高中数学第三章数系的扩充与复数的引入312复数的几何意义课时自测新人教A版选修1 20803326
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2复数的几何意义练习含解析新人教A版选修
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2复数的几何意义练习含解析新人教A版选修[A 基础达标]1．复数i＋i2在复平面内对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B.因为i＋i2＝i－1，它在复平面内对应的点为(－1，1)，所以复数i＋i2在复平面内对应的点在第二象限．2．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列选项中正确的是( )A．z1>z2B．z1<z2C．|z1|>|z2| D．|z1|<|z2|解析：选D.|z1|＝|5＋3i|＝52＋32＝34，|z2|＝|5＋4i|＝52＋42＝41.因为34<41，所以|z1|<|z2|.3．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则下列结论中正确的是( )A．z在复平面内对应的点在第一象限B．z一定不是纯虚数C．z在复平面内对应的点在实轴上方D．z一定是实数解析：选C.因为2t2＋5t－3的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，所以排除A，B，D.故选C.4．已知复数z满足|z|2－3|z|＋2＝0，则复数z对应点的轨迹是( )A．一个圆B．两个圆C．两点D．线段解析：选B.由|z|2－3|z|＋2＝0，得(|z|－1)·(|z|－2)＝0，所以|z|＝1或|z|＝2.由复数模的几何意义知，z对应点的轨迹是两个圆．5．(2018·衡阳期末)已知复数z在复平面内对应的点在射线y＝2x(x≥0)上，且|z|＝5，则复数z的虚部为( )A．－2 B．2C．－1 D．1解析：选B.设复数z在复平面内对应的点的坐标为(a，2a)(a≥0)，则|z|＝5＝a2＋4a2＝5a ，从而a ＝1，则复数z 的虚部为2a ＝2.6．向量OZ →1对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，则OZ →1＋OZ →2对应的复数是________．解析：因为向量OZ →1对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，所以OZ →1＝(5，－4)，OZ →2＝(－5，4)，所以OZ →1＋OZ →2＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，所以OZ →1＋OZ →2对应的复数是0.答案：07．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是________． 解析：由题意得（x －1）2＋（2x －1）2<10， 所以5x 2－6x －8<0. 所以(5x ＋4)(x －2)<0， 所以－45<x <2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，2 8．在复平面内，O 为坐标原点，向量OB →对应的复数为3－4i ，若点B 关于原点的对称点为A ，点A 关于虚轴的对称点为C ，则向量OC →对应的复数为________．解析：因为点B 的坐标为(3，－4)， 所以点A 的坐标为(－3，4)， 所以点C 的坐标为(3，4)， 所以向量OC →对应的复数为3＋4i. 答案：3＋4i9．当实数m 取何值时，在复平面内与复数z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i 对应的点满足下列条件？(1)在第三象限； (2)在虚轴上；(3)在直线x －y ＋3＝0上．解：复数z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i ，对应点的坐标为Z (m 2－4m ，m 2－m －6)． (1)点Z 在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0，m 2－m －6<0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <4，－2<m <3，所以0<m <3.(2)点Z 在虚轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m ＝0，m 2－m －6≠0， 解得m ＝0或m ＝4. 所以m ＝0或m ＝4.(3)点Z 在直线x －y ＋3＝0上， 则(m 2－4m )－(m 2－m －6)＋3＝0， 即－3m ＋9＝0，所以m ＝3.10．已知O 为坐标原点，OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i(a ∈R )．若OZ 1→与OZ 2→共线，求a 的值．解：因为OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i ，所以OZ 1→＝(－3，4)，OZ 2→＝(2a ，1)．因为OZ 1→与OZ 2→共线，所以存在实数k 使OZ 2→＝kOZ 1→，即(2a ，1)＝k (－3，4)＝(－3k ，4k )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－3k ，1＝4k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝14，a ＝－38.即a 的值为－38.[B 能力提升]11．已知复数z 满足|z |＝ 2，则|z ＋3－4i|的最小值是( ) A ．5 B ．2 C ．7D ．3解析：选D.|z |＝2表示复数z 在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z ＋3－4i|表示圆上的点到(－3，4)这一点的距离，故|z ＋3－4i|的最小值为（－3）2＋42－2＝5－2＝3.12．已知z －|z |＝－1＋i ，则复数z ＝________． 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 由题意，得x ＋y i －x 2＋y 2＝－1＋i ， 即(x －x 2＋y 2)＋y i ＝－1＋i. 根据复数相等的条件，得⎩⎨⎧x －x 2＋y 2＝－1，y ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，所以z ＝i.答案：i13．已知复数z 1＝cos θ＋isin 2θ，z 2＝3sin θ＋icos θ，求当θ为何值时， (1)z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称； (2)|z 2|< 2.解：(1)在复平面内，z 1与z 2对应的点关于实轴对称，则⎩⎨⎧cos θ＝3sin θ，sin 2θ＝－cos θ⇒⎩⎪⎨⎪⎧θ＝k π＋π6，θ＝2k π＋76π或2k π＋116π或k π＋π2(k ∈Z )， 所以θ＝2k π＋76π(k ∈Z )．(2)由|z 2|<2，得（3sin θ）2＋cos 2θ<2， 即3sin 2θ＋cos 2θ<2，所以sin 2θ<12，所以k π－π4<θ<k π＋π4(k ∈Z )．14．(选做题)复数z 1＝3＋4i ，z 2＝0，z 3＝c ＋(2c －6)i 在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若∠BAC 是钝角，求实数c 的取值范围．解：在复平面内三点坐标分别为A (3，4)，B (0，0)，C (c ，2c －6)，由∠BAC 是钝角，得cos ∠BAC <0，且A ，B ，C 不共线，cos ∠BAC ＝|AB |2＋|AC |2－|BC |22|AB |·|AC |<0，即|AB |2＋|AC |2－|BC |2<0. 由两点间的距离公式，得25＋(3－c )2＋(4－2c ＋6)2－[c 2＋(2c －6)2]<0， 解得c >4911.其中当c ＝9时，此时A ，B ，C 三点共线，故c ≠9. 所以c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪⎪c >4911且c ≠9.。
3.1.2复数的几何意义课件人教新课标
)
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
3.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所
对应的点位于第二、四象限，求实数m的取值范
围. m 3 m 2或1 m 2
选做作业:
若复数 (m2 m 2) (m2 3m 2)i(m R) 在复平面
（数）
（形）
y
一一对应
z=a+bi
b
Z(a,b)
平面向量 OZ
向量OZ 的模r 叫做复数 z a bi
0
a
的模,记作 z 或 a bi .
x
易知 z a2 b2
这是复数的又一种几何意义.
