复系数和实系数多项式
数分高代定理大全
数分高代定理大全高等代数》第一章带余除法对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x) 0 ,—定有P[x] 中的多项式q(x),r(x) 存在，使f(x) q(x)g(x) r(x) 成立，其中(r(x)) (g(x)) 或者r(x) 0 ，并且这样的q(x),r(x) 是唯一决定的.定理 1 对于数域P 上的任意两个多项式 f (x),g(x) ，其中g(x) 0,g(x)| f(x) 的充分必要条件是g(x) 除 f (x) 的余式为零.定理 2 对于P[x] 中任意两个多项式 f (x) ，g(x) ，在P[x] 中存在一个最大公因式d(x) ，且d(x) 可以表示成 f (x) ，g(x) 的一个组合，即有P[x] 中多项式u(x),v(x) 使d(x) u(x) f (x) v(x)g(x).定理 3 P[x] 中两个多项式 f (x) ，g(x) 互素的充分必要条件是有P[x] 中的多项式u(x),v(x)使u(x) f(x) v(x)g(x) 1 .定理 4 如果(f (x),g(x)) 1，且 f (x)|g(x)h(x) ，那么 f (x)|h(x).定理 5 如果p(x) 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式f(x),g(x) ，由p(x)| f (x)g(x) 一定推出p(x)| f (x) 或者p(x)|g(x).因式分解及唯一性定理数域P 上每一个次数 1 的多项式 f (x) 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积. 所谓唯一性是说，如果有两个分解式f(x) p1(x)p2(x)L p s(x) q1(x)q2(x)L q t(x), 那么必有s t ，并且适当排列因式的次序后有P i(x) Ciq(x),i 1,2,L ,s,其中C i(i 1,2丄,s)是一些非零常数.定理 6 如果不可约多项式p(x) 是 f (x) 的k 重因式(k 1) ，那么它是微商 f (x) 的k 1 重因式.定理7 (余数定理)用一次多项式x 去除多项式f(x)，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值f().定理8 P[x]中n次多项式(n 0)在数域P中的根不可能多于n个，重根按重数计算•定理9如果多项式f(x)，g(x)的次数都不超过n，而它们对n 1个不同的数1, 2丄n 1 有相同的值，即 f ( i) g( i),i 1,2,L n 1,那么f(x) g(x).代数基本定理每个次数1的复系数多项式在复数域中有一根•复系数多项式因式分解定理每个次数1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积•实系数多项式因式分解定理每个次数1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积•定理10 (高斯(Gauss)引理) 两个本原多项式的乘积还是本原多项式•定理11如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积•定理12设f (x) a n X n a n 1x n 1 L a°是一个整系数多项式，而 -是它的有理s根，其中r,s互素，那么必有s|a n,r|a°.特别地，如果f (x)的首项系数a. 1，那么f(x)的有理根是整根，而且是a o的因子•定理13 (艾森斯坦(Eisenstein )判别法) 设f (x) a n x n a n 1X n 1 L a o是一个整系数多项式，如果有一个素数p，使得1. p | a n ；2・p 1 a n 1, a n 2丄,a o ；3. p2 | a o那么f(x)在有理数域上是不可约的• 第二章定理1对换改变排列的奇偶性定理2任意一个n 级排列与排列12L n 都可以经过一系列对换互变，并且所作 对换的个数与这个排列有相同的奇偶性•X i d1,X 2生,L ,X n 虫，其中d j 是把矩阵A 中第j 列换成方程组的常数项 d d d b i ,b 2,L ,b n 所成的行列式，即定理5如果齐次线性方程组的系数矩阵的行列式 A 0,那么它只有零解.换句话说，如果该方程组有 非零解，那么必有A 0.疋理6 （拉普拉斯疋理）设在行列式D 中任意取疋了 k （1 k n 1）个行. 由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列 式D.a iia i2 L 的系数矩阵Aa2ia 22 L M Mani an2La in a 2nM ann的行列式d A 0 , 立:ali ai2 L a2ia22L MMani an2L，A j 表示兀素 科的代数余子式，则下列公式成 定理4 （克拉默法则）如果线性方程组那么该线性方程组有解,并且解是唯一的，解可以通过系数表为定理3设dai n⑦nD 2的第j 列的对应元素乘积之和：C ij aM j a 2b 2j L a in b nj .第三章定理1在齐次线性方程组 中，如果S<n ,那么它必有非零解.定理2设a i ，a 2L,a r 与丄，b 「是两个向量组，如果1 ）向量组a 1,a 2L ,a r 可以经ED 丄,Q 线性表出，2）r>s ，那么向量组ai ,a 2L,a r 必线性相关.定理3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量 定理4矩阵的行秩与列秩相等. 定理5 n ' n 矩阵的行列式为零的充分必要条件是A 的秩小于n . 定理6 一矩阵的秩是r 的充分必要条件为矩阵中有一个r 级子式不为零，同时所有r +1级子式全为零.定理7（线性方程组有解判别定理）线性方程组a 〔1 X [ S12X2 L a1n Xna ?1 x 〔 *22 X 2 L a2n Xnb 2,有解的充分必 要 条件为J它的系数矩阵L L L Lan1 X 1an2X 2Lann X nt nan a 12 La 1nan ai 2 L a 1n ba 21 Aa 22 L a 2n 与增广矩阵Aa 21 a 22 L a 2nb 2 有相同的秩。
高等代数课程教学大纲.总结
精品文档高等代数（ 1）课程教学大纲第一部分前言一、课程基本信息1.课程类别：专业基础课2.开课单位：数学与财经系3.适用专业：数学与应用数学专业4. 备选教材：《高等代数（第三版）》，北京大学数学系几何与代数教研室前代数组编.高等教育出版社，2003.二、课程性质和目标高等代数是数学与应用数学专业的一门重要基础课程。
