第六节不定方程
不定方程的概念
不定方程的概念嘿，朋友！咱今天来聊聊不定方程这个有点神秘又挺有趣的家伙。
你想啊，咱们平常解的方程，比如说“x + 3 = 7”，解出来 x 就等于 4，这多简单直接，结果明明白白。
可不定方程就不一样啦，它就像个调皮的孩子，没那么听话，答案不是唯一确定的。
那到底啥是不定方程呢？简单说，不定方程就是未知数的个数多于方程的个数，而且解不是唯一确定的方程。
比如说“3x + 2y = 10”，这里有两个未知数 x 和 y，可方程就这一个，你说怎么能一下子就确定 x 和 y 到底是多少呢？这就好比你有一把钥匙，但不知道能开哪扇门，也许能开好几扇呢！不定方程在生活中也有不少影子。
就像你去买水果，苹果一个 3 块钱，香蕉一根 2 块钱，你一共花了 10 块钱，那你能一下子就知道买了几个苹果几根香蕉吗？不能吧，这就有点像不定方程的情况。
再举个例子，你要装修房间，已知每卷壁纸能贴 5 平方米，每桶油漆能刷 10 平方米，总共的墙面面积是 50 平方米，可你不知道到底用了几卷壁纸几桶油漆，这是不是也像个不定方程？解不定方程可不是件容易的事儿，得有点小技巧。
有时候可以通过整除的性质来判断，有时候要考虑余数，这就像走迷宫，得找对方向才能走出去。
咱来看看这个不定方程“5x + 7y = 31”，如果一个一个去试 x 和 y 的值，那得试到啥时候？这时候就得想想办法啦。
因为 31 除以 5 余 1，5x 肯定能被 5 整除，那 7y 除以 5 就得余 1，这样就能缩小 y 的取值范围啦。
总之啊，不定方程虽然有点让人头疼，但掌握了方法，也就没那么可怕。
就像爬山，看着高，一步步走，总能到山顶。
所以，别害怕不定方程，多练练，多琢磨琢磨，咱也能把它拿下！。
六年级奥数——第六讲 不定方程
第六讲 不定方程【知识要点】1、许多数学家需要用方程或方程组来求解。
要想获得未知数的唯一解，能独立列出的方程个数必须与未知数的个数相等。
如果方程个数少于未知数的个数，则称之为不定方程或不定方程组，以为此时未知数一般有无数多个解，解是不确定的。
但如果结合具体问题，增加一些对解的限制条件，如只求自然数解等，这样的不定方程的解就只有有限个或唯一一个了。
必须注意，限制条件中，有些是明显的，有些则是隐藏的。
2、求不定方程的自然数解或正整数解，关键是充分利用整除特征，尝试找出第一解；对于其他的所有解，可通过解的规律，逐一罗列出来，并不困难。
【例题精讲】例1：求下列方程的整数解（x ＞0，y ＞0）。
（1）5x+10y=14；（2）11x+3y=89.【思路点拨】5和10有公因数5，而14没有公因数5，所以原方程无整数解；y=29－3211-x ，11x －2能被3整除且x ＜9。
模仿练习：（1）求满足方程5x+3y=40的自然数解。
（2）设A 和B 都是自然数，且满足11A +7B =7757，求A+B 的值。
例2：某单位职工到郊外植树，其中31的职工各带了一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中有女职工多少人？【思路点拨】设有女职工x 人，男职工y 人，那么有孩子3y x +人，这个条件说明3|x+y 。
模仿练习：某小学共有大、中、小宿舍12间，能住80人。
每间大宿舍能住8人，每间中宿舍能住7人，每间小宿舍能住5人。
问中、小宿舍共有多少间？例3：有四个自然数A 、B 、C 、D ，它们的和不超过400.A 除以B 商5余5；A 除以C 商6余6；A 除以D 商7余7，这四个自然数的和是多少？ 【思路点拨】A=5B+5=6C+6=7D+7，A 一定是5,6,7的公倍数。
模仿练习：有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都小于10，把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。
不定方程
不定方程（组）解读课标如果一个方程（组）中，未知数的个数多于方程的个数，那么把这种方程（组）叫做不定方程（组）．不定方程（组）的解是不确定的，一般不定方程（组）总有无穷多个（组）解，但若加上整数（或正整数）解的限制，则不定方程（组）的解有无数组，或有限组，或不存在． 简单的不定方程是二元一次不定方程，它的一般形式是ax by c +=（a ，b ，c 为整数，且0ab ≠），与之相关的性质有： 1．无整数解的判定方法若(),a b d =，而|d c ，则方程ax by c +=没有整数解．2．全部整数解的表示若方程ax by c +=有一组解（特解）．00x x y y =⎧⎨=⎩，则方程ax by c +=全部整数解（通解）可表示为：00x x bt y y at =−⎧⎨=+⎩（t 为整数）． 例1 某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱用尽的条件下，有____种购买方案．试一试 设购买甲、乙两种运动服套数为x 套、y 套，则2035365x y +=，即4773x y +=．将问题转化为求不定方程的正整数解的个数．例2 如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是（ ）．A ．32千米B ．37千米C ．55千米D ．90千米试一试 设置限速标志、照相标志千米数分别表示为34x +、109y +（x ，y 为自然数)，问题转化为求不定方程34109x y +=+的正整数解．例3 （1）求方程254x y −=的全部整数解；（2）求方程537x y −=−的正整数解．试一试 对于（2），先表示出方程的全部整数解，再解不等式组确定方程的正整数解．例4 某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐22人，就会余下1人；如果开走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车，问：原先去租多少辆客车和学校师生共多少人？（已知每辆车的容量不多于32人）试一试 设原先租客车x 辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐k 人，则()()22112332x k x k +=−≤≤，解此不定方程即可．例5 购买铅笔7支，作业本3个，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4个，圆珠笔1支共需4元．问购买铅笔11支，作业本5个，圆珠笔2支共需多少元？分析 设铅笔、作业本、圆珠笔的单价分别为a 、b 、c ，则7331044a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，需求1152a b c ++的值．解法1 原方程组变形为3374410,b c a b c a +=−⎧⎨+=−⎩，解得132,b a c a =−⎧⎨=⎩ ()115211513225a b c a a a ∴++=+−+⨯=．解法2 把1152a b c ++直接用73a b c ++、104a b c ++的式子表示．()()11523731043345a b c a b c a b c ++=⨯++−++=⨯−=．解法3 ()()11521044a b c a b c a b c a b c ++=+++++=+++，需求出a b c ++，原方程组变形为()()623934a b c a b a b c a b ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩①② ①3⨯−②2⨯，得33421a b c ++=⨯−⨯=，1152415a b c ∴++=+=．例6 中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡．问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？分析与解 设鸡翁、鸡母、鸡雏数目分别为x ，y ，z ，则有10053100,3x y z z x y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩①②通过消元，将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解．②3⨯−①，得148200x y +=，即74100x y += ③到此，读者可用穷举法解之，我们还是用一般方法（分离整系数、运用整除）求出它的通解． 由③得100725244x x y x −==−+，令4x t =，则4x t =， 252258257y x t t t t ∴=−+=−+=−，()1001004257375z x y t t t =−−=−−−=+，这样，得到方程组的通解为4257375x t y t z t =⎧⎪=−⎨⎪=+⎩（t 为非负整数）． 4025703750,t t t ⎧⎪−⎨⎪+⎩≥≥≥043725t t t ⎧⎪⎪∴⎨⎪⎪−⎩≥≤≥ 解得03t ≤≤． 令0t =，1，2，3，得下列四组解：()(),,0,25,75x y z =，()4,18,78，()8,11,81，()12,4,84巩固练习1．若方程36832x y +=有一组解为6026,x y =⎧⎨=−⎩则方程的通解可表示为___________． 2．若方程231x y +=有一组整数解为11,x y =−⎧⎨=⎩则由此得方程236x y +=的通解为___________．3．用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张，每种邮票至少买一张，共有______种不同的买法．4．某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景，甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了________朵．