考研数学模拟测试题完整版及答案解析数一

合集下载

考研数学(数学一)模拟试卷480(题后含答案及解析)

考研数学（数学一）模拟试卷480(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知当χ→0时，f(χ)＝arcsinχ－arctanaχ与g(χ)＝bχ[χ－ln(1＋χ)]是等价无穷小，则( )A．a＝b＝1。

B．a＝1，b＝2。

C．a＝2，b＝1。

D．a＝b≠1。

正确答案：A解析：根据等价无穷小的定义，那么1－a＝0，，则有a＝1，b＝1。

故选A。

2．设函数f(χ)在[0，1]上连续，且＝1。

f(χ)＝bnsinπχ，χ∈R，其中bn＝2∫01f(χ)sinnπχdχ，n＝1，2，3…，测＝( )A．0B．1C．－1D．正确答案：C解析：因为＝1，所以可得f(χ)＝1，又因为函数连续，则题目中把f(χ)展开为正弦级数，可知f(χ)为奇函数，可将函数f(χ)奇延拓，得到T＝2，3．设f(χ)是连续且单调递增的奇函数，设F(χ)＝∫0χ(2u－χ)f(χ－u)du，则F(χ)是( )A．单调递增的奇函数B．单调递减的奇函数C．单调递增的偶函数D．单调递减的偶函数正确答案：B解析：令χ－u＝t，则F(χ)＝∫0χ(χ－2t)f(t)dt，F(－χ)＝∫0－χ(－χ－2t)f(t)dt，令t＝－u，F(－χ)＝∫0χ(－χ＋2u)f(－u)du＝∫0χ(χ－2u)f(－u)du。

因为f(χ)是奇函数，f(χ)＝－f(－χ)，F(－χ)＝∫0χ(χ－2u)f(u)du，则有F(χ)＝－F(－χ)为奇函数。

F′(χ)＝∫0χf(t)dt －χf(χ)，由积分中值定理可得∫0χf(t)dt＝f(ξ)χ，ξ介于0到χ之间，F′(χ)＝f(ξ)χ－χf(χ)＝[f(ξ)－f(χ)]χ，因为f(χ)单调递增，当χ＞0时，ξ∈[0，χ]，f(ξ)－f(χ)＜0，所以F′(χ)＜0，F(χ)单调递减；当χ＜0时，ξ∈[χ，0]，f(ξ)－f(χ)＞0，所以F′(χ)＜0，F(χ)单调递减。

考研数学(数学一)模拟试卷469(题后含答案及解析)

考研数学（数学一）模拟试卷469(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设n为自然数，则=( )．A．nB．2nC．3nD．4n正确答案：D解析：由于注意到｜sint｜是以π为周期的函数，则故应选(D)．2．曲面z=+y2上平行于平面2x+2y-z=0的切平面方程是( )．A．2x+y+z-3=0B．2x+2y-z-3=0C．2x+2y+z-3=0D．2x+2y-z+3=0正确答案：B解析：令F(x，y，z)=+y2-z，则F’x=x，F’y=2y，F’z=-1．由条件知所求平面的法向量n=(F’x，F’y，F’z)=(x，2y，-1)平行于已知平面的法向量，n1=(2，2，-1)，从而有，由此得x=2，y=1，z=+y2=3，即点(2，1，3)为切点，故所求切平面方程为2(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0，即2x+2y-z-3=0．故应选(B)．3．设f(0)=0，则f(x)在点x=0处可导的充要条件为( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：排除法．对于(A)选项，取f(x)=｜x｜，则极限存在，但f(x)=｜x｜在x=0处不可导，故排除(A)；对于(C)选项，仍取f(x)=｜x｜，有极限存在，但f(x)在x=0处不可导，故排除(C)项；对于(D)选项，取f(x)=则极限存在，但f(x)在x=0不连续，从而f’(0)也不存在，故排除(D)项．故应选(B)．4．设是正项级数，下列结论中正确的是( )．A．若，则级数an收敛B．若存在非零常数λ，使得C．若级数D．若级数an发散，则存在非零常数λ，使得正确答案：B解析：取an=发散，则排除(A)、(D)项；又取an=，排除(C)．故应选(B)．5．已知n维向量组(i)α1，α2，…，αs和(ii)β1，β2，…，βt的秩都为r，则下列命题中不正确的是( )．A．若s=t，则向量组(i)与(ii)等价B．若向量组(i)是(ii)的部分组，则向量组(i)与(ii)等价C．若向量组(i)能由(ii)线性表示，则向囊组(i)与(ii)等价D．若向量组(iii)：α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt的秩为r，则向量组(i)和(ii)等价正确答案：A解析：取向量组(i)：α1=则向量组(i)的秩为2，向量组(ii)的秩也为2．但显然(i)与(ii)不等价．故应选(A)．6．矩阵与( )相似．A．B．C．D．正确答案：D解析：令矩阵A=，则A的特征值为1和2．而(A)选项中矩阵的特征值为-1和-2，故矩阵A不与(A)选项的矩阵相似．又因为=2，而(B)选项中=0，(C)选项中=-2，故矩阵A不与(B)、(C)选项的矩阵相似．所以，矩阵A与(D)选项的矩阵相似．事实上，均与对角阵相似．再由相似的传递性，相似．故应选(D)．7．设随机变量X，Y，Z相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(2，2)，Z～N(3，7)，记a=P{X＜Y}，b=P{Y＜Z)，则( )．A．a＜bB．a＞bC．a=bD．无法确定正确答案：A解析：因为X-Y～N(-1，4)，Y-Z～N(-1，9)，则a=P{X＜Y}=P{X-Y＜0}=b=P{Y＜Z)=P{Y-Z＜0)=由于分布函数Ф(x)单调增加，所以a＞b．故应选(A)．8．设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2均未知．现从中随机抽取16个零件，测得样本均值=20cm，样本标准差S=1cm，则μ的置信度为0．90的置信区间是( )．(其中ta(n是上侧分位点)A．B．C．D．正确答案：C解析：由正态总体抽样分布的性质知，，故μ的置信度为0．90的置信区间是故应选(C)．填空题9．欧拉方程x2y’’+xy’-4y=x3的通解为___．正确答案：y=C1x2+x解析：令x=et，则原方程化为[D(D-1)+D-4]y=e3t，即(D2-4)y=e3t，(*)方程(*)对应的齐次方程的特征方程为r2-4=0，有根r1=2，r2=-2，故齐次方程的通解为Y=C1e2t+C2e-2t=C2x2+因为f(t)=e3t，λ=3不是特征方程的根，故可令y*=ae3t是方程(*)的一个特解，代入原方程x2y’’+xy’-4y=x3中，解得a=，即y*=e3t，因此原方程的通解为y=Y+y*=C1x2+x3．故应填y=C1x2+x3．10．幂级数的收敛半径为________．正确答案：或e-1解析：利用比值法或根值法先求l，再由R=即可．由于则R=11．设数量场，则div(gradu)=________．正确答案：解析：由题可得12．直线L1：x-1=的夹角为_______．正确答案：arccos解析：先利用两向量的向量积求出L2的方向向量，再由数量积便可得．L1的方向向量S1={1，2，1}，L2的方向向量S2为S2==-i-j+2k，因此所求夹角a 满足：则a=arccos故应填arccos13．设Dn=，则Dn中所有元素的代数余子式之和为______．正确答案：n!解析：利用公式Dn=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin，0=ai1Ai1+ai2Aj2+…+ainAjn(i ≠j)．因第一行元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值，所以1.A11+1.A12+…+1.A1n=Dn=n!．因第一行元素与第i(i≥2)行对应元素的代数余子式乘积之和等于零，所以 1.Ai1+1.Ai2+…+1.Ain=0．故所有元素代数余子式之和为n!．故应填n!．14．设X1，X2，…，Xn是取自总体X的样本，若估计量(Xi+1-Xi)2是总体方差σ2的无偏估计量，则k=________．正确答案：解析：令=σ2，从而得到k．(Xi+1-Xi)2]=E[(Xi+1-Xi)2]={D(Xi+1-Xi)+[E(Xi+1-Xi)]2}= 2σ2=2k(n-1)σ2，令故应填解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(解答题)模拟试卷135(题后含答案及解析)

考研数学一（解答题）模拟试卷135(题后含答案及解析)题型有：1.1．计算n阶行列式Dn=正确答案：当n＞3时，第2行减第1行，然后第4行减第2行，变为分块行列式。