本课程的主要内容是多项式理论和线性代数理论。
通过本课程的教学，使学生掌握代数基本理论和基本方法，培养学生代数方面的科学的思维、抽象的思维，逻辑推理、提高运算以及解决实际应用的能力，为进一步学习专业后续课程奠定坚实的代数基础。
本课程的教学目的是使学生获得一元多项式，行列式，线性方程组，矩阵等方面的系统知识 , 为进一步学习近世代数，复变函数、等后续课程打下坚实的基础，也为深入理解初等数学、指导中学数学教学提供了高等的专业知识与重要的方法论。
通过本门课程系统的学习与严格的训练，全面掌握高等代数的基本理论知识；培养抽象的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用代数学的理论知识解决实际应用问题的能力。
三、课程学时与学分教学时数：96 学时，其中理论教学81 学时，实践教学15 学时学分数： 6 学分教学时数具体分配：教学内容理论教学实践教学合计（学时）（学时）（学时）第一章多项式26632第二章行列式16319第三章线性方程组22325第四章矩阵17320合计811596第二部分教学内容及其要求第一章多项式1.教学目标：要求学生理解数域的概念；掌握一元多项式的概念、运算及基本性质；掌握带余除法与整除性的关系，会进行相关运算；会求多项式的最大公因式；理解不可约多项式的概念，掌握求重因式的方法；理解多项式在不同的数域的因式分解形式；掌握Eisenstein判别法，会求有理系数多项式的根。
2.教学重点：整除概念，带余除法及整除的性质，最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质，k 重因式与 k 重根的关系。
多项式学生版
w ww .q bx t.cn多项式0.1基本知识和性质多项式是代数学的一个基本概念,是中学代数的重要内容之一,也是各类数学考试以及数学竞赛内容的重要部分.本节我们先介绍一些多项式的基本概念和性质.定义1.设n 是一个非负整数,称形式表达式a n x n +a n −1x n −1+···+a 1x +a 0(1)为一元多项式.其中,a 0,a 1,···,a n 为实数(或复数).在多项式(1)中,a 0称为常数项,a i x i 称为i 次项,a i 称为i 次项系数.一元多项式常用符号f (x ),g (x ),···或者f,g,···等来表示.定义2.如果在多项式f (x )与g (x )中,同次项系数都相等,则称f (x )与g (x )相等.记为f (x )=g (x ).系数全部为0的多项式称为零多项式,记作0.在多项式(1)中,若a n =0,则称a n x n 为多项式(1)的最高次项或首项,称a n 为最高次项系数或首项系数.此时,n 称为多项式(1)的次数,零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式f (x )的次数记作deg(f (x ))或者∂(f (x )).给定一个数c 以及多项式f (x )=a n x n +a n −1x n −1+···+a 1x +a 0,在f (x )的表达式中用c 代替x 所得的数a n c n +a n −1c n −1+···+a 1c +a 0称作当x =c 时f (x )的值,并用f (c )来表示.这样一来f (x )就定义了一个函数,称为多项式函数.两个多项式相等当且仅当它们定义的多项式函数相等.和数的运算一样,多项式的运算满足加法交换律,加法结合律,乘法交换律,乘法结合律以及乘法对加法的分配律.性质1.f (x )g (x )的首项系数等于f (x )和g (x )的首项系数的乘积,并且∂(f (x )±g (x ))≤max(∂(f (x )),∂(g (x ))),∂(f (x )g (x ))=∂(f (x ))+∂(g (x )).性质2.若f (x )g (x )=0,则或者f (x )=0,或者g (x )=0.1w ww .q bx t.cn2性质3.若f (x )g (x )=f (x )h (x ),并且f (x )=0,则g (x )=h (x ).二.例题例1.设多项式f (x ),g (x )和h (x )的系数全部为实数.证明:若f 2(x )=xg 2(x )+xh 2(x ),(2)则f (x )=g (x )=h (x )=0.例2.设n 为自然数,证明:(1+x )(1+x 2)(1+x 4)···(1+x 2n −1)=1+x +x 2+x 3+···+x 2n −1.(3)例3.试求所有实数p ,使得三次方程5x 3−5(p +1)x 2+(71p −1)x +1=66p.(4)的三个根全部为自然数.例4.给定自然数n 以及二次多项式f (x )=ax 2+bx +c,a =0.试证:最多存在一个n 次多项式g (x ),使得f (g (x ))=g (f (x )).例5.设多项式f (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+···+a 2n x 2n =(x +2x 2+···+nx n )2.求证:2n Pk =n +1a k =1n (n +1)(5n 2+5n +2).例6.设多项式f (x )满足条件(1)f (0)=0;(2)f (x )=12(f (x +1)+f (x −1)).求f (x )的表达式.例7.设多项式f (x )=ax 2+bx +c 的系数满足:a,b,c >0,a +b +c =1.证明:若正数x 1,x 2,···,x n 满足x 1x 2···x n =1,则f (x 1)f (x 2)···f (x n )≥1.例8.设a,b,c,d 为实数,多项式函数p (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足:对任何|x |<1,有|p (x )|≤1.求证:|a |+|b |+|c |+|d |≤7.例9.(第28届国际数学奥林匹克预选题)给定自然数n ,试求出所有低于n 次的多项式p (x ),使之满足如下条件:n X k =0p (k )(−1)k C kn =0.(5)三.习题习题1.将多项式f (x )=1−x +x 2−x 3+···+x 16−x 17写成g (y )=a 0+a 1y +a 2y 2+···+a 17y 17的形式,其中y =x +1,每个a i 为常数.试确定a 2的值.w ww .q bx t.cn0.2实系数和复系数多项式3习题2.