振动理论习题答案
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解：给杆一个微转角
＝h
2F＝mg
由动量矩定理：
其中
2-3一半圆薄壁筒，平均半径为R,置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求
其摆动的固有频率。
图2-3图2-4
2-4如图2-4所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况
系统作垂直振动的固有频率：
（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；
《振动力学》——习题
第二章 单自由度系统的自由振动
2-1如图2-1所示，重物 悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物 从高度为h处自由下落到 上且无弹跳。试求 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
解：
，
动量守恒：
，wk.baidu.com
平衡位置：
，
，
故：
故：
2-2一均质等直杆，长为l，重量为w，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
图2-5图2-6
2-6在图2-6所示的系统中，四个弹簧均未受力。已知m=50kg， ，
， 。试问：
（1）若将支撑缓慢撤去，质量块将下落多少距离？
（2）若将支撑突然撤去，质量块又将下落多少距离？
｛2.17｝图T 2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，k1=k2=k3=k4=k，试问：
（1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？
解：由图得激振力方程为
当0<t<t1时， ，则有
当t<t1时， ，则有
3-8图3-8为一车辆的力学模型，已知车辆的质量m、悬挂弹簧的刚度k以及车辆的水
平行驶速度v。道路前方有一隆起的曲形地面：
（1）试求车辆通过曲形地面时的振动；
（2）试求车辆通过曲形地面以后的振动。
图3-8
解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为，
（2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？
图T 2-17
解：
（1） ，
（2） ，
2-7图2-7所示系统，质量为m2的均质圆盘在水平面上作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力。试求此系统的固有频率。
图2-7
解：
系统动能为：
系统动能为：
根据： ，
2-8如图2-8所示的系统中，钢杆质量不计，建立系统的运动微分方程，并求临界阻尼
3-5证明：粘滞阻尼利在一个振动周期内消耗的能量可表示为
证明
3-6单自由度无阻尼系统受图3-6所示的外力作用，已知 。试求系统的响应。
图3-6
解：由图得激振力方程为
当0<t<t1时， ，则有
由于 ，所以有
当t1<t<t2时， ，则有
当t<t2时， ，则有
+ 0
图3-7
3-7试求在零初始条件下的单自由度无阻尼系统对图3-7所示激振力的响应。
则
1）系统共振，即
2）
3-3建立图3-3所示系统的运动微分方程，并求出系统的固有频率 ，阻尼比 以及稳态响应振幅。
图3-3
解：以刚杆转角 为广义坐标，由系统的动量矩定理
即
令， ， ， ， ， 得到
3-4一机器质量为450kg，支撑在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5cm，机器有一偏心重，产生偏心激振力 ，其中 是激振频率，g是重力加速度。试求：
（1）在机器转速为1200r/min时传入地基的力；（2）机器的振幅。
解：设系统在平衡位置有位移 ，
则
即
又有 则 （1）
所以机器的振幅为 （2）且 ， （3）
又有 （4）
将（1）（2）（4）代入（2）得机器的振幅 =0.584 mm
则传入地基的力为
2-9一个粘性阻尼系统在激振力 作用下的强迫振动力为 ，已知 N，B=5 cm， rad/s，求最初1秒及1/4秒内，激振力作的功 及 。
（C）
联立解得，
所以 ，n= 0，得，
图3-2
3-2图3-2所示系统中，刚性杆AB的质量忽略不计，B端作用有激振力 ，写出系统运动微分方程，并求下列情况中质量m作上下振动的振幅值：（1）系统发生共振；（2） 等于固有频率 的一半。
解：图（1）为系统的静平衡位置，以为系统的广义坐标，画受力如图（2）
又I＝ml2
由曲形地面∶ ，得到
得到系统的激振力为， 。
（1）车通过曲形地面时 的振动为
（2）车通过曲形地面后的振动
车通过曲形地面后 以初位移 和初速度 作自由振动，即
