎨=⎩, 12s n n =⨯六. 方向导与梯度(重点) 1. 方向导(l 方向斜率):(1)定义(条件): (,,)(cos ,cos ,cos )l m n p αβγ=⇒ (2)计算(充分条件:可微):cos cos cos x y z uu u u lαβγ∂=++∂ 附: 0(,),{cos ,sin }z f x y l θθ==cos sin x y zf f lθθ∂⇒=+∂ (3)附: 2222cos 2sin cos sin xx xy yy f f f f lθθθθ∂=++∂2. 梯度(取得最大斜率值的方向) G :(1)计算:()(,)(,)x y a z f x y G gradz f f =⇒==; ()(,,)(,,)x y z b u f x y z G gradu u u u =⇒== (2)结论 ()a ul∂∂0G l =⋅; ()b 取l G =为最大变化率方向; ()c 0()G M 为最大方向导数值.第八讲: 三重积分与线面积分(数一)一. 三重积分(fdV Ω⎰⎰⎰)1. Ω域的特征(不涉及复杂空间域):(1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心 (2)投影法: 22212{(,)}(,)(,)xy D x y x y R z x y z z x y =+≤⊕≤≤ (3)截面法: 222(){(,)()}D z x y x y R z a z b =+≤⊕≤≤ (4)其它: 长方体, 四面体, 椭球 2. f 的特征:(1)单变量()f z , (2)22()f x y +, (3)222()f x y z ++, (4)f ax by cz d =+++ 3. 选择最适合方法: (1)“积”前: *dv Ω⎰⎰⎰; *利用对称性(重点)(2)截面法(旋转体): ()baD z I dz fdxdy =⎰⎰⎰(细腰或中空, ()f z , 22()f x y +)(3)投影法(直柱体): 21(,)(,)xyz x y z x y D I dxdy fdz =⎰⎰⎰(4)球坐标(球或锥体): 220sin ()RI d d f d παθϕϕρρ=⋅⋅⋅⎰⎰⎰,(5)重心法(f ax by cz d =+++): ()I ax by cz d V Ω=+++ 4. 应用问题:(1)同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力 (2)Gauss 公式二. 第一类线积分(Lfds ⎰)1. “积”前准备:(1)Lds L =⎰; (2)对称性; (3)代入“L ”表达式2. 计算公式:()[,]((),(()b aLx x t t a b fds f x t y t y y t =⎧∈⇒=⎨=⎩⎰⎰3. 补充说明: (1)重心法:()()Lax by c ds ax by c L ++=++⎰;(2)与第二类互换: LLA ds A dr τ⋅=⋅⎰⎰4. 应用范围(1)第一类积分 (2)柱体侧面积 (),Lz x y ds ⎰三. 第一类面积分(fdS ∑⎰⎰)1. “积”前工作(重点): (1)dS ∑=∑⎰⎰; (代入:(,,)0F x y z ∑=)(2)对称性(如: 字母轮换, 重心) (3)分片 2. 计算公式:(1)(,),(,)(,,(,xyxy D z z x y x y D I f x y z x y =∈⇒=⎰⎰(2)与第二类互换:A ndS A d S ∑∑⋅=⋅⎰⎰⎰⎰四: 第二类曲线积分(1):(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰ (其中L 有向)1. 直接计算: ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩,2112:['()'()]t t t t t I Px t Qy t dt →⇒=+⎰常见(1)水平线与垂直线; (2)221x y += 2. Green 公式: (1)()LDQ PPdx Qdy dxdy x y∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰; (2)()L A B →⎰: *P Q y y ∂∂=⇒∂∂换路径; *P Q y y∂∂≠⇒∂∂围路径(3)L⎰(x y Q P =但D 内有奇点)*LL =⎰⎰(变形)3. 推广(路径无关性):P Q y y∂∂=∂∂ (1)Pdx Qdy du +=(微分方程)()BA L AB u →⇔=⎰(道路变形原理)(2)(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关(f 待定): 微分方程.4. 应用功(环流量):I F dr Γ=⋅⎰(Γ有向τ,(,,)F P Q R =,(,,)d r ds dx dy dz τ==)五. 第二类曲面积分: 1. 定义: Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰, 或(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰ (其中∑含侧)2. 计算:(1)定向投影(单项):(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰, 其中:(,)z z x y ∑=(特别:水平面);注: 垂直侧面, 双层分隔(2)合一投影(多项,单层): (,,1)x y n z z =-- [()()]xyPdydz Qdzdx Rdxdy P z Q z R dxdy ∑∑⇒++=-+-+⎰⎰⎰⎰(3)化第一类(∑不投影): (cos ,cos ,cos )n αβγ= (cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑∑⇒++=++⎰⎰⎰⎰3. Gauss 公式及其应用: (1)散度计算: P Q R divA x y z∂∂∂=++∂∂∂ (2)Gauss 公式: ∑封闭外侧, Ω内无奇点Pdydz Qdzdx Rdxdy divAdv ∑Ω++=⎰⎰⎰⎰⎰(3)注: *补充“盖”平面:0∑∑+⎰⎰⎰⎰; *封闭曲面变形∑⎰⎰(含奇点)4. 通量与积分: A d S ∑Φ=⋅⎰⎰ (∑有向n ,(),,A P Q R =,(,,)d S ndS dydz dzdx dxdy ==)六: 第二类曲线积分(2):(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ++⎰1. 参数式曲线Γ: 直接计算(代入)注(1)当0rot A =时, 可任选路径; (2)功(环流量):I F dr Γ=⋅⎰2. Stokes 公式: (要求: Γ为交面式(有向), 所张曲面∑含侧) (1)旋度计算: (,,)(,,)R A P Q R x y z∂∂∂=∇⨯=⨯∂∂∂ (2)交面式(一般含平面)封闭曲线: 0F G =⎧⇒⎨=⎩同侧法向{,,}x y z n F F F =或{,,}x y z G G G ;(3)Stokes 公式(选择): ()A dr A ndS Γ∑⋅=∇⨯⋅⎰⎰⎰(a )化为Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰; (b )化为(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰; (c )化为fdS ∑⎰⎰高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(xa y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。
考研基础阶段数学高数复习要点
考研基础阶段数学高数复习要点考研基础阶段数学高数复习内容一、考研高等数学复习目标及资料选择数学备考一定要有一个复习时间表，也就是要有一个周密可行的计划。
按照计划，循序渐进，切忌搞突击，临时抱佛脚。
高数这门课在数学一和数学三中占56%，在数学二中比例高达78%，因此高数在考研中的重要性是不言而喻的，那么在现阶阶段我们又该做些什么呢?廖老师建议大家在现阶段复习高数的重点集中在函数、极限和连续这两个模块。
高等数学部分的主体由函数、极限和连续、一元函数的微积分、多元函数的微积分、微分方程和级数五大模块构成(数学一、二、三在各个模块的要求有一定差异)，从历年的试题中，高等数学的考查重点和难点更多的集中在前两个模块，他们既是考试的重点，也是学好后面模块的基础。
此外，廖老师建议这一阶段复习以教材为主，数学一、二的考生建议使用同济版高等数学、数学三同学推荐赵树��的《微积分》(第3版)，中国人民大学出版社。
当教材习题对你而言没有太大困难的时候，可以参考一本基础阶段的考研辅导讲义，比较推荐的是国家行政学院出版社出版的，李永乐的复习全书，或北京理工大学出版社出版，张宇、蔡燧林主编的辅导讲义。