解方程:x 4−x 2+8x −16=0.习题3.求所有满足f (x 2)=f 2(x )的非零多项式f (x ).习题4.试证明:多项式f (x )=1x 9−1x 7+13x 5−82x 3+32x 对所以整数x 都取整数值.习题5.分解因式:S n (x )=1−x +12!x (x −1)−13!x (x −1)(x −2)+···+(−1)nn !x (x −1)···(x −n +1).习题6.已知非常数实数列a 0,a 1,a 2,···,满足a i −1+a i +1=2a i ,i =1,2,3,···.求证:对于任意自然数n ,p n (x )=a 0C 0n (1−x )n +a 1C 1n x (1−x )n −1+a 2C 2n x 2(1−x )n −2+···+a n −1C n −1nx n −1(1−x )+a n C n n x n 是x 的一次多项式.习题7.设多项式f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 当x =−1,x =0,x =1,x =2时取值为整数.试证明:对于任意整数n ,f (n )为整数.习题8.求满足f (x 2−2x )=f 2(x −2)的所有非零多项式f (x ).0.2实系数和复系数多项式一.基本知识和性质在以下两节我们针对复数,实数,有理数和整数的特点,分别讨论复系数,实系数,有理系数和整系数多项式的根和因式分解以及其他相关问题.定理1.(代数基本定理)设f (x )为n (n >0)次复系数多项式,则f (x )至少有一个复根.定理2.任何n (n >0)次复系数多项式恰好有n 个复根(重根按重数计算).定理3.任何n (n >0)次复系数多项式都可以分解为n 个1次复系数因式的乘积.由定理2和定理3,设x 1,x 2,···,x k 为n (n >0)次复系数多项式f (x )的所有复根,重数分别为n 1,n 2,···,n k ,则n 1+n 2+···+n k =n 并且f (x )=a (x −x 1)n 1(x −x 2)n 2···(x −x k )n k .若不讨论复系数多项式的根的相重,即将m 重根看做m 个根,则可以得到多项式的根与系数的关系.事实上,记n (n >0)次复系数多项式f (x )=a 0+a 1x +···+a n −1x n −1+a n x n的n 个根为x 1,x 2,···,x n ,则有f (x )=a n (x −x 1)(x −x 2)···(x −x n ).(6)w ww .q bx t.cn4将(6)展开再比较系数可得根与系数的关系:8>>>>>>>><>>>>>>>>:x 1+x 2+···+x n =−a n −1a n ,X 1≤i<j ≤nx i x j =a n −2a n,······,x 1x 2···x n =(−1)na 1a n.其中常用的是第一个和最后一个等式.反之,当上式成立时x 1,x 2,···,x n 为多项式f (x )=a 0+a 1x +···+a n −1x n −1+a n x n的n 个根.推论1.任何n (n >0)次实系数多项式的非实数的复根两两成对出现.推论2.每一个实系数多项式都可以分解成实系数的一次因式和二次因式的乘积.我们指出,n 次单位根在实际解题过程(尤其是分解因式,多项式的整除等)中具有特殊的作用.在前面几节的某些例题和习题中我们实际已经用到了单位根的部分性质.设1,ω,ω2,···,ωn −1为全部n 次单位根,ω=cos 2πn +i sin 2πn ,则有x n −1=(x −1)(x −ω)(x −ω2)···(x −ωn −1),从而有x n −1+x n −2+···+1=(x −ω)(x −ω2)···(x −ωn −1),这个恒等式经常用到.并且由这个恒等式可知ω,ω2,···,ωn −1为多项式p (x )=x n −1+x n −2+···+1的全部n −1个根.二.例题例1.已知关于x 的方程x 4−(3m +2)x 2+m 2=0的四个实根成等差数列,求m .例2.设n 为自然数,f (x )=x 2+x +1,g (x )=(x +1)2n +1+x n +2.试证明:f (x )|g (x ).例3.设a,b,c 为实数,且多项式f (x )=x 3+ax 2+bx +c 的三个实根成等差数列.试指出a,b,c 应满足的充分必要条件.例4.设多项式f (x ),g (x ),h (x )和p (x )满足f (x 5)+xg (x 5)+x 2h (x 5)=(x 4+x 3+x 2+x +1)p (x 5),(7)试证:(x −1)|f (x ).例5.设复系数n 次多项式f (x )=x n +c n −1x n −1+···+c 1x +c 0满足|f (i )|<1(其中i =√−1).求证:存在实数a,b 使得f (a +bi )=0,且(a 2+b 2+1)2<4b 2+1.w ww .q bx t.cn0.2实系数和复系数多项式5例6.设实系数多项式f (x )=1+a 1x +···+a n −1x n −1+x n 的各项系数非负.证明:如果f (x )有n 个不同的实根,则f (2)≥3n .例7.设f (x )=x n +a 1x n −1+···+a n −1x +a n 与g (x )=x n +b 1x n −1+···+b n −1x +b n 为两个复系数多项式,g (x )的根为f (x )的根的平方.证明:若a 1+a 3+a 5+···和a 2+a 4+a 6+···为实数,则b 1+b 2+···+b n 为实数.例8.设n 次多项式f (x )=x n +a n −1x n −1+···+a 1x +a 0的系数全部为实数,且满足条件0<a 0≤a 1≤a 2≤···≤a n −1≤1.证明:若λ为f (x )的复根,且|λ|≥1则λn +1=1.例9.给定多项式序列如下:P 1(x )=x 2−2,P k (x )=P (P k −1(x )),k =2,3,···.求证:对任意自然数n ,方程P n (x )=x 的解为互不相同的实数.例10.设f (x )和g (x )都是不低于1次的多项式.对于复数a ,f (a )=0当且仅当g (a )=0;f (a )=1当且仅当g (a )=1.求证:f (x )=g (x ).三.习题习题1.设n 为自然数,证明:如果(x −1)|f (x n ),那么(x n −1)|f (x n ).习题2.为使实系数多项式f (x )=x 3+ax 2+bx +c 有三个成等比数列的不同实根,a,b,c 应满足什么条件?