等差数列_PPT课件
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4.2.1等差数列的概念 课件(共13张PPT)(2024)高二下学期数学人教A版选择性必修第二册
a, A, b 成等差数列
等差数列填空：
12，
，
，
，
0
探究新知
三.等差数列的通项公式
如果一个数列a1, a2, … , an, …是等差数列,它的公差是d, 那么
a2-a1=d
a2=a1+d
a3-a2=d
不
累
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d
完
a4-a3=d
加
…
…
全
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d
[练习1]等差数列{an }中, 若a1 5, 公差d 3, 则a11 ___ .
析 : a11 a1 10 d 5 10 3 35
[变式]等差数列{an }中, 若a4 14 , 公差d 3, 则a11 ___ .
析 : a4 a1 3d a1 9 14, a1 5.
不是
（6）, , , , …
不是
公差可为正、可为负也可为0
说明：判断数列是不是等差数列,
运用定义：看+ − 是否为
同一个常数.
探究新知
二.等差中项的定义
在如下的两个数之间, 插入一个数使这三个数成为一个等差数列:
(1) 2, ( 3 ), 4
(2) -1, ( 2 ), 5
新课导入
【情景2】 XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装
对应的尺码分别是： 34，36，38，40，42，44，46，48
新课导入
【情景3】 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得
《等差数列的概念》课件
。
等差数列在实际问题中的应用
物理学中的周期问题
在物理学中，很多周期性问题可以用等差数 列来表示和解决。例如，摆动问题、振动问 题、波动问题等。
统计学中的数据分组
在统计学中，数据分组是常见的数据处理方 法。而等差数列可以用来表示数据的组距和 分组范围。例如，将一组数据分成若干组， 每组的组距相等，就可以用等差数列来表示 各组的范围。
题目二
等差数列的通项公式是什么？ 如何推导？
题目三
等差数列的前n项和公式是什 么？如何推导？
题目四
等差数列的性质有哪些？请举 例说明。
习题答案与解析
答案一
等差数列是指每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列。例如：1, 4, 7, 10, 13...，其 中每一项与前一项的差为3。
解析一
通过举例说明等差数列的定义，帮助学生理解等差数列的基本概念。
总结词：严谨规范
详细描述：等差数列的一般形式是 a_n=a_1+(n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公 差，n 是项数。
等差数列的图像表示
总结词：直观形象
详细描述：等差数列的图像是一条直线，任意两个相邻的点在这条直线上等距。首项 a_1 是图像在 y 轴上的截距，公差 d 控 制着直线的斜率。
答案二
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项 数。推导过程如下：$a_n=a_1+(n-1)d=a_1+a_2+(n-2)d=...=a_1+a_2+...+a_{n1}+nd=S_n+nd$，其中$S_n$为前n项和。
习题答案与解析
等差数列在实际问题中的应用
物理学中的周期问题
在物理学中，很多周期性问题可以用等差数 列来表示和解决。例如，摆动问题、振动问 题、波动问题等。
统计学中的数据分组
在统计学中，数据分组是常见的数据处理方 法。而等差数列可以用来表示数据的组距和 分组范围。例如，将一组数据分成若干组， 每组的组距相等，就可以用等差数列来表示 各组的范围。
题目二
等差数列的通项公式是什么？ 如何推导？
题目三
等差数列的前n项和公式是什 么？如何推导？
题目四
等差数列的性质有哪些？请举 例说明。
习题答案与解析
答案一
等差数列是指每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列。例如：1, 4, 7, 10, 13...，其 中每一项与前一项的差为3。
解析一
通过举例说明等差数列的定义，帮助学生理解等差数列的基本概念。
总结词：严谨规范
详细描述：等差数列的一般形式是 a_n=a_1+(n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公 差，n 是项数。
等差数列的图像表示
总结词：直观形象
详细描述：等差数列的图像是一条直线，任意两个相邻的点在这条直线上等距。首项 a_1 是图像在 y 轴上的截距，公差 d 控 制着直线的斜率。
答案二
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项 数。推导过程如下：$a_n=a_1+(n-1)d=a_1+a_2+(n-2)d=...=a_1+a_2+...+a_{n1}+nd=S_n+nd$，其中$S_n$为前n项和。
习题答案与解析
等差数列的概念公开课ppt课件
个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推 公式。
(1)第23到第29届奥运会举行的年份依次为 1984,1988,1992,1996,2000,2004,2008
(2)已知数列{an} ，其中 a1 =15， an = an-1 －2，n≥2， 写出这个数列的前六项。
15 13 11 9 7 5 (3)所有正偶数排成一列组成的数列
本节课主要学习： 一个定义：an an1 d, n 2, n N (d是常数)
一个公式：an a1 (n 1)d
一种思想：方程思想．
d 64
(2) 15，13，11，9，7，5 (3) 2, 4, 6, 8, 10， ……
a8=？ a1d00=2？我
们该如何求解 呢？d 2
(4) 1, 1, 1, 1, 1, ……
d 0
公差为0的数列
叫做常数列
公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差， 防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数， 负数，也可以为0 .
