梁的挠曲线近似微分方程

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w
x 1 w2 3/2
式中，等号右边有正负号是因为曲率1/为度量平面曲线 (挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w"是q = w' 沿x方
向的变化率，是有正负的。
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再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w" ，正弯矩对
应于负值的w" ，故从上列两式应有
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第五章 梁弯曲时的位移
知识点：梁的挠度和转角及挠曲线近似微分方程 一、梁的位移——挠度和转角 二、梁的挠曲线的概念 三、梁的挠曲线近似微分方程
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一、梁的位移——挠度和转角
直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成 平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直 于x轴方向的线位移w称为挠度，横截面对其原来位置的角
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三、梁的挠曲线近似微分方程
在§4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况 下中性层的曲率为
1M EI
这也就是位于中性层内wk.baidu.com挠曲线的曲率的表达式。
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在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还 有剪力FS=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产 生影响。但工程上常用的梁其跨长l 往往大于横截面高度h 的10倍，此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而有
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二、梁的挠曲线的概念
弯曲后梁的轴线——挠曲线为一平坦而光滑的曲线，
它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线方程。由于梁变形
后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转角q 也就
是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角，从而有转
角方程：
q tanq w f x
5
x
1
x

M x
EI
注意：对于有些l/h>10的梁，例如工字形截面等直梁，如同 在核电站中会遇到的那样，梁的翼缘由不锈钢制作，而主 要承受剪力的腹板则由价廉但切变模量较小的复合材料制 作，此时剪切变形对梁的变形的影响是不可忽略的。
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从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作
位移q 称为横截面的转角。
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在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；
顺时针转向的转角q为正，逆时针转向的转角q为负。
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思考题：梁的截面位移与变形有何区别？有何联系？ 答：梁的截面位移是指：截面形心的线位移和截面相对其 原来位置的角位移，即挠度和转角。梁的变形体现在梁轴 线的变化：梁的各截面发生位移，导致梁变形；梁的各截 面形心的线位移所描述的曲线即为变形后的轴线。
w
1 w2
3/ 2
M x
EI
由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略
去，于是得挠曲线近似微分方程 w M x
EI
一般记为 EIw M x
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(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲
变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件
有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同， 所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就 是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和
转角则明显不同。