等时圆的妙用

A
O B
二、“等时圆”的应用
(三)测定圆周半径
例4:如图所示,在离坡底15m的山坡上,竖直地固定长为15m的直杆AO,A端与坡底B间 连有一纲绳,一个穿于绳上的小球从A点由静止开始无摩擦地滑下,求其在绳上滑行的 时间t(g取10m/s2).
A
t 2 AC g
O
B
2 15 s 2.45 s 10
B
A
t2 R g
一、等时圆的性质 问题2：若杆时粗糙的，上述规律还成立吗？
O
t2 R g
θ 2R
B A
问题3：若杆时粗糙的，上述规律还成立吗？
解
O
m cg o m ssg i n mFfa
FN
agc o ssin
θ 2R
θ
Gy
xAB1at2 2
B
Gx
xAB 2Rcos
A
mg
t2 x a AB gc 2 o 2 R c sg s oisn 2R g
一、等时圆的性质 结论：
A B
同理,如图所示情形,从圆周上不同点沿光 滑斜面滑到圆周上的最低点O,所需的时间 也相等。
C θ
O
一、等时圆的性质
B A
问题4:如果像图 所示，光滑直杆AD
a bc
d
二、“等时圆”的应用 例1
(一)比较运动快慢
t1<t2<t3
a bc d
二、“等时圆”的应用
(二)确定运动路径
例2:如图所示,一倾角为α的传送带上方P点为原料输入口，在P点与传送带之间建立一 光滑管道,使原料沿管道能在最短时间内到达传送带上,则管道与竖直方向的夹角β应 为多大？
P β
AB
则：（ ）
A. a球最先到达M点 B. b球最先到达M点
C. c球最先到达M点 D. d球最先到达M点
B
C
A
D
M
解析：设圆轨道半径为R，据“等时圆”理论
ta
4R2 g
R g
c做自由落体运动
tb ta
2R tc g
d球滚下是一个单摆模型，摆长为R,
td
T 4

2
R g
B
A
所以c球最先到达M点
C
D
M
作业2：如图所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h，B点离地高度为H，现在要 在地面上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始 分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求O、P两点之间的距离
B.抛物面
C时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所 以A正确。
作业1 ：如图:，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相 切于点A，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为600，C是圆环轨道的圆心，D 是圆环上与M靠得很近的一点（DM远小于CM）。已知在同一时刻：a、b两球分别由A、 B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点；d球从D点 静止出发沿圆环运动到M点。
用秒表测出小球从上端滑到O点的时间tAO
R=_____
B
gt AO 2 4
R A
O
二、“等时圆”的应用
(三)测定圆周半径
例4:如图所示,在离坡底15m的山坡上,竖直地固定长为15m的直杆AO,A端与坡底B间 连有一纲绳,一个穿于绳上的小球从A点由静止开始无摩擦地滑下,求其在绳上滑行的 时间t(g取10m/s2).
、BD、CD、处在竖直平面内，杆的
C
三个端点均在同一圆周上，CD杆过 圆心，若从A、B、C三点同时静止释
放套在杆上的小球，则它们滑到D点
的时间相等吗？
O
D
一、等时圆的性质
结论：
问题4:
等时圆中的端点应 是几何空间中的最 高点或最低点。
B A
C O
D
tCD>tBD>tAD
二、“等时圆”的应用
(一)比较运动快慢
FN
θ
agcos
xOB1at2 2
2R
θ
Gy
B
Gx
xOB2Rcos
mg A
t2x a OB 2 g 2 c R co o s s2R g
一、等时圆的性质
结论：
O
θ 2R
质点沿杆下滑所需的时间跟杆与竖直方向的夹角θ无关, 仅由半径R决定,且等于质点从圆的最高点O到最低点A 做自由落体运动的时间,这个圆就是重力场中的“等时 圆”，这个性质叫做圆的自由弦的等时性。
小节
性质 等 时 圆
应用
O
θ
2R
B A
t2 R g
(一)比较运动快慢
(二)确定运动路径
(三)测定圆周半径
(四)计算运动时间
A B
C
θ
O
课堂练习
通过空间任一点A可作无限多个斜面，将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相 同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ）
A.球面
α
二、“等时圆”的应用
例2
P
β
O
α
AB
α
(二)确定运动路径
解：以p点为等时圆的最高点，作出等时 圆与皮带相切，如图所示, 设切点为B,圆心为O,连接OB,由几何知识 可得
AO B,
2
二、“等时圆”的应用
(三)测定圆周半径
例3:如图所示，有一条水渠的底部是半径很大的圆弧，一位同学用下列方法估算该圆弧的 半径，所用器材有：光滑小球、秒表和长木板。下面是具体的操作步骤，请将所缺的内容 填写在横线上。
例1:如图所示，在同一竖直平面内固定三根光滑的细杆，细杆的一个端点均在d点， 另一端点a、b、c处于同一水平线上，三环分别从a、b、c处由静止释放，t1、t2 、t3分别表示各环到达d点的时间，下列判断正确的是（ ）
A. t1=t2=t3 B. t1<t2<t3 C. C. t1>t2>t3 D. D.无法比较运动时间的长短
牛顿运动定律的应用 ———— 等时圆的妙用
一、等时圆的性质
问题1：如图所示，处在半径为R的竖直圆内的任一光滑细杆OB,一端B在圆周上,另 一端O在圆的最高点,OB与竖直方向的夹角为θ,质点m沿杆从O点由静止开始下滑,求它 在杆上运动的时间?
O
θ 2R
B A
一、等时圆的性质
O
解 mcgo sma
a.用小球找出底部的最低点； b.将长木板_____________________ C.将光滑小球从长木板上端由静止滑下;
d.________________________ e.求出圆弧半径
R=_______________
二、“等时圆”的应用
(三)测定圆周半径
例3 a.用小球找出底部的最低点； b.将长木板_____________________ C.将光滑小球从长木放板在上圆端弧由上静,使止木滑板下下; 端放在O点 d.________________________ e.求出圆弧半径