二、理解概念掌握定理数学中有很多概念。
概念反映的是事物的本质,弄清楚了它是如何定义的、有什么性质，才能真正地理解一个概念。
所有的问题都在理解的基础上才能做好。
这里廖老师提出几个易混淆的概念，建议同学们在复习的时候要特别注意：连续，可导，存在原函数，可积，可微，偏导数存在他们之间的关系式怎么样的?存在极限，导函数连续，左连续，右连续，左极限，右极限，左导数，右导数，导函数的左极限，导函数的右极限。
定理是一个正确的命题，分为条件和结论两部分。
对于定理除了要掌握它的条件和结论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。
如罗尔定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续(其中a不等于b)，在开区间 (a,b)上可导，且f(a)=f(b)，那么至少存在一点ξ∈(a、b)，使得f'(ξ)=0。
(完整版)高数上册知识点
高等数学上册知识点第一章 函数与极限、、、函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数在连续)(x f 0x )()(lim 00x f x f x x =→第一类：左右极限均存在。
间断点 可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
、、、极限1、定义1、数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2、函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00、、、左极限： 右极限：)(lim )(00x f x f xx -→-=)(lim )(00x f x f xx +→+=)()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 、、2、极限存在准则1、夹逼准则：1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim ax n n =∞→lim 2、单调有界准则：单调有界数列必有极限。
3、无穷小（大）量1、定义：若则称为无穷小量；若则称为无穷大量。
0lim =α∞=αlim2、无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小k Th1;)(~ααββαo +=⇔Th2 （无穷小代换）αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~、、、、4、求极限的方法1、单调有界准则；2、夹逼准则；3、极限运算准则及函数连续性；4、两个重要极限：a) b)1sin lim 0=→xxx e xx xx xx =+=++∞→→11(lim )1(lim 105、无穷小代换：（）0→x a)xx x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b)221~cos 1x x -c)（）x e x ~1-a x axln ~1-d)（）x x ~)1ln(+axx a ln ~)1(log +e)xx αα~1)1(-+第二章 导数与微分、、、导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数在点可导)(x f 0x )()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：为曲线在点处的切线的斜率。
考研数学高数公式：函数与极限解读
考研数学高数公式:函数与极限第一章:函数与极限第一节:函数函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。
基础阶段:1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系;2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式;3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质;4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题;强化阶段:1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示;2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。
冲刺阶段:1.综合应用函数解决相关的问题;2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。
第二节:极限极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。
在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。
虽在考试中站的分值不大。
但是在其他的试题中得到广泛应用。
因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果基础阶段1.了解极限的概念及其主要的性质。
2.会计算一些简单的极限。
3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。
强化阶段:1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列极限和函数极限的概念(数三;▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式;3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数;4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。
冲刺阶段:深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。
高等数学(数三)知识重点及复习计划
高等数学（数三）复习知识点及作业按照同济大学高等数学第六版制定10.2 重点二重积分的计算法（会利用直角坐标计算二重积分，会利用极坐标计算二重积分），习题10－2：1，2， 4，6，7，8，11，12，13，14，152.掌握二重积分的计算方法（直角坐标．极坐标）．3.了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．10.3 注：本节数学三不考10.4 注：本节数学三不考总复习题十： 2.3.4.5.6.第十一章曲线积分与曲面积分注：本章数学三不考第十二章无穷级数（时间1周，每天2-3小时）12.1 常数项级数的概念和性质（常数项级数的概念，收敛级数的基本性质）习题12－1：1-4注：P254 柯西审敛原理不考1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.2．掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件.3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法.4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法.5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系.6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.7．理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.12.2 常数项级数的审敛法（正项级数及其审敛法，交错级数及其审敛法，绝对收敛与条件收敛）习题12－2：1-5注：P265 绝对收敛级数的性质不考12.3 重点幂级数（幂级数及其收敛性，幂级数的运算）习题12－3：1.2.12.4 函数展开成幂级数习题12-4:1.2.3.4.5.6.7总习题十二：1-10。
专升本高数一、二、三有什么区别2024
引言：专升本高数是许多考生在职业发展中选择的一种途径。
在专升本高数中，高数一、二、三是必修课程，这三门课程有着一定的区别。
本文将从课程设置、知识点难度、应用方向、教学方法、考试形式等方面进行阐述，以帮助考生更好地理解三门课程的区别并为自己的学习做出合理的安排。
概述：专升本高数一、二、三分别是专升本阶段的数学基础课程，这三门课程在课程设置、知识点难度、应用方向、教学方法、考试形式等方面都存在一定的差异。