复习回顾
数列的定义，通项公式，递推公式
按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。
如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项 an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一
已知一个等差数列{an}的首项是a1， 公差是d，如何求出它的任意项an呢？
根据等差数列的定义填空
a2 ＝a1＋d，
a3 ＝ a2 ＋d ＝（ a1 + d ） ＋d ＝a1 ＋ 2 d，
a4 ＝ a3 ＋d ＝（ a1 + 2 d ） ＋d ＝a1 ＋ 3 d ， ……
(1)第23到第29届奥运会举行的年份依次为 1984,1988,1992,1996,2000,2004,2008
(2)已知数列{an} ，其中 a1 =15， an = an-1 －2，n≥2， 写出这个数列的前六项。
15 13 11 9 7 5 (3)所有正偶数排成一列组成的数列
本节课主要学习： 一个定义：an an1 d, n 2, n N (d是常数)
一个公式：an a1 (n 1)d
一种思想：方程思想．
d 64
(2) 15，13，11，9，7，5 (3) 2, 4, 6, 8, 10， ……
a8=？ a1d00=2？我
们该如何求解 呢？d 2
(4) 1, 1, 1, 1, 1, ……
d 0
公差为0的数列
叫做常数列
公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差， 防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数， 负数，也可以为0 .
复习回顾
数列的定义，通项公式，递推公式
按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。
如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项 an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一
已知一个等差数列{an}的首项是a1， 公差是d，如何求出它的任意项an呢？
根据等差数列的定义填空
a2 ＝a1＋d，
a3 ＝ a2 ＋d ＝（ a1 + d ） ＋d ＝a1 ＋ 2 d，
a4 ＝ a3 ＋d ＝（ a1 + 2 d ） ＋d ＝a1 ＋ 3 d ， ……
等差数列课件ppt课件
等差数列课件 ppt
contents
目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
contents
目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
4.2.1等差数列的概念PPT课件(人教版)
an a1 (n 1)d
结论：等差数列的通项公式的一般情势：an＝am＋(n－m)d
练习
求下列等差数列的通项公式
（1）9,18,27,36,45,54,63,72...
(1)an=9+(n－1)×9=9n
（2）38,40,42,44,46,48...
(2)an=38+(n－1)×2=2n+36
ab
叫做a与b的等差中项。即 A
2
这个式子叫做这个数列的递推公式.
引入
请看下面几个问题中的数列.
1.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，
环绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依
次为
9,18,27,36,45,54,63,72,81.①
2.S,M,L,XL,XXL,L型号的女装上衣对应的尺码分别是
38,40,42,44,46,48.②
求an 的公差和首项；(2)求等差数列 8,5, 2, 的第20项.
解: (1)当n 2时,由an 5 2n, 得
an1 5 2(n 1) 7 2n.
于是, d an an1 (5 2n) (7 2n) 2.
当n 1时, a1 5 2 3.
