平面向量基本定理(公开课)

1
e
2
,不共线，
a b
11 22 1 2
则
a且 =b
1
2
e （3）
uur ur 设 1e2 ,
ur ur r
是平面内的一组基底，当 1e12e20
恒有12 0,
6
思 考 1 平 面 内 用 来 表 示 一 个 向 量 的 基 底 有
多 少 组 ?（有无数组）
B
a
e1 O e2
M A
B
a x
5
２.平面向量基本定理的几点说明
r u r
r u r ur
⑴ 若 a 0 ,则 有 且 只 有 120, 使 a1e12e2
r u r ur
若
a
与
e1 (e2 )
共线，则 uur
2
ur
0(1
0), 使 a1e12e2
u u r u u r u u r u u r
eeee e (2)定理的代数表达形式：若
平面向量基本定理
1
一、课前准备：
rr
复习r1:r共线r向量r定理 : （思考：为什么限定 a 0 ？）
向 量 a(a0)与 b共 线 ,当 且 仅 当 有 唯 一 一 个
rr
实 数 ,使 ba.
rr rr
rr
(若 a0,当 b0时 ， 不 唯 一 ； 当 u rbu r 0时 ， 不 存 在 ）
即 a1e12e2
M
A
e1
O
N e2
C向
量 的 分 解
B
4
知识点一 平面向量基本定理
ur
1. 如果 e 1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于这一平面的任意向量 a ,
有且只有
一对实数
存
1, 2 ,使 唯
a 1e1 2e2
在
一
把不共线的向量 基底
u性ur u ur
e 1e 2
叫做表性示这一平面内所有向量的一组
9
例 1.如图梯形ABCD中，AB//CD，AB2CD，
uuur r uuur r
E、F是DC，BA中点， ADa， ABb,
rr
uuur uuur uuur
试以a,b为基底表示DC,BC,EF
DEC
a
A
Fb B
10
知识点二、向r 量的r 夹u角uur 与r垂直: B 两个非零向量 a 和 b ,作OA a， b
u r u r
是 否 都 可 以 用 形 如 1 e 12 e 2 的 向 量 表 示 呢 ?
如：已知 e 1 , e 2 , 是同一平面内的两个
不共线向量，a 是这一平面内的任一向量． ♦ 探究： a 与 e 1 , e 2 , 的关系
e1
a
想
一
e2
想
？
3
学生活动：
e 11
a
e2
OCOMON1OA2OB
(1)AB与AC的夹角；
(2)AB与BC的夹角。
C C'
120 0
60
A
B
12
本节小结
13
再见
14
Oy
M A
7
思 考 2 、 若 基 底 选 取 不 同 ,则 表 示 同 一 向 量
的 实 数 1,2 是 否 相 同 ?
MB
M
B
a
a x
e1
O e2
A
mOy n
A
3
a3e1 2e2
a x4y 2
a3m2n
8
知识小结： (1).基底的选择是不唯一的；
(2).同一向量在选定基底后，1, 2 是唯一存在的 (3).同一向量在选择不同基底时， 1, 2 可能相同也可能不同
复 习 2 :给 定 平 u r面 内 u r 任 意 两 个 向 量 e 1 ,e 2 ,我 们 能
否 作 出 向 量 2 e 1 3 e 2 ?
合向
ur
e e ur uur uur
d2 3
e2
1
2
ur d
成量 的
ur
e1
2
二、新课导学: 问 题 :在 复 习 2 中 ， 请 大 家 想 一 想 ， 平 面 内 的 任 一 向 量
uuur r
叫OB做向b量,则ar 和AbrO的B 夹角．注 是意同起:两点向的O量必a须 A
特别的： r a
r Ob B
r
A
r Bb
a
O
0
rr
180
rr
a 与b 同向
a 与 b 反向
夹角的范围：00,1800
B
r
A
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b
O
r a
A
r r 90 r r
a 与 b 垂直，记作 a b
例2.在等边三角形中，求