第5章 边界层流动

: L 1 : 100
边界层厚度定义：
边界层厚度有各种不同的定义，根据需要选取。
本课程采用边界层约定厚度定义
其概念是当层内的速度达到来流速度的99%时，即认为
达到了边界层外沿，其距壁面的位置即为边界层厚度
表达式为：
yu
x
u0
0.99
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2）边界层层外流动
2 因为， D + u p S 2 所以此时所有的流体质点沿着流动方向，贴壁面 向前运动。
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边界层分离示意图
M 点之后，此时由于流道截面变大流速变小，压力沿程
增加进入增压区，即：
p / x 0
流体质点的受力情况，如上图所示。 随着流道截面的增加，反向压差不断增大，最终使得质点 的动能消耗殆尽 ，转而向后运动。而后退的质点又被向前 运动的流体顶住，最终被挤出边界层进入流体内部，形成 一脱体运动现象 ，见图，这一过程称为边界层分离。
由图可见: 在Re较小情况下，边界层呈层流状态，分离点发生在 物体的最大截面处前，在物体后面形成较宽的分离区， 因此相应的压差阻力系数较大。 当Re增加到一定数值后，在流动分离之前的边界层就 可能由层流转变为湍流。 而湍流的强烈混合效应使得分离点后移。此时，虽然 在未分离的区域中摩擦阻力有所增加，但物体后面的 脱体区变窄，从而压差阻力大为下降。 这就是圆柱在Re≈5×105处和圆球在Re≈3×105处阻力 系数突然下降的原因。
边界层理论不再适用。 （2）一般说来边界层理论只适用分离点 以前。在分离点的下游，由于边界层厚 度大幅度增加，边界层理论因而失效。
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二、沿平板边界层动量微分方程
---- Prandtl 边界层方程
1.
问题的提出 2. 边界层方程的建立 3. 方程的求解 4. 求解结果分析
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42
简化后的动量传递方程组
通过对方程的简化和量级分析，得到了 适用于边界层内的动量传递方程组
C .E .
N . S .( x )
u x u y + 0 x y
ux ux ux ux + uy v 偏微分方程 2 x y y
在论文中他首先提出了边界层的概念。 他指出：任何一种实际流体流过物体壁面时都 可分为二种流动情况，即近物体表面处的边界
层流动和边界层外的广大区域内的低粘度流动。
第五章 边界层流动
先来看下面实验结果，将平板或曲面物体（例如 机翼）放在风洞里吹风，假设Re很大，实验测 得各个截面上的速度分布，结果如图4-1所示。
在湍流边界层内，流型并不完全一样：
在紧贴壁面的流层内，剪切应力足以克服涡团的影响， 该层内仍保持层流流动称为层流内层或层流底层。 在层流内层与湍流边界层之间，流体的流动既非层流， 又非完全的湍流，该层称为缓冲层 。 在缓冲层之外的湍流边界层可称为湍流核心层 。
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第五章 边界层流动
沿物体表面切向速度和沿法线速度梯度变化，见图4-6所示。
在A点处，壁面切向速度为零，法线上的速度梯度大于零；
在E点处壁面速度为零，法线上的速度梯度小于零； 在S点处壁面速度为零，位于曲面法线上的速度梯度也为零； 在SD线上，质点的速度变为零； 在DSE区域内，速度改变方向，在边界层内产生倒流。
临界距离
即由层流边界层转变到湍流边界层时离前缘的距离
定义为：
xc Rec u0
临界距离的长短与入口端的形状、壁面的粗糙度、 来流流体的性质和来流速度大小有关。
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光滑平板
由实验表明其临界雷诺数为:
Re c
x u0