练习
判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差
(1) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10
×
(2) 3，3，3，3，3，3
a1=3,公差 d=0 常数列
(3) 3x，6x，9x，12x，15x
a1=3x 公差 d= 3x
(4)95，82，69，56，43，30
a1=95 公差 d=－3
等差数列ppt课件
等差数列的表示方法
通项公式
an = a1 + (n-1)d，其中an是第n项 ，a1是首项，d是公差。
前n项和公式
Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中Sn 是前n项和，a1是首项，d是公差。
等差数列的性质
01
02
03
公差性质
公差d是任意两个相邻项 的差，即an - a(n-1) = d 。
04
等差数列的应用
在数学中的应用
基础概念理解
等差数列是数学中的基础 概念，对于理解数列、函 数等其他数学概念有着重 要作用。
数学运算
等差数列的特性使其在数 学运算中有着广泛的应用 ，例如求和、求差等。
解决数学问题
等差数列可以用来解决一 些复杂的数学问题，例如 求解方程、不等式等。
在物理中的应用
综合练习题
题目：已知一个等差数列的前4项 和为40，前8项和为64，求这个 等差数列的前12项和。
答案：88
解析：根据等差数列的求和公式 ，得到前4项和$S_4 = frac{4}{2} times (2a_1 + (4-1)d) = 40$， 前8项和$S_8 = frac{8}{2} times (2a_1 + (8-1)d) = 64$。解这个 方程组得到首项$a_1=13$，公差 $d=-2$。然后根据等差数列的求 和公式，得到前12项和$S_{12} = frac{12}{2} times (2 times 13 + (12-1) times (-2)) = 88$。
等差数列在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，如计算 存款利息、解决几何问题等。
公式中的参数意义
01
02
等差数列公式ppt课件
下节课预告
• 下节课我们将学习等差数列在实际生活中的应用，以及如何利 用等差数列解决实际问题。同时，我们还将学习等差数列的性 质，进一步加深对等差数列的理解。
感谢观看
THANKS
一般形式
等差数列的通项公式可以 表示为an=kn+b，其中k 和b是常数，n是项数。
特殊形式
当k=0时，等差数列变为 常数列；当b=0时，等差 数列变为等差序列。
扩展形式
通过变换通项公式，我们 可以得到其他形式的等差 数列。
等差数列通项公式的应用
数学问题求解
数学建模
利用通项公式可以求解等差数列中的 未知数。
日常计数
在日常生活中，我们经常使用等差 数列来计数物品，例如按顺序排列 的电话号码、门牌号等。
等差数列在数学领域中的应用
数学分析
在数学分析中，等差数列是研究 函数和级数的重要工具，可以用
于证明一些数学定理和性质。
几何学
在几何学中，等差数列可以用于 计算一些几何形状的周长、面积
和体积等。
组合数学
在组合数学中，等差数列可以用 于计算组合数的公式和性质。
通过建立数学模型，我们可以利用通 项公式解决实际问题。
实际应用
等差数列在日常生活和科学研究中有 着广泛的应用，例如在统计学、物理 学等领域。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
01
通过对等差数列的性质进行归纳 和演绎，利用倒序相加法推导出 等差数列的求和公式。
02
倒序相加法的原理是将等差数列 的前n项和与后n项和相加，再除 以2得到n项和的公式。
等差数列求和公式还可以用于解决一 些实际问题，例如计算存款的本金和 利息、计算工资等。
数列等差数列等差数列的概念及通项公式ppt
简单明了
数列等差数列的通项公式形式 简洁，易于理解和记忆。
普适性
通项公式可以应用于任何等差 数列，具有广泛的适用性。
重要性
通项公式是解决等差数列问题 的基础和关键，对于理解等差 数列的性质和求解相关问题具
有重要的意义。
03
数列等差数列的求和公式
数列等差数列求和公式的推导
公式推导
利用等差数列的概念和通项公式，推导出等差数列的求和公 式。
声学中的等差数列
在声学中，等差数列被广泛应用于解决一些与声音的频率、 振幅等有关的问题。例如，在研究乐器的声音时，常常需要 使用等差数列来描述音高、音强等物理量随时间的变化规律 。
数列等差数列在计算机科学中的应用
数据结构中的等差数列
在计算机科学中，等差数列被广泛应用于解决一些与数据结构、算法有关的 问题。例如，在解决一些与数组操作、链表操作有关的问题时，常常需要使 用等差数列来描述问题的规律。
密码学中的等差数列
在密码学中，等差数列被广泛应用于解决一些与加密、解密有关的问题。例 如，在一些简单的加密算法中，常常需要使用等差数列来生成密钥、加密和 解密数据。
05
数列等差数列的拓展知识
数列等差数列与等比数列的关系
1
数列等差数列与等比数列是两种常见的数列类 型，具有重要的数学意义和应用价值。
2023
数列等差数列等差数列的 概念及通项公式ppt
目录
• 数列等差数列的概念 • 数列等差数列的通项公式 • 数列等差数列的求和公式 • 数列等差数列的应用实例 • 数列等差数列的拓展知识
01
数列等差数列的概念
数列等差数列的定义
等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同 一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数 列的公差。
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人教A版高中数学必修5第二章
2.2.1 等差数列 （1）
复习回顾
1.数列的定义：
按一定次序排列的一列数。
2.数列的通项公式：
数列an 的第
数关系式，即 an
n
f
项
(n)
an
(n
与项数n 之间的函
N*) 。
引例1
研究发现我国儿童年龄在2-12周岁 之间，其标准的身高、体重大致成 规律性变化：相差7
an am (n m)d .