习题3.试通过考虑单位根确定所有自然数对(m,n ),使得多项式f (x )=1+x n +x 2n +···+x mn 能被g (x )=1+x +x 2+···+x m 整除.习题4.设n 为自然数，求证:多项式f (x )=x n +1−x n −1有一个模为1的复根的充分必要条件是6|n +2.习题5.设多项式f (x ),g (x )满足条件(x 2+x +1)|f (x 3)+xg (x 3),求证:(x −1)|f (x ),(x −1)|g (x ).(8)习题6.给定复系数n 次多项式f (x )=c 0+c 1x +···+c n x n .求证:存在复数z 0满足|z 0|≤1,且|f (z 0)|≥|c 0|+|c n |.习题7.设l,m,n 为自然数,证明:多项式f (x )=x 3l +x 3m +1+x 3n +2能被g (x )=x 2+x +1整除.习题8.设l,m,n 为自然数,试确定多项式f (x )=x 3l −x 3m +1+x 3n +2能被g (x )=x 2−x +1整除的条件.习题9.设l,m,n 为自然数,试确定多项式f (x )=x 3l +x 3m +1+x 3n +2能被g (x )=x 4+x 2+1整除的条件.。
4.8 复数和实数域上的多项式讲解
一名统计学家遇到一位数学家， 统计学家调 侃数学家说道： 你们不是说若Ｘ＝Ｙ且Ｙ＝Ｚ，则Ｘ＝Ｚ 吗！那么想必你若是喜欢一个女孩，那么那个女 孩喜欢的男生你也会喜欢罗！？” 数学家来也没事吧！因为它 们平均不过是五十度而已！ ”
授课时数：2 学时 教学重点：实系数多项式的标准型，代数基本 定理和复数域上多项式的标准型，Vieta 定理及应用。
教学难点：代数基本定理和复数域上多项式的 标准型 ，Vieta定理。
教学过程:
思 考
问题 1 在解一元二次方程时， 有求根公式， 那么三次及以上方程也有吗？
问题 2 一元二次方程有 Vieta 定理，高次方程有吗？
4.8 复数和实数域上的多项式 授课题目： 4.8 复数和实数域上的多项式
教学目标：熟练实系数多项式的标准型，学习一些 解决实系数多项式问题的方法和技巧； 理解代 数基本定理和复数域上多项式的标准型， 熟练 掌握 Vieta 定理， 了解一元三次方程、 四次方 程的根式解法以及 Galois 在根式问题解的重 大贡献。
也是f ( x)的根。
设，的重数分别为 k , l , 且k l , h( x) C[ x], 使得
k l f ( x) （x ） （ x ） h( x), 其中x 不整除h( x), 且
x 也不整除h( x)，由于k l
k k l k f ( x) （x ） （ x ） （ x ） h( x )
思考 我们已解决了实数域、复数域上的多项式的可
约性问题 ，求根问题那么还有哪一个常见数域上的多 项式的可约性问题和求根问题没有解决呢？ 答 常见数域有复数域、实数域和有理数域。还有有理数域 上的多项式的可约性和求根问题尚未解决，同时有理数域
复系数与实系数多项式因式分解
推论1 f ( x) C[x], 若 ( f ( x)) 1, 则 f ( x) 在 C
上具有标准分解式
f ( x) a( x 1)r1 ( x 2 )r2 ( x s )rs
其中1,2 , ,s是不同的复数，r1,r2, ,rs Z+
证：对 f ( x) 的次数作数学归纳． ① ( f ( x)) 1 时，结论显然成立. ② 假设对次数<n的多项式结论成立． 设 ( f ( x)) n，由代数基本定理, f ( x)有一复根 ． 若 为实数, 则 f ( x) ( x ) f1( x)，其中( f1 ) n 1.
( x2 pr x qr )kr
其中 c1,c2 , ,cs , p1, , pr ,q1, ,qr R, k1, ,ks ,l1, , ls Z ,
且 p2 4q 0, i 1,2 r ，即 x2 pi x qi 为 R上的不可约多项式.
推论2 f ( x) C[x]，若 ( f ( x)) n ，则 f ( x) 有n个 复根（重根按重数计算）．
二、实系数多项式
命题：若 是实系数多项式 f ( x) 的复根，则 的共轭复数 也是 f ( x) 的复根．
证：设 f ( x) an xn an1xn1 a0 , ai R 若 为根，则
n
n
f ( ) an n an1 n1 a0 0 两边取共轭有 f ( ) an n an1 n1 a0 0 ∴ 也是为 f ( x)复根．
实系数多项式因式分解定理
f ( x) R[x]，若 ( f ( x)) 1， 则 f ( x)可唯一 地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．
实系数多项式
55
第一章 多项式
若 不为实数，则 也是 f ( x) 的复根，于是
f ( x) ( x )( x ) f2( x) x2 ( )x f2( x)
设 a bi ，则 a bi, 2a R , a2 b2 R 即在R上 x2 ( )x 是 一个二次不可约多项式．
从而 ( f2 ) n 2. 由归纳假设 f1( x) 、f2( x)可分解成一次因式与二次
不可约多项式的乘积． 由归纳原理，定理得证．
§8 复系数与实系数多项式的因式分解 © 2009, Henan Polytechnic University
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推论1
第一章 多项式
f ( x) R[ x], f ( x) 在R上具有标准分解式 f ( x) an( x c1)k1 ( x c2 )k2 ( x cs )ks ( x2 p1x q1)l1
一、复系数多项式
第一章 多项式
1. 代数基本定理
f ( x) C[x] , 若 ( f ( x)) 1 , 则 f ( x) 在复数域 C上必有一根．
推论1（代数基本定理的等价叙述） f ( x) C[x] , 若 ( f ( x)) 1 , 则存在 x a C[x] ,
f ( x) a( x 1)r1 ( x 2 )r2 ( x s )rs
其中1,2 , ,s是不同的复数，r1,r2, ,rs Z+
推论2 f ( x) C[x]，若 ( f ( x)) n ，则 f ( x) 有n个 复根（重根按重数计算）．
§8 复系数与实系数多项式的因式分解 © 2009, Henan Polytechnic Un多项式
高等代数实系数和复系数多项式的因式分解
−
n−2
(ε 2
+
ε
n+2 2
)x
+
1].
