高一下学期期末考试数学试题人教A版

高一下学期期末考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 下列命题中正确的是A. AB OB OA =-B. 0=+BA ABC. 00=⋅ABD. AD CD BC AB =++2. 函数()()R x x x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=42sin 3π的最小正周期为A.2πB. πC. π2D. π43. 已知向量()2,1=a ，()3,2=b ，()4,3=c ，且b a c 21λλ+=，则21λλ，的值分别为A. 2-，1B. 1-，2C. 2，1-D. 1，2-4. 已知542cos -=⎪⎭⎫⎝⎛-x π，且x 在第三象限，则()π-x tan 的值为A. 34B. 34-C. 43D. 43-5. 不等式b a >和ba 11>同时成立的充要条件是A. 0>>b aB. 0,0<>b aC. 0<<a bD. 011>>ba6. 将函数x y sin =的图象上所有的点向右平移10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102sin πx y B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=52sin πx yC. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021sin πx yD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2021sin πx y7. 如图，()3,3=AC ，()3,3-=BC ，F E ，是AB 上的三等分点，则ECF ∠cos 的值为A.85852 B.23 C.21 D.54 8. 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，321a ，22a 成等差数列，则9871098a a a a a a ++++的值为A. 223+B. 21-C. 21+D. 223-9. 若有实数a ，使得方程2sin ax =在[)π2,0上有两个不相等的实数根21x x ，，则()21cos x x +的值为A. 1-B. 0C.1D.a 23 10. 在ABC ∆中，内角C B A ，，的对边分别是c b a ，，，若bc b a 322=-，B C sin 32sin =，则A 的值为A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。

11. 在区间[]2,1-上随机取一个数x ，则[]1,0∈x 的概率为____________。

12. 在数列{}n a 中，01≠a ，()*1,22N n n a a n n ∈≥=-，前n 项和为n S ，则24a S =_______。

13. 若0>a ，20=+>b a b ，，则下列不等式对一切满足条件的b a ，恒成立的是______________（写出所有正确命题的编号）。

①1≤ab ； ②2≤+b a ；③222≥+b a ；④333≥+b a⑤211≥+ba 。

14. 已知34tan -=⎪⎭⎫⎝⎛+απ。

则=α2tan ___________。

15. 如图所示，动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成。

现有36m 长的钢筋网材料，则可围成的每间虎笼面积最大为_________m 2。

16. 已知M 是ABC ∆内的一点，且︒=∠=⋅3032BAC ，。

定义：()=M f()z y x ,,，其中z y x ，，分别为MAB MCA MBC ∆∆∆，，的面积，若()=M f ⎪⎭⎫⎝⎛21,,y x ，则yx 221+的最小值为______________________，此时()=M f __________________。

三、解答题：本大题共6小题，共52分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17. （本题9分）甲袋中有3只白球、7只红球、15只黑球；乙袋中有10只白球、6只红球、9只黑球。

（1）从甲袋中任取一球，求取到白球的概率；（2）从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率； （3）从两袋中各取一球，求两球颜色不同的概率。

18. （本题9分）在平面直角坐标系xOy 中，点()2,1--A 、()3,2B 、()1,2--C 。

（1）求以线段AC AB 、为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）当t 为何值时，t -与垂直；（3）当t 为何值时，t +与2-平行，平行时它们是同向还是反向。

19. （本题8分）在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a ，，，已知412cos -=C 。

（1）求C sin 的值；（2）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 及c 的长。

20. （本题8分）已知等差数列{}n a 满足：267753=+=a a a ，，{}n a 的前n 项和为n S 。

（1）求n a 及n S ； （2）令na n Cb =（其中C 为常数，且*0N n C ∈≠，），求证数列{}n b 为等比数列。

21. （本题9分）设函数()[]ππ,02cos 232cos 2∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x xx x f ，。

