二次曲面

x2 a2

y2 b2

1
母线平行于 z 轴
抛物柱面 x2 a y
母线平行于 z 轴
小结: 常见的二次曲面的方程及其图形
（1）球面 x2 y2 z2 a2
（2）椭球面
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1
（3）双曲面
单叶双曲面 双叶双曲面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1
（4）抛物面 （5）柱面
椭圆抛物面
x2 a2

y2 b2

z
双曲抛物面（马鞍面）
x2 a2

y2 b2

z
椭圆柱面
x2 a2

y2 b2

1
双曲柱面
x2 a2

y2 b2

1
抛物柱面 x2 a y
圆柱面 x2 y2 a2
第七章作业 第八节：二次曲面 习题78: 2(1, 4)
（三）双曲面
（1）单叶双曲面
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1
可由旋转单叶双曲面伸缩变形得到
（2）双叶双曲面
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1
可由旋转双叶双曲 面伸缩变形得到
（四）椭圆锥面
x2 a2

y2 b2

z2
又称二次锥面
圆锥面方程： x2 y2 a2z2 , a tan
y2 b2

z
由
xoy
面上的抛物线：
x2 a2

z
绕
z
轴旋转，得一旋转抛物面： x2 a2
y2

z
再将其沿 y 轴方向伸缩 b倍： y a y,
a
b
即得椭圆抛物面： x 2 a2

y2 b2

z
（2）双曲抛物面（马鞍面）
x2 a2

y2 b2

z
其图形不可由旋转曲面伸缩变形而来
可用截痕法讨论其图形的形状。
F(x, y) 0

结论2：将平面曲线C ：F ( x , y ) = 0 沿 x 轴方向伸缩
倍而得到平面曲线C´ ， 则 C´ 的平面方程为：
F( x , y) 0

结论3：将空间曲面C ：F ( x , y , z ) = 0 沿 y 轴方向伸
缩 倍而得到空间曲面C´ ， 则 C´ 的方程为：
第八节 二次曲面
二次曲面：若三元二次方程 F ( x , y , z ) = 0所 对应的空间曲面。
一次曲面：相应地三元一次方程 A x +B y + C z +D = 0 所表示的平面。
两种常用方法（了解空间曲面形状）：
（1）截痕法
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．


0C
x
C C : F(x, y) 0

结论1：将平面曲线 C ：F ( x , y ) = 0 沿 y 轴方向伸缩
倍而得到平面曲线 C´ ， 则 C´ 的平面方程为：
F(x, y) 0

结论1：将平面曲线 C ：F ( x , y ) = 0 沿 y 轴方向伸缩
倍而得到平面曲线C´ ， 则 C´ 的平面方程为：
（2）伸缩变形法 平面图形的伸缩变形法 C : F(x, y) 0
N ( x,
y)
y
N(x, y)

M ( x0 , y0 )
M ( x0 , y0 )
图形 C´ 由图形 C 沿 y 轴
方向伸缩 倍而得到。
问题1：如何确定C´ 的方程？
N(x, y )C, F(x, y) 0

1,
（2）再将其沿 z 轴方向伸缩 c 倍：z b z,
b
c
即得
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
当 a = b = c 时，椭球面即为球面： x2 y2 z2 a2
椭球面也可由下面方法伸缩变形而来
（1）将球面 x2 y2 z2 a2
沿 z 轴方向伸缩 c 倍：z a z, 得旋转椭球面：
F(x, y , z) 0

下面用上述两种方法研究一些特殊二次曲面的形状
（一）椭球面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
（1）将 xoy 面上的椭圆
x2 a2

y2 b2
1
绕 x 轴旋转，所得旋转曲面称为旋转椭球面，其方程为
x2 a2

y2 z2 b2

1,
x2 a2

y2 b2

z2 b2
a
c
x2

y2

a2 c2
z2

a2,
或
x2 a2
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y2

z2 c2

1
（2）再将旋转椭球面沿 y 轴方向伸缩 b 倍： y a y,
a
b
即得椭球面：
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1
所以，球面是旋转椭球面的特殊情形，而后者又是椭 球面的特殊情形。
（二）抛物面
（1）椭圆抛物面
x2 a2

将其在 y 轴方向上伸缩 b 倍后的图形，其方程为 a
x2 (a y)2 a2z2, b
x2 a2

y2 b2

z2,
即椭圆锥面的图形是由圆锥面 C：x2 y2 a2z2 ,
在 y 轴方向上伸缩 b 倍后而得到的 a
（五）柱面
椭圆柱面
x2 a2

y2 b2

1
母线平行于 z 轴
双曲柱面