（这是等差数列通项公式的推广形式 ）
等差数列的通项公式
an=a1+(n-1)d（n∈N*）
推广
an=am +(n-m)d(n,m∈N*)
当 m n 时，d an am . nm
例2、在等差数列an中，已知
a5 10，a12 31，求首项a1与公差d及a19 . 解2： d a12 a5 31 10 3 .
1 3
∴a13 a1 (13 1)d 1 (13 1) 3 37 .
练习3
已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19,求 a13
解2： d a7 a4 19 10 3 . 74 74
a13 a4 (13 4)d 10+9 3 37 .
课时小结 1.等差数列的定义：
an+1-an=d(n≥1); 2.等差数列的通项公式
相差4
（3）1896，1900，1904，…，2008，2012，（2016 ）
你能预测出第31届 奥运会的时间吗？
1.等差数列
d=7
(1) 84，91，98，105，112，…，14d7=2，
(2) 12，14，16，1185，4.20，…，30，d=4
(3) 1996，2000，32004，2008，2012，
解得：a1 2 ，d 3 ，
a19 2 (19 1) 3 52 .
说明：由此可以看到：已知等差数列的两项就 可以确定这个数列.
探究：已知等差数列{an}中，公差为d，则 an 与 am (n , m ∈ N*) 有什么关系？
解：由等差数列的通项公式知
an a1 (n 1)d ，① am a1 (m 1)d ，② ①－② an am (n m)d ，
3n 11
a20 3 20 11 49.
说明：
这道题是在等差数列通项公式的四个量中，知
道 公式a中1 ，的d
，n ，求 an 。体现了等差数列通项
“知三求一”方程思想。
例1. ⑵ -401是不是等差数列 -5，-9，-13… 的项？ 如果是，是第几项？
解：⑵∵ a1 5, d 9 (5) 4,
2016
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的
请前共一同问项特：点的它：差从都们等第有于2什项同起么一，个共常每同数一特，项点那么？这个数列
就与叫它做的等前差一数项列的. 差等于同一个 这表常个示数常. 。数叫做等差数列的公差，公差通常用 d
即an+1 an d(n 1)
练习1
判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？ 如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理 由。
2.等差数列的通项公式
an a1 (n 1)d.
在等差数列通项公式中，有四个量，
a1 ，d ，n ，an ，
知道其中的任意三个量，就可以求 出另一个量，即知三求一 .
例1. ⑴ 求等差数列 8，5，2，…的第20项。
解：⑴ ∵ a1 8 ，d 5 8 3,
an a1 (n 1)d 8 (n 1) (3)
a4 15,a7 27, a10 39
2. -20是不是等差数列0，- 7 ，-7…中的项； 2
20
0
(n
1)
7 2
n
47 7
N
*(舍去)
例2、在等差数列an中，已知
a5 10，a12 31，求首项a1与公差d及a19 .
解：由等差数列通项公式 得：
{a1 4d 10
aan1=1a11+d(n3-11)d
说 明：由定义 an+1 an d 知 当 d = 0 时，an+1 =an 数列是常数列；
当 d > 0 时，an+1 an 数列是递增数列；
当 d < 0 时，an+1 an 数列是递减数列.
请试着找规律填空： 8，5，2，-1 ，（ -4 ） ，（ -7 ） ，……
思 考：在这个数 列中a20=？
an 5 4(n 1) 4n 1
令 401 4n 1 解得：n 100 .