深入了解这些差异对于考生们合理安排学习、提高学习效果非常重要。
正文内容：1. 课程设置1.1 高数一：高数一是专升本高数的第一门课程，主要包括数列与极限、函数与连续、导数与微分等内容。
1.2 高数二：高数二是专升本高数的第二门课程，主要包括定积分及其应用、不定积分及其应用、微分方程等内容。
1.3 高数三：高数三是专升本高数的第三门课程，主要包括级数与幂级数、多元函数微分学、重积分及其应用等内容。
2. 知识点难度2.1 高数一：高数一的知识点难度相对较低，主要是基础概念与基本运算的学习与掌握。
2.2 高数二：高数二的知识点难度比高数一有所提高，需要对定积分、不定积分等概念进行深入理解与应用。
2.3 高数三：高数三的知识点难度相对较高，涉及到多元函数、重积分等概念的理解与应用。
3. 应用方向3.1 高数一：高数一主要是作为后续课程的基础，为进一步学习数学专业课程打下坚实基础。
3.2 高数二：高数二的应用方向主要是与实际问题的建模及求解相关，如物理、经济等领域。
3.3 高数三：高数三主要是为一些应用数学课程，如数学物理方法、概率论与数理统计等提供支持。
4. 教学方法4.1 高数一：高数一注重基础概念与基本运算的讲解与掌握，常采用理论与实践相结合的教学方法。
4.2 高数二：高数二在教学中注重实际问题的演示与解决，常采用案例分析与讨论的教学方法。
4.3 高数三：高数三在教学中注重知识与应用的结合，常运用实例讲解与练习的教学方法。
2021考研数学高数必考的4个定理证明
2021考研数学高数必考的4个定理证明来源：文都图书高数是考研数学考察的重要科目，也是比较难的一门，其中有4个定理是高数的高频考点，我们一起来学习一下该如何运用这几个定理。
一、微分公式的证明2021年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。
几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的较为陌生。
实际上，从授课的角度，这种在2021年前从未考过的基本公式的证明，一般只会在基础阶段讲到。
如果这个阶段的考生带着急功近利的心态只关注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可能从未认真思考过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。
这里给2021考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习，那些真题中未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。
当然，该公式的证明并不难。
先考量f(x)*g(x)在点x0处的导数。
函数在一点的导数自然用导数定义实地考察，可以按照导数定义写下一个音速式子。
该音速为“0分之0”型，但无法用洛必达法则，因为分子的导数不好算是(乘积的导数公式恰好就是要证的，无法用!)。
利用数学上常用的堆砌之法，提一项，减至一项。
这个“无中生有”的项要和前后都存有联系，易于加公因子。
之后分子的四项两两接合，除以分母后考量音速，不难得出结论结果。
再由x0的任意性，便获得了f(x)*g(x)在任一点的导数公式。
类似可考虑f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的导数公式的证明。
二、微分中值定理的证明这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。
除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。
费马定理的条件存有两个：1.f'(x0)存有2.f(x0)为f(x)的极值，结论为f'(x0)=0。
考量函数在一点的导数，用什么方法?自然想起导数定义。
我们可以按照导数定义写下f'(x0)的音速形式。
往下如何推理小说?关键必须看看第二个条件怎么用。
大学高数全册知识点整理
大学高等数学知识点整理一 . 数列函数 :1. 类型 :(1) 数列 : * ; *(2) 初等函数 :(3) 分段函数 : * ; * ;*(4) 复合 ( 含) 函数 :(5) 隐式 ( 方程 ):(6) 参式 ( 数一 , 二 ):(7) 变限积分函数 :(8) 级数和函数 ( 数一 , 三 ):2. 特征 ( 几何 ):(1) 单调性与有界性 ( 判别 ); ( 单调定号 )(2) 奇偶性与周期性 ( 应用 ).3. 反函数与直接函数 :二 . 极限性质 :1. 类型 : * ; * ( 含); * ( 含)2. 无穷小与无穷大 ( 注 : 无穷量 ):3. 未定型 :4. 性质 : * 有界性 , * 保号性 , * 归并性三 . 常用结论 :, , ,, , , ,,四 . 必备公式 :1. 等价无穷小 : 当时 ,; ; ;; ; ;;2. 泰勒公式 :(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) .五 . 常规方法 :前提 : (1) 准确判断( 其它如 : ); (2) 变量代换 ( 如 : )1. 抓大弃小,2. 无穷小与有界量乘积 ( ) ( 注 : )3. 处理 ( 其它如 : )4. 左右极限 ( 包括):(1) ; (2) ; ; (3) 分段函数 : , ,5. 无穷小等价替换 ( 因式中的无穷小 )( 注 : 非零因子 )6. 洛必达法则(1) 先” 处理”, 后法则 ( 最后方法 ); ( 注意对比 : 与)(2) 幂指型处理 : ( 如 : )(3) 含变限积分 ;(4) 不能用与不便用7. 泰勒公式 ( 皮亚诺余项 ): 处理和式中的无穷小8. 极限函数 : ( 分段函数 )六 . 非常手段1. 收敛准则 :(1)(2) 双边夹 : * , *(3) 单边挤 : * * *2. 导数定义 ( 洛必达 ?):3. 积分和 : ,4. 中值定理 :5. 级数和 ( 数一三 ):(1) 收敛, ( 如) (2) ,(3) 与同敛散七 . 常见应用 :1. 无穷小比较 ( 等价 , 阶 ): *(1)(2)2. 渐近线 ( 含斜 ):(1)(2) ,( )3. 连续性 : (1) 间断点判别 ( 个数 ); (2) 分段函数连续性 ( 附 : 极限函数 , 连续性 )八 . 上连续函数性质1. 连通性 : ( 注 : , “ 平均” 值 :)2. 介值定理 : ( 附 : 达布定理 )(1) 零点存在定理 : ( 根的个数 );(2) .第二讲 : 导数及应用 ( 一元 )( 含中值定理 )一 . 基本概念 :1. 差商与导数 : ;(1) ( 注 : 连续 ) )(2) 左右导 : ;(3) 可导与连续 ; ( 在处 , 连续不可导 ; 可导 )2. 微分与导数 :(1) 可微可导 ; (2) 比较与的大小比较 ( 图示 );二 . 求导准备 :1. 基本初等函数求导公式 ; ( 注 : )2. 法则 : (1) 四则运算 ; (2) 复合法则 ; (3) 反函数三 . 各类求导 ( 方法步骤 ):1. 定义导 : (1) 与; (2) 分段函数左右导 ; (3)( 注 : , 求 : 及的连续性 )2. 初等导 ( 公式加法则 ):(1) , 求 : ( 图形题 );(2) , 求 : ( 注 : )(3) , 求及 ( 待定系数 )3. 隐式 ( ) 导 :(1) 存在定理 ;(2) 微分法 ( 一阶微分的形式不变性 ).(3) 对数求导法 .4. 参式导 ( 数一 , 二 ) : , 求 :5. 高阶导公式 :; ;;注 : 与泰勒展式 :四 . 各类应用 :1. 斜率与切线 ( 法线 ); ( 区别 : 上点和过点的切线 )2. 物理 : ( 相对 ) 变化率速度 ;3. 曲率 ( 数一二 ): ( 曲率半径 , 曲率中心 , 曲率圆 )4. 边际与弹性 ( 数三 ) : ( 附 : 需求 , 收益 , 成本 , 利润 )五 . 单调性与极值 ( 必求导 )1. 判别 ( 驻点):(1) ; ;(2) 分段函数的单调性(3) 零点唯一 ; 驻点唯一 ( 必为极值 , 最值 ).2. 极值点 :(1) 表格 ( 变号 ); ( 由的特点 )(2) 二阶导 ( )注 (1) 与的匹配 ( 图形中包含的信息 );(2) 实例 : 由确定点“ ” 的特点 .(3) 闭域上最值 ( 应用例 : 与定积分几何应用相结合 , 求最优 )3. 不等式证明 ( )(1) 区别 : * 单变量与双变量 ? * 与?(2) 类型 : * ; ** ; *(3) 注意 : 单调性端点值极值凹凸性 . ( 如 : )4. 函数的零点个数 : 单调介值六 . 凹凸与拐点 ( 必求导 !):1. 表格 ; ( )2. 应用 : (1) 泰勒估计 ; (2) 单调 ; (3) 凹凸 .七 . 