第十二章 无穷级数A同步测试卷
第十二章 无穷级数A同步测试卷教学文案
第十二章无穷级数A 同步测试卷第十二章 无穷级数同步测试A 卷一、单项选择题(每小题3分，共15分)1．下列级数中，收敛的是（ ）2100111111()22223++++++++L L L A n 2111111()23100222++++++++L L L n B211111()(1)()()2222+++++++L L n C n2111111()(1)()23222++++++++++L L L L n D n2．设1∞=∑n n u 为数项级数，下列结论中正确的是（ ）1()lim,1+→∞=<n n n u A l l u ，级数绝对收敛.1()lim,1+→∞==n n nu B l l u ，级数发散.1()lim,1+→∞=<n n nu C l l u ，级数绝对收敛. 1()lim,1+→∞=<n n nu D l l u ，级数条件收敛. 3．已知幂级数1∞=∑nn n a x 的收敛半径2=R ，则对幂级数1(3)∞=-∑n n n a x 而言，下列的x 值不能确定收敛或发散的是（ ）()2()2()1()1==-=-=A x B x C x D x4. 设常数0>k ，则级数121(1)∞-=+-∑n n k nn（ ）. ()A 发散. ()B 条件收敛. ()C 绝对收敛. ()D 收敛性与k 有关.5. 周期为2π的函数()f x ，在一个周期上的表达式为(0)()2(2)πππππ≤≤⎧=⎨-≤≤⎩x f x x x ，设它的傅里叶级数的和函数是()S x ，则(2)π=S （ ）.()()()2()02πππA B C D二、填空题(每小题4分，共20分)6. 级数111()23∞=+∑n nn 的和为 . 7. 幂级数2112(3)∞-=+-∑n n nn n x 的收敛半径为 . 8. 已知级数12111(1)2,5∞∞--==-==∑∑n n n n n u u ，则级数1∞==∑n n u .9．将1()2=-f x x展开为x 的幂级数时，其收敛域为 . 10．将()1(0)π=+≤≤f x x x 展开为余弦级数时，0=a .三、解答题(共65分)11. （8分）判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在. 因为11ln(1)(1)∞-=+=-∑n n n x x n ，因此取2=x 得112ln 3(1)∞-==-∑n n n n . 12. （8分）讨论级数2∞=n . 13. （8分）求级数2012!∞=+∑gnnn n x n 的和函数.14. （8分）将2125()65-=--xf x x x 展开为x 的幂级数.15. （8分）求极限212lim()(1)→∞+++>L n n na a a a .16. （8分）利用对展开式11(1)2sin +∞=-=∑n n x nx n 逐项积分，求2x 在(,)ππ-内的傅里叶级数.17. （8分）已知22116π∞==∑n n，求10ln 1+⎰x dx x .18. （9分）设有级数212(2)!∞=+∑nn x n ，验证此级数的和函数()y x 满足微分方程()()10''-+=y x y x ，并求幂级数212(2)!∞=+∑nn x n 的和函数.第九章 多元函数微分法及其应用同步测试A 答案及解析一、单项选择题答案详细解析1. 解 利用级数的性质.由于2100111222+++L 是常数，11123++++L L n 发散，因此()A 发散.由于11123100+++L 是常数，2111222++++L L n 收敛，因此()B 收敛.由于 211111(1)()()2222+++++++L L n n2111111(1)()23222=++++++++++L L L L n n这是一个发散级数与一个收敛级数的和，因此()C 发散.同理，()D 发散. 故选()B .『方法技巧』 本题考查无穷级数的性质.『特别提醒』 增加或去掉有限项，不影响级数的敛散性；一个收敛级数与一个发散级数的和发散.2. 解 比值审敛法只适用于正项级数，所以()A 不正确.事实上，令(1)=-nn u n ，11(1)(1)lim lim 11(1)++→∞→∞-+==-<-n n n n n nu n u n ，但级数1(1)∞=-∑nn n 发散. 令21=n u n ，2121(1)lim lim 11+→∞→∞+==n n n nu n u n，但级数211∞=∑n n 收敛，所以()B 不正确.若11lim lim 1++→∞→∞==<n n n n n nu u l u u ，则级数1∞=∑n n u 收敛，因此1∞=∑n n u 绝对收敛. 故()D 不正确，选()C .『方法技巧』 本题考查正项级数的比值审敛法及绝对收敛和条件收敛的概念.『特别提醒』 比值审敛法只限于正项级数使用.3. 解 由于1∞=∑nn n a x 的收敛半径2=R ，则幂级数1(3)∞=-∑n n n a x 在32-<x ，即15<<x 内绝对收敛，在5>x 或1<x 处发散，在1,5=x 不能确定，故选()D .『方法技巧』 本题考查幂级数的阿贝尔定理.『特别提醒』 阿贝尔定理经常出现在各类考试的选择题或填空题中，要求大家熟练掌握它.4. 解 由于 111221111(1)(1)(1)∞∞∞---===+-=-+-∑∑∑n n n n n n k n k n n n 由比较审敛法 22lim 01→∞=>n kn k n ，得121(1)∞-=-∑n n k n 绝对收敛；而111(1)∞-=-∑n n n 条件收敛，则级数 121(1)∞-=+-∑n n k nn条件收敛，故选()B . 『方法技巧』 本题考查正项级数的比较审敛法及绝对收敛、条件收敛的概念.5. 解 2π=x 是函数的间断点，则由狄利克雷收敛定理知，傅里叶级数收敛于(20)(20)0(2)222πππππ-+++===f f S故选()A .『方法技巧』 本题考查傅里叶级数的狄利克雷收敛定理.在函数的连续点0=x x ，级数收敛到0()f x ；在函数的间断点0=x x ，级数收敛到00(0)(0)2-++f x f x .『特别提醒』 首先要判断所求点是函数的间断点还是连续点（可以画出函数的图形），再应用狄利克雷收敛定理.二、填空题6. 328. 8 9. (2,2)- 10. 2π+答案详细解析6. 解 由于级数1111,23∞∞==∑∑n n n n 均为等比级数，且公比1<q ，因此两级数均收敛.又由收敛级数的和仍收敛，故111111111332()11232321123∞∞∞===+=+=+=--∑∑∑n n n n n n n 『方法技巧』 本题考查等比（几何）级数求和及级数的性质. 『特别提醒』 等比级数的和为1(1)1<-a q q，一定记住分子为第一项. 7. 解 211121112112(3)2(3)limlim lim 2(3)2(3)++++++→∞→∞→∞-++-+-==+-+-n n n n n n n n n n n n nn nn x u x n u x2212()113lim 233()13→∞+-+==-+n n n x x 由比值审敛法知：当213<x，即<x 213>x，即>x时，级数发散，因此级数的收敛半径为=R『方法技巧』 本题考查正项级数的比值审敛法及其特殊性.由比值审敛法判断级数1∞=∑n n u 收敛时，原级数1∞=∑n n u 绝对收敛；而级数1∞=∑n n u 发散时，原级数1∞=∑nn u也发散.这是由于比值审敛法判断级数发散是使用的必要条件，即lim 0→∞≠n n u ，此时lim 0→∞≠n n u ，故级数1∞=∑n n u 也发散.『特别提醒』 观察本题时，发现级数缺少偶数幂项，因此求收敛半径不可以直接应用公式，应使用比值审敛法或变量代换法（令2=t x ）.8. 解 由题设112342113511(1)2,5∞∞--==-=-+-+==+++=∑∑L L n n n n n u u u u u u u u u1234135123412()()∞==++++=+++--+-+∑L L L nn uu u u u u u u u u u u121112(1)2528∞∞--===--=⨯-=∑∑n n n n n u u『方法技巧』 本题考查收敛级数的性质——收敛级数的代数和仍收敛（此性质只适用于收敛级数）.『特别提醒』 一些同学不熟悉符号∑，可以将其写成普通和的形式，看起来会方便一些.9. 解 由于111()2212==--f x xx ，则当 12<x ，即2<x 时，函数可以展开为x 的幂级数，故收敛域为(2,2)-.『方法技巧』 本题考查形如1()1=-f x x的函数展开式及收敛域1<x .若函数不是标准形式，需先化为标准形式.10. 解 由傅里叶系数公式200221(1)(1)22πππππ=+=+=+⎰g a x dx x『方法技巧』 本题考查余弦级数的傅里叶展开式及系数公式：2()cos (0,1,2,)ππ==⎰L n a f x nxdx n则 01()cos 2∞==+∑n n a f x a nx （x 在连续点）三、解答题11. 解 运算过程是错误的.函数ln(1)+x 的幂级数展开式并不是在整个数轴上均为11(1)∞-=-∑nn n x n，而是在区间(1,1]-上，11ln(1)(1)∞-=+=-∑nn n x x n，故运算错误. 『方法技巧』 本题考查函数的幂级数展开式及幂级数的收敛域. 12. 解 当3≥n时，1<≤，又1=n ，由夹逼准则知10=≠n，故级数2∞=n . 『方法技巧』 本题考查级数收敛的必要条件： 1∞=∑n n u 收敛lim 0→∞⇒=n n u .即若lim 0→∞≠n n u ，则1∞=∑n n u 发散.『特别提醒』解题过程中用到了结论1=n ，证明如下：由于ln ln 1limlim0limlim 1→+∞→+∞→+∞=====x x xx xx x x x eeee故1=n一些数列的极限如果能够记住，会很方便，如1(0)=>n a；1=n 等.13. 解 222000111(1)1()()()2!!2!2(1)!2∞∞∞∞====+-+=+=+-∑∑∑∑g xn n n nnn n n n n n x x n x x e n n n n 22111()()(2)!2(1)!2∞∞===++--∑∑x n nn n x x e n n 22122111()()4(2)!22(1)!2∞∞--===++--∑∑x n n n n x x x x e n n 222242=++x x xx x e e e 『方法技巧』 本题考查函数xe 的展开式：0()!∞==-∞<<+∞∑nxn x e x n . 展开式 0!∞==∑nxn x e n 中，三处的n 要相同.『特别提醒』 若对∑符号不熟悉，可以将每一项直接写出. 在20()!2∞=∑nn n x n 中，n 从0开始取，但在1(1)1()(1)!2∞=-+-∑nn n x n 中，n 从1开始取.14. 解 21256(1)(6)6111()65(6)(1)6111()6---+===+=+--+-+----x x x f x x x x x x x x x01(1)()616∞==-+∑n n n xx （16<x 即6<x ） 011∞==-∑n n x x （1<x ） 故 2000125(1)()(1)()[1]6566∞∞∞===--==-+=+--∑∑∑n n n nn n n n n x x f x x x x x （1<x ） 『方法技巧』 本题考查形如1()1=-f x x的函数展开式及收敛域1<x .首先利用分式的性质，将2125()65-=--x f x x x 化为标准形式1111()6+---x x . 15. 解 所求极限实际上是级数1∞=∑n n na 的和，所以考虑幂级数1∞=∑n n nx .令 1211()[]()1(1)∞∞-==''====--∑∑n n n n x xS x x nxx x x x x （11-<<x ） 故 2221121lim()()1(1)(1)→∞+++===--L n n n a a S a a a a a a『方法技巧』 本题考查利用级数的和求其部分和的极限.关键是找到一个适当的幂级数，利用它求出常数项级数的和，再利用级数收敛的充要条件求极限.16. 解 由于当(,)ππ∈-x 时，有11(1)2sin +∞=-=∑n n x nx n ，而()=f x x 在(,)ππ-内连续，对展开式逐项积分得1001(1)2sin +∞=-=∑⎰⎰n xx n xdx nxdx n 1122011(1)(1)2cos 2(1cos )++∞∞==--=-=-∑∑n n x n n nx nx n n 故 112222111(1)(1)(1)4(1cos )44cos ++∞∞∞===---=-=+∑∑∑n n nn n n x nx nx n n n 021(1)4cos 2∞=-=+∑nn a nx n由傅里叶系数公式知 2200223πππ==⎰a x dx ，因此 3221(1)4cos ()3πππ∞=-=+-<<∑nn x nx x n 『方法技巧』 本题考查利用间接方法（对已知函数展开式逐项积分）将函数展开为傅里叶级数.省去了求傅里叶系数的过程（傅里叶系数中的,n n a b 计算比较复杂）.17. 解 11100000ln ln [(1)](1)ln 1∞∞===-=-+∑∑⎰⎰⎰n n n n n n x dx x x dx x xdx x 1112000(1)(1)ln 1(1)+∞∞+==--==++∑∑⎰nn n n n xdx n n 2200112(2)∞∞===-+∑∑n n n n 2222201116262612ππππ∞==-+=-+=-∑g n n 『方法技巧』 本题题型比较特殊，在被积函数中，需要将其中一个展开为x 的幂级数，逐项积分再求和.『特别提醒』 122220(1)1111(1)234+∞=-=-+-+-+∑L n n n 222221111112()23424=-----+++L L 222220000011111112(2)22∞∞∞∞∞======-+=-+=-∑∑∑∑∑n n n n n n n nn n18. 解 当(,)∈-∞+∞x 时，记21()2(2)!∞==+∑nn x y x n ，则 211()(21)!-∞='=-∑n n x y x n ，22211()1()1(22)!(2)!-∞∞==''==+=--∑∑n nn n x x y x y x n n 且(0)2,(0)0'==y y ，则 ()()1()1()10''-+=--+=y x y x y x y x ，故()y x 满足微分方程()()10''-+=y x y x . 由于幂级数212(2)!∞=+∑nn x n 的和函数为()y x ，因此所要求的是二阶常系数非齐次线性微分方程()()10''-+=y x y x 的满足条件(0)2,(0)0'==y y 的特解()y x . 其特征方程为210-=r ，特征根为1=±r ，对应的齐次方程的通解为12-=+x x Y C e C e ，观察知1*=y 是方程的一个特解，故其通解为121-=++x x y C e C e ，将(0)2,(0)0'==y y 代入得1212==C C ，即11()122-=++x x y x e e ，即幂级数 211121(2)!22∞-=+=++∑n x x n x e e n 『方法技巧』 本题考查幂级数逐项求导及二阶常系数非齐次线性微分方程求通解和通解.『特别提醒』 求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解时，也可用一般方法，设特解形式为*=y A （0λ=不是特征根），代入原方程中，求出特解.。
第十二章无穷级数A同步测试卷(最新整理)
1 1 1 1
2
23
『方法技巧』 本题考查等比（几何）级数求和及级数的性质.