5．方程4598x y +=的正整数解的个数是（ ）． A ．4 B ．5 C ．6 D ．76．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买（ ）．A ．11支B ．9支C ．7支D ．5支7．三元方程1999x y z ++=的非负整数解的个数有（ ）． A ．20001999个 B ．19992000个 C ．2001000个 D ．2001999个8．某次足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某球队参赛15场，积33分，若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情况可能有（ ）．A ．15种B ．11种C ．5种D ．3种9．一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时祖用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，那么共有多少种租房方案？10．某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（2）如果工厂招聘()010n n <<名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资，给每名新工人每月发1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W （元）尽可能的少？11．一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完．间盒子里共有多少粒棋子？。
不定方程ppt课件
解：因为（107，37）=1，所以有解；故
y 2x 25 33x 37
令y1
25 33x 37
,即7 y1
33x
25
x
y1
25 4 y1 33
令
25 4 y1 33
x1有 33 x1
4 y1
25
故y1
6 8x1
1 x1 4
,令1 x1 4
y2令x1
4y2
1
令y2 t, x1 1 4t 故
(5)几类特殊的不定方程
§1 二元一次不定方程
定义：形如 ax by c
其中 ( a 0,b 0)a,b,c为整数的方程称为二元 一次不定方程。
例：2X+3Y=5
5U+6V=21
定理： ax by c 有解的充要条件是
(a,b)|c
证：设方程有解 x0 , y0则有 ax0 by0 c
程有无穷解，其一切解可表示成
x y
x0 y0
b1t a1t
t 0,1,2,
其中
证 是：方把程的y解x 。yx00
b1t a1t
代入不定方程成立，所以
又设 x, y 是不定方程的任一解，又因为 x0 , y0
是一特解
则有 a(x x0 ) b( y y0 ) 0 ,即有 a1(x x0 ) b1( y y0 ) 有 a1 | b1( y y0 )
a1x1 a2 x2 d2t2 , d2t2 a3x3 d3t3, d t n1 n1 an xn c
先解最后一个方程的解，得 tn1, xn 然后把其代入倒数第二个方程求得一 切解，如此向上重复进行，求 得所有 方程的解。
例1：求不定方程 25x 13y 7z 4的整数解.
不定方程
要点提示:未知数的个数不少于两个的方程称为多元方程。
未知数的个数多于方程的个数叫做不定方程。
在列方程解应用题时经常会出现多元方程，看似未知数个数要比方程多，很难求解，但是题目中往往会给出其他一些限制条件，这些条件有明显的，也有隐蔽的，它们对问题的解决至关重要，在解题过程中需要酌情进行讨论。
不定方程的解法：用一个未知数表示另一个未知数，代值确定符合条件的解。
经典例题:1、小朋要买一只4角9分的卷笔刀，他手上有贰分和伍分的硬币各10枚，请问他可以怎样付钱？2、一商人将弹子放进两种盒子里,每个大盒子装12个,每个小盒子装5个,恰好装完.如果弹子数为99.盒子数大于9，问两种盒子各有多少个3、一学生发现自己今年(1991年)的年龄正好等于他出生那年的年份的各位数字之和,问这个学生今年几岁?4、公鸡1只值钱5,母鸡1只值钱3,小鸡三只值钱1,今有钱100，买鸡100只,问公鸡、母鸡和小鸡各买几只？5、一个生产大队有猪牛羊各若干头，牛的头数的10倍减去羊的头数结果再乘上10正好比猪牛羊的总数多4，如果猪牛羊的头数是质数。
问这个生产队有猪牛羊各多少头？反馈练习:1、一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的乘客人数相等，起初每辆汽车乘22人，结果剩下一人未上车；如果有一辆汽车空车开走，那么所以旅客正好能平均分乘到其他各车上。
已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？有多少旅客？2、小王用50元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种,每个价格分别为200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己愿望?3、一次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划发给一等奖每人6支，二等奖每人3支，三等奖每人2支；后来改为一等奖每人9支，二等奖每人4支，三等奖每人1支，问获一、二、三等奖的学生各几人？4、采购员用一张1万元支票去购物，购单价590元的A种物若干，又买单价670元的B种物若干，其中B种个数多于A种个数，找回了几张100元和几张10元的(10元的不超过9张)。
不定方程定义
不定方程定义不定方程定义及相关定义1. 不定方程定义不定方程是指含有未知数的方程，其解可能是整数或有理数，并且方程的系数是已知的。
不定方程的一般形式为：A1x1 + A2x2 + … + Anxn = B其中，A1, A2, …, An 是方程中的系数，x1, x2, …, xn 是未知数，B 是已知的常数。
2. 二元一次不定方程二元一次不定方程是指只含有两个未知数的一次方程。
一般形式为：A1x + A2y = B其中，A1、A2 和 B 是已知的常数。
解二元一次不定方程可以用到数论的知识，如贝祖等式、扩展欧几里得算法等。
3. 举例及理由例1：解二元一次不定方程 3x + 5y = 7。
•理由：这是一个经典的二元一次不定方程，解之可以帮助我们理解贝祖等式的应用。
例2：解二元一次不定方程 2x + 4y = 10。
•理由：这是一个特殊的二元一次不定方程，通过求解该方程，我们可以讨论贝祖等式的无解情况。
例3：解二元一次不定方程 4x + 3y = 2。
•理由：这是另一个特殊的二元一次不定方程，解之可以为我们提供扩展欧几里得算法的实际应用。
4. 相关书籍推荐•“Elementary Number Theory” by David M.Burton: 这本书是数论的经典教材，涵盖了不定方程以及其他数论概念的详细内容。
适合对数论感兴趣的读者，提供了丰富的例题和练习题。
•“An Introduction to the Theory of Numbers”by Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman, and Hugh L.Montgomery: 这是另一本优秀的数论教材，对不定方程及其解法进行了深入讲解。
书中提供了大量的例题和习题，适合进一步深入学习不定方程的读者。
以上是关于不定方程定义及相关定义的简要介绍和举例说明。
对于想要深入了解和研究不定方程的读者，推荐阅读上述书籍以获取更详细的知识。
不定方程求解方法
不定方程求解方法一、不定方程是啥。
1.1 不定方程呢，就是方程的个数比未知数的个数少的方程。
比如说，x + y = 5，这里就两个未知数x和y，但是就一个方程。
这就像你要去猜两个东西是啥，但是只给了你一个线索，有点像雾里看花，摸不着头脑。
1.2 这种方程在数学里可是很常见的。
它的解不是唯一确定的，往往有好多组解。
这就好比一个大宝藏，有好多条路可以通向它。
二、求解不定方程的一些常用方法。
2.1 枚举法。
这就像一个一个去试。
比如说对于简单的不定方程2x + 3y = 10，我们可以从x = 0开始试。
当x = 0的时候，y就不是整数了；当x = 1的时候，y也不是整数；当x = 2的时候，y = 2。
就这么一个一个试，虽然有点笨，但是对于一些简单的不定方程还是很有效的。
就像我们找东西，有时候没有捷径，那就只能一个角落一个角落地找，这就叫笨鸟先飞嘛。
2.2 利用数的性质。
比如说奇偶性。
如果方程是x + y = 11，我们知道两个数相加是奇数，那么这两个数必定是一奇一偶。
这就像给我们开了一个小窗户，能看到一点里面的情况。
再比如说倍数关系，如果方程是3x + 6y = 18，我们可以先把方程化简成x + 2y = 6，因为6y肯定是3的倍数，18也是3的倍数，所以x也得是3的倍数。
这就像是在一团乱麻里找到了一个线头，顺着这个线头就能把麻理清楚。
2.3 换元法。
就拿方程x²+ y²+ 2x 4y = 20来说，我们可以设u = x + 1，v = y 2，这样方程就变成了u²+ v²= 25。
这就像给方程换了一身衣服，让它看起来更顺眼，更容易解决。
这就好比我们整理房间，把东西重新摆放一下，看起来就整齐多了。
三、实际应用中的不定方程求解。
3.1 在生活里有很多地方会用到不定方程求解。
比如说你去买水果，苹果一个3元，香蕉一根2元，你带了10元钱，设买苹果x个，买香蕉y根，那方程就是3x + 2y = 10。
不定方程公式
不定方程公式不定方程，这听起来是不是有点让人摸不着头脑？其实啊，在咱们数学的世界里，它就像一个神秘的小怪兽，有时候会把同学们弄得晕头转向。