模与绝对值
| z | = a2 b2
| z || z | a2 b2
| z |2 | z |2 z z
第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义
上节课,我们大胆假设存在一个新数 i (叫 做虚数单位).
规定:① i2 1 ; ② i 可以和实数进行运算,且原有的运算律仍成立.
1.复数 z a bi(a,b R)
a ─ 实部
b ─ 虚部
2.复数相等 (a, b, c, d R)
z=a+bi Z (a,b)
y Ox
实数绝对值的几何意义: 复数的模 的几何意义:
实数a在数轴上所
复数 z=a+bi在复平
对应的点A到原点O的 面上对应的点Z(a,b)到
距离.
a
OA
|a| = |OA|
原点的距离.
x
z=a+bi
y
Z(a,b)
高中数学人教A版选修1-2 第三章 数系的扩充与复数的引
复数的几何意义
教学分析
复数的几何意义是学生在学完复数后的一节课，它在复数内容中起着承上启下的关键作用，它是我们研究复数运算的重要基础，故学好本节内容至关重要。
然而，在之前学生已经学过实数的几何意义，实数的绝对值的意义，所以通过类比学生很容易理解复数的几何意义。
教学目标
1.知识与技能目标
理解复数的几何意义；根据复数的几何意义，在复平面内能描出复数的点；会运用复数的几何意义判断复数所在的象限及求复数的模.
2.过程与方法目标
通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义，类比向量求模来学习求复数的模，培养学生的逻辑思维能力.
3.情感与态度价值观目标
通过复数的几何意义的学习，培养学生数形结合的数学思想，从而激发学生学习数学的兴趣.
重点与难点
重点：复数的几何意义以及复数的模；
难点：复数的几何意义及模的综合应用.
教法与学法
教法：本节主要让学生类比实数的几何意义和实数的绝对值的几何意义，探究出复数的几何意义；类比求向量的模公式探究出求复数模的公式.
学法：建议学生通过已学内容大胆探索复数的几何意义、复数的模的定义及公式.
教具准备：三角板、多媒体等
教学过程
作业布置
作业1 P54第1、2 （2）（4）（6）
作业2 （链接高考）在复平面内，复数z sin2cos2i =+对应的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限 C 第三象限 D 第四象限。
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第三章 数系的扩充与复数的引入章末检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－iD ．i解析：i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)－i ＝－1. 答案：A2．已知i 为虚数单位，复数z ＝1－2i2－i ，则复数z 的虚部是( )A ．－35iB ．－35C.45 iD.45解析：1－2i 2－i ＝－＋－＋＝4－3i 5＝45－35i ，则复数z 的虚部是－35. 答案：B3．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( ) A ．A B ．B C ．CD ．D解析：设z ＝a ＋b i(a <0，b >0)∴z ＝a －b i 对应点的坐标是(a ，－b )，是第三象限点B . 答案：B4．i 是虚数单位，复数z ＝7＋i3＋4i的共轭复数z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i解析：z ＝7＋i3＋4i ＝＋－25＝25－25i25＝1－i ∴z ＝1＋i. 答案：B5．若复数z ＝(1＋i)(x ＋i)(x ∈R)为纯虚数，则|z |等于( ) A ．2 B. 5 C. 2D ．1解析：∵z ＝x －1＋(x ＋1)i 为纯虚数且x ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋1≠0，得x ＝1，z ＝2i ，|z |＝2.答案：A6．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B.43 C ．－43D ．－34解析：z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 依题意4t －3＝0，∴t ＝34.答案：A7．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( ) A ．实轴上B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，∵z 2＝a 2－b 2＋2ab i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ≠0.∴a ＝±b ，即z 在直线y ＝±x (x ≠0)上． 答案：C8．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．1－3i解析：由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，∴z ＝4＋2i 1＋i ＝＋－2＝6－2i2＝3－i. 答案：A9．若复数x 0＝1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则( )A ．b ＝2，c ＝3B ．b ＝－2，c ＝3C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1解析：因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是方程的根，则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c ，解得b ＝－2，c ＝3. 答案：B10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝3，2λ－μ＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝1.答案：A二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上) 11．设i 为虚数单位，则1－i ＋2＝________. 解析：1－i＋2＝1－i 2i＝－－2＝－i 2－12.答案：－12－i212．已知复数z 1＝cos 23°＋sin 23°i 和复数z 2＝sin 53°＋sin 37°i，则z 1·z 2＝________.解析：z 1·z 2＝(cos 23°＋sin 23°i)·(sin 53°＋sin 37°i)＝(cos 23°sin 53°－sin 23°sin 37°)＋(sin 23°sin 53°＋co s 23°sin 37°)i ＝(cos 23°sin 53°－sin 23°cos 53°)＋i(sin 23°sin 53°＋cos 23°cos 53°) ＝sin 30°＋i cos 30°＝12＋32i.答案：12＋32i13．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，则复数z ＝________.解析：∵a ，b ∈R 且a1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，即a 1＋i2＋b 1＋2i5＝3－i2， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，即⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝15，5a ＋4b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝－10，故z ＝a ＋b i ＝7－10i. 答案：7－10i14. 复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数在复平面内的对应点位于第一象限，则实数m 的取值范围是________．解析：复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数为z ＝(m 2－3m ＋2)－(m 2－2m －8)i ， 又z 在复平面内对应的点在第一象限，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2>0，－m 2－2m －，解得－2<m <1或2<m <4. 答案：(－2,1)∪(2,4)15．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝________. 解析：∵z ＝1＋2i ，知z ＝1－2i则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝z ·z ＋1＝(1＋2i)(1－2i)＋1＝6. 答案：6三、解答题(本大题共有6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 16．(12分)实数k 为何值时，复数z ＝ (k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.解析：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数．(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0.17．(12分)已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i，求z .解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. 又z ·z －3i z ＝101－3i ，所以a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝＋10，所以a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3.所以z ＝－1，或z ＝－1－3i.18．(12分)已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a 的取值范围． 