即Dn=Dn-3=-Dn-3，且易求出D1=1，D2=0，D3=-1，于是其中k=0，1，2，…。

涉及知识点：行列式2．求极限。

正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续3．设0＜x1＜3，xn+1=(n=1，2，…)，证明数列{xn}的极限存在，并求此极限．正确答案：涉及知识点：高等数学4．确定常数a，b，c的值，使=4．正确答案：由于当x→0时对常数a，b都有ax2+bx+1一e-2x→0，又已知分式的极限不为零，所以当x→0时必有分母→0，故必有c=0．由于故必有a=4．综合得a=4，b=一2，c=0．涉及知识点：高等数学5．正确答案：涉及知识点：高等数学部分6．设f’(x)=arcsin(x－1)2，f(0)=0，求∫01f(x)dx．正确答案：∫01f(x)dx=∫01f(x)d(x－1)=x(x－1)f(x)|01－∫01(x－1)f’(x)dx=f(0)－∫01(x－1)f’(x)dx=－∫01(x－1)arcsin(x－1)2dx=－1／2∫01arcin(x－1)2d(x－1)2－1／2∫10arcsintdt=1／2∫01arcsintdt 涉及知识点：高等数学7．设f(x)满足，求f’(x)．正确答案：方程两边同时对x求导得原等式中x换成，得②式两边同时对x 求导得③×2一①得，涉及知识点：一元函数微分学8．已知向量α=(1，k，1)T是矩阵A=的逆矩阵A—1的特征向量，试求常数k的值及α对应的特征值．正确答案：由条件有A—1α=λα，两端左乘A，得λAα=α，即涉及知识点：线性代数9．已知函数y=e2x+(x+1)ex是线性微分方程y’’+ay’+by=cex的一个解，试确定常数a、b、c的值及该微分方程的通解．正确答案：先将函数y代入到微分方程中，比较等式两端同类项前的系数，得a=一3，b=2，c=一1．先求齐次微分方程y’’一3y’+2y=0的通解，得由于非齐次微分方程y’’一3y’+2y=一ex有一个特解y*=e2x+(x+1)ex，于是，原微分方程的通解为y=c1’e2x+c2’ex+e2x+(1+x)ex=c1e2x+c2ex+xex，其中c1=(c1’+1)、c2=(c2’+1)为任意常数．解析：本题主要考查二阶非齐次线性微分方程的通解的结构．10．求μ=x2+y2＋z2在=1上的最小值·正确答案：令F=x2+y2+z2+λ(－1) 涉及知识点：高等数学11．设X与Y为具有二阶矩的随机变量，且设Q(a，b)=E[Y一(a+bX)]2，求a，b使Q(a，b)达到最小值Qmin，并证明：Qmin=DY(1一ρXY2)．正确答案：涉及知识点：概率与数理统计12．已知求An(n≥2)．正确答案：将A分块为则B=3E+J，其中于是Bn=(3E+J)n=3nE+C213n－1+C223n－2J2+…+Jn，而C2=6C，…，CN=6n－1C，所以当n≥2时，涉及知识点：线性代数13．设A是n阶矩阵，A=E+xyT，x与y都是n×1矩阵，且xTy=2，求A 的特征值、特征向量．正确答案：令B=xyT=(y1，y2，…，yn)，则B2=(xyT)(xyT)=x(yTx)yT=2xyT=2B，可见B的特征值只能是0或2．因为r(B)=1，故齐次方程组Bx=0的基础解系由n一1个向量组成，则基础解系是：α1=(一y2，y1，0，…，0)T，α2=(一y3，0，y1，…，0)T，…，αn－1=(一yn，0，0，…，y1)T．这正是B的关于λ=0，也就是A关于λ=1的n一1个线性无关的特征向量．由于B2=2B，对B按列分块，记B=(β1，β2，…，βn)，则B(β1，β2，…，βn)=2(β1，β2，…，βn)，即Bβi=2βi．可见αn求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形．正确答案：二次型xTAx的秩为2，即r(A)=2，所以λ=0是A的特征值．又所以3是A的特征值，(1，2，1)T是3的特征向量；一1也是A的特征值，(1，－1，1)T是一1的特征向量．因为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，设λ=0的特征向量是(x1，x2，x3)T，则有即解出λ=0的特征向量是(1，0，一1)T．那么所以因此xTAx=+16x1x2+2x1x3+16x2x3)．令Q=，则经正交坐标变换x=Qy有xTAx=yT = 涉及知识点：二次型15．设A是n阶实矩阵，有Aξ=λξ，ATη=μη，其中λ，μ是实数，且λ≠μ，ξ，η是n维非零向量．证明：ξ，η正交．正确答案：Aξ=λξ，两边转置得ξTAT=λξT，两边右乘η，得ξTATη=λξTη，ξTμη=λξTη，(λ-λ)ξTη=0，λ≠μ，故ξT η=0，ξ，η相互正交．涉及知识点：线性代数设函数f(x，y)=｜x—y｜g(x，y)，其中g(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续．试问16．g(0，0)为何值时，偏导数fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在?正确答案：g(0，0)=0 涉及知识点：高等数学17．g(0，0)为何值时，f(x，y)在点(0，0)处的全微分存在?正确答案：g(0，0)=0涉及知识点：高等数学18．某种零件的尺寸方差为σ2=1．21，对一批这类零件检查6件得尺寸数据(毫米)：32．56，29．66，31．64，30．00，21．87，31．03．设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是32．50毫米(a=0．05)．正确答案：问题是在σ2已知的条件下检验假设H0：μ=32．50．H0的拒绝域为｜Z｜≥za／2，其中z0.025=1．96，故因｜Z｜=6．77＞1．96，所以否定H0，即不能认为平均尺寸是32．5毫米．涉及知识点：概率论与数理统计19．求极限.正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续20．设X的分布函数如第6题所示，求下列概率：P{X>-3)，P{|X|<3)，P{|X+1|>2)．正确答案：涉及知识点：综合。

考研《数学一》模考试题+解析

一、选择题：（1）〜（8）小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.设f（x）的导函数为222)1(1x x +-，则f（x）的一个原函数是（）。

A.x arctan 1+B.xarctan 1-C.)1ln(2112x ++D.)1ln(2112x +-2.设二维随机变量（X，Y）的分布函数为的值依次为和则常数πB A yB x A y x F 2arctan )(arctan 2(),(++=（）。

A.π和π22B.41π和πC.212π和πD.21π和π3.设向量组（Ⅰ）β1，β2，…，βt，（Ⅱ）α1，α2，…，αs，则下列命题：①若向量组（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，且s＜t，则必有（Ⅰ）线性相关，②若向量组（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，且s＜t，则必有（Ⅰ）线性相关，③若向量组（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，且（Ⅰ）线性无关，则必有s≥t，④若向量组（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，且（Ⅰ）线性无关，则必有s≥t，正确的是（）。

A.①④B.①③C.②③D.②④4.设当x→0时，tdt x x x x x x x xsin )(,11)(,sin tan )(cos 1022⎰-=--+=-=γβα都是无穷小，将它们关于x 的阶数从低到高排列，正确的顺序为（）。

A.)(x α，)(x β，)(x γB.)(x α，)(x γ，)(x β考研《数学一》模考试题＋解析C.)(x γ，)(x α，)(x βD.)(x β，)(x α，)(x γ5.设矩阵).(3E)-A r )r ,~,220210000300000=+--=（（则矩阵E A B A B A.6B.7C.5D.46.设处则在a x a x a f x f ax =-=--→,1)()()(lim2（）。

A.0)()(≠'=a f a x x f 处可导且在B.的极大值（为))(x f a fC.的极值（不是))(x f a fD.处不可导在a x x f =)(7.设⎰=40sin ln πxdx I ，⎰=40cot ln πxdx J ，⎰=40cos ln πxdx K ，则I，J，K 的大小关系为（）。

考研数学一(选择题)模拟试卷1(题后含答案及解析)

考研数学一（选择题）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设α1，α2，α3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜α1，α2，α3，β1｜＝m，｜α1，α2，β2，α3｜＝n，则4阶行列式｜α3，α2，α1，β1，β2｜等于( )A．m＋nB．－(m＋n)C．n－mD．m－n正确答案：C解析：由行列式的性质：互换两行(列)，行列式变号，得｜α3，α2，α1，(β1＋β2)｜＝｜α3，α2，α1，β1｜＋｜α3，α2，α1，β2｜＝－｜α1，α2，α3，β1｜＋｜α1，α2，β2，α3｜＝n－m 所以应选C．知识模块：行列式2．设有向量组α1=(1，-1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，-2，2，0)，α5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是A．α1，α2，α3．B．α1，α2，α4．C．α1，α2，α5．D．α1，α2，α4，α5．正确答案：B 涉及知识点：向量3．极限( )．A．等于1B．为∞C．不存在但不是∞D．等于0正确答案：C解析：因为当xn=(n=1，2，…)时，极限不存在但不是∞，选(C)．知识模块：高等数学4．原点(0，0，0)关于平面6x+2y一9z+|2|=0对称的点为A．(12，8，3)．B．(一4，1，3)C．(2，4，8)．D．(一12，一4，18)．正确答案：D 涉及知识点：高等数学5．已知f(x)在x=0的某个邻域内连续，且f(0)=0，，则在点x=0处f(x)( ) A．不可导。

B．可导且f’(0)≠0。

C．取得极大值。

D．取得极小值。

正确答案：D解析：当x→0时，1-cosx～x2，故极限条件等价于=2。

从而可取f(x)=x2，显然满足题设条件。

而f(x)=x2在x=0处取得极小值，故选D。

知识模块：高等数学6．设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )A．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．B．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．C．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．D．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．正确答案：A解析：若α1，α2，…，αs线性相关，则存在一组不全为零的常数k1，k2，…，ks，使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0两端左乘矩阵A，得k1α1+k2α2+…+ks αs=0因k1，k2，…，ks不全为零，故由线性相关的定义，即知向量组Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．知识模块：线性代数7．设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs 线性表示，则( )A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．B．当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关．C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．D．当r＞s时，向量组Ⅰ必线性相关．正确答案：D解析：因为向量组Ⅰ可由向量组Ⅱ线性表示，故r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤s．又因为当r＞s时，必有r(Ⅰ)＜r，即向量组Ⅰ的秩小于其所含向量的个数，此时向量组Ⅰ必线性相关，所以应选D．知识模块：向量8．设有三元方程xy-zlny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程A．只能确定一个具有连续偏导数的隐甬数z=z(x，y)．B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)和z=(x，y)．C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=z(y，z)和z=z(x，y)．D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数z=x(y，z)和y=y(x，z)．正确答案：D 涉及知识点：综合9．已知四维向量组α1，α2，α3，α4线性无关，且向量β1＝α1＋α3＋α4，β2＝α2－α4，β3＝α3＋α4，β4＝α2＋α3，β5＝2α1＋α2＋α3．则r(β1，β2，β3，β4，β5)＝( )A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：将表示关系合并成矩阵形式有(β1，β2，β3，β4，β5)＝(α1，α2，α3，α4)(α1，α2，α3，α4)C．因4个四维向量α1，α2，α3，α4线性无关，故｜α1，α2，α3，α4｜≠0．A＝(α1，α2，α3，α4)是可逆矩阵，A左乘C，即对C作若干次初等行变换，故有r(C)＝r(AC)＝r(AC)＝r(β1，β2，β3，β4，β5) 故知r(β1，β2，β3，β4，β5)＝r(C)＝3，因此应选C．知识模块：向量10．曲线y=sinx的一个周期的弧长等于椭圆2x2+y2=2的周长的( )A．1倍．B．2倍．C．3倍．D．4倍．正确答案：A解析：设s1为曲线y=sinx的一个周期的弧长，s2为椭圆2x2+y2=2的周长，由弧长计算公式，有将椭圆2x2+y2=2化为参数方程则由参数方程表示下面曲线的弧长计算公式，有从而s1=s2. 知识模块：高等数学11．设f(x)=，F(x)=∫0xf(t)dt(x∈[0，2])，则( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：当0≤x≤1时，F(x)=∫0xt2dt=；当1＜x≤2时，F(x)=∫0xf(t)dt=∫01t2dt＋∫1x(2－t)dt=，选(B)．知识模块：高等数学12．已知且a与b不平行，则以OA和OB为邻边的平行四边形OACB的对角线OC上的一个单位向量为( )A．B．C．D．正确答案：A解析：由向量加法运算的几何意义，以a，b为邻边的平行四边形对应的对角线向量为a+b，故它的单位向量为应选A．知识模块：向量代数与空间解析几何13．设级数收敛，则必收敛的级数为( )A．B．C．D．正确答案：D解析：因为级数收敛，再由收敛级数的和仍收敛可知，级数收敛，故选D。