2 10 5 3 10 6
② 定量分析
p 外部条件 0 x
u x 内部条件 y
（外部流体具有逆压性质）
0
y0
上述条件称为：边界层分离发生的充分必要条件。
30
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3）分离后果
边界层分离后，由于物体后端出现具有旋涡运 动的尾流或分离区。 它的出现将大大增加流动阻力。 此时物面上的压力分布已不同于未分离时的压 力分布，从而引起物体的压差阻力。 此压差阻力与物体形状关系很大，所以称为形 体阻力。 在流体分离的条件下，物体所受阻力主要是通 过实验来确定的。
边界层层外的整个流动区域称为外部流动区域 在该区域内速度梯度（或认为粘度）极小 故认为流动趋于无粘性的理想流体运动。

u x 0 y
0
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2．速度边界层的发展
1) 沿平板流动
以平板为例讨论边界层的发展情况，见 4-1 图
图4－1 速度边界层的发展过程
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1．问题的提出
无限空间中不可压缩、粘性的均匀流体，以速度 u0 沿板面方向流动，求平板上边界层内的二维 速度分布及平板面上的局部阻力系数。
ux, uy
取直角坐标，使原点与平板前缘重合，x 轴沿来流方 向，y 轴垂直于平板，如图所示。
无限长平板上的层流边界层的流动图
2．边界层动量传递方程的建立
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由图可见，在沿平板流动时，边界层的发展经历了三个阶段。
层流边界层： 0 x x c
在此区域内流体呈有规则的层状流动。 xc 为临界距离，对应的边界层厚度称为临界厚度 c
过渡区：
在该区域内出现不规则涡团运动，流线不再完全是层流状。
湍流边界层：
涡团运动加剧，流线受到剧烈扰动，流动由层流转变为湍流。

现以流体绕长圆柱流动为例，考察边界层分离 的大致过程，见图4-7。
A
E
先考察边界层外压力的变化。由于层薄，层外压力可不 经过改变（损失）的直接传至边界层内，所以层内压力 将随层外压力改变而改变。

在 M 点之前，如 A 点，由于流道截面减小流速加大， 压力变小，即： 如上图所示：
（减压区），流体质点受力情况 p 0 x
粗糙球的所受阻力与 光滑球所受的阻力哪个更大？
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高尔夫球

从前，有个高尔夫球运动爱好者（同时也是高尔夫球 制造商）为赢得对手，他经常想怎样才能使高尔夫球 打得又快又远又省力。 在一次偶尔的练习机会中，他发现在同样的一击中， 一个已经变得粗糙的高尔夫球比一个新的光滑球飞得 更远，反复的试验证实这并不是偶然现象。 在这一现象的启发下，他制造出一种带有窝纹的高尔 夫球(人造粗糙球)。这种窝纹球一经推出好评如潮， 得到大批定单。 当时人们没能解释这一奇怪现象——粗糙圆球的阻力 反而小于光滑球的阻力。
2) 分离条件
①定性分析 所谓边界层分离，顾名思义就是指原来紧贴
壁面运动的边界层流动在某些条件下，脱离壁 面而进入外部流场。 分离出来的流体在物体后面形成尾涡区，从而 产生很大的尾部阻力。 因此有必要研究边界层为什么会从物面分离， 又应该如何防止或推迟分离。 边界层分离
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第五章
边界层流动
边界层理论是普朗特 (Prandtl) 于1904年创 立的，由于它的应用性极为广泛，发展极为 迅速，现已成为粘性流体力学的主要发展方 向之一。 边界层理论的主要任务是研究物体在流体 中运动时所受到的摩擦阻力，物体与流体间 的热质交换。 最早提出的边界层概念是速度边界层。此 后的温度边界层和浓度边界层都是在速度边 界层基础上建立的。
图4-1 平板壁面上边界层的形成
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无限大平板上的速度分布
机翼上的速度分布
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分析实验测得的速度分布发现，整个流 场可以明显地分成性质很不相同的两个 流动区域： 1）边界层层内流动 2）边界层层外流动
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1）边界层流动
边界层内流动特征为：
I．从入口处建立起边界层，并由四壁同时向管中心发展， 直至交汇于管中心，此时管内流体都处于边界层中。 交汇点离管口距离Le，称为进口段长度。 管内边界层沿程发展情况与沿平板发展不同。
下面根据交汇点前后的特点加以叙述
II. 在交汇点之前的边界层流动称为
正在发展的边界层
其特征：
① 二维运动
ur ur (r , z )
uz uz ( r , z )
②边界层沿层增厚
(z)
③ 流体在管中心加速
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III．在交汇点之后的边界层流动， 称为充分发展的边界层。 其特征： ① 一维运动：
uz uz ( r )
ur 0
d ② 边界层层厚不再沿程变化为： 2
③ 速度分布不再变化
正是基于上述理由，人们可以在流动分离之前， 对流动加以某种干扰，使这种转化提前发生。 例如在圆球前嵌以金属丝以干扰边界层的流动， 使得边界层从层流转变为湍流，致使阻力系数 显著降低。 因此就有了粗糙圆球的阻力反而小于光滑球的 结果。
4．边界层概念的适用范围
（1）当局部雷诺数Re较小，如≤100时，
① 紧贴物面非常薄的一层区域称为边界层。
P107