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ， 由z ＋2i 为实数，得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由z2－i为实数，得x ＝4.∴z ＝4－2i. ∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，a －解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．19．(12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．解析：∵z 1＝－1＋5i1＋i ＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ，∴|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i| ＝－a2＋4，又∵|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|， ∴－a2＋4<13，∴a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7. ∴a 的取值范围是(1,7)．20．(13分)已知关于x 的方程x a ＋b x＝1，其中a ，b 为实数． (1)若x ＝1－3i 是该方程的根，求a ，b 的值．(2)当a >0且b a >14时，证明该方程没有实数根．解析：(1)将x ＝1－3i 代入x a ＋bx＝1， 化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34b －3a i ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋b 4＝1，34b －3a ＝0，解得a ＝b ＝2.(2)原方程化为x 2－ax ＋ab ＝0， 假设原方程有实数解，那么Δ＝(－a )2－4ab ≥0，即a 2≥4ab .∵a >0，∴b a ≤14，这与题设b a >14相矛盾．故原方程无实数根． 21．(14分)复数z ＝＋3a ＋b1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解析：z ＝＋2＋1－i(a ＋b i)＝－2a －2b i.由|z |＝4得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得a 2＝3b 2，② 代入①得，|b |＝1. 又∵Z 点在第一象限， ∴a <0，b <0.由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1，故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。
人教A版高中数学选修2-2作业：第3章 数系的扩充与复数的引入3.1.1 课后
第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( A ) A ．2－2iB ．2＋iC ．－5＋5iD ．5＋5i解析 ∵2i －5的虚部为2，5i ＋2i 2的实部为－2，∴新复数为2－2i.故选A ． 2．若2＋a i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2＋b 2＝( D ) A ．0B ．2C ．52D ．5解析 ∵2＋a i ＝b －i ，a ，b ∈R ，∴b ＝2，a ＝－1，∴a 2＋b 2＝5.故选D ． 3．已知复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( D ) A ．π4B ．π4或5π4C ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．k π＋π4(k ∈Z )解析 由复数相等的充要条件知⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，得θ＝k π＋π4(k ∈Z )，故选D ．4．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( C ) A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－4解析 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.5．已知a ，b ∈R ，则a ＝b 是(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数的( C ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析 (a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≠0，a －b ＝0⇔a ＝b ≠0，即a ＝b ≠0是该复数为纯虚数的充要条件，所以a ＝b 是该复数为纯虚数的必要不充分条件．6．已知M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( B )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析 ∵M ∩N ＝{3}，∴m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1. 二、填空题7．复数1－i 的虚部的平方是__1__. 解析 1－i 的虚部为－1，虚部的平方为1.8．已知复数z ＝(m 2－m )＋(m 2－1)i(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为__±1__；若z 是虚数，则m 的取值范围是__(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)__；若z 是纯虚数，则m 的值为__0__.解析 z ＝(m 2－m )＋(m 2－1)i ，若z 是实数，则m 2－1＝0，解得m ＝±1； 若z 是虚数，则m 2－1≠0，解得m ≠±1；若z 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ＝0，m 2－1≠0，解得m ＝0.9．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1＞z 2，则a 的值为__0__.解析 由z 1＞z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a ＜16，解得a ＝0.三、解答题10．若方程x 2＋mx ＋2x i ＝－1－m i 有实根，求实数m 的值，并求出此实根．解析 设实根为x 0，代入方程，并由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋mx 0＝－1，2x 0＝－m ，消去m ，得x 0＝±1，所以m ＝±2.因此，当m ＝－2时，原方程的实根为x ＝1； 当m ＝2时，原方程的实根为x ＝－1.11．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解析 (1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0，m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)若z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0， 所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数． (3)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m ＋3≠0，m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．12．如果log 2(m ＋n )－(m 2－3m )i<1，求自然数m ，n 的值． 解析 ∵log 2(m ＋n )－(m 2－3m )i<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(m ＋n )<1，m 2－3m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<m ＋n <2，m ＝0或m ＝3，∵m ，n 是自然数，∴m ＝0，n ＝1.由Ruize收集整理。
新课堂高中数学人教A版选修1-2教师必备用书：第3章 3.1 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 Word版含答案
3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念学习目标：1.了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程．(重点)2.理解复数的概念、表示法及相关概念．(重点)3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件．(重点、易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．复数的概念：z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )全体复数所构成的集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }，叫做复数集． 2．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d . 3．复数的分类z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎨⎧非纯虚数(a ≠0)纯虚数(a ＝0)思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？[提示][基础自测]1．思考辨析(1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( )(2)复数i 的实部不存在，虚部为0. ( ) (3)b i 是纯虚数．( )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．