考研数学一(高等数学)模拟试卷300(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷300(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设常数α＞2，则级数A．发散．B．条件收敛．C．绝对收敛．D．敛散性与α有关．正确答案：C解析：由于设常数p满足1＜p＜α一1，则有由正项级数比较判别法的极限形式知级数收敛，进而知当α＞2时绝对收敛，即(C)正确．知识模块：高等数学2．设a＞0为常数，则级数A．发散．B．条件收敛．C．绝对收敛．D．敛散性与口有关．正确答案：B解析：用分解法．分解级数的一般项知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3．判定下列级数的敛散性：正确答案：(Ⅰ)因发散，故原级数发散．(Ⅱ)因(Ⅲ)使用比值判别法．因，故原级数收敛．涉及知识点：高等数学4．判定下列级数的敛散性，当级数收敛时判定是条件收敛还是绝对收敛：正确答案：(Ⅰ)由于收敛，利用比较判别法即知收敛，所以此级数绝对收敛．(Ⅱ)由于当n充分大时，0＜＞0，所以此级数为交错级数，且满足莱布尼兹判别法的两个条件，这说明原级数(n→∞)，所以，级数条件收敛．是条件收敛的，故原级数条件收敛．涉及知识点：高等数学5．求下列函数项级数的收敛域：正确答案：(Ⅰ)注意=1，对级数的通项取绝对值，并应用根值判别法，则当＞1，即x＜0时，原级数发散(x=一1除外)，因为一般项不是无穷小量；当x=0时，原级数为收敛的交错级数．因此，级数的收敛域为[0，+∞)．(Ⅱ)使用比值判别法，则有这就说明：当｜x｜＞1时，级数收敛，而且绝对收敛；然而，当｜x｜≤1(x≠—1)时，比值判别法失效．但是，当｜x｜＜1时，=1；当x=1时，un(x)=(n=1，2，…)，都不满足级数收敛的必要条件．所以，级数的收敛域为｜x｜＞1．涉及知识点：高等数学6．求下列幂级数的收敛域：正确答案：(Ⅰ)=3，故收敛半径R=1／3．当x=1／3时，原幂级数为，是一个收敛的交错级数；当x=一1／3时，原幂级数为的收敛域为(一1／3，1／3]．(Ⅱ)使用根值法．由于，的收敛半径R=+∞，即收敛区间也是收敛域为(一∞，+∞)．涉及知识点：高等数学7．求幂级数的收敛域及其和函数．正确答案：容易求得其收敛域为[一1，1)．为求其和函数S(x)，在它的收敛区间(一1，1)内先进行逐项求导，即得S’(x)=，x∈(—1，1)．又因为S(0)=0，因此S(x)=∫0xS’(t)dt=∫0x=一ln(1—x)．注意原级数在x=一1处收敛，又ln(1一x)在x=一1处连续，所以S(x)=一ln(1一x)，x∈[一1，1)．涉及知识点：高等数学8．判定下列级数的敛散性：正确答案：(Ⅰ)本题可采用比值判别法．由于，所以，当p＜e时，级数收敛；当p＞e时，该级数发散；当p=e时，比值判别法失效．注意到数列{(1+)n}是单调递增趋于e的，所以当p=e时，＞1，即{un}单调递增不是无穷小量，所以该级数也是发散的．总之，级数当p＜e时收敛，p≥e时发散．(Ⅱ)本题适宜采用根值判别法．由于=0，所以原级数收敛．这里用到=0．涉及知识点：高等数学9．判别下列级数的敛散性：正确答案：(Ⅰ)利用比较判别法的极限形式．由于级数发散，而且当n→∞时所以原级数也发散．(Ⅱ)仍利用比较判别法的极限形式．先改写用泰勒公式确定的阶．由于(Ⅲ)注意到0≤收敛，所以原级数也收敛．(Ⅳ)因为函数f(x)=单调递减，所以再采用极限形式的比较判别法，即将=0，所以，级数收敛．再由上面导出的不等式0＜un≤，所以原级数也收敛．涉及知识点：高等数学10．判别级数的敛散性，其中{xn}是单调递增而且有界的正数数列．正确答案：首先因为{xn}是单调递增的有界正数数列，所以0≤1—．现考察原级数的部分和数列{Sn}，由于Sn=(xn+1一x1)，又{xn}有界，即｜xn｜≤M(M＞0为常数)，故所以{Sn}也是有界的．由正项级数收敛的充要条件知原级数收敛．涉及知识点：高等数学11．判别下列级数的敛散性(包括绝对收敛或条件收敛)：正确答案：(Ⅰ)由于发散，所以原级数不是绝对收敛的．原级数是交错级数，易知的单调性，令f(x)=＞0(当x充分大时) →当x充分大时g(x)．这说明级数满足莱布尼兹判别法的两个条件，所以该级数收敛，并且是条件收敛的．(Ⅱ)由于sin(nπ+，所以此级数是交错级数．又由于发散，这说明原级数不是绝对收敛的．由于sinx在第一象限是单调递增函数，而是单调减少的，所以，sin 随着n的增加而单调递减．又显然满足莱布尼兹判别法的两个条件，从而它是收敛的．结合前面的讨论，知其为条件收敛．涉及知识点：高等数学12．判别级数(p＞0)的收敛性(包括绝对收敛或条件收敛)．正确答案：为判断其是否绝对收敛，采用极限形式的比较判别法，由于所以，当p＞1时，级数绝对收敛；而当p≤1时，该级数不绝对收敛．下面介绍几种方法讨论0＜p≤1时，是否条件收敛．考察部分和Sn=(n≥2)的极限是否存在．先考虑部分和数列的奇数项，即注意到等式右端的每一项都是正的，所以S2n+1＜0，而且单调递减．又由于亦即S2n+1＞，这就说明{S2n+1}是单调递减有下界的，所以其极限存在，设S2n+1=S．又由于(S2n+1—u2n+1)=S，即Sn=S，亦即级数的部分和数列收敛，所以该级数收敛．特别，这说明0＜p≤1时，该级数条件收敛．解析：对于交错级数先要讨论其是否绝对收敛．这里un≥un+1不总是成立的，也就是说莱布尼兹判别法的条件不满足．这样，当其不是绝对收敛时，莱布尼兹判别法也不能使用，可考虑直接用定义讨论其收敛性或利用收敛级数的性质．知识模块：高等数学13．判断如下命题是否正确：设无穷小un～vn(n→∞)，若级数vn也收敛．证明你的判断．正确答案：对于正项级数，比较判别法的极限形式就是：vn同时收敛或同时发散．本题未限定vn一定收敛．比如，取即un～vn(n→∞)．级数un是收敛的，然而级数vn是不收敛的．涉及知识点：高等数学14．确定下列函数项级数的收敛域：正确答案：(Ⅰ)使用比较判别法．当x≤1时，由于也发散．当x＞1时，取p∈(1，x)，由于=0，所以的收敛域为(1，+∞)．(Ⅱ)当x＞0时，由于满足莱布尼兹判别法的两个条件，因此是收敛的．而当x≤0时，因该级数通项不趋于零，所以是发散的．故级数的收敛域为(0，+∞)．涉及知识点：高等数学15．求下列幂级数的收敛域或收敛区间：(Ⅲ) anxn的收敛半径R=3；(只求收敛区间)(Ⅳ) ax(x一3)n，其中x=0时收敛，x=6时发散．正确答案：(Ⅰ)有相同的收敛半径，可以用求收敛半径公式计算收敛半径．首先计算所以R=1．再考察两个端点，即x=±1时的敛散性．显然x=1，级数是发散的．而x=一1时，[1*]单调递减，令f(x)=＜1，ln(1+x)＞1，这就说明f’(x)＜0，f(x)单调递减．所以满足莱布尼兹判别法的两个条件，该级数收敛．这样，即得结论：xn—1的收敛域为[一1，1)．(Ⅱ)这是缺项幂级数即幂级数的系数有无限多个为0(a2n—1=0，n=1，2，…)，所以不能直接用求收敛半径公式求收敛半径R．一般有两种方法：它是函数项级数，可直接用根值判别法．由于(Ⅲ)nan(x一1)n+1=(x一1)2[an(x一1)n]’，由幂级数逐项求导保持收敛半径不变的特点知，nan(x一1)n+1与an(x一1)n有相同的收敛半径R=3．因而其收敛区间为(一2，4)．(Ⅳ)令t=x一3，考察antn，由题设t=一3时它收敛→收敛半径R≥3，又t=3时其发散→R≤3．因此R=3，antn的收敛域是[一3，3)，原级数的收敛域是[0，6)．涉及知识点：高等数学16．求下列幂级数的和函数并指出收敛域：(Ⅰ)n(n+1)xn．正确答案：(Ⅰ)为求其和函数，先进行代数运算，使其能够通过逐项求导与逐项积分等手段变成几何级数求和．设=一4ln(1一x)，(一1≤x＜1)，(利用ln(1+t)的展开式)所以S(x)=S1(x)—S2(x)+S3(x)=ln(1—x) =ln(1—x)，x∈(—1，1)，x≠0．当x=0时，上面的运算不能进行，然而从原级数看S(0)=a0=1，同时，也容易看出=1．这就说明S(x)在x=0处还是连续的，这一点也正是幂级数的和函数必须具备的性质．涉及知识点：高等数学17．将函数arctan展成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间．正确答案：由于，利用公式，并以x2代替其中的x，就有(一1)nx2n，一1＜x2＜1即一1＜x＜1．上式两端再进行积分，注意到arctan，所以由f(x)一f(0)=∫0xf’(t)dt即得注意函数arctan在端点x=一1处连续，幂级数在点x=一1处也收敛，从而上式在端点x=一1处也成立，即涉及知识点：高等数学18．将下列函数在指定点处展开为泰勒级数：(Ⅰ)，在x=1处；(Ⅱ)ln(2x2+x 一3)，在x=3处．正确答案：在上述展式中就是以(—1)nxn=1—x+x2—x3+…+(—1)nxn+…，(一1＜x＜1) (11．16)式中的x．类似地，有(Ⅱ)由于ln(2x+x一3)=ln(2x+3)(x 一1)=ln(2x+3)+ln(x一1)，对于右端两项应用公式得解析：使用间接法在指定点x0处作泰勒展开，就要用x—x0或者x一x0的倍数与方幂等代替原来的x．知识模块：高等数学19．将下列函数f(x)展开成戈的幂级数并求f(n)(0)：正确答案：(Ⅱ)应用公式(11．12)，有(一∞＜x＜+∞)．逐项积分得(一∞＜x ＜+∞)．由此又得f(2n)(0)=0 (n=1，2，3，…)，f(2n+1)(0)= (n=0，1，2，…)．解析：在这两个小题中除了作幂级数展开之外还涉及分析运算：一个含有求导，一个含有积分．像这样的题目，到底是应该先展开后做分析运算，还是应该先做分析运算后展开呢?一般来说应该先展开，因为对展开式的分析运算就是逐项求导、逐项积分，比较简便．而且某些题目也必须先展开，第(Ⅱ)小题就是如此．知识模块：高等数学20．求下列级数的和：正确答案：(Ⅰ)S==S1+S2．S2为几何级数，其和为2／3．S1可看作幂级数(一1)(n)n(n一1)x(n)在x=1／2处的值．记直接利用ln(1+x)的展开式得涉及知识点：高等数学21．(Ⅰ)设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(一1，1]上定义为则f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于_________；(Ⅱ)设函数f(x)=x2，0≤x＜1，而S(x)=bnsin(nπx)，一∞＜x＜+∞，其中bn=2∫01f(x)sin(nπx)dx，n=1，2，3，…，则S(一)=____________．正确答案：(Ⅰ) 3／2；(Ⅱ)—1／4解析：(Ⅰ)根据收敛定理，f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于[f(1—0)+f(一1+0)]=3／2．(Ⅱ)由S(x)的形式可知：S(x)是奇函数．又f(x)在x=连续，所以知识模块：高等数学22．设周期为2π的函数f(x)=的傅里叶级数为(ancosnx+bnsinnx)，(Ⅰ)求系数a0，并证明an=0，(n≥1)；(Ⅱ)求傅里叶级数的和函数g(x)(一π≤x≤π)，及g(2π)的值．正确答案：(Ⅰ)根据定义注意：奇函数xcosnx在对称区间上的积为零．从另一个角度看，f(x)一(ancosnx+bnsinnx)实际上就是f(x)一a0／2的傅里叶级数，所以an=0．(Ⅱ)根据收敛定理，和函数g(x)=另外，g(2π)=g(0)=π．涉及知识点：高等数学23．设函数f(x)=x2，x∈[0，π]，将f(x)展开为以2π为周期的傅里叶级数，并证明。