先来说说什么是不定方程。
不定方程呢，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。
比如说，3x + 4y = 10，这里有两个未知数 x 和y ，但只有一个方程，这就是不定方程啦。
我记得有一次给学生们讲不定方程的时候，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“孩子，这用处可大着呢！”就拿咱们分糖果来说吧。
假设老师手里有 20 颗糖果，要分给小明和小红，小明得到的糖果数是 3 倍的小红得到的糖果数再加上 2 颗，那咱们就能列出一个不定方程 3x + 2 + y = 20 ，这里 x 是小红得到的糖果数，y 是小明得到的糖果数。
通过求解这个不定方程，就能知道小明和小红可能分别得到几颗糖果啦。
那怎么求解不定方程呢？这就需要一些小技巧和公式啦。
比如说，如果是求整数解的不定方程，咱们可以用整除的性质来判断。
像 5x + 7y = 12 ，因为 12 能被 5 整除，所以 7y 也要能被 5 整除，y 就可能是 0 或者 5 的倍数。
还有一种常见的方法是同余法。
比如说 6x + 8y = 20 ，咱们可以先把方程两边同时除以 2 ，得到 3x + 4y = 10 。
然后看 3x 和 10 除以 4 的余数，通过分析余数来找到可能的解。
在实际解题中，咱们还常常会用到穷举法。
虽然听起来有点笨笨的，但有时候却很管用。
就像找钥匙一样，一把一把地试，总能找到那把对的。
比如说 2x + 3y = 15 ，咱们可以从 x = 0 开始，一个个地试，直到找到满足方程的整数解。
不过啊，同学们在解不定方程的时候，可别马虎大意。
我就碰到过一个同学，计算的时候丢三落四，结果解出来的答案风马牛不相及。
我跟他说：“你这解题啊，就像在黑夜里走路，没个准头。
不定方程
例2:证明
2 是无理数
证：假设 2 是有理数，则 x 2 2 y 2有正整数解.
设自然数 (a,b) 所有解中使得 a 最小一组解 . 即有 a 2 2b 2 容易知道a是偶数，设a=2a1， 代入又得到b为偶数，设 b 2b1 2 2 a 2 b 1 ,即 a1 , b1 也是方程的解, 则 1 这里 a b a1 b 1 这与a的最小性矛盾. ∴
z y 2
x 2 2
)
z y 2
z y 2
z y z y ( 且 2 , 2 ) 1
y 则有d|z，d|y，因而有d|x，所以d=1 , z 2 )d
y 2 x a2 , z b , 2 ab, a0, b0, (a, b) 1 2
于是由引理令
于是有x=2ab，y=a2-b2，z2=a2+b2，a>0,b>0,(a,b)=1 由y>0,知a>b>0 , 又y单，所以a ,b一奇一偶。
a1 x1 a2 x2 d 2t 2 , d 2t 2 a3 x3 d 3t3 , d n 1t n 1 an xn c
先解最后一个方程的解，得 tn1, xn 然后把其代入倒数第二个方程求得一 切解，如此向上重复进行，求 得所有 方程的解。
例1：求不定方程 25x 13y 7 z 4的整数解.
所以有
X 2 Y 2 1 即为单位圆的方程
y z
而有理点的坐标都是有理数，即为可约分数的形式，分数 的分子正好为x2+y2=z2的x和y分母为z，且正负都可，又可 交换即有
2ab a 2 b2 a 2 b2 2ab , 及 , 2 2 2 2 2 2 a 2 b2 a b a b a b
不定方程概念
不定方程概念
不定方程是一个含有未知数的方程，通常是一个非线性方程，其中未知数的数量大于方程中的已知系数的数量。
一个不定方程可能有多个解，而且通常没有一般的解析解。
不定方程的目标是找到满足方程的未知数的所有可能的取值。
不定方程的求解可以通过代数、数论、几何等方法进行。
代数方法通常包括代数运算和方程变形，以便将方程化简为已知数和未知数的关系。
数论方法通常使用数学的数论理论和性质，将方程的解限制在某些整数范围内。
几何方法通常使用几何图形和性质，将方程的解转化为几何问题的解。
不定方程在数学和工程领域中广泛应用，例如在密码学中的离散对数问题、模线性方程问题；在控制理论中的状态估计和参数辨识问题；在经济学中的最优化和均衡问题等等。
不定方程的求解方法和技巧因问题的不同而各异，需要灵活运用数学知识和解题技巧。
不定方程讲义
不定方程讲义不定方程是一种数学方程，其中变量存在于未知状态，即不能直接求出其值，而只能求解出其解的集合，而不是唯一的解。
因此，不定方程被称为是没有唯一解的方程。
它最早出现在16世纪，并在19世纪变得流行。
在20世纪，不定方程研究得到迅速发展，对现代数学的发展起着重要作用。
一般来说，不定方程有三大类：一类是一元不定方程，即一个未知量（比如x）只有一个；一类是二元不定方程，即有两个未知量（比如x、y）；还有一类是多元不定方程，即有多个未知量（比如x1、x2、x3等）。
一元不定方程的表达式由一个不等号构成，其左右两边的函数因式都是自变量。
一元不定方程的求解方法有两种：一是原根法，即先将不定方程化成一元二次方程，再利用二次方程的求解方法；二是递推法，即依次构造函数极值序列，并从中求解取得解。
二元不定方程的形式由两个不等号构成，其左右两边的变量可以不同，并且有可能存在多个解。
二元不定方程的解法大体分为两类：一是利用变量代换法，即变量同义表明方程的等价性；另一类是利用不定积分的方法，即根据定义先积分得到方程的解。
多元不定方程的表达式通常含有多个不等式，其中包括多个自变量，最常见的求解方法是利用矩阵把不定方程化成一元表达式，再利用之前介绍的求一元不定方程的方法求解。
此外，也可以利用多项式的方法，即把多元不定方程的表达式变换为多项式的形式，根据多项式的特性求解。
除了上述所提到的求解不定方程的三大类外，还有许多其他形式的不定方程，如指数不定方程、对数不定方程等。
它们的求解方法均不相同，但基本原理大致相同，最终都是要把不定方程变成一元表达式，再按照一元不定方程的求解方法求解。
总之，从本质上讲，不定方程是一种难以求解的方程，因为只能求得其解的集合，而无法直接得到唯一的解。
不过，利用现代数学的研究成果，我们现在可以用各种数学手段，比如偏微分方程、矩阵分析、不定积分等，来解决不定方程的求解问题，从而发掘出解的集合。
综上，不定方程是一组无法求出唯一解的一组方程，可以分为一元、二元和多元不定方程，各有不同的方式求解。
高中数学第六节不定方程
第六节 不定方程所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。
不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。
不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。
在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。
基础知识1．不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
2．解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。
以下给出几个关于特殊方程的求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义1.形如c by ax =+(,,,,Z c b a ∈b a ,不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
定理1.方程c by ax =+有解的充要是c b a |),(；定理2.若1),(=b a ，且00,y x 为c by ax =+的一个解，则方程的一切解都可以表示成⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t b a a y y t b a b x x ),(),(00t (为任意整数)。
定理3.n 元一次不定方程c x a x a x a n n =+++ 2211，(N c a a a n ∈,,,,21 )有解的充要条件是c a a a n |),,,(21 .方法与技巧：1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。
不定方程
不定方程【知识精要】形如x +y =4，x +y +z =3，yx 11+=1的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程．这些方程的解是不确定的，我们通常研究（1）不定方程是否有解？（2）不定方程有多少个解？（3）求不定方程的整数解或正整数解．对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理： 定理1．二元一次不定方程ax +by =c ，（1）若其中（a ，b ） c ，则原方程无整数解；（2）若（a ，b ）=1，则原方程有整数解；（3）若（a ，b ）｜c ，则可以在方程两边同时除以（a ，b ），从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为（2）的情形．如：方程2x +4y =5没有整数解；2x +3y =5有整数解．定理2．若不定方程ax +by =1有整数解⎩⎨⎧==00y y x x ，则方程ax +by =c 有整数解⎩⎨⎧==00cy y cx x ，此解称为特解．方程方程ax +by =c 的所有解（即通解）为⎩⎨⎧-=+=ak cy y bkcx x 00（k 为整数）．对于非二元一次不定方程问题，常用求解方法有：（1）恒等变形．通过因式分解、配方、换元等方法将方程变形，使之易于求解； （2）构造法．先利用恒等式构造一些特解，再进一步证明不定方程有无穷多组解； （3）估算法．先缩小方程中某些未知数的取值范围，然后再求解． 