复数i －2的虚部是( )【导学号：48662114】A ．iB ．－2C ．1D ．2C [i －2＝－2＋i ，因此虚部是1.]3．如果(x ＋y )i ＝x －1，则实数x ，y 的值分别为( ) A ．x ＝1，y ＝－1 B ．x ＝0，y ＝－1 C ．x ＝1，y ＝0 D ．x ＝0，y ＝0A [∵(x ＋y )i ＝x －1，∴⎩⎨⎧x ＋y ＝0， x －1＝0，∴x ＝1，y ＝－1.] 4．在下列数中，属于虚数的是__________，属于纯虚数的是________.【导学号：48662115】0,1＋i ，πi ，3＋2i ，13－3i ，π3i.1＋i ，πi ，3＋2i ，13－ 3 i ，π3i πi ，π3i [根据虚数的概念知：1＋i ，πi ，3＋2i ，13－3i ，π3i 都是虚数；由纯虚数的概念知：πi ，π3i 都是纯虚数．][合 作 探 究·攻 重 难]①若z ∈C ，则z 2≥0； ②2i －1虚部是2i ； ③2i 的实部是0.其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是①实数？②虚数？③纯虚数？【导学号：48662116】(1)[解析] (1)对于①，当z ∈R 时，z 2≥0成立，否则不成立，如z ＝i ，z 2＝－1＜0，所以①为假命题；对于②，2i －1＝－1＋2i ，其虚部为2，不是2i ，所以②为假命题； 对于③，2i ＝0＋2i ，其实部是0，所以③为真命题． [答案] B(2)①当x 满足⎩⎨⎧x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．②当x 满足⎩⎨⎧x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．③当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．设复数为纯虚数1．(1)若复数z ＝a 2－3＋2a i 的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为________________．(2)实数k 为何值时，复数(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是①实数；②虚数；③纯虚数；④零．(1)1或－3 [由条件知a 2－3＋2a ＝0， ∴a ＝1或a ＝－3.](2)由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i. ①当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ，即k ＝6或k ＝－1. ②当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.③当⎩⎨⎧ k 2－3k －4＝0k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数，解得k ＝4.④当⎩⎨⎧k 2－3k －4＝0k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1.1．由3>2能否推出3＋i>2＋i ？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？提示：由3>2不能推出3＋i>2＋i ，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．2．若复数z ＝a ＋b i>0，则实数a ，b 满足什么条件？ 提示：若复数z ＝a ＋b i>0，则实数a ，b 满足a >0，且b ＝0.(1)若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2－9)i<0，则实数m 的值等于_______． (2)已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，求实数m 的值.【导学号：48662117】思路探究 (1)等价转化为虚部为零，且实部小于零； (2)根据复数相等的充要条件求解．(1)－3 [(1)∵z <0，∴⎩⎨⎧m 2－9＝0m ＋1<0，∴m ＝－3.](2)设a 是原方程的实根，则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0，即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0＋0i ，所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0，所以a ＝－12且⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－12＋3m ＝0，所以m ＝112.1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是( )【导学号：48662118】A ．2，1B ．2，5C ．±2，5D ．±2，1C [令⎩⎨⎧a 2＝2－2＋b ＝3，得a ＝±2，b ＝5.]2．若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．0A [(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ，所以a ＝3，b ＝－2，所以a ＋b ＝1，故选A.]3．已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，则实数x ＝________，y ＝________.【导学号：48662119】－1 －1 [∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎨⎧ x 2－y 2＝0xy ＝2，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1.]4．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞1则实数m 的值为________．2 [由题意得⎩⎨⎧m 2－2m ＝0，m 2－1>1，解得m ＝2.]5．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.【导学号：48662120】[解] 由m 2＋5m ＋6＝0得，m ＝－2或m ＝－3，由m 2－2m －15＝0得m ＝5或m ＝－3.(1)当m 2－2m －15＝0时，复数z 为实数， ∴m ＝5或－3；(2)当m 2－2m －15≠0时，复数z 为虚数， ∴m ≠5且m ≠－3.(3)当⎩⎨⎧ m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0.时，复数z 是纯虚数，∴m ＝－2.(4)当⎩⎨⎧m 2－2m －15＝0，m 2＋5m ＋6＝0.时，复数z 是0，∴m ＝－3.。
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义》精品课件_23
∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0，
∴m=1或m=-2.
复数的几何意义（二）
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
平面向量 OZ
一一对应
y
z=a+bi
Z(a,b)
轴上的点都表示纯虚数，除原点 外，因为原点表示实数0.
复数z=a+bi用点Z(a,b)表示. 复平面内的点Z的坐标是(a,b),而 不是(a, bi),即复平面内的纵坐标 轴上的单位长度是1，而不是i.
例1.辨析：
1．下列命题中的假命题是（D） (A)在复平面内，对应于实数的点都在实
轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在
向量 OZ的模r叫做复数z=a+bi的模，记作
|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a, 它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可
知： |z|= |a+bi|=r= a2 +b2(r 0,r∈R ).
例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0)
图形: 以原点为圆心, 半径为5的圆.
满足3<|z|<5(z∈C)
y
的复数z对应的点在复
5
平面上将构成怎样的图
3
形？
–5 –3
5
设z=x+yi(x,y∈R)
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义》精品课件_30
－3 4i (i为虚数单位),OZ2对应复数为z2 2a i .
若OZ1与OZ
共线
2
，则
|
z2
|＝
________
.
例题3
已知复数z x yi( x, y R)在复平面内对应 的点为Z．并且 2x 3 2 yi x ( y 1)i ,求点Z 的轨迹
课堂练习
1、 在复平面内, O是原点 , 向量OA对应的复
数是2 i . (1) 如果点A关于原点的对称点为点B , 求向量
OB对应的复数 ; (2) 如果(1)中点B关于虚轴的对称点为C , 求点
C对应的复数 .
课堂练习
2、 在复平面内指出与复数z1 1 2i ,
z2 2 3i , z3 3 2i , z4 2 i, 对应的 点Z1 , Z2 , Z3 , Z4 . 试判断这4个点是否在同一 个圆上, 并证明你的结论 .
选选亻 修1--2 复数的几何意义
温故知新
1、复数的代数形式是怎样的？
2、复数相等的充要条件是什么？ a=c且b=d
3、对于复数a+bi（a，b∈R）， 当a，b满足什么条件时，它是 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？
当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实 数0； 当b≠0时，它是虚数； 当a=0且b ≠0时，它是纯虚数。
例题1 实数m取什么值时，复平面内表示复数z=(m28m+15)+(m2-5m-14)i的点 （1）位于第四象限； （2）位于第一、三象限； （3）位于直线y=x上。
例题2
（1）已知z 3 ai (i为虚数单位，a R), 若 | z | 4,则a的取值范围是________ .