2023考研数学模拟卷(一)数学一答案

2023考研数学模拟卷（一）数学一答案考题分析本次考试主要围绕数学一的基本概念、定理和方法展开，涵盖了高等数学中的微积分、线性代数和概率统计等内容。

共计包含8个小题，覆盖了整个考纲，难度适中。

1. 选择题1.1 题目已知函数f(f)=2f3−3f2−12f+5，则使得f(f)在区间[−2,3]上递减的f的个数为（）。

A. 0B. 1C. 2D. 31.2 答案答案：C. 21.3 解析函数的递减区间对应于一阶导数小于零的区间，因此需要先求出函数f(f)的一阶导数：f′(f)=6f2−6f−12然后求出f′(f)的零点，即：6f2−6f−12=0解得f1=−1,f2=2。

将f1,f2代入函数f(f)中可得：f(−1)=−20,f(2)=−11可见f(−1)和f(2)均小于零，因此使得f(f)在区间[−2,3]上递减的f的个数为 2，故选 C。

2. 填空题2.1 题目已知向量 $\\mathbf{a} = (1, 2, 3)^T$，$\\mathbf{b} = (2, -1, 4)^T$，则 $\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}$ 等于 \\\\。

2.2 答案答案：142.3 解析向量的点积（内积）定义为两个向量对应分量的乘积之和，即：$$ \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 +a_3b_3 $$代入已知向量的值可得：$$ \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b} = 1 \\cdot 2 + 2 \\cdot (-1) + 3 \\cdot 4 = 14 $$故答案为 14。

3. 判断题3.1 题目正态分布是一个离散概率分布。

A. 正确B. 错误3.2 答案答案：B. 错误3.3 解析正态分布是连续概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线。

在实际问题中，许多现象都服从正态分布，例如测量误差、身高体重等。

【考研】考研数学一全真模拟卷及解析

【考研】考研数学一全真模拟卷及解析考研数学一是众多考研学子面临的一大挑战。

为了帮助大家更好地备考，我们精心准备了这份全真模拟卷及详细解析，希望能对大家的复习有所助益。

一、选择题（共 8 小题，每题 4 分，共 32 分）1、设函数＼（f(x) ＝＼frac{1}｛1 ＋ x^2}＼），则＼（f(f(x)）＼）为（）A ＼（＼frac{1}｛1 ＋ 2x^2 ＋ x^4} ＼）B ＼（＼frac{1}｛1 ＋2x^2} ＼） C ＼（＼frac{1}｛1 ＋ x^2} ＼） D ＼（＼frac{x^2}｛1＋ x^2} ＼）解析：因为＼（f(x) ＝＼frac{1}｛1 ＋ x^2}＼），所以＼（f(f(x)）＝＼frac{1}｛1 ＋（＼frac{1}｛1 ＋ x^2}）＾2} ＝＼frac{1}｛1 ＋＼frac{1}｛（1 ＋ x^2)＾2}｝＝＼frac{1 ＋ x^2}｛1 ＋ x^2 ＋ 1} ＝＼frac{1 ＋ x^2}｛2 ＋ x^2} ＼neq\）选项中的任何一个，此题无正确选项。

2、设＼（y ＝ y(x)＼）是由方程＼（e^y ＋ xy e ＝ 0\）所确定的隐函数，则＼（y'（0)＼）的值为（）A －1B 0C 1D 2解析：对方程两边同时对＼（x\）求导，得＼（e^y ＼cdot y' ＋ y＋ x ＼cdot y' ＝ 0\）。

当＼（x ＝ 0\）时，代入原方程得＼（e^y e＝ 0\），解得＼（y ＝ 1\）。

将＼（x ＝ 0\），＼（y ＝ 1\）代入＼（e^y ＼cdot y' ＋ y ＋ x ＼cdot y' ＝ 0\），得＼（e ＼cdot y' ＋ 1 ＝0\），解得＼（y'（0) ＝＼frac{1}｛e}＼）。

3、设＼（f(x)＼）具有二阶连续导数，且＼（f(0) ＝ 0\），＼（f'（0) ＝ 1\），则＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{f(x) x}｛x^2}＼）等于（）A ＼（0\）B ＼（＼frac{1}｛2} ＼）C ＼（1\）D 不存在解析：利用泰勒公式，将＼（f(x)＼）在＼（x ＝ 0\）处展开：＼（f(x) ＝ f(0) ＋ f'（0)x ＋＼frac{1}｛2}f'＇（0)x^2 ＋ o(x^2) ＝ x ＋＼frac{1}｛2}f'＇（0)x^2 ＋ o(x^2)＼），则＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{f(x) x}｛x^2} ＝＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼frac{1}｛2}f'＇（0)x^2 ＋ o(x^2)｝｛x^2} ＝＼frac{1}｛2}f'＇（0)＼）。

考研数学一(线性代数)模拟试卷96(题后含答案及解析)

考研数学一（线性代数）模拟试卷96(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜=2，｜B｜=6，则为( )．A．24B．一24C．48D．－48正确答案：D解析：=－48，选(D)．知识模块：线性代数2．设n维行向量α=，A=E－αTα，B=E＋2αTα，则AB为( )．A．OB．－EC．ED．E+αTα正确答案：C解析：由ααT=，得AB=(E－αTα)(E+2αTα)=E，选(C)．知识模块：线性代数3．设A为n阶矩阵，且｜A｜=0，则A( )．A．必有一列元素全为零B．必有两行元素对应成比例C．必有一列是其余列向量的线性组合D．任一列都是其余列向量的线性组合正确答案：C解析：因为｜A｜=0，所以r(A)＜n，从而A的n个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C)．知识模块：线性代数4．设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量组，令A=(α1，α2，α3，α4)，AX=0的通解为X=k(0，一1，3，0)T，则A*X=0的基础解系为( ) A．α1，α3B．α2，α3，α4C．α1，α2，α4D．α3，α4正确答案：C解析：因为AX=0的基础解系只含一个线性无关的解向量，所以r(A)=3，于是r(A*)=1，因为A*A=｜A｜E=O，所以，α1，α2，α3，α4为A*X=0的一组解，又因为一α2+3α3=0，所以α2，α3线性相关，从而α1，α2，α4线性无关，即为A*X=0的一个基础解系，应选(C)．知识模块：线性代数5．设三阶矩阵A的特征值为λ1=－1，λ2=0，λ3=1，则下列结论不正确的是( )．A．矩阵A不可逆B．矩阵A的迹为零C．特征值一1，1对应的特征向量正交D．方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量正确答案：C解析：由λ1=一1，λ2=0，λ3=1得｜A｜=0，则r(A)＜3，即A不可逆，(A)正确；又λ1+λ2+λ3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为A的三个特征值都为单值，所以A的非零特征值的个数与矩阵A的秩相等，即r(A)=2，从而AX=0的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选(C)．知识模块：线性代数6．设，则m，n可取( )．A．m=3，n=2B．m=3，n=5C．m=2，n=3D．m=2，n=2正确答案：B解析：P1mAP2n=经过了A的第1，2两行对调与第1，3两列对调，P1==E13，且Eij2=E，P1mAP2=P1AP2，则m=3，n=5，即选(B)．知识模块：线性代数7．若向量组α1，α2，α3，α4线性相关，且向量α4不可由向量组α1，α2，α3线性表示，则下列结论正确的是( )．A．α1，α2，α3线性无关B．α1，α2，α3线性相关C．α1，α2，α4线性无关D．α1，α2，α4线性相关正确答案：B解析：若α1，α2，α3线性无关，因为α4不可由α1，α2，α3线性表示，所以α1，α2，α3，α4线性无关，矛盾，故α1，α2，α3线性相关，选(B)．知识模块：线性代数8．设A为n阶矩阵，下列结论正确的是( )．A．矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等B．若A～B，则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵C．若r(A)=r＜n，则A经过有限次初等行变换可化为D．若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等正确答案：D解析：(A)不对，如A=，A的两个特征值都是0，但r(A)=1；(B)不对，因为A～B不一定保证A，B可以对角化；知识模块：线性代数填空题9．若矩阵A=，B是三阶非零矩阵，满足AB=0，则t=________．正确答案：1解析：由AB=O得r(A)+r(B)≤3，因为r(B)≥1，所以r(A)≤2．又因为矩阵A有两行不成比例，所以r(A)≤2，于是r(A)=2．知识模块：线性代数10．设向量组α1，α2，α3线性无关，且α1+aα2+4α3，2α1+α2一α3，α2+α3线性相关，则a=_______．正确答案：5解析：(α1+aα2+4α3，2α1+α2一α3，α2+α3)=(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3线性无关，而α1+aα2+4α3，2α1+α2一α3，α2+α3线性相关，所以=0，解得a=5．知识模块：线性代数11．设二次型2x12+x22+x32+2x1x2+ax2x3的秩为2，则a=_______．正确答案：解析：该二次型的矩阵为A=，因为该二次型的秩为2，所以｜A｜=0，解得a=±．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学(数学一)模拟试卷501(题后含答案及解析)

