培优专题二：与三角形有关的角

A B C P E A

B C

P O D

C B A 专题2 与三角形有关的角

一、三角形内角和定理：

二、三角形外角的性质：

如图，∠ACD 是△ABC 的外角，

则：①∠ =∠ +∠ ；

或∠ =∠ —∠ ；

或∠ =∠ —∠ 。

② > 或 >

基本图形介绍：

1、对顶三角形：

①如图，AD 、BC 相交于O ，求证：∠A+∠B=∠C+∠D

②如图，AD 、BC 相交于O ，BP 、DP 分别平分∠ABC 、∠ADC ， 求证：∠P=12

（∠A+∠C ） 2、“飞镖”形：

①如图，求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C

②如图，BP 、CP 分别平分∠ABD 、∠ACD ，求证：∠P=

12

（∠A+∠D ） 3、三角形内外角平分线问题： ①如图，△ABC 中，P 是△ACB 的角平分线的交点，求证：∠BPC=90°+

12∠A ②如图，△ABC 中，P 是∠ABC 的角平分线和△ABC 的外角∠ACE 的角平分线的交点。

求证：∠BPC=12

∠A ③如图，△ABC 中，P 是外角∠EBC 与∠BCF 的角平分线的交点。 求证：∠BPC=90°-12

∠A 光的反射问题可转化为角平分线问题：

①由光的反射原理：∠1=∠2

又因为∠1=∠3，所以∠2=∠3，所以MD 平分∠BMC 。

②作法线MN ，则MN 平分∠AMB

4、一角平分线问题：

①在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C>∠B

求证：(1)∠ADC =90°-12

(∠C —∠B)

D C B A E

C E

D C B A

E B A (2)∠ADC=12

(∠ACE+∠B) ②在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC ，求证：∠EAD =12

(∠C —∠B) 拓展：①在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，P 是AD 延长线上一点，过P 作PE ⊥BC ，

求证：∠EPD =12(∠C —∠B) 拓展：②在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，P 是BC 延长线上一点，过P 作PE ⊥AD ，

求证：∠EPD =12

(∠C —∠B) 5、直角三角形斜边上的高的问题： ①如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，求证：∠1=∠A ；∠2=∠B

②如图，△ABC 中，∠BCA=90°，CD ⊥AB ，AF 平分∠BAC 6、翻折问题： 如图，将三角形沿直线DE 翻折使点A 在△ABC 的内部得'

A ，

求证：∠A=12（∠1+∠2） 巩固练习：

1、在△ABC 中，∠A=12∠B=13

∠C ，则此三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形 2、如图，△ABC 中，∠B=∠C ，点D 在AB 上，DE ⊥AC 于E ，EF ⊥BC 于F ，若∠BDE=140°，那么∠DEF 是（ ）

A 、55°

B 、60°

C 、65°

D 、70°

3、如图，△ABC 中，AD 为△ABC 的角平分线，BE 为△ABC 的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）

A 、59°

B 、60°

C 、56°

D 、22°

4、如图，△ABC 中，∠A=θα-，∠B=θ，∠C=θα+，（090αθ<<<）若∠BAC 与∠BCA 的平分线交于P 点，则∠APC 是（ ）

A 、90°

B 、105°

C 、120°

D 、150°

第2题 第3题 第4题 第5题

5、如图，已知E 、F 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，△AEF 沿EF 折叠，并使点A 落在四边形EBCF 内，∠BEG=20°，∠CFG=86°，那么∠A 是（ ）

A 、52°

B 、53°

C 、54°

D 、60°

6、等腰三角形的某个内角的外角是130°，那么这个三角形的三个内角的大小是（ ）

A 、50°，50°，80°

B 、50°，50°，80°或130°，25°，25°

C 、50°，65°，65°

D 、50°，50°，80°或50°，65°，65°

7、已知：△ABC 中，∠A=66°，△ABC 的高BE 、CF 所在直线相交于点G ，则∠BGC=（ ）

度。

A 、123°

B 、66°

C 、114°

D 、66°或114°

8、如图，已知△ABC 中，∠B=∠ACB ，∠BAC 和∠ACB 的角平分线交于D 点，∠ADC=130°，那么∠CAB 是（ ）

A 、80°

B 、50°

C 、40°

D 、20

9、如图，∠A=60°，线段BP 、BE 把∠ABC 三等分，线段CP 、CE 把∠ACB 三等分，那么

∠BPE=（ ）度。

A 、40°

B 、50°

C 、60°

D 、70°

第8题 第9题 第10题 第11题

10、已知∠1 =∠2，∠3 =∠4，∠5 =∠6，∠7 =∠8，

若∠1 =16°，则∠9 =（ ）

A 、64°

B 、80°

C 、96°

D 、112° 11、如图，△ABC 中，AD 是高，A

E 、B

F 是角平分线，BF 交AE 、AD 于

G 、

H ，∠C ＞∠

ABC ，下列结论正确的是（ ）

①∠AGB=90°+12

∠C ②∠C －∠ABC=2∠EAD ③∠BFC+∠AEC=180° ④∠AGB+∠BHD －∠EAD=180°

A 、①②

B 、③④

C 、①②③④

D 、①②④

12、如图，已知∠MAN 为定角，点B 、C 分别是∠MAN 的边AM 、AN 上的动点，2∠DBC=

∠MBC ，∠DCB=12

∠BCN ，则下列四个结论，其中正确的是（ ） ①∠MBD+∠NCD+∠D=180° ②∠MBD+∠NCD+∠A 为定值

③∠A+2∠D 为定值 ④△ABC 的周长为定值

A 、①②

B 、①③

C 、①②③

D 、①②③④

13、△ABC 中，∠B=∠A+10°，∠C=∠A+20°，那么∠A= 度。

14、若三角形的三个外角的比2︰3︰4，则它的三个内角的比为 。

15、在△ABC 中，∠ABC=∠C=2∠A ，BD 是AC 边上的高，BE 平分∠ABC ，

则∠DBE= 度。

16、如图，BE 、CF 分别是∠ABD 、∠ACD 的平分线，BE 与CF 交于G ，若∠BDC=140°，

∠BGC=110°，则∠A= 度。

17、如图，△ABC 中，∠B=66°，∠C=45°，AD 平分∠BAC ，DE 平分∠ADC 交AC 于E ，则∠BDE= 度.

18、如图，∠A=27.5°，∠B=38.5°，∠BFD=95°，则∠E= .

第16题 第17题 第18题

19、如图,C 岛在A 岛的北偏东50°方向,B 岛在A 岛的北偏东80°方向,C 岛在B 岛的北偏

西40°方向，从C 岛看

A 、

B 两岛的视角∠ACB 是多少度？ A

G E F A B G E D H F C A B C N

M 1 3 4 5 6 7 8 9