【例题精讲】一 二元一次不定方程例1．求方程4x +5y =21的整数解．解：因为方程4x +5y =1有一组解⎩⎨⎧=-=11y x ，所以方程4x +5y =21有一组解⎩⎨⎧=-=2121y x ．又因为方程4x +5y =0的所有整数解为⎩⎨⎧-==k y kx 45（k 为整数），所以方程4x +5y =21的所有整数解为⎩⎨⎧-=+-=k y kx 421521（k 为整数）．说明：本题也可直接观察得到方程4x +5y =21的一组特解⎩⎨⎧=-=51y x ，从而得到4x +5y =21的通解⎩⎨⎧-=+-=k y kx 4551（k 为整数）．练习1．求方程5x +3y =22的所有正整数解．解：方程5x +3y =1有一组解为⎩⎨⎧=-=21y x所以方程5x +3y =22有一组解为⎩⎨⎧=-=4422y x又因为5x +3y =0的所有整数解为⎩⎨⎧-==k y kx 53，k 为整数所以方程5x +3y =22的所有整数解为⎩⎨⎧+-=-=445223k y k x ，k 为整数由⎩⎨⎧>+->-04450223k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧<>544322k k ，所以k =8，原方程的正整数解为⎩⎨⎧==42y x ．说明：由此题可见，求不定方程的正整数解的方法是先求不定方程的所有整数解（通解），然后再求其中的正整数解．这通常需要解不等式组求出通解中k 的取值范围．若一次不定方程的特解不易观察得出，我们可以用辗转相除法求特解．下面通过例题说明这种方法．例2．求方程63x +8y =－23的整数解．解：（1）用x 、y 中系数较大者除以较小者．63=8×7+7． （2）用上一步的除数除以上一步的余数．8=7×1+1 （3）重复第二步，直到余数为1为此． （4）逆序写出1的分解式． 1=8－7×1=8－（63－8×7）×1=8－63+8×7=8×8－63． （5）写出原方程的特解和通解．所以方程63x +8y =1有一组特解⎩⎨⎧=-=81y x ，方程63x +8y =－23有一组特解⎩⎨⎧⨯-==23823y x ，所以原方程的所有整数解为⎩⎨⎧-⨯-=+=k y kx 63238823，k 为整数．练习2．求方程37x +107y =25的整数解． 解：107=2×37+3337=1×33+4 33=4×8+1所以1=33－4×8=33－（37－1×33）×8=37×（－8）+33×9=37×（－8）+（107－2×37）×9=107×9+37×（－26）所以方程37x +107y =1有一组整数解为⎩⎨⎧=-=926y x ，原方程的所有整数解为⎩⎨⎧-⨯=+⨯-=k y kx 372591072526，k 为整数．二 多元一次不定方程（组）的整数解多元一次不定方程的整数解问题可转化为二元一次不定方程来求解．下面通过例题进行说明．例3．求方程12x +8y +36z =100的所有整数解． 解：原方程可化为3x +2y +9z =25．将①分为⎩⎨⎧=+=+25923z t ty x②的一组解为⎩⎨⎧-==t y tx ，所以②的所有整数解为⎩⎨⎧--=+=1132k t y k t xk 1为整数．③的一组解为⎩⎨⎧==27z t ，所以③的所有整数解为⎩⎨⎧-=+=22297k z k tk 2为整数．将⑥代入④⑤，消去t 得，⎪⎩⎪⎨⎧-=---=++=212122397297k z k k y k k x （k 1，k 2为整数）．练习3．一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3．小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字之和等于21，则小明摸出的球中红球个数最多为几个？解：设红、黄、蓝球各摸出x 、y 、z 个，则⎩⎨⎧=++=++213210z y x z y x )2()1( ②③④ ⑤⑥⑦（2）－（1）消去x 得y +2z =11 （3）（3）的通解为⎩⎨⎧-=+=kz ky 521，k 为整数．所以x =10－y －z =4－k ，当k =0时，x 最大，此时y =1，z =5． 所以小明摸出的球中红球个数最多为4个．三 其他不定方程 例4．求不定方程2111=+y x 的正整数解． 解：原式变形为2x +2y =xy ，即（x －2）（y －2）=4所以⎩⎨⎧=-=-2222y x 或⎩⎨⎧=-=-1242y x 或⎩⎨⎧=-=-4212y x解得⎩⎨⎧==44y x 或⎩⎨⎧==36y x 或⎩⎨⎧==63y x ．练习4．求方程x 2－y 2=105的正整数解．解：（x +y ）（x －y ）=105=3×5×7所以⎩⎨⎧=-=+1105y x y x 或⎩⎨⎧=-=+335y x y x 或⎩⎨⎧=-=+521y x y x 或⎩⎨⎧=-=+715y x y x解得⎩⎨⎧==5253y x 或⎩⎨⎧==1619y x 或⎩⎨⎧==813y x 或⎩⎨⎧==411y x ．例5．求方程y 2+3x 2y 2=30x 2+517的所有正整数解解：原方程可变形为y 2+3x 2y 2－30x 2－10=517，即：（y 2－10）（3x 2+1）=3×13×13． 由于3（3x 2+1），所以3｜（y 2－10）．又因为3x 2+1>1，所以y 2－10>0，经实验可知y 2－10=39，3x 2+1=13． 所以x =2，y =7．说明：本题虽然简单，但也综合运用了恒等变形、估算等多种方法．练习5．求证方程x 3+113=y 3没有正整数解．解：假设方程有正整数解，则由x 3+113=y 3得（y －x ）（y 2+xy +x 2）=113． 由于y >x ，y >11，所以y 2+xy +x 2>112，于是y －x =1，y 2+xy +x 2=113． 所以（x +1）2+x （x +1）+x 2=3x 2+3x +1=113=1331，即3（x 2+x ）=1330．这与31330矛盾，所以原方程没有正整数解．例6．求方程x +y =x 2－xy +y 2的全部整数解．解：将原方程看成关于x 的一元二次方程：x 2－（y +1）x +（y 2－y ）=0． 若此方程有解，则△=（y +1）2－4（y 2－y ）≥0，即3y 2－6y －1≤0．解得：1－3321332+≤≤y ，所以y =0，1或2． 将y 的值代入原方程可解得：⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==01y x ，⎩⎨⎧==10y x ，⎩⎨⎧==12y x ，⎩⎨⎧==21y x ，⎩⎨⎧==22y x ．练习6．求方程x 2+y 2=2x +2y +xy 的所有正整数解．解：将原方程看成关于x 的一元二次方程x 2－（y +2）x +（y 2－2y ）=0． 若此方程有整数解，则△=（y +2）2－4（y 2－2y ）为完全平方数． 又因为△=－3（y －2）2+16∈[0，16]，所以△=0，1，4，9或16． 解得y =2或4．代入原方程解得⎩⎨⎧==24y x ，⎩⎨⎧==42y x 或⎩⎨⎧==44y x ．例7．求方程x 6+3x 3+1=y 4的整数解．解：（1）当x >0时，x 6+2x 3+1<y 4<x 6+4x 3+4，即（x 3+1）2<y 4<（x 3+2）2所以x 3+1<y 2<x 3+2，而x 3+1与x 3+2为两个相邻整数，中间不可能有其他整数，这说明x >0不成立．（2）当x =0时，y 4=1，y =±1．（3）当x =－1时，y 4=－1，y 无实数解．（4）当x ≤－2时，x 3+2<0，所以x 6+4x 3+4<y 4<x 6+4x 3+1，即（x 3+2）2<y 4<（x 3+1）2 所以－（x 3+2）<y 2<－（x 3+1），与（1）类似可证x ≤－2不成立．综上所述，⎩⎨⎧==10y x 或⎩⎨⎧-==10y x ．说明：本题先将原方程变形，利用不等式缩小x 的取值范围，再进行求解．练习7．求方程x 2+x =y 4+y 3+y 2+y 的整数解．解：原方程可变形为4x 2+4x +1=4y 4+4y 3+4y 2+4y +1． ∴（2x +1）2=（2y 2+y ）2+3y 2+4y +1 =（2y 2+y ）2+2×（2y 2+y ）+1+（－y 2+2y ） =（2y 2+y +1）2+（－y 2+2y ）（1）当⎩⎨⎧<+->++02014322y y y y ，即当y <－1或y >2时， （2y 2+y ）2<（2x +1）2<（2y 2+y +1）2而2y 2+y 与2y 2+y +1为两相邻整数，所以此时原方程没有整数解． （2）当y =－1时，x 2+x =0，所以x =0或－1． （3）当y =0时，x 2+x =0，所以x =0或－1． （4）当y =1时，x 2+x =4，此时x 无整数解． （5）当y =2时，x 2+x =30，所以x =－6或5．综上所述：⎩⎨⎧-==10y x ，⎩⎨⎧-=-=11y x ，⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧=-=01y x ，⎩⎨⎧=-=26y x ，⎩⎨⎧==25y x ．说明：本题与例7的解法基本思想相同，但各种条件更隐蔽，需要较高的洞察力．。
不定方程的解法
基本介绍编辑本段不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。
所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。
古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。
1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。
2发展历史编辑本段不定方程是数论中最古老的分支之一。