考研数学（数学一）模拟试卷501(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．f(x)﹦则f(x)在x﹦0处( )A．极限不存在B．极限存在，但不连续C．连续但不可导D．可导正确答案：C解析：f﹢’(0)，f－’(0)都存在，则f(x)在x﹦0点处右连续和左连续，所以f(x)在x﹦0处连续；但f﹢’(0)≠f－’(0)，所以f(x)在x﹦0处不可导。

故本题选C。

本题考查函数的极限、连续与可导。

函数在某点极限存在当且仅当函数在该点的左、右极限均存在且相等；函数在某点连续当且仅当函数在该点的左、右极限均存在且等于函数在该点的函数值；函数在某点可导当且仅当函数在该点左导数等于右导数。

2．设I﹦，则I，J，K的大小关系为( )A．I＜J＜KB．I＜K＜JC．J＜I＜KD．K＜J＜I正确答案：B解析：当0＜x＜时，因为0＜sin x＜cos x，所以ln(sin x)＜ln(cos x)，因此综上可知，I＜K＜J。

故本题选B。

本题考查定积分大小的比较。

本题在计算过程中会用到定积分的比较定理，即设a≤b，f(x)≤g(x)(a≤x≤b)，则∫abf(x)dx ≤abg(x)dx。

3．具有特解y1＝e－x，y2﹦2xe－x，y3﹦3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是( )A．－y”－y’﹢y﹦0B．﹢y”－y’－y﹦0C．－6y”﹢11y’－6y﹦0D．－2y”－y’﹢2y﹦0正确答案：B解析：由y1﹦e－x，y2﹦2xe－x，y3﹦3ex是所求三阶常系数齐次线性微分方程的三个特解可知，λ1﹦－1，λ2﹦一1，λ3﹦1是所求方程的三个根，其特征方程为(λ－1)(λ﹢1)2﹦0，即λ3﹢λ2－λ－1﹦0，其对应的微分方程为﹢y”－y’－y﹦0。

故本题选B。

本题考查高阶常系数齐次线性微分方程。

本题已知特解求三阶常系数齐次线性微分方程，考生可由题目已知的特解得到齐次微分方程的特征根，进而得到其特征方程，从而得到结果。

考研数学(数学一)模拟试卷400(题后含答案及解析)

考研数学（数学一）模拟试卷400(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)在点x＝a处可导，则＝( )。

A．f’(a)B．2f’(a)C．0D．f’(2a)正确答案：B解析：解＝[1－(－1)]f’(a)＝2f’(a)，仅(B)入选。

2．函数f(x，y)＝x2y3在点P(2，1)处沿方向l＝i＋j的方向导数为( )。

A．16B．C．28D．正确答案：B解析：仅(B)入选。

3．设平面曲线L：，y≥0，其所围成的区域分别记为D和D1，则有( )。

A．B．C．D．正确答案：A解析：4．设S为球面x2＋y2＋z2＝R2(R>0)的上半球的上侧，则下列表示式正确的是( )。

A．B．C．D．正确答案：B解析：解一用S1与S2分别表示S的右半部分与左半部分，则其中D表示曲面S1与S2在平面zOx上的投影区域：x2＋z2≤R2，z≥0，仅(B)入选。

解二由上述结论，即可看出选项(B)正确。

这是因为S关于坐标平面zOx对称，而y为奇函数，故，因y2为偶函数，故。

同理，(因x＝xy0，z＝zy0都可看成y 的偶函数)。

5．A是三阶矩阵，P是三阶可逆矩阵，，且Aα1＝α1，Aα2＝α2，Aα3＝0，则P应是( )。

A．[α1，α2，α1＋α3]B．[α2，α3，α1]C．[α1＋α2，－α2，2α3]D．[α1＋α2，α2＋α3，α1]正确答案：C解析：解一因(A)中向量α1＋α3是A的不同特征值的特征向量的线性组合，故不是A的特征向量，排除(A)。

(B)中α3，α1的排列顺序与其对角阵中特征值的排列顺序不一致，排除(B)。

(D)中α2＋α3不是A的特征向量，排除(D)，仅(C)入选。

解二因为α1＋α2，－α2仍是λ＝1的特征向量，2α3仍是λ＝0的特征向量，且与其对角阵中特征值的排列顺序一致，仅(C)入选。

6．设A，B，C，D是4个四阶矩阵，其中A≠O，｜B｜≠0，｜C｜≠0，D≠O，且满足ABCD＝O。

考研数学(数学一)模拟试卷500(题后含答案及解析)

考研数学（数学一）模拟试卷500(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设当|x|＜1时f(x)＝展开成收敛于它自身的幂级数f(x)＝，则关于它的系数an(n＝0，1，2，…)成立的关系式为A．an＋2＝an＋1＋an．B．an＋3＝an．C．an＋4＝an＋2＋an．D．an＋6＝an．正确答案：D2．当x→0时，下列3个无穷小a＝按后一个无穷小比前一个高阶的次序排列，正确的次序是A．α，β，γ．B．γ，β，α．C．γ，α，βD．α，γ，β正确答案：D3．设f(x)是以T为周期的连续函数(若下式中用到f＇(x)，则设f＇(x)存在)，则以下结论中不正确的是A．f＇(x)必以T为周期．B．必以T为周期．C．必以T为周期．D．必以T为周期．正确答案：B4．设S为球面x2＋y2＋z2＝R2(常数R＞0)的上半部分，方向为上侧．则下述对坐标的曲面积分(即第二型曲面积分)不为零的是A．B．C．D．正确答案：B5．设a1，a2，…，as，是线性方程组的s个互不相同的解向量，则向量组{ai一aj| i≠j，i＝1，2，…，s；j＝1，2，…，s}的秩r取值范围为A．1或2．B．2或3．C．D．1.正确答案：A6．已知P－1AP＝，α1是A的属于λ1＝1的特征向量，α2，α3是A 的属于λ2＝－1的线性无关的特征向量，则矩阵P是A．(α2，α1，α3)．B．(α1，α2一α3，α3－α1)．C．(3α1，α2＋α3，α2一α3)．D．(2α2，3α3，α1)．正确答案：C7．将一枚均匀硬币连续抛n次，以A表示“正面最多出现一次”，以B表示“正面和反面各至少出现一次”，则A．n＝2时，A与B相互独立．B．n＝2时，．C．n＝2时，A与B互不相容．D．n＝3 时，A与B相互独立．正确答案：D8．设总体X～N(0，σ2)(σ2已知)，X1，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，S2为样本方差，则下列正确的是正确答案：C填空题9．设空间曲线L : 其中常数a＞0．则空间第一型曲线积分＝_____________.正确答案：解析：平面x—y＝0经过球面．x2＋y2＋z2＝a2的中心，所以L是一个半径为a的圆周．今建立它的参数方程．将L投影到xOz平面上去，为此，消去y，得所以L在xOz平面上的投影是一个椭圆．引入此椭圆的参数方程：x＝，0≤t ≤2π由于L在平面x—y＝0上，所以L的参数方程为x＝于是ds＝所以10．设an＝x(1－x)n－1dx,则＝_____________.正确答案：1—21n 2解析：an＝11．微分方程y＂＋2y＇一3y＝x(ex＋1)的通解为y＝___________．正确答案：，其中C1，C2为任意常数解析：该常系数线性微分方程对应的齐次方程的特征方程为r2＋2r一3＝(r 一1)(r＋3)＝0，特征根r1＝1，r2＝一3，对应的齐次方程的通解为Y＝C1ex＋C2e-3x，其中C1，C2为任意常数．原给非齐次微分方程y＂＋2y＇一3y＝x(ex ＋1)＝xex＋x，可分解成两个非齐次方程y2＋2y＇一3y＝xex与y＂＋2y＇一3y＝x，用常用的待定系数法，可求得各自的特解分别为所以原给方程的通解为y＝其中C1，C2为任意常数．或写成如上所填．12．设y＝y(x)由方程x＝确定，则＝_____________.正确答案：一2π解析：将x＝0代入x＝有y＝1．再将所给方程两边对x求导，得1＝于是y＇＝将x＝0，y＝1代入，得＝一2π．13．设xi≠0，i＝1，2，3，4．则行列式D＝＝_______________.正确答案：解析：将D的第1行的一l倍加到2，3，4行，再将第i列(i＝2，3，4)的倍加到第1列，得D14．已知随机变量X在(1，2)上服从均匀分布，在X＝x条件下Y服从参数为x的指数分布，则E(XY2)＝_____________．正确答案：21n 2解析：由题设知所以(X，Y)的联合概率密度为F(x，y)＝所以E(XY2)＝解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(高等数学)模拟试卷24(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷24(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．平面π与π1：x一2y＋z一2＝0和π2：x一2y＋z一6＝0的距离之比为1：3，则平面π的方程为( )．A．x一2y＋z＝0B．x一2y＋z一3＝0C．x一2y＋z＝0或x一2y＋z一3＝0D．x一2y＋z—4＝0正确答案：C解析：设所求平面为π：x一2y＋z＋D＝0，在平面π：x一2y＋z＋D＝0上取一点，因为d1：d2＝1：3，所以D＝0或D＝一3，选（C）。