罗尔定理与辅助函数 : ( 注 : 最值点必为驻点 )1. 结论 :2. 辅助函数构造实例 :(1)(2)(3)(4) ;3. 有个零点有个零点4. 特例 : 证明的常规方法 : 令有个零点 ( 待定 )5. 注 : 含时 , 分家 !( 柯西定理 )6. 附 ( 达布定理 ): 在可导 , , , 使 :八 . 拉格朗日中值定理1. 结论 : ; ( )2. 估计 :九 . 泰勒公式 ( 连接之间的桥梁 )1. 结论 : ;2. 应用 : 在已知或值时进行积分估计十 . 积分中值定理 ( 附 : 广义 ): [ 注 : 有定积分 ( 不含变限 ) 条件时使用 ]第三讲 : 一元积分学一 . 基本概念 :1. 原函数:(1) ; (2) ; (3)注 (1) ( 连续不一定可导 );(2) ( 连续 )2. 不定积分性质 :(1) ;(2) ;二 . 不定积分常规方法1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法 : 拆 ( 线性性 )3. 凑微法 ( 基础 ): 要求巧 , 简 , 活 ( )如 :4. 变量代换 :(1) 常用 ( 三角代换 , 根式代换 , 倒代换 ):(2) 作用与引伸 ( 化简 ):5. 分部积分 ( 巧用 ):(1) 含需求导的被积函数 ( 如);(2)“ 反对幂三指”:(3) 特别 : (* 已知的原函数为; * 已知)6. 特例 : (1) ; (2) 快速法 ; (3)三 . 定积分 :1. 概念性质 :(1) 积分和式 ( 可积的必要条件 : 有界 , 充分条件 : 连续 )(2) 几何意义 ( 面积 , 对称性 , 周期性 , 积分中值 )* ; *(3) 附 : , )(4) 定积分与变限积分 , 反常积分的区别联系与侧重2: 变限积分的处理 ( 重点 )(1) 可积连续 , 连续可导(2) ; ;(3) 由函数参与的求导 , 极限 , 极值 , 积分 ( 方程 ) 问题3. 公式 : ( 在上必须连续 !)注 : (1) 分段积分 , 对称性 ( 奇偶 ), 周期性(2) 有理式 , 三角式 , 根式(3) 含的方程 .4. 变量代换 :(1) ,(2) ( 如 : )(3) ,(4) ; ,(5) ,5. 分部积分(1) 准备时“ 凑常数”(2) 已知或时 , 求6. 附 : 三角函数系的正交性 :四 . 反常积分 :1. 类型 : (1) ( 连续 )(2) : ( 在处为无穷间断 )2. 敛散 ;3. 计算 : 积分法公式极限 ( 可换元与分部 )4. 特例 : (1) ; (2)五 . 应用 : ( 柱体侧面积除外 )1. 面积 ,(1) (2) ;(3) ; (4) 侧面积 :2. 体积 :(1) ; (2)(3) 与3. 弧长 :(1)(2)(3) :4. 物理 ( 数一 , 二 ) 功 , 引力 , 水压力 , 质心 ,5. 平均值 ( 中值定理 ):(1) ;(2) , ( 以为周期 : ) 第四讲 : 微分方程一 . 基本概念1. 常识 : 通解 , 初值问题与特解 ( 注 : 应用题中的隐含条件 )2. 变换方程 :(1) 令( 如欧拉方程 )(2) 令( 如伯努利方程 )3. 建立方程 ( 应用题 ) 的能力二 . 一阶方程 :1. 形式 : (1) ; (2) ; (3)2. 变量分离型 :(1) 解法 :(2)“ 偏” 微分方程 : ;3. 一阶线性 ( 重点 ):(1) 解法 ( 积分因子法 ):(2) 变化 : ;(3) 推广 : 伯努利 ( 数一 )4. 齐次方程 :(1) 解法 :(2) 特例 :5. 全微分方程 ( 数一 ): 且6. 一阶差分方程 ( 数三 ):三 . 二阶降阶方程1. :2. : 令3. : 令四 . 高阶线性方程 :1. 通解结构 :(1) 齐次解 :(2) 非齐次特解 :2. 常系数方程 :(1) 特征方程与特征根 :(2) 非齐次特解形式确定 : 待定系数 ; ( 附 : 的算子法 )(3) 由已知解反求方程 .3. 欧拉方程 ( 数一 ): , 令五 . 应用 ( 注意初始条件 ):1. 几何应用 ( 斜率 , 弧长 , 曲率 , 面积 , 体积 );注 : 切线和法线的截距2. 积分等式变方程 ( 含变限积分 );可设3. 导数定义立方程 :含双变量条件的方程4. 变化率 ( 速度 )5.6. 路径无关得方程 ( 数一 ):7. 级数与方程 :(1) 幂级数求和 ; (2) 方程的幂级数解法 :8. 弹性问题 ( 数三 )第五讲 : 多元微分与二重积分一 . 二元微分学概念1. 极限 , 连续 , 单变量连续 , 偏导 , 全微分 , 偏导连续 ( 必要条件与充分条件 ),(1)(2)(3) ( 判别可微性 )注 : 点处的偏导数与全微分的极限定义 :2. 特例 :(1) : 点处可导不连续 ;(2) : 点处连续可导不可微 ;二 . 偏导数与全微分的计算 :1. 显函数一 , 二阶偏导 :注 : (1) 型 ; (2) ; (3) 含变限积分2. 复合函数的一 , 二阶偏导 ( 重点 ):熟练掌握记号的准确使用3. 隐函数 ( 由方程或方程组确定 ):(1) 形式 : * ; * ( 存在定理 )(2) 微分法 ( 熟练掌握一阶微分的形式不变性 ): ( 要求 : 二阶导 )(3) 注 : 与的及时代入(4) 会变换方程 .三 . 二元极值 ( 定义 ?);1. 二元极值 ( 显式或隐式 ):(1) 必要条件 ( 驻点 );(2) 充分条件 ( 判别 )2. 条件极值 ( 拉格朗日乘数法 ) ( 注 : 应用 )(1) 目标函数与约束条件 : , ( 或 : 多条件 )(2) 求解步骤 : , 求驻点即可 .3. 有界闭域上最值 ( 重点 ).(1)(2) 实例 : 距离问题四 . 二重积分计算 :1. 概念与性质(“ 积” 前工作 ):(1) ,(2) 对称性 ( 熟练掌握 ): * 域轴对称 ; * 奇偶对称 ; * 字母轮换对称 ; * 重心坐标 ;(3)“ 分块” 积分 : * ; * 分片定义 ; * 奇偶2. 计算 ( 化二次积分 ):(1) 直角坐标与极坐标选择 ( 转换 ): 以“ ” 为主 ;(2) 交换积分次序 ( 熟练掌握 ).3. 极坐标使用 ( 转换 ):附 : ; ;双纽线4. 特例 :(1) 单变量 : 或(2) 利用重心求积分 : 要求 : 题型, 且已知的面积与重心5. 无界域上的反常二重积分 ( 数三 )五 : 一类积分的应用 ( ):1. “ 尺寸”: (1) ; (2) 曲面面积 ( 除柱体侧面 );2. 质量 , 重心 ( 形心 ), 转动惯量 ;3. 为三重积分 , 格林公式 , 曲面投影作准备 .第六讲 : 无穷级数 ( 数一 , 三 )一 . 级数概念1. 定义 : (1) , (2) ; (3) ( 如)注 : (1) ; (2) ( 或); (3)“ 伸缩” 级数 : 收敛收敛 .2. 性质 : (1) 收敛的必要条件 : ;(2) 加括号后发散 , 则原级数必发散 ( 交错级数的讨论 );(3) ;二 . 正项级数1. 正项级数 : (1) 定义 : ; (2) 特征 : ; (3) 收敛( 有界 )2. 标准级数 : (1) , (2) , (3)3. 审敛方法 : ( 注 : , )(1) 比较法 ( 原理 ): ( 估计 ), 如;(2) 比值与根值 : * * ( 应用 : 幂级数收敛半径计算 )三 . 交错级数 ( 含一般项 ): ( )1. “ 审” 前考察 : (1) (2) ; (3) 绝对 ( 条件 ) 收敛 ?注 : 若, 则发散2. 标准级数 : (1) ; (2) ; (3)3. 莱布尼兹审敛法 ( 收敛 ?)(1) 前提 : 发散 ; (2) 条件 : ; (3) 结论 : 条件收敛 .4. 补充方法 :(1) 加括号后发散 , 则原级数必发散 ; (2) .5. 注意事项 : 对比; ; ; 之间的敛散关系四 . 幂级数 :1. 常见形式 :(1) , (2) , (3)2. 阿贝尔定理 :(1) 结论 : 敛; 散(2) 注 : 当条件收敛时3. 收敛半径 , 区间 , 收敛域 ( 求和前的准备 )注 (1) 与同收敛半径(2) 与之间的转换4. 幂级数展开法 :(1) 前提 : 熟记公式 ( 双向 , 标明敛域 );;(2) 分解 : ( 注 : 中心移动 ) ( 特别 : )(3) 考察导函数 :(4) 考察原函数 :5. 幂级数求和法 ( 注 : * 先求收敛域 , * 变量替换 ):(1)(2) ,( 注意首项变化 )(3) ,(4) 的微分方程(5) 应用 : .6. 方程的幂级数解法7. 经济应用 ( 数三 ):(1) 复利 : ; (2) 现值 :五 . 傅里叶级数 ( 数一 ): ( )1. 傅氏级数 ( 三角级数 ):2. 充分条件 ( 收敛定理 ):(1) 由( 和函数 )(2)3. 系数公式 :4. 题型 : ( 注 : )(1) 且( 分段表示 )(2) 或(3) 正弦或余弦*(4) ( )*5.6. 