复系数和实系数多项式

5.6 复系数和实系数多项式
例2 设 f ( x) [x], 对于任意的c , f (c) .
证明求设证:f
f (x) ( x) an
x
n[
x].a n1
xn1
a
1
x
a 0
,
其中
ai (i 0,1,, n). 我们要证明ai (i 0,1,, n)
事实上, 设
aann12nnaann1112nn11
第五章 多项式
5.6 复系数和实系数多项式
5.6 复系数和实系数多项式
定理(代数学基本定理) 每个 上次数大于零的 多项式在 至少有一个根.
5.6 复系数和实系数多项式
定理 上一元n次多项式 f(x) 在 中恰有n个
复根(重根按重数计算).
f ( x) c( x a )e1 ( x a )e2 ( x a )em
,
hj
是正整数,
b
2 j
4c
j
0
且x2 bjx cj
两
两互素( j 1,2,,r)
l m
i1 i
2
h r
j1 j
deg
f
( x).
5.6 复系数和实系数多项式
例1
设f
(
x
)
an
x
n
an1
x
n1
a 1
x
a 0
的n个互
异的非零根为 c1,c2 ,,cn ,
求以
1 c1
,
1 c2
,,
1 cn
为根
是它的根.
证明 令 p( x) ( x (a+bi))( x (a bi)) x2 2ax (a2 b2 ) [x]
则 p(x) 是实数域上不可约多项式. 因 p(x) 与 f(x) 在复数域上有公共根a+bi, 因此 p(x)|f(x), 故 a-bi 是 f(x) 的根.
5.6 复系数和实系数多项式
定理 实系数不可约多项式或为一次或为形如ax2 bx c
的二次多项式, 其中b2 4ac 0.
所以 上一元多项式的标准分解式为
m
r
f ( x) d ( x ai )li ( x2 bj x c j )hj
其中ai
i 1
且两两互异,
li
j1
是正整数(i
1,2,, m);
bj ,cj
a 1a b
1
0
1
a 2 a b
1
0
2
an (n
1)n
a n1 (n
1)n1
a (n 1
1)
a 0
b n1
5.6 复系数和实系数多项式
(续)
an
an
1n
2n
a n11n1 a n1 2n1
a 1 a
1
0
a 2a
1
0
b 1 b
2
a n ( n
Hale Waihona Puke Baidu1)n
a n1 (n
1)n1
的多项式.
解
因0
f
(ci )
ancin
an1cin1
ac 1i
a 且c
0
i
0,
所以
0
cn i
f
(ci
)
an
a c1 n1 i
a c( n1) 1i
a cn 0i
,
令 g(x)
a0 xn
a xn1 1
an1 x an ,
则
g(
1 ci
)
0.
又 c1,c2 ,,cn 非零且两两互异,所以 g(x)为所求.
a (n 1
1)
a 0
b n1
由题设,bi (i 1,2,, n 1). 视 a0 ,a1 ,,an
为未知量,得到n+1元一次非齐次线性方程组,
系数矩阵的行列式是Vander Monde行列式,
其值非零.根据Cramer法则, 方程有唯一解,
且解是系数矩阵中的元素和b1,b2 ,,bn1 经过 实数的四则运算得到, ai (i 0,1,, n).
5.6 复系数和实系数多项式
小结 (1)复系数多项式 不可约因式、标准分解式 (2)实系数多项式 复根成对出现、不可约因式、标准分解式
1
2
m
(1)
其中 ai 且两两互异, ei 0(i 1,2,, m),
且 e1 e2 em n.
式(1)称为 上多项式的标准分解式.
5.6 复系数和实系数多项式
定理(Vieta定理) 若在数域 F 上多项式
f ( x) xn a xn1 a x a ,
n1
1
0
在 F 中有 n 个根c1,c2 ,,cn , 即 f ( x) ( x c1)( x c2 )( x cn ), 则
c n i1 i
an1 ,
c c 1i jn i j an2 ,
(2)
c c c 1i jkn i j k an3 ,
c c ...c (1)na
12 n
0
5.6 复系数和实系数多项式
引理
设
f
(
x)
an
xn
a n1
xn1
a
1
x
a 0
[x].
若a bi(b 0;a,b ) 是 f(x) 的根, 则 a bi 也