0929010003张翠[文献综述]定稿

“浅谈中学生对实数的认知”文献综述

学生姓名：张翠指导教师：冯国

摘要：初中阶段学生第一次接触到实数的概念，同时这也是学习实数的关键时刻，它为以后的数学学习奠定了很重要的基础。本文主要通过对学生进行访谈、测试以及问卷调查的方法得知学生对实数的认知情况。学生对实数认知有偏差的主要原因对实数概念的不理解（实数的概念太过于抽象）、对有理数和无理数分类还不能完全掌握。本文描述了一些关于实数学习过程中的一些方法论，以及教师在教学过程中需要注意的一些问题。

关键词：初中学生实数概念有理数无理数方法论

1研究问题的背景与意义

大约在公元前1000年，埃及人就在阿默斯纸草卷运用了分数。到了公元前5000左右，希腊的数学家们意识到无理数存在的必要性。在公元600年左右印度人又发明了负数。直到公元17世纪实数才在欧洲被广泛接受。在1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义：实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括无限循环小数、有限小数、整数。数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。

2实数的定义

2.1 实数的概念

实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”，如图1所示。

图1

2.2 实数的性质

1)四则运算封闭性。

2)实数集有序性。

3)实数的传递性。

4)实数的阿基米德性。

5)实数的稠密性。

6)实数的连续性。

3初中实数学习与教学情况调查

3.1 实数学习情况调查

第一、搜集初中生实数学习的典型错误。

第二、探索初中生对实数的理解障碍及其成因。主要从以下几个方面进行探讨：

1)小学与初中的衔接问题。

2)小学与初中的衔接问题。

3)现行使用教材的原因。

4)初中生的思维习惯及学习心理。

5)不合理的习题问题。

第三、调查分析初中生对实数的理解状况。具体包括实数的概念、分类、表示、运算、性质、应用等方面的认知情况。并关注不同类别性别差异、年级差异、学校差异。

3.2 实数教学情况调查

1)初中教师实数教学中重难点把握。

2)合理布置作业问题。

3)教材选择问题。

3.3 中学生对实数认知状况的结论

A.从实数的概念方面来看，学生对有理数无理数的概念还是不够清楚，绝对值、相反数以及倒数的概念还是很模糊以至于做题目出错率很高。

B.从实数的分类方面来看，由性质来分的正实数，0，负实数还是很清晰，但是从定义分的有理数无理数还是相对较模糊的，尤其是分数这一块很多学生都很难理解从而错误率很高。

C.从实数的表示方面来看，平方根的符号表示还有将近65%的同学不能够理解。很多同学认识到了实数和数轴上的点存在一一对应的关系而且还能在数轴上表示2，可是8又不能表示了。

D.从实数的运算方面来看，在计算题中去绝对值的错误率很高，很多人还是不能够判断几个无理数之间的大小关系。当然有些更低级的错误就是计算题的运算格式还是出现很多错误。如计算9的平方根这一问题上，很多学生的格式是9=±3。

E.从实数的性质方面来看，在比较几个无理数的大小时很多学生会用计算机求近似值的方法来估算一个无理数的范围，只有很小部分学生会去利用算数平方根它的增减性质。而且对于一个整数他有两个平方根这一点的应用能力方面也存在着很大的不足之处。如9的平方根和3的和是多少，不少学生会直接回答6，惯性思维导致错误频频。

F.从实数的应用方面来看，很多学生能够根据实际问题来抽象出数学的问题而且选择正确的解题方法，但是基本的运算能力还是有很大的提升空间。

3.4 建议

在本次的调查过程中，以我的角度看可以在教学和课程安排上进行这些改进。

3.4.1 教材方面

从历史上看，人类对于数的认识大体上是按照以下的逻辑顺序进行的：N（自然数集）→Z（整数集）→Q（有理数集）→R（实数集）→C（复数集）。中学教学中，为了适应学生的年龄特征和接受能力，关于数系的扩充，主要是渗透近代数学观点，采用添加元素并强

调运算的方法来进行的。其扩充过程是：自然数集（添零）→扩大的自然数集（添正分数）→算术数集（添负有理数）→有理数集（添无理数）→实数集（添虚数）→复数集。

3.4.2教师方面

学生能否进行高效而持久学习的最重要的变量之一就是其是否具备持久而稳定的学习动机。所谓学习动机就是指直接推进学生进行学习的一种内部动力，是激励与指引学生进行学习的一种需要，强烈的动机可以使学生对学习的目标才去积极进取的态度。对于教育工作者说来，最重要的动机是成就动机，即学生趋于努力获得成功、达到理想的目的倾向。教师在授课过程中应该让学生明白学生知识不是通过教师简单的讲授获得的，而是学生在一定的学习情境下，借助他人的帮助利用必要的学习资料，通过意义建构的方式获得的。

3.4.3学生方面

初中生学习实数最困难的方面就是对实数概念、性质的理解。例如什么是实数、实数的分类、什么是有理数什么是无理数等。如果这些基本的知识点都不能如鱼得水，那么应对实数的题目时更是难于上青天。学生学习实数时通常缺乏兴趣，比如学习中有了困难时就停滞不前，看书不懂，概念无法透彻理解，答题又不会。数学知识都是环环相扣的，前面的扣子松了，后面的想连上也是很困难的事情，导致后面的学习也有欠缺，欠缺补不上，久而久之意志力不坚定的同学对实数就只有一个模模糊糊的认识，甚至会产生畏惧感。

参考文献

[1] 林崇德.基础教育改革心理学研究【J】.教育研究,2009,.04:61-66.

[2] 蒙虎.实数系统的历史反思【J】.自然辩证法通讯,2007,06:78-82.

[3] 刘四俊.实数概念教学的几点体会【J】.中学数学杂志(初中),2004,10.

[4] 杨文.浅谈实数的概念【J】.中学生数学,2010,12.

[5] 杨秀娟.初中生对无理数概念的理解【M】.华东师范大学,2007.

[6] 贾哲三.初中生实数理解状况的研究【C】.东北师范大学,2009.

[7] 马志明.教与学课程同步讲练【M】.北京教育出版社,2012:58-64.

[8] 林群.义务教育课程标准实验教科书数学【M】.人民教育出版社,2009:68-90.

[9] Pugh.Charles Chapman, pi.you. Real mathemtical analysis【M】.2009:1-24.

[10] Henry Gleitman, James Gross and Daniel Reisberg. Psychology (Eighth Edition)【J】.W. W. Norton & Comp any ,2010.