附产品 :第七讲 : 向量 , 偏导应用与方向导 ( 数一 )一 . 向量基本运算1. ; ( 平行)2. ; ( 单位向量 ( 方向余弦 ) )3. ; ( 投影 : ; 垂直 : ; 夹角 : )4. ; ( 法向 : ; 面积 : )二 . 平面与直线1. 平面(1) 特征 ( 基本量 ):(2) 方程 ( 点法式 ):(3) 其它 : * 截距式; * 三点式2. 直线(1) 特征 ( 基本量 ):(2) 方程 ( 点向式 ):(3) 一般方程 ( 交面式 ):(4) 其它 : * 二点式 ; * 参数式 ;( 附 : 线段的参数表示 :)3. 实用方法 :(1) 平面束方程 :(2) 距离公式 : 如点到平面的距离(3) 对称问题 ;(4) 投影问题 .三 . 曲面与空间曲线 ( 准备 )1. 曲面(1) 形式: 或; ( 注 : 柱面)(2) 法向( 或) 2. 曲线(1) 形式, 或;(2) 切向 : ( 或)3. 应用(1) 交线 , 投影柱面与投影曲线 ;(2) 旋转面计算 : 参式曲线绕坐标轴旋转 ;(3) 锥面计算 .四 . 常用二次曲面1. 圆柱面 :2. 球面 :变形 : , ,,3. 锥面 :变形 : ,4. 抛物面 : ,变形 : ,5. 双曲面 :6. 马鞍面 : , 或五 . 偏导几何应用1. 曲面(1) 法向 : , 注 :(2) 切平面与法线 :2. 曲线(1) 切向 :(2) 切线与法平面3. 综合 : ,六 . 方向导与梯度 ( 重点 )1. 方向导 ( 方向斜率 ):(1) 定义 ( 条件 ):(2) 计算 ( 充分条件 : 可微 ):附 :(3) 附 :2. 梯度 ( 取得最大斜率值的方向 ) :(1) 计算 :;(2) 结论;取为最大变化率方向 ;为最大方向导数值 .第八讲 : 三重积分与线面积分 ( 数一 )一 . 三重积分 ( )1. 域的特征 ( 不涉及复杂空间域 ):(1) 对称性 ( 重点 ): 含 : 关于坐标面 ; 关于变量 ; 关于重心(2) 投影法 :(3) 截面法 :(4) 其它 : 长方体 , 四面体 , 椭球2. 的特征 :(1) 单变量, (2) , (3) , (4)3. 选择最适合方法 :(1)“ 积” 前 : * ; * 利用对称性 ( 重点 )(2) 截面法 ( 旋转体 ): ( 细腰或中空 , , )(3) 投影法 ( 直柱体 ):(4) 球坐标 ( 球或锥体 ): ,(5) 重心法 ( ):4. 应用问题 :(1) 同第一类积分 : 质量 , 质心 , 转动惯量 , 引力(2) 公式二 . 第一类线积分 ( )1. “ 积” 前准备 :(1) ; (2) 对称性 ; (3) 代入“ ” 表达式2. 计算公式 :3. 补充说明 :(1) 重心法 : ;(2) 与第二类互换 :4. 应用范围(1) 第一类积分(2) 柱体侧面积三 . 第一类面积分 ( )1. “ 积” 前工作 ( 重点 ):(1) ; ( 代入)(2) 对称性 ( 如 : 字母轮换 , 重心 )(3) 分片2. 计算公式 :(1)(2) 与第二类互换 :四 : 第二类曲线积分 (1): ( 其中有向 )1. 直接计算 : ,常见 (1) 水平线与垂直线 ; (2)2. Green 公式 :(1) ;(2) : * 换路径 ; * 围路径(3) ( 但内有奇点 ) ( 变形 )3. 推广 ( 路径无关性 ):(1) ( 微分方程 ) ( 道路变形原理 )(2) 与路径无关 ( 待定 ): 微分方程 .4. 应用功 ( 环流量 ): ( 有向, , ) 五 . 第二类曲面积分 :1. 定义 : , 或( 其中含侧 )2. 计算 :(1) 定向投影 ( 单项 ): , 其中( 特别 : 水平面 ); 注 : 垂直侧面 , 双层分隔(2) 合一投影 ( 多项 , 单层 ):(3) 化第一类 ( 不投影 ):3. 公式及其应用 :(1) 散度计算 :(2) 公式 : 封闭外侧 , 内无奇点(3) 注 : * 补充“ 盖” 平面 : ; * 封闭曲面变形( 含奇点 )4. 通量与积分 :( 有向, , )六 : 第二类曲线积分 (2):1. 参数式曲线: 直接计算 ( 代入 )注 (1) 当时 , 可任选路径 ; (2) 功 ( 环流量 ):2. Stokes 公式 : ( 要求 : 为交面式 ( 有向 ), 所张曲面含侧 )(1) 旋度计算 :(2) 交面式 ( 一般含平面 ) 封闭曲线 : 同侧法向或;(3)Stokes 公式 ( 选择 ):( ) 化为; ( ) 化为; ( ) 化为高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数 (y=arctanx) ，对数函数 (y=lnx) ，幂函数 (y=x) ，指数函数 ( ) ，三角函数 (y=sinx) ，常数函数 (y=c)2、分段函数不是初等函数。
数三高数知识点总结
数三高数知识点总结函数与极限：理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
会建立简单应用问题中的函数关系式。
了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。
掌握基本初等函数的性质及图形。
理解复合函数及分段函数的有关概念，了解反函数及隐函数的概念。
理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。
理解极限的概念，掌握极限存在的两个准则，以及利用两个重要极限求极限的方法。
掌握极限性质及四则运算法则，理解无穷小与无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法。
导数与微分：掌握导数的概念、性质和几何意义。
会求函数的导数，包括隐函数和参数方程所确定的函数的导数。
了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
掌握微分的基本公式和运算法则，理解微分的几何意义和应用。
积分学：理解定积分的概念、性质和几何意义。
掌握定积分的计算方法和换元积分法、分部积分法等基本技巧。
理解广义积分的概念，掌握其计算方法。
了解微积分的基本定理，包括牛顿-莱布尼茨公式等。
级数：理解级数的概念和性质，掌握级数收敛与发散的判别方法。
掌握常见级数的求和方法和技巧，如等差级数、等比级数、幂级数等。
了解函数项级数的概念，掌握其收敛性判别方法。
空间解析几何与向量代数：理解空间直角坐标系的概念，掌握向量的表示和运算。
会求向量的点积、叉积等运算，了解向量的线性相关与线性无关。
掌握空间平面、直线、曲线的方程和性质，会进行空间图形的位置关系判断。
多元函数微分学：理解多元函数的概念，掌握偏导数的计算方法和几何意义。
会求多元函数的极值和条件极值，了解多元函数的泰勒公式。
重积分与曲线积分：理解二重积分和三重积分的概念和性质，掌握其计算方法。
了解曲线积分和曲面积分的概念和计算方法，理解其在物理和工程中的应用。
微分方程：理解微分方程的概念和分类，掌握一阶和二阶线性微分方程的求解方法。
会解某些常见的非线性微分方程，了解微分方程在物理和工程中的应用。
请注意，以上仅为数三高数的主要知识点概览，具体学习时应结合教材和考试大纲进行深入理解和系统复习。
考研数学高数必考题型总结
考研数学高数必考题型总结考研数学高数必考6类题型总结第一：求极限。
无论数学一、数学二还是数学三，求极限是高等数学的基本要求，所以也是每年必考的内容。
区别在于有时以4分小题形式出现，题目简单;有时以大题出现，需要使用的方法综合性强。
比如大题可能需要用到等价无穷小代换、泰勒展开式、洛比达法则、分离因子、重要极限等中的几种方法，有时考生需要选择其中简单易行的组合完成题目。
另外，分段函数个别点处的导数，函数图形的渐近线，以极限形式定义的函数的连续性、可导性的研究等也需要使用极限手段达到目的，须引起注意!第二：利用中值定理证明等式或不等式，利用函数单调性证明不等式。
证明题虽不能说每年一定考，但也基本上十年有九年都会涉及。
等式的证明包括使用4个微分中值定理，1个积分中值定理;不等式的证明有时既可使用中值定理，也可使用函数单调性。
这里泰勒中值定理的使用是一个难点，但考查的概率不大。
第三：一元函数求导数，多元函数求偏导数。
求导数问题主要考查基本公式及运算能力，当然也包括对函数关系的处理能力。
一元函数求导可能会以参数方程求导、变限积分求导或应用问题中涉及求导，甚或高阶导数;多元函数(主要为二元函数)的偏导数基本上每年都会考查，给出的函数可能是较为复杂的显函数，也可能是隐函数(包括方程组确定的隐函数)。
另外，二元函数的极值与条件极值与实际问题联系极其紧密，是一个考查重点。
极值的充分条件、必要条件均涉及二元函数的偏导数。
第四：级数问题。
常数项级数(特别是正项级数、交错级数)敛散性的判别，条件收敛与绝对收敛的本质含义均是考查的重点，但常常以小题形式出现。