即 -401是数列的第100项。
说明：判断一个数是否为数列的项，只须令通 项公式等于这个数，得到关于n的方程。若方 程有正整数解，则它就是，否则不是。
练习2
an a1 (n 1)d
1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；
an=a1+(n-1)d( n≥1) . 3.等差数列的通项公式的推广
an=am+(n-m)d
4.当 m n 时，d an am . nm
课后作业
1.教材第40页 习题2.2 A组 1，4
2.思考： 某出租车的计价标准为1.2元/km,起步价
为10元，即最初的4km(不含4千米)计费10 元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0， 需要支付多少车费？
an a1 (n 1)d
不完全归纳
由此得到：an a1 (n 1)d.（通项公式）
分析2：根据等差数列的定义：
a2 a1 d
（1）
a3 a2 d
（2）
a3 d
an an1 d
（3） （n 1）
将上面 n 1 个等式相加得：
an a1 (n 1)d
累加法
由此得到：an a1 (n 1)d.（通项公式）
年龄 2 3 4 5 6 … 11 12
身高 84 91 98 105 112 … 147 154
（cm）
体重 12 14 16 18 20 … 30 32
（kg）
相差2
你能预测12岁儿童 的身高和体重吗？
（1）84，91，98，105，112，…，147， 154.
引例2 1896年，雅典举行第一届现代奥运 会，到2008年的北京奥运会已经是 第29届奥运会。
（1）1，3，5，7… 是 a1=1,d=2
（2）9，6，3，0，-3… 是 a1=9,d=-3 （3）-8，-6，-4，-2，0… 是 a1=-8,d=2
（4）3，3，3，3…
是 a1=3,d=0
(5)1,
1 2
,
13说主, 14明要,：是15判由,K断定一义个进数行不列判是是断不：是等差数列，
（6）15，12，1看0，a8n，+1-6a…n是不是不同是一个常数。
问题：如果已知一个等差数列的首项是 a1 ，
公差是 d ，那么这个数列的通项an 能求出吗？ 分析1：根据等差数列的定义：
a2 a1 d , a3 a2 d , a4 a3 d ,
所以 a2 a1 d ,
a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d ,
a4 a3 d (a1 2d ) d a1 3d ,
12 5 12 5
a1 a5 (1 5)d 10 4 3 2 .
a19 a12 (19 12)d 31 (19 12) 3 52 .
练习3
已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19,求 a13
解1：依题意得：aa11
3d 6d
10 19
解之得：
a1 d
2.2.1 等差数列 （1）
复习回顾
1.数列的定义：
按一定次序排列的一列数。
2.数列的通项公式：
数列an 的第
数关系式，即 an
n
f
项
(n)
an
(n
与项数n 之间的函
N*) 。
引例1
研究发现我国儿童年龄在2-12周岁 之间，其标准的身高、体重大致成 规律性变化：相差7
an am (n m)d .
（这是等差数列通项公式的推广形式 ）
等差数列的通项公式
an=a1+(n-1)d（n∈N*）
推广
an=am +(n-m)d(n,m∈N*)
当 m n 时，d an am . nm
例2、在等差数列an中，已知
a5 10，a12 31，求首项a1与公差d及a19 . 解2： d a12 a5 31 10 3 .
1 3
∴a13 a1 (13 1)d 1 (13 1) 3 37 .
练习3
已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19,求 a13
解2： d a7 a4 19 10 3 . 74 74
a13 a4 (13 4)d 10+9 3 37 .
课时小结 1.等差数列的定义：
an+1-an=d(n≥1); 2.等差数列的通项公式
相差4
（3）1896，1900，1904，…，2008，2012，（2016 ）
你能预测出第31届 奥运会的时间吗？
1.等差数列
d=7
(1) 84，91，98，105，112，…，14d7=2，
(2) 12，14，16，1185，4.20，…，30，d=4
(3) 1996，2000，32004，2008，2012，
解得：a1 2 ，d 3 ，
a19 2 (19 1) 3 52 .
说明：由此可以看到：已知等差数列的两项就 可以确定这个数列.
探究：已知等差数列{an}中，公差为d，则 an 与 am (n , m ∈ N*) 有什么关系？
解：由等差数列的通项公式知
an a1 (n 1)d ，① am a1 (m 1)d ，② ①－② an am (n m)d ，
3n 11
a20 3 20 11 49.