在该区域内速度分量
ux 变化非常迅速
因此尽管粘度很小，但因速度梯度极大，导致粘性 应力大，尤其在壁面处。 所以在边界层内粘性力的作用与惯性力同等重要。 由于速度 ux 变化迅速，随着离壁面距离的增加，速
② 层厚非常薄
度迅速恢复到来流速度u0 ，所以边界层的厚度很薄。 通常层厚与前端的距离之比约为：
C .E .
N . S .( x )
ux u y uz + + 0 x y z
uz 0
ux ux ux ux + [ux + uy + uz ] t x y uz uz 0 稳定
2 ux 2 ux 2 ux p g x + ( 2 + + ) 2 2 x x y z 忽略重力 沿平板 量级分析 与 z 无关
如流体以均匀一致的流速流过封闭管道 时，将在管壁形成边界层，并逐渐加厚 直至管中心交汇。
现以圆管内的管流为例，对进口段边界 层的形成与发展过程做一讨论。 沿圆管流动的边界层发展
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交汇点
进口段长度
图4－5 管进口段的边界层形成与发展
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当流体流经圆管时：
第五章 边界层流动
本章主要内容


一、速度边界层概念
二、沿平板边界层动量微分方程

三、边界层动量积分方程
第五章 边界层流动
一、 速度边界层概念
1. 速度边界层的形成 2. 速度边界层的发展 3. 边界层分离 4. 边界层概念的适用范围
第五章 边界层流动
1. 速度的边界层的形成
1904年，Prandtl在一次国际数学会上宣读了一 份关于具有很小粘度流体流动的数学论文。

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1）分离现象
① 雨滴下落时是什么形状？
②
鱼类中的“游泳健将”
通常具有什么体型？鸟类呢？
wenku.baidu.com③ 自由泳与蛙泳哪个泳姿快？ ④
超音速喷咀后部是一扩大管，还是收缩管形状？
⑤ 吹过电线杆上电线的风声为何会发生尖啸声？ ⑥ 流过桥墩的水流为什么会产生旋涡？ 24
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随着边界层理论的出现，人们揭开了这
个迷底。 现借助于绕长圆柱绕流的实验结果说明 这一现象。
图5-7给出的是由实验得到的圆球和圆柱
阻力系数对雷诺数变化的关系曲线。
阻 力 系 数 突 然 缩 小 柱 ：Re≈5×105 球：Re≈3×105
阻力系数对雷诺数变化的曲线
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可能是 抛物线分布 （层流），可能是指数分布（湍流）
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郎格哈尔针对圆管导出进口段长度 Le 的表达式 ：
Le 0.0575 Re d d
层流：
湍流：
式中：
Le 25 40 d
Red dub

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3．边界层的分离
1）分离现象 2）分离条件 3）分离后果
粗糙平板
在实际情况下通过做实验加以确定，但其趋势是可以 预测 ，如入口端越钝（就比锐角，圆角临界值大）、 壁面越粗糙、来流速度越大 ，临界距离越大。
在计算上有时为简便起见，当长度方向远大于xc，近 似认为流动直接进入湍流边界层，不考虑层流和过渡 区的影响。
第五章 边界层流动 ghp
2）沿圆管流动的边界层发展