『特别提醒』 等比级数的和为 a1 ( q 1) ，一定记住分子为第一项. 1 q
7. 解
lim un1 u n
n
lim n
2n1
n 1 (3)n1
x 2 n 1
2n
n (3)n
x 2 n 1
lim n
2n (3)n 2n1 (3)n1
x2
1 lim
( 2)n 1 3
x2 x2
3 n ( 2)n1 1
3
3
5
由比值审敛法知：当 x2 1，即 x 3 时，级数收敛；当 x2 1 ，即 x 3 时，
3
3
级数发散，因此级数的收敛半径为 R 3 .
『方法技巧』 本题考查正项级数的比值审敛法及其特殊性.由比值审敛法
判断级数 un 收敛时，原级数 un 绝对收敛；而级数 un 发散时，原级数
2 a2
n an )
S(1) a
a (1 1 )2
a (a 1)2
a
『方法技巧』 本题考查利用级数的和求其部分和的极限.关键是找到一个
利用分式的性质，将
f
(x)
12 5x 6 5x x2
化为标准形式 1 1 (
x)
1 1 x
.
6
15. 解
所求极限实际上是级数
n1
n an
的和，所以考虑幂级数
nx n
n1
.
令
S(x)
x
n1
nxn1
x[
n1
xn ]
x( x 1
) x
x (1 x)2
《无穷级数》单元检测参考答案
《无穷级数》单元检测参考答案一 选择题1, （C ） 2, (D) 3, (C) 4, (A) 5, (B)二 填空题1, )3,3(- 2 , ln2 3 , ⎪⎩⎪⎨⎧-=11)(x e x S x 00=≠x x 4 , 0 5, α>35三 （1）当λ≠0，±1，±2，⋯时，0sin )(lim ≠=+∞→λππμλπnn ,级数发散。
（2）当λ=0，±1，±2，⋯时，πμμπλπλ∑∑∞=∞=--=+-11sin )1()1()sin()1(n n nn n n ，μ≠0时，级数收敛，μ=0时，级数收敛于0。
四 设nn nn u )1()1(-+-=，由于11)1(1)1()1(+≥-+=-+-n n n nnn ，所以原级数非绝对收敛。
下面讨论其条件收敛情况：)21121()4151()2131(2n n S n -+++-+-=上式中括号内每项小于0，所以⎨S 2n ⎬单调下降。
又2122121)21221()4161()2141(2->++-=-+++-+->n n n S n ，所以，⎨S 2n ⎬有下界。
故S S n n =∞→2lim。
又S u S S n n n n n =+=+∞→+∞→)(lim lim 22212， 故原级数条件收敛。
五 因为{}0lim,,0≥=∴↓≥∞→a a a a n n n n 。
若0lim ==∞→a a n n ，则∑∞=-1)1(n n n a 收敛，与∑∞=-1)1(n n na 发散矛盾，所以，0lim>=∞→a a n n 。
对∑∞=+1)11(n nn a ，用柯西判别法：111)11(lim <+=+∞→a a n n n n ，所以，级数收敛。
六 由于 f(-x)=f(x),所以)00(='f .又02)0(>=''f ，所以f(x)在x=0取得极小值1，由泰勒公式：)(0)0(!21)0()0()(22x x f f f x f +''+'+=。
第十二章 级数
第十二章 无穷级数§ 1 常数项级数的概念和性质1、 设级数∑∞=053n nn ，则其和为（ ）A21B 53D 352、 若0lim=∞→nn a ，则级数∑∞=1n na （ ）A 收敛且和为C 发散可能收敛也可能发散3 、若级数∑∞=1n nu 收敛于S ，则级数)(11∑∞=++n n n u u （ ）A 收敛于2SB 收敛于2S+1u2S-1u D 发散4、若+∞=∞→n n b lim ，0≠nb ,求 )11(11+∞=-∑n n nb b 的值解： (=nS 11143322111)11......()11()11()11(++-=-+-+-+-n n nb b b b b b b b b b所以11limb S nn =∞→5、若级数∑∞=1n na 收敛，问数列{n a }是否有界解：由于0lim =∞→nn a ，故收敛数列必有界。
6、若aa nn =∞→lim，求级数)(11∑∞=+-n n n a a 的值解：=nS 1113221)......())(()(++-=-+-+-n n n a a a a a a a a故aa a a a a n n n n n -=-=-+∞→∞=+∑11111)(lim )(7、求)(12121-+∞=-∑n n n a a 的值解：=nS +-)(3a a aa a a a a n n n -=-+-+-+12121235)......()(故)(12121-+∞=-∑n n n a a =aa a n n -=-=+∞→1)(lim 128、求 ∑∞=++1)2)(1(1n n n n 的和 ()41§ 2 常数项级数的审敛法一、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判别下列级数的收敛性1、判定级数 ∑∞=+-1)13)(23(1n n n 的敛散性 解：由于)13)(23(1+-n n <21n,而∑∞=121n n收敛，故∑∞=+-1)13)(23(1n n n 收敛2、判定敛散性 ∑∞=11n nnn解： n n= 2121).1(1.....1.1.<-=-+<nn n n n n n故nnn 1>n21,而级数∑∞=121n n发散，故∑∞=11n nnn发散3、判定敛散性 ∑∞=+111n na)0(>a ,1>a 收敛; ≤<a 01, 发散4、判定敛散性 ∑∞=-++13221n nnn en en ne(收敛);二、用比值或根值审敛法判别下列级数的收敛性5、判定级数∑∞=1!.3n nnn n 的敛散性解：ea a nn n 3lim1=+∞→>1,所以∑∞=1!.3n nnnn 发散6、判定级数∑∞=-1354n nnn的敛散性解：154lim1<=+∞→nn n a a ，所以∑∞=-1354n nnn收敛7、 ∑∞=+112tan.n n n π收敛8、 nn n an ∑∞=+1)1(，1>a 收敛三、判别下列级数是否收敛。
无穷级数练习题
无穷级数习题一、填空题1、设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为nn n a x∞=∑11(1)n nn na x ∞+=-∑。
2、幂级数的收敛域为 。
0(21)nn n x∞=+∑3、幂级数的收敛半径 。
211(3)2n n nn n ∞-=-+∑R =4、幂级数的收敛域是 。
n ∞=5、级数的收敛域为 。
21(2)4nnn x n ∞=-∑6、级数的和为 。
(ln 3)2nnn ∞=∑7、。
111()2n n n ∞-==∑8、设函数 的傅里叶级数展开式为2()f x x x π=+()x ππ-<<，则其系数的值为。
1(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑3b 9、设函数 则其以为周期的傅里叶级数在点处的21,()1,f x x -⎧=⎨+⎩0,0,x x ππ-<≤<≤2πx π=敛于。
10、级数的和 。
11(1)(2)n n n n ∞=++∑11、级数的收敛域为 。
21(2)4nnn x n ∞=-⋅∑参考答案：1、 2、 3、 4、 5、(2,4)-(1,1)-R =[1,1)-(0,4)6、7、8、9、10、11、22ln 3-423π212π14(0,4)二、选择题1、设常数，而级数收敛，则级数是（ ）。
0λ>21n n a ∞=∑1(1)nn ∞=-∑（A ）发散 （B ）条件收敛（C ）绝对收敛（D ）收敛与有关λ2、设，，，则下列命题中正确的是（）。
2n n n a a p +=2n nn a a q -= 1.2n = （A ）若条件收敛，则与都收敛。
1nn a∞=∑1nn p∞=∑1nn q∞=∑（B ）若绝对收敛，则与都收敛。
1nn a∞=∑1nn p∞=∑1nn q∞=∑（C ）若条件收敛，则与的敛散性都不一定。
1nn a ∞=∑1nn p ∞=∑1nn q∞=∑（D ）若绝对收敛，则与的敛散性都不定。
无穷级数练习题
无穷级数练习题无穷级数题一、填空题1、设幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}ax^n$ 的收敛半径为3，则幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}na(x-1)^n(n+1)$ 的收敛区间为 $(-2,4)$。
2、幂级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(2n+1)x^n$ 的收敛域为 $(-1,1)$。
3、幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{( -3)^n}{n+2}(2n-1)x^n$ 的收敛半径 $R= \dfrac{1}{3}$。
4、幂级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{(n+1)(x-2)^{2n}}$ 的收敛域是 $(-\infty。
2) \cup (2.\infty)$。
5、级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{n^4(\ln3)^n}$ 的收敛域为 $(0,4)$。
6、级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$ 的和为 $\dfrac{\pi^2}{6}$。
7、级数 $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n(n-1)}$ 的和为 $1$。
8、设函数 $f(x)=\pi x+x(-\pi<x<\pi)$ 的___级数展开式为$a_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$，则其系数 $b_3$ 的值为 $0$。
9、设函数 $f(x)=\begin{cases} -1.& -\pi<x\leq 0 \\ 1+x。
& 0<x\leq \pi \end{cases}$，则其以 $2\pi$ 为周期的___级数在点$x=\pi$ 处的收敛于 $1$。
无穷级数练习题
Байду номын сангаас
∞
( x − 5) n ∑ n n =1
∞
五、求下列级数的和函数 1、
(−1) n −1 2 n −1 x ∑ n =1 2n − 1
∞
2、
∑ (n + 1) x n
n =1
3、
x n +1 ∑ n =1 n( n + 1)
∞
4、
(−1) n −1 2 n x ∑ n =1 n(2n − 1)
∞
六、将初等函数展开为幂级数 1、 将 ln(2 + x ) 展 开 为 x 的 幂 级 数 3、 将
3、 判定级数的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛 （1）
∞ ∞ (−1) n−1 n (−1) n−1 (−1) n n。 ； （ 2 ） ； （ 3 ） ∑ ∑ ∑ n n n =1 6n − 5 n =1 n =1 2 ∞
四、幂级数：判定下列级数的收敛半径，收敛区间 1、
∑ xn
n =1
∞
4、
无穷级数练习题 一、基本概念与性质
n +1 1、 判定 ∑ 的敛散性； n =1 2 n + 1
∞
9 ⋅ 6n 的敛散性。 2、 判定 ∑ n n =1 5 ⋅ 7
∞
二、正项级数：判定下列级数敛散性 1、
1 ∑ n n =1 2 3n + 100 ∑ 2 n =1 n + 1
∞
∞
4、
∑
n =1
∞
∞
1 n (n + 1)
1 展开为 x 的幂级数 1 + x2
5、 将
1 展开为 x − 1 的幂级数 4− x
高等数学习题册 第十二章 参考答案