（1）求⎪⎭⎫⎝⎛3πf 的值； （2）求()x f 的最小值及()x f 取最小值时x 的集合； （3）求()x f 的单调递增区间。

22. （本题9其中表有行，第1行的个数是1，3，5，…，，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。

（1）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论n（不要求证明）；推广到表()3≥n（2）每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，…，记此数列为{}n b，求数列{}n b的前n项和。

答案二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。

11.31 12.215 13. ①，③，⑤（少选一个扣1分）14. 34-15. 22716. 9，⎪⎭⎫ ⎝⎛2131,61，（第一空2分，第二空1分）三、解答题：本大题共6小题，共52分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17. 解：（1）从甲袋中任取一球，取到白球的概率为253； ………………………3分（2）从两袋中各取一球，两球颜色相同的概率62520725925152562572510253=⨯+⨯+⨯=P ；………………………6分（3）从两袋中各取一球，两球颜色不同的概率6254186252071=-=P 。

……………9分 18. 解：（1）（方法一）由题设知()5,3=，()1,1-=，则 ()6,2=+，()4,4=-。

102=+24=-。

故所求的两条对角线的长分别为24、102。

……………………………………3分 （方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则： E 为C B 、的中点，()1,0E又()1,0E 为D A 、的中点，所以()4,1D故所求的两条对角线的长分别为10224==AD BC 、； （2）由题设知：()1,2--=，()t t t ++=-523，。

由t -与垂直，得：()0=⋅-t 。

即()()01,2523=--⋅++t t ，，从而115-=t ，所以511-=t 。

…………………………………………………6分 （3）由题设知：()t t t 23,2--=+，()8,52--=-。

由t +//2-，得1681510-=-t t 。

解得：21-=t 。

此时，()8,5214,25---=⎪⎭⎫⎝⎛=+t ，所以它们方向相反。

……………9分19. （1）解：因为41sin 212cos 2-=-=C C ，及π<<C 0，所以410sin =C 。

………………………………………………………4分（2）解：当2=a ，C A sin sin 2=时，由正弦定理CcA a sin sin =，得4=c 。

由411cos 22cos 2-=-=C C ，及π<<C 0得46cos ±=C 。

由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=，得01262=-±b b 。

解得6=b 或62。

所以⎩⎨⎧==.4,6c b 或⎩⎨⎧==.4,62c b…………………………………………………8分20. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为73=a ，2675=+a a ，所以有 ⎩⎨⎧=+=+.26102,7211d a d a 解得231==d a ，。

所以()12123+=-+=n n a n ；()n n n n n S n 222132+=⨯-+=。

………4分（2）由（1）知12+=n a n ，所以2111C C CC b b n n n n a a a a n n ===----。

（常数，*2N n n ∈≥，）所以，数列{}n b 是以31C b =为首项。

2C 为公比的等比数列。

…………………8分21. 解：（1）2123216cos 2323cos 322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛ππππf 。

………3分 （2）()2cos 232cos 2x x x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π 1cos 32sin sin 32cos cos ++-=x x x ππ1sin 23cos 21+-=x x 16sin +⎪⎭⎫⎝⎛-=x π。

因为[]π,0∈x ，所以6665πππ≤-≤-x ，所以216sin 1≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-x π。

所以函数()x f 的最小值为0。

此时26ππ-=-x ，即32π=x 。

所以x 的取值集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧32π。

……………6分 （3）由（2）可知：()[]ππ,016sin ∈+⎪⎭⎫⎝⎛-=x x x f ，。

设⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--=6656πμππμx ，则原函数为1sin +=μy 。

因为x -=6πμ为减函数，所以1sin +=μy 的减区间就是复合函数()x f 的增区间。

由2665πππ-≤-≤-x ，得ππ≤≤x 32。

所以，函数()x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,32。

………………………………………9分 22. 解：（1）表4为1 3 5 7 4 8 12 12 20 32它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列。

将这一结论推广到表()3≥n n ， 表n 的第1行是1，3，5，…，12-n ，其平均数是()n nn =-++++12531 。

即表()3≥n n 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列。