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G k , k .
（2） G的任意两个构成区间若有公共 点，则必重合，否则就不相交。因而G可表示
成一些互不相交的构成区间的并。
（3） 由第二节的结论知道，这些区间是至 多可列的（G的构成区间集与有理数集的子集一 一对应）。
（4） 当 非空开集G表示成互不相交的开区 间的并时，这些区间必是构成区间。
每个 Fn都是闭集，但它们的并
Fn
(0,1]
n1
不是闭集。
定义3 若 E E / ,则称E为完备集或
完全集。 可以证明，在数直线的一切集中，只有
空集与整个直线才是既开又闭的集合。
第四节 直线上的开集、闭集 及完备集的构造
本节主要讨论直线上的开集、闭集的构造。 通过学习我们要掌握直线上的开集、闭集的结构， 同时要理解康托尔集的重要性质。
Rn F Rn F , Rn F Rn F .
据定理5的（1），任意的指标集I，Rn F
为开集， 从而 Rn F 是开集， F 是闭集
同样，对于有限指标集I，据定理3的（2） 即得结论（2）。定理得证。
注意 无限个闭集的并集可能不是闭集
例如
取
Fn
1 n
,1,
n
1,2,3,,
该定理提出的表示，以后将称为G的结构 表示。
注 对于无界开集情形，定理1的结论本质上也 是正确的，只是要把 ,, , 与
,, 为实数 都算成构成区间的表现形式
定义1 设A是直线上的闭集，称A的余集的构 成区间为A的余区间或邻接区间。
我们又可得到闭集的构造如下：
定理2 直线上的闭集或者是全直线，或者 是从直线上挖掉有限个或可数个互不相交的开区 间所得到的集。
中存在开区间0,x0 与 x0 , 0 ，其中均无 P
的点，即 0 ,x0 G0 ，x0 , 0 G0 ，且 x0 G0. 从而 可知，0 ,x0 ，x0 , 0 将分别含在 G0 的某两个构
成区间 , x0 与x0, 中，于是 x0将成为 G0
的某两个构成区间的公共端点。但据 G0 的作 法，这是不可能的。
在本节中，我们将详细讨论直线上有界开集的 构造，以下考虑的点集都是有界集。
设G是任一非空的有界开集。任取 x0 G，由开 集的定义，存在开区间使 x0 x, y G 。显然，这 种开区间有无穷多个，把它们的并记为U，那么可 以证明，U是含有 x0 的这种开区间的最大者。也就
是说，令 U , ，则有，
实变函数
辅导课程七
注意 无限个开集的交不一定是开集。
例如
令 Gk
1 , 1 , k k
k 1,2,3,,
则
Gk
0
，不是开集。
k 1
定理6 闭集有下列性质： （1） 任意个闭集的交是闭集； （2） 有限个闭集的并是闭集。
证 设为 F I 闭集类，则 Rn F I 为开
集类。据定理3
.
，剩下
22
个长为
1 32wenku.baidu.com
的闭区间
第三步 将剩下的 22个闭区间各2 自三等分，
并除去中间的开区间 ，剩下
3个长为
1 33
的
闭区间
第n步 将剩下的 2n1 个闭区间各自三等分，
并除去中间的开区间
，剩下2n 个长为
1 3n
的
闭区间
这样便得到所谓康脱三分集P与开集 G0 ：
G0
,1 2 33
, 1 2 32 32
最后，我们举出一个闭集的例子，它是不可 数的，但不含有任何区间。这个集将称为康脱三 分集，今后将不止一次用到。
例1 康脱三分集
第一步 将区间三等分，并除去中间的开区
间
,1 2 33
，剩下2个长为
1 3
的闭区间
第二步 将剩下的2个闭区间三等分，并除去中间的
开区间
, 1 2 99
,
, 7 8 99
个闭区间。然后把 I2 三等分，记不含 x3 的
左或右的那个闭区间为 I3 ，如此等等，这样，
据归纳法我们得到一个闭区间列 Ik
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
能是P的内点。
x0
（3） P 是不可数的。
用反证法 设 是P 可数的，将 中P的点编号
成点列
x1, x2 , x3 ,, xk ,,
故
P
中任意一点必在上述点列中出现。0,
1 3
与
2 3
,1
中应有一个闭区间不含点
x1
，用
I1表示
这个闭区间。将 I1 三等分所得的左与右两个
闭区间中，应有一个不含 x2的，用 I2 表示这
（1）, G ，
（2） G ， G 。 我们把G中具有性质（1），（2）的区间称
为G的构成区间。
由上所述，G中任一点必属于G的某一构成区间。
定理1 有界非空开集G可表示成有限个或 可数个互不相交的构成区间的并。当非空开集G 表示成互不相交的开区间的并时，这些区间必是 构成区间。 证 （1） G的每一点都对应有一个G的构成区 间，因而G可表示成一些构成区间的并：。
（2） P不含任何区间，即P没有内点；
事实上，由P的作法中知道，“去掉” 手续进行到第n次为止时，剩下 2n个长度 是 3n 的互相隔离的闭区间，因此任何一 点 x0 P 必含在这 2n个闭区间的某一个里
面，从而在 x0 的任一邻域U x0 ,3n 内至少
有一点不属于P, 但3n 0n ，故不可
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
, 7 8 32 32
, 1 2 33 33
, 7 8 33 33
, 19 20
33
33
, 25 26
33
33
P 0,1 G0
P具有以下性质：
（1） P 是完备集；
显然 P是闭集，只须证明 P 无孤立点。
假定相反，P 有一孤立点 x0 。由于0与1显然是
P 的聚点，故可以设 x0 0,1 。那么，在 0,1
（2） G的任意两个构成区间若有公共 点，则必重合，否则就不相交。因而G可表示
成一些互不相交的构成区间的并。
（3） 由第二节的结论知道，这些区间是至 多可列的（G的构成区间集与有理数集的子集一 一对应）。
（4） 当 非空开集G表示成互不相交的开区 间的并时，这些区间必是构成区间。
每个 Fn都是闭集，但它们的并
Fn
(0,1]
n1
不是闭集。
定义3 若 E E / ,则称E为完备集或
完全集。 可以证明，在数直线的一切集中，只有
空集与整个直线才是既开又闭的集合。
第四节 直线上的开集、闭集 及完备集的构造
本节主要讨论直线上的开集、闭集的构造。 通过学习我们要掌握直线上的开集、闭集的结构， 同时要理解康托尔集的重要性质。
Rn F Rn F , Rn F Rn F .