1第十二章 无穷级数第一节 常数项级数的概念与性质1．填空： （1）1+1(-1)n n n -．（2）__0__．（3）111+-n ， _1_． （4）11+-n a a ，1a a -．（5） 收敛 ，12-s u ．（6） 发散_． 2．根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性，如果收敛，则求级数的和：（1）解：级数的部分和为...n s +++1-．因为lim 1)n n n s →∞→∞=-=+∞，即部分和数列不存在极限，所以原级数发散． （2）解：将级数的一般项进行分解得211111()(1)(1)2111n u n n n n n ===-+--+-， 所以，级数的部分和为111111111[()+()()...()]213243511n s n n =--+-++--+1111(1)221n n =+--+． 因为11113lim lim (1)2214n n n s n n →∞→∞=+--=+， 即部分和数列存在极限，且极限值为34，根据定义可得，原级数收敛，且收敛于34．（3）解： 因为lim lim sin 6n n n n u π→∞→∞=不存在，根据收敛级数的必要性条件可知，级数的一般项极限不为零，则原级数必定发散．3．判断下列级数的敛散性，如果收敛，则求级数的和： （1）解：这是一个公比为34-的等比级数，因为314-<，所以收敛．其和为13343171()4u s q-===----． （2）解：这是公比为32-的等比级数，因为3>12-，所以发散．（3）解：因为1lim lim=0100+1100n n n n u n →∞→∞=≠，根据收敛级数的2必要性条件可知，原级数发散． （4）解：因为级数123nnn ∞=∑是公比为23的等比级数，所以收敛，而级数1131=3n n n n∞∞==∑∑是发散级数，根据收敛级数的性质可知，原级数发散．（5）解：原级数的一般项ln (1)-ln n u n n =+，所以原级数的部分和(ln 2-ln1)(ln 3-ln 2)...[(ln(1)-ln ]n s n n =++++ln(1)-ln1ln(1)n n =+=+，因为lim limln(1)n n n s n →∞→∞=+不存在，所以原级数发散．（6）解：原级数变形为111[()()]32n n n ∞=+∑，因为级数11()3nn ∞=∑和11()2n n ∞=∑均为公比1q <的等比级数，所以原级数收敛． 其和为113321121132s =+=--．（7）解：因为313lim =3lim()3lim011+(1+)(1+)n nn n n n nn n n e n n→∞→∞→∞==≠，根据收敛级数的必要条件可知，原级数发散．第二节 常数项级数的审敛法1．填空： （1） 收敛 ．（2） 发散 ； 收敛 ；可能收敛也可能发散 ． （3）1k <；1k >时，1k =．（4）1p >；1p ≤时．（5）发散 ． （6）可能发散也可能收敛 ． 2．选择：（1）D ．（2）C ．（3）B ．（4）C ．3．用比较审敛法及其极限形式判断下列级数的敛散性：（1）解：因为222+1++2lim lim 11+2n n n n n n n n→∞→∞==，而级数11n n∞=∑发散，根据比较审敛法的极限形式（或者极限审敛法），原级数一定发散．（2）解：因为2211(1)(21)limlim 1(1)(21)2n n n n n n n n →∞→∞++==++，而3 级数211n n∞=∑收敛，根据比较审敛的极限形式（或者极限审敛法），原级数一定收敛．（3）解：因为0sin 22n n ππ≤≤，而12n n π∞=∑是公比为12的等比级数，根据比较审敛法，原级数一定收敛．（4）解：当>1a 时，110<1n na a ≤+而11n n a∞=∑是公比为1<1a 的等比级数，根据比较审敛法，级数111nn a ∞=+∑一定收敛； 当0<1a <时，因为1lim=101nn a →∞≠+，根据级数收敛的必要性条件，级数111nn a ∞=+∑发散； 当=1a 时，原级数即112n ∞=∑，发散． （5*）解：因为ln (1+)(0,1)x x x x <≠-<<+∞，所以111ln =ln(1+)n n n n +<，即原级数为正项级数； 同时，111ln =ln ln(1)111n n n n n n +-=-->+++， 则：21111110<ln 1(1)n n n n n n n n+-<-=<++， 而211n n∞=∑收敛，所以原级数也收敛． 4．用比值审敛法判断下列级数的敛散性：（1）解：2+122(1)1113lim lim(1)1333n n n nn n n →∞→∞+=+=<，根据比值审敛法，原级数收敛．（2）解：135(2+1)2+1(+1)!limlim 2>1135(21)+1!n n n n n n n n →∞→∞⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅⋅-，根据比值审敛法，原级数发散．4（3）解：+2+2+1+1(+1)tan+1122limlim 12tan 22n n n n n n n n n n ππππ→∞→∞=⋅=<，根据比值审敛法，原级数收敛．（4）解：1+12(1)!12(+1)lim 2lim()2lim <1112!(1+)n n n n n n n nnn n n n e n n n +→∞→∞→∞+===+， 根据比值审敛法，原级数收敛．5．用根值审敛法判别下列级数的敛散性：（1）解：1lim 12+12n n n n →∞=<，根据根值审敛法，原级数收敛． （2）解：1lim 01ln(+1)n n n →∞=<，根据根值审敛法，原级数收敛． （3）解：n b a， 当1ba<，即>a b 时，原级数收敛； 当>1ba ，即ab <时，原级数发散； 当1ba=，即=a b 时，原级数可能收敛也可能发散． 6．判别下列级数的敛散性： （1）解：10n n ==≠，根据收敛级数的必要条件可知，原级数发散．（2）解：原级数显然为正项级数，根据比较审敛法的极限形式，111lim =lim 1n n na b b aa n n→∞→∞+=+，所以原级数发散． （3）解：因为11lim 1>122nn n e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以原级数发散．7．判别级数的敛散性，若收敛，指出条件收敛还是绝对收敛： （1）解：因为11111(1)=33n n n n n n n ∞∞---==-∑∑，而1+11+113lim =lim <1333n n n n n n n n →∞→∞-=，所以级数113n n n ∞-=∑收敛，5因此原级数绝对收敛．（2）解：因为22(21)(21)cos 22n nn n n π++≤，又因为： 22+122(23)(23)12lim =lim 12(21)2(21)2n n n nn n n n →∞→∞++=<++，所以级数21(21)2nn n ∞=+∑收敛，因此原级数绝对收敛． （3）解：级数的一般项为：11(1)(1)10n n n u -=-+，因为1lim||lim(1)1010n n n n u →∞→∞=+=≠，所以原级数的一般项不趋近 于0，原级数发散． （4*）解：这是一个交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑，因为级数1n ∞=-∑发散（见第一节习题2（1）），所以原级数不是绝对收敛，又因为：0n n =，1n n u u +-=---==-，根据莱布尼兹定理可知，原级数收敛且是条件收敛．8*．解：先讨论0x >的情形． 当=1x 时，级数为112n ∞=∑，显然发散；当0<<1x 时，级数为正项级数，利用比值审敛法，1221+122221lim =lim lim 111n n n n n n n n n n nu x x x x x u x x x ++++→∞→∞→∞++⋅==<++， 所以此时级数211+n nn x x ∞=∑收敛且是绝对收敛； 当1x >时，同样利用比值审敛法，2121+12222111lim =lim lim1111n n n n n n n nn u x x x x u x x x +++→∞→∞→∞+++==<++，6 所以此时级数211+nnn x x∞=∑收敛且是绝对收敛； 再看<0x 的情形．当1x =-，级数为1(1)2nn ∞=-∑，显然发散；当10x -<<和1x <-时，级数为21()(1)1nn n n x x ∞=--+∑，这是一个交错级数，对其一般项取绝对值得到正项级数21()1nnn x x ∞=-+∑，按照同样的方法可知21()1nnn x x∞=-+∑收敛，也即原级数绝对收敛； 而当0x =时，级数显然收敛且绝对收敛；综合得，原级数在1x =±时发散，其他均为绝对收敛． 9*．证明：设111(1)n n n a S ∞-=-=∑，若∑∞=-112n n a 收敛，设2121n n aS ∞-==∑，则122121111(1)n n n n n n n a a a S S ∞∞∞--====--=-∑∑∑，即21nn a∞=∑收敛，所以22-111(+)nn n n n aa a ∞∞===∑∑收敛，与11(1)n n n a ∞-=-∑条件收敛矛盾，所以∑∞=-112n n a 发散．因为11(1)n n n a ∞-=-∑条件收敛，所以∑∞=1n n a 发散．10*证明：因为222||0nnn n a b a b +≥≥，所以∑∞=1n nnba 收敛；因为2220()2||n n n nn n a b a b a b ≤+≤++，所以∑∞=+12)(n n nb a收敛；令1n b n =，因为∑∞=12n n b 收敛，所以∑∞=1n n n b a 收敛，即∑∞=1n n na 收敛．第三节 幂级数1．填空：（1）绝对收敛 ； 绝对收敛 ．（2）1ρ；+∞；_0_．（3）_1_，7 (-1,1)．（4）12=R R ；(5) (),R R -．2．选择：（1）B ．（2）B ． （3）A ． （4）C ． （5*）B （提示：令=1y x -，则1111(1)n n n n n n na x na y ∞∞++==-=∑∑21211=()n n n n n n yna yy a y ∞∞-=='=∑∑）．（6）B ．（7）D ．3． 求下列幂级数的收敛域：（1）解：因为+11=lim lim 02(1)n n n na a n ρ→∞→∞==+，收敛半径为R =+∞，收敛域为(,)-∞+∞．（2）解：因为12121(1)(1)limlim 11(1)n n n n n na n a nρ++→∞→∞-+===-， 所以收敛半径1R =，收敛区间为(1,1)-；当1x =时，级数为211(1)nn n ∞=-∑，这是一个绝对收敛级数； 当1x =-时，级数为211n n∞=∑，这是一个收敛的正项级数； 综合得原级数的收敛域为[1,1]-．（3）解：121limlim 121n n n n a n a n +→∞→∞-==+1R ⇒=， 故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛，当1x =时，11(1)(1)12121n n n n n n ∞∞==--=--∑∑，级数发散，当2x =时， 1(1)21nn n ∞=--∑为收敛的交错级数，所以原级数的收敛域为(1,2]．（4）解：这是一个缺奇次项的幂级数，直接使用比值审敛法得：1()lim ()n n n nu x u x +→∞=2222n x x =⋅=，8 所以当22<1x，即x <<时，级数绝对收敛；当22>1x时，即x >或<x -时，原级数发散；当x =时，级数为1n ∞=∑，发散；当x =时，级数为21(1)nn ∞=--∑，发散（见第一节习题2（1））；所以，级数的收敛域为(-．（5*）解：因为+111111+231=limlim 111123n n n na n n a nρ→∞→∞+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+11lim(1)111123n n n→∞+=++++⋅⋅⋅+，因为正项级数11n n ∞=∑发散，因此111lim(1)23n n →∞+++⋅⋅⋅+=+∞，所以上述的=1ρ，即级数的收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-．当1x =±时，级数为∑∞=+⋅⋅⋅+++1)131211(n n x n，因为 111=1()23n u n n+++⋅⋅⋅+→∞→∞， 所以发散，综合得原级数的收敛域为(1,1)-． 4．求下列幂级数的收敛域与和函数：（1）解：先求收敛域：利用比值审敛法可得454141()45lim lim =()41n n n n n nx u x n x u x x n +++→∞→∞+=+， 因此，当41x <，即||1x <时，级数收敛； 当1x =时，级数为141n n ∞=+∑，发散；当1x =-时，级数为1()41n n ∞=-+∑，发散，所以级数的收敛域为(1,1)-．