函数项级数(幂级数，对数一来说还有傅里叶级数，但考查的频率不高)的收敛半径、收敛区间、收敛域、和函数等及函数在一点的幂级数展开在考试中常占有较高的分值。
第五：积分的计算。
积分的计算包括不定积分、定积分、反常积分的计算，以及二重积分的计算，对数学考生来说常主要是三重积分、曲线积分、曲面积分的计算。
考研数学三详细范围
考研数学三详细范围考研数学三是针对经济管理类专业硕士研究生入学考试的数学科目，旨在测试考生的数学基础知识和应用能力。
下面详细介绍考研数学三的考试范围。
一、函数、极限、连续1.函数的概念及表示法：函数的概念、函数的表示法。
2.函数的基本性质：单调性、奇偶性、有界性、周期性。
3.反函数：反函数的定义、性质。
4.初等函数：基本初等函数的性质及其图形、初等函数。
5.数列的极限：数列极限的定义、性质及其运算。
6.函数的极限：函数极限的定义、性质及其运算。
7.无穷小与无穷大：无穷小与无穷大的概念、性质及其关系。
8.极限运算法则：极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则。
9.极限存在准则：夹逼准则、单调有界准则。
10.函数的连续性：函数连续性的概念、性质及其判断。
二、一元函数微分学1.导数的概念：导数的概念、几何意义及物理意义。
2.导数的计算：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的导数计算法则。
3.函数的单调性与曲线的凹凸性：函数的单调性判定法、曲线的凹凸性判定法。
4.函数的极值与最值：函数的极值及其求法、函数的最值及其求法。
5.函数图形的描绘：函数的单调区间、极值点、拐点及渐近线的描绘。
6.导数的经济应用：边际与弹性的概念及其计算。
三、一元函数积分学1.不定积分的概念与性质：不定积分的概念、性质及其基本公式。
2.不定积分的计算：不定积分的换元积分法与分部积分法。
3.定积分的概念与性质：定积分的概念、性质及其几何意义。
4.定积分的计算：定积分的换元积分法与分部积分法。
5.定积分的应用：定积分在几何上的应用（面积与体积的计算）、定积分在经济上的应用（微元分析法）。
四、多元函数微积分学1.多元函数的基本概念：多元函数的概念、二元函数的极限与连续性。
2.偏导数：多元函数的偏导数概念及其计算。
3.全微分：全微分的概念及其计算。
4.多元复合函数的求导法则：多元复合函数的求导法则及其应用。
5.隐函数的求导公式：隐函数的求导公式及其应用。
考研高等数学重难点的解析
考研高等数学重难点的解析考研高等数学重难点的解析我们在准备考研数学的复习时，需要把高等数学的重难点知识掌握好。
店铺为大家精心准备了考研高等数学重难点的分析，欢迎大家前来阅读。
考研高等数学知识点的总结高等数学：从科目上看，从数一到数三，分量最重的都是高等数学，它在数一、数三中占了56%，在数二中更是占了百分之78%，因此科目上的重头戏在高数。
通过对2013考研数学考纲以及历年真题的分析，新东方在线的老师对高数的重难点进行了梳理、总结：一、函数、极限、连续部分：极限的运算法则、极限存在的准则(单调有界准则和夹逼准则)、未定式的极限、主要的等价无穷小、函数间断点的判断以及分类，还有闭区间上连续函数的性质(尤其是介值定理)，这些知识点在历年真题中出现的概率比较高，属于重点内容，但是很基础，不是难点，因此这部分内容一定不要丢分。
二、微分学部分：主要是一元函数微分学和多元函数微分学，其中一元函数微分学是基础亦是重点。
一元函数微分学，主要掌握连续性、可导性、可微性三者的关系，另外要掌握各种函数求导的方法，尤其是复合函数、隐函数求导。
微分中值定理也是重点掌握的内容，这一部分可以出各种各样构造辅助函数的证明，包括等式和不等式的证明，这种类型题目的技巧性比较强，应多加练习。
函数的凹凸性、拐点及渐近线，也是一个重点内容，在近几年考研中常出现。
曲率部分，仅数一考生需要掌握，但是并不是重点，在考试中很少出现，记住相关公式即可。
多元函数微分学，掌握连续性、偏导性、可微性三者之间的关系，重点掌握各种函数求偏导的方法。
多元函数的应用也是重点，主要是条件极值和最值问题。
方向导数、梯度，空间曲线、曲面的切平面和法线，仅数一考生需要掌握，但是不是重点，记忆相关公式即可。
三、积分学部分：一元函数积分学的一个重点是不定积分与定积分的计算。
这个对于有些来说可能不难，但是要想用简便的方法解答还是需要多花点时间的。
在计算过程中，会用到不定积分/定积分的基本性质、换元积分法、分部积分法。
考研数学三需要掌握的重要考点
考研数学三需要掌握的重要考点(1)曲线的渐近线;(2)特定点处的高阶导数;(3)化极坐标系下的二次积分为直角坐标系下的二次积分;(4)数项级数敛散性的判定;(5)向量组的线性相关性;(6)初等变换与初等矩阵;(7)二维均匀分布;(8)统计量的常见分布;(9)未定式的极限;(10)分段函数的复合函数的导数;(11)二元函数全微分的定义;(12)平面***形的面积;(13)初等变换、伴随矩阵、抽象行列式的计算;(14)随机事件的概率;(15)未定式的极限;(16)无界区域上的二重积分;(17)多元函数微分学的经济应用，条件极值;(18)函数不等式的证明;(19)微分方程、变限积分函数、拐点;(20)含参数的方程组;(21)利用正交变换化二次型为标准形;(22)二维离散型随机变量的概率、数字特征;(23)二维常见分布的随机变量函数的分布、数字特征考研数学必掌握的7个高频考点1、两个重要极限，未定式的极限、等价无穷小代换这些小的知识点在历年的考察中都比较高。
而透过我们分析，假如考极限的话，主要考的是洛必达法则加等价无穷小代换，特别针对数三的同学，这儿可能出大题。
2、处理连续性，可导性和可微性的关系要求掌握各种函数的求导方法。
比如隐函数求导，参数方程求导等等这一类的，还有注意一元函数的应用问题，这也是历年考试的一个重点。
数三的同学这儿结合经济类的一些试题进行考察。
3、参数估计这一点是咱们经常出大题的地方，这一块对咱们数一，数二，数三的考生来讲，包含两块知识点，一个是矩估计，一个是最大似然估计，这两个集中出大题。
4、级数问题，主要针对数一和数三这部分的重点是：一、常数项级数的性质，包括敛散性;二、牵扯到幂级数，大家要熟练掌握幂级数的收敛区间的计算，收敛半径与和函数，幂级数展开的问题，要掌握一个熟练的方法来进行计算。
对于幂级数求和函数它可能直接给咱们一个幂级数求它的和函数或者给出一个常数项级数让咱们求它的和，要转化成适当的幂级数来进行求和。
(完整版)高数上册知识点
高等数学上册知识点第一章 函数与极限 （一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。
间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2） 函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f xx +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。
3、 无穷小（大）量1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。
2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限：a) 1sin lim 0=→xx x b)e x x xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5） 无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x ~1- （a x a x ln ~1-） d) x x ~)1ln(+ （ax x a ln ~)1(log +）e) x x αα~1)1(-+第二章 导数与微分 （一） 导数1、 定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+ 函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。
2021考研数学三高等数学常考考点有哪些
2021考研数学三高等数学常考考点有哪些
来源：智阅网
高等数学是考研数学三中很重要的学科，也是考研数学三中常考的内容。
所以，就让我们一起来了解一下高等数学的常考考点有哪些吧！
1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。
2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义;各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线渐近线。
3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。