古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。
Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。
今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。
他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。
丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。
研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。
②有解时决定解的个数。
③求出所有的解。
中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。
秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。
百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。
百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。
设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。
3常见类型编辑本段⑴求不定方程的解；⑵判定不定方程是否有解；⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
4方程相关编辑本段4.1一次不定方程二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。
六年级知识点不定方程
六年级知识点不定方程不定方程是数学中的一个重要概念，对于六年级的学生来说，掌握不定方程的解法对于提高数学解题能力至关重要。
本文将为大家介绍六年级知识点不定方程的概念、解法及应用。
一、不定方程的概念不定方程是指方程中含有未知数的数值不确定，通常表示为形如ax + by = c的方程，其中a、b、c为已知的系数，x、y为未知数。
不定方程中，我们需要找到满足方程的整数解。
二、不定方程的解法1. 列举法列举法是最常用的解不定方程的方法。
具体步骤是：（1）将方程中的系数a、b与结果c分别取不同的整数值，列出方程的多组解；（2）逐个验证所列出的解是否满足原方程，验证通过即为方程的解。
2. 辗转相除法当方程中的系数a、b较大时，使用列举法效率较低，这时可以尝试使用辗转相除法。
具体步骤是：（1）先令a、b互换，使得a > b；（2）用b去除以a，得到余数r；（3）如果r为0，则a为原方程的最大公约数，b为原方程的解之一；（4）如果r不为0，则继续用r去除以b；（5）重复以上步骤，直到余数为0为止，最后一个余数不为0的除数即为原方程的最大公约数。
三、不定方程的应用不定方程在实际生活中有广泛的应用。
以下举例说明：1. 整数约分在分数的运算中，我们需要进行整数的约分操作。
不定方程的解法可以帮助我们快速找到分数的最大公约数，从而进行有效地约分操作。
2. 货币找零问题在日常购物中，我们经常遇到需要找零的情况。
不定方程的解法可以帮助我们计算出最少需要的货币张数，从而进行合理的找零操作。
3. 奥数问题奥数中有很多涉及不定方程的问题，掌握不定方程的解法可以帮助我们更好地解决这类问题，提高奥数竞赛的成绩。
四、总结六年级的学生通过掌握不定方程的概念、解法及应用，可以提高数学解题的能力，为提高数学成绩打下坚实基础。
在实际生活中，不定方程的应用也随处可见，能够帮助我们解决各种问题。
以上是关于六年级知识点不定方程的相关介绍。
通过学习和掌握，相信大家能够在数学学习中取得更好的成绩！。
(六)不定方程
不定方程一个方程含有两个或两个以上未知数时，叫做不定方程。
如果不限定解的性质，不定方程一般具有无穷多组解。
不定方程中，最基本的是二元一次不定方程，例如6x+4y= 36。
解二元一次不定方程一般分为3个步骤：(1) 把方程中的系数约化成最简比；(2) 找出方程的一组特解；(3) 通过一组特解找出方程所有的解。
含有更多未知数的方程，我们一般先把它转化成二元一次不定方程，然后再求解。
例如我们来解：6x+4y= 36先化简系数，得到：3x+2y= 18可以用x来表示出y：1832xy-=经过试验，找到它的一组整数解是不难的，如：x=4，y=3这组解也可以用其他的方法得到（例如余数分析法）。
通过这个方法，我们可以得到所有满足条件的解：x=0，y=9x=2，y=6x=4，y=3x=6，y=0我们注意：在原来的方程中，在原来解的基础上，我们把x增加2，y减小3，就可以使等式重新成立。
这样就可以找到另一组解了：x=6，y=0类似地，当x减小2时，y要加上3才行，这也是方程的另一组整数解：x=2，y=6这样我们可以用下面的式子来表示所有满足这个方程的整数解：x=4±2k，y=3 3k，其中k可以是任何整数。
类似地，我们可以写出方程3x-2y=18的所有解：x=6±2k，y=9±3k（k为任何数）例1 用1分、2分和5分硬币凑成1元钱，共有多少种不同的凑法？[分析与解答]设1分、2分、5分的硬币各为x, y, z个则可以列得不定方程x+2y+5z=100z的取值范围为0～20之间的整数。
当z取20，18，16，…，0时，对应y有1，6，11，…，51种取值，故分别有1，6，11，…，51个解；当z取19，17，15，…，1时，对应y有3，8，13，…，48种取值，故分别有3，8，13，…，48个解。
由（1+6+11+…+51）+（3+8+13+…+48）=541知，共有541种凑法。
[评注]此题与上题类似，也是先确定某个未知数的一组值，然后根据每个值的情况来求解其他未知数的值的数目。
不 定 方 程
不定方程导言：当方程中未知数的个数比方程的个数多时，我们就称这样的方程为不定方程。
比如：3x-4y=6，方程只一个，但未知数却有两个，这就是不定方程。
古希腊著名数学家丢番图曾在其著作《算术》中介绍过关于不定方程，所以不定方程又叫丢番图方程。
很明显，在不定方程3x-4y=6中，x、y的取值有无数个，不定方程的解往往有无数个。
我们这里介绍的不定方程，一般都会有条件限制，比如说上述不定方程中的x、y 只能是自然数，这样我们可以根据限制的条件来求出不定方程的解。
所以，解答这类方程，一定要找出题中明显或隐含的限制条件。
同时，我们这里介绍不定方程，最主要是介绍不定方程在解答应用题方面的作用。
例1．求不定方程7x+11y=276的自然数解解析：题中不定方程的限制条件就是x、y都是自然数将不定方程7x+11y=276变形为x=（276-11y）÷7由于x、y都是自然数，说明276-11y应该是7的倍数，y可以从最小的自然数1开始试验经过试验，y可取6、13、20相对应，x=30、19、8在解不定方程时，可将原方程变形，变为一个未知数用另一个未知数的代数式表示出来，再根据题中的限制条件，寻找合适的解。
例2．大客车有48个座位，小客车有30个座位。
现有306名旅客，要使每个旅客都有座位而且车上无空位，需要大、小客车各多少辆？解析：方法（一）列举法通过画表列举的方法，一一尝试，最终把答案找出来。
方法（二）假设法假设全部用小客车，需要10辆，另空出6个座位由于题目要求不能有空位，所以首先要弄清楚的是换几辆小客车挪出的空位正好能换成大客车，即是48的倍数。
经过尝试，退出3辆小客车，就有3×30+6=96人没座位，正好可乘两辆大客车。
所以，需要大客车2辆，小客车7辆方法（三）不定方程由于旅客人数、车辆数都是自然数，所以我们可以列出符合题意的不定方程，并求出它的自然数解。
设需要大客车x辆，小客车y辆则 48x+30y=306 即 8x+5y=51Y=（51-8x）÷5由于y是自然数，所以51-8x应该是5的倍数我们不难找出：x=2；y=7（另注：在解这个不定方程时，我们还可以从奇偶数的角度来解8x是一个偶数，51是个奇数，那么5y肯定是个奇数。
小学奥数——不定方程-教师版
第6讲 不定方程【知识要点】一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；常规方法：观察法、试验法、枚举法；多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较；解不定方程的步骤：1、列方程；2、消元；3、写出表达式；4、确定范围；5、确定特征；6、确定答案；技巧总结：A 、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数；B 、消元技巧：消掉范围大的未知数；【例题】例1、已知1999×△+4×□=9991,其中△, □是自然数,那么□= . 1998.提示: △是小于4的奇数,检验△=1或3两种情况即可.例2、不定方程172112=+y x 的整数解是 .没有整数解.若方程有整数解,则x 123,y 213,因此y x 21123+,且3|17,产生矛盾,因此原方程没有整数解.例3如果在分数4328的分子分母上分别加上自然数a 、b ,所得结果是127,那么a+b 的最小值等于 . 24。
依题意,有1274328=++b a , 于是可得12(28+a )=7(43+b )，即12a +35=7b ①显然,7|35.又因(12,7)=1,故7|a .由①知, b 随a 增大而增大,所以a 取最小值7时, b 也取最小值,是17. 所以, a +b 的最小值是7+17=24。
例4、甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6棵,其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人都植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵数大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有 人.32。
