概率论与数理统计第四版课件

S2：{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT} S3：{0，1，2，3} S4：{1，2，3，4，5，6 } S5：{0，1,2,3，…} S6：{t|t≥0} S7：{(x,y)|T0 x y T1 }
随机事件
称样本空间 S 的子集叫做随机试验E的随机 事件，简称事件
258
0.516
262
0.524
247
0.494
实验者 德摩根
蒲丰 K﹒皮尔逊 K﹒皮尔逊
n 2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
f n (H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
概率
设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋予 一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P(·)满 足下列条件：
例2、考虑“抛硬币”这个试验，我们将一枚硬币抛掷5 次、50次、500次，各做10遍。得到数据如表所示
（其中nH表示H发生的频数，fn (H)表示H发生的频率）。
实验序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n=5
nH
f n (H)
2
0.4
3
0.6
1
0.2
51.01Fra bibliotek0.2
2
0.4
4
0.8
2
0.4
P(A1 A2 A3)
n
n
n
P(Ai ) - P(AiA j)
P(AiA jAk ) (-1)n-1 P(A1A2 An )
i1
1i jn
1i jkn
作业： P25 2、3
频率
在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中， 事件A发生的次数 n A称为事件A发生的频数。比值nA/A称为 事件A发生的频率，并记成 fn (A) 。
它具有下述性质: 1 0 f n ( A) 1 ;
2 f n (S) 1;
3 若A1, A2,, Ak 是两两互不相容事件,则
f n ( A1 A2 Ak) f n ( A1) f n ( A2) f n ( Ak)
随机试验
这些试验具有以下特点： •1、可以在相同的条件下重复进行； •2、每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明 确试验的所有可能结果； •3、进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
样本空间
将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间，记为S。
样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本 点。
P( A B) P( A) P(B) P( AB)
将性质6推广到三个事件的情况：
P(A1 A2 A3) P(A1) P(A2 ) P(A3 ) - P(A1A2 ) - P(A1A3 ) - P(A2A3) P(A1A2A3 )
将性质6推广到n个事件的情况：
对于任意n个事件A1，A2，，An ，得
基本事件 : 由一个样本点组成的单点集； 必然事件 : 样本空间 S 本身； 不可能事件 : 空集。
当且仅当随机事件所包含的一个样本点在试验中 出现时，称这一事件发生。
事件间的关系
1、包含关系
若A B，称事件B包含事件A，也就是说事件A发生必然导致 事件B发生。
AB S
若AB且AB，则称事件A与B相等，记作A＝B。
A B S
基本事件是两两互不相容的。
6、对立事件
若A∪B=S且A∩B＝，则称事件A，B互为逆事件。这指的是 对每次试验而言，事件A，B中必有一个发生且仅有一个发生。
A S
B A
事件的运算
交换律: 结合律: 分配律: 德摩根律:
A B B A, A B B A
A B C A B C A B C A B C
P(A1 A2 An ) P(A1) P(A2 ) P(An )
性质3 设Ａ、B是两个事件，若 A B,则有 P(B A) P(B) P( A) P(B) P( A)
性质4 对于任意事件A，
P( A) 1
性质5 对于任意事件A，
P( A) 1 P( A)
性质6
对任意两个事件A、B，有
1°非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0； 2°规范性：对于必然事件S，有P(S)=1； 3°可列可加性：设 A1，A 2 是两两互不相容的事件，即对于 A i A j , i j, i, j 1,2,，有
P(A1 A2 ) P(A1 ) P(A2 )
性质1 P( ) 0
性质2 若 A1，A2，，An 是两两互不相容的事件，则有
3
0.6
3
0.6
n=50
nH
f n (H)
22
0.44
25
0.50
21
0.42
25
0.50
24
0.48
21
0.42
18
0.36
24
0.48
27
0.54
31
0.62
n=500
nH
f n (H)
251
0.502
249
0.498
256
0.512
253
0.506
251
0.502
246
0.492
244
0.488
A B C A B A C A B C A B A C
A B A B
AB A B
Ai
例1、一个工人生产了四个零件，以 Ai表示事件“他生产 的第i个零件是合格品”，i＝1，2，3，4。试用 Ai表 示下列各事件：
（1）没有一个零件是不合格品； （2）至少有一个零件是不合格品； （3）恰有一个零件是不合格品； （4）至少有三个零件是合格品； （5）合格品不多于一个。
概率论与数理统计
第一章 概率论的基本概念
§1 随机试验 §2 样本空间、随机事件 §3 频率与概率 §4 等可能概型（古典概率） §5 条件概率 §6 独立性
第一讲
§1 随机试验 §2 样本空间、随机事件 §3 频率与概率
身边的概率问题
7:00广播中的降水概 率
反恐精英对战中的AK47突击步枪和AWP狙击 步枪的命中率
A
B
S
n个事件A1
，A2
，…，An的积表示为
n Ai
i 1
可列个事件A1 ，A2 ，…，An ，… 的积表示为 Ai
i 1
4、差事件
事件A-B称为事件A与事件B的差事件。当且仅当A发生，B不 发生时，事件A-B发生。
A
B
S
由图可以看出，A-B=A（A∪B）
5、互不相容
若A∩B＝，则称事件A，B是互不相容的，或互斥的。这指 的是事件A，B不能同时发生。
E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T （Tails）出现的情况。
S1：{H，T} 样本点为H，T
E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情 况。
E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。 E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。 E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。
2、和事件
事件A∪B={x|x∈A或x∈B}称事件A与事件B的和事件。当且仅 当A，B中至少有一个发生时，事件A∪B发生。
A
B
S
n个事件A1
，A2
，…，An的和表示为
n
i 1
Ai
可列个事件A1
，A2
，…，An
，…
的和表示为
Ai
i 1
3、积事件
事件A∩B={x|x∈A且x∈B}称为事件A与事件B的积事件。当 且仅当A，B同时发生时，事件A∩B发生。A∩B也记作AB。
确定性现象：“上抛石子必然下落”
随机现象：具有统计规律性的现象，例如“降 水概率”和“枪的命中率”
概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象的 一门数学学科。
E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T （Tails）出现的情况。
E2：将一枚硬币抛掷三次,观察正面、反面出现 的情况。
E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。 E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。 E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。