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
例题选讲
例 设 f(x), g(x) 是两多项式，且 f(x3) + xg(x3) 可被 x2 + x + 1 整除， 则 f(1) = g(1) = 0.
两边取共轭数，有
f(α¯) = anα¯n + an−1α¯n−1 + · · · + a0 = 0,
这就是说，f(α¯) = 0，α¯ 也是 f(x) 的根.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
实系数多项式因式分解定理
. .. . . ..
高斯与代数基本定理
代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用. 据说，关于 代数学基本定理的证明，现有 200 多种证法. 迄今为止，该定理 尚无纯代数方法的证明. 大数学家 J.P. 塞尔曾经指出：代数基本 定理的所有证明本质上都是拓扑的. 美国数学家 John Willard Milnor 在数学名著《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直 观的证明，但是其中用到了和临界点测度有关的 sard 定理. 复变 函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中用到了很 多经典的复变函数的理论结果.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
高斯与代数基本定理
该定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的，但证明不完 整. 接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷，拉格朗日于 1772 年又重新证明了该定理，后经高斯分析，证明仍然很不严 格的. 代数基本定理的第一个严格证明通常认为是高斯给出的 (1799 年在哥廷根大学的博士论文)，高斯后来又给出了另外三个 证法，其中第四个证法是他 71 岁公布的，并且在这个证明中他 允许多项式的系数是复数.
复系数多项式的根
复系数多项式的根1. 引言复系数多项式是指其系数为复数的多项式。
与实系数多项式不同，复系数多项式的根可以是复数。
本文将介绍复系数多项式的根及其性质。
2. 复系数多项式的定义复系数多项式可以表示为以下形式：P(z)=a n z n+a n−1z n−1+⋯+a1z+a0其中a i是复数，z是一个变量，n是一个非负整数。
3. 复根与共轭根对于一个给定的复系数多项式P(z)，如果存在一个复数z0使得P(z0)=0，则称z0是P(z)的一个根。
如果z0是P(z)的根，则其共轭复数z0也是P(z)的根。
例如，对于一个二次方程P(z)=az2+bz+c，如果存在两个互为共轭的复根z1,z2，则有以下关系：P(z)=a(z−z1)(z−z2)其中(z−z1)(z−z2)表示二次方程的因式分解形式。
4. 复系数多项式的基本性质复系数多项式具有以下基本性质：4.1 零点定理零点定理指出，对于一个n次复系数多项式P(z)，如果P(z)的次数大于等于1，则P(z)至少有一个根。
4.2 多重根对于一个给定的复系数多项式P(z)，如果存在一个复数z0，使得(z−z0)k是P(z)的因式，其中k是正整数，则称z0是P(z)的一个多重根。
对应地，(z−z0)k称为该多重根的因子。
4.3 复系数多项式与实系数多项式实系数多项式可以看作是复系数多项式的一种特殊情况。
当所有系数都是实数时，复系数多项式即为实系数多项式。
对于实系数多项式而言，它的复根和共轭根总是成对出现的。
但对于复系数多项式而言，并不一定存在共轭根。
5. 复根与代数学结构在代数学中，我们可以将代数组成一个域（field）。
域是一个满足特定性质的数学结构，其中包含了加法和乘法运算，并且满足一些公理。
复数域是一个重要的域，它由实数域扩展而来。
复系数多项式的根就存在于复数域中。
复数域具有以下性质：5.1 代数闭包复数域是一个代数闭包，即任何一个非常值的复系数多项式都至少有一个根在复数域中。
复系数,实系数,有理系数多项式
问题 不同的多项式会不会定义出相同 的函数呢？
即，是否可能有 f (x) ≠ g(x) ,
而对于 F 中所有的数 α 都有 f (α ) = g(α ) ？
由定理 4.2 不难对这个问题给出一个否定的回答.
定理4.3 如果多项式 f (x) , g(x) 的次数都不超过 n ，而它们
对 n + 1 个不同的数 α1 , α2 , … , αn+1 有相同的值，即
于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成：
定理 4.5 (复系数多项式因式分解定理)
每个次数 ≥ 1 的复系数多项式在复数域上都可 以唯一地分解成一次因式的乘积.
因此，复系数多项式具有标准分解式
f ( x) = an ( x − α1 )l1 ( x − α2 )l2 "( x − α s )ls ,
证明 用 x -α 去除 f (x) ，设商为 q(x) , 余式
为一常数 c ，于是 f (x) = ( x -α ) q(x) + c .
以 α 代 x ，得 f (α ) = c . 证毕
f (x) = ( x -α ) q(x) + f (α )
如果 f (x) 在 x = α 的函数值 f (α ) = 0，那么α 就称为
第四节 复系数、实系数、 有理系数多项式
一、多项式函数
在这一节，我们将从函数的观点来考察多项式.
设 f (x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0
(1)
是 F[x] 中的多项式，α 是 F 中的数，在 (1) 中用 α
代 x 所得的数 anα n + an-1α n-1 + … + a1α + a0 称为 f (x) 当 x = α 时的值，记为 f (α ) .
高等代数考研辅导第1讲多项式
(1)零多项式只能整除零多项式 4.说明 (2) f ( x), cf ( x)有相同的因式和倍式
例1.1: 证明：x2 +x 1| x3m +x3n 1 x3 p 2 (m, n, p N ).