华杯赛初二辅导-第六讲-不定方程
华杯赛初二辅导 第六讲 不定方程一、知识概述不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.本讲重点，求一次不定方程（组）的整数解。
不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定.重要定理：设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有：定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；定理2 若),(00y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为特解），则⎩⎨⎧-=+=aty y bt x x 00,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.定理3 若),(00y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解，则),(00cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.求整系数不定方程c by ax =+的正整数解，通常有以下步骤： （1） 判断有无整数解； （2） 求出一个特解； （3） 写出通解；（4） 有整数t 同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解.解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：（1）分离整系数法； （2）穷举法； （3）因式分解法； （4）配方法； （5）整数的整除性； （6）奇偶分析； （7）不等式分析； （8）乘法公式.二、典型例题【例1】求下列不定方程的整数解（1）862=+y x ； （2）13105=+y x . 【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解. 【解答】（1）原方程变形为：43=+y x ， 观察得到⎩⎨⎧==1,1y x 是43=+y x 的一组整数解（特解）， 根据定理2 ，)(1,31是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=+=是原方程的所有整数解.（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，∴根据定理1，原方程的无整数解.【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.【实践】求下列不定方程的整数解（1）211147=+y x ； （2）11145=-y x .答案：（1）无整数解；（2）)(51,145是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=-= 【例2】求方程213197=+y x 的所有正整数解.【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y 来表示x ,再将含y 的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y 不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y 0，然后再求x 0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解. 【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.由原方程可得75323075314210719213yy y y y x -+-=-+-=-=， 由此可观察出一组特解为x 0=25，y 0=2.∴方程的通解为)(72,1925是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=+=.其中⎩⎨⎧>->+072,01925t t ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->72,1925t t ∴721925<<-t ∴0,1-=t 代入通解可得原方程的正整数解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,25.9,6y x y x 或 【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法. 这样就容易找出一组整数解来.【实践】求方程2654731=+y 的正整数解. 答案： x=4,y=3.【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.【解答】设需要大客车x 辆，小客车y 辆，根据题意可列方程 3783654=+y x ，即2123=+y x .又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解. 易知⎩⎨⎧==9,1y x 是一个特解，通解为)(99,21是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+=由题意可知⎩⎨⎧≥-≥+099,021t t 解得.3,2,1,0=t 相应地⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0,7.3,5.6,3.9,1y x y x y x y x 答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车.【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？ 答案：7【例4】某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日. 【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y. 根据题意可列方程 31x+12y=347.〈方法一〉 〈方法二〉特解：)(3116125165是整数通解：t ty t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== )31347(|123134712x x y -∴-=答：此人的生日为5月16日.【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解. 其中方法二是利用了同余的知识.1655125121121)(512)12(mod 711)12(mod 31347===∴=∴≤+≤∴≤≤+=∴≡∴≡∴y x x t t x t t x x x 代入原方程得：把是整数 .16503131161121251311121是符合题意解解得⎩⎨⎧==∴=∴⎩⎨⎧≤-≤≤+≤∴⎩⎨⎧≤≤≤≤y x t t t y x【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的31，求一切这样三位数的和. 答案：432【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n 满足698+=+mn n m ，则m 的最大值为 .【分析】把m 用含有n 的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m 的最大值. 【解答】∵698+=+mn n m ，∴n mn m 968-=-，n m n 96)8(-=- 由题意可得，n ≠8，∴8669866729869896-+=-+-=--=--=n n n n n n n m ， ∵m,n 为正整数， ∴ 当n=9时，m 有最大值为75.【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.【实践】(北京市数学竞赛题)有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3个连续的正整数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是 . 答案：28【例6】我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？ 【分析】分析：用x,y,z 来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1001003135z y x z y x如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程.【解答】解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++)2(1003135)1(100z y x z y x (2)×3－(1)得：14x +8y =200，即7x +4y =100.