9为求和函数，令410()=41n n x s x n +∞=+∑，两端同时求导得：4141440001()==,(1,1)41411-n n n n n n x x s x x x n n x ++∞∞∞===''⎛⎫⎛⎫'==∈- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑∑再两端同时积分得：400111+1()(0)=()==ln arctan 4121-xxx s x s s x dx dx x x x '-+-⎰⎰， 显然(0)=0s ，所以原级数的和函数为11+1()=ln arctan ,(1,1)412x s x x x x +∈--．（2）解：212121(22)lim lim 2n n n n n nu x n x u x n ++-→∞→∞+==， 故当211x x <⇒<时级数绝对收敛，当||1x >时，级数发散． 当1x =-时，21112(1)2n n n n n ∞∞-==-=-∑∑发散，当1x =时，12n n ∞=∑发散，⇒ 收敛域为(1,1)-．令211()2(0)0n n S x nxS ∞-==⇒=∑2212211()21xxn nn n x S t dt ntdt xx ∞∞-==⇒===-∑∑⎰⎰22222()(||1)1(1)x x S x x xx '⎛⎫⇒==< ⎪--⎝⎭． （3）解：先求收敛域：因为1(+1)(+2)limlim 1(+1)n n n n a n n a n n ρ+→∞→∞===， 所以收敛半径为1，明显当1x =±原级数发散，故级数的收敛域为(1,1)-；令1()(1)(0)0nn S x n n xS ∞==+⇒=∑，121111()(1)xx nn n n n n S t dt n n t dt nxxnx∞∞∞+-===⇒=+==∑∑∑⎰⎰222211(1)n n x x x x x x x ∞=''⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑ 2232()(||1)(1)(1)x x S x x x x '⎛⎫⇒==< ⎪--⎝⎭．10（4）解：212121(21)lim lim (21)n n n n n nu x n x u x n ++-→∞→∞-==+，故当211x x <⇒<时级数绝对收敛， 当||1x >时，级数发散．当1x =-时， 12111(1)(1)(1)2121n n n n n n n +∞∞-==---=--∑∑为收敛的交错级数，当1x =时， 11(1)21n n n +∞=--∑为收敛的交错级数，⇒ 收敛域为[1,1]-．令1211(1)()(0)021n n n x S x S n +-∞=-=⇒=-∑， 122211()(1)1n n n S x x x∞+-='⇒=-=+∑ 201()(0)arctan 1xS x S dt x t ⇒-==+⎰()arctan (11)S x x x ⇒=-≤≤．第四节 函数展开成幂级数1．将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间：（1）解：利用间接展开法．因为=0=,(,)!nxn x e x n ∞∈-∞+∞∑，所以ln ln 00(ln )(ln ),(,)!!xn n xa x ann n x a a a eex x n n ∞∞======∈-∞+∞∑∑．（2）解：利用间接展开法．因为1(1)ln(1)=,(1,1]1n n n x x x n ∞+=-+∈-+∑，所以 ln()=ln[(1)]ln ln(1)x xa x a a a a++=++110(1)ln ,(,](1)nn n n a x x a a n a∞++=-=+∈-+∑． （3*）解：利用间接展开法．因为2(1)(1)...(1)(1)1...,||12!!m nm m m m m n x mx x x x n ---++=++++<122(1)x x -=⋅+11357113135...,(1,1]224246x x x x x ⋅⋅⋅=-+-+∈-⋅⋅⋅． 注：当1=2m -时，在右端点处收敛．（4）解：利用间接展开法．因为20(1)cos =,(,)(2)!n nn t t x n ∞=-∈-∞+∞∑，所以22100000(1)(1)cos d =[]d d (2)!(2)!n nxxx n n n n t t t t t t t t n n ∞∞+==--=∑∑⎰⎰⎰ 212200(1)(1)=d ,(,)(2)!(2)!(22)n nxn n n n t t t x n n n ∞∞++==--=∈-∞+∞+∑∑⎰． 2． 解：111(1)=,(,)!nx x x x x e ee e e x n ∞-+-=-=⋅=∈-∞+∞∑．3．解：011111(2),(0,4)2422212n n n x x x x ∞==⋅=-∈---∑． 4．解：将sin x 变形为：1sin sin[()])cos()662626x x x x ππππ=-+=-+-， 利用sin x 和cos x 的展开式可得2-121211sin ()()...221!622!6(1))(),(,)622n!6n n n x x x x x x ππππ-=+---++⋅⋅--+-∈-∞+∞⋅．5．解：211=()34154x x x x x x ----+5(5)111=()531(5)414x x x +--⋅-+-+111005111=(1)(1)(5)(1)(1)(5)3344n n nn n n n n x x ∞∞+++==---+---∑∑， 其中第一个展开式的收敛域为|5|<1x -，第二个展开式的收敛域为|5|<14x -，所以原函数的展开式的收敛域为|5|<1x -，即46x <<．第五节 函数的幂级数展开式的应用1．利用函数的幂级数的展开式求下列各数的近似值： （1）解：根据ln (1+)x 的展开式可得：35111ln2(...)(11)135x x x x x x +=+++-<<-（见教材）12令1=51x x +-，解得2(1,1)3x =∈-，带入上述展开式可得 35793579212121212ln 52(...)335793333=+⋅+⋅+⋅+⋅，如果取前五项作为其近似值，则1113151751113151712121212||=2(...)111315173333r ⋅+⋅+⋅+⋅+1123112312114114114=2(1...)111391517399⋅⋅+⋅+⋅+⋅+1123112322444(1...)119399<⋅++++ 111111112212290.00384111153319<⋅⋅=⋅⋅≈-，符合误差要求，因此取前五项作为其近似值，即35793579212121212ln 52() 1.61335793333≈+⋅+⋅+⋅+⋅≈．（2）解：根据cos x 的幂级数展开式可得246111cos18cos1()()() (10)2!104!106!10ππππ==-+-+， 6-61() 1.335106!10π≈⨯，所以取前四项作为近似值，即 246111cos181()()()0.950992!104!106!10πππ=-+-≈．（3）解：根据cos x 的幂级数展开式可得2621cos 111...2!4!6!x x x x -=-++， 于是可得0.50.5262001cos 111d =(...)d 2!4!6!x x x x x x--++⎰⎰ 3511111111=()()...0.123272!24!326!52⋅-⋅⋅+⋅⋅+≈． 2．解：因为sin arctan x x 、的展开式分为可以写为：33sin ()3!x x x o x =-+，33arctan ()3x x x o x =-+，所以3333001()sin arctan 16lim lim 6x x x o x x x x x→→+-==．第七节 傅里叶级数1．填空：（1）其中的任何两个不同函数的乘积在区间[,]ππ-上的积分为130，相同函数的乘积在此区间上积分不为0 ． （2）1()d f x x πππ-⎰，1()cos d (1,2,...)f x nx x n πππ-=⎰，1()sin d (1,2,...)f x nx x n πππ-=⎰． （3）02=0,()sin d n n a b f x nx x ππ=⎰．（4）1+π．（5）在一个周期内连续或者只有有限个第一类间断点 ， 在一个周期内至多有有限个极值点 ， 收敛 ，()f x ， 左右极限均值．2．下列函数以π2为周期，且在[,)ππ-上取值如下，试将其展开成傅里叶级数：（1）解：先利用系数公式得出傅里叶级数．2220111()d d ()2x xx a f x x e x e e πππππππ---===-⎰⎰， 22212()(1)()cos ,( 1.2 (4)n e ea f x nxdx n n ππππππ----==⋅=+⎰， 2-2121(1)()sin ,(n=1,2...)4n n e e nb f x nxdx nππππππ+---==⋅+⎰， 所以，函数的傅里叶级数为2-22221(1)()(2cos sin )44nn e e e e f x nx n nx nππππππ-∞=---+-+∑． 再考虑其收敛性．易知函数满足收敛性定理的条件，其不连续点为(21)(0,1,2,...)x k k π=+=±±，在这些点处，上述的傅里叶级数收敛于左右极限的均值，即22(0)(0)22f x f x e e ππ-++-+=，在连续点处，傅里叶级数收敛于函数2()=xf x e ，因此2-22221(1)()(2cos sin )44nn e e e e f x nx n nx nππππππ-∞=---=+-+∑(,),(21)(0,1,2,...)x x k k π∈-∞+∞≠+=±±．（2）解：先根据系数公式求傅里叶级数．40113()d sin d 4a f x x x x ππππππ--===⎰⎰， 41131sin cos (2cos2cos4)cos 422n a x nxdx x x nxdx ππππππ--==-+⎰⎰， 根据三角函数系的正交性，仅当=2,=4n n 时，0n a ≠，易得142411,28a a =-=，由于4()sin f x x =是[,]ππ-的偶函数，故0n b =； 又因为函数4()sin f x x =是连续函数，所以可得：311()cos 2cos 4,<<828f x x x x =-+-∞∞．3．解：(1) ()()f x x x ππ=-<<作周期延拓的图象如下：其分段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得．当时，，，所以 11sin ()2(1)()n n nxf x x xππ∞+==--<<∑，为所求． （2）()(02)f x x x π=<<作周期延拓的图象如下：其分段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得．当时，011()d d 0a f x x x x ππππππ--===⎰⎰1n ≥11cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππππ--==⎰⎰11sin sin d 0|x nx nx x n n ππππππ--=-=⎰11sin d d(cos )n b x nx x x nx n ππππππ---==⎰⎰1112cos cos d (1)|n x nx nx x n n n ππππππ+---=+=-⎰220011()d d 2a f x x x x πππππ===⎰⎰1n ≥22011cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππ==⎰⎰15 ，，所以1sin ()2(02)n nxf x x x ππ∞==-<<∑，为所求． 4．解：要展开为余弦级数，需对函数进行偶延拓，即定义函数1cos 02()cos ,02x x f x x x ππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩，，并将1()f x 以2π周期延拓到整个数轴，得到偶函数()g x ． 对()g x 进行傅里叶展开，显然有0n b =，且0024cos d 2x a x πππ==⎰，2024(1)cos cos d ()(=1,2,...)241nn x a nx x n n πππ-==--⎰，根据上述系数即可得到()g x 在整个数轴上的傅里叶展开式，由于()g x 连续，所以其傅里叶均收敛于()g x ，最后将展开式限制在[0,]π，既得()cos2xf x =的傅里叶展开式 2124(1)()cos ,[0,]41nn f x nx x n πππ∞=-=--∈-∑．4．