据定理5的（1），任意的指标集I，Rn F
为开集， 从而 Rn F 是开集， F 是闭集
同样，对于有限指标集I，据定理3的（2） 即得结论（2）。定理得证。
注意 无限个闭集的并集可能不是闭集
例如
取
Fn
1 n
,1,
n
1,2,3,,
该定理提出的表示，以后将称为G的结构 表示。
注 对于无界开集情形，定理1的结论本质上也 是正确的，只是要把 ,, , 与
,, 为实数 都算成构成区间的表现形式
定义1 设A是直线上的闭集，称A的余集的构 成区间为A的余区间或邻接区间。
我们又可得到闭集的构造如下：
定理2 直线上的闭集或者是全直线，或者 是从直线上挖掉有限个或可数个互不相交的开区 间所得到的集。
中存在开区间0,x0 与 x0 , 0 ，其中均无 P
的点，即 0 ,x0 G0 ，x0 , 0 G0 ，且 x0 G0. 从而 可知，0 ,x0 ，x0 , 0 将分别含在 G0 的某两个构
成区间 , x0 与x0, 中，于是 x0将成为 G0
的某两个构成区间的公共端点。但据 G0 的作 法，这是不可能的。
在本节中，我们将详细讨论直线上有界开集的 构造，以下考虑的点集都是有界集。
设G是任一非空的有界开集。任取 x0 G，由开 集的定义，存在开区间使 x0 x, y G 。显然，这 种开区间有无穷多个，把它们的并记为U，那么可 以证明，U是含有 x0 的这种开区间的最大者。也就
是说，令 U , ，则有，
实变函数
辅导课程七
注意 无限个开集的交不一定是开集。
例如
令 Gk
1 , 1 , k k
k 1,2,3,,
则
Gk
0
，不是开集。
k 1
定理6 闭集有下列性质： （1） 任意个闭集的交是闭集； （2） 有限个闭集的并是闭集。
证 设为 F I 闭集类，则 Rn F I 为开
集类。据定理3
.
，剩下
22
个长为
1 32wenku.baidu.com
的闭区间
第三步 将剩下的 22个闭区间各2 自三等分，
并除去中间的开区间 ，剩下
3个长为
1 33
的
闭区间
第n步 将剩下的 2n1 个闭区间各自三等分，
并除去中间的开区间
，剩下2n 个长为
1 3n
的
闭区间
这样便得到所谓康脱三分集P与开集 G0 ：
G0
,1 2 33
, 1 2 32 32
最后，我们举出一个闭集的例子，它是不可 数的，但不含有任何区间。这个集将称为康脱三 分集，今后将不止一次用到。
例1 康脱三分集
第一步 将区间三等分，并除去中间的开区
间
,1 2 33
，剩下2个长为
1 3
的闭区间
第二步 将剩下的2个闭区间三等分，并除去中间的
开区间
, 1 2 99
,
, 7 8 99
个闭区间。然后把 I2 三等分，记不含 x3 的
左或右的那个闭区间为 I3 ，如此等等，这样，
据归纳法我们得到一个闭区间列 Ik
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
能是P的内点。
x0
（3） P 是不可数的。
用反证法 设 是P 可数的，将 中P的点编号
成点列
x1, x2 , x3 ,, xk ,,
故
P
中任意一点必在上述点列中出现。0,
1 3
与
2 3
,1
中应有一个闭区间不含点
x1
，用
I1表示
这个闭区间。将 I1 三等分所得的左与右两个
闭区间中，应有一个不含 x2的，用 I2 表示这
（1）, G ，
（2） G ， G 。 我们把G中具有性质（1），（2）的区间称
为G的构成区间。
由上所述，G中任一点必属于G的某一构成区间。
定理1 有界非空开集G可表示成有限个或 可数个互不相交的构成区间的并。当非空开集G 表示成互不相交的开区间的并时，这些区间必是 构成区间。 证 （1） G的每一点都对应有一个G的构成区 间，因而G可表示成一些构成区间的并：。
（2） P不含任何区间，即P没有内点；
事实上，由P的作法中知道，“去掉” 手续进行到第n次为止时，剩下 2n个长度 是 3n 的互相隔离的闭区间，因此任何一 点 x0 P 必含在这 2n个闭区间的某一个里
面，从而在 x0 的任一邻域U x0 ,3n 内至少
有一点不属于P, 但3n 0n ，故不可
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
, 7 8 32 32
, 1 2 33 33
, 7 8 33 33
, 19 20
33
33
, 25 26
33
33
P 0,1 G0
P具有以下性质：
（1） P 是完备集；
显然 P是闭集，只须证明 P 无孤立点。
假定相反，P 有一孤立点 x0 。由于0与1显然是
P 的聚点，故可以设 x0 0,1 。那么，在 0,1