不确定性原理的推导
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（6）
二、位置与动量的不确定性
设测试函数f(x)，有（见（23）式）：
（7）
去掉测试函数，则：
（8）
令 ，把（8）代入（6）：
由于标准差是正值，所以位置与动量的不确定性：
（9）
三、时间与能量的不确定性
由（见（24）式）：
（10）
可得：
所以时间与能量的不确定性：
（11）
附：
1、数学符号及常量
：x的平均值
不确定性原理的推导
一、（普遍的）不确定性原理推导：
对于任意一个可观测量A，有（见（12）式）：
（1）
式中：
同样地，对于另外一个可观测量B，有：
式中：
由施瓦茨不等式（见（16）式），有：
（2）
对于一个复数z（见（17）式）：
（3）
令 ，（2）式：
（4）
又
类似有：
所以
（5）
式中Baidu Nhomakorabea易式：
把（5）代入（4），得（普遍的）不确定性原理：
（23）
（9）式：
所以，标准差：
（24）
参考文献：《Introduction to quantum mechanics》——David J Griffiths
：矢量（函数）α和β的点积（内积）
：j的不确定程度，即j的标准差
： ，其中h=6.6260693(11)×10-34J·s为普朗克常量
：
2、有关公式推导
（1）式：
（12）
（2）式：
对于 和
设 ，
则
（13）
（14）
（15）
构造方程：
其中t为未知数
显然，该方程最多仅有一个对t的解
该方程可写为：
因为其解只有0或1个，所以 ：
把（12）、（13）、（14）式代入，得：
（16）
（3）式：
设
则
所以
（17）
（6）式：
薛定谔方程：
（18）
可以写做：
及其共轭式：
所以
（19）
又
（20）
由（13）、（14）式，有：
（21）
利用分部积分公式：
（22）
（15）式可以写为
对第二项再分部积分，消去边界项（在±∞处Ψ趋于0），得：
所以：
又
则有（6）式中的（x、p为算符）：
二、位置与动量的不确定性
设测试函数f(x)，有（见（23）式）：
（7）
去掉测试函数，则：
（8）
令 ，把（8）代入（6）：
由于标准差是正值，所以位置与动量的不确定性：
（9）
三、时间与能量的不确定性
由（见（24）式）：
（10）
可得：
所以时间与能量的不确定性：
（11）
附：
1、数学符号及常量
：x的平均值
不确定性原理的推导
一、（普遍的）不确定性原理推导：
对于任意一个可观测量A，有（见（12）式）：
（1）
式中：
同样地，对于另外一个可观测量B，有：
式中：
由施瓦茨不等式（见（16）式），有：
（2）
对于一个复数z（见（17）式）：
（3）
令 ，（2）式：
（4）
又
类似有：
所以
（5）
式中Baidu Nhomakorabea易式：
把（5）代入（4），得（普遍的）不确定性原理：
（23）
（9）式：
所以，标准差：
（24）
参考文献：《Introduction to quantum mechanics》——David J Griffiths
：矢量（函数）α和β的点积（内积）
：j的不确定程度，即j的标准差
： ，其中h=6.6260693(11)×10-34J·s为普朗克常量
：
2、有关公式推导
（1）式：
（12）
（2）式：
对于 和
设 ，
则
（13）
（14）
（15）
构造方程：
其中t为未知数
显然，该方程最多仅有一个对t的解
该方程可写为：
因为其解只有0或1个，所以 ：
把（12）、（13）、（14）式代入，得：
（16）
（3）式：
设
则
所以
（17）
（6）式：
薛定谔方程：
（18）
可以写做：
及其共轭式：
所以
（19）
又
（20）
由（13）、（14）式，有：
（21）
利用分部积分公式：
（22）
（15）式可以写为
对第二项再分部积分，消去边界项（在±∞处Ψ趋于0），得：
所以：
又
则有（6）式中的（x、p为算符）：