解：将函数进行奇延拓，并求傅里叶系数：0(0,1,2,...)n a n ==，021sin [(1)1](1,2,...)42n n b nxdx n nπππ==---=⎰，因此函数()4f x π=的正弦级数展开式为11sin +sin 3sin 5...(0,)435x x x x ππ=++∈， 根据收敛性定理，在端点=0,=x x π处傅里叶级数收敛于零．令上式中的=2x π，即可得到1111 (4357)π=-+-+．第八节 一般周期函数的傅里叶级数1．填空：220011sin sin d 0|x nx nx x n n ππππ=-=⎰220011sin d d(cos )n b x nx x x nx n ππππ-==⎰⎰2200112cos cos d |x nx nx x n n n ππππ--=+=⎰16（1）-1()cos (0,1,2...)l n l n xa f x dx n l lπ==⎰-1()sin (1,2...)l n l n x b f x dx n l l π==⎰．（2）02()sin(n=1,2...)l n xf x dx l lπ⎰． 2．解：为展开为正弦级数，先将函数()f x 做奇延拓，其傅里叶系数为0(0,1,2,...)n a n ==；20222sin +(-)sin ll l n n x n xb x dx l x dx l l l lππ=⎰⎰224=sin2l n n ππ， 所以1()=sinn n n xf x b lπ∞=∑ 22224131517=(sin sin +sin sin +...)357l x x x xl l l l πππππ--， 由于()f x 连续，上述展开式对于任意的[0,]x l ∈均成立． 3．解：()2+||f x x =为偶函数，所以展为余弦级数，其系数为0(1,2,...)n b n ==，1002(2)d 5a x x =+=⎰，1222(cos 1)2(2)cos()(1,2,...)n n a x n x dx n n πππ-=+==⎰， 因为函数()2+||f x x =满足狄氏收敛定理，所以22152(cos 1)2||cos 2n n x n x n πππ∞=-+=+∑ 2225411(cos cos3cos5...)()235x x x x ππππ=-+++-∞≤≤∞． 令上式中的=0x ，可得2222111 (8135)π+++=，又2222222=11111111(...)(...)135246n n ∞=+++++++∑ 2222221111111(...)(...)4135123=+++++++所以22222=114111=(...)=36135n nπ∞+++∑．第十二章 自测题1．填空：17 （1）仍收敛于原来的和s ．（2） 均收敛 ； 均发散 ． （3）_1_；_2__．（4）34， 12， 34． 2．选择：（1）C ．（2）A （提示：使用阿贝尔定理）．（3）D （提示：ln ln ln 2ln ln 2ln 22()n n n e e n λλλλ--⋅--===）． （4）B ．（5）A ． （6）C ．3．判别下列级数的敛散性，若收敛指出绝对收敛或条件收敛： （1）解：根据正项级数的根值审敛法，有(!)lim n n n n →∞=+∞， 所以，原级数发散．（2）解：因为2211sin 4n n n π≤，而211n n∞=∑收敛， 所以原级数收敛且绝对收敛．（3）解：这是一个交错级数，由于(1)11=-ln -ln n n n n n n-≥，所以不是绝对收敛．因为111ln(1)ln n n n n-+-+-1ln(1)10(ln )[1ln(1)]n n n n n +-=<-+-+，且1lim=0ln n n n→∞-，根据莱布尼兹定理，级数收敛，即原级数条件收敛．（4*）解：根据比值审敛法，有1(1)lim ||lim ||1n pp n n n pa n n a a n a n +→∞→∞+⎛⎫== ⎪+⎝⎭， 所以，当||<1a 时，即11a -<<时，级数绝对收敛； 当||1a >，根据罗比达法则可知212+++ln (ln )lim lim lim(1)x x x p p p x x x a a a a a x px p p x --→∞→∞→∞=-， 因为p 是常数，有限次使用罗比达法则，可求出上述极限为无穷，因此lim np n a n→∞=∞，所以原级数发散；当1a =时，级数既为11pn n∞=∑，此时若01p <≤时，原级数18 发散，若1p >原级数收敛且绝对收敛；当1a =-时，级数既为1(1)npn n∞=-∑，此时，若01p <≤时，根据莱布尼兹定理可知，原级数条件收敛，若1p >时，根据比较审敛法可知，原级数绝对收敛．4．解：因为11113+(2)[3+(2)]1lim lim 3+(2)(1)[3+(2)]n n n n n nn n n n n n n n++++→∞→∞--+=-+-12[1+()]3lim 3112(1)[1+()]33n n nn +→∞-==+⋅⋅-，所以，级数的收敛半径为13，收敛区间为42(,)33--；在端点4=3x -处，级数为12(1)+()3nnn n ∞=-∑，因为级数11(1)21,()3n n n n n n ∞∞==-⋅∑∑均收敛，所以在此点处，原级数收敛； 在端点2=3x -处，级数为121+()3nn n ∞=-∑，因为级数11,n n ∞=∑发散，而121()3nn n∞=-⋅∑收敛，所以在此端点处，原级数发散； 综合得，原级数的收敛域为42[,)33--． 5．解：先利用比值审敛法求幂级数的收敛域．因为2+222(2+2)!lim =lim (2+2)(2+1)(2)!n n n n x x n n n xn →∞→∞=+∞， 所以级数的收敛域为(,)-∞+∞；令22420()1......(2)!2!4!(2)!n nn x x x x s x n n ∞===+++++∑， 则3521()+......3!5!(21)!n x x x s x x n -'=++++-，所以 234()()1......2!3!4!!nx x x x x s x s x x e n '+=+++++++=，19 即()()x s x s x e '+=，这是一个一阶线性微分方程，解之得1()+2x x s x ce e -=．又因为(0)1s =，带入求得常数12c =，所以幂级数的和函数为11()(,)22x xs x e e x -=+∈-∞+∞，．6．解：因为2ln(12)ln(1)ln(12)x x x x +-=-++，而11(1)ln(1)(11)n nn x x x n -∞=-+=-<≤∑，所以，=1ln(1)(11)nn x x x n∞-=--≤<∑，1=1(1)211ln(12)()22n n n n x x x n -∞-+=-<≤∑，于是得出原函数的展开式为12=1(1)2111ln(12)=()22n n n n x x x x n -∞--+--<≤∑．7．解：为展开为正弦级数，先将函数()f x 在[,0)π-上做奇延拓,再延拓到整个数轴，并求傅里叶系数0(0,1,2...)n a n ==， 02()sin d n b f x nx x ππ=⎰202sin d x nx x ππ=⎰221sincos (1,2,...)22n n n n n πππ=-=， 因此可得函数()f x 在[0,)π的傅里叶级数2=121()(sincos )sin ([0,),)222n n n f x nx x x n n πππππ∞=-∈≠∑， 由于3=2x π-为函数的不连续点，根据狄氏收敛性定理，和函数在3=2x π-处的值3()2s π-为左右极限的均值，即31()=24s ππ-，而5=4x π是函数的连续点，在此点处，收敛于（延拓后的）函数()f x ，即5()=04s π．8．考研题练练看：（1）C ．解析：幂级数1(1)k kk ax ∞=-∑的收敛域中心为1x =，而20 =1(1,2,...)n n k k S a n ==∑无界表明1(1)k k k a x ∞=-∑在2x =发散，因此幂级数的收敛半径1R ≤，同时，根据莱布尼兹定理，数列{}n a 单减且收敛于0，表明1(1)kkk ax ∞=-∑在0x =收敛，因此幂级数的收敛半径1R ≥，综合得收敛半径为=1R ，因此选C ． （2）A ．解析：若1n n u ∞=∑收敛，则对其任意项加括号后仍收敛，其逆命题不一定成立，所以选A ． （3）D ．解析：=11(1)a n n ∞-∑绝对收敛，即1=121a n n∞-∑收敛，所以32α>，又由2=1(1)n a n n ∞--∑条件收敛可知12α≤<，所以选D ．（4）C ．解析：根据题意，将函数在[]1,1-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1,(0,1)2()1,(1,0)2x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-+∈-⎪⎩，其傅里叶级数以2为周期，则当()1,1x ∈-且()f x 在x 处连续时，()()S x f x =，所以 91111()()()()44444S S S f -=-=-=-=-．（5）D ．解析：因为1P >时，=11P n n ∞∑收敛，且lim =lim 1Pn n n n Pa n a n →∞→∞存在，所以=1nn a∞∑收敛．（6）解：先求收敛域．222212(1)212+1lim lim 12+1(1)21n n n n n nxn n x x n x n +-→∞→∞--==<--，即11x -<<时级数绝对收敛；当=1x ±时，级数为1=1(1)21n n n -∞--∑，根据莱布尼兹定理，可知21此级数收敛，因此原级数的收敛域为[1,1]-．为求和函数，设112211=1(1)(1)()2121n n n n n n s x x x xn n --∞∞-=--==--∑∑， 令1211=1(1)()21n n n s x xn -∞--=-∑，则 1212112=1=1(1)1()=() (11)211n n n n n s x x x x n x -∞∞--'⎛⎫-'=-=-<< ⎪-+⎝⎭∑∑， 两端同时积分，得11201()(0)d arctan (11)1xs x s x x x x -==-<<+⎰，明显1(0)0s =，所以1()arctan (11)s x x x =-<<，既得()arctan (11)s x x x x =-<<，又因为=1x ±时，()arctan s x x x ，都有定义，且连续，所以()arctan (11)s x x x x =-≤≤．（7）B.（8）解：先求收敛域．22224(+1)4(+1)321lim 12(1)1443n n n n x x n n n →∞+++⋅⋅=<++++， 即11x -<<时级数绝对收敛；当=1x ±时，级数为2=044321n n n n ∞+++∑，发散，因此幂级数的收敛域为11x -<<．为求和函数，设2222=0=0443(21)2()==2121n nn n n n n S x x x n n ∞∞++++++∑∑，所以22=0=02()=(21)21nn n n S x n xx n ∞∞+++∑∑，令2212=0=02()=(21)()21nn n n S x n x S x x n ∞∞+=+∑∑，，对1()S x 两端积分得210=0()d =(21)d xx nn S x x n x x ∞+∑⎰⎰212=0= (11)1n n xx x x∞+=-<<-∑， 两端求导得212221()= (11)1(1)xx S x x xx '+⎛⎫=-<< ⎪--⎝⎭；22因为212=02()21n n xS x x n ∞+=+∑，两边求导得 222=02[()]2 (11)1n n xS x x x x ∞'==-<<-∑， 再对两端积分得22021()0(0) ln (11)11xxxS x S dx x xx +-⋅==-<<--⎰，所以211()ln((1,0)(0,1))1xS x x x x+=∈-⋃-， 又因为=0x 时，12(0) 1.(0)2S S ==，综合可得和函数为222111ln ,(1,0)(0,1)()1(1)3, 0x xx S x x xx x ⎧+++∈-⋃⎪=--⎨⎪=⎩． （9）(i)证明：由题意得1=1()n nn S x na x∞-'=∑，22=2=0()(1)(1)(2)n nn n n n S x n n a xn n a x ∞∞-+''=-=++∑∑，2(1)0n n a n n a ---=，2=(1)(2)(0,1,2...)n n a n n a n +∴++=， ()=()S x S x ''∴，即()()0S x S x ''-=．