人教A版选修2-2数学：第三章《数系的扩充与复数的引入》综合测试2(新人教A版选修2—2).docx
高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．0a =是复数()z a bi a b =+∈R ，为纯虚数的（ ）Ａ．充分条件但不是必要条件 Ｂ．必要条件但不是充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不是充分也不必要条件 答案：Ｂ2．若12z i =+，23()z ai a =+∈R ，12z z +的和所对应的点在实轴上，则a 为（ ） Ａ．3 Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．1-答案：Ｄ3．复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ） Ａ．2a ≠或1a ≠ Ｂ．2a ≠且1a ≠ Ｃ．0a = Ｄ．2a =或0a =答案：Ｄ4．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）Ａ．若22120z z +>，则2212z z >-Ｂ．12z z -Ｃ．22121200z z z z +=⇔== Ｄ．11z z -是纯虚数或零 答案：Ｄ5．设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+，t ∈R ，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．z 的对应点Z 在第一象限Ｂ．z 的对应点Z 在第四象限 Ｃ．z 不是纯虚数 Ｄ．z 是虚数 答案：Ｄ6．若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） Ａ．1i - Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ．i 答案：Ａ7．已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，则12z z ·的最大值为（ ）Ａ．32 Ｄ．3答案：Ａ 8．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m 等于（ ）Ａ．2-Ｂ．Ｃ．Ｄ．4答案：Ｂ9．在复平面内，复数12ω=-+对应的向量为OA u u u r ，复数2ω对应的向量为OB u u u r ．那么向量AB u u u r对应的复数是（ ）Ａ．1 Ｂ．1- Ｄ．答案：Ｄ10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①两个复数不能比较大小；②123z z z ∈C ，，，若221221()()0z z z z -+-=，则13z z =； ③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±； ④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；⑤若a b ，是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数； ⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =．Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ｂ11．复数()a bi a b +∈R ，等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ） Ａ．2()1a b += Ｂ．221a b += Ｃ．221a b -= Ｄ．2()1a b -=答案：Ｂ12．复数z 满足条件：21z z i +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ ） Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线 答案：Ａ 二、填空题13．若复数cos sin z i θθ=-·所对应的点在第四象限，则θ为第 象限角． 答案：一14．复数z i =与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为 ． 答案：60°15．已知2z i =-，则32452z z z -++= ． 答案：2 16．定义运算a b ad bc c c =-，则符合条件2132i z zi-=+的复数z = ． 答案：7455i -三、解答题17．已知复数(2)()x yi x y -+∈R ，的模为3，求yx的最大值． 解：23x yi -+=∵，22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，为圆心，3为半径的圆上，yx表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率． 如图，由平面几何知识，易知yx的最大值为3． 18．已知1z i a b =+，，为实数． （1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az bi z z ++=--+，求a ，b 的值．解：（1）2(1)3(1)41i i i ω=++--=--， 2ω=∴；（2）由条件，得()(2)1a b a ii i+++=-，()(2)1a b a i i +++=+∴，121a b a +=⎧⎨+=⎩，，∴解得12a b =-⎧⎨=⎩，．19．已知2211z x x i =++，22()z x a i =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围． 解：12z z >∵， 42221()x x x a ++>+∴，22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式成立； 当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩， 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，． 20．已知()z i z ω=+∈C ，22z z -+是纯虚数，又221116ωω++-=，求ω． 解：设()z a bi a b =+∈R ，2(2)2(2)z a bi z a bi--+=+++∴2222(4)4(2)a b bia b +-+=++． 22z z -+∵为纯虚数， 22400a b b ⎧+-=⎨≠⎩，．∴222211(1)(1)(1)(1)a b i a b i ωω++-=++++-++∴2222(1)(1)(1)(1)a b a b =++++-++ 222()44a b b =+++844b =++ 124b =+．12416b +=∴．1b =∴．把1b =代入224a b +=，解得a =．z i =∴．2i ω=∴．21．复数3(1)()1i a bi z i++=-且4z =，z 对应的点在第一象限内，若复数0z z ，，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：2(1)(1)()2()221i i z a bi i i a bi a bi i++=+=+=---···，由4z =，得224a b +=． ①∵复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，z z z =-∴，把22z a bi =--代入化简，得1b =． ② 又Z ∵点在第一象限内，0a <∴，0b <．由①②，得1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．故所求a =1b =-．22．设z 是虚数1z z ω=+是实数，且12ω-<<．（1）求z 的值及z 的实部的取值范围．（2）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数； （3）求2ωμ-的最小值．（1）解：设0z a bi a b b =+∈≠R ，，，， 则1a bi a bi ω=+++2222a b a b i a b a b ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．因为ω是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =．于是2a ω=，即122a -<<，112a -<<．所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（2）证明：2222111211(1)1z a bi a b bi bi z a bi a b a μ------====-++++++．因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，0b ≠，所以μ为纯虚数；（3）解：22222122(1)(1)b a a a a a ωμ--=+=+++1222111a a a a a -=-=-+++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>，故223ωμ-·≥431-=． 当111a a +=+，即0a =时，2ωμ-取得最小值1． 高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．实数x ，y 满足(1)(1)2i x i y ++-=，则xy 的值是（ ） Ａ．1 Ｂ．2Ｃ．2-Ｄ．1-答案：Ａ2．复数cos z i θ=，[)02πθ∈，的几何表示是（ ） Ａ．虚轴Ｂ．虚轴除去原点Ｃ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(01)(01)-，，， Ｄ．（Ｃ）中线段PQ ，但应除去原点 答案：Ｃ3．z ∈C ，若{}22(1)1M z z z =-=-|，则（ ）Ａ．{}M =实数Ｂ．{}M =虚数Ｃ．{}{}M实数复数苘Ｄ．{}M ϕ=答案：Ａ4．已知复数1z a bi =+，21()z ai a b =-+∈R ，，若12z z <，则（ ） Ａ．1b <-或1b > Ｂ．11b -<< Ｃ．1b > Ｄ．0b >答案：Ｂ5．已知复数z 满足2230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） Ａ．1个圆 Ｂ．线段Ｃ．2个点Ｄ．2个圆答案：Ａ6．设复数()z z ∈C 在映射f 下的象是zi ·，则12i -+的原象为（ ） Ａ．2i - Ｂ．2i + Ｃ．