，
由公式 ，得到车通过曲形地面后的振动响应为
其中， ， 。
或积分为
3-9图3-9是一轻型飞机起落架着陆冲撞的简单力学模型。试求弹簧从接触地面至反跳脱离接触的时间。
。试求系统的固有频率及振型矩阵
图4-1
解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为
，
由频率方程 ，得
解出频率为
， ，
由特征矩阵 的伴随矩阵的第一列，
将 代入得系统的第一阶主振型为
满足如下关系：
，
展开以上二式得， 。取 ， ，可得到 。即有
3-10图3-10所示的箱子从高h处自由下落，箱体内有足够的间隙允许质量m运动，并且箱体质量远大于m。若箱子触地后不再跳起，试求：（1）箱子下落过程中质量块相对于箱体的运动；（2）箱子落地后传到质量块上的最大作用力。
图3-9图3-10
第四章多单自由度系统的振动
4-1图4-1所示系统中，各个质量只能沿铅垂方向运动，假设 ，
（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；
（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
图T 2-9答案图T 2-9
解：
（1）保持水平位置：
（2）微幅转动：
故：
2-5试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB在A点的等效质量。已知杆的质量为m，A
端弹簧的刚度为k。并问铰链支座C放在何处时使系统的固有频率最高？
系数及阻尼固有频率。
图2-8
解：
，
由
2-9图2-9所示的系统中，m＝1kg，k＝224N/m，c＝48N.s/m，l1＝l＝0.49m，l2＝l/2，l3＝l/4，不计钢杆质量。试求系统的无阻尼固有频率 及阻尼 。
图2-9
｛2.26｝图T 2-26所示的系统中，m=1 kg，k=144 N / m，c= 48 N•s/m，l1=l=0.49 m，l2=0.5l，l3=0.25l，不计刚杆质量，求无阻尼固有频率 及阻尼 。
图T 2-26答案图T 2-25
解：
受力如答案图T 2-26。对O点取力矩平衡，有：
第三章 单自由度系统的强迫振动
3-1如图3-1所示弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一激振力 。试求质量块的振幅。
图3-1
解：设弹簧1，2的伸长分别为x1和x2，则有，
（A）
由图（1）和图（2）的受力分析，得到
（B）
＝h
2F＝mg
由动量矩定理：
其中
2-3一半圆薄壁筒，平均半径为R,置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求
其摆动的固有频率。
图2-3图2-4
2-4如图2-4所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况
系统作垂直振动的固有频率：
（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；
《振动力学》——习题
第二章 单自由度系统的自由振动
2-1如图2-1所示，重物 悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物 从高度为h处自由下落到 上且无弹跳。试求 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
解：
，
动量守恒：
，wk.baidu.com
平衡位置：
，
，
故：
故：
2-2一均质等直杆，长为l，重量为w，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
图2-5图2-6
2-6在图2-6所示的系统中，四个弹簧均未受力。已知m=50kg， ，
， 。试问：
（1）若将支撑缓慢撤去，质量块将下落多少距离？
（2）若将支撑突然撤去，质量块又将下落多少距离？
｛2.17｝图T 2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，k1=k2=k3=k4=k，试问：
（1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？
解：由图得激振力方程为
当0<t<t1时， ，则有
当t<t1时， ，则有
3-8图3-8为一车辆的力学模型，已知车辆的质量m、悬挂弹簧的刚度k以及车辆的水
平行驶速度v。道路前方有一隆起的曲形地面：
（1）试求车辆通过曲形地面时的振动；
（2）试求车辆通过曲形地面以后的振动。
图3-8
解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为，
（2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？