(ii) 解：()()0S x S x ''-=为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为210λ-=,从而特征根为1λ=±，于是其通解为12()x xS x C e C e -=+，由0(0)3S a ==，1(0)1S a '==得1212123121C C C C C C +=⎧⇒==⎨-+=⎩，,所以()2x x S x e e -=+． （10）解：（1）证明：由cos cos n n n a a b -=，及0,022n n a b ππ<<<<可得0cos cos 2n n n a a b π<=-<，所以02n n a b π<<<，由于级数1nn b∞=∑收敛，所以级数1nn a∞=∑也收敛，由收敛的必要条件可得lim 0n n a →∞=．（2）证明：由于0,022n n a b ππ<<<<，23 所以sin ,sin 2222n n n n n n n na b a b b a b a ++--≤≤2222sin sin cos cos 22222222n n nnn n n n n nn n n nn n n nn n n a b b a a a b b b b a b b a b a b b b b b +--==+--≤=<=由于级数1nn b∞=∑收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数1nn na b ∞=∑收敛． （11）解：由于1lim1n n na a +→∞=，所以得到收敛半径1R =． 当1x =±时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为()1,1-．令和函数)(x S =0(1)(3)n n n n x ∞=++∑，则2111()(43)(2)(1)(1)nn n nn n S x n n x n n x n x ∞=∞∞===++=++++∑∑∑211123"'3"'11(1)n n n n x x x x x x x x ∞∞++==⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-⎛⎫=+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑。
第十二章无穷级数自测题(含答案)
第十一章练习题一、 填空题1．级数)21)1(1(1nn n n -+∑∞=的和为（ ）． 2．若∑∞=1n n u 为正项级数，且其部分和数列为{}n s ，则∑∞=1n n u 收敛的充要条件是（ ）．3.级数∑∞=122sin2n nn π的敛散性为（ ）．4.幂级数n n x n )32(11-∑∞=的收敛区间为（）．5.幂级数∑∞=-122)1(n nnnx的收敛域为（ ）．6.将函数2)1(1x +展开成x 的幂级数为（ ）．7．)(x f 满足收敛的条件，其傅立叶级数的和函数为S(x)，已知f (x )在x=0处左连续，且)(lim ,2)0(,1)0(0x f S f x +→=-=则=（ ）． 8．设)(x f 是周期为２π的函数，在一个周期上可积．当)(x f 是奇函数时，它的傅里叶系数为 =n a （ ），=n b （ ）．二、 单项选择题1. 若级数∑∞=1n n a 条件收敛，则下列结论不正确的是（ ）.A. 交换律成立；B.结合律成立；C.分配律成立；D.以上都不成立。
2．在下面级数中，绝对收敛的级数是（ ）．A.∑∞=+1121n n ； Ｂ．nn n)23()1(1∑∞=-；Ｃ．311)1(nn n∑∞=-； Ｄ．nn n n1)1(1--∑∞=．3. 在下列级数中，条件收敛的级数是（ ）.A. ∑∞=+-11)1(n nn n ；Ｂ．∑∞=-11)1(n nn；Ｃ．∑∞=-121)1(n nn；Ｄ．∑∞=+-1)1(1)1(n nn n4. 已知级数∑∑∞=∞=--==-111215,2)1(n n n n n aa ，则级数∑∞==1n n a （ ）A. 3 ； Ｂ． 7 ； Ｃ． 8 ； Ｄ． 95．幂级数nxnn ∑∞=1的和函数是（ ）．Ａ．)1ln(x --； Ｂ． )1ln(x -； Ｃ．)1ln(x +; Ｄ． )1ln(x +- 6. 函数2)(x e x f -=展开成x 的幂级数为（ ）.A. ∑∞=02!n nn xＢ．∑∞=⋅-02!)1(n n n n xＣ．∑∞=0!n n n xＤ．∑∞=⋅-0!)1(n nn n x7. 若∑∞=-1)1(n nn x a 在1-=x 处收敛，则此级数在2=x 处（ ）.A.条件收敛；Ｂ．绝对收敛；Ｃ．发散；Ｄ．收敛性不能确定。
无穷级数习题答案
1 ) = lim S 2 n 2n + 3 n →∞
从而 lim S n 存在，原级数收敛。
n →∞
20， （1） [−1,1], (2), [−3,1]. 21, （1） （−1，1）
n(n + 1) n −1 1 ∞ n +1 ′′ ⎛ 1 ∞ n +1 ⎞′′ 1 ⎛ x 2 ⎞′′ S ( x) = ∑ x = ∑( x ) = ⎜ ∑ x ⎟ = ⎜ ⎟ 2 2 n =1 n =1 ⎝ 2 n =1 ⎠ 2 ⎝ 1− x ⎠ （2） 1 , x < 1. = (1 − x)3
∞
27, 令 S ( x) = ∑
S ( x) = ∑
∞
∞ ∞ 2 2nx 2 n ( x 2 )n x2n + 3∑ = 2∑ + 3e x n! n! n =0 n =0 n =1 ( n − 1)!
∞
2 2 2 2 x2 ( x2 )n = 2∑ + 3e x = 2 x 2 e x + 3e x = (2 x 2 + 3)e x . n! n =0
发散，故 ∑ un 也发散。
n =1 ∞
∑c
n =1
∞
1
n
（2）类似于（1） 。
39，充分性：若 {un } 有界，则 lim un = M 存在，且 un ≤ M , n = 1, 2,....
n →∞
∑ ⎜1 − u
k =1
∞
⎛ ⎝
uk ⎞ ⎟ 是正项级数，设其部分和为 Sn ，则 k +1 ⎠
∞
（3）
∑
n(n + 1) 1 = S ( ) = 8 。 n 2 2 n =1
高等数学无穷级数章节练习卷
一、选择题1．设级数∑∞=-1)3(n n n x a 在6=x 条件收敛，在5-=x （ C ）。
A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．敛2．当)(1n n n v u +∑∞=收敛时，则级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v （ ）。
A ．可能都发散B ．必定都收敛C ．必定都发散D ．必定都绝对收敛 3．若nn n x a )1(0-∑∞=在2-=x 处收敛，则n n n x a )1(0-∑∞=在3=x 处（ ）。
A ．一定发散B ．可能收敛可能发散C ．一定绝对收敛D ．一定条件收敛 4．级数11sin n n n∞=∑（ C ）A 绝对收敛B 条件收敛C 发散D 无法判别 5．当k >时，级数21(1)nn k n n ∞=+-∑（ B ）A 发散B 条件收敛C 绝对收敛D 无法判定二、填空题1． 设级数nn n x a ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+021，若31lim 1=+∞→n n n a a ，则级数收敛半径是_____23_______。
2． 将xe 展开成1-x 的泰勒级数是0(1)!n n ex n ∞=-∑。
3．()nnnn x n !3110⋅-∑∞=的收敛区间是(,)-∞+∞。
4．幂级数nn nx n ∑∞=131的收敛域是 。
[3,3)-5．级数=+-+-+-!111!91!71!51!3111sin6．2322222!3!!nn +++++ 的和为。
21e -三、计算1. 判断级数是否收敛，如果收敛是绝对收敛还是条件收敛（交错级数）（1）10(1)tan2nn n n π∞+=-∑（2）1(1)ln(1n n ∞=-+∑ （3）11(1)(1)nnn n e∞=--∑（4）1n n +∞=（5） 11(1)2n nn n -∞=-∑ 答案：（1）绝对收敛；（2）条件收敛；（3）发散；（4）条件收敛；（5）绝对收敛。
2. 求标准幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径、收敛域。
无穷级数部分练习题
无穷级数部分练习题1 判断下列级数的敛散性（1）∑∞=+1)1(3n nnn n ；（2）∑∞=+-11)6541(n n n n ；（3）∑∞=-+1)1(n n n ； （4）∑∞=+-1113n n n ；（5）∑∞=+-134)1(n n n ；（6）...)511(...)5131()5121()511(32+++++++++n n （7）∑∞=+1)1(1n n n ；（8）∑∞=14sin n nπ；（9）∑∞=+1)11ln(n n n ；（10）∑∞=11n n n ；（11）∑⎰∞=+11041n n dx x x ；（12）∑∞=-+13n n nn ； （13）∑∞=14!n n n ；（14）∑∞=++1)12()1(n n n n n ；（15）∑∞=-13sin )1(n n nn α （16）∑∞=131sin 2n n n；（17）∑∞=--121!cos )1(n n n n ；（18）∑∞=⋅+12222n n n n n2 判断下列命题是否正确 （1）如果级数∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都发散，则级数∑∞=1n nnv u 一定发散. （2）如果级数∑∞=1n n u 收敛，则级数∑∞=1n nu a)0(≠a 发散. （3）若级数∑∞=1n na)0(≥n a ，∑∞=1n n b )0(≥n b 均收敛，则∑∞=1n n n v u 收敛；（4）如果级数∑∞=1n nu中，0lim ≠∞→n n u ，则级数∑∞=1n nu发散.（5）若级数∑∞=1n nu发散，则级数∑∞=1n nu一定发散.（6）若幂级数∑∞=0n nnx a在3=x 处收敛，则幂级数∑∞=0n n n x a 在2-=x 处收敛.（7）若∑∞=0n nnx a的收敛半径为R ，则∑∞=02n n n x a 的收敛半径为R .3若级数∑∞=1n na)0(≥n a ，∑∞=1n n b )0(≥n b 均收敛，判断下列级数的敛散性.（1）∑∞=123n n nb （2）∑∞=12n na（3）∑∞=+12)(n n nb a4设21=a ，)1(211nn n a a a +=+ ,...)2,1(=n （1）证明n n a ∞→lim 存在；（2）求n n a ∞→lim ；（3）证明级数∑∞=+-11)1(n n na a 收敛. 5判断下列交错级数的敛散性（1）∑∞=+-1231)1(n nn （2）∑∞=-12sin )1(n n n （3）∑∞=+-114)1(n nn n6判断下列级数的敛散性，如果收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛. （1）∑∞=+-1121)1(n nn （2）∑∞=-133)1(n n nn7求下列幂级数的收敛半径和收敛域.（1）∑∞=-1!)1(n n nn x （2）∑∞=123n nn x n （3）∑∞=⋅1241n nnx n （4）∑∞=⋅-13)3(n n n n x 8利用幂级数和函数的性质，计算下列幂级数的和函数.（1）∑∞=++111n n n x （2）∑∞=--12)1(n n x n n9（1）求级数∑∞=-01)21(n n n 的和. （2）求级数∑∞=02)3(ln n nn的和. 10将下列函数展开为关于x 的幂级数.（1）212x x - （2）x3 （3）)1(x e dx d x -11设)(x f 是周期为π2的周期函数，它在],[ππ-上的表达式为⎩⎨⎧≤<≤≤-=ππx x x x f 0,00,)( 将)(x f 展开成傅里叶级数.12将函数23)(x x f =，)(ππ<≤-x 展开成傅里叶级数.微分方程及向量代数部分练习题1 求解下列微分方程 （1）x y dye dx-=； （2）222dy xy y dx x xy-=-； （3）cos xy y x '+=； （4）2xy y e '-= （5）8150y y y '''++= （6）90y y ''+= （7）243xy y y xe '''-+= （8）2448x y y y e-'''++=2 设函数()f x 在[0,)+∞上连续，且满足方程222244()t x y t f x ef dxdy π+≤=+⎰⎰，求()f t 3 已知两点(4,0,5)A ，(7,1,3)B ，求与AB 方向相同的单位向量.4已知两点1M ，2(1,3,0)M ，求12M M 的模，方向余弦和方向角. 5 求向量(4,3,4)a =-在向量(2,2,1)b =上的投影.6 质点M 在力234F i j k =-+作用下，由点(1,1,2)A -沿直线移动到点(3,6,8)B ，求力F 所作的功.7 设向量(3,2,1)a =-，(4,1,2)b =-，计算a b ⨯.。