2i -+ Ｄ．13i +－答案：Ａ7．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｂ8．已知()22f z i z z i +=++，则(32)f i +=（ ） Ａ．9i Ｂ．93i +Ｃ．9i -Ｄ．93i -－答案：Ｂ 9．复数2()12miA Bi m AB i-=+∈+R ，，，且0A B +=，则m =（ ）Ｂ．23 Ｃ．23-Ｄ．2答案：Ｃ10．(32)(1)i i +-+表示（ ） Ａ．点(32)，与点(11)，之间的距离 Ｂ．点(32)，与点(11)--，之间的距离 Ｃ．点(32)，与原点的距离 Ｄ．点(31)，与点(21)，之间的距离 答案：Ａ11．已知z ∈C ，21z -=，则25z i ++的最大值和最小值分别是（ ）11 Ｂ．3和1Ｃ．和3答案：Ａ12．已知1z ，2z ∈C ，12z z +=1z =2z =12z z -=（ ）Ａ．1 Ｂ．12Ｃ．2答案：Ｄ 二、填空题13．若()1()f z z z =-∈C ，已知123z i =+，25z i =-，则12z f z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．答案：19172626i - 14．“复数z ∈R ”是“11z z=”的 ． 答案：必要条件，但不是充分条件 15．A ，B 分别是复数1z ，2z 在复平面上对应的两点，O 为原点，若1212z z z z +=-，则AOB △为 ． 答案：直角16．若n 是整数，则6(1)(1)nn i i -+-=· ． 答案：8±或8i ±三、解答题17．已知复数3z z -对应的点落在射线(0)y x x =-≤上，1z +=z ． 解：设()z a bi a b =+∈R ，，则33324z z a bi a bi a bi -=+-+=+， 由题意得4120ba b ⎧=-⎪⎨⎪>⎩，，①又由1z +=22(1)2a b ++=， ② 由①，②解得21a b =-⎧⎨=⎩，，2z i =-+∴．18．实数m 为何值时，复数216(815)55m z m i m i m m -⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭．（1）为实数； （2）为虚数； （3）为纯虚数；（4）对应点在第二象限．解：226(815)5m m z m m i m +-=++++．（1）z 为实数28150m m ⇔++=且50m +≠，解得3m =-； （2）z 为虚数2815050m m m ⎧++≠⇔⎨+≠⎩，，解得3m ≠-且5m ≠-；（3）z 为纯虚数226058150m m m m m ⎧+-=⎪⇔+⎨⎪++≠⎩，，解得2m =；（4）z 对应的点在第二象限226058150m m m m m ⎧+-<⎪⇔+⎨⎪++>⎩，，解得5m <-或32m -<<．19．设O 为坐标原点，已知向量1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r分别对应复数12z z ，，且213(10)5z a i a =+-+，22(25)1z a i a=+--，a ∈R ．若12z z +可以与任意实数比较大小，求1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 的值．解：213(10)5z a i a =--+，则31232[(10)(25)]51z z a a i a a+=++-+-+-的虚部为0， 22150a a +-=∴．解得5a =-或3a =． 又50a +≠∵，3a =∴．则138z i =+，21z i =-+，1318OZ ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，，2(11)OZ =-u u u u r ，． 1258OZ OZ =u u u u r u u u u r ∴·．20．已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设()z x yi x y =+∈R ，，2(2)z i x y i +=++为实数，2y =-∴．211(22)(4)2255z x i x x i i i -==++---为实数， 4x =∴，则42z i =-．22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-∵在第一象限， 212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，，∴解得26a <<． 21．已知关于x 的方程2(6)90()x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ． （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足2z a bi z --=，求z 为何值时，z 有最小值并求出最小值． 解：（1）将b 代入题设方程，整理得2(69)()0b b a b i -++-=， 则2690b b -+=且0a b -=，解得3a b ==；（2）设()z x yi x y =+∈R ，，则2222(3)(3)4()x y x y -++=+， 即22(1)(1)8x y ++-=．∴点Z 在以(11)-，为圆心，22为半径的圆上， 画图可知，1z i =-时，min 2z =．。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义学业分层测评(含解析)新人教A版
2016-2017学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2 复数的几何意义学业分层测评（含解析）新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2 复数的几何意义学业分层测评（含解析）新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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3。
1。
2 复数的几何意义学业分层测评(建议用时：45分钟）[学业达标]一、选择题1．(2016·青岛高二检测）在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于( ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵sin 2>0，cos 2〈0，∴复数z对应的点（sin 2，cos 2)在第四象限．故选D.【答案】D2．已知复数z＝（a2－2a）＋(a2－a－2）i对应的点在虚轴上，则( ）A．a≠2或a≠1 B．a≠2，且a≠1C．a＝0 D．a＝2或a＝0【解析】由题意，得a2－2a＝0，得a＝0或a＝2.故选D.【答案】D3．在复平面内，O为原点，向量O错误!对应的复数为－1＋2i,若点A关于直线y＝－x的对称点为点B,则向量O错误!对应的复数为（）A．－2－i B．－2＋iC．1＋2i D．－1＋2i【解析】因为复数－1＋2i对应的点为A（－1，2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B （－2，1),所以O错误!对应的复数为－2＋i.【答案】B4．已知复数z满足｜z｜2－2|z｜－3＝0,则复数z对应点的轨迹是( )A．1个圆B．线段C．2个点D．2个圆【解析】由题意知（|z|－3)(|z｜＋1)＝0，即｜z｜＝3或｜z｜＝－1，∵｜z｜≥0，∴｜z|＝3,∴复数z对应点的轨迹是1个圆．【答案】A5．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】由题意可得复数z＝－2＋i，故在复平面内对应的点为（－2,1），在第二象限,故选B.【答案】B二、填空题6．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i,则z2＝______。
2014-2015学年高中数学(人教版选修1-2)课时训练第三章 3.1.2 复数的几何意义
栏 目 链 接
注： (1) 习惯上，用大写字母 Z 表示点，小写字母 z 表示复 数． (2)复数z＝a＋bi用复平面内的点Z(a，b)表示，复平面内点 栏 Z 的坐标是 (a ， b) ，而非 (a ， bi) ．例如，复平面内的点 ( － 2,3) 目 表示复数－2＋3i；反之，复数－2＋3i对应复平面内的点的坐 链 接 标是(－2,3)．
复数 的平面，叫 (1) 定义：建立了直角坐标系来表示 ________ 做复平面．
(2)实轴：x轴叫做实轴． (3)虚轴：y轴(除去原点)叫做虚轴． 2．复平面内的点与复数的对应关系．
栏 目 链 接
(1)实轴↔实数．
(2)虚轴(除原点)↔纯虚数． (3)各象限的点↔非纯虚数．
∴m＝4 时，复数在复平面对应的点位于 y 轴的负半轴上．
2 栏 m ＋3m－28＜0， －7＜m＜4， (2) 由已知 2 ⇒ ⇒ － 7 ＜ m ＜ 2.∴ 目 链 m －8m＋12＞0 m＜2，或m＞6 接
－7＜m＜2 时，复数在复平面对应的点在第二象限．
点评：此类题型，要明确复数的实部和虚部分别是它对应 的点的横坐标和纵坐标，然后根据要求列出相应的关系式求 解．
3．复数的两种几何形式(点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b)． Z(a，b) ． (1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)↔点________ (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)↔向量________． 栏 4．复数的模．
梳理 1．复数2－3i对应的点在直线( A．y＝x上 C．3x＋2y＝0上 )
跟 踪 训 练
2 a －a－2 2 i(a∈R)对应的点 Z， 1．a 取何值时，z＝(a －2a－8)＋ a ＋ 1
17学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2复数的几何意义课件新人教A版选修2_2
阶 段 三
3．1 3.1.2
阶 段 二
数系的扩充和复数的概念 复数概念．(易混点) 2．掌握复数的几何意义，并能适当应用．(重点、易混点) 3．掌握复数模的定义及求模公式．
[ 基础· 初探] 教材整理 1 复平面 阅读教材 P104～P104“第 11 行”以上内容，完成下列问题．
[ 探究共研型]
复数的模
探究 1 复平面内的虚轴的单位长度是 1，还是 i? 【提示】 复平面内的虚轴上的单位长度是 1，而不是 i.