知识模块：高等数学部分2．设则有( )．A．L1∥L3B．L1∥L2C．L2⊥L3D．L1⊥L2正确答案：D解析：三条直线的方向向量为s1＝{一2，一5，3)，s2＝{3，3，7}，s3＝{1，3，一1}×{2，1，一1}＝{一2，一1，一5}，因为s1.s2＝0，所以L1⊥L2，选(D)．知识模块：高等数学部分3．设则f(x，y)在(0，0)处( )．A．连续但不可偏导B．可偏导但不连续C．可微D．一阶连续可偏导正确答案：C解析：知识模块：高等数学部分4．对二元函数z＝f(x，y)，下列结论正确的是( )．A．z＝f(x，y)可微的充分必要条件是z＝f(x，y)有一阶连续的偏导数B．若z＝f(x，y)可微，则z＝f(x，y)的偏导数连续C．若z＝f(x，y)偏导数连续，则z＝f(x，y)一定可微D．若z＝f(x，y)的偏导数不连续，则z＝f(x，y)一定不可微正确答案：C解析：因为若函数f(x，y)一阶连续可偏导，则f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数f(x，y)偏导数不连续不一定不可微，选(C)．知识模块：高等数学部分5．设f(x，y)在有界闭区域D上二阶连续可偏导，且在区域D内恒有条件，则( )．A．f(x，y)的最大值点和最小值点都在D内B．f(x，y)的最大值点和最小值点都在D的边界上C．f(x，y)的最小值点在D内，最大值点在D的边界上D．f(x，y)的最大值点在D内，最小值点在D的边界上正确答案：B解析：若f(x，y)的最大点在D内，不妨设其为M0，则有，因为M0为最大值点，所以AC—B2非负，而在D内有，即AC—B2＜0，所以最大值点不可能在D内，同理最小值点也不可能在D内，正确答案为(B)．知识模块：高等数学部分填空题6．设直线在平面x＋y＋z＝0上的投影为直线L，则点(1，2，1)到直线L 的距离等于___________。

考研数学一(高等数学)模拟试卷150(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷150(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．级数A．绝对收敛．B．条件收敛．C．发散．D．敛散性与a有关．正确答案：B解析：由莱布尼兹法则知，原级数收敛．因此是条件收敛．选(B)．知识模块：高等数学2．设有级数an，Sn＝ak，则Sn有界是级数an收敛的A．充分条件．B．必要条件．C．充分必要条件．D．既非充分条件也非必要条件．正确答案：B解析：由级数收敛性概念知收敛，即部分和数列{Sn}收敛．由数列收敛性与有界性的关系知，{Sn}收敛｛Sn｝有界，因此选(B)．知识模块：高等数学3．已知an＞0(n＝1，2，…)，且(一1)n—1an条件收敛，记bn＝2a2n—1一a2n，则级数A．绝对收敛．B．条件收敛．C．发散．D．收敛或发散取决于an的具体形式．正确答案：C解析：由已知条件知识模块：高等数学4．下列命题中正确的是A．若幂级数收敛半径R≠0，则B．若，则不存在收敛半径．C．若的收敛域为[一R，R]，则的收敛域为[一R，R]．D．若的收敛区间(—R，R)即它的收敛域，则的收敛域可能是[—R，R]．正确答案：D解析：收敛半径，或R＝＋∞，或0＜R＜＋∞，或R＝0，三种情形必有一种成立．因而(B)不正确，但幂级数，不一定有(如缺项幂级数收敛半径，这里a2n ＝2n，a2n＋1＝0，于是，)，因而(A)也不正确．(C)也是不正确的．如，收敛域为[—1，1]，但的收敛域为[一1，1)．因此只有(D)正确．事实上，若取的收敛区间即收敛域为(一1，1)，而的收敛域为[—1，1]．知识模块：高等数学5．对于任意x的值，A．0．B．1．C．D．∞．正确答案：A解析：考虑级数的敛散性．由可知幂级数的收敛半径R＝＋∞，因此此级数对任意的x值均收敛．由级数收敛的必要条件得知，故选(A)．知识模块：高等数学填空题6．设级数的部分和，则＝______．正确答案：解析：因为，所以级数收敛，那么由级数的基本性质有知识模块：高等数学7．级数的和S＝______．正确答案：解析：考察部分和知识模块：高等数学8．幂级数的收敛区间是______．正确答案：(一2，2)解析：先求收敛半径R：有相同的收敛半径R，R＝2，收敛区间为(一2，2)．知识模块：高等数学9．(n—1)x的和函数及定义域是______·正确答案：解析：知识模块：高等数学10．幂级数的和函数及定义域是______·正确答案：解析：知识模块：高等数学11．设级数收敛，则p的取值范围是______。

考研数学一(高等数学)模拟试卷275(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷275(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处( )A．极限不存在B．极限存在，但不连续C．连续，但不可导D．可导正确答案：D解析：显然=f(0)=0，f(x)在x=0点连续．由于所以f－’(0)=0．又故f+’(0)=0，从而f’(0)存在，且f’(0)=0，应选D．知识模块：一元函数微分学2．设f(x)有连续的导数，f(0)=0，f’(0)≠0，F(x)=∫0x(x2－t2)f(t)dt，且当x→0时，F’(x)与x’是同阶无穷小，则k等于( )A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：用洛必达法则，极限存在且不为0，所以k=3，选C．知识模块：一元函数微分学3．设函数f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0．则方程在(a，b)内的根有( ) A．0个B．1个C．2个D．无穷多个正确答案：B解析：令则F(x)在[a，b]上连续，而且F(b)=∫abf(t)dt＞0，故F(x)=0在(a，b)内至少有一个根．又所以F(x)单调增加，它在(a，b)内最多只有一个零点．故F(x)=0在(a，b)内仅有一个根．应选B．知识模块：一元函数积分学4．已知曲面z=x2+y2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z－1=0，则点P的坐标是( )A．(1，－1，2)B．(11，1，2)C．(1，1，2)D．(－1，－1，2)正确答案：D解析：切平面平行于平面2x+2y+z－1=0，可知切平面的法向量为(2，2，1)．又由z=x2+y2可得曲线切平面的法向量(zx’，zy’，－1)=(2x，2y，－1)．令(2x，2y，－1)∥(2，2，1)，解得x=－1，y=－1，代入z=x2+y2，解得z=2．所以P点坐标为(－1，－1，2)．知识模块：向量代数与空间解析几何5．化为极坐标系中的累次积分为( )A．B．C．D．正确答案：A解析：由可得x2+(y－1)2=1(y≥1)，所以积分区域D是圆x2+(y－1)2≤1的右半圆在直线y=x上方的部分，其极坐标形式为D= 知识模块：多元函数积分学6．设区域其中常数a＞b＞0．D1是D在第一象限部分，f(x，y)在D上连续，等式成立的一个充分条件是( )A．f(－x，－y)=f(x，y)B．f(－x，－y)=－f(x，y)C．f(－x，y)=f(x，－y)=－f(x，y)D．f(－x，y)=f(x，－y)=f(x，y)正确答案：D解析：当C成立时，f(x，y)关于x和y都是奇函数，积分应为零，不选C，因为题中未说类似于C，可知也不选A，B．当D成立时，f(x，y)关于x和y分别都是偶函数，将D在各个象限中的部分分别记为D1，D2，D3与D4，于是故选D．知识模块：多元函数积分学7．微分方程y’’+4y=sin2x有特解形如( )A．Asin2xB．Acos2xC．x(A+Bcos2x+Csin2x)D．A+x(Bcos2x+Csin2x)正确答案：D解析：原方程可以写成由待定系数法可知该方程有形如(Ⅰ))的特解．知识模块：常微分方程填空题8．极限=______．正确答案：2解析：知识模块：函数、极限、连续9．曲线v的全部渐近线为______．正确答案：x=0；和y=1解析：因为x=0为铅直渐近线；y=1为水平渐近线．知识模块：一元函数微分学10．设曲线y=y(x)在点与直线4x－4y－3=0相切，且y=y(x)满足方程则该曲线在相应x∈[一1，1]上(x，y)点的曲率为______ ．正确答案：解析：由时，p=1，得c1=0．从而在(x，y)点的曲率知识模块：一元函数微分学11．xx(1+lnx)的全体原函数为_______．正确答案：x2+C，其中C为任意常数解析：因为(xx)’=(exlnx)’=xx(1+lnx)，所以∫xx(1+lnx)dx=xx+C．知识模块：一元函数积分学12．设f(x)连续，则[∫0xtf(x2－t2)dt]=_____．正确答案：xf(x2)解析：知识模块：一元函数积分学13．向量场A(z，3x，2y)在点M(x，y，z)处的旋度rotA=______．正确答案：(2，1，3)解析：设向量场A=Pi+Qj+Rk，则因P=z，Q=3x，R=2y，则知识模块：多元函数积分学14．设由平面图形a≤x≤b，0≤y≤f(x)绕x轴旋转所成旋转体力的密度为1，则该旋转体＄对x轴的转动惯量为______．正确答案：解析：由题意有知识模块：多元函数积分学15．设则其以2π为周期的傅里叶级数在x=±π处收敛于______．正确答案：解析：由狄利克雷收敛定理及f(x)的周期性可知，无论f(x)在x=±π处是连续还是间断，其傅里叶级数的和S(±π)都可用统一表示．因f(π－)=5，f(－π+)=x2｜x=－π=π2，故知识模块：无穷级数16．函数在[－π，π]上展开为傅里叶级数(ancos nx+bnsin nx)，则an=______ ，bn=______，和函数S(x)=______．正确答案：解析：f(x)在[－π，π]上满足狄利克雷收敛定理条件，进行周期延拓得F(x)，有F(x)≡f(x)，x∈(－π，π)．由收敛定理可知：其中傅里叶级数的系数为：an=0，n=0，1，2，…(在[－π，π]上，f(x)除去间断点x=0外，是奇函数，所以其傅里叶级数必为正弦级数)，知识模块：无穷级数17．设是f(x)的以2π为周期的傅里叶级数．则=______．正确答案：解析：傅里叶系数又由狄利克雷定理知，知识模块：无穷级数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(高等数学)模拟试卷202(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷202(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)在x=a的邻域内有定义，且f’+(a)与f’－(a)都存在，则( )．A．f(x)在x=a处不连续B．f(x)在x=a处连续C．f(x)在x=a处可导D．f(x)在x=a处连续可导正确答案：B解析：因为f’+(a)存在，所以f(x)=f(a)，即f(x)在x=a处右连续，同理由f’－(a)存在可得f(x)在x=a处左连续，故f(x)在x=a处连续，选(B)．知识模块：高等数学2．设f(x)在R上是以T为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )·A．∫axf(t)dtB．∫－xaf(t)dtfdtC．∫－x0f(t)dt－∫x0f(t)dtD．∫－xxtf(t)dt正确答案：D解析：设φ(x)=∫－xxtf(t)dt=2∫0xtf(t)dt，φ(x+T)=2∫0x+Ttf(t)dt+2∫0xtf(t)dt≠φ(x)，选(D)．知识模块：高等数学3．设un=(－1)nln(1+)，则( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：显然因为n→∞时，ln2(1+)～1／n2，而1／n2收敛，所以un2收敛，选(B)．知识模块：高等数学填空题4．正确答案：2解析：当x→0时，有1－cosax～a／2x2，则1－～1／4(2x)2=x2，1－cos～1／2，知识模块：高等数学5．设函数y=y(x)由确定，则y=y(x)在x=ln2处的法线方程为_______．正确答案：y=－1／π(x－ln2)解析：当x=ln2时，t=±1；当t=±1时，y=0．(1)当t=－1时，由dx／dt=得dx／dt|t=－1=－1，则dy／dt|t=－1=－π，dy／dx|x=ln2=π，则法线方程为y=－1／π(x－ln2)；(2)当t=1时，由dx／dt=2t／(1+t2)得dx／dt|t=1=1．则dy／dt|t=1=π，dy／dx|x=ln2=π，法线方程为y=－1／π(x－ln2)，即法线方程为y=－1／π(x－ln2)．知识模块：高等数学6．正确答案：解析：知识模块：高等数学7．设直线l过点M(1，－2，0)且与两条直线l1：垂直，则l的参数方程为_______．正确答案：解析：直线l1的方向向量为s1={2，0，1}×{1，－1，3}={1，－5，－2}，直线l2的方向向量为s2={1，－4，0}，则直线l的方向向量为s=s1×s2={－8，－2，1}，直线l的方程为知识模块：高等数学8．函数u=x2－2yz在点(1，－2，2)处的方向导数最大值为_______．正确答案：6解析：函数u=x2－2yz在点(1，－2，2)处的方向导数的最大值即为函数u=x2－2yz在点(1，－2，2)处的梯度的模，而gradu|(1，－2，2)={2x，－2z，－2y}|(1，－2，2)={2，－4，4}，方向导数的最大值为=6．知识模块：高等数学9．设f(u)连续，则d2／dx2∫0xdu∫u1vf(u2－v2)dv=_______．正确答案：－xf(x2－1)解析：∫u1vf(u2－v2)dv=－1／2∫u1f(u2－v2)d(u2－v2)f(t)dt，则d／dx∫0xdu∫u1vf(u2－v2)dv=－1／2d／dx∫0xduf(t)dt，d2／dx2∫0xdu∫u1vf(u2－v2)dr=－xf(x2－1)．知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(解答题)模拟试卷120(题后含答案及解析)