〈方法一〉)(71844.184是整数通解：，特解：t t y t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== .2,1,07181071804400=∴⎪⎩⎪⎨⎧<->⎩⎨⎧>->+∴⎩⎨⎧>>t t t t t y x 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===844128111878184,z y x z y x z y x 原方程有三组解：相应地 〈方法二〉〉下面的方法同〈方法一为整数）（通解：的特解是其特解为令.75004300.1004750030053,147t t y tx y x y x y x y x ⎩⎨⎧--=+==+⎩⎨⎧-==∴⎩⎨⎧-===+ 〈方法三〉下面方法同〈一〉是整数得：代入把是整数，即，，).(71844718)3(44).(44)4(mod 30:)4(mod 7100)7100(|4)3(71004t ty tx ty t x t t x x x x x y ⎩⎨⎧-=+=∴-=+=+=∴≡≡∴-∴-= 【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解.【实践】如果1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？ 答案：（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21）【例7】求方程23732=++z y x 的整数解.【分析】对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解.【解答】设t y x =+32，则原方程可看作⎩⎨⎧=+=+)2(.237)1(,32z t t y x 对于方程（1）x =-t ,y =t 是一个特解， 从而（1）的整数解是)()4(.2)3(,3-是整数u u t y u t x ⎩⎨⎧+=-= 又t =2,z =3是方程（2）的一个特解，于是（2）的整数解是)()6(.72)5(,3是整数v v t v z ⎩⎨⎧+=-= 将（6）代入（3）、（4）消去t 得到原方程的所有整数解为：)(.3,272,372是整数、v u v z u v y u v x ⎪⎩⎪⎨⎧-=++=---=【点评】一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一形式.【实践】求方程7892439=+-z y x 的整数解. 答案：)(.83213,3,238是整数、v u v u z v y u v x ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+-=【例8】(海峡两岸友谊赛试题)甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学没人有31个核桃，三组共有核桃总数是365个.问：三个小组共有多少名同学？【分析】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，由题意得365313028=++c b a . 要求c b a ++，可以运用放缩法从确定c b a ++的取值范围入手.【解答】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，则365313028=++c b a .∵)(31365313028)(28c b a c b a c b a ++<=++<++，∴2836531365<++<c b a .∵c b a ++是整数，∴c b a ++=12或13.但当c b a ++=13时，得132=+c b ，无正整数解. 答：三个小组共有12名同学.【点评】整体考虑和的问题，巧妙运用放缩法.【实践】Alice wants to buy some radios, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pens,2 bags,she will pay ¥302. Ifshe buys 5 radios,11 pens,3 bags,she will pay ¥508. Question: How much will Alice pay for 1 radio,1 pen and 1 bag? 答案：96【例9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标的数字和等于21.（1） 小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？ （2） 若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？【分析】由于知道三种球的个数和，因此可设二元.第（2）问计数问题的实质是就是求正整数解的组数. 【解答】（1）设小明摸的红球有x 个，黄球有y 个，蓝球有）（y x --10个，则21)10(32=--++y x y x ， 整理，得x y 29-=，因为x 、y 均为正整数，可知x 的最大值为4.即红球最多不超过4个.（2）由（1）知蓝球的个数是1)29(1010+=---=--=x x x y x z ，又∵.290.01,029,0,0,0,0<<⎪⎩⎪⎨⎧>+>->∴⎪⎩⎪⎨⎧>>>x x x x z y x 解得 ∴.4,3,2,1=x因此共有4种不同的摸法，如下：（1，7，2），（2，5，3），（3，3，4），（4，1，5）.【点评】此题求的是未知数的范围及可能取值的个数，因此不需要求出方程的通解，而是根据题意对未知数的限制利用不等式分析出未知数的取值范围，以及整数解的个数.【实践】已知有两堆水泥，若从第一堆中取出100袋放进第二堆，则第二堆比第一堆多一倍；相反，若从第二堆中取出一些放进第一堆，则第一堆比第二堆多5倍.问第一堆中可能的最少水泥袋数是多少？并在这种情况下求出第二堆水泥的袋数. 答案：170，40.【例10】设非负整数n ，满足方程n z y x =++2的非负整数（x,y,z ）的组数记为n a . （1）求3a 的值；（2）求2001a 的值.【分析】审清题中n a 的n 与方程n z y x =++2是同一个非负整数，3a 的含义是方程32=++z y x 的非负整数解的（x,y,z ）的组数.【解答】（1）当n=3时，原方程为32=++z y x ，由于.10,0,0≤≤≥≥z y x 得 当z=1时，方程为x+y=1，其解（x,y ）=(0,1),(1,0) 有2组；当z=0时，方程为x+y=3，其解（x,y ）=(0,3),(1,2)，(2,1),(3,0) 有4组. 综上，3a =6.（2）当n=2001时，原方程为20012=++z y x ，由于.10000,0,0≤≤≥≥z y x 得当z=1000时，方程为x+y=1，其解有2组；当z=999时，方程为x+y=3，其解有4组； 当z=998时，方程为x+y=5，其解（x,y ）=(0,5),(1,4)，(2,3),(3,2)，(4,1),(5,0)有6组；…；当z=0时，方程为x+y=2001，其解（x,y ）=(0,2001),(1,2000)，…，(2001,0) 有2002组. 综上，2001a =2+4+6+…+2002=1003002.【点评】此题综合较强，涉及解不定方程、分类讨论、计数等方面的知识，需要灵活运用所学只是解决问题.【实践】一次不定方程x+y+z=1999的非负整数解有( )个． CA.20001999B.19992000C.2001000D.2001999三、总结反思以上介绍了初中数学竞赛中一次不定方程的基本解法、各种解题技巧以及应用. 解不定方程的基本方法是分离整系数法，要熟练掌握. 在具体应用问题上，能将实际问题转化为不定方程的问题，并根据题意挖掘题目的隐含条件，也就是未知数的取值范围.四、巩固练习1．（2000年希望杯竞赛题）若a 、b 均为正整数，且2a>b ，2a+b=10，则b 的值为（ ） A ．一切偶数 B ．2、4、6、8 C ．2、4、6 D ．2、4 2．若正整数x,y 满足2004a=15y ，则 x+y 的最小值为 ．3．如果三个既约真分数6,432b a ，的分子都加上b ，这时得到的三个分数之和为6．求这三个既约真分数的和．4．（重庆市竞赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩余1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完.问：盒子里装有多少粒棋子？5．（2006年国际城市竞赛题）一辆汽车下坡的速度是72km/h，在平地上的速度是63km/h，上坡的速度是56km/h.汽车从A地到B地用了4h，而返程用了4小时40分，求AB两地的距离．答案：5 4.121 5.2731.D2.6733.12。
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第六节 不定方程所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。
不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。
不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。
在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。
基础知识1．不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
2．解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。
以下给出几个关于特殊方程的求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义1.形如c by ax =+(,,,,Z c b a ∈b a ,不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