探究 2 若复数(a＋1)＋(a－1)i(a∈R)在复平面内对应的点 P 在第四象限， 则 a 满足什么条件？
【提示】 a
a＋1＞0， 满足 a－1＜0，
复数与平面向量的关系 → → (1)向量OZ1对应的复数是 5－4i，向量OZ2 对应的复数是－5＋4i，则
→ → OZ1＋OZ2 对应的复数是( A．－10＋8i C．0
) B．10－8i D．10＋8i
→ → → (2)复数 4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA与OB，则向量AB表示的复数是 ________. 【导学号：60030074】
解答此类题目的一般思路是先写出向量或点的坐标，再根 据向量的运算求出所求向量的坐标，从而求出向量所表示的复 数．
[ 再练一题] 1→ 2．上例(2)中的条件不变，试求向量－ AB表示的复数． 2 → 【解】 由上例(2)的解析知AB＝(－6，－8)，
1→ 1→ ∴－ AB＝(3,4)，所以向量－ AB表示的复数是 3＋4i. 2 2
【答案】 (3，＋∞)
4．已知复数 z＝x－2＋yi(x，y∈R)的模是 2 2，则点(x，y)的轨迹方程是 ________．
【解析】 ∵|z|＝2 2， ∴ x－22＋y2＝2 2， ∴(x－2)2＋y2＝8.
第三章 数系的扩充与复数的引入章末检测(A)
第三章 数系的扩充与复数的引入(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．复数z ＝1＋cos α＋isin α (π<α<2π)的模为( )A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α22．下列说法正确的是( )A ．0i 是纯虚数B ．原点不是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点C ．实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数D ．i 2是虚数3．若θ∈⎝⎛⎭⎫34π，54π，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．一元二次方程x 2－(5＋i)x ＋4－i ＝0有一个实根x 0，则( )A ．x 0＝4B ．x 0＝1C ．x 0＝4或x 0＝1D ．x 0不存在5．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( )A ．a ＝－3，b ＝－4B ．a ＝－3，b ＝4C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝46．已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z 等于( ) A ．14 B ．12C ．1D ．2 7．在复平面上复数－1＋i 、0、3＋2i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 的长为( )A ．5B ．13C ．15D ．178．已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－5，则z 为( )A ．－5＋2iB ．－5－2iC.5＋2i D ．5－2i9．1＋2i ＋3i 2＋…＋2 005i 2 004的值是( )A ．－1 000－1 000iB ．－1 002－1 002iC ．1 003－1 002iD ．1 005－1 000i10．设复数z 满足1－z 1＋z＝i ，则|1＋z |等于( ) A ．0 B ．1 C ． 2 D ．211．若z 1＝(2x －1)＋y i 与z 2＝3x ＋i (x ，y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．f (n )＝i n ＋i －n (n ∈N ＋)的值域中的元素个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．无穷多个二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．z 1是复数，z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为______．14．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________．15．若复数z ＝2i 1－i，则|z ＋3i|＝________. 16．已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a ＋b i ，z 3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A 、B 、C .若OC →＝2OA →＋OB →，则a ＝________，b ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知复数z ＝(2＋i)m 2－6m 1－i－2(1－i)，当实数m 取什么值时，复数z 是 (1)虚数，(2)纯虚数．18．(12分)设复数z 满足|z |＝5，且(3＋4i)z 在复平面内的对应点在第二、四象限的角平分线上，|2z －m |＝52(m ∈R )，求z 和m 的值．19．(12分)复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i，若z 2＋a z <0，求纯虚数a .20．(12分)已知复数z 的模为2，求复数1＋3i ＋z 的模的最大值、最小值．21．(12分)已知z 是虚数，证明：z ＋1z为实数的充要条件是|z |＝1.22．(12分)复数z ＝(1＋i )3(a ＋b i )1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a 、b 的值．第三章 数系的扩充与复数的引入(A)答案1．B [|z |＝(1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos 2α2＝2⎪⎪⎪⎪cos α2 ∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cos α2<0， ∴2⎪⎪⎪⎪cos α2＝－2cos α2.] 2．C [0i ＝0∈R ，故A 错；原点为实轴和虚轴的交点，故B 错，i 2＝－1∈R ，故D 错，所以答案为C.]3．B [cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， sin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 因为θ∈⎝⎛⎭⎫34π，54π，所以θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π，32π，θ－π4∈⎝⎛⎭⎫π2，π，因此，cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0，所以复数在平面内对应的点在第二象限．]4．D [由已知可得x 20－(5＋i)x 0＋4－i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 20－5x 0＋4＝0－x 0－1＝0，该方程组无解．] 5．A [z 1＋z 2＝a －3＋(4＋b )iz 1－z 2＝a ＋3＋(4－b )i ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋b ＝0a ＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－4.] 6．A [∵z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i －2－23i， ∴|z |＝|3＋i||－2－23i|＝24＝12. ∴z ·z ＝|z |2＝14.] 7．B [BA →对应的复数为－1＋i ，BC →对应的复数为3＋2i ，∵BD →＝BA →＋BC →，∴BD →对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i.