图T 2-17
解：
（1） ，
（2） ，
2-7图2-7所示系统，质量为m2的均质圆盘在水平面上作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力。试求此系统的固有频率。
图2-7
解：
系统动能为：
系统动能为：
根据： ，
2-8如图2-8所示的系统中，钢杆质量不计，建立系统的运动微分方程，并求临界阻尼
3-5证明：粘滞阻尼利在一个振动周期内消耗的能量可表示为
证明
3-6单自由度无阻尼系统受图3-6所示的外力作用，已知 。试求系统的响应。
图3-6
解：由图得激振力方程为
当0<t<t1时， ，则有
由于 ，所以有
当t1<t<t2时， ，则有
当t<t2时， ，则有
+ 0
图3-7
3-7试求在零初始条件下的单自由度无阻尼系统对图3-7所示激振力的响应。
则
1）系统共振，即
2）
3-3建立图3-3所示系统的运动微分方程，并求出系统的固有频率 ，阻尼比 以及稳态响应振幅。
图3-3
解：以刚杆转角 为广义坐标，由系统的动量矩定理
即
令， ， ， ， ， 得到
3-4一机器质量为450kg，支撑在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5cm，机器有一偏心重，产生偏心激振力 ，其中 是激振频率，g是重力加速度。试求：
（1）在机器转速为1200r/min时传入地基的力；（2）机器的振幅。
解：设系统在平衡位置有位移 ，
则
即
又有 则 （1）
所以机器的振幅为 （2）且 ， （3）
又有 （4）
将（1）（2）（4）代入（2）得机器的振幅 =0.584 mm
则传入地基的力为
2-9一个粘性阻尼系统在激振力 作用下的强迫振动力为 ，已知 N，B=5 cm， rad/s，求最初1秒及1/4秒内，激振力作的功 及 。
（C）
联立解得，
所以 ，n= 0，得，
图3-2
3-2图3-2所示系统中，刚性杆AB的质量忽略不计，B端作用有激振力 ，写出系统运动微分方程，并求下列情况中质量m作上下振动的振幅值：（1）系统发生共振；（2） 等于固有频率 的一半。
解：图（1）为系统的静平衡位置，以为系统的广义坐标，画受力如图（2）
又I＝ml2
由曲形地面∶ ，得到
得到系统的激振力为， 。
（1）车通过曲形地面时 的振动为
（2）车通过曲形地面后的振动
车通过曲形地面后 以初位移 和初速度 作自由振动，即
，
由公式 ，得到车通过曲形地面后的振动响应为
其中， ， 。
或积分为
3-9图3-9是一轻型飞机起落架着陆冲撞的简单力学模型。试求弹簧从接触地面至反跳脱离接触的时间。
。试求系统的固有频率及振型矩阵
图4-1
解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为
，
由频率方程 ，得
解出频率为
， ，
由特征矩阵 的伴随矩阵的第一列，
将 代入得系统的第一阶主振型为
满足如下关系：
，
展开以上二式得， 。取 ， ，可得到 。即有
3-10图3-10所示的箱子从高h处自由下落，箱体内有足够的间隙允许质量m运动，并且箱体质量远大于m。若箱子触地后不再跳起，试求：（1）箱子下落过程中质量块相对于箱体的运动；（2）箱子落地后传到质量块上的最大作用力。
图3-9图3-10
第四章多单自由度系统的振动
4-1图4-1所示系统中，各个质量只能沿铅垂方向运动，假设 ，
（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；
（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
图T 2-9答案图T 2-9
解：
（1）保持水平位置：
（2）微幅转动：
故：
2-5试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB在A点的等效质量。已知杆的质量为m，A
端弹簧的刚度为k。并问铰链支座C放在何处时使系统的固有频率最高？
系数及阻尼固有频率。
图2-8
解：
，
由
2-9图2-9所示的系统中，m＝1kg，k＝224N/m，c＝48N.s/m，l1＝l＝0.49m，l2＝l/2，l3＝l/4，不计钢杆质量。试求系统的无阻尼固有频率 及阻尼 。
图2-9
｛2.26｝图T 2-26所示的系统中，m=1 kg，k=144 N / m，c= 48 N•s/m，l1=l=0.49 m，l2=0.5l，l3=0.25l，不计刚杆质量，求无阻尼固有频率 及阻尼 。
图T 2-26答案图T 2-25
解：
受力如答案图T 2-26。对O点取力矩平衡，有：
第三章 单自由度系统的强迫振动
3-1如图3-1所示弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一激振力 。试求质量块的振幅。
图3-1
解：设弹簧1，2的伸长分别为x1和x2，则有，
（A）
由图（1）和图（2）的受力分析，得到
（B）