考研数学一（解答题）模拟试卷120(题后含答案及解析)题型有：1.1．设讨论函数f(x)的连续性，若有间断点，指明其类型．正确答案：显然，x≠±2时，f(x)是连续的．而所以x=－2为f(x)的连续点．所以x=2是f(x)的跳跃间断点．解析：x≠±2时，f(x)连续，x=±2时，考虑单侧极限．2．求函数f(x)=在区间(0，2π)内的间断点，并判断其类型。

正确答案：因为tan(x一处无定义，故函数f(x)在区间(0，2，π)内的间断点是x=．在x=为f(x)的可去间断点；同理，x=也是f(x)的可去间断点，即x=为第一类间断点。

在x=为f(x)第二类间断点；同理，x=也是f(x)的第二类间断点。

涉及知识点：函数、极限、连续3．3阶矩阵，已知r(AB)小于r(A)和r(B)，求a，b和r(AB)．正确答案：求出AB＝从r(AB)小于r(A)和r(B)看出A和B都不可逆，于是r(AB)＜r(A)＜3，得r(AB)≤1．而AB不是零矩阵，得r(AB)＝1．再求a，b。

因为r(AB)＝1，AB的3个行向量两两相关，则第2行是第3行的2倍，得解得a＝1，b＝2．涉及知识点：向量组的线性关系与秩4．设讨论f(x)与g(x)的极值．正确答案：(I)对于f(x)：当x＞0时f’(x)：ex＞0，从而f(x)在(0，＋∞)内无极值．当x＜0时f’(x)＝(x＋1)ex，令f’(x)＝0，得x＝一1．当x＜一1时．f’(x)＜0，当一1＜x＜0时f’(x)＞0，故f(一1)＝一e—1为极小值．再看间断点x＝0处，当x＜0时f(x)＝xex＜0＝f(0)；当x＞0且x充分小时，f(x)＝ex一2＜0，故f(0)＝0为极大值．(II)对于g(x)：当x＞0时g’(x)＝一ex＜0，从而g(x)在(0，＋∞)内无极值．当x＜0时与f(x)同，g(一1)＝一e—1为极小值．在间断点x＝0处g(0)＝一1．当x＞0时g(x)＜一1；当x＜0且｜x｜充分小时g(x)为负值且｜g(x)｜＜1，从而有g(x)＞一1．故g(0)非极值．涉及知识点：高等数学5．求函数的单调区间，极值点，凹凸性区间与拐点．正确答案：定义域：x≠1．单调增区间(0，1)；单调减区间(一∞，0)∪(1，＋∞)；极小值点x＝0．涉及知识点：高等数学6．正确答案：涉及知识点：高等数学部分7．已知f(x，y)=，设D为由x=0，y=0及x+y=t所围成的区域，求F(t)=f(x，y)dxdy．正确答案：当t＜0时，F(t)=0，涉及知识点：高等数学8．设X1，X2，X3，X4是取自正态总体N(0，4)的简单随机样本，令Y ＝5(X1－2X2)2＋(3X3－4X4)2，求P{Y≤2}．正确答案：因X1－2X2～N(0，20)，～N(0，1)，类似地，～N(0，1)，又因X1－2X2与3X3－4X4相互独立，根据χ2分布的应用模式可知查2个自由度，上分位数为0．02的χ2分布上分位数表，可得概率p{＞0．02}＝0．99，即P{Y≤2}＝0．01．涉及知识点：概率论与数理统计9．将函数f(x)=展开成x的幂级数。

考研数学(数学一)模拟试卷279(题后含答案及解析)

考研数学（数学一）模拟试卷279(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知函数f(x)在区间(1-δ，1+δ)内具有二阶导数，f’’(x)＜0，且f(1)=f’(1)=1，则( )．A．在(1-δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＜xB．在(1-δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＞xC．在(1-δ，1)内f(x)＜x，在(1，1+δ)内f(x)＞xD．在(1-δ，1)内f(x)＞x，在(1，1+δ)内f(x)＜x正确答案：A解析：设φ(x)=f(x)-x，则φ’(x)=f’(x)-1，φ’’(x)=f’’(x)，由f’’(x)＜0得φ’’(x)＜0，故φ’(x)单调减少，则当x＜1时，φ’(x)＞φ’(1)=f’(1)-1=0，当x＞1时，φ’(x)＜φ’(1)=0，则φ(x)在x=1处取得极大值，当x∈(1-δ，1)∪(1，1+δ)时φ(x)＜φ(1)=f(1)-1=0，即f(x)＜x．故应选(A)．2．已知函数f(x)具有任意阶导数，且f’(x)=[f(x)]2，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数，则fn(x)为( )．A．n![f(x)]n+1B．n[f(x)]n+1C．[f(x)]2nD．n![f(x)]2n正确答案：A解析：为方便记y=f(x)，由y’=y2，逐次求导得y’’=2yy’=2y3，y’’’=3!y2y’=3!y4，…，归纳可证y(n)=n!yn+1．应选(A)．3．考虑二元函数的下面4条性质(Ⅰ)f(x，y)在点(x0，y0)处连续；(Ⅱ)f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；(Ⅲ)f(x，y)在点(x0，y0)处可微；(Ⅳ)f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用PQ表示可由性质P推出性质Q，则有( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续，则f(x，y)在点(x0，y0)处可微，f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则f(x，y)在点(x0，y0)处连续，所以，(A)为答案．4．设函数f(x)=x2，0≤x＜1，而S(x)=，其中bn=2∫01sinnπxdx，n=1，2，3，…则S(- 1/2)等于( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：S(x)是函数f(x)先作奇延拓后再作周期为2的周期延拓后的函数的傅氏级数的和．由于S(x)是奇函数，于是S(- 1/2)=-S(1/2)，当x=1/2时，f(x)连续，由傅氏级数的收敛性定理因此S(- 1/2)=- 1/4，应选(B)．5．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )．A．当n＞m时仅有零解B．当n＞m时必有非零解C．当m＞n时仅有零解D．当m＞n时必有非零解正确答案：D解析：由题设，AB是m×m矩阵，则x为m维列向量．由已知，r(A)≤n且r(A)≤m，r(B)≤m，且r(B)≤n，而r(AB)≤min(r(A)，r(B))，因此r(AB)≤m，且r(AB)≤n．当m＞n时，r(AB)≤n＜m，因此(AB)x=0必有非零解，即(D)成立，同理可排除(A)、(B)、(C)，所以选(D)．6．设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A*的特征值之一是( )．A．A-1｜A｜nB．λ-1｜A｜C．λ｜A｜D．λ｜A｜n正确答案：B解析：涉及A*的问题，注意利用公式AA*=A*A=｜A｜E．由题设λ是A 的一个特征值，则存在x≠0，使得Ax=λx，于是A*Ax=λA*x，把AA*=｜A｜E层代入上式得1/λ｜A｜x=A*x，即1/λ｜A｜是A*的一个特征值．故应选(B)．7．已知0＜P(B)＜1，且P[(A1+A2)｜B]=P(A1｜B)+P(A2｜B)，则下列选项必然成立的是( )A．P[(A1+A2)｜]=P(A1｜)+P(A2｜)B．P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)C．P(A1+A2)=P(A1｜B)+P(A2｜B)D．P(B)=P(A1)P(B｜A1)+P(A2)P(B｜A2)正确答案：B解析：由P[(A1+A2)｜B｜=P(A1｜B)+P(A2｜B)得到所以P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)，(B)是答案．8．设随机变量X与Y服从正态分布，X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，记p1=P{x≤μ-4)，p2={Y≥μ+5}，则( )．A．对任何实数μ，都有p1=p2B．对任何实数μ，都有p1＜p2C．只对μ的个别值，才有p1=p2D．对任何实数μ，都有p1＞p2正确答案：A解析：只需将x，y标准化，由题设，把X，Y标准化有因此p1=p2，故选(A)．填空题9．若g(x)，又f(x)在x=0处可导，则d/dx{f[g(x)]}｜x=0_________．正确答案：0解析：10．设准线方程为，母线的方向数为-1，0，1，这个柱面方程为_________．正确答案：1解析：柱面的母线方程可表示为解之，得(Z-t)2=0，即Z=t可知所求柱面方程为(X+Z)2+Y2=1．11．=_________．正确答案：e解析：故原式=e．12．幂级数的收敛半径为_________．正确答案：解析：13．若矩阵，B=A23A+2E，则B-1=_________．正确答案：解析：14．X，Y相互独立，同服从U(0，2)，即(0，2)上的均匀分布，Z=min(X，Y)，则P(0＜Z＜1)=_________．正确答案：2/3解析：P{min(X，Y)≤1}=P{X≤1∪Y≤1}=P{X≤1}+P{Y≤1}-P{X≤1，Y ≤1｜=2/3．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学(数学一)模拟试卷448(题后含答案及解析)