∴BD 的长为13.]8．A [设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则x ＝－5，由|z |＝3，得(－5)2＋y 2＝9，即y 2＝4，∴y ＝±2，∵复数z 对应的点在第二象限，∴y ＝2.∴z ＝－5＋2i.]9．C [1＋2i ＋3i 2＋4i 3＝1＋2i －3－4i ＝－2－2i.周期出现，原式＝501×(－2－2i)＋2 005i 2 004＝－1 002－1 002i ＋2 005＝1 003－1 002i.]10．C [由1－z 1＋z ＝i ，得z ＝1－i 1＋i＝－i ， ∴|1＋z |＝|1－i|＝ 2.]11．C [由z 1，z 2互为共轭复数，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝3x ，y ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以z 1＝(2x －1)＋y i ＝－3－i.由复数的几何意义知z 1对应的点在第三象限．]12．B [根据i 的周期性，当n ＝4k (k ∈N )时，f (n )＝i 4k ＋i －4k ＝1＋1＝2，当n ＝4k ＋1 (k ∈N )时，f (n )＝i 4k ＋1＋i －(4k ＋1)＝i ＋1i＝0， 当n ＝4k ＋2 (k ∈N )时，f (n )＝i 4k ＋2＋i －(4k ＋2)＝－2，当n ＝4k ＋3 (k ∈N )时，f (n )＝i 4k ＋3＋i －(4k ＋3)＝－i －1i＝0. 故值域中元素个数为3.]13．1解析 设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝a ＋b i －i(a －b i)＝a －b ＋(b －a )i ，又a －b ＝－1，∴b －a ＝1.14．115＋3i 解析 设z ＝a ＋b i (a 、b ∈R )，根据题意得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝5＋3i ，所以有⎩⎨⎧ b ＝3a ＋a 2＋b 2＝5，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝115b ＝3， ∴z ＝115＋3i. 15． 5 解析 ∵z ＝2i 1－i＝2i (1＋i )2＝－1＋i. ∴z ＝－1－i ，∴|z ＋3i|＝|－1＋2i|＝ 5.16．－3 －10解析 ∵OC →＝2OA →＋OB →∴1－4i ＝2(2＋3i)＋(a ＋b i)即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝4＋a －4＝6＋b ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－10.17．解 由于m ∈R ，复数z 可表示为z ＝(2＋i)m 2－3m (1＋i)－2(1－i)＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ，(1)当m 2－3m ＋2≠0，即m ≠2且m ≠1时，z 为虚数．(2)当⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0m 2－3m ＋2≠0， 即m ＝－12时，z 为纯虚数． 18．解 设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )．因为|z |＝5，所以a 2＋b 2＝25.因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i ，又(3＋4i)z 在复平面内的对应点在第二、四象限的角平分线上， 所以3a －4b ＋4a ＋3b ＝0，得b ＝7a ，所以a ＝±22，b ＝±722，即z ＝±⎝⎛⎭⎫22＋722i ， 所以2z ＝±(1＋7i)．当2z ＝1＋7i 时，有|1＋7i －m |＝52，即(1－m )2＋72＝50，得m ＝0，或m ＝2. 当2z ＝－(1＋7i)时，同理可得m ＝0，或m ＝－2.∴z ＝±⎝⎛⎭⎫22＋722i ，m ＝0或m ＝2或m ＝－2. 19．解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝1－i. ∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i (m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i＝－2i ＋m i －m 2 ＝－m 2＋⎝⎛⎭⎫m 2－2i<0， ∴⎩⎨⎧ －m 2<0，m 2－2＝0， ∴m ＝4.∴a ＝4i.20．解 利用公式||z 1|－|z 2||≤|z 1＋z 2|≤|z 1|＋|z 2|.∵|z |＝2，∴||z |－|1＋3i||≤|z ＋1＋3i|≤|z |＋|1＋3i|.∴0≤|z ＋1＋3i|≤2＋2，∴|z ＋1＋3i|min ＝0，|z ＋1＋3i|max ＝4.21．证明 设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R 且y ≠0)，则z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y2 ＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫y －y x 2＋y 2i.当|z |＝1，即x 2＋y 2＝1时，z ＋1z＝2x ∈R . 当z ＋1z ∈R ，即y －y x 2＋y 2＝0时，又y ≠0， ∴x 2＋y 2＝1，即|z |＝1.∴z ＋1z为实数的充要条件是|z |＝1. 22．解 z ＝(1＋i )2·(1＋i )1－i(a ＋b i) ＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i.由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4.①∵复数0、z 、z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1. ② 又∵z 对应的点在第一象限，∴－2a >0，－2b >0，∴a <0，b <0. ③由①②③得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。
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3.1.2 复数的几何意义
1.复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选C.z=-1-2i在复平面内对应的点为(-1,-2),它位于第三象限.
2.若=(0,-3),则对应的复数为( )
A.0
B.-3
C.-3i
D.3
【解析】选C.由复数的几何意义可知对应的复数为-3i.
3.复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,则( )
A.a≠2或a≠1
B.a≠2或a≠-1
C.a=2或a=0
D.a=0
【解析】选C.由题意知a2-2a=0,解得a=0或2.
4.已知3-4i=x+yi(x,y∈R),则|1-5i|,|x-yi|,|y+2i|的大小关系为________.
【解析】由3-4i=x+yi(x,y∈R),
得x=3,y=-4,
而|1-5i|==,
|x-yi|=|3+4i|==5,
|y+2i|=|-4+2i|==.
因为<5<,
所以|y+2i|<|x-yi|<|1-5i|.
答案:|y+2i|<|x-y i|<|1-5i|
5.在复平面内指出与复数z1=-1+i,z2=2-i,z3=-i,z4=+3i对应的点Z1,Z2,Z3,Z4,然后在复平面内画出这4个复数对应的向量.
【解析】由题意知Z1(-1,),Z2(2,-1),Z3(0,-1),Z4(,3).
如图所示,在复平面内,复数z1,z2,z3,z4对应的向量分别为,,,.。