新1第十二章 无穷级数答案
第十二章 无穷级数第一节 常数项级数的概念和性质1．写出下列级数的一般项：(1)⋅⋅⋅++++6141211； 解：2n1u n =(2)⋅⋅⋅+⋅++533x x x x ； 解：()!!12n xu 2n n +=2．求下列级数的和：*(1) 1n ∞=∑解：111nn k S ===-=+-∑故2- 1lim =∞→n n S(2)23111555+++ 解：5151-151-1n⎪⎭⎫ ⎝⎛=n S 故41lim =∞→nn S3．判定下列级数的敛散性： (1)()()11111661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+ 解：()()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+--=+-=∑∑==15115151)151451(1545111n k k k k S nk nk n51lim =∞→n n S 故原级数收敛.(2) ()23133222213333nn n--+-++- 解： ()1-n 11-32nn ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛为公比为32-=q 的等比级数,且1<q , 故原级数收敛.第二节 常数项级数的审敛法1．用比较审敛法判别下列级数的敛散性． (1)1πsin3n n ∞=∑；解： sin3lim 13n n nππ→∞= ， 而13n n π∞=∑收敛，故原级数收敛.(2)n ∞=；解： n 321u n<，而∑∞=1231n n收敛，故原级数收敛.(3)()1121nn ∞=-∑解：1nln21-2lim n 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→n 而∑∞=1nln2n 发散，故原级数发散。
2．用比值判别法判别下列级数的敛散性：(1) ∑∞=132n nn ；解：2n n u 3n =，∞=∞→n n u lim ，故原级数发散。
(2)1!31nn n ∞=+∑； 解：()()()3113131lim lim 1n n 1=+++=+∞→+∞→n u u n nn n ，故厡级数收敛.3．用根值判别法判别级数的敛散性： 1531nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑；解：()5n 5lim>13n 13n n →∞==+，故厡级数发散.4．判定级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？()11111123nn n n ∞=⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭∑ ； 解：n 1111u 12n n n⎛⎫=++> ⎪⎝⎭ ， 而()()n 1n 2211111111u -u 1--<02n n 1n n 1n n 1n 1+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<+ ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭++ 又()0dxx 11n 1lim n 1n 1211lim u lim n 1n =+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰∞→∞→∞→n n n故厡级数条件收敛第六节 傅里叶级数1. 填空题（1）⎩⎨⎧<≤<≤--=.0,,0,)(2)(πππx a x a x f x f 周期函数，且是以设 则其傅里叶级数在处收敛于 0（2）)(,)(2)(2ππππ<<-+=x x x x f x f 周期函数，且是以设若)(x f 的傅里叶级数具有的形式，∑∞=++10)sin cos (21n n n nx b nx a a.______32________,32_320ππ==b a 则傅里叶系数2. 写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f(x)在[-π, π)上的表达式为：(1)()π0π,4ππ0;4x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪--≤<⎪⎩解：(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件，x =n π，n ∈z 是其间断点，在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于()()ππ0044022f f +-⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==，在x ≠n π，有()π0π-ππ011π1πcos d cos d cos d 0ππ4π4n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰()π0π-ππ011π1πsin d sin d sin d ππ4π40,2,4,6,,1,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx xn n n-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰于是f (x )的傅里叶级数展开式为()()11sin 2121n f x n x n ∞==--∑(x ≠n π)（2）()()cosππ2=-≤≤xf x x解：因为()cos2xf x =作为以2π为周期的函数时，处处连续， 故其傅里叶级数收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0(n =1,2,…)，()()ππ-π0π0π1212cos cos d cos cos d π2π2111cos cos d π2211sin sin 12211π224110,1,2,π41n n x xa nx x nx xn x n x x n x n x n n n n +==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰所以f (x )的傅里叶级数展开式为：()()12124cos 1ππ41n n nxf x n ∞+==+--∑ x ∈[-π,π]*3.将函数f(x)展开为傅里叶级数：()()πππ42x f x x =--<<解：(1) ()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰[]()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx x nx n n--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx x n-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nxf x n∞==+-∑ (-π<x <π)。
无穷级数检测题
《无穷级数》检测题班级______________________ 学号______ 姓名___________________ 成绩________一、选择题( 15分 ) ()11111111111211().()()(1)()()2.1();();()lim 0;()lim 0.3.0,n n nn n n n n n n n n n n n nn n n n n i n n i nn n n n a a a A a B a C a a D a A a a B a C na D a nb b b b b S n ∞=∞∞∞∞++====∞=++→∞→∞=∞∞==+-≤<==+++>∑∑∑∑∑∑∑∑ 1.若级数收敛，则级数收敛;收敛;收敛;收敛.2.若正项级数收敛，则有若收敛于，则()()211211();();();().4.0(1,2,),(0,),(1)(tan )().2();();();().5.1()();();();().n n n n n n nn n n n A S B S C D a n a n a n A B C D a a nA B C D πλλλ∞∞==∞∞==>=∈--∑∑∑∑∑ 收敛于收敛，但不收敛于发散不能判定设且收敛于则级数绝对收敛条件收敛发散敛散性与有关若级数收敛，则级数是条件收敛绝对收敛发散不能判定二、填空题( 15分 )()12111111512___________________.2.____________________________.()3.2_________________.n n n n n n n n nn a a a x a x a n α∞∞∞--===∞=∞==-==-=∑∑∑∑1.已知，，则级数收敛的充要条件是满足设幂级数在点收敛,则的取值范围是 04.________________.(1)!级数的和函数是nn x n ∞=+∑1215.()01,()sin (),2()sin 1(1,2,),()________________.2n n n f x x x S x b n x x b f x n xdxn S ππ∞==≤<=-∞<<+∞==-=∑⎰ 设函数，而其中则三、( 8分 ) 3ln (,0)判定级数的敛散性.q p n np q n∞=>∑四、 ( 8分 )1判定级数nn ∞=-五、( 8分 ){}()1111,.1设正项数列单调减少，且发散试问级数是否收敛nn n n n n n a a a ∞∞==⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑∑()()()1,0,01,02,1[()1].n f x x f f f n ∞=''===-∑六、(8分)设是偶函数在的某个邻域内有连续的二阶导数且证明:绝对收敛七、 ( 8分 ) 求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()S x .八、(10分)()()()22111arctan 0.1410设,试将展开成的幂级数，并求的和n n x x x f x f x x xnx ∞=⎧+-≠⎪=⎨-⎪=⎩∑九、 ( 10分 ) ()()[]()0110,2.221将函数在区间内展开为傅立叶级数，并求的和nn f x x n ππ∞=-=-+∑420111tan (1)();(2)0,nn n n n n n a a xdx a a n n πλ∞∞+===+>∑∑⎰十、(10分)设,求的值试证:对任意常数收敛.。
第12章无穷级数单元自测题资料
第十二章 无穷级数单元自测题
一、选择题
1、
若
极
限lim n
un
0， 则 级 数
n1
u（n B）
(A)收敛；(B)发散； (C)条件收敛； (D)绝对收敛.
第十二章 无穷级数单元自测题
2、 下 列 级 数 发 散 的 是( D)
(A) (1)n1 1；
n1
n
(B) (1)n1( 1 1 )；
(2)
lim un v n
n
l(l
0为 确 定 常 数 ） , 则 un与 vn
n1
n1
具有相同敛散性
等 比 级 数 aqn , q 1时 收 敛 ，q 1时 发 散
n0
比
较
级
数调
和
级
数
n1
1 n
发
散
P
级数
n1
1 np
,
P
1时 收 敛 ，P
1时 发 散
第十二章 无穷级数单元自测题
第十二章 无穷级数单元自测题
第十二章 小结
一、常数项级数的概念与性质
1、概念
(1)定义
un u1 u2 u3 un
n1 n
级数的部分和 sn u1 u2 un ui
i 1
(2) 级数的收敛与发散
若
lim
n
sn
s, 则 称
n1
un收 敛, 且 级 数 的 和s
un .
( R, R)内可积,且对x ( R, R) 可逐项积分.