(1)( x 1) | f ( x n ) x n 1| f ( x n ) 同理可证明 (2) x 2 x 1| f ( x 3 ) xf ( x 3 ) ( x 1) | f ( x), ( x 1) | f ( x). 1 2 1 2
r 标准分解式:f ( x) cp1r1 ( x) p22 ( x) psrs ( x), c是f ( x)的首项系数,p1 ( x)， ，ps ( x)是首项系数为1的
互不相同的不可约多项式,ri是正整数.
k l r 1 (1) f ( x) ap1k1 ( x) prkr ( x) prk11 ( x) pmm ( x), g ( x) bp1l1 ( x) prlr ( x) qrlr1 ( x) qnn ( x), 其中pr 1 ( x), , pm ( x)与
(1)找u ( x), v( x), 使u ( x) f ( x) v( x) g ( x) 1; (2)证明f ( x), g ( x)的任一公因式都是非零常数； (3)证明( f ( x), g ( x)) 1的方法： (3)反证法； (4) f ( x)的均不是g ( x)的根.
2.因式分解定理及唯一性定理:P上每个次数 1的多项式f ( x )都可以唯一 分解成P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性指 f ( x ) p1 ( x ) ps ( x ) q1 ( x ) qt ( x ), 那么s t且适当调序后有pi ( x ) ci qi ( x )(ci 0)
27复数域和实数域上的多项式
定理2.14说明，实系数多项式的虚根（非 实复数根）成对.
例2.13 已知i ( i 2 =-1)是 f ( x) x6 3 x2 2 的一个二重根，求f ( x )在 中的全部根.
定理2.15： 上的不可约多项式只有一次多 项式和含有一对非实共轭复数根的二次多项式.
推论2.15 每个次数大于零的实系数多项式 都可唯一地分解成实系数的一次或二次不可约 因式的乘积.
利用根与系数的关系可以构造一个n次多项式使其恰以事先给定的n个数例212使它以5和2为单根以3为二重根
2.7.1 复数域C上的多项式
对于 一般的数域F上的多项式 f x ，它在F中 未必有根. 那么，它在复数域（这个最大的数域上）
是否有根？ 定理2.13（代数基本定理） 每个次数… 大于零的 复系数多项式在复数域内至少有一个根. 推论2.13.1 每个n（n>0）次复系数多项式在 复数域内恰有n个根（k重根按k个计）.
xn c1
xn1
cn .
1i j n
ci c j xn2
比较系数， 得到根与系数的关系为：
a2 c1c2 c1c3
a1 c1 c2
cn ,
cn1cn ,
cn2cn1cn ,
并且l1 ls 2k1 2kr n.
, r).
注：四次及四次以下的方程可用根号解（公 式解），五次和五次以上的方程不能用根号解.
, cn 为根.
例 2.12 求一个最高次项系数为1的4次多项式， 使它以5和-2为单根，以3为二重根.
2.7.2
定理2.14
实数域R上的多项式
设f ( x ) [ x ], 是一个非实复数.
一复系数多项式
求 x n 1 在 C 上与在 R 上的标准分解式. 在复数范围内 x n 1 有n个复根，
解： 1)
1, , ,
2
,
n1
这里
k
2 2 cos i sin , n 1 n n k 1,2, , n
2 n1
2k 2k cos i sin , n n
k1 , , ks , l1 , , l s Z ,
且 p 4q 0, i 1,2 r ，即 x pi x qi 为
2
2
R上的不可约多项式.
推论2
实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式，所有次数≥3的多项式皆可约.
例1
x n 1 ( x 1)[ x 2 ( n1 ) x n1 ]
[ x 2 (
2
)x
]
2 n1 2 ( x 1)( x 2 x cos 1) [ x 2 x cos 1] n n
当n为偶数时
x 1 ( x 1)( x 1)[ x (
n 2 n1
) x
]
n1
]
[ x 2 (
n 2 2
2
n 2 2
)x
n 2 2
n 2 2
2 n2 2 ( x 1)( x 1)( x 2 x cos 1) [ x 2 x cos 1] n n
∴ 2)
∵
x 1 ( x 1)( x )( x ) ( x
n
)
在实数域范围内
k
不同域上的不可约多项式
论文题目目录1、前言................................................................................................... 错误!未定义书签。
2、因式分解定理及唯一性定理 ..................................................... 错误!未定义书签。
3、复系数多项式................................................................................. 错误!未定义书签。
4、实系数多项式................................................................................. 错误!未定义书签。
5、有理系数多项式 ............................................................................ 错误!未定义书签。
艾森斯坦（Eisenstein）判别法 .................................. 错误!未定义书签。
艾森斯坦因（Eisenstein）判别法的变式..................... 错误!未定义书签。
艾森斯坦因（Eisenstein）判别法的等价定理............. 错误!未定义书签。
多项式的复根与其不可约性......................................... 错误!未定义书签。
n次整系数多项式在有理数域上的不可约的又一充分性错误!未定义书签。
6、有限域上的不可约多项式.......................................................... 错误!未定义书签。
复系数和实系数多项式的因式分解
§8 复系数和实系数多项式的因式分解一、 复系数多项式因式分解定理1．代数基本定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一个根.利用根与一次因式的关系，代数基本定理可以等价地叙述为：每个次数1≥的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式.由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式都是可约的，不可约多项式只有 一次多项式. 于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成：2．复系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一 地分解成一次因式的乘积.因此，复系数多项式具有标准分解式s l s l l n x x x a x f )()()()(2121ααα---=其中s ααα,,,21 是不同的复数，s l l l ,,,21 是正整数.标准分解式说明：每个n 次复系数多项式恰有n 个复根（重根按重数计算）.3结论 ：设 (),()f x g x 是复数域上的两个多项式，如果 ()f x 的根都是 ()g x 的根， 则 ()|()f x g x例：若)(|1n x f x -，则 )(|1n n x f x -4、n 次多项式的根与系数的关系.令.)(11n n n a x a x x f +++=- (1)是一个n (>0)次多项式,那么在复数域C 中)(x f 有n 个根,,,,21n ααα 因而在][x C 中)(x f 完全分解为一次因式的乘积:).())(()(21n x x x x f ααα---=展开这一等式右端的括号,合并同次项,然后比较所得出的系数与(1)式右端的系数,得到根与系数的关系.,)1(),()1(),(),),(21323112111124213213131212211n n n n n n n n n n n n n n a a a a a αααααααααααααααααααααααααααααα-=+++-=+++-=+++=+++-=------（其中第),,2,1(n k k =个等式的右端是一切可能的k 个根的乘积之和,乘以k )1(-.若多项式 n n n a x a x a x f +++=- 110)(的首项系数,10≠a 那么应用根与系数的关系时须先用0a 除所有的系数,这样做多项式的根并无改变.这时根与系数的关系取以下形式:.)1(,),(21013121022101n n n n n n a a a a a a αααααααααααα-=+++=+++-=-利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式.例1． 求出有单根5与-2,有二重根3的四次多项式.二、实系数多项式因式分解定理对于实系数多项式有：如果α是实系数多项式)(x f 的复根，那么α的共轭数α也是 )(x f 的根,即实系数多项式的非实的复数根两两成对出现。
6.7 复数域和实数域上的多项式讲解
mr
其中， a0 为 f x 的首项系数，且 m1 m2 mr 0 f x
3
高等代数与解析几何
6.7 复数域和实数域上的多项式
6.7.2 实数域上的多项式
定理 6.23 设 f x 为实系数多项式， 为 f x 的虚根，则 也是 f x 的根，且 与 的重数相同.