4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。
此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。
我们还可以通过汤老师的2021《全国硕士研究生招生考试高等数学辅导讲义》，掌握高等数学的常考题型和解题方法。
2023年考研数学备考知识点内容整理合集(2)
2023年考研数学备考知识点内容整理合集〔2〕导数与微积分 1、考试内容〔1〕导数和微分的概念；〔2〕导数的几何意义和物理意义；〔3〕函数的可导性与连续性之间的关系；〔4〕平面曲线的切线和法线；〔5〕导数和微分的四那么运算；〔6〕根本初等函数的导数；〔7〕复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法；〔8〕高阶导数；〔9〕一阶微分形式的不变性；〔10〕微分中值定理；〔11〕洛必达法那么；〔12〕函数单调性的判别；〔13〕函数的极值；〔14〕函数图形的凹凸性、拐点及渐近线；〔15〕函数图形的描绘；〔16〕函数的最大值和最小值；〔17〕弧微分、曲率的概念；〔18〕曲率圆与曲率半径〔其中16、17只要求数一、数二考试掌握，数三考试不要求〕。
2、考试要求〔1〕理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，理解函数的可导性与连续性之间的关系；〔2〕理解导数的物理意义，会用导数描绘一些物理量〔数一、数二要求，数三不要求〕；〔3〕掌握导数的四那么运算法那么和复合函数的求导法那么，掌握根本初等函数的导数公式，理解微分的四那么运算法那么和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分；〔4〕理解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数；〔5〕会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数；〔6〕理解并会用罗尔〔Rolle〕定理、拉格朗日〔Lagrange〕中值定理和泰勒〔Taylor〕定理，理解并会用柯西〔Cauchy〕中值定理；〔7〕掌握用洛必达法那么求未定式极限的方法；〔8〕理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用；〔9〕会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及程度、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形；〔10〕理解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径〔数一、数二要求、数三不要求〕。
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高数数三学员必做题学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第1章第1节映射与函数函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立习题1－14(3) (6) (8),5(3)★,9(2),15(4)★,17★4(4)(7),5(1),7(2),15(1)本节有两部分内容考研不要求，不必学习：1. “二、映射”；2. 本节最后——双曲函数和反双曲函数第1章第2节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)习题1－21(2) (5) (8)★3(1)1. 大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义；2. 对于用数列极限的定义证明，看懂即可。
第1章第3节函数的极限函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）习题1－32,4★3,1. 大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义；2. 对于用函数极限的定义证明，看懂即可。
第1章第4节无穷小与无穷大无穷小与无穷大的定义无穷小与无穷大之间的关系习题1－44,6★1,5大家要搞清楚无穷大与无界的关系第1章第5节极限运算法则极限的运算法则(6个定理以及一些推论)习题1－51(5)★(11)(13)★,3,51(9)(10)(14),2(1),4有理分式函数当x 的极限要记住结论，以后直接使用。
学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注1第1章第6节极限存在准则两个重要极限函数极限存在的两个准则（夹逼定理、单调有界数列必有极限）两个重要极限（注意极限成立的条件，熟悉等价表达式）利用函数极限求数列极限习题1－61(2)(6)★,2(1)(4)★,4(1)(3)★4(5)1. 利用单调有界原理推导第二个重要极限可以不用细看；2. “柯西极限存在准则”考研不要求.第1章第7节无穷小的比较无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、低阶无穷小、k阶无穷小）及其应用一些重要的等价无穷小以及它们的性质和确定方法习题1－71,2★,3(1),4(3) ★(4) ★3(2)例1和例2中出现的所有等价无穷小都要求熟记.第1章第8节函数的连续性与间断点函数的连续性，函数的间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点）判断函数的连续性和间断点的类型习题1－83(4),4★,5 1熟记：1. 连续性的定义；2. 间断的定义与间断点的分类第1章第9节连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的、和、差、积、商的连续性反函数与复合函数的连续性初等函数的连续性习题1－93(4)(6)(7)★,4(4)★(6)★,6★1,3(5),4(3),5 ——第1章第10节闭区间上连续函数的性质有界性与最大值最小值定理零点定理与介值定理(零点定理对于证明根的存在是非常重要的一种方法)习题1－101,3★ 5考研不要求的内容：1. “三、一致连续性”第1章总复习题总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题一3(2),9(2)(4)(6),10,13 1,2 ——学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注2第2章第1节导数概念导数的定义、几何意义单侧与双侧可导的关系可导与连续之间的关系函数的可导性，导函数，奇偶函数与周期函数的导数的性质按照定义求导及其适用的情形，利用导数定义求极限会求平面曲线的切线方程和法线方程习题2－13,6,7,8,13★,16(2)★,179(2)(5),11,14 ——第2章第2节函数的求导法则导数的四则运算公式（和、差、积、商）反函数的求导公式复合函数的求导法则基本初等函数的导数公式分段函数的求导习题2－22(9)★,3(2), 7(8)★,8(5),11(6)(9) 2(6)(7),6(4)(8),7(4),9,10(2),11(4)考研不要求的内容：1. “例17 双曲函数与反双曲函数的导数”第2章第3节高阶导数高阶导数n阶导数的求法（归纳法，莱布尼兹公式）习题2－31(3), 3(2),4(1),8★,10(2)★,1(9)(10), 9,11(3)例3例4例5的结论要求记住，以后可直接利用。
第2章第4节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数的求导方法，对数求导法习题2－41(1),2,3(4)★,4(1) 1(4)考研不要求的内容：1. “二、由参数方程所确定的函数的导数”；2. “三、相关变化率”学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注3第2章第5节函数的微分函数微分的定义，几何意义基本初等函数的微分公式微分运算法则，微分形式不变性习题2－52★1,3(3)(6),4(4)(6)(7)考研不要求的内容：1. “四、微分在近似计算中的应用”第2章总复习题二总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题二1,3★,6(1),7,11, 14★9(1) ——第3章第1节微分中值定理费马定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理及其几何意义构造辅助函数习题3－16,8★,11(1)★,12,15★4,5,10 ——学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第3章第2节洛必达法则洛必达法则及其应用习题3－21(10)(13)(15) ★,4★1(3)(6)(16) ——第3章第3节泰勒公式泰勒中值定理麦克劳林展开式习题3－35,7,10(2)★(3) 3,4不用仔细看的内容：1. 泰勒中值定理的证明第3章第4节函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调区间，极值点函数的凹凸区间，拐点习题3－43(6)★,5(4),6,9(5)★,10(3),12 1,3(2),5(3),9(1),131. 总结求单调区间的步骤；2. 总结求拐点的步骤。