第十二章 无穷级数单元自测题
五、 函数展开成幂级数
1、 常见函数的幂级数展开式
e x 1 x 1 x2 1 xn x (,)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十二章 无穷级数同步测试A 卷一、单项选择题(每小题3分，共15分)1．下列级数中，收敛的是（ ）2100111111()22223++++++++A n 2111111()23100222++++++++n B211111()(1)()()2222+++++++n C n2111111()(1)()23222++++++++++n D n2．设1∞=∑nn u为数项级数，下列结论中正确的是（ ）1()lim,1+→∞=<n n n u A l l u ，级数绝对收敛.1()lim,1+→∞==n n nu B l l u ，级数发散.1()lim,1+→∞=<n n nu C l l u ，级数绝对收敛. 1()lim,1+→∞=<n n nu D l l u ，级数条件收敛. 3．已知幂级数1∞=∑nn n a x的收敛半径2=R ，则对幂级数1(3)∞=-∑nn n a x 而言，下列的x 值不能确定收敛或发散的是（ ）()2()2()1()1==-=-=A x B x C x D x4. 设常数0>k ，则级数121(1)∞-=+-∑n n k nn （）.()A 发散. ()B 条件收敛. ()C 绝对收敛. ()D 收敛性与k 有关.5. 周期为2π的函数()f x ，在一个周期上的表达式为 (0)()2(2)πππππ≤≤⎧=⎨-≤≤⎩x f x x x ，设它的傅里叶级数的和函数是()S x ，则(2)π=S （ ）.()()()2()02πππA B C D二、填空题(每小题4分，共20分)6.级数111()23∞=+∑n nn 的和为. 7. 幂级数2112(3)∞-=+-∑n n nn n x 的收敛半径为. 8. 已知级数12111(1)2,5∞∞--==-==∑∑n n n n n u u ，则级数1∞==∑n n u .9．将1()2=-f x x展开为x 的幂级数时，其收敛域为. 10．将()1(0)π=+≤≤f x x x 展开为余弦级数时，0=a .三、解答题(共65分)11. （8分）判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在. 因为11ln(1)(1)∞-=+=-∑n n n x x n ，因此取2=x 得112ln 3(1)∞-==-∑n n n n . 12. （8分）讨论级数∞=n 的敛散性. 13. （8分）求级数2012!∞=+∑nnn n x n 的和函数. 14. （8分）将2125()65-=--xf x x x 展开为x 的幂级数.15. （8分）求极限212lim()(1)→∞+++>n n na a a a.16. （8分）利用对展开式11(1)2sin +∞=-=∑n n x nx n 逐项积分，求2x 在(,)ππ-内的傅里叶级数.17. （8分）已知22116π∞==∑n n ，求10ln 1+⎰x dx x .18.（9分）设有级数212(2)!∞=+∑nn x n ，验证此级数的和函数()y x 满足微分方程()()10''-+=y x y x ，并求幂级数212(2)!∞=+∑nn x n 的和函数.第九章 多元函数微分法及其应用同步测试A 答案及解析一、单项选择题答案详细解析1. 解 利用级数的性质.由于2100111222+++是常数，11123++++n 发散，因此()A 发散.由于11123100+++是常数，2111222++++n 收敛，因此()B 收敛.由于 211111(1)()()2222+++++++n n2111111(1)()23222=++++++++++n n这是一个发散级数与一个收敛级数的和，因此()C 发散.同理，()D 发散. 故选()B .『方法技巧』 本题考查无穷级数的性质.『特别提醒』 增加或去掉有限项，不影响级数的敛散性；一个收敛级数与一个发散级数的和发散.2.解 比值审敛法只适用于正项级数，所以()A 不正确.事实上，令(1)=-nn u n ，11(1)(1)lim lim 11(1)++→∞→∞-+==-<-n n n n n nu n u n ，但级数1(1)∞=-∑n n n 发散. 令21=n u n ，2121(1)lim lim 11+→∞→∞+==n n n nu n u n ，但级数211∞=∑n n 收敛，所以()B 不正确.若11lim lim 1++→∞→∞==<n n n n n nu u l u u ，则级数1∞=∑n n u 收敛，因此1∞=∑n n u 绝对收敛. 故()D 不正确，选()C .『方法技巧』 本题考查正项级数的比值审敛法及绝对收敛和条件收敛的概念.『特别提醒』 比值审敛法只限于正项级数使用.3. 解 由于1∞=∑nn n a x 的收敛半径2=R ，则幂级数1(3)∞=-∑n n n a x 在32-<x ，即15<<x 内绝对收敛，在5>x 或1<x 处发散，在1,5=x 不能确定，故选()D .『方法技巧』 本题考查幂级数的阿贝尔定理.『特别提醒』阿贝尔定理经常出现在各类考试的选择题或填空题中，要求大家熟练掌握它.4. 解 由于111221111(1)(1)(1)∞∞∞---===+-=-+-∑∑∑n n n n n n k n k n n n 由比较审敛法 22lim 01→∞=>n kn k n ，得121(1)∞-=-∑n n k n 绝对收敛；而111(1)∞-=-∑n n n 条件收敛，则级数 121(1)∞-=+-∑n n k nn 条件收敛，故选()B . 『方法技巧』 本题考查正项级数的比较审敛法及绝对收敛、条件收敛的概念.5. 解 2π=x 是函数的间断点，则由狄利克雷收敛定理知，傅里叶级数收敛于(20)(20)0(2)222πππππ-+++===f f S故选()A .『方法技巧』 本题考查傅里叶级数的狄利克雷收敛定理.在函数的连续点0=x x ，级数收敛到0()f x ；在函数的间断点0=x x ，级数收敛到00(0)(0)2-++f x f x .『特别提醒』首先要判断所求点是函数的间断点还是连续点（可以画出函数的图形），再应用狄利克雷收敛定理.二、填空题6.3289. (2,2)- 10. 2π+答案详细解析6. 解 由于级数1111,23∞∞==∑∑n n n n 均为等比级数，且公比1<q ，因此两级数均收敛.又由收敛级数的和仍收敛，故111111111332()11232321123∞∞∞===+=+=+=--∑∑∑n n n n n n n 『方法技巧』 本题考查等比（几何）级数求和及级数的性质. 『特别提醒』 等比级数的和为1(1)1<-a q q，一定记住分子为第一项. 7. 解211121112112(3)2(3)limlim lim 2(3)2(3)++++++→∞→∞→∞-++-+-==+-+-n n n n n n n n n n n n nn nn x u x n u x2212()113lim 233()13→∞+-+==-+n n n x x由比值审敛法知：当213<x，即<x 213>x，即>x级数发散，因此级数的收敛半径为=R『方法技巧』 本题考查正项级数的比值审敛法及其特殊性.由比值审敛法判断级数1∞=∑n n u 收敛时，原级数1∞=∑n n u 绝对收敛；而级数1∞=∑n n u 发散时，原级数1∞=∑nn u 也发散.这是由于比值审敛法判断级数发散是使用的必要条件，即lim 0→∞≠n n u ，此时lim 0→∞≠n n u ，故级数1∞=∑n n u 也发散.『特别提醒』观察本题时，发现级数缺少偶数幂项，因此求收敛半径不可以直接应用公式，应使用比值审敛法或变量代换法（令2=t x ）.8. 解 由题设112342113511(1)2,5∞∞--==-=-+-+==+++=∑∑n n n n n u u u u u u u u u1234135123412()()∞==++++=+++--+-+∑nn uu u u u u u u u u u u121112(1)2528∞∞--===--=⨯-=∑∑n n n n n u u『方法技巧』 本题考查收敛级数的性质——收敛级数的代数和仍收敛（此性质只适用于收敛级数）.『特别提醒』 一些同学不熟悉符号∑，可以将其写成普通和的形式，看起来会方便一些.9. 解 由于111()2212==--f x xx ，则当 12<x ，即2<x 时，函数可以展开为x 的幂级数，故收敛域为(2,2)-.『方法技巧』 本题考查形如1()1=-f x x的函数展开式及收敛域1<x .若函数不是标准形式，需先化为标准形式.10. 解 由傅里叶系数公式200221(1)(1)22πππππ=+=+=+⎰a x dx x『方法技巧』 本题考查余弦级数的傅里叶展开式及系数公式：2()cos (0,1,2,)ππ==⎰n a f x nxdx n则 01()cos 2∞==+∑n n a f x a nx （x 在连续点）三、解答题11. 解 运算过程是错误的.函数ln(1)+x 的幂级数展开式并不是在整个数轴上均为11(1)∞-=-∑nn n x n，而是在区间(1,1]-上，11ln(1)(1)∞-=+=-∑nn nx x n，故运算错误. 『方法技巧』 本题考查函数的幂级数展开式及幂级数的收敛域. 12. 解当3≥n 时，1<≤，又 1=n ，由夹逼准则知10=≠n ，故级数2∞=n . 『方法技巧』 本题考查级数收敛的必要条件：1∞=∑n n u 收敛lim 0→∞⇒=n n u .即若lim 0→∞≠n n u ，则1∞=∑n n u 发散.『特别提醒』 解题过程中用到了结论1=n ，证明如下：由于 ln ln 1limlim0limlim 1→+∞→+∞→+∞=====x x xx xxxx x eeee故1=n一些数列的极限如果能够记住，会很方便，如1(0)=>n a ；1=n 等.13. 解 222000111(1)1()()()2!!2!2(1)!2∞∞∞∞====+-+=+=+-∑∑∑∑xn n n nnn n n n n n x x n x x e n n n n22111()()(2)!2(1)!2∞∞===++--∑∑xn nn n x x e n n22122111()()4(2)!22(1)!2∞∞--===++--∑∑x n n n n x x x x e n n 222242=++xx x x xe e e 『方法技巧』 本题考查函数xe 的展开式：0()!∞==-∞<<+∞∑nxn x e x n . 展开式0!∞==∑nxn x e n 中，三处的n 要相同.『特别提醒』若对∑符号不熟悉，可以将每一项直接写出.在20()!2∞=∑nn n x n 中，n 从0开始取，但在1(1)1()(1)!2∞=-+-∑nn n x n 中，n 从1开始取. 14. 解 21256(1)(6)6111()65(6)(1)6111()6---+===+=+--+-+----x x x f x x x x x x x x x 01(1)()616∞==-+∑n n n xx （16<x 即6<x ） 011∞==-∑n n x x （1<x ） 故 2000125(1)()(1)()[1]6566∞∞∞===--==-+=+--∑∑∑n n n nn n n n n x x f x x x x x （1<x ） 『方法技巧』 本题考查形如1()1=-f x x的函数展开式及收敛域1<x .首先利用分式的性质，将2125()65-=--x f x x x 化为标准形式1111()6+---x x . 15. 解所求极限实际上是级数1∞=∑n n na 的和，所以考虑幂级数1∞=∑n n nx .令 1211()[]()1(1)∞∞-==''====--∑∑n n n n x xS x x nxx x x x x （11-<<x ）故 2221121lim()()1(1)(1)→∞+++===--n n n a a S a aa a a a『方法技巧』 本题考查利用级数的和求其部分和的极限.关键是找到一个适当的幂级数，利用它求出常数项级数的和，再利用级数收敛的充要条件求极限.16. 解 由于当(,)ππ∈-x 时，有11(1)2sin +∞=-=∑n n x nx n ，而()=f x x 在(,)ππ-内连续，对展开式逐项积分得1001(1)2sin +∞=-=∑⎰⎰n xxn xdx nxdx n 1122011(1)(1)2cos 2(1cos )++∞∞==--=-=-∑∑n n xn n nx nx n n 故 112222111(1)(1)(1)4(1cos )44cos ++∞∞∞===---=-=+∑∑∑n n nn n n x nx nx n n n021(1)4cos 2∞=-=+∑nn a nx n由傅里叶系数公式知 2200223πππ==⎰a x dx ，因此3221(1)4cos ()3πππ∞=-=+-<<∑nn x nx x n『方法技巧』 本题考查利用间接方法（对已知函数展开式逐项积分）将函数展开为傅里叶级数.省去了求傅里叶系数的过程（傅里叶系数中的,n n a b 计算比较复杂）.17. 解11100000ln ln [(1)](1)ln 1∞∞===-=-+∑∑⎰⎰⎰n nn n n n x dx x x dx x xdx x 1112000(1)(1)ln 1(1)+∞∞+==--==++∑∑⎰nn n n n xdxn n 2200112(2)∞∞===-+∑∑n n n n 2222201116262612ππππ∞==-+=-+=-∑n n『方法技巧』 本题题型比较特殊，在被积函数中，需要将其中一个展开为x的幂级数，逐项积分再求和.『特别提醒』122220(1)1111(1)234+∞=-=-+-+-+∑n n n222221111112()23424=-----+++222220000011111112(2)22∞∞∞∞∞======-+=-+=-∑∑∑∑∑n n n n n n n nn n 18. 解 当(,)∈-∞+∞x 时，记21()2(2)!∞==+∑nn x y x n ，则211()(21)!-∞='=-∑n n x y x n ，22211()1()1(22)!(2)!-∞∞==''==+=--∑∑n nn n x x y x y x n n 且(0)2,(0)0'==y y ，则 ()()1()1()10''-+=--+=y x y x y x y x ，故()y x 满足微分方程()()10''-+=y x y x .由于幂级数212(2)!∞=+∑nn x n 的和函数为()y x ，因此所要求的是二阶常系数非齐次线性微分方程()()10''-+=y x y x 的满足条件(0)2,(0)0'==y y 的特解()y x .其特征方程为210-=r ，特征根为1=±r ，对应的齐次方程的通解为12-=+x x Y C e C e ，观察知1*=y 是方程的一个特解，故其通解为121-=++x x y C e C e ，将(0)2,(0)0'==y y 代入得1212==C C ，即11()122-=++x x y x e e ，即幂级数211121(2)!22∞-=+=++∑n x x n x e e n『方法技巧』 本题考查幂级数逐项求导及二阶常系数非齐次线性微分方程求通解和通解.『特别提醒』 求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解时，也可用一般方法，设特解形式为*=y A （0λ=不是特征根），代入原方程中，求出特解.。