定理1.方程c by ax =+有解的充要是c b a |),(；定理2.若1),(=b a ，且00,y x 为c by ax =+的一个解，则方程的一切解都可以表示成⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t b a a y y t b a b x x ),(),(00t (为任意整数)。
定理3.n 元一次不定方程c x a x a x a n n =+++Λ2211，(N c a a a n ∈,,,,21Λ)有解的充要条件是c a a a n |),,,(21Λ.方法与技巧：1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。
若有解，可先求c by ax =+一个特解，从而写出通解。
当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；2．解n 元一次不定方程c x a x a x a n n =+++Λ2211时，可先顺次求出332221),(,),(d a d d a a ==， ……，n n n d a d =-),(1.若n d c ，则方程无解；若n d |c ，则方程有解，作方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+--------c x a t d t d x a t d t d x a t d t d x a x a n n n n n n n n n n 11111122333322222211ΛΛΛΛ求出最后一个方程的一切解，然后把1-n t 的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。
3．m 个n 元一次不定方程组成的方程组，其中n m <，可以消去1-m 个未知数，从而消去了1-m 个不定方程，将方程组转化为一个1+-m n 元的一次不定方程。
（二）高次不定方程（组）及其解法1．因式分解法：对方程的一边进行因式分解，另一边作质因式分解，然后对比两边，转而求解若干个方程组；2．同余法：如果不定方程0),,(1=n x x F Λ有整数解，则对于任意N m ∈，其整数解),,(1n x x Λ满足)(mod 0),,(1m x x F n ≡Λ，利用这一条件，同余可以作为探究不定方程整数解的一块试金石；3．不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围，再分别求解；4．无限递降法：若关于正整数n 的命题)(n P 对某些正整数成立，设0n 是使)(n P 成立的最小正整数，可以推出：存在*1N n ∈，使得01n n <成立，适合证明不定方程无正整数解。
方法与技巧：1．因式分解法是不定方程中最基本的方法，其理论基础是整数的唯一分解定理，分解法作为解题的一种手段，没有因定的程序可循，应具体的例子中才能有深刻地体会；2．同余法主要用于证明方程无解或导出有解的必要条件，为进一步求解或求证作准备。
同余的关键是选择适当的模，它需要经过多次尝试；3．不等式估计法主要针对方程有整数解，则必然有实数解，当方程的实数解为一个有界集，则着眼于一个有限范围内的整数解至多有有限个，逐一检验，求出全部解；若方程的实数解是无界的，则着眼于整数，利用整数的各种性质产生适用的不等式；4．无限递降法论证的核心是设法构造出方程的新解，使得它比已选择的解“严格地小”，由此产生矛盾。
（三）特殊的不定方程1．利用分解法求不定方程)0(≠=+abc cxy by ax 整数解的基本思路：将)0(≠=+abc cxy by ax 转化为ab b cy a x =--))((后，若ab 可分解为Z b a b a ab i i ∈===Λ11，则解的一般形式为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=c b b y c a a x ii ，再取舍得其整数解； 2．定义2：形如222z y x =+的方程叫做勾股数方程，这里z y x ,,为正整数。
对于方程222z y x =+，如果d y x =),(，则22|z d ，从而只需讨论1),(=y x 的情形，此时易知z y x ,,两两互素，这种两两互素的正整数组叫方程的本原解。
定理3.勾股数方程222z y x =+满足条件y |2的一切解可表示为： 2222,2,b a z ab y b a x +==-=，其中1),(,0=>>b a b a 且b a ,为一奇一偶。
推论：勾股数方程222z y x =+的全部正整数解（y x ,的顺序不加区别）可表示为： d b a z abd y d b a x )(,2,)(2222+==-=其中0>>b a 是互质的奇偶性不同的一对正整数，d 是一个整数。
勾股数不定方程222z y x =+的整数解的问题主要依据定理来解决。
3．定义3.方程*22,,(4,1N d Z y x dy x ∈∈±±=-且不是平方数)是c dy x =-22的一种特殊情况，称为沛尔(Pell)方程。
这种二元二次方程比较复杂，它们本质上归结为双曲线方程c dy x =-22的研究，其中d c ,都是整数，0>d 且非平方数，而0≠c 。
它主要用于证明问题有无数多个整数解。
对于具体的d 可用尝试法求出一组成正整数解。
如果上述pell 方程有正整数解),(y x ，则称使y d x +的最小的正整数解),(11y x 为它的最小解。
定理4.Pell 方程*22,,(1N d Z y x dy x ∈∈=-且不是平方数)必有正整数解),(y x ，且若设它的最小解为),(11y x ，则它的全部解可以表示成： [][])()()(21)()(21*11111111N n y d x y d x d y y d x y d x x n n n n n n ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+=-++=. 上面的公式也可以写成以下几种形式：（1）nn n d y x d y x )(11+=+；（2）⎩⎨⎧+=+=++n n n n n n x y y x y y dy x x x 111111；（3）⎩⎨⎧-=-=-+-+11111122n n n n n n y y x y y x x x . 定理5.Pell 方程*22,,(1N d Z y x dy x ∈∈-=-且不是平方数)要么无正整数解，要么有无穷多组正整数解),(y x ，且在后一种情况下，设它的最小解为),(11y x ，则它的全部解可以表示为[][])()()(21)()(21*1211121112111211N n y d x y d x d y y d x y d x x n n n n n n ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+=-++=---- 定理6. （费尔马（Fermat ）大定理）方程3(≥=+n z y x nn n 为整数)无正整数解。
费尔马（Fermat ）大定理的证明一直以来是数学界的难题，但是在1994年6月，美国普林斯顿大学的数学教授A.Wiles 完全解决了这一难题。
至此，这一困扰了人们四百多年的数学难题终于露出了庐山真面目，脱去了其神秘面纱。
典例分析例1．求不定方程2510737=+y x 的整数解。
解：先求110737=+y x 的一组特解，为此对37，107运用辗转相除法：33372107+⨯=，433137+⨯=， 18433+⨯=将上述过程回填，得：378)372107(9378339)3337(93749374843748331⨯-⨯-⨯=⨯-⨯=-⨯-=⨯-=⨯--=⨯-=9107)26(3737261079⨯+-⨯=⨯-⨯=由此可知，9,2611=-=y x 是方程110737=+y x 的一组特解，于是650)26(250-=-⨯=x ，2259250=⨯=y 是方程2510737=+y x 的一组特解，因此原方程的一切整数解为：⎩⎨⎧-=+-=ty t x 37225107650。
例2．求不定方程213197=+y x 的所有正整数解。
解：用原方程中的最小系数7去除方程的各项，并移项得：753230719213y y y x -+-=-=因为y x ,是整数，故u y =-753也一定是整数，于是有375=+u y ，再用5去除比式的两边，得523573u u u y -+-=-=，令523u v -=为整数，由此得352=+v u 。
经观察得1,1=-=v u 是最后一个方程的一组解，依次回代，可求得原方程的一组特解：2,2500==y x ，所以原方程的一切整数解为：⎩⎨⎧+=-=ty t x 721925。
例3．求不定方程40823=++z y x 的正整数解。
解：显然此方程有整数解。
先确定系数最大的未知数z 的取值范围，因为z y x ,,的最小值为1，所以4823401=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≤≤z 。
当1=z 时，原方程变形为3223=+y x ，即2332x y -=，由上式知x 是偶数且102≤≤x 故方程组有5组正整数解，分别为⎩⎨⎧==132y x ，⎩⎨⎧==104y x ，⎩⎨⎧==76y x ，⎩⎨⎧==48y x ，⎩⎨⎧==110y x ；当2=z 时，原方程变形为2423=+y x ，即2324x y -=，故方程有3组正整数解，分别为：⎩⎨⎧==92y x ，⎩⎨⎧==64y x ，⎩⎨⎧==36y x ；当3=z 时，原方程变形为1623=+y x ，即2316x y -=，故方程有2组正整数解，分别为：⎩⎨⎧==52y x ，⎩⎨⎧==24y x ； 当4=z 时，原方程变形为823=+y x ，即238x y -=，故方程只有一组正整数解，为⎩⎨⎧==12y x 。