4学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第3章第5节函数的极值与最大值最小值函数极值的存在性：一个必要条件，两个充分条件最大值最小值问题函数类的最值问题和应用类的最值问题习题3—51(8)★,4(3),10 1(2)(4)(10),4(1),61. 总结求极值与最值的步骤；2. 例5例6不用看；3. 例7需重点搞懂。
第3章第6节函数图形的描述利用导数作函数图形（一般出选择题）：函数()f x的间断点、()f x'和()f x''的零点和不存在的点，渐近线由各个区间内()f x'和()f x''的符号确定图形的升降性、凹凸性，极值点、拐点习题3－61,4★————第3章总复习题三总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题三1,2(2),6,7,9,10(4),11(3),12,17 4,10(2),18 ——学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第4章第1节不定积分的概念与性质原函数和不定积分的概念与基本性质（之间的关系，求不定积分与求微分或求导数的关系）基本的积分公式原函数的存在性、几何意义和力学意义习题4－11(1),2(1)(6)(8)(13)(17)★(19)★(21)★(25), 5★2(3)(11)(14)(16)(20)(26)熟记“基本积分表”，公式1—135第4章第2节换元积分法第一类换元积分法（凑微分法）习题4－22(1)(3)(6)(9)(13)(15)(16)★(17)★(19)★(21) ★(30) ★2(4)(10)(14)(18)(20)(22)(23)1. 注意：204页小字部分不用看；2. 熟记P205公式16—24.第4章第2节换元积分法第二类换元积分法习题4－22(32)(34) ★(36)(37) 2(38)(39) ——学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第4章第3节分部积分法分部积分法习题4－32,5,6★,9★,14,17,18★,19,22,24★3,10,15,20,23 ——第4章第4节有理函数积分有理函数积分法，可化为有理函数的积分习题4－42,4★,8,20★,23 12注意：仅“例4”不在考研范围之内。
第4章总复习题四总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题四1,2,5,9,10★,12,14★,16,21,23★,33★,35,38 8,15,19,25,30 ——学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第5章第1节定积分的概念与性质定积分的定义与性质(7个性质)函数可积的两个充分条件习题5—12(1) ★,3(2) ★(3),11★,12(2),13(5) 3(4),4(4),13(4)考研不要求的内容：1. “三、定积分的近似计算”。
6第5章第2节微积分的基本公式积分上限函数及其导数牛顿－莱布尼兹公式习题5—25(2),6(5)(8)(11) ★(12)★,9(2),10★,12★,13★5(3),6(6)(10),9(1),11可以不看的内容：1. “一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系”；2. “例5”.第5章第3节定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法定积分的分部积分法习题5—31(2)(4)(6) ★(10)(12)(19)(21)★(24)(26) ★,5,6,7(11) ★1(3)(7)(13)(20)(22),7(10)以后可以直接使用的结论：例5，例6，例7，例12.第5章第4节反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分习题5—41(4)(8)(10),2★1(6)(9) ——第5章总复习题五总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题五1(1) (2) (4) ★,3(2),4(2) ★,10(7) ★(9)(10),11,12,13,14★3(1),4(1),7,10(4)(6) ——学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第6章第1节定积分的元素法元素法————————第6章第2平面图形的面积（直角坐标情习题1(1)(4),2(1),4,5(1),9,12★,15(1)(3) 1(3),2(4),3,5(3),15(2) 1. 能够自己推导各个计算公式；7节定积分在几何学上的应用形、极坐标情形）旋转体的体积6—2 ★,16★,19,21 2. 考研不要求的内容：①“二、2.平行截面面积为已知的立体的体积”；②“平面曲线的弧长”.第6章总复习题总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题六2,3,5 4 ——调整时间，对本单元进行知识回顾，对自己掌握不牢固知识内容或习题做标记，寻求老师帮助解答——学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第7章第1节微分方程的基本概念微分方程的基本概念：微分方程，微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解习题7—11(1)(4) ,2(2)(4),4(2),5(2) 1(5)(6),2(3),4(3),5(1) ——第7章第2节可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程的概念及其解法习题7—21(1)(3)(4)(7)★,2(3) ★,6★1(5)(10),2(4)可以不用看的内容：例2例3例4第7章第3节齐次方程一阶齐次微分方程的形式及其解法习题7—31(1)★(4),2(1)★,3★1(5),2(2)考研不要求的内容：“二、可化为齐次的方程”第7章第4节一阶线性微分方程一阶线性微分方程的形式和解法习题7—41(2)(3)(7)(10) ★,2(1)★(4),31(4)(8)(9),2(3)(5),7(1)1. 可以不用看的内容：例2；2. 考研不要求的内容：“二、伯努利方程”.8第7章第6节高阶线性微分方程n阶线性微分方程的形式线性微分方程的解的结构：齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的解的性质习题7—61(1)(3)(6),4(2) 1(2)(8)(9),4(4)可以不用看的内容：1.“一、二阶线性微分方程举例”；2.“三、常数变易法”.第7章第7节常系数齐次线性微分方程特征方程特征方程的根与微分方程通解中的对应项微分方程的通解习题7—71(1)★(4)★(5),2(2)★(3) 1(6),2(1)(6)可以不用看的内容：例4例5.第7章第8节常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程，其中自由项为：多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数习题7—81(1)(3)(7)★(9)★,2(2)★,6★1(2)(4)(6),2(1)(4) 可以不用看的内容：例6.学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第7章总复习题总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题七1(1)(2) ★(3)(4),2,3(1)(2) ★(7) ★,4(4)★,7 ★3(3),4(3),8 —调整时间，对本单元进行知识回顾，对自己掌握不牢固知识内容或习题做标记，寻求老师帮助解答—2h完成《考研数学学习进程监控习题汇编》高数第七章,并对照答案—9。