大学概率论与数理统计期末试卷A+答案

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某某大学概率论与数理统计期末试卷A （20200115）

一、 单项选择(每小题3分，共30分，请用铅笔在选项框处涂黑，否则影响自动评分)

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

1. □ □ □ □

2. □ □ □ □

3. □ □ □ □

4. □ □ □ □

5. □ □ □ □

6.

□ □ □ □

7. □ □ □ □

8. □ □ □ □

9. □ □ □ □

10. □ □ □ □

二、（8分）假定有三种投资理财的方式：基金理财、国债理财、银行存款，每种投资方式相对物价(CPI)

上涨而言都存在一定的风险。某人只选择一种投资方式，且选择上述三种投资方式之一进行投资理财的概率分别为0.4、0.3、0.3。据统计，以上各种理财方式收益赶不上CPI 涨幅的概率分别为0.3，0.2，

0.2.求此人投资收益赶不上CPI 涨幅的概率。

三、（8分）某人的一串钥匙上有3把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开开门. 若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数X 的分布律和分布函数。

四、（10分）某旅客到达火车站的时间 X 均匀分布在早上7点55分到8点之间，而火车这段时间开出

的时间Y 的概率密度为2,05()250,Y y y f y -⎧≤≤⎪

=⎨⎪⎩

（

5）其他，求(1)此人能及时上火车的概率(2)已知在

=(05)Y y y ≤≤的条件下，X 的条件密度函数。

五、（10分）设随机变量X 与Y 独立同分布，且~(0,1)X N ，求22Z X Y =+的分布密度。

注意：学号参照范例用铅笔工整书写和填涂，上方写学号，下方填涂,一一对齐；每六点连线确定一个数字，连线不间断，不涂改；数字1可连左边或右边，请认真完成。选择题填涂选项作答，其它题须在框内作答。本卷共4页。

设123、、A A A 分布表示基金理财、国债理财、银行存款，B 为理财方式收益赶不上CPI 涨幅

3

1

()(()0.40.30.30.20.30.20.24===⨯+⨯+⨯=∑)i i i P B P A P B A

所求分布律为即1

()1,2,33P X k k ===，. 故所求分布函数为0

11

123()223

31

3x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪

≥⎩

（

1

）

1,05

5()0,

X x f x ⎧≤≤⎪=⎨

⎪⎩其它，

(,)=()()

X Y X Y f x y f x f y 与独立，则55

2(5)1

()(,).1253

x y

x

y P X Y f x y dxdy dx dy ≤-≤===⎰⎰

⎰⎰

（2）在=(05)Y y y ≤≤的条件下，

因为1,05

5()=()()0,

X X X Y x X Y f x y f x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩与独立，则其它

(,)=()()X Y X Y f x y f x f y 与独立，则，221

(,)exp{()/2}2f x y x y π

=

-+ 0()0≤=当时，Z z F z ，

2222

2222

22

20

00()()()1exp{()/2}21=2π

πθπ

+<-->=≤=+≤=

-+=⎰⎰⎰⎰

⎰当时，Z x y z

r r

z

r z F z P Z z P X Y z x y dxdy d e rdr e rdr

所以Z 的概率密度函数2

2

,0()0z

Z ze z f z -⎧⎪>=⎨⎪⎩，

其它

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六、（10分）设随机变量X 和Y 相互独立，概率密度分别为

22,0()0,x X e x f x -⎧≥=⎨⎩其他

， 2

12(),2Y f y e y π--

=-∞<<+∞（y ）

求: （1 ;)32(Y X E -）（2 );32(Y X D -）（3XY ρ）.

七、（8分）假设某天来超市的人数为1000人，每人的消费是独立的，每人购物开支服从U(40,200)分布（单位：元）， 问超市该天营业额介于11.8万~12.2万元之间的概率。( 1.369)0.0855( 1.000)0.1586Φ-=Φ-=，30=5.477

八、（10分）（1）设总体X 概率密度为

1(),2x

f x e x θ

θ

-=-∞<<+∞

其中θ为大于零的未知参数，n X X X ,,,21 为X 的样本，求θ的矩法估计量。 （2）总体X 分布律为

22

123

2(1)(1)X P

θθθθ--

其中θ为未知参数，n X X X ,,,21 为X 的样本，其某次观测值为：1，2，1，求θ的极大似然估计值。

九、（6分）设12,,

,n X X X 为正态总体),(2σμN 的样本，2X 和S 分别为样本均值和样本方差，设221

()T X S n

=-，

（1）证明T 是2μ的无偏估计量（2）当=0=1T μσ，时，求的方差。

解（1(23)23132E X Y EX EY -=-=-=-） （2(23)491910D X Y DX DY -=+=+=） （3）因为X 和Y 相互独立，所以0=XY ρ. 设i X 为第i 个人购物开支，1,2,,200i =，则()120i E X =，2

160()12i

D X =

且121000,,,X X X 相互独立，由中心极限定理得：1000

1i i X =∑近似服从25600000(120000,)12N ，所以所求概率为：1000

1122000120000118000120000

(118000122000)()()25600000256000001212

(1.369)( 1.369)12( 1.369)0.829i

i P X =--<<≈Φ-Φ=Φ-Φ-=-Φ-=∑

（1）1()02x

E X x e dx θθ-+∞-∞

==⎰

， 2221()2.2x

E X x e dx θ

θθ

-+∞-∞==⎰

22112n

i i X n θ==∑，2

1

1ˆ2θ==∑n i i X n ， 或222

11ˆ()()22θθ

--===

⇒=n n D X E X S S n n

（2）225

()()2(1)2(1)L θθθθθθ=-=-，ln ()ln 25ln ln(1)L θθθ=++-

ln 515ˆ0,16

d L d θθθθ=-==-

（1）

2222222

11

(()()()()()

E T E X E S D X E X D X n n n n

σσμμ=-=+-=+-=）

（2）1

~(0,)X N n

，22~(0,1),()~(1)1

1

X

X N n

n

χ则 22(1)~(1)n S n χ--，222()D X n =

，2

2()1

D S n =-，2X 与S 独立， 22221

222(()()=1(1)D T D X D S n n n n n

=+

+=--）