4
高等代数与解析几何
6.7 复数域和实数域上的多项式
从而， x - , x - 都是 f x 的因式.
令 g( x) x x x2 x R x 因 g ( x) f ( x) (?) ，则可令 f ( x) g ( x)h( x), h( x) R x .
5
高等代数与解析几何
6.7 复数域和实数域上的多项式
证 因 p x 不可约，则 0 ( p x )> 0 ，故 p x 在 C 内必有一个根
.若 为实数，则因 x - p x ，令 p x x q x ，但 p x 不可
约，则 q x c c 0 ，可见， p x c x ；若 为虚数，则 也 是 p x 的根， 从而 g x x x x 2 x 为 p x 的因 式，但 p x 不可约，则 p x b[ x 2 x ] (b 0) ，即 p x 是 含共轭虚根的二次多项式.
证 1 n 0 时， f x 有零个根，结论成立；
2 设 n 0 ，且当 n 1 时结论成立，而由定理 6.21 知： f x
必有一个根 .于是， x - f ( x ) .设
复系数多项式.
R上的不可约多项式.
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
推论2
实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式，所有次数 3的多项式皆可约.
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
附：单位根、单位原根
定义1 多项式 x n 1 在复数域上的任一根都称为
n 次单位根.
n x 1 的n个复根为 事实上,在复数范围内
复根（重根按重数计算）．
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
二、实系数多项式
命题：若 是实系数多项式 f ( x ) 的复根，则 的共轭复数 也是 f ( x ) 的复根．
n n1 f ( x ) a x a x a0 , ai R 证：设 n n1
1, , , ,
2
n1
这里
2 2 cos i sin , n 1 n n 2k 2k k cos i sin , k 0,1, , n 1. n n
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
定义2 若1, , , ,
若 为根，则
f ( ) an n an1 n1 a0 0
两边取共轭有
f ( ) an an1
n
n1
a0 0
∴ 也是为 f ( x ) 复根．
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
实系数多项式因式分解定理
f ( x ) R[ x ]，若 ( f ( x )) 1， 则 f ( x ) 可唯一
5 2 3 4
x 1 ( x 1)( x )( x )( x )( x )( x )
§8 复系数与实系数多项式的因式分解
x + pi x + qi (i =1,2,L, r)
2
是不可约的，也就是满足
p − 4qi < 0,i =1,2,L, r.
2 i
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实系数多项式因式分解定理 每个次数 ≥1的实系数多项式在复数域上都可以 唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积 . 证明： 证明：定理对一次多项式显然成立 . 假设定理对次数< n的多项式已经证明 . 设 f (x)是n次实系数多项式 . 由代数基本定理， f (x)有一复根 α是实数，则 f (x) = (x −α) f1(x), 其中f 1(x)是n－1次实系数多项式 . 如果α 不是实数， 则 α 也是 f (x)的根且 α ≠ α.
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于是
f (x) = (x −α)(x −α) f2 (x).
显然 (x −α)(x −α) = x2 − (α +α)x +αα 是一实系数二 次不可约多项式 . 从而 f 2(x)是n－2次实系数多项式 . 由归纳法假设，f1(x)与 f2(x)可以分解成一次与二次不 约多项式的乘积，因此 f (x) (x)也可以如此分解 .
§8 复系数与实系数多项式的 因式分解
对与复数域，有下面重要的定理：
代数基本定理
每个次数 ≥ 1的复系数多项式在复数域中有一个 根.
注1 代数基本定理的内容十分明了，但它的证明
需要用到进一步的知识，例如复变函数论，或微分拓 扑学 .
上页 下页 返回 结束
注2 代数基本定理显然可以等价叙述为：
每个次数 ≥1的复系数多项式，在复数域上一定 有一个一次因式 . 由此可知，在复数域上所有次数大于 1 的多项式 全是可约的 . 换句话说，不可约多项式只有一次多项 式 . 于是我们有 复系数多项式因式分解定理 每个次数 ≥1的复系数多项式在复数域上都可以 唯一地分解成一次因式的乘积 .ຫໍສະໝຸດ 上页下页返回
高等代数第1章.