说明：
这道题是在等差数列通项公式的四个量中，知
道 公式a中1 ，的d
，n ，求 an 。体现了等差数列通项
“知三求一”方程思想。
例1. ⑵ -401是不是等差数列 -5，-9，-13… 的项？ 如果是，是第几项？
解：⑵∵ a1 5, d 9 (5) 4,
2016
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的
请前共一同问项特：点的它：差从都们等第有于2什项同起么一，个共常每同数一特，项点那么？这个数列
就与叫它做的等前差一数项列的. 差等于同一个 这表常个示数常. 。数叫做等差数列的公差，公差通常用 d
即an+1 an d(n 1)
练习1
判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？ 如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理 由。
2.等差数列的通项公式
an a1 (n 1)d.
在等差数列通项公式中，有四个量，
a1 ，d ，n ，an ，
知道其中的任意三个量，就可以求 出另一个量，即知三求一 .
例1. ⑴ 求等差数列 8，5，2，…的第20项。
解：⑴ ∵ a1 8 ，d 5 8 3,
an a1 (n 1)d 8 (n 1) (3)
a4 15,a7 27, a10 39
2. -20是不是等差数列0，- 7 ，-7…中的项； 2
20
0
(n
1)
7 2
n
47 7
N
*(舍去)
例2、在等差数列an中，已知
a5 10，a12 31，求首项a1与公差d及a19 .
解：由等差数列通项公式 得：
{a1 4d 10
aan1=1a11+d(n3-11)d
说 明：由定义 an+1 an d 知 当 d = 0 时，an+1 =an 数列是常数列；
当 d > 0 时，an+1 an 数列是递增数列；
当 d < 0 时，an+1 an 数列是递减数列.
请试着找规律填空： 8，5，2，-1 ，（ -4 ） ，（ -7 ） ，……
思 考：在这个数 列中a20=？
an 5 4(n 1) 4n 1
令 401 4n 1 解得：n 100 .
即 -401是数列的第100项。
说明：判断一个数是否为数列的项，只须令通 项公式等于这个数，得到关于n的方程。若方 程有正整数解，则它就是，否则不是。
练习2
an a1 (n 1)d
1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；
an=a1+(n-1)d( n≥1) . 3.等差数列的通项公式的推广
an=am+(n-m)d
4.当 m n 时，d an am . nm
课后作业
1.教材第40页 习题2.2 A组 1，4
2.思考： 某出租车的计价标准为1.2元/km,起步价
为10元，即最初的4km(不含4千米)计费10 元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0， 需要支付多少车费？
an a1 (n 1)d
不完全归纳
由此得到：an a1 (n 1)d.（通项公式）
分析2：根据等差数列的定义：
a2 a1 d
（1）
a3 a2 d
（2）
a3 d
an an1 d
（3） （n 1）
将上面 n 1 个等式相加得：
an a1 (n 1)d
累加法
由此得到：an a1 (n 1)d.（通项公式）
年龄 2 3 4 5 6 … 11 12
身高 84 91 98 105 112 … 147 154
（cm）
体重 12 14 16 18 20 … 30 32
（kg）
相差2
你能预测12岁儿童 的身高和体重吗？
（1）84，91，98，105，112，…，147， 154.
引例2 1896年，雅典举行第一届现代奥运 会，到2008年的北京奥运会已经是 第29届奥运会。
（1）1，3，5，7… 是 a1=1,d=2
（2）9，6，3，0，-3… 是 a1=9,d=-3 （3）-8，-6，-4，-2，0… 是 a1=-8,d=2
（4）3，3，3，3…
是 a1=3,d=0
(5)1,
1 2
,
13说主, 14明要,：是15判由,K断定一义个进数行不列判是是断不：是等差数列，
（6）15，12，1看0，a8n，+1-6a…n是不是不同是一个常数。
问题：如果已知一个等差数列的首项是 a1 ，
公差是 d ，那么这个数列的通项an 能求出吗？ 分析1：根据等差数列的定义：
a2 a1 d , a3 a2 d , a4 a3 d ,
所以 a2 a1 d ,
a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d ,
a4 a3 d (a1 2d ) d a1 3d ,
12 5 12 5
a1 a5 (1 5)d 10 4 3 2 .
a19 a12 (19 12)d 31 (19 12) 3 52 .
练习3
已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19,求 a13
解1：依题意得：aa11
3d 6d
10 19
解之得：
a1 d