2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第一节函数及其表示 文

【金版学案】2015届高考数学总复习基础知识名师讲义第二章第

一节函数及其表示文

近三年广东高考中对本章考点考查的情况

本章内容主要包括：函数的概念与表示，函数的基本性质，基本初等函数，函数的应用，导数的概念、运算及应用．

1．函数的概念、表示和函数的基本性质(单调性与最值、奇偶性、周期性)：

(1)判断两函数是否为同一函数，确定定义域与对应关系即可．

(2)用换元法求函数的解析式时，注意换元前后的等价性．

(3)单调性与最值是函数的局部性质，凸显用导数研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围．

(4)奇偶性是函数的整体性质，奇偶性、周期性的综合运用灵活多变．

2．基本初等函数：以具体的二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等函数的概念、性质和图象为主要考查对象，适当考查分段函数、抽象函数．

3．函数的应用主要包含：函数与方程、函数模型及应用两部分内容．

(1)对函数是否存在零点(方程是否存在实根)进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的取值范围，是高考中常见的题目类型．

(2)函数的实际应用问题，多以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活，综合性较强．

4．导数的概念、运算及应用．

高考总复习·数学(文科)(1)导数的概念是推导基本初等函数导数公式和四则运算法则的基础．

(2)利用导数求曲线的切线方程时，一定要分清已知点是否在曲线上．另外，曲线的切线和平面几何中圆的切线概念易混淆，曲线在点P(x0，f(x0))处的切线是曲线另一点Q无限接近点P时的极限位置，它与曲线可能还有其他公共点．

(3)利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，还要注意公式不要用混．

(4)导数的应用包括函数的单调性、极值、最值等方面，单调性是关键，一个函数的递增区间或递减区间有多个时，不能盲目地将它们取并集，特别是函数的定义域不能忽略．

在选择题和填空题中出现，主要以导数的运算、导数的几何意义、导数的应用为主(研究函数的单调性、极值和最值等)；在解答题中，有时作为压轴题，主要考查导数的综合应用，往往与函数、方程、不等式、数列、解析几何等联系在一起，考查学生的分类讨论、转化与化归等思想．

预测高考对本部分内容的考查，仍会以小题和大题的形式出现，小题主要考查基本初等函数的图象、性质，几种常见函数模型在实际问题中的应用以及函数零点，函数与方程的关系等，大题主要以函数为背景，以导数为工具，考查应用导数研究函数的单调性、极值或最值问题，在函数、不等式、解析几何等知识网络交汇点命题．

复习本章要重点解决好五个问题：

1．准确、深刻地理解函数的有关概念．

概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学数学的始终．数、式、方程、不等式、导数、数列等都是以函数为中心的代数知识．近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线．

2．揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系．

函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容．

3．把握数形结合的特征和方法．

函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，图象有效地揭示了各类函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性．因此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换、伸缩变换．

4．认识函数思想的实质，强化应用意识．

函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，使问题得以解决．纵观近几年高考题，考查函数思想方法，尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想的实质，强化应用意识．

5．运用好导数这一锐利武器．

应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线．复习应侧重概念、公式、法则在各方面的应用，应淡化某些公式、法则的理论推导，应立足基础知识和基本方法的复习，以熟练技能、强化应用为目标．学会优先考虑利用导数求函数的极大(小)值、最大(小)值或解决应用问题，这些问题是函数内容的继续与延伸，这种方法使复杂问题简单化．导数与解析几何或函数图象的综合问题，尤其是抛物线与三次函数的切线问题，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起注意．

第一节 函数及其表示

知识梳理

一、函数与映射的概念

二、函数的表示

1．函数的表示方法．

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种．

(1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．

(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系． (3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系． 2．函数解析式的常用求法．

(1)配凑法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)赋值法．

1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．

2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用．

三、函数定义域的确定

1．定义域是函数的灵魂，因此在研究函数时一定要遵循“定义域优先”的原则． 确定函数的定义域的原则是：

(1)当函数y ＝f (x )是用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x 的集合；

(2)当函数y ＝f (x )是用图象给出时，函数的定义域是指图象在x 轴上投影所覆盖的实数x 的集合；

(3)当函数y ＝f (x )是用解析式给出时，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x 的集合；

(4)当y ＝f (x )是由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定．

基础自测

1．下列图形中不能作为函数图象的是( )

解析：根据函数定义，定义域内任何一个x 取值，都有且只有唯一的y ＝f (x )与之对应，故选D.

答案：D

2．设A ＝{x |0≤x ≤6}，B ＝{y |0≤y ≤2}，则f ：A →B 不是函数的是( ) A ．f ：x →y ＝1

2x

B ．f ：x →y ＝1

3x

C ．f ：x →y ＝1

4x

D ．f ：x →y ＝1

6

x

解析：因为x ∈A ，y ＝1

2

x ∈[0,3]，而B ＝{y |y ∈[0,2]}．由函数定义可知，对于6∈A ，在