例1 求方程2x4-x3+2x-3=0的有理根。 解： 由定理12，方程的有理根为r/s 则必有s⎪an=2，r⎪a0=-3 从而方程的可能有理根为±1,±3,±1/2,±3/2 用综合除法可知，只有1为方程的根。 例2 证明：f(x)=x3-5x+1在Q上不可约。 证明： 若f(x)可约 则f(x)至少有一个一次因式，即有一个有理根 但f(x)的有理根只可能是±1 而f(1)=-3，f(-1)=5 矛盾！ 所以f(x)不可约
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
代数基本定理：对于任意的f(x)∈C[x]，若 ∂(f(x))≥1，则f(x)在复数域C上必有一根。 利用根与一次因式的关系，代数基本定理 可以等价地叙述为： 推论1 对于任意的f(x)∈C[x]，若∂(f(x))≥1， 则存在x-a∈C[x]，使得(x-a)⎪f(x)，即f(x)在 复数域上必有一个一次因式。 推论2 复数域上的不可约多项式只有一次多项 式，即对于任意的f(x)∈C[x]，若∂(f(x))>1， 则f(x)可约。
+ε
n+1 2
)x + ε
n −1 2
ε
n +1 2
]
当n为偶数时 x n − 1 = ( x − 1)( x + 1)[ x 2 − (ε + ε n+1 ) x + εε n+1 ] ⋅ ⋅ ⋅
n− 2 2 n+ 2 2 n− 2 2
[ x 2 − (ε + ε )x + ε ε ] 2π n−2 2 2 = ( x − 1)( x + 1)( x − 2 x cos + 1) ⋅ ⋅ ⋅ [ x − 2 x cos π + 1] n n
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定理 实系数不可约多项式或为一次或为形如ax2 bx c
的二次多项式, 其中b2 4ac 0.
所以 上一元多项式的标准分解式为
m
r
f ( x) d ( x ai )li ( x2 bj x c j )hj
其中ai
i 1
且两两互异,
li
j1
是正整数(i
1,2,, m);
bj ,cj
的多项式.
解
因0
f
(ci )
ancin
an1cin1
ac 1i
a 且c
0
i
0,
所以
0
cn i
f
(ci
)
an
a c1 n1 i
a c( n1) 1i
a cn 0i
,
令 g(x)
a0 xn
a xn1 1
an1 x an ,
则
g(
1 ci
)
0.
又 c1,c2 ,,cn 非零且两两互异,所以 g(x)为所求.
,
hj
是正整数,
b
2 j
4c
j
0
且x2 bjx cj
两
两互素( j 1,2,,r)
l m
i1 i
2
h r
j1 j
deg
f
( x).
5.6 复系数和实系数多项式
例1
设f
(
x
)
an
x
n
an1
x
n1
a 1
x
a 0
的n个互
异的非零根为 c1,c2 ,,cn ,
求以
1 c1
,
1 c2
,,
1 cn
为根
a 1a b
1
0
1
a 2 a b
1
0
2
an (n
1)n
a n1 (n
1)n1
a (n 1
1)
a 0
b n1
5.6 复系数和实系数多项式
(续)
an
an
1n
2n
a n11n1 a n1 2n1
a 1 a
1
0
a 2a
1
0
b 1 b
2
a n ( n
1)n
a n1 (n
1)n1
第五章 多项式
5.6 复系数和实系数多项式
5.6 复系数和实系数多项式
定理(代数学基本定理) 每个 上次数大于零的 多项式在 至少有一个根.
5.6 复系数和实系数多项式
定理 上一元n次多项式 f(x) 在 中恰有n个
复根(重根按重数计算).
f ( x) c( x a )e1 ( x a )e2 ( x a )em
1
2
m
(1)
其中 ai 且两两互异, ei 0(i 1,2,, m),
且 e1 e2 em n.
式(1)称为 上多项式的标准分解式.
5.6 复系数和实系数多项式
定理(Vieta定理) 若在数域 F 上多项式
f ( x) xn a xn1 a x a ,
n1
1
0
在 F 中有 n 个根c1,c2 ,,cn , 即 f ( x) ( x c1)( x c2 )( x cn ), 则
5.6 复系数和实系数多项式
小结 (1)复系数多项式 不可约因式、标准分解式 (2)实系数多项式 复根成对出现、不可约因式、标准分解式
a (n 1
1)
a 0
b n1
由题设,bi (i 1,2,, n 1). 视 a0 ,a1 ,,an
为未知量,得到n+1元一次非齐次线性方程组,
系数矩阵的行列式是Vander Monde行列式,
其值非零.根据Cramer法则, 方程有唯一解,
且解是系数矩阵中的元素和b1,b2 ,,bn1 经过 实数的四则运算得到, ai (i 0,1,, n).
是它的根.
证明 令 p( x) ( x (a+bi))( x (a bi)) x2 2ax (a2 b2 ) [x]
则 p(x) 是实数域上不可约多项式. 因 p(x) 与 f(x) 在复数域上有公共根a+bi, 因此 p(x)|f(x), 故 a-bi 是 f(x) 的根.
5.6 复系数和实系数多项式
5.6 复系数和实系数多项式
例2 设 f ( x) [x], 对于任意的c , f (c) .
证明求设证:f
f (x) ( x) an
x
n[
x].a n1xn1来自a1x
a 0
,
其中
ai (i 0,1,, n). 我们要证明ai (i 0,1,, n)
事实上, 设
aann12nnaann1112nn11
c n i1 i
an1 ,
c c 1i jn i j an2 ,
(2)
c c c 1i jkn i j k an3 ,
c c ...c (1)na
12 n
0
5.6 复系数和实系数多项式
引理
设
f
(
x)
an
xn
a n1
xn1
a
1
x
a 0
[x].
若a bi(b 0;a,b ) 是 f(x) 的根, 则 a bi 也