考研数学（数学一）模拟试卷448(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，f′(a)＜0，f′(b)＜0，则方程f′(x)在(a，b)内( )．A．没有实根B．有且仅有一个实根C．有且仅有两个不相等的实根D．至少有两个不相等实根正确答案：D解析：因f′(a)=＜0，故在a的某邻域内存在点x1，a＜x1＜，使f(x1)＜0．同理由f′(b)＞0知，必存在点x2，＜x2＜b，使f(x2)＞0．由连续函数性质(介值定理)知，存在c∈(x1，x2)(a，b)，使f(c)=0．在闭区间[a，c]和[c，b]上对f(x)分别使用罗尔定理知，至少存在一点ξ1∈(a，c)，使得f′(ξ1)=0，至少存在一点ξ2∈(c，b)，使得f′(ξ2)=0，故方程f′(x)=0在(a，b)内至少有两个不相等的实根．仅(D)入选．2．直线L1：( )．A．垂直不相交B．垂直相交C．相交不垂直D．既不垂直也不相交正确答案：B解析：先判别L1与L2是否垂直，再判别它们是否相交．先求出L1的方向向量令τ1=(一1，2，一1)和L2的方向向量τ2=(一4，一1，2)．因τ1.τ2=0，故L1⊥L2．排除(C)、(D)．再考虑它们是否相交．为此令=t，则x=6—4t，y=－t，z=3+2t，代入L1的方程中得t=3，即得其交点为(一6，一3，9)．仅(B)入选．3．级数( )．A．条件收敛B．绝对收敛C．发散D．可能收敛正确答案：A解析：仅(A)入选．因为满足而发散，由比较判别法知其发散，故原级数不绝对收敛．由莱布尼茨定理知，原级数收敛，故其条件收敛．4．已知曲面S：x2+2y2+3z2=1，y≥0，z≥0；区域D：x2+2y=1，x≥0，则( )．A．xdxdyB．ydxdyC．ydxdyD．xdxdy正确答案：C解析：因S关于平面yOz对称，故xdS=0．又D关于x轴对称，而y又是关于y为奇函数，故ydxdy=0．因而ydxdy=0．仅(C)入选．5．设P，Q都是n阶矩阵，且(PQ)2=E，其中E是n阶单位矩阵，则必有( )．A．(QP)2=EB．P2Q2=EC．Q2P2=ED．以上均不对正确答案：A解析：仅(A)入选．由(PQ)2=E得PQPQ=E，则QPQP=E=(QP)(QP)≠(QP)2=E．6．设A是三阶非零矩阵，满足A2=0，则线性非齐次方程AX=b的线性无关的解向量个数是( )．A．1个B．2个C．3个D．4个正确答案：C解析：利用下述结论求之．设AX=0的基础解系为α1，α2，…，αn－r；β为AX=b的一特解，则AX=b共有n－r+1个线性无关的解向量，且β，α1，α2，…，αn－r就是AX=b的n一r+1个线性无关的解．先求r(A)．因A2=A.A=O，故r(A)+r(A)=2r(A)≤3，即r(A)≤3／2，亦即r(A)≤1．又A≠O，r(A)≥1，故r(A)=1，从而n－r+1=3－r(A)+1=3－1+1=3，即AX=b有3个线性无关的解向量．仅(C)入选．7．设随机变量X，Y相互独立，且分别服从参数为λ和μ的指数分布(μ，λ)(μ＞0，λ＞0)，则P(X＞Y)等于( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：因X，Y的概率密度函数分别为而X，Y独立，故(X，Y)的概率密度函数为8．设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)(σ＞0)，且P(X＞σ)A．将其代入Ax+By=0，得到Ax+Ay=0，故所求平面方程为2x+3y=0．10．设二重积分I=(x2+y2)dxdy，其中D是由曲线x2+y2=2x所围第一象限的平面区域，则I=___________．正确答案：解析：D的图形如下图中的阴影部分所示．在极坐标系下D满足0≤θ≤π／2，0≤r≤2cosθ，且x2+y2=(rcosθ)2+(rsinθ)2=r2，故11．设(a×b).c=1，则[(a+b)×(b+c)].(c+a)=__________．正确答案：2解析：[(a+b)×(b+c)].(c+a) =[(a+b)×b+(a+b)×c].(c+a)=[a×b+b×b+a×c+b×c].(c+a)=(a×b+b×c+a×c).(c+a)=(a×b).c+(b×c).c+(a×c).c+(a×b).a+(b×c).a+(a×c).a=(a×b).c+0+0+0+(b×c).a+0=(a×b).c+(a×b).c=2(a×b).c=2．12．I=｜x｜ds=___________，其中L为｜x｜+｜y｜=1．正确答案：解析：由｜y｜ds(因积分曲线L关于y=x对称)，得到13．设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为1，且α1，α2，α3是它的三个解向量．若α1+α2=[1，2，一4]T，α2+α3=[0，一2，2]T，α3+α1=[1，0，一1]T，则该非齐次线性方程组的通解为___________．正确答案：c1[1，4，一6]T+c2[一1，2，3]T+[1，0，一2]T解析：设AX=b为三元非齐次线性方程组．由题设n=3，r(A)=1，因而Ax=0的一个基础解系含n一r(A)=3—1=2个解向量．因α1+α2一(α2+α3)=[1，4，一6]T=α1一α3，α2+α3一(α3+α1)=[一1，一2，3]T=α2一α1，而α1一α3，α2一α1均为Ax=0的解向量，且不成比例，故线性无关，可视为AX=0的一个基础解系．又因(α1+α2)+(α2+α3)+(α3+α1)=2(α1+α2+α3)=[2，0，一3]T，即α1+α2+α3=[1，0，一3／2]T，①又α1+α2+α2+α3=[1，0，一2]T，②由式②一式①得到α2=[0，0，1／2]T，此为AX=b的特解，从而所求通解为c1(α1一α3)+c2(α2一α1)+α2=c1[1，4，一6]T+c2[一1，2，3]T+[1，0，一2]T．14．设X1，X2，…，Xn是正态总体X～N(μ，σ2)的简单随机样本，样本方差S2=(Xi－)2，则D(S2)=___________．正确答案：解析：因D=2(n一1)，故D(S2)=2(n一1)，即D(S2)=解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学(数学一)模拟试卷512(题后含答案及解析)

考研数学（数学一）模拟试卷512(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．由方程2y3－2y2＋2xy＋y－x2＝0确定的函数y＝y(x) ( )A．没有驻点．B．有唯一驻点，但不是极值点．C．有唯一驻点为极小值点．D．有唯一驻点为极大值点．正确答案：C解析：由2y3－2y2＋2xy＋y－x2＝0两边对x求导，得(6y2－4y＋2x＋1)y＇＋2y－2x＝0．令y＇＝0，得y＝x．与原方程联立，得x(2x2－x＋1)＝0，有唯一解x＝0．在x＝0处对应y＝0，在点(0，0)处，y＇的系数所以由方程2y3－2y2＋2xy＋y－x2＝0确定的函数y＝y(x)有唯一驻点x＝0(对应y＝0再求y＂，有(6y2－4y＋2x＋1)y＂＋(12yy＇－4y＇＋2)y＇＋2y＇－2＝0．以x＝0，y＝0，y＇＝0代人，得y＂－2＝0，即y＂＝2＞0．所以x＝0处对应的y＝y(x)为极小值．选(C)．2．设数列{an)单调增加且有上界，θ为常数，则级数( )A．发散．B．条件收敛．C．绝对收敛．D．敛散性与θ有关．正确答案：C解析：由于数列{an}单调增加且有上界，故且an≤a，则(收敛)，另一方面，｜((an－aa＋1)sin nθ｜≤｜an－an＋1｜＝an＋1－an，而已证收敛，所以由比较判别法，知绝对收敛，选(C)．3．A．等于0．B．等于1．C．等于－1．D．不存在．正确答案：B解析：因为所以4．设f(x)连续且，，则F＂(x)＋F(x)＝( )A．f(x)sin x．B．f(x)cos x．C．f(x)(sin x＋cos x)．D．f(x)．正确答案：D解析：作积分变量代换x－t＝u，再用三角公式，有所以F＂(x)＋F(x)＝f(x)．5．设n阶行列式D中有一行元素及其余子式均为a(a≠0)，k是正整数，则( )A．n＝2k，D＝0．B．n＝2k＋1，D＝0．C．n＝2k，D＝a2．D．n＝2k＋1，D＝－a2．正确答案：A解析：不失一般性，设n阶行列式中第1行元素及其余子式均为a(a≠0)．按第1行展开，得D＝a11A11＋a12A12＋…＋a1nA1n＝a11M11＋a12(－M12)＋…＋a1n(－1)n－1M1n＝a2－a2＋a2＋…＋(－1)n＋1a2．当n＝2k时，D＝a2－a2＋a2－…－a2＝0；当n＝2k＋1时，D＝a2－a2＋a2－…＋(a2＝a2．故应选(A)．【注】注意余子式和代数余子式的区别(看清题目)，且Mij＝(－1)i＋jAij或Aij＝(－1)i＋jMij6．设A＝是2阶实矩阵，则下列条件不是A相似于对角矩阵的充分条件的是( )A．ad－bc＜0．B．b，c同号．C．b＝c．D．b，c异号．正确答案：D解析：对(C)，当b＝c时，A是实对称矩阵，所以A～Λ，故(C)是充分条件．由A的特征值，看什么条件下A相似于对角矩阵．对(A)，当ad－bc＜0时，由(*)式可知，(a＋d)2－4(ad－bc)＞0．因此A有两个不同的特征值，所以A～Λ．故(A)是充分条件．对(B)，当b，c同正或同负时，由(**)式可知，(a－d)2＋4bc＞0．因此A有两个不同的特征值，所以A～Λ．故(B)是充分条件．对(D)，当b，c异号时，由(**)式知，因bc＜0，当(a－d)2＋4bc＝0时，会有二重特征值．例：则λ1＝λ2＝0，但r(0E－A)＝1，线性无关的特征向量只有一个，所以A不能相似于对角矩阵，故应选(D)．7．设X1，X2，…，X9。